Introduktion til dynamik

der har løsningenx = A sin ω 1 t + B cos ω 1 t + P 0kBegyndelsesbetingelser er i dette tilfælde, at der skal være kontinuitet i x og ẋ for t = t 1 .Ved udregning ndesx = P (01 + cos ω 1t 1 − 1sin ω 1 t − sin ω 1t 1k ω 1 t 1 ω 1 t 1)cos ω 1 tDette er en harmonisk svingning, og da systemet ikke er dæmpet, vil svingningen fortsættei det uendelige.For at vurdere indydelsen af den transiente lastpåførsel ønskes den maksimale værdi afytningen bestemt.Ved hjælp af sin / cos relationerne skrives x fra formel (41) somx = P (01 +k√2(1 − cos ω 1 t 1 ))sin (ω 1 t − ϕ)ω 1 t 1hvor fasevinklen ϕ er bestemt ved:tan ϕ = sin ω 1t 1= cot ω 1 t 1 /2 (43)1 − cos ω 1 t 1Forstærkningsfaktoren for lasten deneres som forholdet mellem den maksimale udbøjningog den statiske udbøjning. Man ser direkte, at forstærkningsfaktoren, f t er givet ved:√2(1 − cos ω 1 t 1 )f t = 1 +(44)ω 1 t 1For t 1 < 2π/ω er tidspunktet for maksimum, t max givet vedt max = t 12 + π ωEt stød er karakteriseret ved en meget kort belastningstid, t 1 , og ved grænseovergang,hvor t 1 → 0 ndes f t = 2, som svarer til værdien fra litteraturen.Et virkeligt system vil være dæmpet og nedenfor er vist principperne i beregningerne.Beregningerne af forstærkningsfaktoren er dog en del mere kompliceret, og ikke alle detaljermedtages, men der henvises til (Damkilde 1999). Dæmpningen i systemet er viskos, meddet relative dæmpningsforhold ζ.I intervallet [0; t 1 ] er den styrende dierentialligning givet vedt− kx − cẋ + P 0 = mẍ (46)t 1Løsningen til dierentialligningen kan skrives som:x = Ae −αt sin (βt − ϕ d ) − P 0kc+ P 0kt 1 k7(40)(41)(42)(45)tt 1(47)