Introduktion til dynamik

8hvor de arbitrære konstanter A og ϕ d ndes af begyndelsesbetingelserne i t = 0, se (37).Parametrene α og β er deneret i (15) og (16).Ved udregning ndestan ϕ d = 2ζ√ 1 − ζ 21 − 2ζ 2 (48)og dermed ndes:x = P [0− 1 e −αt 1√k ωt sin (βt − ϕ 1 1 − ζ2d) − 2ζ + t ]ωt 1 t 1I intervallet [t 1 ; ∞] er den styrende dierentialligning givet ved:− kx − cẋ + P 0 = mẍ (50)Løsningen til denne skrives som:x = P 0k + A 1e −α(t−t 1) sin (β(t − t 1 ) − ϕ 1 ) (51)hvor de arbitrære konstanter A 1 og ϕ 1 ndes af krav til kontinuitet i x og ẋ for t = t 1 .I Figur 3 er forløbet af de 2 indsvingningsforløb illustreret. Dæmpningsforholdet er relativthøjt 0.05.Transient(49)x1.2510.750.50.25UndampedDampedStatic00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35tFig. 3: Dæmpet og udæmpet indsvingningsforløbEfter en del analytiske beregninger kan den dæmpede forstærkningsfaktor bestemmes til:√2(cosh αt 1 − cos βt 1 )d = 1 +e −α/(2β)[π−ϕ d+βt 1 +2ϕ 1 ](52)ωt 1hvor fasevinklerne ϕ 1 , der skal ligge i intervallet [−π/2; π], er bestemt somϕ 1 = ϕ r − βt 1 /2 + ϕ d (53)