Besvarelse - Forside for harremoes.dk

Opg 5Virksomheden X-Pe A/S startede 1/1 1993. Omsætningen i første 12 måneder :R(x) = −0,04∙x 4 + 0,5∙x 3 + 0,5∙x 2 ; x є ]0;12]. R(x) opgøres i 100.000 kr.x = antal år efter virksomhedens starta) Beskriv vha. monotoniforhold og ekstrema for R, hvorledes omsætningen iX-Pe A/S har udviklet sig siden starten i 1993.Svar : Finde monotoniforhold og ekstremer ved differentiation og løse R’(x) = 0R’(x) = −0,16∙x 3 + 1,5∙x 2 + x = x∙(−0,16∙x 2 + 1,5∙x + 1).R’(x) = 0 x = 0 eller −0,16∙x 2 + 1,5∙x + 1 = 0−0,16∙x 2 + 1,5∙x + 1 = 0 x = 10 eller x = −0,625Dvs. R’(x) = 0 x = 0 eller x = 10 eller x = −0,625Da x є ]0;12[ udelukker vi x = −0,625R’(x) > 0 for 0 < x < 10 og R’(x) < 0 for 10 < x ≤ 12;R’(x) har fortegn + 0 − omkring x = 10Dvs. omsætningen vokser for 0 < x ≤ 10 og omsætningen aftager for 10 ≤ x ≤ 12b) I hvilket år var omsætningen størst, og hvor stor var denne omsætning?Svar : maksimum i R(10) = 150 dvs. efter 10 år160140yomsætningenhed100000(10;150)f(x)=-0.04x^4+0.5x^3+0.5x^2Serie 11201008060R(x)=-0,04x 4 +0.5x 3 +0.5x 24020antal årx-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Opg 6Funktionerne f og g har forskrifterne f(x) = x 2 − 4∙x + 2 og g(x) = −x 2 + 4∙x − 2a) Vis, at tangenten med røringspunktet (1;f(1)) på grafen for f og tangenten medrøringspunktet (3;g(3)) på grafen for g har samme hældningskoefficient.Svar : Finde tangenternes stigningstal/hældningskoefficienter ved differentiation :f ’(x) = 2∙x − 4 og g’(x) = −2∙x + 4 ; f ’(1) = −2 og g’(3) = −2 dvs. f ’(1) = g’(3) = −2dvs. tangenterne har samme stigningstalTangenternes ligninger er :y = f ’(1)(x – 1) + f(1) y = −2(x – 1) – 1 y = −2x + 1y = g ’(3)(x – 3) + g(3) y = −2(x – 3) + 1 y = −2x + 7b) Beregn afstanden mellem røringspunkterne for de to tangenter.Svar : Anvend afstandsformlenf(1) = −1; f ’(1) = −2; g(3) = 1; g’(3) = −2 og disse værdier indsættes iafstandsformlen :22Afstanden d = ( g (3) − f (1)) + (3 − 1) = 8 = 2∙ 2 ≈ 2,83yf(x)=x^2-4x+2f(x)=-x^2+4x-254y=-2x+7f(x)=-2x+1f(x)=-2x+7Serie 1Serie 2f(x)=x-2y=-2x+132f(x)=x 2 -4x+21d=2,83x-2 -1 1 2 3 4 5 6 7(3;1)g(x)=-x 2 +4x-2-1(1;-1)-2

Opg 7AAlma får 8 kr. for hver bakke solbær og 5 kr. for hver bakke ribs. Solbær : 9 min ogribs : 4½ min.Alma kan højst tjene 350 kr. om dagen og højst arbejde 6 timer pr. dag. Størst muligomsætning til bæravler. Han får 14 kr. pr. bakke solbær og 8 kr. pr. bakke ribs.Hvor mange bakker solbær hhv. ribs vil bæravleren have Alma til at plukke pr. dag?Svar :Solbær (x) Ribs (y) MaksimumPlukning 9 min 4½ min 360 minIndtjening Alma 8 kr. 5 kr. 350 kr.Omsætning 14 kr. 8 kr.bæravlerKriteriefunktion : f(x,y) = 14∙x + 8∙y; x = antal bakker solbær, y = antal bakker ribsNiveaulinier: N(0): 14∙x + 8∙y = 0 y = − 47 ∙x;N(320): 14∙x + 8∙y = 320 y = − 47 ∙x + 40Betingelser: 9∙x + 4½∙y ≤ 360 y ≤ 80 − 2∙x og 8∙x + 5∙y ≤ 350 y ≤ 70 − 1,6∙xFinde skæringspunkt(er) mellem begrænsningslinierne y = 80 − 2∙x og y = 70 − 1,6∙xVed parallelforskydning af niveaulinierne i pilens retning ses, at maksimaleomsætning fås i punktet (25;30) med f(25;30) = 14∙25 + 8∙30 = 590Ved at tjekke hjørnepunkterne fås :f(0;70) = 560; f(40;0) = 560; f(25;30) = 590Dvs. 25 pakker solbær og 30 bakker ribs80(0;70)N(0)70605040302010f(x)=-2x+80Skravering 2f(x)=-1.6x+70Skravering 1Serie 1f(x)=-1.75xf(x)=-1.75x+40Serie 2Serie 3-10 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10yy=-2x+80N(320)(25;30)y=-1,6x+70(40;0)x