Introduktion til dynamik

Introduktion til dynamikLars DamkildeInstitut for Bærende Konstruktioner og MaterialerDanmarks Tekniske UniversitetDK-2800 LyngbyMarts 1998

ResuméForelæsningsnotatet giver en grundlæggende introduktion til dynamisk opførsel og et indbliki forskellige dynamiske analysetyper. Indledningsvis behandles systemer med en frihedsgrad,og de grundlæggende begreber som egensvingninger og tvungne svingninger med resonansbeskrives. Dæmpning behandles både i forbindelse med egensvingninger og tvungnesvingninger. Endelig vises transient belastning ved et eksempel. Teorien for bjælkesvingningeropstilles, og der gives nogle enkelte analytiske løsninger. Egensvingningsanalysenopstilles som et ikke-lineært egenværdiproblem. En elementmetodeformulering, der resultereri et lineært egenværdiproblem, vises at være det første led i en rækkeudvikling afden eksakte formuleringen, og betydningen af elementinddelingen illustreres. Indydelse afnormalkræfter på egensvingningsanalysen vises. En generel elementmetodeformulering forsystemer med n frihedsgrader opstilles. Udover egensvingningsanalysen beskrives også enegentlig tidsintegration både med eksplicitte og implicitte metoder. Principperne i modalanalysegennemgås herunder behandlingen af dæmpning.

iiIndholdGrundlæggende Dynamik 1Systemer med 1 frihedsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Egensvingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Dæmpede egensvingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Tvungne, udæmpede svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Tvungne, dæmpede svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Transient belastning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Bjælkesvingninger 10Eksempel: Simpelt understøttet søjle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Eksempel: Udkraget bjælke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Svingningsanalyse af rammekonstruktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Eksempel: Simpelt understøttet bjælke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Eksempel: Indspændt bjælke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Indydelse fra normalkræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Generel elementmetodeformulering 20Egensvingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Tidsintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Eksplicit metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Implicit metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Modal analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Litteratur 27

1Grundlæggende DynamikVed en dynamisk analyse af en konstruktion får konstruktionens masse afgørende betydning,idet der tages hensyn til accelerationskræfterne, dvs. de kræfter der giver konstruktionenaccelerationer.En dynamisk analyse er relevant, hvor påvirkningerne fra last ændrer sig så hurtigt i tiden,at betydningen af accelerationen af konstruktionen får indydelse på spændingsniveaueteller størrelsen af ytningerne. Som eksempler på dynamisk last kan nævnes bølge- og vindlastsamt påvirkning fra jordskælv. Den første type belastning er cyklisk med en givenfrekvens, f.eks. antallet af bølgetoppe per tidsenhed. Den anden type belastning er kortvarigog benævnes en transient belastning. En mere omfattende beskrivelse af dynamiskebelastninger med særligt vægt på jordskælv kan ndes i (Clough and Penzien 1975).Selvom en konstruktion kun udsættes for statisk belastning kan en undersøgelse af konstruktionensegenfrekvenser godt være nyttig. Hvis konstruktionen er meget eksibel forvisse belastninger, afsløres dette ikke nødvendigvis i en statisk analyse, men derimod ien egensvingningsanalyse. Konstruktionens egensvingninger kan også have betydning forkomfort, f.eks. i forbindelse med gangbroer, hvor en meget eksibel konstruktion virkerusikker, selvom styrken er tilstrækkelig.Systemer med 1 frihedsgradI dette afsnit vises nogle principielle forhold for dynamisk opførsel af et system med 1frihedsgrad, som vist i gur 1. En mere omfattende beskrivelse med mere vægt på analytiskeløsningsmetoder kan f.eks. ndes i (Meirovitch 1986).Fig. 1: System med 1 frihedsgradSystemet består af en masse, m, en fjeder med karakteristikken k og en dæmper, somomsætter kinetisk energi til varme. Dæmperen karakteriseres med konstanten c. Systemetantages i ligevægt for x = 0, og hastigheden, ẋ, og accelerationen, ẍ, ndes ved dierentiationaf stedkoordinaten x med hensyn til tiden henholdsvis 1 og 2 gange.Der ndes ere forskellige modeller for dæmpning, og den matematisk set mest enkle erden såkaldte viskose dæmpning, hvor dæmperelementet giver en kraft proportional medhastigheden og modsat rettet bevægelsesretningen, som vist i formel 1R d = −cẋ (1)hvor R d betegner den ækvivalente belastning fra dæmperen. Den viskose dæmpning kanf.eks. bruges til at beskrive dæmpningen fra konstruktionens bevægelse i vand. Denne

3Konstanter A og α i (6) bestemmes ud fra begyndelsesbetingelserne. Et karakteristisk træker, at svingningerne vil foregå i det uendelige, og at der ikke er noget tab af energi. Derforegår en tabsfri overgang mellem kinetisk energi og elastisk energi i hver cyklus.Dæmpede egensvingningerI dette tilfælde medtages dæmpningsleddet, og bevægelsesligningen skrives sommẍ + cẋ + kx = 0 (10)Dæmpningen karakteriseres ved det såkaldte dæmpningsforhold ζ givet vedζ = c c 0(11)hvor c o denerer den kritiske dæmpningc 0 = 2 √ km (12)Dæmpningen vil for sædvanlige bygningskonstruktioner være langt mindre end den kritiskedæmpning, og dæmpningsforholdet vil typisk ligge i intervallet 0.01 - 0.05.Ved hjælp af (10) og (12) omskrives bevægelsesligningen til:ẍ + 2ωζẋ + ω 2 x = 0 (13)Denne dierentialligning løses ved standardmetoder, og for ζ < 1 ndes:x = A 0 e −αt ( α √1β sin βt + cos βt) = A 0e −αt cos (βt − φ) (14)1 − ζ2 hvor A 0 er amplituden til t = 0. Frekvensen β er givet ved√β = ω 1 − ζ 2 (15)og α udtrykker dæmpningen af systemet.α = ωζ (16)Faseforskydningen φ i (14) udtrykker den forsinkelse der kommer i responset p.gr.a. dæmpningen,og faseforskydningen er givet ved:tan φ =ζ√ 1 − ζ2(17)Bevægelsen er karakteriseret ved en amplitude, der falder gennem tiden, og en cykliskvariation med frekvensen β. Det dæmpede system svinger med en frekvens, der er mindreend det tilsvarende system uden dæmpning. I modsætning til tilfældet uden dæmpning erder et energitab, som man også betegner energidissipation.For et lille dæmpningsforhold kan energitabet i en cyklus bestemmes som:w d∼ = π c ω A2t (18)hvor amplituden, A t , er maksimaludsvinget i den betragtede periode. Energitabet blivermindre og mindre, jo mere systemet dæmpes. Dette er forklaringen på, at svingningenaldrig standser helt.

4Tvungne, udæmpede svingningerSystemet påvirkes af en harmonisk påvirkning givet ved:P = P 0 cos ωt (19)hvor ω nu betegner belastningens frekvens. Systemets egenfrekvens betegnes, ω 1 , som ergivet ved:ω 1 =√kmBevægelsesligningen er givet ved:mẍ + kx = P 0 cos ωt (21)Løsningen ses at kunne skrives somx = C cos ωt (22)Ved indsættelse i dierentialligningen bestemmes C til:C =P 0−mω 2 + kVed yderligere omskrivning ndes:x = P 0k(20)(23)11 − ( ω cos ωt (24)ω 1)2hvor P o /k er den statiske ytning for en kraft P o virkende på systemet.Den dynamiske forstærkningsfaktor, f, deneres ved:f =11 − ( ω ω 1) 2 (25)Forstærkningsfaktoren angiver, hvor meget ytningen øges i forhold til den statiske situation.Når belastningsfrekvensen nærmer sig systemets egenfrekvens, bliver f meget stor.Dette betegnes resonans. I modellen uden dæmpning er der en singularitet, men selv meddæmpning er der en markant forøgelse.For belastningsfrekvenser over systemets egenfrekvens, bliver forstærkningsfaktoren negativ.Dette svarer til, at ytning og belastning er i modfase, dvs. faseforskydningen er π. Denabsolutte værdi af forstærkningsfaktoren falder med stigende belastningsfrekvens, og forω = √ 2ω 1 er den 1. For belastningsfrekvenser større end √ 2ω 1 er responset mindre end fraden tilsvarende statiske belastning. Systemet har en begrænset følsomhed for tidsafhængigepåvirkninger, og bliver belastningsvariationen tilstrækkelig hurtig mærker systemet kun endel af påvirkningen. Systemets egenfrekvens er et mål følsomheden.

Tvungne, dæmpede svingningerI dette tilfælde medtages dæmpning, og bevægelsesligningen blivermẍ + cẋ + kx = P 0 cos ωt (26)Idet dæmpningsforholdet ζ deneres som tidligere, (11), omskrives (26) til:ẍ + 2ω 1 ζẋ + ω 2 1x = P 0k ω2 1 cos ωt (27)hvor ω 1 betegner systemets egensvingningsfrekvens.Løsningen skrives på formen:x = C 1 sin ωt + C 2 cos ωt (28)Ved indsættelse af (28) i (27) og omordning af leddene ndes:(ω 2 1 − ω 2 )(C 1 sin ωt + C 2 cos ωt) + 2ζω 1 (C 1 cos ωt − C 2 sin ωt) (29)= P 0k ω2 1 cos ωtVed at matche led med sin ωt og cos ωt bestemmes de 2 arbitrære konstanter C 1 og C 2 .Efter nogen regning ndesC 1 = P 0C 2 = P 0kk 2ζ ω ω 1f 1 (30)(1 − ( ω ω 1) 2 )f 1hvor den dæmpede forstærkningsfaktor f 1 er givet ved:f 1 =√1(1 − ( ω ω 1) 2 ) 2+(2ζ ω ω 1) 2(31)Den dæmpede forstærkningsfaktor har ingen singularitet, men for ω → ω 1 bliver den stor,idet ζ typisk er af størrelsesorden 0.05.Indsættes (31) i løsningen (28) ndes:x = P (0k f 1 2ζ ω sin ωt + (1 − ( ω )) 2 ) cos ωtω 1 ω 1Ved hjælp af sin / cos relationer kan udtrykket i parentes omskrives, og man får:x = P 0k f 1 cos (ωt − ϕ) (33)5(32)

6hvor faseforskydningen ϕ er bestemt vedtan ϕ = 2ζ ω ω 11 − ( ω ω 1) 2 (34)Faseforskydningen angiver, at der er en forsinkelse mellem belastningen og ytningen.Maksimum for ytningen kommer ϕ senere end maksimum for belastning.Transient belastningI modsætning til den harmoniske belastning har indsvingningsforløbet en central betydning.For at illustrere dette betragtes et simpelt eksempel i det følgende. Belastningen påføressystemet, der er i ro, med en last, der stiger lineært over intervallet t 1 , som vist i Figur 2.Fig. 2: Transient lastI første omgang betragtes et udæmpet system. Systemet har massen m og stivheden k.Egenfrekvensen betegnes ω 1 . I intervallet 0 til t 1 er den styrende dierentialligning:t− kx + P 0 = mẍ (35)t 1Løsningen til denne ligning er:x = A sin ω 1 t + B cos ω 1 t + P 0ktt 1(36)hvor de arbitrære konstanter A og B ndes af begyndelsesbetingelserne.x(0) = ẋ(0) = 0 (37)Efter udregning af A og B ndes:x = P (0 t− 1k t 1 ω 1 t 1)sin ω 1 tI intervallet [t 1 ; ∞] er den styrende dierentialligning:− kx + P 0 = mẍ (39)(38)

der har løsningenx = A sin ω 1 t + B cos ω 1 t + P 0kBegyndelsesbetingelser er i dette tilfælde, at der skal være kontinuitet i x og ẋ for t = t 1 .Ved udregning ndesx = P (01 + cos ω 1t 1 − 1sin ω 1 t − sin ω 1t 1k ω 1 t 1 ω 1 t 1)cos ω 1 tDette er en harmonisk svingning, og da systemet ikke er dæmpet, vil svingningen fortsættei det uendelige.For at vurdere indydelsen af den transiente lastpåførsel ønskes den maksimale værdi afytningen bestemt.Ved hjælp af sin / cos relationerne skrives x fra formel (41) somx = P (01 +k√2(1 − cos ω 1 t 1 ))sin (ω 1 t − ϕ)ω 1 t 1hvor fasevinklen ϕ er bestemt ved:tan ϕ = sin ω 1t 1= cot ω 1 t 1 /2 (43)1 − cos ω 1 t 1Forstærkningsfaktoren for lasten deneres som forholdet mellem den maksimale udbøjningog den statiske udbøjning. Man ser direkte, at forstærkningsfaktoren, f t er givet ved:√2(1 − cos ω 1 t 1 )f t = 1 +(44)ω 1 t 1For t 1 < 2π/ω er tidspunktet for maksimum, t max givet vedt max = t 12 + π ωEt stød er karakteriseret ved en meget kort belastningstid, t 1 , og ved grænseovergang,hvor t 1 → 0 ndes f t = 2, som svarer til værdien fra litteraturen.Et virkeligt system vil være dæmpet og nedenfor er vist principperne i beregningerne.Beregningerne af forstærkningsfaktoren er dog en del mere kompliceret, og ikke alle detaljermedtages, men der henvises til (Damkilde 1999). Dæmpningen i systemet er viskos, meddet relative dæmpningsforhold ζ.I intervallet [0; t 1 ] er den styrende dierentialligning givet vedt− kx − cẋ + P 0 = mẍ (46)t 1Løsningen til dierentialligningen kan skrives som:x = Ae −αt sin (βt − ϕ d ) − P 0kc+ P 0kt 1 k7(40)(41)(42)(45)tt 1(47)

8hvor de arbitrære konstanter A og ϕ d ndes af begyndelsesbetingelserne i t = 0, se (37).Parametrene α og β er deneret i (15) og (16).Ved udregning ndestan ϕ d = 2ζ√ 1 − ζ 21 − 2ζ 2 (48)og dermed ndes:x = P [0− 1 e −αt 1√k ωt sin (βt − ϕ 1 1 − ζ2d) − 2ζ + t ]ωt 1 t 1I intervallet [t 1 ; ∞] er den styrende dierentialligning givet ved:− kx − cẋ + P 0 = mẍ (50)Løsningen til denne skrives som:x = P 0k + A 1e −α(t−t 1) sin (β(t − t 1 ) − ϕ 1 ) (51)hvor de arbitrære konstanter A 1 og ϕ 1 ndes af krav til kontinuitet i x og ẋ for t = t 1 .I Figur 3 er forløbet af de 2 indsvingningsforløb illustreret. Dæmpningsforholdet er relativthøjt 0.05.Transient(49)x1.2510.750.50.25UndampedDampedStatic00.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35tFig. 3: Dæmpet og udæmpet indsvingningsforløbEfter en del analytiske beregninger kan den dæmpede forstærkningsfaktor bestemmes til:√2(cosh αt 1 − cos βt 1 )d = 1 +e −α/(2β)[π−ϕ d+βt 1 +2ϕ 1 ](52)ωt 1hvor fasevinklerne ϕ 1 , der skal ligge i intervallet [−π/2; π], er bestemt somϕ 1 = ϕ r − βt 1 /2 + ϕ d (53)

10BjælkesvingningerFor at illustrere svingninger af konstruktioner med en kontinuert massefordeling opstillesden styrende dierentialligning for svingninger af en bjælke. Bjælken forudsættes plan medet konstant tværsnit, hvilket vil sige at både EI og µ, massen pr. længde, er konstante. Dertages kun hensyn til deformationer fra bøjningsmomenter. Der er ingen fordelt belastningpå bjælken.Bevægelsesligningen for et innitesimalt udsnit af bjælken giver∂V∂x= µẅ (56)hvor x er koordinaten langs bjælkeaksen. Der aedes partielt med hensyn til x, idet forskydningskraftenV både er en funktion af tiden, t og x. Tværudbøjningen betegnes w, og ẅ eraccelerationen. I forhold til den statiske løsning er der et accelerationsled µẅ.Idet der ikke tages hensyn til rotationsinerti af tværsnittet gælder:V = ∂M∂xhvor M er bøjningsmomentet.Indføres den konstitutive lovM = −EI ∂2 w∂x 2 (58)skrives bevægelsesligningen som:EI ∂4 w+ µẅ = 0 (59)∂x4 Bjælkens egensvingninger vil være harmoniske, og tværytninger kan skrives som et produktaf en sted- og tidsafhængig faktorw(x, t) = w(x) cos ω k t (60)hvor ω k er den k'te egenfrekvens.Indføres udtrykket for w(x, t) i den styrende dierentialligning (59) fås:EIw(x) ,,,, − µωkw(x) 2 = 0 (61)hvor w(x) ,,,, betyder 4 gange aedet mht. x.Løsningen til (61) kan skrives som:xw(x) = A sin (λ kl ) + B cos (λ xkl ) + C sinh (λ xkl ) + D cosh (λ xkl ) (62)hvor den dimensionsløse konstant λ k er deneret ved:( µω2λ k = l kEI) 14De arbitrære konstanter A, B, C og D bestemmes af bjælkens understøtningsbetingelser.Bjælkens egensvingningsfrekvenser ndes ved at kræve egentlige løsninger til A, B, C ogD.(57)(63)

11Eksempel: Simpelt understøttet bjælkeVi ønsker at bestemme egensvingningsfrekvenserne og egensvingningsformerne for en simpeltunderstøttet bjælke med længden l .Understøtningsbetingelserne er:w(0) = w ,, (0) = 0 (64)w(l) = w ,, (l) = 0Ved at benytte betingelserne i x = 0 fås, at B + D = 0 og −B + D = 0 , hvilket medfører:B = D = 0 (65)Betingelsen i x = l giver:A sin λ k + C sinh λ k = 0 (66)−λ 2 kA sin λ k + λ 2 kC sinh λ k = 0For at få egentlige løsninger til A og C må ligningssystemets determinant være 0. Vedudregning ndes:2λ 2 k sin λ k sinh λ k = 0 (67)Denne ligning kan kun opfyldes, hvissin λ k = 0 (68)hvilket giverλ k = kπ (69)Ved indsættelse i (63) ndes:√ω k = k 2 π2 EIl 2 µVed løsning af ligningssystemet i (67) ndes, at C = 0.Egensvingningsformen er givet vedk = 1, 2, · · · (70)w(x) = A sin (kπ x l ) (71)hvor A er en konstant, der er ubestemt i egensvingningsanalysen.

12Fig. 4: Eksempel: Udkraget bjælkeEksempel: Udkraget bjælkeVi betragter en udkraget bjælke med længden l.Understøtningsbetingelserne giverw(0) = w , (0) = 0 (72)w ,, (l) = w ,,, (l) = 0hvor randbetingelsen i x = l svarer til, at forskydningskraften og momentet er 0.Betingelserne i x = 0 giverC = −A og D = −B (73)Indføres disse betingelser i det generelle udtryk for w(x) fra (69) fåsw(x) = A( sin λxl)λx− sinh + B( cos λxllDe aedede af w(x) ndes let ved udregning til:w ,, (x) = A( λ l )2 ( − sin λxlB( λ l )2 ( − cos λxlw ,,, (x) = A( λ l )3 ( − cos λxlB( λ l )3 ( sin λxl)λx− sinhl)λx− coshl)λx− cosh +l)− sinhλxl)λx− coshl(74)+ (75)For x = l skal de aedede i (75) være 0, og for at få egentlige løsninger til A og B skaldeterminanten være 0. Ved udregning ndes betingelsen til1 + cos λ cosh λ = 0 (76)hvor det er udnyttet at cosh 2 (x) − sinh 2 (x) = 1.Betingelsen i (76) kan ikke løses analytisk, og numerisk bestemmes den mindste værdi afλ, der er løsning til (76) som:λ = 1.875 (77)

13Den laveste egensvingningsfrekvens bliverω = 1.8752l 2√EIµEgensvingningsformen ndes ved f.eks. at vælge A arbitrært, og bestemme B af en afligningerne i (75) for x = l. Bortset fra afrundingsfejl, skal hver ligning give det samme.Ved udregning ndes:C = −A og D = −B (79)Egensvingningsformen skrives derfor som:w(x) = A( sin λxl)λx− sinh − 1.362A( cos λxll)λx− coshlVed stabilitetsberegninger kan en udkraget bjælke opfattes som en simpelt understøttetbjælke med den dobbelte længde. Ved svingningsanalyse gælder den analogi ikke, og vedsammenligning af egenfrekvenserne i (70) og (78) ses, at en udkraget bjælke med længdenl/2 svarer til en simpelt understøttet bjælke med længden 0.838l. Forskellen mellem de 2tilfælde er, at massen bevæges i gennemsnit mere i den simpelt understøttede, hvilket mankan overbevise sig om ved at optegne egensvingningsformerne. Ved stabilitetsproblemet erdet de aedede af tværytningen, der styrer problemet, og de er ens i de to tilfælde.Svingningsanalyse af rammekonstruktionerBøjningssvingningerSom udgangspunkt analyseres en bjælke, der svinger med en given frekvens, ω. Denstyrende dierentialligning er givet i (61), og den principielle løsning er beskrevet i (62),som for nemheds skyld er gengivet nedenfor:xw(x) = A sin (λ kl ) + B cos (λ xkl ) + C sinh (λ xkl ) + D cosh (λ xkl ) (81)( )µωkhvor λ k = l2 14.EIDierentialligningen kan løses for de sædvanlige elementartilfælde, som vist i gur 5.(78)(80)Elementarytningerne skrives som:Fig. 5: Elementartilfældew i (x, t) = w i (x) sin ωt (82)

Løsningen af de enkelte elementartilfælde w i (x, t), i = 1, 2, 3, 4, giver formen w i (x) , og detilhørende snitkræfter i bjælkeenderne. Beregningerne er i princippet enkle, men omfangetbliver ret omfattende. Slutresultatet giver en sammenhæng mellem ytningerne i bjælkeenderneog de tilhørende snitkræfter. Denne sammenhæng skrives på matrixform som vist i(83)⎫ ⎧F⎧⎪ 6 (λ) lF 4 (λ) F 5 (λ) lF 6 (λ)EI ⎨ l 2 F 2 (λ) −lF 3 (λ) l 2 F 1 (λ)⎪⎬ ⎪⎨l 3 F⎪ 6 (λ) −lF 4 (λ)⎩l 2 ⎪⎭ ⎪⎩F 2 (λ)symhvor funktionerne F 1 − F 6 er deneret som:fF 1 (λ) λ(sinh λ − sin λ)fF 2 (λ) λ(− cos λ sinh λ + sin λ cosh λ)fF 3 (λ) λ 2 (cosh λ − cos λ)fF 4 (λ) λ 2 (sin λ sinh λ)fF 5 (λ) λ 3 (− sinh λ − sin λ)fF 6 (λ) λ 3 (sin λ cosh λ + cos λ sinh λ)f = 1 − cos λ cosh λw 1θ 1w 2θ 2⎫⎪ ⎬⎪ ⎭=⎧⎪⎨⎪⎩R 1M 1R 2M 2⎫⎪ ⎬⎪ ⎭(83)Betegnelserne i (84) svarer til (Kolousek 1973).Fortegnsregningen for ytninger/drejninger, som svarer til fortegnsregningen for kræfter/momenter,er vist i gur 6.(84)Fig. 6: Denition af ytningerAksiale svingningerAksiale bjælkesvingninger beskrives ved dierentialligningenEA ∂2 u− µü = 0 (85)∂x2 hvor u er den aksiale ytning, og A tværsnitsarealet.Løsningen til den aksiale svingning skrives som:xu(x) = A sin(λ al ) + B cos(λ xal ) (86)hvor parameteren λ a er bestemt ved:λ a = l√µω2EA14(87)

15Svarende til bjælkesvingningerne kan der opskrives en matrixrelation mellem ytninger ogsnitkræfter. Idet fortegnsregningen er som angivet i Figur 6 fås:EAl{λ/ tan λ −λ/ sin λ−λ/ sin λ λ/ tan λ} { } { }u1 F1=u 2 F 2ElementmetodeligningerVed hjælp af (83) og (88) er opførslen af det enkelte bjælkeelement fastlagt. Analysenaf en rammekonstruktion følger princippet i elementmetoden, jvf. F 118. Relationerne i(83) og (88) svarer til den lokale stivhedsmatrix. Den globale stivhedsmatrix ndes vedat transformere de lokale stivhedsmatricer til et globalt system og assemblerer dem i denglobale stivhedsmatrix. Resultatet er på matrixform skrevet i (89):K(ω)v = r (89)hvor K(ω) er stivhedsmatricen som er en funktion af frekvensen ω (λ og λ a afhænger afω). Systemytningerne er v og kræfterne r.Egensvingningsfrekvenserne bestemmes som de værdier af ω, der giver en singulær stivhedsmatrix.Derved kan man nde egentlige løsninger for et system uden ydre last.Beregningsteknisk foregår det ved at gætte på en værdi af ω og udregne K(ω). Herefterudregnes determinanten, og ved at tælle fortegnsskift i diagonalen og udfra determinantensstørrelse bestemmes et nyt bud på ω . Metoden er relativt kostbar, idet man skal udregneK(ω) mange gange, og bestemme determinanten, hvilket svarer til at faktorisere matricen.Fordelen er, at rammekonstruktionen kun skal opdeles i såkaldte naturlige elementer,svarende til en lineær beregning.Alternativt kan den lokale stivhedsmatrix skrives som en rækkeudvikling af λ eller λ a . Vedat vælge elementlængden passende lille kan stivhedsmatricen skrives som en sum af etkonstant bidrag svarende til den elastiske stivhedsmatrix og et led proportionalt med ω 2 .Svarende til stivhedsrelationen i (89) fås:(Kelastisk − ω2 M)v = r (90)hvor det første led i rækkeudviklingen udgøres af den såkaldte massematrix M. Bestemmelsenaf egensvingningsfrekvenser er som før baseret på at nde de værdier af ω, der giveren singularitet i Kelastisk − ω2 M. Beregningsteknisk er det dog noget enklere, idet (90)svarer til et lineært egenværdiproblem, mens (89) gav et ikke-lineært egenværdiproblem.Matricerne Kelastisk og M skal kun beregnes en gang, og løsningen foregår f.eks. ved inversvektoriteration, jvf. F 118. Prisen for det enklere egenværdiproblem er ere ubekendte, idetelementlængden skal være passende lille af hensyn til nøjagtigheden af rækkeudviklingen i(90). Beregningsresultatet vil altså afhænge af elementinddelingen svarende til stabilitetsberegninger.Senere vil dette blive illustreret ved nogle eksempler. Rækkeudviklingen i(90) foretages på den lokale stivhedsmatrix. Beregningerne bliver temmelig omfattende, og(88)

20Generel elementmetodeformuleringVed en elementmetodeformulering diskretiseres kontinuerte system til et system med et endeligtantal frihedsgrader, n. Flytningerne, hastighederne og accelerationerne af de enkeltefrihedsgrader betegnes v, ˙v og ¨v, hvor hver af vektorerne har n elementer. Sammenhængenmellem ytningerne og de elastiske kræfter bestemmes af den globale stivhedsmatrix K.Tilsvarende kan der opstilles en dæmpningsmatrix, C, og en massematrix, M, som alleredeer omtalt i forbindelse med bjælkesvingninger.De n styrende dierentialligninger ndes, da ved analogi til bevægelsesligningen for 1-frihedsgradssystemet, (4).− Kv − C ˙v + R(t) = M¨v (108)hvor R denerer belastningen på hver frihedsgrad.Analogt til opbygningen af stivhedsmatricen, K, kan C og M opbygges af bidrag fra deenkelte elementer. Nedenfor er angivet udtryk for de lokale bidrag k og m.∫k =m =V∫VB T DBdV (109)ρN T NdV (110)hvor B betegner tøjningsinterpolationsmatricen og N ytningsinterpolationsmatricen. Denkonstitutive lov denerer D og ρ er densiteten. Massematricen for et bjælkeelement blevopstillet i (91), og kunne også være beregnet ved hjælp af (110). Den såkaldte konsistentemassematrix deneret i (110) erstattes nogle gange af en såkaldt lumpet massematrix, somkun indeholder egentlige elementer i diagonalen.Dæmpningen er en fysisk størrelse, som er vanskelig at beskrive, og dæmpningsmatricenbeskrives derfor indirekte. Strukturel dæmpning deneres ofte ved hjælp af Rayleighdæmpning, hvorC = αM + βK (111)hvor α og β er parametre.Denne beskrivelse er meget velegnet i forbindelse med modalanalyse. Alternativt beskrivesdæmpningen som relative dæmpningsforhold for de enkelte modalformer, se senere vedmodalanalyse. Dæmpningen kan også modelleres ved særlige elementer, som dermed fastlæggerC. Dette er relevant, hvor konstruktionens svingninger kontrolleres med dæmpningsled,hvis fysiske opførsel er velbeskrevet.I det følgende angives de numeriske løsningsalgoritmer for special tilfælde.EgensvingningerIdet dæmpningen ikke medtages fås− Kv = M¨v (112)

21Svingningerne bliver harmoniske, og alle frihedsgrader er i fase. Det vil sige, at ytningernekan beskrives med en amplitude, som vist nedenfor:v(t) = v cos ωt (113)hvor ω er systemets egensvingningsfrekvens. Indsættes (113) i bevægelsesligningen (112)fås:(K − ω 2 M)v = 0 (114)hvilket er et lineært egenværdiproblem. Systemet har ligeså mange egenværdier som frihedsgrader,men normalt ønskes kun et fåtal af de laveste egenfrekvenser bestemt. Der kan f.eks.anvendes subspace iteration. Til hver egensvingningsfrekvens hører en egensvingningsform,som beskriver formen, mens størrelsen er ubestemt. Fra teorien om egenværdiproblemervides, at de enkelte egensvingningsformer, er ortogonale som vist nedenforv T i Mv j = 0 for i ≠ j (115)v T i Kv j = 0 for i ≠ jhvor v i er egensvingningsformen hørende til en i'te egenværdi.Hensyntagen til indydelse fra normalkræfter fås ved at modicere K med den geometriskestivhedsmatrix K g , jvf. (106).Hvis dæmpning medtages bliver problemet mere komplekst, idet der vil være en faseforskydningmellem de enkelte frihedsgrader.TidsintegrationI denne del behandles den generelle ligning (108), og der formuleres en løsning til bestemmelseaf den tidslige variation. Metoderne kan også benyttes i forbindelse med modalanalyse,se senere.Bevægelsesligningerne løses i en række tidsskridt med afstanden ∆t. Der er 2 principieltforskellige fremgangsmåder: den eksplicitte og den implicitte.Eksplicit metodeUdgangspunktet er en interpolation af variationen i v, ˙v og ¨v igennem et tidsinterval visti Figur 10.Fig. 10: Tidsakse med punkterTilstandene i punkterne n−1 og n antages kendte, og der ønskes en metode til bestemmelseaf tilstanden i punkt n + 1.

22Flytningernes tidsvariation interpoleres kvadratisk mellem de 3 punkter. Idet det arbitrærtvælges, at tilstand n svarer t = 0, fåsv(t) = v n +t2∆t (v n+1 − v n−1 ) +t22∆t (v 2 n+1 + v n−1 − 2v n ) (116)Ved dierentiation af udtrykket kan opstilles udtryk for hastighed og acceleration i punktn.˙v n = 12∆t (v n+1 − v n−1 ) (117)¨v n = 1∆t 2 (v n+1 − 2v n + v n−1 )Bevægelsesligningerne ønskes opfyldt i punktet n, og ved indsættelse af (117) i (108) fås− Kv n − C 12∆t (v n+1 − v n−1 ) + R n (118)= M 1∆t (v 2 n+1 − 2v n + v n−1 )Idet v n−1 og v n antages kendte omordnes leddene1[∆t M + 12 2∆t C]v n+1 = R n − Kv n + 1+ 12∆t Cv n−1∆t 2 M(2v n − v n−1 ) (119)Ved hjælp af denne ligning kan ytningen v n+1 bestemmes, og herefter bestemmes v n+2 .Ved beregningen faktoriseres kun 1 M + 1 C, og stivhedsmatricen K indgår kun til∆t 2 2∆tberegning af elastiske kræfter. En forudsætning er, at der er tilknyttet masse/dæmpningtil alle frihedsgrader for at kunne faktorisere. Metoden er beregningsteknisk bekvem, mentil gengæld skal tidsskridtet vælges lille for at sikre stabilitet af løsningen.Kravet er(120)ωmaxhvor ωmax er den største egenfrekvens i systemet. Dette krav giver ofte meget små tidsskridt,som er styret af det højfrekvente konstruktionsrespons, som ellers er uinteressant. Mangelpå stabilitet viser sig ved, at tilfældige fejl vokser meget hurtigt. Systemet forstærkerstøjen, og beregningsresultaterne bliver meningsløse.De indgående matricer K, M og C er normalt konstante gennem tiden, og hvert tidsskridtsvarer i beregningsomfang til beregning af et lasttilfælde i det lineære tilfælde. Faktoriseringensker ved start af tidsintegrationen.Ved kombinationer med geometriske og materialemæssige ikke-lineariteter benyttes deneksplicitte metode ofte, f.eks. i forbindelse med crash-test. Ved at anvende en lumpet∆t < 2

23massematrice foregår faktoriseringen, som skal ske i hvert tidsskridt pga. ikke-lineariteterne,meget eektivt. Den anvendte metode betegnes også central dierence, som kendes fradierensligninger.Begyndelsesbetingelserne skal ved start af integrationen kendes i punkterne 0 og −1. Normaltkendes kun hastigheden i punkt 0, og der skal derfor laves en speciel løsning i detførste punkt.Implicit metodeUdgangspunktet er i dette tilfælde en kendt tilstand i punkt n , dvs. kendte størrelser afv n , ˙v n og ¨v n . Tilstanden i punkt n + 1 beskrives udfra tilstanden i n og n + 1. Detteforklarer implicit, idet den i modsætning til den eksplicitte, er en interpolation der tagerhensyn til sluttilstanden. Der ndes ere forskellige implicitte metoder, og her er valgt densåkaldte Newmark metode med konstant gennemsnitsacceleration. De 2 parametre i Newmarksmetode betegnes δ og α, se f.eks. (Bathe 1982). Konstant gennemsnitsaccelerationfås for δ = 1 2og α = 1 4.Flytningen v n+1 interpoleres som:v n+1 = v n + ∆t2 ( ˙v n + ˙v n+1 ) (121)hvor det antages, at gennemsnitshastigheden er gennemsnittet af start og sluthastighed.Tilsvarende bestemmes hastigheden ˙v n+1 .˙v n+1 = ˙v n + ∆t2 (¨v n + ¨v n+1 ) (122)Bevægelsesligningen (108) ønskes opfyldt i punktet n+1, og ved indsættelse af udtrykkenefra (121) og (122) fås:K e v n+1 = R en+1 (123)hvorogK e = 4∆t 2 M + 2 ∆t C + K (124)R en+1 = R n+1 + M( 4∆t v 2 n + 4 ∆t ˙v n + ¨v n ) + C( 2 ∆t v n + ˙v n ) (125)I modsætning til den eksplicitte metode indgår stivhedsmatricen i den matrix, der skalfaktoriseres, og der er derfor ingen krav til M.Fremgangsmåden er, at bestemme den eektive last, Ren+1 , udfra tilstanden i punkt n.Bestemme v n+1 udfra (123), og så opdatere ˙v n+1 og ¨v n+1 udfra (121) og (122). Beregningsomfangetper tidsskridt er nogenlunde som ved den eksplicitte metode, hvis der ikke skerændringer i Ke. I modsætning til den eksplicitte er løsningen altid stabil, og man kan derfortypisk anvende noget større tidsskridt. Stabilitet skal ikke forveksles med nøjagtighed,og jo mindre tidsskridt jo mere nøjagtig.

24En anden ofte brugt implicit metode betegnes Wilsons θ-metode. Princippet er nogenlundedet samme. På et punkt er der dog en væsentlig forskel nemlig, at Wilsons metode indeholderen form for dæmpning specielt for den højfrekvente del. Dette kan være nyttigt ipraktiske beregninger, men den kan ikke kontrolleres direkte.Modal analyseI elementmetodebeskrivelsen er udgangspunktet de ytningsovertallige i knuderne, og antalletaf frihedsgrader benævnes n. Udgangspunktet i modalanalysen er i stedet at beskrivetilstanden ved hjælp af systemets egensvingninger. Der er ligeså mange egensvingningsfrekvenserog dermed egensvingningsformer, som der er frihedsgrader.Som variable benyttes de såkaldte normalkoordinater, η i , og ytningstilstanden i konstruktioner,v, kan skrives somv = Uη (126)hvor η indeholder normalkoordinaterne, og matricen U indeholder egensvingningsformerneu 1 til u n søjlevis, som vist i nedenstående ligning (127). Størrelsen af normalkoordinaterneafhænger af den valgte normering af egensvingningsformerne.⎧⎫⎪⎨ . . . ⎪⎬U = u 1 u i u n⎪⎩⎪⎭...(127)I det styrende dierentialligningssystem formuleret i (108) indføres normalkoordinaternevha. (126).MU¨η + CU ˙η + KUη = R(t) (128)hvor ˙η og ¨η er henholdsvis hastigheder og accelerationer for normalkoordinaterne. Vedat multiplicere med u T i , hvor u i er den i'te egensvingningsform, i ligning (128) omskrivesligningssystemet tilu T i MU¨η + u T i CU ˙η + u T i KUη = u T i R(t) i = 1, · · · , n (129)Idet ortogonalitetsbetingelsen fra (116) udnyttes fåsu T i MU¨η = u T i Mu i¨η i = m i¨η i i = 1, · · · , n (130)u T i KUη = u T i Ku i η i = k i η i i = 1, · · · , nhvor m i og k i betegnes henholdsvis den generaliserede masse og stivhed for normalkoordinati.Hvis der benyttes Rayleigh dæmpning, (111), kan en generaliseret dæmpning indføres som:c i = αm i + βk i i = 1, · · · , n (131)

25For belastningsleddet indføres tilsvarender i = u T i R(t) i = 1, · · · , n (132)Med indførelse af de generaliserede størrelser skrives dierentialligningssystemet som:m i¨η i + c i ˙η i + k i η i = r i i = 1, · · · , n (133)Med indførelse af normalkoordinaterne er der opnået det meget væsentlige, at de n koblededierentialligninger i (128) er omskrevet til n ukoblede dierentialligninger. Den enkelte differentialligningkan løses med de metoder, der er beskrevet for systemer med 1 frihedsgrad.En væsentlig forudsætning har været, at dæmpningen er beskrevet ved en linearkombinationaf masse- og stivhedsmatrix. Hvis det ikke er tilfældet afkobler dæmpningsleddene ikkeindbyrdes. Ved at anvende de dæmpede egensvingningsformer kan modal dekompositionanvendes med mere komplicerede dæmpningsmatricer, jvf. (Langen and Sigbjörnsson 1979).Et væsentligt problem i den forbindelse er dog, at egensvingningerne beskrives komplekst,idet der udover en amplitude også skal beskrives en faseforskydning, jvf. (14).Omskrivningen til normalkoordinater kræver, at egensvingningsformerne beregnes, og degeneraliserede masser, stivheder, og dæmpninger beregnes. Disse indledende step er uafhængigaf selve belastningen, og den enkelte konstruktion kan efterfølgende let analyseres forforskellige belastningshistorie. En væsentlig forudsætning er også, at systemet ikke ændrersig, og man vil derfor kun kunne analysere lineære systemer.Den dynamiske opførsel kan i langt de este tilfælde beskrives tilstrækkeligt nøjagtigt vedanvendelse af egensvingningsformerne hørende til de laveste egenfrekvenser. De højfrekventedele har ingen større indydelse på konstruktionens respons overfor dynamisk last.Ligningssystemet i (133) begrænses da til¨η i + 2ζ i ω i ˙η i + ω 2 i η i = r im ii = 1, · · · , M (134)hvor antallet af indgående egenfrekvenser M er væsentligt lavere end antallet af frihedsgrader,n. Hermed reduceres det indledende beregningsarbejde betydeligt uden at nøjagtighedenforringes væsentligt. I (134) er indført den relative dæmpning, ζ i , jvf. (11).Fra (7), (11) og (12) fåsk i = ω 2 i m i (135)ζ i =2c i√k i m i=c i2m i ω iOfte angives dæmpningen direkte ved ζ i i stedet for faktorerne α og β i Rayleigh dæmpningen.Hermed kan dæmpningsforholdet varieres for de forskellige egensvingningsformer.Modalanalysen bruges både til at beskrive de tvungne svingninger, (13) og transientepåvirkninger, (35) eller (46). Ved de tvungne svingninger beregnes forstærkningsfaktoren(31) og faseforskydningen (34) for hver enkelt egensvingningsform og bidragene superponeres.Den transiente analyse bruger det samme superpositionsprincip, og til tidsintegrationaf den enkelte dierentialligning kan benyttes de sædvanlige metoder, f.eks. Newmarksmetode (121)-(125).

Ved analysen anvendes normalkoordinaterne direkte, men resultaterne præsenteres bedst iytningerne direkte, og transformationen er direkte ved hjælp af (126).Antallet af indgående egensvingningsformer M inuerer på både regnenøjagtighed ogtidsforbrug. En god målestok er den nøjagtighed, hvormed den statiske belastning kanbestemmes, dvs. for en belastning med frekvensen 0.For den transiente analyse er de primære beregningsresultater tidshistorier for ytningerne,men udfra disse kan de tidslige variationer af snitkræfter bestemmes.26

27LitteraturBathe, K. (1982). Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall.Clough, R. and Penzien, J. (1975). Dynamics of Structures, McGraw-Hill.Damkilde, L. (1990). Elementmetoden for bjælkekonstruktioner, F118, BKM, Lyngby.Damkilde, L. (1999). A closed-form solution for a viscous damped sdf system subjected toa ramp load, p. 5.Kolousek, V. (1973). Dynamics in Engineering Structures, Butterworths.Langen, I. and Sigbjörnsson, R. (1979). Dynamisk analyse av konstruksjoner, Tapir, Trondheim.Meirovitch, L. (1986). Elements of Vibration Analysis, McGraw-Hill, Singapore.