Introduktion til dynamik

11Eksempel: Simpelt understøttet bjælkeVi ønsker at bestemme egensvingningsfrekvenserne og egensvingningsformerne for en simpeltunderstøttet bjælke med længden l .Understøtningsbetingelserne er:w(0) = w ,, (0) = 0 (64)w(l) = w ,, (l) = 0Ved at benytte betingelserne i x = 0 fås, at B + D = 0 og −B + D = 0 , hvilket medfører:B = D = 0 (65)Betingelsen i x = l giver:A sin λ k + C sinh λ k = 0 (66)−λ 2 kA sin λ k + λ 2 kC sinh λ k = 0For at få egentlige løsninger til A og C må ligningssystemets determinant være 0. Vedudregning ndes:2λ 2 k sin λ k sinh λ k = 0 (67)Denne ligning kan kun opfyldes, hvissin λ k = 0 (68)hvilket giverλ k = kπ (69)Ved indsættelse i (63) ndes:√ω k = k 2 π2 EIl 2 µVed løsning af ligningssystemet i (67) ndes, at C = 0.Egensvingningsformen er givet vedk = 1, 2, · · · (70)w(x) = A sin (kπ x l ) (71)hvor A er en konstant, der er ubestemt i egensvingningsanalysen.