Introduktion til dynamik

12Fig. 4: Eksempel: Udkraget bjælkeEksempel: Udkraget bjælkeVi betragter en udkraget bjælke med længden l.Understøtningsbetingelserne giverw(0) = w , (0) = 0 (72)w ,, (l) = w ,,, (l) = 0hvor randbetingelsen i x = l svarer til, at forskydningskraften og momentet er 0.Betingelserne i x = 0 giverC = −A og D = −B (73)Indføres disse betingelser i det generelle udtryk for w(x) fra (69) fåsw(x) = A( sin λxl)λx− sinh + B( cos λxllDe aedede af w(x) ndes let ved udregning til:w ,, (x) = A( λ l )2 ( − sin λxlB( λ l )2 ( − cos λxlw ,,, (x) = A( λ l )3 ( − cos λxlB( λ l )3 ( sin λxl)λx− sinhl)λx− coshl)λx− cosh +l)− sinhλxl)λx− coshl(74)+ (75)For x = l skal de aedede i (75) være 0, og for at få egentlige løsninger til A og B skaldeterminanten være 0. Ved udregning ndes betingelsen til1 + cos λ cosh λ = 0 (76)hvor det er udnyttet at cosh 2 (x) − sinh 2 (x) = 1.Betingelsen i (76) kan ikke løses analytisk, og numerisk bestemmes den mindste værdi afλ, der er løsning til (76) som:λ = 1.875 (77)