Behavioral Finance om Momentum og Reversion i aktieafkast - et ...

INDHOLDMartin Heissel4.2.2.3 Forventede afkast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.2.4 Fortolkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.2.5 Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2.6 Afsluttende bemærkninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.3 Om overlevelsen af noise tradere på længere sigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.4 Indikationer på at arbitrage er begrænset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Delkonklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 A model of investor sentiment (Barberis et al. [1998]) 445.1 Modellens antagelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Aktivets værdifastsættelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3 Under- og overreaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.5 Delkonklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 Investor Psychology and Security Market Under- and Overreaction (Daniel et al. [1998]) 586.1 Modellens antagelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Modellen med konstant selvtillid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.1 Over- og underreaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.2 Autokorrelation og volatilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Simpel og stiliseret model med udfaldsafhængig selvtillid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Dynamisk model med udfaldsafhængig selvtillid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.5 Illustration ved simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.6 Delkonklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 A Unified Theory of Underreaction, Momentum Trading, and Overreaction in Asset Markets(Hong & Stein [1999]) 737.1 Modellens antagelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2 Modellen kun med Nyhedshandlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.3 Tilføjelse af Momentumhandlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3.1 Bestemmelse af ligevægten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3.2 Egenskaberne for stationære ligevægte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.4 Illustration af modellen ved numerisk komparativ statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.4.0.1 Diffusionsparameteren (z) ............................... 847.4.0.2 Momentumhandlernes tidshorisont (j) ........................ 857.4.0.3 Momentumhandlernes risikotolerance (γ) ...................... 877.5 Delkonklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88iv

INDHOLDMartin Heissel8 Opsamling og de empiriske test 888.1 Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.2.1 Modellernes testbare implikationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.3 Delkonklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989 Konklusion 1009.1 Kritikken, begrænsningerne og den fremtidige forskning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.1.1 Modellernes begrænsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.1.2 Perspektivering og Behavioral Finance fremadrettet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A Appendiks 105A.1 Efficient Market Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105B.1 De Long et al. [1990] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105C.1 Barberis, Shleifer & Vishny [1998] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106D.1 Daniel, Hirshleifer & Subrahmanyam [1998] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111E.1 Hong & Stein [1999] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113F.1 Chan et al. [2004] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118v

Martin Heissel1 IndledningTil forståelse af de finansielle markeder, har videnskaben traditionelt tyet til modeller der antager fuld rationalitet.Hermed menes to ting; For det første betyder fuld rationalitet, at alle agenter i tilfælde af nytilkommeninformation opdaterer deres forventninger korrekt forstået således, at dette sker i tråd med Bayes’ lov 1 . Dernæsttræffes - givet disse forventninger - beslutninger der er normativt acceptable i den forstand, at de er foreneligemed teorien om subjektiv forventet nytte (SEU) (Savage [1954]). Med ovenstående udgangspunkt udvikledeSharpe [1964], Litner [1965] og Mossin [1966] Capital Asset Pricing Model (CAPM) og Ross [1976] ArbitragePricing Theory (APT) der, grundet deres simple opbygning og intuition, har præget finansieringslitteraturenlige siden. Flere års intens forskning har dog desværre vist, at en række identificerede tendenser i data ikke ladersig særligt godt forklare af disse teorier. Dette gælder således både aktiedata på aggregeret og tværsnits-niveausamt de individuelle investorers handlinger i markedet.Behavioral Finance er disciplinen der forsøger at forklare disse ”anomalier” ved primært at slække på antagelsenom fuld rationalitet. I tråd med ovennævnte lader dette sig gøre ved 1) at agenterne ikke anvenderBayes’ lov korrekt i opdateringen af forventninger 2) agenterne opdaterer forventninger korrekt, men træfferikke beslutninger der harmonerer med SEU.Kritikken af Behavioral Finance kan overordnet inddeles i to kategorier. Den ene kritik baserer sig påbegrebet arbitrage og er funderet i Friedman [1953], hvor afvigelser i prisdannelsen hurtigt udnyttes - og dervedneutraliseres - af markedets rationelle investorer.Det andet kritikpunkt går på selve modelleringen af agenternes forventninger og præferencer, hvor kritikernemener at inddragelsen af resultater fra eksperimentel psykologisk forskning åbner en ”Pandoras æske” for ad-hochistorier uden nogen særlig forklarende evne (Daniel et al. [1998]).Et af fagområdets største succeser er imidlertid en række teoretiske artikler der dokumenterer, at interaktionenmellem rationelle og irrationelle agenter kan have en betydelig og længerevarende effekt på priserne imarkedet. Hvad angår modelleringen af forventninger og præferencer, så bunder teorierne i en række psykologiskeeksperimenter der afslører, hvordan individer faktisk agerer i virkelige situationer. Daniel et al. [1998] notereri den forbindelse, at en Behavioral Finance teori retfærdigvis må forventes at være parsimonisk, kunne forklareen række observerede anomalier og ikke mindst fordre nye implikationer for at være et seriøst supplement tilden traditionelle teoretiske ramme indenfor finansieringslitteraturen.1.1 MotivationSom del af et udvekslingsophold ved University of Sydney i foråret 2009 fulgte jeg faget FINC6022 BehaviouralFinance og blev inspireret til yderligere studier indenfor området. Da Behavioral Finance traditionelt ikke fårstor opmærksomhed ved Institut for Økonomi, fandt jeg det oplagt at behandle emnet i min kandidatafhandling.Behavioral Finance er ikke noget nyt fænomen, men synes i særdeleshed at blomstre når markederne oplever1 Den statistiske relation, der angiver forholdet mellem en betinget sandsynlighed og dens inverse.1

1.2 Opgavens formål Martin Heisselpludselige og store udsving. Således er en stor del af litteraturen centreret omkring forklaring af aktiemarkedernesfald i henholdsvis 1987 (19. Oktober) og 2000 (IT-boblen), og senere retfærdiggjort ved ex-post undersøgelser aftidligere hændelser (1634, 1711 og 1929) 2 .Siden2008harinvestorerneatteroplevetstorturbulenspåalverdensaktiemarkeder, og igen blomstrer Behavioral Finance i såvel medier som akademiske kredse.Den voksende interesse for Behavioral Finance synes forståelig, da mange af disse uregelmæssigheder ikke kanforklares i det eksisterende finansielle teoriapparat. I deres søgen på mulige forklaringer har en række økonomerderfor set mod psykologiens verden. Og netop kombinationen af psykologi og økonomi er Behavioral Finance.Dette gør dog også, at litteraturen til stadighed er meget diversificeret og nogle gange synes usammenhængende,hvilket blot er én af de mange udfordringer som Behavioral Finance står overfor. Denne generelle adspredelsemotiverede mig til at samle trådene indenfor en specifik gren af Behavioral Finance - en proces der har resulteretidenneafhandling.1.2 Opgavens formålAfhandlingen har til formål at formidle læseren en samlende og struktureret ramme til forståelse af de adfærdsmæssigeforklaringer på en række finansielle anomalier der er introduceret i litteraturen. Dette gøres i hovedtrækved følgende tvedeling1. en introduktion til Behavioral Finance samt en redegørelse for disciplinens centrale elementer2. en analyse af én af de mange grene af operationaliseringer der er fulgt i kølvandet på den generelle acceptaf elementerne i Behavioral FinanceFor at besvare ovenstående formål er det indledningsvist nødvendigt at vurdere de tilgrundliggende anomalier.Dette søges gjort ved en redegørelse for et udsnit af de fundne fænomener, der står som indikationer på, at definansielle markeder sjældent beskrives særligt præcist ved det traditionelle paradigme. Dette tjener overordnetset som baggrunden for fremkomsten af Behavioral Finance som disciplin.Kapitlerne 4 - 7 er centrum for afhandlingens formål. Ved at præsentere og definere nogle af de vigtigsteelementer fra den kognitive psykologi vil afhandling introducere dette ene grundelemet af Behavioral Finance.Det andet element vil afhandlingen belyse gennem en analyse af en generel teoretisk model samt empiriskeobservationer om begrænset arbitrage. Kapitel 4 svarer således afhandlings første formål.De ovennævnte elementer er vigtige underliggende antagelser i modellerne i kapitlerne 5 - 7. Her analyseresden gren af operationalisering, der omhandler forklaringen af en specifik form for afkastforudsigelighed - detempirisk observerede momentum og reversion iaktieafkast.For fuldstændighed om afhandlingens formål må også en vurdering af modellernes retfærdiggørelse foreligge.Dette søges gjort ved et litteraturstudie over de empiriske studier, der ved undersøgelser af finansiel data har2 1634: Tulipan-krakket (Holland), 1711: South Sea Bubble (England) & 1929: Depressionen (USA)2

1.3 Afgrænsning Martin Heisselbeskæftiget sig med test af de foreslåede modeller.Det skal understreges, at afhandlingens formål er at formidle en alternativ og deskriptiv anskuelse af prisdannelsenpå de finansielle markeder. Afhandlingen forsøger derfor ikke at afgøre spørgsmålet om markedsefficiens,ligesom der ikke søges en konklusion på sandheden af den traditionelle finansielle opfattelse kontra BehavioralFinance. Hermed bidrager afhandlingen ikke til polariseringen mellem disciplinerne, hvilket skal ses i lyset af, atvirkeligheden næppe er fuldt indeholdt i én af de to “trosretninger”, men nærmere i en endnu udefineret hybridaf disse.1.3 AfgrænsningI takt med den stigende interesse for Behavioral Finance, har litteraturen udviklet sig til at være meget omfattendeog diversificeret. Der er derfor, af omfangsmæssige begrænsninger, gjort er række afgrænsninger.Helt overordnet baserer Behavioral Finance sig på to grundpiller; (i) teorien om begrænset arbitrage og (ii)kognitiv psykologi. Fokus vil her være på førstnævnte, men centrale aspekter af den kognitive psykologi vil blivegennemgået for forståelsen af de teoretiske modeller der behandles senere i afhandlingen.Dernæst har både den empiriske og teoretiske forskning primært været fokuseret indenfor følgende tre områder:(i) analyser af udviklingen i aktieafkast (ii) forskning i handelsaktivitet og porteføljevalg (iii) Event studier ogcorporate finance (Subrahmanyam [2008]). Nærværende afhandling begrænser sig til at behandle det førstnævnteemneområde, hvor modelleringen af de empirisk observerede fænomener over- og underreaktion, momentumog reversion er afhandlingens hovedtema.For så vidt angår den teoretiske modellering med irrationelle agenter, kan denne inddeles i to klasser afmodeller; (i) præference-baserede og (ii) forventnings-baserede. Afhandlingenerudelukkendekoncentreretomde forventnings-baserede modeller, hvor det er investorernes reaktion på nyheder samt interaktionen melleminvestorer i markedet der er i fokus. De præference-baserede modeller, der primært baserer sig på nytteteori, vilsåledes ikke blive berørt 3 .1.4 Afhandlingens opbygningEfter denne indledning er den resterende del af afhandlingen organiseret som følger; Kapitel 2 redegør indledningsvistpå uformel vis for Efficient Market Hypothesis (EMH) samt det teoretiske og empiriske grundlagherfor. I Kapitel 3 præsenteres en række empiriske undersøgelser der betvivler rigtigheden i EMH og såledesdokumenterer de for afhandlingen relevante anomalier.Kapitel 4 introducerer Behavioral Finance der mener at kunne levere forklaringer på disse anomalier. Kapitletdefinerer og forklarer samtidig nogle af de vigtigste elementer indenfor den kognitive psykologi, teorien ombegrænset arbitrage og den fortsatte tilstedeværelse af irrationelle investorer.Kapitlerne 5, 6 og 7 er afhandlingens centrale kapitler, hvor tre forskellige modeller der tillader investorirrationalitetpræsenteres og analyseres for at besvare afhandlingens formål.3 i denne kategori findes eksempelvis Barberis et al. [2001] og Barberis & Huang [2001].3

Martin HeisselHerefter følger en opsamlig på disse modeller i kapitel 8 der desuden indeholder et kort litteraturstudie afde empiriske test på de i afhandlingen behandlede modeller. Kapitel 9 konkluderer.2 Efficiente finansielle markeder”I believe there is no other proposition in economicswhich has more solid empirical evidence supporting itthan the Efficient Market Hypothesis.”[Jensen 1978, p. 95]Et efficient finansielt marked karakteriseres i Fama [1970] som værende et marked, hvor priserne fuldt udreflekterer al tilgængelig information. Relationen til virkelighedens finansielle markeder findes i Efficient MarketHypothesis (EMH) der siger, at alle virkelige finansielle markeder er efficiente. For empirisk at kunne teste dennehypotese er det dog nødvendigt at definere hvad der menes med, at priserne indeholder ”al tilgængelig information”.Traditioneltharmanhertilanvendtmodellerforaktivernesforventedeafkast,hvordettebestemmessomen funktion af den tilgængelige informationsmængde og aktivets risiko. Formelt kan ligevægtsbetingelserne forsådanne modeller beskrives ved E ˜p j t+1 | Φ t = 1+E ˜r j t+1 | Φ t p j thvor E er forventningsoperatoren, p j t er prisen 4 på aktiv j til tid t, r j t+1 er en-periodes afkastet5 på aktiv j ogΦ t er den givne mængde af tilgængelige informationer der antages indeholdt i priserne.Den absolut mest betydningsfulde implikation af EMH er, at ingen investeringsstrategi baseret på dentilgængelige information kan tjene et overnormalt afkast (Fama [1970]) 6 .Denenkelteinvestorspilderaltsåsineressourcer på eksempelvis at analysere og udvælge aktier og vil derfor være bedre stillet ved blot at holde enpassiv investering i markedsporteføljen, givet at EMH holder.2.1 Det teoretiske grundlag for EMHDet teoretiske grundlag for EMH hviler på tre argumenter, hvor antagelserne svækkes progressivt. For det førsteantages det at alle investorer er rationelle og altså prisfastsætter aktiverne rationelt. At investorerne er rationellebetyder traditionelt, at prisen er lig aktivets fundamentale værdi: nutidsværdien af alle fremtidige cash flowshvor diskonteringen tager højde for risikoens karakteristika 7 .Det betyder ligeledes, at investorerne reagerer hurtigt og korrekt på nyheder om disse fremtidige cash flows.En god (dårlig) nyhed afspejles således øjeblikkeligt i markedet af en højere (lavere) pris.4 tilderne indikerer at priser og afkast er stokastiske.5 procentvis afkast, dvs. pj t+1 −pj t.p j t6 Se Appendiks A.1 på side 105 for en formel udledning.7 nyere forskning foreslår et teoretisk mere attraktivt alternativ. Christensen & Feltham [2009] viser, hvorledes risikojusteringenbør foretages i de estimerede cash flows (fundamentaliteter) og derfor diskonteres med rene nulkuponrenter. Fremgangsmåden erisær tiltalende, da rentestrukturen for nulkuponer netop er “prisen på penge”, og ikke længere er en reel udfordring at estimereudfra handlede obligationer.4

2.2 Det empiriske grundlag bag EMH Martin HeisselBlandt de tidligste støtter herfor er Samuelson [1965] der viser, at afkastet i en økonomi med rationelle ogrisiko-neutrale investorer følger en random walk, hvormed der menes, at fremtidige kursændringer er identisk oguafhængigt fordelte stokastiske variable 8 .Deterdogsenereblevetanerkendt,atafkasteneikkenødvendigviserhelt så uforudsigelige når der ændres på investorernes risikovillighed. Under disse antagelser sikrer agenternesrationalitet dog stadig, at ingen kan tjene overnormale profitter. EMH er således først og fremmest et resultataf ligevægten i et marked karakteriseret ved fuldkommen konkurrence og fuldt rationelle investorer.Slækkes der på antagelsen om fuld rationalitet, kan EMH dog stadig fastholdes når blot det antages, atinvestorererne handler fuldstændigt tilfældigt. Når handelsmønstrene er ukorrelerede, er det forventeligt, at positionernepå aggregeret niveau vil udligne hinanden. Det ligger derfor implicit i EMH, at irrationelle investorerikke kan påvirke priserne i markedet.Skulle det endeligt anerkendes, at investorernes dispositioner måske alligevel kan influere priserne, da antagesmarkedets fuldt rationelle investorer – arbitragørerne –atudnyttedenfejlagtigeprisdannelseogsåledesbringepriserne tilbage til aktivets fundamentale værdi. Dette er, som først demonstreret i Friedman [1953], baseret påprincippet om arbitrage 9 .Lad os for illustrationens skyld sige, at en aktie er handlet over sin fundamentale værdi af irrationelleinvestorer. Aktien er nu et ”dårligt køb”, og arbitragører vil derfor sælge eller shorte 10 aktien og samtidig købeen substitut i form af en aktie med samme karakteristika og risikoprofil. Findes der en sådan perfekt substitut,hedges arbitragørens risiko fuldstændigt, og han tjener en risikofri profit. Effekten heraf er, at priserne handlestilbage mod aktivernes fundamentale værdi.Er der desuden mange arbitragører i markedet vil konkurrencen om denne risikofrie profit endvidere sikre,at kurserne aldrig handles langt væk fra den fundamentale værdi. Arbitragørerne selv vil således have svært vedat tjene overnormale profitter. Efficiente markeder kan derfor godt bestå uden fuld rationalitet, når blot derfindes nære (perfekte) substitutter.En yderligere implikation af ovenstående illustration er det faktum, at irrationelle investorer der køber deovervurderede aktier vil tabe penge. Dette vil på sigt udhule deres formue, hvorfor de i sidste ende vil forlademarkedet. Markedet vil derfor på langt sigt være efficient som følge af dels arbitrage og konkurrence.2.2 Det empiriske grundlag bag EMHDe empiriske implikationer og test af EMH baserer sig på forudsigelser om samspillet mellem tilgangen af nyinformation og prisbevægelserne på de finansielle markeder. Dette skyldes impikationen om, at ny informationskal indregnes både korrekt og hurtigt i priserne.8 Afkastene er hermed uforudsigelige, da sandsynligheden for en kursstigning er lig sandsynligheden for et kursfald den følgendedag. Kursudviklingen er således uafhængig af historik og niveau, hvorved dagens kurs er det bedste bud på morgendagens kurs.9 Sharpe & Alexander [1990] definerer arbitrage som: ”det simultane køb og salg af samme, eller essentielt identiske, aktiv i toforskellige markeder til fordelagtigt forskellige priser”.10 at sælge en aktie man ikke ejer, men låner. Investoren der shorter forventer en faldende kurs, og at aktien derfor senere kankøbes billigere og leveres tilbage til den oprindelige ejer.5

2.2 Det empiriske grundlag bag EMH Martin HeisselKorrekt betyder i den henseende, at tilpasningen hverken udviser over- eller underreaktion til ny information.Momentum eller reversion er således ikke fænomener der skal kunne observeres i markedet.Med hurtig tilpasning menes, at investeringer baseret på forældet information, som eksempelvis avisartikler,årsrapporter og andet materiale der distribueres langsomt, ikke kan være profitable, da denne informationallerede skal være indeholdt i priserne.Herudover skal markedet udvise, hvad man kan kalde ”non-reaction to non-information”. Daprisenafspejlerden fundamentale værdi, må der altså ikke kunne observeres kursreaktioner ved ændringer alene i udbud ogefterspørgsel, der ikke skyldes fundamentale nyheder.Som nævnt indledningsvis i kapitel 2 kræver empiriske test af disse implikationer en fælles forståelsesrammeaf henholdsvis information og profit. At en investering har et positivt cash flow over tid er således ikkeensbetydende med, at investoren tjener penge, og markedet derfor er inefficient. Dette skyldes, at investorenpåtager sig en risiko, og at afkastet blot kan vise sig at være markedets kompensation for denne risiko. Detvanskelige og kontroversielle ligger da i at måle risikoen på en given investeringsstrategi – en problemstilling derkræver en model for sammenhængen mellem afkast og risiko. Her har specielt CAPM 11 vundet generel acceptog udbredelse i finansieringslitteraturen.Til at håndtere informationsaspektet har EMH i litteraturen været testet i tre overordnede kategorier, der iJensen [1978] beskrives som• Svag EMH: hvor mængden af tilgængelige information, Φ t ,bloterdeninformationdereridenhistoriskekursudvikling frem til tid t.• Semi-stærk EMH: hvor informationsmængden, Φ t , indeholder al offentliggjort information. Denne mængdeindeholder naturligvis den historiske kursudvikling (svag EMH), men derudover også informationer i formaf regnskabsmeddelelser, avisartikler, ledelsesberetninger og lignende.• Stærk EMH: hvormængdenafinformation,Φ t ,erudtømmende.Alinformation(såveloffentligsominsider)er således indregnet i priserne.Som så mange andre teorier var EMH et forsøg på at forklare en række empiriske observationer, og det erderfor ikke umiddelbart overraskende, at undersøgelserne i 1960’erne og 70’erne gav massiv støtte til EMH.Eksempelvis finder Fama [1965] ikke bevis for en systematisk profitabilitet ved de såkaldt tekniske investeringsstrategier12 .Dettestøtterhypotesenom,ataktiekursernefølgerenrandomwalk 13 ,ogsåledesogsådensvage11 E (R i )=R f + β i`E (Rm) − R f´12 Strategier hvor man eksempelvis køber aktier der lige er steget, og sælger aktier der lige er faldet.13 Se evt. også Paul H. Cootner: ”The Random Character of Stock Market Prices”, Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, (1964) samtEugene Fama & Marshall Blume: "Filter Rules and Stock Market Trading", Journal of Business, Vol.39,(Jan.1966),pp.226–241.6

2.3 Delkonklusion Martin Heisselform af EMH.Som støtte for den semi-stærke EMH finder eksempelvis Keown & Pinkerton [1981] ved et event studie 14 ,at kursen på virksomheder under opkøb stiger i perioden op til den endelige offentliggørelse af overtagelsen 15 .På dagen hvor overtagelsen offentliggøres stiger kursen øjeblikkeligt til et nyt niveau, men efterfølges hverkenaf en opadgående trend eller tilbagefald, hvilket er helt i tråd med hypotesen om semi-stærk EMH.Blandt de empiriske beviser på implikationen om at kurserne ikke skal reagere på ændringer alene i udbud/efterspørgselder ikke følges af fundamentale nyheder, er bl.a. Scholes [1972] der undersøger effekten afstore aktiesalg 16 .EMHoperationaliseresi,hvadhankalderSubstitutions Hypotesen –detatinvestorerneerindifferentemellem aktiver med samme risikoprofil (nære substitutter). Argumentet er da, at når en stor aktiepostsættes til salg, vil en lang række investorer være villige til at øge deres beholdning af denne aktie – og måskereducere en anden for at holde porteføljens risiko konstant – uden væsentligt kompensation i form af prisrabat.Scholes [1972] finder netop, at kursreaktionen ved salg af store aktieposter er ganske beskeden.2.3 DelkonklusionEfficient Market Hypothesis påstår, at de finansielle markeder i deres natur er informationelt efficiente forståetpå den måde, at aktivernes aktuelle markedsværdi til enhver tid afspejler al den tilgængelige information.Resultatet er derfor, at man som investor på de finansielle markeder umuligt kan tjene risiko-justerede afkastudover hvad der genereres af markedsporteføljen. To af de vigtigste elementer er i den henseende arbitrage ogfuldkommen konkurrence, der sikrer at eventuel kortsigtet inefficiens udnyttes og neutraliseres på længere sigt.EMH er blevet fremsat i tre former - alle med forskellige implikationer for hvorledes markederne fungerer.Svag EMH antyder, at informationen i historiske priser ikke kan forklare den fremtidige prisudvikling. SemistærkEMH går skridtet videre og anfører, at også offentligt tilgængelig information indregnes øjeblikkeligt.Endelig fordrer stærk EMH, atalinformation-såveloffentligsomprivat-erindeholdtipriserne.De empiriske test har indtil 1980’erne ydet massiv støtte til EMH. Disse har som oftest taget udgangspunkti den svage eller semi-stærke form, da stærk-form EMH i sagens natur er svær at teste.Den tidlige støtte til EMH er siden midten af 1980’erne og eftertiden kommet under stadigt større pres fra enrække empiriske undersøgelser, der med forbedrede metoder og datagrundlag har påvist en række fænomener,der ikke lader sig forklare udfra hypotesen. Disse er i litteraturen blevet benævnt anomalier og vil være temaetfor det følgende kapitel.14 først introduceret i Fama et al. [1969] og senere hyppigt anvendt til undersøgelse af kursreaktion på diverse selskabsmeddelelsersåsom aktieudstedelser og –tilbagekøb, dividender, regnskabsmeddelelser, etc.15 Bemærk i øvrigt, at dette afkræfter EMH i den stærke form, da al information således ikke er indregnet øjeblikkeligt i priserne.Keown & Pinkerton [1981] begrunder kursudviklingen med, at der løbende lækkes information i opkøbsprocessen.16 Scholes [1972] ser på såkaldte ”secondary distributions”, hvor store aktieandele sælges af samme investor gennem en investeringsbank.7

Martin Heissel3 Inefficiente finansielle markederDen store støtte til EMH blev i tiden efter 1980’erne udfordret af en række empiriske opdagelser, der var imodstrid med teorien. For det første blev det sværere at fastholde argumentet om, at alle agenter i økonomiener fuldt rationelle. Eksempelvis er det kendt, at investorerne ofte lytter til finansielle guruer 17 og aktieanalyser,påtager sig for store risici i form af manglende diversificering og handler alt for meget i forhold til hvad derretfærdiggøres ved EMH. Disse irrationelle investorer, hvis handlinger ikke følger de normative modeller, er ilitteraturen blevet benævnt noise traders (Kyle [1985]) og er et helt centralt element indenfor Behavioral Finance.Som nævnt i afsnit 2.1 er tilstedeværelsen af irrationelle investorer ikke kritisk for EMH, når blot det antages,at disse handler ukorreleret. Fra en række psykologiske eksperimenter er det imidlertid vist, at dette ikkeer tilfældet (Kahneman & Riepe [1998]). Generelt kan individernes systematiske afvigelser fra det traditionelleøkonomiske rationalitetsbegreb inddeles i tre kategorier.For det første stemmer menneskers (investorers) risikoattituder ikke overens med forudsigelserne fra VonNeumann-Morgenstern rationalitet 18 .Nårinvestorerståroverforatskulletagebeslutningerunderusikkerhed,er det altså ikke så meget det potentielle fremtidige formueniveau, men nærmere tab og gevinst set i forhold tilet givet referencepunkt der er bestemmende for beslutningerne der tages. Disse præferencer defineres første gangi Kahneman & Tversky [1979] i en værdifunktion (nyttefunktion) der udviser tabs-aversion. Dette modelleresideres”Prospect Theory” ved en værdifunktion der er stejlere og konveks for tab samt fladere og konkav forgevinster 19 . Implikationen heraf er, at agenterne er risiko-averse i domænet for gevinster, men risiko-søgendeover tab.For det andet synes investorerne generelt at bryde Bayes’ lov i deres opdatering af forventningerne til fremtiden.Specifikt finder Kahneman & Tversky [1973], at individer i deres forecast er hæmmede af repræsentativitethvilket betyder, at agenterne i deres forventningsdannelse ukritisk benytter (korte) historiske dataserier til atforecaste fremtiden. I finansielle termer svarer dette eksempelvis til, at investorerne risikerer at ekstrapolere enhistorisk kursudvikling eller indtjeningsserie ud fra en forkert model og dermed begår klare fejl i forhold til dettraditionelle rationalitetsbegreb.Endeligt er det vist, at individer tager forskellige beslutninger, alt efter hvordan en given problemstillingpræsenteres, således at formuleringen bliver essentiel. Fænomenet - framing - illustreres i Benartzi & Thaler[1995] der finder, at investorer er mere villige til at investere i aktier end obligationer, når de præsenteres foraktiernes afkast på langt sigt frem for de mere volatile kortsigtede aktieafkast.Det er med ovenstående gennemgang klart, at handlingerne foretaget af noise traders ikke synes at være tilfældigeog ukorrelerede, men derimod systematiske afvigelser. Dette begrænser sig dog ikke kun til individuelle17 Warren Buffet og George Soros kan nævnes som to af de mest indflydelsesrige.18 defineret ved de stringente antagelser om Fuldstændighed, Transitivitet, Kontinuitet og Uafhængighed.19 ”Prospect Theory” er et helt central element i de præferencebaserede modeller, men vil grundet afgrænsningen ikke uddybesnærmere i denne afhandling. For yderligere indsigt konsulteres Kahneman & Tversky [1979].8

Martin Heisselinvestorer. En stor del af kapitalen på aktiemarkedet bestyres af professionelle porteføljemanagere på vegne afeksempelvis pensionsselskaber og kapitalfonde. Disse porteføljemanagere er dog også mennesker og altså ogsåmulige ofre for den ovennævnte irrationalitet. Et empirisk eksempel herpå er Scharfstein & Stein [1990] der finder,at porteføljemanagere har en tendens til at vælge aktier, der også er valgt af andre porteføljemanagere forikke at komme til at fremstå dårligere end deres kollegaer/konkurrenter i en sammenligning af porteføljeafkast.Det kan derfor ikke udelukkes, at der findes irrationalitet blandt markedets betydende investorer. Dette erdog ikke i sig selv et bevis på markeds-inefficiens. Husk her på argumentet om, at risikofri arbitrage på sigt vilsikre, at markedet er efficient, selvom der givetvis findes irrationelle investorer.Det er imidlertid blandt de største succeser for Behavioral Finance at vise, at arbitrage er både begrænset ogrisikofyldt. Det synes umiddelbart, at markedet i sin helhed ikke har perfekte substitutter 20 ,ogatarbitragørerdermed ikke kan fastholde markedets aggregerede prisniveau ved hjælp af arbitrage (Campbell & Kyle [1993]).På enkelt-niveau synes det ligeledes svært at forestille sig perfekte substitutter. Nære substitutter er mererealistisk, men det er da værd at notere sig, at arbitrage ikke længere vil være risikofri. Et eksempel kan illustreredette: En arbitragør der eksempelvis forsøger at udnytte den relative prisfastsættelse mellem Brøndby IF (BIF),AaB A/S (AaB) og Århus Elite A/S (ÅE) vil måske gå kort i BIF (med forventning om dårlige fremtidsudsigter)og lang i en kombination af AaB og ÅE. På den måde har han elimineret en hel del af markedsrisikoen indenfor fodboldindustrien (underholdningsbranchen). Han bærer dog stadig den idiosynkratiske risiko, at BIF ifremtiden klarer sig relativt bedre end AaB og ÅE hvilket vil føre til tab på hans positioner. Når substitutternesom her er imperfekte, bliver arbitrage altså risikofyldt. Dette benævnes risiko-arbitrage og baserer sig altsåmere på den statistiske sandsynlighed om, at de relative priser konvergerer end visheden om dette (Shleifer[2000]).Endeligt er der - den måske noget tænkte situation - hvor perfekte substitutter rent faktisk eksisterer. Selvi denne situation vil arbitrage dog ikke være risikofri. En række artikler med De Long et al. [1990] 21 ispidsenhar således vist, at der eksisterer hvad de benævner noise-trader risk. Fejlen i den relative prisfastsættelse somarbitragøren forsøger at udnytte er som bekendt skabt af de irrationelle investorer (noise traders). Som følgeaf de irrationelle investorers uforudsigelige forventninger opstår risikoen for, at denne fejlagtige prisfastsættelsemidlertidigt vil forværres frem for at udlignes. De irrationelle investorer kan eksempelvis være pessimistiske oghandle en aktie ned for så i den nærmeste fremtid at blive endnu mere pessimistiske. Så selv hvis priserne påperfekte substitutter på det lange sigt med sikkerhed konvergerer, risikerer arbitragøren at lide tab på det kortesigt og vil derfor ikke kunne udnytte prisfejlen så aggressivt, som det kræves for at bringe priserne tilbage.Da arbitragører ofte karakteriseres som institutionelle investorer der er underlagt en række betingelser i formaf finansielle forhold, klientforhold, benchmarks og lignende, er det ligeledes ikke givet, at de vil kunne bibeholdederes positioner indtil den fejlagtige prisfastsættelse ophører. Arbitragen kan således være begrænset selv i etfinansielt marked med perfekte substitutter.20 hvilket er et krav for, at arbitragen kan være risikofri.21 modellen gennemgås senere i afsnit 4.2.2 på side 34.9

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselI det følgende illustreres en række empiriske observationer der antyder, at rationalitet og arbitrage ikkesikrer, at markederne er fuldt efficiente.3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsenEn lang række studier har forsøgt at dokumentere, hvorvidt de finansieller markeder fremstår som værendeefficiente eller ej. Den typiske tilgang til dette har været porteføljebaserede eventstudier, der behandler prisdannelsensreaktion på tilkomsten af ny information. Som nævnt i afsnit 2.2 implicerer fuldt efficiente markeder,at informationen indregnes korrekt og øjeblikkeligt. I det følgende refereres imidlertid til en række empiriskestudier, der dokumenterer anomalier netop i prisdannelsens reaktion til ny information. Specifikt gennemgås deepokegørende studier om anomalierne kendt som Vinder/Taber-effekten, Post-Earnings Announcement Drift ogMomentum 22 .Modargumentet mod konklusionerne i studier af denne type har først og fremmest været, at risikopræmiener fejlestimeret. Tilhængerne af EMH har således hævdet, at de fundne anomalier er et resultat af, at en ellerflere risikofaktorer ikke er prisfastsat - typisk ved, at den anvendte CAPM er fejlestimeret eller, at en eller flerefaktorer er udeladte i en Fama-French tilgang. Fælles for de følgende undersøgelser er dog, at de alle gennemtraditionelle test afviser, at anomaliet er kompensation for påtaget risiko.3.1.1 Overreaktion og Long-Term ReversionIndikationer på overreaktion i finansielle markeder har været kendt helt tilbage fra John Maynard Keynes, derbl.a. skrev at “...day-to-day fluctuations in the profits of existing investments, which are obviously of an empheraland nonsignificant character, tend to have an altogether excessive, and even absurd, influence on the market”[Keynes 1964, p. 17]Den adfærdsmæssige forklaring på fænomenet om overreaktion baserer sig på begrebet repræsentativitet(se senere afsnit 4.1.4 på side 27). Kort fortalt har individet, som følge af repræsentativitet, en tendens til atovervægte nylig information for højt i forhold til kendt data i opdateringen af dennes forventninger til fremtiden.3.1.1.1 Vinder/Taber effekten (De Bondt & Thaler [1985]) I De Bondt & Thaler [1985] testes hvorvidthypotesen om overreaktion er forudsigende. Hvis overreaktionen er systematisk, skulle reversion i aktiekursersåledes være forudsigelig udfra den historiske prisudvikling. I relation til gennemgangen i afsnit 2.2 er engodkendt hypotese om overreaktion altså et brud på den svage form af EMH.Undersøgelsen baserer sig på test, der søger at klarlægge hvorvidt, systematiske residualafkast i tiden efterporteføljedannelsen (t >0) kan kædes sammen med systematiske residualafkast i tiden inden porteføljedannelsen(t

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin Heisselbetydning, undersøges derfor både residualafkast målt ved markeds-justerede overnormale afkast, markedsmodellens23 residualer og endelig overnormale afkast givet ved CAPM. Da det viser sig, at konklusionerne ikkeafhænger af specifikationen rapporteres kun resultaterne, der er baseret på de markeds-justerede overnormaleafkast.Data, porteføljedannelse og afkast Undersøgelsen anvender månedsdata fra NYSE 24 og CRSP 25 forperioden januar 1929 til december 1982. Et ligevægtet gennemsnit af afkastene fra CRSP anvendes som mål formarkedsindekset og danner dermed grundlaget for de estimerede residualerû j,t = R j,t − R m,tFor at den enkelte aktie kan kvalificeres til datasættet kræves 85 ubrudte afkastobservationer (månederne 1til 85) op til porteføljedannelsen. Dette fordrejer givetvis datasættet til primært at bestå af store og veletableredevirksomheder, men kan da samtidig stå som bevis for at hypotesen om overreaktion ikke er et fænomender udelukkende findes for små aktier, hvor informationsflowet alt andet lige er mere begrænset. Begrænsningenresulterer i, at de enkelte porteføljedannelser varierer fra 347 til 1.089 deltagende aktier.Første porteføljedannelse sker i december 1932 (måned 84). I henhold til de enkelte aktiers akkumulerede 0overnormale afkast i de 36 foregående måneder 26 t=−35 u jt dannes såvel en vinder-portefølje (V ) beståendeaf de 35 bedste aktier som en taber-portefølje (T ) af de 35 dårligste aktier. Denne procedure gentages hverttredje år således, at der dannes 16 ikke-overlappende 3-årige perioder (n =1,...16) med start i december 1932,december 1935 osv. indtil december 1977.For hver af disse 16 perioder bestemmes dernæst det akkumulerede residualafkast for alle aktierne i henholdsvisvinder- og taber-porteføljen for hver af de 36 måneder (dvs. CAR V,n,t og CAR T,n,t ). For de førsteporteføljer - dannet i december 1932 - er dette altså for perioden januar 1933 til december 1935 27 .Artiklens resultater Hypotesen testes ud fra porteføljernes gennemsnitlige akkumulerede afkast for hvermåned efter porteføljedannelsen. Der bestemmes derfor 36 gennemsnitlige akkumulerede afkast CAR forhenholdsvis taber- og vinder-porteføljen. Hypotesen om overreaktion forudsiger da, at for t>0 (dvs. efterporteføljedannelsen) vilCAR V,t < 0 og CAR T,t > 023 R j,t = α j + β j R m,t + j,t ⇐⇒ j,t = R j,t − (α j + β j R m,t), hvorR m,t er markedsporteføljens afkast, og R j,t er aktie j’s afkasttil tid t.24 New York Stock Exchange.25 the Center for Research in Stock Prices (Booth School of Business, the University of Chicago).26 månederne 49 til 84.27 for de sidste porteføljer bliver det således januar 1978 til december 1980.11

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin Heisselog således implicit atCAR T,t − CAR V,t > 0Figur 1 illustrerer artiklens hovedkonklusion, der er til støtte for hypotesen om overreaktion. Over de 36måneder efter porteføljedannelsen genererer taberporteføljen (de historisk dårligste aktier) et afkast, der er 19,6%bedre end markedet. I modsætning hertil leverer vinderporteføljen i gennemsnit et afkast, der er 5% dårligereend markedet. Da effekten er særdeles assymetrisk for de to porteføljer, er der altså tegn på at overreaktionentil negativ information synes større end overreaktionen til positiv information 28 .Forskellen, CAR T,t − CAR V,t ,erhele24,6%(efter36måneder),hvilketerstatistisksignifikantmedent-statistik på 2,20 [De Bondt & Thaler 1985, p. 799]. Som et brud på den svage EMH illustrerer figur 1 derfor,at det i gennemsnit er profitabelt at købe aktier med historisk dårlige afkast og sælge aktier med historisk godeafkast (3 år). Bemærk desuden, at størstedelen af det overnormale afkast for taber-porteføljen genereres i deførste 2 år af testperioden.Figur 1: De kumulative residualer for henholdsvis taber- og vinder-porteføljen baseret på de foregående 3 års afkast [De Bondt &Thaler 1985, fig. 1 p. 800].I forlængelse af den identificerede overreaktion er en naturlig forventning om, at des mere ekstrem prisudviklingenhar været i dannelsesperioden, des større vil den efterfølgende korrektion også være. Jo mere taber(vinder)-porteføljen har tabt(vundet) i formationsperioden (dvs. indtil porteføljedannelsen), des mere må det forventesat taber(vinder)-porteføljen vinder(taber) i den efterfølgende periode.28 bemærk i øvrigt også indikationen af en anden anomali - Januar-effekten (Se evt. Keim, D. B. (1983): “Size-related anomaliesand stock return seasonality: Further empirical evidence”, Journal of Financial Economics, Vol.12,No.1(Juni,1983),pp.13-32). For taberporteføljen genereres den ovevejende del af afkastet i henholdsvis måned 1, 13 og 25 efter porteføljedannelsen. Disseer alle januar måneder. Interessant er i øvrigt også Januar-effektens vedholdenhed - den kan observeres så sent som 5 år efterporteføljedannelsen [De Bondt & Thaler 1985, p. 803].12

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselEn simpel test af dette kan udførs ved at variere tidshorisonten. Ved eksempelvis at basere porteføljerne på60 måneder fremfor 36 vil såvel taber- som vinderporteføljen have oplevet en mere ekstrem prisudvikling. Detteer netop hvad der illustreres i tabel 1.Tabel 1: De akkumulerede afkast for varierende tidshorisonter [De Bondt & Thaler 1985, Tabel 1, p. 801].Tabellens nederste række illustrerer eksempelvis analysen når porteføljedannelsen baseres på 12 månedersafkast, hvor forskellen i akkumuleret CAR bliver 135, 9% (1, 359 = 0, 774 − (−0, 585)). Detteresultererieninsignifikant forskel i akkumuleret CAR 24 måneder efter porteføljedanneslen (−0, 5%).Forlænges porteføljedannelsen derimod til 60 måneder bliver forskellen meget mere markant (øverste række).Ved dannelsen er forskellen i CAR således 265, 7% (= 1, 462 − (−1, 194)), ogstrategienresulterer60månedersenere i et signifikant overnormalt afkast på 31, 9%. Resultaterneerderfortilstøtteomoverreaktionshypotesensanden del om, at mere ekstreme kursbevægelser følges af mere ekstreme korrektioner.For at vurdere risikoen for strategierne i tabel 1 estimeres de individuelle aktie-betaer. For den i figur 1illustrerede strategi baseret på 3-årige dannelsesperioder findes det gennemsnitlige aktie-beta for de to porteføljertil [De Bondt & Thaler 1985, p. 801]¯β V =1, 369 > 1, 026 = ¯β TTaberporteføljen er således ikke kun en bedre investering - de enkelt aktier i den er også mindre risikable. Dennekonklusion er den samme for alle strategierne fra tabel 1 og indikerer således, at merafkastet på taber-porteføljenikke er betaling for risiko. Dette er naturligvis under antagelse af, at den anvendte CAPM er korrekt, hvorfor13

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin Heisseldet ikke kan stå som bevis, men snarere en indikation på, at reversion i aktieafkast er en sand anomali.3.1.2 Underreaktion og Momentum“...the evidence most damaging to the naive andunwavering belief in market efficiency...”[Lev & Ohlson 1982, p. 284]om Post-Earnings Announcement DriftDen mest rapporterede og tilgængelige form for information er uden tvivl virksomhedernes regnskabsmeddelelser.Derfor har informationen i netop disse også været underlagt en lang række empiriske studier gennemtiden. Det har længe været anerkendt, at der i dagene omkring de børsnoterede selskabers offentliggørelse afregnskabsmeddelelser sker en række mere eller mindre usædvanlige hændelser på aktiemarkedet. Eksempelviser det ofte dokumenteret, at volatilitet og handelsvolumen stiger omkring tidspunktet for offentliggørelse afregnskabsmeddelelser 29 .Et af de mere interessante anomalier i forbindelse med regnskabsaflæggelser er det såkaldte Post-EarningsAnnouncement Drift (PEAD), der dækker over tilstanden, hvor det kumulative overnormale afkast (CAR) efteren regnskabsmeddelelse fortsætter med at stige (falde), når denne offentliggørelse indeholder gode (dårlige)nyheder. Ball & Brown [1968] var de første til at dokumentere dette fænomen, der siden er bekræftet i mereend 20 empiriske studier i eftertiden (Bernard [1992]).Dette udfordrer naturligvis teorien om fuldt efficiente markeder, da prisen i henhold til EMH skulle inkorporereal tilgængelig information korrekt og øjeblikkeligt. Det er da heller ikke utænkeligt, at de tidligste studierskonklusioner begrænses af både datagrundlag og metodisk utilstrækkelighed, men selv efter disse begrænsningermed tiden er afhjulpet synes fænomenet stadig at bestå. Faderen til EMH noterer således i Fama [1998], atPEAD som et af de få anomalier synes at have overlevet både undersøgelser for robusthed samt udvidelse afdatamaterialet.I direkte og naturlig forlængelse af ovenstående er en anden anomali - momentum. Deterklart,athvisaktiekurser enten overreagerer eller underreagerer til nyheder, da vil der findes profitable handelsstrategierudelukkende baseret på aktiernes historiske kursudvikling. Blandt de første til at identificere en sådan profitabelstrategi var Levy [1967], der fandt et signifikant overnormalt afkast ved at købe aktier, der handlede over deresgennemsnitlige kursværdi for de foregående 27 uger. Det skal her retfædigvis siges, at Levy [1967] ikke behandlerårsagen til dette overnormale afkast og således ikke vurderer, hvorvidt resultatet blot er fair kompensation forrisiko.Siden disse første studier har en lang række empiriske studier søgt at identificere profitable investeringsstrategiermed udgangspunkt i historiske kurser. I de akademiske studier har fokus primært været på to forskelligetilgange. I contrarian-strategier købes historiske tabere og historiske vindere sælges (shortes). Udgangspunktet29 Beawer [1968] var blandt de første til at demonstrere dette.14

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin Heisseler her, at investorer synes at overreagere til nyheder 30 .Idesåkaldterelative strength strategier købes derimod historiske vindere og sælges historiske tabere. Baggrundenherfor er således underreaktion til nyheder og er derfor nært beslægtet til PEAD. Jegadeesh & Titman[1993] der gennemgås i afsnit 3.1.2.2 på side 19 er et eksempel på en empirisk undersøgelse af denne type.3.1.2.1 Post-Earnings Announcement Drift (Bernard & Thomas [1989, 1990]) Bernard & Thomas[1989] behandler fænomenet for årene 1974 - 1986 og undersøger ca. 85.000 kvartalsvise regnskabsmeddelelserog kursreaktionerne af disse for aktier handlet på NYSE og AMEX 31 . Artiklens primære formål er at undersøgede typisk foreslåede forklaringer på PEAD, der populært kan opdeles i to klasser af forklaringer. Den første ernaturligvis foreslået af tilhængerne af teorien om fuldt efficiente markeder, der mener, at PEAD er et resultat afutilstrækkelig eller forkert risikojustering i beregningen af overnormale afkast. I dette perspektiv bliver PEADaltså ikke andet end fair kompensation for en risiko, der er prisfastsat, men ganske enkelt ikke er blevet fangeti eksempelvis den CAPM resultaterne baseres på.På den modsatte fløj, hvortil Bernard & Thomas hører, forklares PEAD ved, at reaktionen til nyhederer forsinket i prisdannelsen. Dette kan enten skyldes, at investorerne simpelthen ikke formår at processereinformationen korrekt eller, at en række omkostninger umuliggør en attraktiv udnyttelse af denne informationsasymmetrimellem irrationelle investorer og arbitragører. Konklusionen fra Bernard & Thomas [1989], er atnyheders effekt på prisdannelsen er forsinket.Artiklens resultater - karakteristika for PEADAnalysen i Bernard & Thomas [1989] følger af Foster[1977], men udføres på et udvidet datagrundlag. Indledningsvis inddeles stikprøvens virksomheder i 10 porteføljerbaseret på deres respektive standardiserede uventede indtjeninger (SUE) 32 der er forskellen på et statistiskforecast af indtjeningen 33 og den faktiske indtjening skaleret med den historiske varians på denne indtjeningsfejl.Figur 2 illustrerer resultaterne hvor det ses, at post-indtjenings driften er monotont voksende i størrelsenaf SUE. Over en periode på 60 dage efter en regnskabsmeddelse oplever porteføljen med de ekstremt godeindtjeningsoverraskelser (portefølje 10) et overnormalt afkast på omkring 2%. Omvendt er det for porteføljen afde værste indtjeningsoverraskelser (portefølje 1), hvor det overnormale afkast er lidt værre end -2%. Derfor villeen strategi, hvor man går lang i den bedste SUE portefølje og kort i den værste generere et akkumuleret afkastpå hele 4,2% (18% p.a.) (Bernard & Thomas [1989]).30 De Bondt & Thaler [1985] der blev gennemgået i afsnit 3.1.1 på side 10 er af denne type.31 the American Stock Exchange.32 Standardized Unexpexted Earnings.33 typisk med en univariat 1. ordens autoregressiv model i sæsonmæssige afvigelser som først præsenteret i Foster [1977].15

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselFigur 2: Figuren viser SUE-porteføljernes CAR i perioden fra 59 dage før, til 60 dage efter en regnskabsmeddelelse[Bernard &Thomas 1989, Fig. 2, p. 10].Ved at ændre analysens design findes yderligere nogle interessante resultater. Eksempelvis synes driften atvære relateret til virksomhedernes størrelse. Inddeles porteføljerne således på baggrund af markedsværdi, finderBernard & Thomas [1989], at lang/kort positionen resulterer i akkumulerede overnormale afkast på 5,3%, 4,5%og 2,8% for porteføljerne bestående af henholdsvis små-, mellemstore- og store virksomheder 34 .Figur 3 er baseret på artiklens tabel 1 og illustrerer, hvorledes PEAD fortsætter udover de 60 dage, derer illustreret i figur 2. Det bemærkes, at størstedelen af driften sker indenfor de første 60 dage og synes atuddø efter 180 dage. Netop dette kan besværliggøre forklaringen om utilstrækkelig risikojustering, da figur 3både illustrerer, at risikoen kun skulle være midlertidig, men også være mere vedvarende for små end for storevirksomheder.34 hvilket kan relateres til en anden anomali - den såkaldte Banz-Reinganum størrelseseffekt - hvor det forventede afkast for mindreaktier er større end for store aktier.16

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselFigur 3: Figuren illustrerer, hvorledes CAR er størst for små virksomheder og fortsætter ud over de første 60 dage efter en regnskabsmeddelelse.Egen tilvirkning [Bernard & Thomas 1989, Tabel 1, p. 14].Artiklens konklusioner om PEAD er derfor, at• driften er signifikant og monotont voksende i SUE• driften er større for små virksomheder end for store• størstedelen af driften sker indenfor de første 60 dage (koncentreret i de første 5 dage) efter offentliggørelsenaf indtjeningstalEr PEAD et resultat af utilstrækkelig risikojustering? IBalletal.[1993]foreslåsdet,atrisikoenskifter som følge af ændringer i virksomhedens uventede indtjening således, at en given akties beta stiger (falder)for virksomheder med høje (lave) uventede indtjeningsoverraskelser 35 .Mangeundersøgelserharimidlertidantaget stationære betaer for at lette estimationerne 36 ,menomkostningenhervederda,atdetestimeredeovernormale afkast er biased mod et højere (lavere) overnormalt afkast for virksomheder med høje (lave) indtjeningsoverraskelser.For at afhjælpe dette tillades beta i Ball et al. [1993] at variere på årlig basis og resultateter, at PEAD ikke længere synes signifikant. Der er såldes grund til at mistænke driften for at være et resultataf misspecificeret risiko.Et første og umiddelbart tegn på at dette ikke er tilfældet kan dog fås ved følgende betragtning. Hvismisspecifikation af beta virkelig er årsagen til PEAD, da skulle det overnormale afkast variere med afkastet i detgenerelle marked. Da aktier med negative nyheder jf. Ball et al. [1993] er mindre risikable, skulle disse således35 hypotesen er, at øget (mindsket) virksomhedsspecifk risiko delvist vil overføres til kunder og leverandører ved prisændringer ogdermed føre til højere (lavere) indtjeningsoverraskelser.36 inklusiv Bernard & Thomas [1989 1990].17

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin Heisselhave positive overnormale afkast i bear markeder og negative overnormale afkast i bull markeder. Det modsatteskulle gælde for aktier med gode nyheder.I Bernard & Thomas [1989] er der derimod ikke noget der tyder på dette, da porteføljen med gode nyheder(portefølje 10) har positivt overnormalt afkast over hele perioden, alt imens den negative nyhedsportefølje (portefølje1) gennemgående har negativt overnormalt afkast [Bernard & Thomas 1989, p. 15].Derudover er det desuden værd at bemærke, at der i Ball et al. [1993] primært ses på store selskaber og overlange perioder (årligt varierende beta). Resultaterne fra Bernard & Thomas [1989] indikerer derimod, at PEADdels er størst for små virksomheder og er koncentreret indenfor de første 60 dage efter offentliggørelsen, hvorforresultaterne fra Ball et al. [1993] må tages med forbehold.Til trods for at tilgangen i Bernard & Thomas [1989] ikke inkluderer beta-estimationer 37 ,behandlerforfatternedog emnet. Ved anvendelse af en tilgang som i Ball et al. [1993] finder Bernard & Thomas [1989] ganskerigtig, at risikoen er voksende i SUE-porteføljerne således, at den mest positive portefølje også er den mestrisikable. Dette til trods finder de dog, at beta-forskellen i SUE10 og SUE1 kun kan tilskrives mindre end 10%af forskellen i driften [Bernard & Thomas 1989, p. 17].Af andre risikofaktorer vurderes også APT-faktorerne foreslået i Chen et al. [1986] (uventet vækst i industriproduktionen,uventede ændringer i konkurs risikopræmien, ændringer i forventet inflation, uventet inflation oguventede ændringer i rentestrukturen). Bernard & Thomas [1989] finder dog ingen signifikant sammenhæng ogsågar forkerte fortegn i en regression af de overnormale afkast fra SUE-porteføljerne på de nævnte risikofaktorer.Endeligt vurderes også variationen i de opnåede afkast. Tanken er, at hvis denne investeringsfrie strategi(hvor den lange position i høj SUE betales af den korte i lav SUE) leverer et positivt middelafkast som følgeaf risiko, så burde denne risiko ogå afspejles i, at strategien leverer flere signifikant negative afkast i perioden.Dette synes dog ikke at være tilfældet. Bernard & Thomas [1989] noterer således, at strategien leverer positivtafkast i 46 (44) af 50 kvartaler 38 og i alle 13 af 13 mulige år. Dette er konsistent med de tidligere resultater iFoster [1977], der finder positivt afkast i 31 af 32 kvartaler.Konklusionen underbygges yderligere i figur 4, der viser afkastet af SUE strategien i en række lignendeempiriske studier.37 det er dog antaget, at beta for henholdsvis den lange og korte porteføljen er ens i perioden efter offentliggørelse.38 afhængigt af porteføljens rebalancering.18

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselFigur 4: Det faktum, at en række studier har vist konsistent positive afkast ved SUE-strategien på tværs tid og fremgangsmåde,underbygger indikationen af en sand anomali [Bernard 1992, Fig. 3, p. 312].Da fremgangsmåden varierer i disse empiriske undersøgelser, skal man naturligvis være påpasselig med atoverfortolke resultaterne. Der synes dog at være tegnet et relativt klart billede af, at SUE strategien giver etpositivt afkast på tværs af såvel undersøgelser som tidshorisonter.Hvorvidt Post-Earnings Announcement Drift er et tegn på inefficiente markeder eller blot er et udtryk forutilstrækkelig risikojustering vil givetvis være til fortsat diskussion. Ovenstående er blot en række eksempler,der er fremsat mod EMH-tilhængernes forsøg på at fastholde deres synspunkt.Det for afhandlingen essentielle i ovenstående gennemgang er den direkte kobling mellem aktiekurser ogfundamentale informationer, som resultaterne antyder. Nemlig det at nogle fundamentale nyheder (regnskabsinformation)kun langsomt indregnes i prisdannelsen, og således gør vold mod den semi-stærke udgave af EMH.3.1.2.2 Short-Term Momentum (Jegadeesh & Titman [1993]) Blandt de absolut mest citerede undersøgelseri litteraturen omhandlende momentum er Jegadeesh & Titman [1993]. Årsagen hertil skal findesi det faktum, at artiklen præsenterer signifikante profitter for samtlige handelsstrategier der præsenteres overårene 1965 - 1989. Ydermere præsenteres en række test der indikerer, at strategiernes profitabilitet ikke skyldesbetaling for systematisk risiko, men mere er forenelig med hypotesen om, at prisdannelsen er forsinket i sinreaktion til virksomhedsspecifikke nyheder.Porteføljer og afkast I Jegadeesh & Titman [1993] testes i alt 32 relative strength strategier. Porteføljerneer udvalgt på baggrund af aktiernes afkast i de foregående 1, 2, 3 eller 4 kvartaler (benævnes J) ogholdesligeledes i enten 1, 2, 3 eller 4 kvartaler efter dannelsen (K). Dette giver 16 strategier, men for at undgåeffekten af forsinkede reaktioner, bid-ask spreads og øvrige effekter af prispres, undersøges ligeledes 16 lignendeporteføljer, hvor der blot indskydes en uge mellem selve formationsperioden og testperioden. Ydermere anvendesoverlappende beholdningsperioder således, at hver strategi til tid t indeholder porteføljer valgt i denne periodesamt i de tidligere K − 1 perioder.19

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselPorteføljedannelsen sker som følger: I begyndelsen af hver måned rangordnes aktierne på baggrund af deresafkast over de seneste J måneder i 10 ligevægtede porteføljer. Porteføljen med de bedste historiske afkast købessamtidig med, at porteføljen med det dårligste afkast shortes 39 -dissepositionerholdessåiK måneder. Samtidiglikvideres positionerne, der blev indgået i måned t − K. Strategien reviderer således vægtningen af1Kaktierne i den samlede portefølje i hver måned og viderefører resten fra den foregående måned.afDet første indblik i resultaterne præsenteres i figur 5. Det er her værd at bemærke, at samtlige af detestede relative strength strategier (Buy - Sell) genererer positive gennemsnitlige månedlige afkast hvoraf kunJ =3/K =3(uden den overspringende uge - Panel A) er det eneste der er insignifikant (t-stat.= 1, 10).Omvendt så vælger den mest succesfulde strategi aktierne på baggrund af de seneste 12 måneders afkast ogholder positionerne i de næste 3 måneder (1, 31% / 1, 49% pr. måned).Figur 5: Gennemsnitlige månedlige afkast for relative strength porteføljerne. J er formationsperioden og K besiddelsperioden. IPanel B er indskudt en uge mellem formations- og besiddelsesperioden [Jegadeesh & Titman 1993, tabel 1, p. 70].Jegadeesh & Titman [1993] baserer herefter undersøgelsens resterende resultater på nærmere undersøgelseaf J =6/K =6strategien. Argumentet herfor er, at det genererede gennemsnitlige afkast på 0, 95% synes atvære repræsentativt for den gennemsnitlige strategi.39 Strategien er derfor en investeringsfri strategi.20

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselInddeling efter størrelse, beta og tid Ved at undersøge afkastene for J =6/K =6strategien inddeltdels efter størrelse (lille, mellemstor, stor) og ex-ante beregnede betaestimater (lav, middel, høj), kan det førstog fremmest afgøres, hvorvidt afkastene alene kan henføres til bestemte dele af aktiepopulationen, ligesom det ermuligt at få nogle indikationer på kilden til disse afkast. Dette skyldes som bekendt, at studier har vist hvorledesforventede afkast er relateret til såvel risiko som virksomhedens størrelse 40 .Medenforventningom,atafkastenesåledes skulle være mindre spredte indenfor disse delpopulationer må det også forventes, at strategiens gennemsnitligeprofitter er mindre indenfor hver enkelt delpopulation end når strategien implementeres på den fuldepopulation af aktier. Resultaterne indikerer, at dette ikke er tilfældet og det konkluderes derfor, at afkastet mårelatere sig til autokorrelationen i den virksomhedsspecifikke komponent af afkastet jf. det næstfølgende afsnit[Jegadeesh & Titman 1993, pp. 78-79].Med rebalancering og overlappende investeringshorisont er det desuden nærliggende at tro, at strategiens afkastvil blive neutraliseret af transaktionsomkostninger. Efter at kontrollere for transaktionsomkostninger finderJegadeesh & Titman [1993] dog, at strategien i gennemsnit giver et risikojusteret merafkast på 9, 29%. Detteresultat er ligeledes robust overfor inddelingen efter størrelse.Ietevent-studysetupundersøgesogsåudviklingenafrelativestrengthporteføljensudviklingovertid.Figur6visersåledesudviklingendelsigennemsnitligtafkastogkumuleretafkastide36månederefterporteføljedannelsen.Figur 6: Det gennemsnitlige månedlige momentum-afkast er postivt over det første år, men negativt gennem år 2 og første halvåraf år 3 efter porteføljedannelsen. Det akkumulerede afkast topper efter 12 måneder, og det er halveret efter 36 måneder. Egentilvirkning [Jegadeesh & Titman 1993, Tabel 7, p. 84].Det gennemsnitlige afkast er positivt over det første år, men bliver derefter negativt i år 2 og første halvdel40 Fama & MacBeth [1973] Banz [1981].21

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin Heisselaf år 3 efter porteføljedannelsen 41 .Detakkumulueredeafkasttopperefter12mdr.med9,51%ogerhalveretefter 36 mdr. til 4,06%. Dette indikerer, at relative strength strategien ikke som udgangspunkt har tendens tilat udvælge aktier med et højere ubetinget forventet afkast. En forklaring på denne afkastudvikling kunne somtidligere nævnt være, at porteføljens risiko skifter over tid 42 . Jegadeesh & Titman [1993] finder ganske rigtigtogså, at porteføljens beta-estimat er varierende, men dette skift er fra værende negativ (−0, 20) til positiv (0, 02).Det faldende afkast kan således ikke umiddelbart forklares ud fra en risikobetragtning.Er momentum en anomali eller blot fair betaling for risiko? For yderligere at belyse de præsenteredeovernormale merafkasts karakteristika undersøges en tæt beslægtet strategi (WRSS) 43 der muliggør enidentifikation af eventuelle kilder til dette afkast. Korrelationen mellem afkastene fra denne strategi og dentidligere beskrevne er på 0,95 [Jegadeesh & Titman 1993, p. 71], hvorfor fremgangsmåden synes meningsfuld.Basis for analysen er stadig J =6/K =6strategien, men nu betragter Jegadeesh & Titman [1993] enén-faktor model for aktieafkast der er givet vedr it = µ i + b i f t + it (3.1)E ( it ) = 0E (f t ) = 0Cov ( it ,f t ) = 0Cov ( it , jt−1 ) = 0 ∀j = ihvor r i er afkastet på aktie i til tid t, µ i er det (ubetingede) forventede afkast på aktie i, f t er det (ubetingede)forventede afkast på faktorporteføljen til tid t, b i er faktorfølsomheden for aktie i og it er den virksomhedsspecifikkekomponent i aktieafkastet til tid t.Når ¯r t angiver det gennemsnitlige afkast på tværs af aktierne må det givet de dokumenterede overnormaleafkast for (alle) de præsenterede relative strength strategier gælde atE [r it − ¯r t | r it−1 − ¯r t−1 > 0] > 0ogE [r it − ¯r t | r it−1 − ¯r t−1 < 0] < 0der jo blot siger, at aktier der har oplevet positivt (negativt) overnormalt afkast i forrige periode ligeledesforventes at generere positivt (negativt) overnormalt afkast i indeværende periode. Af ovenstående er det klartatE [(r it − ¯r t )(r it−1 − ¯r t−1 )] > 0 (3.2)41 afkastene i år 2 og 3 er statistisk insignifikante.42 se evt. diskusionen om Ball et al. [1993] på side 17.43 Weighted Relative Strength Stratgegy - hvor aktierne vægtes ved deres historiske merafkast set i forhold til et ligevægtet indeksafkast (se evt. Lo & MacKinlay [1990]).22

3.1 Effekterne af ny information i prisdannelsen Martin HeisselDen tværsnitlige kovarians udtrykt i (3.2) er netop afkastet på WRSS-strategien og kan med én-faktormodelleni (3.1) skrives som [Jegadeesh & Titman 1993, p. 72]E [(r it − ¯r t )(r it−1 − ¯r t−1 )] =betaling for systematisk risiko σµ 2 + σb 2 Cov (f t ,f t−1 ) + Cov i ( it , it−1 ) Markeds inefficiens(3.3)hvor σµ 2 er den tværsnitlige variation i aktiernes forventede afkast og σb 2 den tværsnitlige variation i faktorfølsomheden.Det positive overnormale afkast kan således enten være et resultat af, at WRSS-strategien systematiskvælger aktier med et højere forventet afkast σµ 2 eller formår at “time” aktievalget således, at der udvælgesaktier med stor faktorfølsomhed (b i ) netop når faktorporteføljens forventede afkast er højt. Disse kilder er derforbetalingen for den systematiske risiko.Det sidste led i (3.3) er den gennemsnitlige idiosynkratiske autokorrelation i aktieafkastet og derfor udtrykfor markedets eventuelle inefficiens.For at undersøge hvorvidt strategien systematisk udvælger risikable aktier (første led i (3.3)) estimereshenholdsvis porteføljernes betaer og gennemsnitlige markedsværdier, der er gengivet i tabel 2.Portefølje Beta Gennemsnitlig MarkedsværdiP1 1,36 208,24 mio. USDP2 1,19 480,07P3 1,14 545,31P4 1,11 618,85P5 1,09 692,89P6 1,08 702,51P7 1,09 738,09P8 1,12 758,87P9 1,17 680,18P10 1,28 495,13 mio. USDP1 - P10 -0,08 -Tabel 2: P1 er porteføljen med de laveste historiske afkast, og P10 er porteføljen med det højeste. Data er fra perioden januar1965 til december 1989 [Jegadeesh & Titman 1993, p. 73].Det samlede indtryk fra tabel 2 er, at de traditionelt anvendte proxies for systematisk risiko (og dermedforventede afkast) ikke forklarer det overnormale afkast. En lang position i den bedste portefølje (P10) kombineretmed en kort position i den værste (P1) resulterer i samlet investeringsfri position med negativt beta,men positivt afkast. Derudover ses det, at den gennemsnitlige markedsværdi af virksomhederne i de to ekstremeporteføljer generelt er lavere, hvilket er i modstrid med Banz-Reinganum størrelseseffekten. Det overnormaleafkast synes derfor ikke at stemme fra det første led i (3.3).Den anden systematiske komponent er autokorrelationen i faktorporteføljens afkast, Cov (f t ,f t−1 ).Givetat23

3.2 Delkonklusion Martin Heisseldette er kilden til de overnormale profitter, skal denne autokorrelation nødvendigvis være positiv jf. (3.3). Detviser sig imidlertid, at denne estimeres til −0, 0028 for J =6/K =6strategien og således ikke indikerer, atdette er kilden til de overnormale afkast. Sammenholdt med ovenstående er der derfor ikke noget der tyder på,at WRSS-strategiens overnormale afkast er betaling for systematisk risiko.Tilbage er kun autokorrelationen i markedsmodellens residualer fra (3.1). Det viser sig da også, at autokorrelationeni disse residualer i gennemsnit er positiv (= 0, 0012).Jegadeesh & Titman [1993] konkluderer derfor, at profitabiliteten i de undersøgte relative strength strategierer relateret til markedets underreaktion til virksomhedsspecifik information. Detovernormaleafkasteraltsåen konsekvens af, at markedet ikke fremstår som værende efficient i tradionel forstand, idet al information ikkesynes at indarbejdes øjeblikkeligt i prisdannelsen.Fænomenet er senere blevet undersøgt og underbygget i øvrige empiriske studier, hvor mulige risikoforklaringerer undersøgt nærmere (Jegadeesh & Titman [2001]) samt i internationalt data (Rouwenhorst [1998])3.2 DelkonklusionTeorien om efficiente markeder er efter 1970’ernes massive støtte blevet udfordret på flere fronter. Fra denpyskologiske litteratur udfordres antagelsen om fuld rationalitet, idet der er fundet indikationer på, at vi sommennesker ikke agerer efter det normative rationelle paradigme, når der skal træffes beslutninger under usikkerhed.Til dette kan tilføjes, at disse fejl begået af noise tradere på ingen måde synes ukorrelerede og derfor ikke viludjævne hinanden i det lange løb. Der er derfor blevet åbnet op for muligheden for, at rationelle arbitragører ogkonkurrence ikke nødvendigvis er nok til at sikre markedsefficiens. Arbitrage kan således være både risikofyldtog begrænset.En lang række empiriske artikler har forsøgt at underbygge dette i data. Kapitlet har derfor i kronologiskorden introduceret hovedkilderne bag tre vel- og anerkendte anomalier. Long-term Reversion dækker over detfaktum, at historiske vindere synes at blive de fremtidige tabere og historiske tabere at blive de fremtidigevindere på længere sigt (3 år). Long-term reversion er derfor forenelig med en hypotese om, at prisdannelsenoverreagerer til fundamentale nyheder.En anden karakteristik er fundet over kortere tidshorisont (under ét år). Her synes prisdannelsen at underreageretil fundamentaliteter. Dette er påvist ved Post-Earnings Announcement Drift, der dokumentererhvorledes meddelelser om regnskabsmæssige præstationer ikke indregnes øjeblikket i den aktuelle kurs. ShorttermMomentum er ligeledes forenelig med underreaktion, men er alene baseret på den historiske kursudviklingog således en afvisning af svag-form EMH.Efter en redegørelse for indikationerne af markedernes informationsmæssige inefficiens, sætter det følgendekapitel fokus på disciplinen der forsøger at forklare disse observerede anomalier ved inddragelse af resultater fraden psykologiske forskning.24

Martin Heissel4 Behavioral FinanceVed Behavioral Finance forstås disciplinen der forener finansieringsteorien med de videnskabelige resultater fraden psykologiske forskning. Herved forsøges på en plausibel og veldokumenteret måde at forklare en rækkefænomener der ikke lader sig forklare i det traditionelle neo-klassiske teoriapparat. Dette kapitel behandler deto ben, hvorpå Behavioral Finance står.Fra den kogitive psykologi er der dokumenteret en række biases 44 vi alle som individer er påvirkede af. Enrække af disse kan direkte overføres til investorernes ageren i de finansielle markeder. Af særlig interesse er da,hvorledes disse biases influerer på investorernes beslutningstagen under usikkerhed samt forventningsdannelsenidefinansiellemarkeder.Det andet ben er som bekendt teorien om begrænset arbitrage, der i kapitlet behandles i større dybde endden kognitive psykologi. Det er veldokumenteret, at den velforståede fundamentale risiko begrænser arbitragørernesmuligheder for at gøre prisdannelsen efficient (Figlewski [1979] Shiller [1981] Campbell & Kyle [1993]). Idette kapitel præsenteres imidlertid en partiel ligevægtsmodel der går et skridt videre og viser, at arbitrage vilvære begrænset selv i en økonomi uden fundamental risiko (De Long et al. [1990]). Her skaber de irrationelleinvestorer selv den risiko, der begrænser den risikofrie arbitrage. Det vises ligeledes, at noise traders under givneforudsætninger vil kunne tjene et højere forventet afkast end arbitragørerne. Kapitlet afsluttes med betragtningerom den langsigtede overlevelse af noise tradere og endelig de empiriske indikationer på, at arbitrage irealiteten synes begrænset.Kapitlets formål er således todelt. Først beskrives de specifikke noise traderes bias der i afhandlingens følgendekapitler modelleres i forsøget på at forklare momentum og reversion i aktieafkast, og dernæst dokumenteresbetydningen og overlevelsen af disse noise tradere i modsætning til argumenterne fremført i Friedman [1953] ogFama [1965].4.1 Den Kognitive PsykologiDen kognitive psykologi er psykologien bag beslutningstagning og beskæftiger sig med de processer hos mennesketder bl.a. vedrører perception, hukommelse, tænkning og sprog. Centrale elementer i en beslutningsproceser heuristik, forventninger, præferencer og følelser, og som den ene af de to grundpiller i den adfærdsmæssigefinansielle teori har den kognitive psykologi gennemgået omfattende akademiske studier af såvel psykologer somøkonomer. Som resultat af disse undersøgelser har man identificeret og dokumenteret en lang række biases, nårindivider skal træffe beslutninger. For forståelsen af de finansielle markeder er opmærksomheden derfor rettetmod bias i agenternes forventningsdannelse og deres præferencer.44 Der bedst beskrives som fejl eller tilbøjeligheder.25

4.1 Den Kognitive Psykologi Martin HeisselDet følgende er en kort gennemgang af de for afhandlingen mest centrale aspekter af den kognitive psykologi,og er således langt fra udtømmende. Fokus vil her være på de aspekter af den kognitive psykologi som modelleresi senere kapitler. For en glimrende litteraturgennemgang med særligt fokus på de praktiske implikationer af disseog øvrige biases henvises til Pompian [2006].Specifikt gives der eksempler på den empiriske litteratur om følgende biases der knytter sig til forventningsdannelsen45 : overdrevet selvtillid, selv-tillæggelse, konservatisme og repræsentativitet.4.1.1 Overdrevet selvtillid (overconfidence bias)En række psykologiske eksperimenter har vist, at individer generelt udviser overdrevet selvtillid i deres subjektivevurderinger. Fænomenet fremkommer i to former;1. konfidensintervallerne som pålægges de kvantitative estimater er alt for små. Dette illustreres eksempelvisi Albert & Raiffa [1982] der finder, at respondenternes estimater kun i 60% af alle tilfælde falder i deres98%-konfidensinterval2. agenterne er dårligt kalibreret i estimationen af sandsynligheder. Fischoff et al. [1977] stiller i deres eksperimentellestudie spørgsmålet: “Hvor ofte tager folk fejl, når de er sikre på, at de har ret?“ Ideresfemeksperimenter finder de, at begivenheder som respondenterne var sikre på ville ske, rent faktisk kun sketemed 80% sandsynlighed. Modsat, så skete begivenheder som respondenterne fandt umulige alligevel i 20%af tilfældene.I en undersøgelse med et mere finansielt islæt finder Barber & Odean [2001], at overdrevet selvsikre investoreroverestimerer præcisionen af deres information, og derved også deres forventede gevinster ved at handle. Detteer nært beslægtet med måden, hvorpå dette bias modelleres senere i kapitel 6.En af implikationerne af overdrevet selvsikkerhed er bl.a. en langt større handelsvolumen end, hvad der errationelt begrundet 46 .4.1.2 Selv-tillæggelse (self-attribution bias)Nært beslægtet med den overdrevne selvtillid er selv-tillæggelsen der referer til den tendens, at succes tilskrivestalent, mens fiasko betragtes som rent uheld. En investor, der over flere perioder har haft gentagen succes medsine investeringer, risikerer således at opbygge en overdrevet selvtillid som følge af selv-tillæggelsen (Gervais &Odean [2001])45 disse fire vurderes blandt de mest betydningsfulde i de forventningsbaserede modeller. I de præferencebaserede er det mestbetydningsfuld bias tabsaversion (loss aversion), der dækker over det faktum, at investorerne opfatter et tab som værende hårdereend en gevinst af samme størrelse. Det vil med andre ord sige, at den positive nytte af en given gevinst i absolutte termer opfattessom mindre end det tilsvarende fald i nytten, der sker som følge af et finansielt tab.46 dette er eksempelvis udnyttet i empiriske undersøgelser af de adfærdsmæssige modeller foreslået. En gennemgang af disse erhenlagt til afhandlingens kapitel 8.26

4.1 Den Kognitive Psykologi Martin HeisselEt klassisk eksempel kan findes i sportens verden. Ofte tilskriver udøverne således en sejr egen overlegenhedeller taktiske snilde, hvorimod et nederlag altid skyldes dommerkendelser eller “stolpe ud”.4.1.3 Konservatisme (conservatism bias)Konservatisme er udtryk for et psykologisk fænomen, hvor individer fastholder en tidligere indtaget holdning ellerforventning (prior) til trods for ny information der burde ændre dette. Et eksempel kunne være forventningenom et indtjeningsmål der på trods af indikationer i markedet fastholdes i et for højt niveau.James Montier 47 noterer desuden, at konservatisme ikke alene begrænser sig til de private investorer, da hanom aktieanalytikeres forecast skriver: ”A cursory glance... reveals that analysts are exceptionally good at tellingyou what has just happened. They have invested too heavily in their view and hence will only change it whenpresented with indisputable evidence of its falsehood” ([Pompian 2006, p. 121]).En mere teknisk forklaring på konservatisme er, at individer har tendens til at overbetone base-raten ogderfor at underbetone eksempelvis beviserne i en stikprøve. Det klassiske eksperiment er beskrevet i Edwards[1968]. Her præsenteredes en række agenter for to urner; den ene indeholdende 3 røde og 7 blå kugler og denanden indeholdende 3 blå og 7 røde kugler. Dette var kendt af forsøgsdeltagerne der så blev fortalt, at der medtilbagelægning var trukket 12 tilfældige kugler fra én af urnerne. Resultatet var en trækning på 8 røde og 4blå kugler. Forsøgsdeltagerne blev da spurgt om sandsynligheden for, at kuglerne var blevet trukket fra urnenummer to. De fleste estimerede en sandsynlighed på omkring 0,70 til trods for, at den sande sandsynlighed er0,97. Forsøgsdeltagerne betoner således udgangspunktet Pr = 2 1 for meget og tilpasser ikke deres forventningertilstrækkeligt til beviserne (de 4 blå og 8 røde kugler).En udvidelse af begrebet gives i Hirshleifer [2001]. Her forbindes processen med at opdatere forventningertil ny information med en række mentale omkostninger. I dette setup vil individer have en tendens til at nedtonesvært forståelige og abstrakte beviser (eksempelvis statistik), da de er forbundet med betydelige kognitiveomkostninger. Omvendt så tillægges let omsættelig information såsom scenarier og konkrete eksempler størrebetydning. Det betyder dog ikke, at det forudindtagede udgangspunkt ignoreres, men blot at tilpasningen ikkeer tilstrækkelig.Med denne omkostningsmæssige betragtning, bliver konservatisme også forenelig med en af de mest betydningsfuldebiases - repræsentativitet -dernetoperkendetegnetvedunderbetoningafbase-raten.4.1.4 Repræsentativitet (representativeness)Mennesket har en medfødt tilbøjelighed til at klassificere tanker og erfaringer fra tidligere problemstillinger.Denne klassificering har en central rolle i beslutningsprocessen, da den udstyrer individet med et hurtigt svar–enheuristisk refleksbeslutning dannet på baggrund af de tidligere erfaringer. Det hænder imidlertid, at nystimuli minder om – dvs. er repræsentativ for – allerede kendt og klassificeret information uden dog at være47 Analytiker i det tidligere Dresdner Kleinwort Wasserstein (DKW) i London, der i maj 2009 blev overtaget af Commerzbank.27

4.1 Den Kognitive Psykologi Martin Heisselmed sandsynligheden 1 2giver henholdsvis plat eller krone uafhængigt af det foregående møntkast.IKahneman&Tversky[1972]opsummeresovenståendevedfølgendedefinitionafenpersonmedtilbøjelighedtil repræsentativitet: ”...(han) evaluerer sandsynligheden for en usikker hændelse, eller en stikprøve, vedgraden af dens i) lighed i essentielle egenskaber med moder-populationen; og ii) refleksion af de fremtrædendeegenskaber i den generende proces” ([Kahneman & Tversky 1972, p. 431]).Det står således klart, at repræsentativitet påvirker måden, hvorpå agenterne vurderer sandsynligheder.Mere specifikt så agerer repræsentative agenter i modstrid med Bayes’ Lov der om to hændelser, A og B, sigeratPr(A | B) =Pr(B | A) Pr(A)Pr(B)Repræsentativitet kan da llustreres ved, at agenterne undervægter den oprindelige sandsynlighed (base-raten),Pr(A), ogovervægter den betingede sandsynlighed, Pr(B | A).4.1.4.1 David Grethers eksperiment Den banebrydende dokumentation for ovenstående kommer fraGrether [1980], der testede en række studerendes forudsigelser om et økonomisk regime i et binomialt setup meduafhængige trækninger, som gennemgåes i det følgende.I eksperimentet kan økonomien være enten God (G) eller Dårlig (D), hvilketerhvadrespondenterneskalforudsigeudfra et givet udfald - en kombination af Op (O) ogNed (N ). Sandsynlighederne for Op ihenholdsvisdengode og dårlige økonomi er Pr(O | G) = 2 3 >Pr(O | D) = 1 2 ,hvilketerkendtafrespondenterne.Eksperimentetblev foretaget med variende sandsynligheder for økonomiens tilstand - Pr(G) = 1 3 ,Pr(G) = 1 2 & Pr(G) = 2 3 .Respondenterne observerede ikke processen, men alene udfaldet af trækningen.Figur 8: Den praktiske eksekvering af eksperimentet i Grether [1980].Figur 8 illustrerer, hvorledes den praktiske eksekvering af eksperimentet forløb. Den første trækning afgørøkonomiens tilstand. Sættes eksempelsvis sandsynligheden for at økonomien er god til Pr(G) = 2 3 ,vilforsøgslederentrække seks kugler med tilbagelægning fra kasse 2 (God økonomi), hvis tallet trukket fra kasse ét er29

4.1 Den Kognitive Psykologi Martin Heisselenten 1, 2, 3 eller 4. Trækkes derimod 5 eller 6 fra den første kasse, trækkes de seks kugler i stedet fra kasse 3(Dårlig økonomi). På den måde anvendes altså kasse 1 til at variere base-raten for en God økonomi.Det var nu respondenternes opgave udfra den observerede trækning af 6 kugler, at afgøre om økonomien vargod eller dårlig.Er respondenterne virkelig korrekte i brugen af Bayes’ lov, anvendes de følgende tre sandsynligheder i forventningsdannelsen;1. sandsynligheden for en God økonomi = Pr(G) = 1 3 , 1 2 eller 2 32. sandsynligheden for Op ienGod økonomi = Pr(O | G) = 2 3 og3. sandsynligheden for Op ienDårlig økonomi = Pr(O | D) = 1 2 .Dernæst betragtes beviset fra trækningen, og den betingede sandsynlighed for udfaldet givet henholdsvis en Godog en Dårlig økonomi bestemmes. Endeligt ville en korrekt anvendelse af Bayes’ lov beregne sandsynlighedenfor en God økonomi givet udfaldet, og konkludere at økonomien er god hvis denne er større end 1 2 .Betragtes eksempelvis udfaldet U =4Op/2 Ned,ogantagessandsynlighedenforenGod økonomi Pr(G) = 1 3kan følgende betingende sandsynligheder beregnesPr(U | G) =⎛⎜⎝ 6 4⎞⎟⎠ [Pr(O | G)] 4 [Pr(N | G)] 2=Pr(U | D) = 4 26! 2 1=0, 32924! (6 − 4)! 33⎛ ⎞⎜⎝ 6 4⎟⎠ [Pr(O | D)] 4 [Pr(N | D)] 2 4 2 1 1= 15=0, 23442 2Den ubetingede sandsynlighed for det givne udfald er da givet vedPr(U) = Pr(U | G) Pr(G)+Pr(U | D) Pr(D)= 0, 3292 × 1 3 +0, 2344 × 2 =0, 26603Ved korrekt anvendelse af Bayes’ lov er det derfor muligt, at bestemme sandsynligheden for en God økonomigivet det observerede udfald U (= 4 Op/2 Ned) hvilket var opgaven for de adspurgte respondenter. Vi harPr(G | U) ==Pr(U | G)Pr(G)Pr(U)0, 32920, 2660 × 1 =0, 41263Da denne sandsynlighed er mindre end 1 2ville rationelle respondenter derfor slutte, at økonomien må være30

4.1 Den Kognitive Psykologi Martin HeisselDårlig. MenhvadvisteGretherseksperiment?Tabel 3 illustrerer de korrekte sandsynligheder, samt resultaterne fra Grether [1980] hvor 341 individer blevbedt om at forudsige det økonomiske regime.Med monetær belønningUdfald: U =4Op /2NedUden monetær belønningPr(G) 1/3 1/2 2/3 1/3 1/2 2/3Pr(U | G) 0,3292 0,3292 0,3292 do. do. do.Pr(U | D) 0,2344 0,2344 0,2344 do. do. do.Pr(U) 0,2660 0,2818 0,2976 do. do. do.Pr(G | U) 0,4126 0,5841 0,7375 do. do. do.Bayes’ lov:(= rationalitet)Gretherseksperiment(God)Dårlig God God Dårlig God God40% 66% 62% 47% 63% 91%Med monetær belønningUdfald: U’ =3Op /3NedUden monetær belønningPr(G) 1/3 1/2 2/3 1/3 1/2 2/3Pr(U | G) 0,2195 0,2195 0,2195 do. do. do.Pr(U | D) 0,3125 0,3125 0,3125 do. do. do.Pr(U ) 0,2815 0,2660 0,2505 do. do. do.Pr(G | U ) 0,2599 0,4126 0,5841 do. do. do.Bayes’ lov:(= rationalitet)Gretherseksperiment(God)Dårlig Dårlig God Dårlig Dårlig God7% 11% 50% 7% 4% 56%Tabel 3: Sandsynlighederne forbundet med eksperimentet i Grether [1980]. Bemærk at korrekt anvendelse af Bayes’ lov medførerforventningen God når Pr(G | U) > 1 . Rækken “Grethers eksperiment” udtrykker den gennemsnitlige procentdel af respondenterneder forventede, at økonomien var God. Sammenlignes tabellens venstre og højre side ses det, at respondenternes præ-2stationer ikke entydigt forbedres, når de belønnes økonomisk for korrekte forudsigelser. Gode incitamenter eliminerer altså ikkerepræsentativitet. Egen tilvirkning[Grether 1980, tabel 4, p. 547].Husk at eventuel repræsentativitet hos respondenterne medfører, at forventningerne baseres på bevisernessammenfald med populationen, hvorfra de stammer. Dvs. udfaldet U =4Op/2 Ned vil medføre, at respondenterneforventer den økonomiske tilstand som værende God, dadengodeøkonominetopindeholderdetteudfald 49 . Samme ræssonement medfører, at udfaldet U =3Op/3 Ned resulterer i en forventning om en Dårligøkonomi, hvis respondenterne lider under repræsentativitet.Betragtes først den nederste del af tabel 3 ses det, at for Pr(G) = 1 3 og Pr(G) = 1 2forventes det i gennemsnit49 se evt. figur 8 på side 29.31

4.2 Limits to arbitrage Martin Heisselkun af henholdsvis 7% og 11% at den genererende økonomi er God. Bådedenrationelle og repræsentativeforventning er da også en Dårlig økonomi. Effekten af repræsentativitet tydeliggøres dog når Pr(G) = 2 3 ,hvorkun halvdelen af respondenterne forventer en God økonomi, til trods for at dette er den rationelle forventning.Endnu tydeligere bliver resultaterne dog, når man betragter den øvre del af tabel 3. Da udfaldet her er4 Op/2 Ned, er den repræsentative forventning en God økonomi. Som tabellen afslører, forventer hele 40%, atøkonomien er God, til trods for den rationelle forventning er en Dårlig økonomi når Pr(G) = 1 3 .Atrespondenternelider af repræsentativitet, ses derfor tydeligt ved at betragte den store ændring i forventningerne fra 7%til 40% ved en marginal ændring i udfaldet fra U til U .Det ses ligeledes tydeligt fra tabel 3, at selvom respondenterne synes at undervægte base-raten, Pr(G),ignoreres denne ikke fuldstændigt. Dette ses ved, at en voksende del af respondenterne forventer en God økonomi,når Pr(G) stiger. Denne tendens undersøges i Grether [1980] ved Likelihood-Ratioen for økonomiens tilstandgivet udfaldet, der ved anvendelse af Bayes’ lov kan skrives somPr(G | U)Pr(D | U)==Pr(U|G)Pr(G)Pr(U)Pr(U|D)Pr(D)Pr(U)Pr(U | G) Pr(D)Pr(U | D) Pr(G)Grether [1980] estimerer log-transformationen af denne, dvs.ln Pr(G | U)= α + β 1 lnPr(D | U) Pr(U | G)+ β 2 lnPr(U | D) Pr(D)Pr(G)hvor hypotesen om fuld rationalitet i denne lineære fortolkning vil være udtrykt vedH Bayes : α =0 ∧ β 1 = β 2 > 0Repræsentativitet vil som nævnt være kendetegnet ved en overvægtning af den betingede sandsynlighed og enundervægtning af base-raten, hvorfor hypotesen vil væreH Repræsentativitet : β 1 >β 2 ≥ 0Ilogit-estimationenfinderGrether[1980]somforventetβ 1 =2, 08 > 1, 69 = β 2 ,hvorforskellenerstatistisksignifikant [Grether 1980, p. 550]. Grether [1980] leverer således beviset på, at individer synes at overvægteden betingede sandsynlighed og undervægte base-raten, og dermed at være influeret af repræsentativitet i deresforventningsdannelse.4.2 Limits to arbitrageDet andet ben hvorpå Behavioral Finance hviler, er teorien om begrænset arbitrage. Argumentet fra tilhængerneaf EMH er som bekendt, at eventuelle fejl i prisdannelsen af finansielle aktiver hurtigt vil udnyttes af32

4.2 Limits to arbitrage Martin Heisselarbitragører, hvormed priserne tilpasser sig aktivernes fundamentale værdier. En række teoretiske artikler harimidlertid vist, at arbitrage som den markedskorrigerende mekanisme kan være både risikofyldt og begrænset.Teorien om begrænset arbitrage kan overordnet inddeles i to grene. Den første er et modsvar til argumentetom, at irrationelle investorer ingen indflydelse har, og beskæftiger sig derfor med irrationelle agenters effekt iselve prisdannelsen af finansielle aktiver. De foreslåede forklaringer introduceres i det følgende.Den anden gren af teorien om begrænset arbitrage beskæftiger sig med overlevelsen af irrationelle investorer.Som det blev nævnt sidst i afsnit 2.1 argumenterer tilhængerne af EMH, at selvom priserne måske kan påvirkespå kort sigt, så vil arbitrage på længere sigt betyde, at de irrationelle investorers formue vil udhules. Afsnit4.2.3 præsenterer derfor kort det teoretiske fundament der argumenterer for en mulig persistent indflydelse afnoise tradere.4.2.1 Om noise traderes effekt på finansielle priserForklaringerne på hvorledes prisdannelsen er influeret af andet end fundamentaliteter har primært været givetved 1) fundamental risiko, 2) agency problemer, 3) positive feedback trading 4) transaktions- og implementeringsomkostninger og 5) noise-trader risiko.Med hensyn til den fundamentale risiko finder Shiller [1981], at prisvolatiliteten i aktiemarkedet er 5-13gange større end hvad der kan retfærdiggøres ved fundamentale nyheder om fremtidige dividender. Dette erbegyndelsen til opgøret med den traditionelle opfattelse, at aktiekursen blot er en simpel nutidsværdi af fremtidigedividender. Selv om Shiller [1981] ikke går nærmere i dybden med en forklaring på prisdynammikken,står studiet for mange som det egentlige grundlag for Behavioral Finance som disciplin. Udfordringen tages opi Campbell & Kyle [1993] der i deres model viser, hvorledes aktiekurser påvirkes af støj der er eksogen og serieltkorreleret. Denne støj fremkommer i Campbell & Kyle [1993] ved en konkurrencemæssige interaktion mellemrationelle arbitragører og irrationelle noise tradere. Disse noise tradere nyttemaksimerer ikke, men handler påen eksogen givet facon og kan påvirke prisdannelsen, fordi de nyttemaksimerende arbitragører er risikoaverse 50 .I agency formueringen gøres der op med opfattelsen fra finansielle tekstbøger om, at udnyttelsen af relativeprisfejl er både risiko- og kapitalfri. Dette kan kun fastholdes, så længe markedets arbitragører er mange småspillere 51 . Shleifer & Vishny [1997] argumenterer dog for, at dette ikke er tilfældet i virkelighedens kapitalmarkeder,da disse mange små arbitragører typisk ikke har den fornødne viden og information til at udnytteprisfejl. I realiteten udføres arbitrage af relativt få og store spillere i form af hedgefonde, pensionskasser, investeringsforeningerog lignende. Arbitragører er derfor højt specialiserede investorer der benytter udefrakommendemidler i deres jagt på overnormale afkast. Der er altså en adskillelse af viden og ressourcer som i et klassiskprincipal-agent setup. Da arbitragørerne (agenten) investerer for indskydernes (principalens) midler, pålæggesdenne derfor en række begrænsninger fra indskyderne - særligt på risiko, tid og kapital. Med dette udgangspunktviser Shleifer & Vishny [1997], at denne performance-baserede arbitrage fungerer dårligst som markedskorrige-50 arbitragørerne antages at have CARA-nytter (se evt. afsnit 4.2.2.1).51 hvilket bl.a. er en implicit antagelse i eksempelvis CAPM og ATP.33

4.2 Limits to arbitrage Martin Heisselrende mekanisme, netop når prisfejlene er mest ekstreme og arbitrage således mest profitabelt. Proffesionelleporteføljemanagere er således mest restringerede af deres investorer, netop når markederne er mest nervøse, ogvolatiliteten derfor er høj.Hirshleifer et al. [2006] er et eksempel på teorierne om positive feedback trading. Ideresmodelhandlernoise tradere på informationer der ingen direkte sammenhæng har til aktivets fundamentale værdi. Handelsaktivitetenpåvirker dog priserne, og Hirshleifer et al. [2006] viser, hvorledes feedback fra noise traderneshandelseaktivitet kan påvirke de underliggence cash flows. Dette kan eksempelvis ske ved, at virksomhedenseksterne interessenter er villige til at investere større beløb i en virksomhed med gode fremtidsudsigter afspejletaf en høj aktiekurs. Ydermere viser Hirshleifer et al. [2006], at de irrationelle noise tradere, under givneforudsætninger, vil kunne tjene overnormale profitter, der overstiger de rationelle informerede investorers afkast.Transaktions- og implementeringsomkostninger har desuden i alle undersøgelser været nævnt somen yderligere begrænsning på arbitragen. Således kan kommisioner, bid-ask spreads, kort-salgs-restriktioner ogandre former for transaktionsomkostninger givetvis gøre udnyttelsen af en arbitragemulighed mindre attraktiv.Herunder hører også eventuelle omkostninger henført til selve identifikationen af den pågældende relative prisfejl(Merton [1987]).Endeligt er der noise-trader risikoen, som i det følgende vil blive gennemgået i større detaljer ved enredegørelse af modellen fra De Long et al. [1990]. Hvor agency formuleringen primært gør op med tankegangenom, at arbitrage ikke kræver kapital, er tilføjelsen fra noise-trader risikoen, at arbitrage næppe kan være risikofri.Noise-trader risikoen er derfor den mest generelle forklaring og således den der som oftest henvises til, nåreffekten af irrationelle investorer skal modelleres.Netop derfor præsenteres i det følgende afsnit 4.2.2 en sådan model. Den grundlæggende tankegang er her,at noise tradernes uforudsigelige forventninger til fremtiden gør arbitrage risikofyldt og derfor begrænset. Noisetraderne skaber på denne måde deres eget eksistensgrundlag.4.2.2 Noise Trader Risk in Financial Markets (De Long et al. [1990])Modellen er en 2-perioders overlappende generationsmodel (OLG), hvilket betyder, at agenterne der er ungei periode 1 dør efter sidste periode, men modellen fortsætter i uendelighed med nye agenter der tilkommer,når gamle agenter udgår. For simplificeringens skyld er der intet forbrug i første periode, ingen beslutning omarbejdsudbud og ingen arv der overgår til de nye agenter.Som nævnt i kapitel 3 samt agency formuleringen af begrænset arbitrage, er det ikke utænkeligt, at markedetsarbitragører er underlagt en relativt kort tidshorisont og således ikke kan fastholde deres positioner, indtilen given fejl i prisdannelsen ophører. Modellens OLG struktur inkorporer på en naturlig måde dette.Om modellens aktiver og agenter er antaget følgende:34

4.2 Limits to arbitrage Martin HeisselAktiver: Derertoaktiverderudbetalerdenidentiskedividende,r. Deteneerdetrisikofrieaktiv,s, ogdet andet det risikofyldte aktiv, u. Detantages,ats er i perfekt elastisk udbud forstået således, at en enhed stil enhver tid kan konverteres til en enhed af forbrug og omvendt. Med forbruget som numéraire bliver prisenpå det sikre aktiv, s, fastsat til altid at være 1, og afkastet, r, denrisikofrierente.Dermedkans fortolkes somen kort risikofri obligation. Det risikofyldte aktiv, u, erifastogkonstantudbudderernormaliserettil1.Prisenpå u er givet ved p t .Modellen illustrerer, hvorledes prisen på aktiverne - som følge af noise trader risk -ikkeblotbestemmessom summen af de tilbagediskonterede dividender. Var dette tilfældet, ville s og u være perfekte substitutter ogprisfastsat til 1 i alle perioder.En fortolkning af u kunne være det aggregerede aktiemarked, og noise trader risk er således generel fremforidiosynkratisk. Dette er en vigtigt, da arbitragørerne ellers ville kunne eliminere prisfejlene af de samme årsagersom, at idiosynkratisk risiko ikke er prisfastsat i standardmodellerne for prisfastsættelse af aktiver – nemligmuligheden for bortdiversificering.Agenter: Derertotyperafagenter.Arbitragørerne (benævnt med a) errisikoaverse,harrationelleforventningerog er tilstede i mængden 1 − µ. Noise traders (benævnt med n) erligeledesrisikoaverse,mentilstedeimængden µ. Agenterne indenfor hver gruppe er homogene og vælger i begyndelsen deres portefølje bestående afs og u for at maksimere den forventede nytte - E (U (w)) - givet deres forventninger til ex ante middelværdienfor fordelingen af p t+1 (prisen på det risikable aktiv til tid t +1).Den repræsentative arbitragør opfatter til tid t den korrekte fordeling af det risikable afkast til t +1 ogbaserer sit porteføljevalg herpå. Den repræsentative noise trader derimod misforstår den forventede pris på detrisikable aktiv. Dette forventningsbias antages at være en identisk og normalfordelt variabelρ t ∼ N ρ ∗ ,σρ2 ρ ∗ er altså et mål for noise tradernes gennemsnitlige optimisme 52 ,ogσρ 2 er variansen på noise traderernes fejlfortolkningaf det forventede afkast. Noise traderen vælger derfor sin portefølje på baggrund af næste periodesdividende, variansen på p t+1 og det faktum, at den misforståede prisfordeling for u har en middelværdi der erρ t højere end den sande middelværdi.4.2.2.1 Nyttemaksimering Det antages, at agenterne har nyttefunktioner med konstant absolut risikoaversion(CARA) af formenU (w) =−e −(2γ)w (4.1)52 eller pessimisme hvis ρ ∗ < 0.35

4.2 Limits to arbitrage Martin Heisselhvor γ er udtryk for agentens konstante risikoaversion og w er den endelige formue fra agentens portefølje. Iappendiks B.1 er vist, at maksimering af den forventede nytte i (4.1) med w ∼ N ¯w, σ 2 wsvarer til at maksimereagenternes certainty equivalent 53 der er givet ved ¯w − γσ 2 w.Givet agentens arbejdsindkomst i første periode, c 0 ,oghansinvesteringer agentens forventede endelige formueλ j t,j= a, n idetrisikableaktiv,¯w = c 0 + λ j t [E t (p t+1 ) − p t − r (p t − 1)]= c 0 + λ j t [E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r] , j = a, n (4.2)Modellen betragter ikke direkte investeringen i det risikofrie aktiv, men gennem ledet r (p t − 1) inkorporeresen alternativomkostning ved investering i u til en pris der er højere end 1 (hvilket som bekendt er prisen på sder giver afkastet r).Den repræsentative arbitragør vælger derfor den investering, λ a t ,dermaksimererfølgendemax E (U a ) = ¯w − γσ 2 λ a wt= c 0 + λ a t [E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r] − γ (λ a t ) 2 E t [p t+1 − E t (p t+1 )] 2= c 0 + λ a t [E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r] − γ (λ a t ) 2 E tσ 2 p t+1(4.3)Ligeledes vælger den repræsentative noise trader den investering, λ n t ,dermaksimerer(DeLongetal.[1990]) maxE (U n ) = c 0 + λ nλ n t [E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r] − γ (λ n t ) 2 E t σp 2 t+1+ λ n t (ρ t ) (4.4)tSom det ses af udtrykkene (4.3) og (4.4) er sidste led i (4.4), λ n t (ρ t ),denenesteforskelidenforventedenytte. Dette kommer af noise traderens misforståede forventede afkast ved at investere λ n t idetrisikofyldteaktivu.Ovennævnte maksimeringsproblem resulterer i følgende efterspørgsler efter det risikofyldte aktiv (1. ordensbetingelser)0 = ∂E (U a )∂λ a ⇔t 0 = E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r − 2γ (λ a t ) E t σp 2 t+1⇔λ a t = E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r2γ (λ a t ) E tσ 2 p t+1 (4.5)53 Det payoff en agent med sikkerhed skal modtage for at være indifferent mellem det sikre payoff og et givet usikkert payoff.For risikoaverse agenter vil denne være mindre end den forventede værdi af det usikre payoff, da agenten foretrækker at reducererisikoen.36

4.2 Limits to arbitrage Martin Heisselfordelingen for p t .VedrekursivsubstitutionkanE t (p t+1 ) derfor elimineres fra (4.7) såp t = µ (ρ t − ρ ∗ )1+r+ µρ∗r− 2γ r E tσ 2 p t+1+1 (4.8)Forventningen til variansen på næste periodes pris er eneste stokastiske led i denne prisligning. Da densamtidig er en simpel lineær funktion af den konstante varians i rækken af noise tradernes misforståelser ogρ t − ρ ∗ ∼ N 0,σρ2 haves µE t σp 2 t+1= σp 2 (ρt − ρ ∗ )t+1= Var1+rVed indsættelse fås prisformlen for det risikable aktiv, u til tid t somp t = µρ∗r+ µ (ρ t − ρ ∗ )1+r− 2γ r= µ2 σ 2 ρ(1 + r) 2 (4.9)µ 2 σρ2 2+1 (4.10)(1 + r)4.2.2.3 Forventede afkast Det postuleres i bl.a. Friedman [1953], at noise tradere tjener lavere afkastend rationelle arbitragører og således drives ud af markedet. Det viser sig imidlertid i modellen, at dette ikkenødvendigvis er tilfældet. Som det vises nedenfor, vil noise traders under givne forudsætninger kunne tjene ethøjere forventet afkast end arbitragørerne.Givet agenternes initialt identiske formue, findes forskellen i henholdsvis noise traderes og arbitragørersafkast som produktet af forskellen i deres beholdninger af det risikable aktiv og dettes afkast. Ved anvendelseaf (4.2), (4.5) og (4.6) udtrykkes dette∆R n−a = (λ n t − λ a t )[E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r]=ρ t2γE tσ 2 p t+1 [E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r]Da E tσ 2 p t+1er givet ved (4.9) vil (λ n t − λ a t ) være givet ved(λ n t − λ a ρ tt )= = ρ t (1 + r) 22γ µ2 σρ2 2γµ 2 σ 2(1+r) 2 ρ(4.11)og følgelig∆R n−a = ρ t (1 + r) 22γµ 2 σ 2 ρ[E t (p t+1 ) − p t (1 + r)+r] (4.12)Bemærk at (4.11) ved lille µ vil være stor. Dvs. noise traders og arbitragører vil tage større positioner i detrisikable aktiv, men med modsatrettede fortegn. Dette skyldes, at den relativt lille mængde noise trader risikofår begge typer af agenter til at tro, at de hver især har en nærmest risikofri arbitragemulighed 55 .55 for µ =0findes ingen ligevægt (uden fundamental risiko), da agenterne her vil tage uendeligt store positioner.38

4.2 Limits to arbitrage Martin HeisselDen forventede værdi af merafkastet på u til tid t er givet vedE t [p t+1 − p t (1 + r)+r] =2γE tσ 2 p t+1− µρ tog derfor fåsE t (∆R n−a ) = ρ t (1 + r) 22γµ 2 σρ2 2γµ2 σρ2(1 + r) 2 − µρ t= ρ t − (ρ t) 2 (1 + r) 22γµσ 2 ρEndeligt er den globale og ubetingede forventning af ovenstående [De Long et al. 1990, p. 714]E (∆R n−a )=ρ ∗ − (1 + r)2 σ 2 ρ +(ρ ∗ ) 2 (1 + r) 22γµσ 2 ρ(4.13)4.2.2.4 Fortolkning Det følgende er en grundigere fortolkning af de enkelte dele i dels prisligningen fordet risikable aktiv (4.10) og forskellen i forventede afkast for noise traders og arbitragører (4.13) der er udledtovenfor. Først betragtes prisligningen fra (4.10)p t =µρ∗ µ (ρ t − ρ ∗ ) 2γ µ 2 σρ2 +−r1+rr (1 + r) 2 +1 prispres fluktuation i priser risiko-kompensationDa µ, ρ ∗ , r, γ og σ 2 ρ alle er konstanter, er kun det andet led stokastisk. Desuden ses det, at udelukkelsen afnoise traders (µ = 0) medfører fuldt efficiente priser der afspejler fundamentalværdien (p t = 1).Det første led er prispresset. Da den gennemsnitlige fejl som noise traderne begår er forskellig fra nul, fangesi dette led det risikable aktivs afvigelse fra dets fundamentale værdi. Des mere optimistiske noise traders er, deshøjere vil prisen være. En større del af denne pris-risiko bæres af de optimistiske noise traders gennem størreefterspørgsel. Da arbitragørerne følgeligt bærer en mindre del af denne risiko, er de villige til at acceptere etmindre forventet afkast og dermed at indgå handler til en aktuelt højere pris.Andet led i prisligningen skaber fluktuationer i prisen som følge af variation i noise tradernes forventningsbias.Generationer af optimistiske noise traders (ρ t >ρ ∗ ) vil hæve prisen, der omvendt sænkes i generationeraf pessimistiske noise traders. Det bemærkes i øvrigt, at andelen af noise traders bevirker prisen på en sådanmåde, at des flere noise traders der er tilstede i økonomien (større µ), jo mere volatile vil priserne være.Det tredje led er helt essentielt for modellen, da det er herigennem, at arbitragørerne kompenseres for noisetrader risikoen. Mere præcist sagt, så er arbitragøren bange for, at pessimistiske noise traders forårsager enfaldende pris, og vil derfor ikke holde det risikable aktiv, medmindre han kompenseres herfor. Det er her værdat bemærke, at begge typer af investorer er fuldt vidende om, at aktivet er forkert prisfastsat, men da næste39

4.2 Limits to arbitrage Martin Heisselperiodes pris (p t+1 ) er usikker, vil ingen af parterne udnytte deres viden til at tage store (potentielt uendelige)positioner af frygt for, at fejlprisningen forværres i næste periode. Noise traderne sikrer således deres egeneksistens, da det er usikkerheden om den fremtidige pris σρ 2 der gør det ellers risikofrie aktiv u risikofyldt ogdermed driver prisen ned og det forventede afkast op. Husk at der ingen fundamental risiko er i modellen, såagenterne kompenseres ikke herfor.Iudtrykketforagenternesforventedeafkast(4.13),kanderidentificeresfireeffekterderparvispåvirkermedmodsatrettede fortegnE (∆R n−a )=ρ ∗ −Efterspørgsels-effektenMarket-timing effekten (1 + r) 2 σ 2 ρ +2γµσ 2 ρ Eksistens-effektenPris-pres effekten (ρ ∗ ) 2 (1 + r) 2Den positive effekt på muligheden for noise trader merafkast kommer dels gennem efterspørgselseffekten ogeksistenseffekten.Af efterspørgselseffekten er det umiddelbart klart, at noise traders kun oplever et positivt merafkast, hvisdisse generelt er optimistiske – dvs. den gennemsnitlige forventningsbias er positiv (ρ ∗ > 0). Er dette tilfældet,efterspørger noise traders relativt mere af det risikable aktiv (jævnfør (4.11)) og påtager sig således en relativtstørre del af prisrisikoen. Betalingen for dette sker ved, at de tjener en større del af afkastet. Hvis noise tradersderimod gennemsnitligt er pessimistiske (ρ ∗ < 0), vilu stadig være risikabelt, og det forventede afkast vil stige,da prisen presses nedad. Men da arbitragøren i dette tilfælde vil have relativt større efterspørgsel efter u, vilhan også modtage mere af det forventede afkast.Eksistenseffekten er et resultat af variationen i noise trader foventningsbias σ 2 ρ.Arbitragørernesrisikoaversiongør, at de ikke vil påtage sig den øgede risiko, der er i forbindelse med at skulle udnytte arbitragemulighederne.Som det ses af relationen, vil en stor variation i forventningsbias medføre, at de negative effektersindflydelse på det relative afkast mindskes. Dette sker netop, fordi arbitrøgeren ikke vil være så aggressiv, somdet kræves for at bringe prisen til fundamentalværdien.Såvel market-timing effekten som pris-pres effekten mindsker mulighederne for noise trader merafkast. Jævnførden tidligere diskussion af prisligningen, så presses prisen op for ρ ∗ > 0. Dettemindskerbetalingenafpåtagetrisiko gennem et mindre forventet afkast, og da noise tradere samtidigt har relativt større efterspørgsel, rammesde relativt hårdere. Dette er pris-pres effekten.Market-timing effekten er et resultat af de homogene forventninger, der er i hver enkelt generation af noisetraders. Den enkelte noise trader efterspørger således mest af det risikable aktiv, når alle andre noise tradereligeledes efterspørger dette. De risikerer derfor i stigende grad at købe dyrt og sælge billigt i takt med, at variationeni forventningsbias øges.40

4.2 Limits to arbitrage Martin Heissel4.2.2.5 Opsamling Det er med ovenstående gennemgang blevet klarlagt, at noise tradere kan have ensignifikant indflydelse i prisfastsættelsen af finansielle aktiver. Det er ligeledes vist, at denne indflydelse undervisse omstændigheder kan være vedvarende. Den fortsatte eksistens af noise traders er afhængig af modellensparametre, men da det ikke er muligt at komme specifikationen af disse parametre nærmere, kan der blotkonstateres følgende om agenternes relative merafkast1. Noise tradernes gennemsnitlige forventningsbias SKAL være positiv, dvs. ρ ∗ > 0, hvisdisseskaloplevemerafkast i forhold til arbitragørerne 562. Grundet pris-pres effekten må den gennemsnitlige forventningsbias dog heller ikke være så stor, at pris-preseffekten, kombineret med market-timing og eksistens-effekten, overskygger efterspørgselseffekten3. Jo mere risikoaverse agenterne er (γ), desstørregennemsnitligtforventningsbiaskanforenesmedpositivtmerafkast til noise traders. Dette sker gennem den øgede eksistens-effekt.4.2.2.6 Afsluttende bemærkninger Det kunne anspores, at modellens OLG-struktur er essentiel forresultaterne. De Long et al. [1990] bemærker dog, at OLG-strukturen ikke er kritisk for de fundne resultater,men derimod særdeles praktisk i to aspekter.For det første sikres at den næste periodes pris altid vil være usikker. Dette skyldes, at modellen med OLGstrukturenfår en uendelig tidshorisont. Med en endelig tidshorisont ville det risikable aktiv skulle likvideres ogdermed handles til den fundamentale værdi i den sidste periode. Arbitragørerne ville dermed sikre en risikofriarbitrage ved at holde aktivet, indtil dette likvideres. Er der derimod fundamental usikkerhed om den endeligedividende, holder modellen dog også med en endelig horisont. OLG-strukturen er således blot en smart mådeat sikre usikkerheden omkring den fremtidige pris.Agenternes tidshorisont er det andet formål med OLG-strukturen. Strukturen sikrer, at alle agenter likvidererderes positioner med udgangen af anden periode. Hermed afspejles, at rationelle spekulanter typisk errisikoaverse og opererer med relativt korte tidshorisonter, hvilket mindsker deres evne til fuldt ud at korrigerede fejlagtige priser til de fundamentale værdier. Des længere arbitragørernes tidshorisont er i forhold til noisetradernes vedvarende forventningsbias, jo mindre risikofyldt bliver arbitragemulighederne, og des mere vil prisernekonvergere mod fundamentalværdien.Der er i modellen en mulighed for, at noise traders under givne omstændigheder vil tjene et større forventetafkast end arbitragørerne. En svaghed ved dette resultat er dog, at omstændighederne under hvilke dettegælder er dårligt defineret. Det er således ikke muligt at definere modellens parametre for hvilke det gælder,at noise traders rent faktisk vil tjene et merafkast i forhold til arbitragørerne. Ydermere siger merafkastet ikkeumiddelbart noget om overlevelsen af disse noise traders på langt sigt. Dette skyldes, at modellen ikke betragterudviklingen i agenternes formuer og forventede nytter der i sidste ende er det der er afgørende for, hvorvidt deirrationelle investorer vil overleve på sigt.56 hvilket eksempelvis er foreneligt med den overdrevne selvtillid og selv-tillæggelsen præsenteret i afsnit 4.1 på side 25.41

4.2 Limits to arbitrage Martin Heissel4.2.3 Om overlevelsen af noise tradere på længere sigtEn række forskere har dog behandlet spørgsmålet om den længerevarende effekt og overlevelse af noise tradere.Dette emne er ikke centralt for afhandlingen, men for fuldstændighedens skyld nævnes kort et par artikleromhandlende spørgsmålet.Forfatterne til modellen fra afsnit 4.2.2 tager selv det første spadestik med De Long et al. [1991]. Modsatmodellen netop gennemgået, kan noise traderne i De Long et al. [1991] ikke påvirke priserne. I deres jagt påafkast tager noise traderne positioner i aktiver, de opfatter som fejlagtigt prissat, men da disse positioner ikkehedger markedsrisikoen, ender noise traderne med at påtage sig større risiko end modellens rationelle investorer.Da denne risiko er priset, viser De Long et al. [1991], at noise traderne ikke alene kan tjene et højere afkast,men også overleve og endda dominere markedet 57 .Kogan et al. [2006] går skridtet videre og konkluderer, at henholdsvis pris-effekt og overlevelse er to uafhængigekoncepter og dermed også, at noise tradere kan have betydende indflydelse på prisdannelsen, selvom dissemåske ikke vil overleve på langt sigt. I en generel ligevægtsmodel viser Kogan et al. [2006] således, at irrationelleinvestorer kan have en vedvarende og betydende indflydelse på prisdannelsen, selvom de har tabt størstedelenaf deres formue i interaktionen med fuldt rationelle agenter.4.2.4 Indikationer på at arbitrage er begrænsetMed fokus på henholdsvis over- og undereaktion (og i mindre grad arbitrage) beskæftigede kapitel 3 sig medempiriske indikationer på, at de finansielle markeder ikke fremstår som fuldt efficiente i henhold til informationsaspektet.Undersøgelser af henholdsvis equity carve-outs 58 og index-inklusioner har ligeledes påvist indikationerpå markeds-inefficiens, men argumentet baseres her på, at arbitrage er begrænset.For equity carve-outs finder Mitchell, Pulvino & Stafford [2002] over en 16-årig periode 70 eksempler på situationer,hvor markedsværdien af et datterselskab overgår markedsværdien af moderselskabet. Denne klare fejli den relative prisfastsættelse er en indikation på, at arbitrage er begrænset, og i høj grad skyldes noise traderrisikoen 59 .Enandeninteressantobservationerdesudenpersistensenafdenrelativeprisfejl,derigennemsnitvarer hele 296 dage inden priserne konvergerer 60 .Ienundersøgelseafindex-inklusionerfinderKaul,Mehrotra&Morck[2000],ataktierderinkluderesiTorontoStock Exchanges 300 index, oplever et persistent positivt spring i aktiekursen. Dette er naturligvis tegnpå en fejlagtig prisdannelse, da inkluderingen i sig selv ikke indeholder nogen direkte fundamentale nyheder.Denis et al. [2003] finder dog, at en sådan indeks-inkludering ikke er fuldstændig uden information, idet bådeanalytiker forecast såvel som realiserede indtjeninger synes at øges efter, at en given aktie inkluderes i et indeks.57 forstået således, at gruppen af noise tradere med mere end 50% sandsynlighed ejer en større andel af økonomiens samledeformue end de rationelle agenter.58 situationene hvor et moderselskab sælger en midre del af aktieandelen i et datterselskab.59 at den relative prisfejl forværres.60 persistensen var i et enkelt tilfælde så lang som 2.796 dage.42

4.3 Delkonklusion Martin HeisselDet er dog et åbent spørgsmål om, hvorvidt hele prisstigningen kan retfærdiggøres herved.Det mest berømte eksempel på at arbitrage er begrænset er dog kurserne på henholdsvis Royal Dutch og ShellTransport, der i 1907 fusionerede i en 60/40 fordeling, men fortsatte operationerne som to separate juridiskeenheder. I et efficient marked betyder dette, at de respektive aktiekurser (tilnærmelsesvis) skal handle i sammekonstante prisforhold, hvor Royal Dutch er 1,5 gange mere værd end Shell Transport målt på markedsværdien.Froot & Dabora [1999] finder imidlertid, at dette langtfra har været tilfældet. Resultaterne - illustreret i figur 9-viserderimodpersistenterelativeprisfejlsvingendefra-35%til15%påRoyalDutchiforholdtildenefficienteparitet.Figur 9: Den procentvise afvigelse fra den teoretiske paritet for aktier og American Depository Receipts mellem Royal Dutch ogShell handlet på NYSE i perioden 1980 - 1994 [Froot & Dabora 1999, fig. 1, p. 193].4.3 DelkonklusionKapitlet har introduceret fundamentet for Behavioral Finance som disciplin. Fra forskningen i den kognitivepsykologi er det dokumenteret, hvorledes agenterne i de finansielle markeder som individer er ofre for en rækkesystematiske fejltagelser. Specifikt er der redegjort for repræsentativitet, konservatisme, selv-tillæggelse ogoverdreven selvtillid. Selvomdettelangtfraerudtømmendefordeilitteraturenidentificeredeinvestorbiases,vurderes disse fire blandt de absolut mest betydningsfulde. Ydermere er det netop disse fire, der i afhandligensfølgende kapitler modelleres i forklaringen af henholdsvis momentum og reversion i aktieafkast.Kapitlets andel halvdel diskuterede teorien om begrænset arbitrage. Ved en redegørelse og analyse af modellenfra De Long et al. [1990] blev det dokumenteret, hvorledes noise tradere kan have en betydende indflydelsepå prisdannelsen i finansielle markeder. Teorien om begrænset arbitrage er et centralt element af BehavioralFinance, og modellerne der præsenteres i de følgende kapitler antager således - med baggrund i nærværendediskussion - at noise tradere er betydende prissættere.43

Martin HeisselKonklusionen fra den traditionelle finansieringslitteratur har ofte været sammenfattet i et ensbetydendeudsagn. Nemlig i det faktum at1) “hvis priserne er rigtige” ⇒ “no free lunch”Og ikke mindst det omvendte, at2) “no free lunch” ⇒ “priserne er rigtige.”Det er vigtigt at understrege, at Behavioral Finance på ingen måde betvivler det første udsagn. Der er såledesingen grund til at tro, at fejlagtige priser ikke vil udnyttes af intelligente investorer, der formår at identificeredisse. Der hvor Behavioral Finance adskiller sig fra den traditionelle litteratur er i det andet udsagn. Kapitlethar således identificeret og diskuteret nogle af de vigtigste psykologiske faktorer, der sammen med teorien ombegrænset arbitrage gør, at en eventuel fejl i prisdannelsen potentielt kan være både omkostningsfuld og risikabelat drage fordel af. Netop derfor kan en fejlagtig prisfastsættelse være vedvarende, som det bl.a. blev nævnt iafsnit 4.2.4 ovenfor.Endeligt leder kapitlets afsluttende diskussion til følgende hypotese om sammenhængen mellem anomalierog begrænset arbitrageDe stærkeste anomalier bør observeres under forhold, hvor arbitrage er mest begrænsetOvenstående hypotese er bl.a. hyppigt anvendt i forbindelse med test af de foreslåede adfærdsmæssige modellersom de der præsenteres i afhandlingens kapitel 8. I disse er det således ofte implicit antaget, at ovenståendehypotese er sand.Kapitel 4 afslutter redegørelsen for nogle af de empiriske observationer og det teoretiske grundlag, der erfundamentet for Behavioral Finance. I afhandlingens næste tre kapitler følger redegørelsen af de teoretiskemodeller i henholdsvis Barberis et al. [1998], Daniel et al. [1998] og Hong & Stein [1999] der alle benytterelementerne fra Behavioral Finance til at forklare momentum og reversion i aktieafkast. Temaet for det følgendeer derfor, hvorledes Behavioral Finance er anvendt som det deskriptive værktøj til at forklare de specifikkeanomalier fra afhandlingens kapitel 3.5 A model of investor sentiment (Barberis et al. [1998])Barberis et al. [1998] præsenterer en model der specifikt søger at forklare den kortsigtede momentum og denlangsigtede reversion der er dokumenteret i afhandlingens kapitel 3. Modellen er en uendelig model med éninvestor og ét aktiv der udbetaler sin fulde indtjening som dividende. Kernen i modellen er, at investoren ikkebenytter den korrekte model til at forudsige de fremtidige indtjeninger, som aktivet generer. Dermed influererinvestorens irrationalitet på prissætningen af aktivet.44

5.1 Modellens antagelser Martin HeisselImodellenforklaresdenkortsigtedemomentumsometresultataf,atmarkedetunderreagerertilnyhederomkring det underliggende aktiv. Dette kan illustreres ved at betragte en nyhed som værende enten god (z t = G)eller dårlig (z t = D). Vedunderreaktionforståsdaataktivetgennemsnitligtlevererstørreafkastiperiodenefteren god nyhed er tilløbet end, hvis denne nyhed havde været dårlig, dvs.E [r t+1 | z t = D] E[r t+1 | z t = G, z t−1 = G, . . . z t−j = G]Tankegangen bag denne overreaktion er ganske enkelt, at investorerne efter en serie af positive nyheder bliveroverdrevet optimistiske om, at denne udvikling vil fortsætte og derfor handler prisen op, med et lavere forventetafkast som resultat. Dette er et klassisk eksempel på repræsentativitet, som det blev præsenteret i afsnit 4.1.4,og præsenteres i Barberis et al. [1998] som årsagen til den langsigtede reversion.5.1 Modellens antagelserI det følgende præsenteres først modellens grundlæggende antagelser om agenter, aktiver og regimer. Herefterfølger en redegørelse af agenternes forventningsdannelse der er et resultat af disse antagelser og er helt centralfor aktivets værdifastsættelse (afsnit 5.2 på side 50)AgenterI modellen optræder én repræsentativ agent der antages at være risikoneutral. Dette kan eksempelvis forstås påen sådan måde, at agentens forventninger er et konsensus over alle agenters forventninger. Det skal ikke forståssåledes, at implikationerne kun gælder, hvis alle agenter er homogene, men blot at modellens resultater baserespå en model med én repræsentativ og betydende investor. Denne repræsentative investor antages at have denkonstante diskonteringsfaktor δ.45

5.1 Modellens antagelser Martin HeisselAktiverDer er i modellen ét aktiv der udbetaler 100% af sin indtjening, N t ,ihverperiodeiformafendividende.Denneindtjening antages at følge en random walk, således atN t = N t−1 + y thvor y t er et indtjeningschok der enten kan antage værdien y eller −y.Investoren tror dog fejlagtigt, at denne indtjening følger én af to mulige processer - hvoraf ingen er en randomwalk. Irrationaliteten ligger altså i, at investoreren konsekvent anvender en forkert model i sin forventningsdannelse.Da den repræsentative og risikoneutrale investor er prissætter, findes aktivets pris som den tilbagediskonteredeværdi af de fremtidige indtjeninger der forventes af denne repræsentative investor, dvs.P t = E tN t+11+δ + N t+2(1 + δ) 2 + N t+3(1 + δ) 3 + ...... (5.1)Regimer, processer og overgangs-sandsynlighederDer er i modellen to regimer med tilhørende to forskellige processer for indtjeningen. Under regime 1 (R t = 1)tror investoren, at indtjeningen følger en model der udviser reversion 61 ,hvorimodregime2(R t = 2) er ensbetydendemed, at investoren forventer, at indtjeningen følger en proces der udviser trend 62 .Beggeprocesserersåledes Markov processer, hvorindtjeningsoverraskelsen,y t , alene afhænger af y t−1 .Den vigtigste forskel på disse to processer er overgangs-sandsynlighederne (π H ,π L ) mellem y t og y t+1 ,hvornøgleantagelsen er, at π L er lille (0

5.1 Modellens antagelser Martin HeisselØkonomiens tilstand (regimet) er afgørende for, hvilken model investoren tillægger indtjeningen. Også dettefølger en markov proces og kan skifte med overgangs-sandsynlighederne λ 1 og λ 2 som defineret i tabel 5.R t+1 =1 R t+1 =2R t =1 1 − λ 1 λ 1R t =2 λ 2 1 − λ 2Tabel 5: Sandsynlighederne for regimeskift hvor λ 1 + λ 2 < 1 og λ 2 >λ 1 .Her antages det, at et regimeskifte forekommer relativt sjældent, således at både λ 1 og λ 2 er små (λ 1 + λ 2 < 1).Ydermere antages det, at λ 1 λ 1λ 1 + λ 2for λ 1 λ 2 .64 irrationaliteten ligger derfor alene i det faktum, at investoren konsekvent benytter en forkert model til at forecaste den fremtidigeindtjening.47

5.1 Modellens antagelser Martin HeisselOpdateringsreglen der følges af investoren bliver derfor⎡⎢⎣Pr(R t+1=1|R t=1) (1 − λ 1 )Pr(RPr(R t=1|y t,y t−1,q t−1)t=2|y ty t−1,q t−1) q t + (1 − q t )q t+1 = Pr(R t+1 =1| y t+1 ,y t ,q t )=Pr(R t+1=1|R t=2)λ 2⎤⎥⎦ Pr(y t+1 | R t+1 =1,y t )[(1 − λ 1 ) q t +(1− q t ) λ 2 ] Pr(y t+1 | R t+1 =1,y t )+[λ 1 q t +(1− q t )(1− λ 2 )] Pr(y t+1 | R t+1 =2,y t ) Pr(R t+1=1)Pr(R t+1=2)(5.2)Den generelle opdateringsregel i (5.2) medfører, at når investoren ser et indtjeningschok i periode t +1der harsamme fortegn som i forrige periode, dvs. y t+1 = y t ,opdatereshansforventningomq t+1 fra q t ved følgenderelationq t+1 =(q t (1 − λ 1 )+(1− q t ) λ 2 ) π L(q t (1 − λ 1 )+(1− q t ) λ 2 ) π L +(q t λ 1 +(1− q t )(1− λ 2 )) π H,hvis y t+1 = y t (5.3)Ser investoren derimod et indtjeningschok med omvendt fortegn fra det forrige (y t+1 = −y t ) sker opdateringenvedq t+1 =(q t (1 − λ 1 )+(1− q t ) λ 2 )(1− π L )(q t (1 − λ 1 )+(1− q t ) λ 2 )(1− π L )+(q t λ 1 +(1− q t )(1− λ 2 )) (1 − π H ),hvis y t+1 = −y t (5.4)Egenskaberne for q tSom nævnt ovenfor er q t den sandsynlighed som investoren tilskriver, at økonomien befinder sig i regime 1, ogindtjeningen således genereres af mean-reverting processen. Da q t er et helt centralt element i modellen 65 ,erdet nødvendigt at se lidt nærmere på egenskaberne for denne parameter.Betragtes en situation, hvor indtjeningschokket til tid t +1 er af modsat fortegn i forhold til tid t, dvs.y t+1 = −y t ,kanfunktionen ¯∆(q) defineres som væksten i q t som følge heraf.¯∆(q) = q t+1 − q t | qt=q, y t+1=−y t=(q (1 − λ 1 )+(1− q) λ 2 )(1− π L )(q (1 − λ 1 )+(1− q) λ 2 )(1− π L )+(qλ 1 +(1− q)(1− λ 2 )) (1 − π H ) − qPå samme måde kan ∆ (q) defineres som faldet i q t der følger af, at indtjeningerne har samme fortegn (y t+1 = y t )∆ (q) = q t − q t+1 | qt=q, y t+1=y t= q−(q (1 − λ 1 )+(1− q) λ 2 ) π L(q (1 − λ 1 )+(1− q) λ 2 ) π L +(qλ 1 +(1− q)(1− λ 2 )) π HDad 2 ¯∆(q)dq≤ 0&d 2 ∆ (q)dq≤ 065 Vigtigheden understreges i afsnit 5.2, hvoraf det fremgår, at q t er en parameter i aktivets prisdannelse.48

5.1 Modellens antagelser Martin Heisseler begge disse funktioner konkave.Intuitionen bag dette er, at jo større q t er, des langsommere vil q t+1 vokse, givet at næste periodes indtjening(y t+1 ) er af modsat fortegn. Investoren tror allerede meget på, at økonomien befinder sig i regime 1 (høj q t )hvorfor endnu et bekræftende indtjeningschok har en aftagende positiv effekt herpå. Dette lægger ligeledes optil, at der findes en øvre grænseværdi for q der udfra opdateringen i (5.4) opfylder at¯q =(¯q (1 − λ 1 )+(1− ¯q) λ 2 )(1− π L )(¯q (1 − λ 1 )+(1− ¯q) λ 2 )(1− π L )+(¯qλ 1 +(1− ¯q)(1− λ 2 )) (1 − π H )På samme måde vil faldet i q t+1 være langsommere for høje værdier af q t .Dettekanforståssåledes,atforhøjq- dvs. investoren tillægger mean-reversion processen en stor sandsynlighed - da vil et kommende indtjeningschokaf modsat fortegn ikke ændre meget på investorens forventning til regimet. Det er hermed dog også klart, atflere på hinanden følgende indtjeningschok af samme fortegn vil mindske værdien af q, ogdettevilligeledesskemed en stigende hastighed des flere ensrettede indtjeningschok der observeres. Hvis der således forekommer enlang serie af ens indtjeningschok, da vil q fortsætte med at falde, til den når en nedre grænse q der jf. (5.3)opfylderq =(q t (1 − λ 1 )+(1− q t ) λ 2 ) π Lq (1 − λ1 )+ 1 − q λ 2πL + qλ 1 + 1 − q (1 − λ 2 ) π HImplikationen af dette er altså, at hvis indtjeningschokket til tid t +1har samme fortegn som indtjeningschokkettil tid t, vilinvestorenssandsynlighedforregime2stige(q t+1 q t | y t+1 = −y t .Mere interessant end konkaviteten i sig selv er det dog at se på funktionernes fortegn over intervallet [0, 1].Der gælder således at [Barberis et al. 1998, p. 337]¯∆(q) ≥ 0 for q [0, ¯q]∆ (q) ≥ 0 for q q, 1 (0 < q < ¯q < 1)Det er her værd at bemærke, at hvis q t q, ¯q så vil q τ q, ¯q ∀ τ>t.Detbetydermedandreord,atnårførstdenne sandsynlighed træder ind i intervallet fra q til ¯q, hvilketmedsikkerhedvilskepåettidspunkt,såvildenforblive i dette interval for evigt. Dette betyder dog ikke, at q 0 initialt skal begrænses til at tilhøre intervallet,men blot at antagelsen kan gøres uden tab af generalitet.Efter ovenstående gennemgang illustreres i tabel 6 en praktisk gennemgang af denne opdatering 66 .Modellener simuleret med parameterværdierne π L =0, 15 < 0, 80 = π H , λ 1 =0, 05 < 0, 25 = λ 2 og q 0 =0, 5 for 3066 se evt. vedlagte Excel-ark i Appendiks C.1.49

5.2 Aktivets værdifastsættelse Martin Heisseltilfældige værdier for indtjeningschokket, y t .t y t q t0 y 0,501 −y 0,862 −y 0,533 −y 0,234 y 0,755 −y 0,946 −y 0,647 y 0,918 y 0,599 y 0,27t y t q t10 y 0,1311 −y 0,6912 y 0,9213 y 0,6114 −y 0,9015 y 0,9716 y 0,7117 y 0,3518 −y 0,8119 −y 0,45t y t q t20 y 0,8521 y 0,5022 −y 0,8723 −y 0,5324 y 0,8725 −y 0,9626 −y 0,7027 y 0,9228 y 0,6229 −y 0,90Tabel 6: udviklingen i q t ved parametrene π L =0, 15 < 0, 80 = π H og λ 1 =0, 05 < 0, 25 = λ 2 samt q 0 =0, 50. Grænseværdierneer q =0, 0753 og ¯q =0, 9851.Som det ses af tabel 6, falder q t bl.a. i perioden fra t =1til t =3,hvilketskyldes,atindtjeningschokkety t ,harsammefortegnialledisseperioder.Huskher,atq t er den sandsynlighed som investoren tilskriver, atøkonomien befinder sig i en tilstand, hvor der forventes et mean-reverting indtjeningschok genereret af model 1-deterderforintuitivt,atdennefalderfrat =1til t =3.Omvendtsesdet,atq t vokser i alle perioder, hvory t og y t−1 har modsatrettede fortegn 67 .5.2 Aktivets værdifastsættelseSom nævnt indledningsvis bestemmes prisen på aktivet af én repræsentativ investor som den tilbagediskonteredeværdi af den fremtidige strøm af indtjeninger jf. (5.1). Disse forventninger reflekterer naturligvis, at investorenfejlagtigt tror, at indtjeningen er genereret af en af de to nævnte modeller, afhængig af hvilket regime investorenforventer. Havde investoren derimod korrekt indset, at indtjeningen i realiteten følger en random walk, da villeE t [N t+j ]=N tog prisen for aktivet blot være givet ved den fundamentale værdi 68P r t= N tδ(5.5)Da investoren i modellen dog tror, at indtjeningen er givet ved enten model 1 eller 2, afviger aktivets pris fradenne fundamentale værdi på en måde der netop afspejler, at investoren bruger en kombination af henholdsvismodel 1 og model 2 til at forudsige de fremtidige indtjeninger. Mere specifikt, så kommer prisdannelsen til atafhænge af modellens tilstandsvariable på en måde angivet i den følgende Propositon 1.67 t =1, 4, 5, 7, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 22, 24, 25, 27 & 29.68 hvor r indikerer, at værdien er den rationelt fundamentale pris.50

5.2 Aktivets værdifastsættelse Martin HeisselProposition 1 (prisdannelsen): Hvis investoren tror at aktivets indtjeninger, y t , genereres som i den regimeskiftendemodel, da vil aktivets pris være givet vedFundamentale værdiN tP t =δhvor ρ 1 og ρ 2 er konstanter givet vedρ 1 =1δρ 2 = − 1 δogγ 0 = (1, −1, 1, −1)γ 1 = (0, 0, 1, 0)+γ 0 (1 + δ)[I (1 + δ) − Q] −1 Qγ 1γ 0 (1 + δ)[I (1 + δ) − Q] −1 Qγ 2Korrektion sfa. irrationalitet y t (ρ 1 − ρ 2 q t ) (5.6)γ 2 = (1, 0, −1, 0)⎛⎞(1 − λ 1 ) π L (1 − λ 1 )(1− π L ) λ 2 π L λ 2 (1 − π L )(1 − λQ =1 )(1− π L ) (1− λ 1 ) π L λ 2 (1 − π L ) λ 2 π L⎜ λ 1 π H λ 1 (1 − π H ) (1− λ 2 ) π H (1 − λ 2 )(1− π H )⎟⎝⎠λ 1 (1 − π H ) λ 1 π H (1 − λ 2 )(1− π H ) (1− λ 2 ) π HDet første led i (5.6) er jf. (5.5) aktivets rationelle fundamentale værdi, Ntδ .Detteeraltsåprisensomaktivetvillehandles til, hvis investoren havde været fuldt informeret om, at indtjeningen følger en random walk. Dette vedinvestoren som bekendt ikke - han forventer derimod en indtjeningsstrøm genereret af enten en mean-revertingeller trend proces afhængig af økonomiens regime.Det andet led, y t (ρ 1 − ρ 2 q t ), i (5.6) er således udtryk for korrektionen til den fundamentale værdi der skeri prisdannelsen som følge af, at den repræsentative investor ikke er fuldt rationel.Bevis af proposition 1:Aktivets pris er givet som summen af de tilbagediskonterede fremtidige indtjeninger, som de opfattes af denirrationelle investor, dvs.DaP t = E tN t+11+δ + N t+2(1 + δ) 2 + N t+3(1 + δ) 3 + ... E t (N t+1 ) = N t + E t (y t+1 )E t (N t+2 ) = N t + E t (y t+1 )+E t (y t+2 )E t (N t+j ) = N t + E t (y t+1 )+E t (y t+2 )+...+ E t (y t+j )51

5.2 Aktivets værdifastsættelse Martin Heisselkan prisen til tidspunkt t skrives somP t = 1 δN t + E t (y t+1 )+ E t (y t+2 )1+δ+ E t (y t+3 )(1 + δ) 2 + ... (5.7)hvorfor kernen i beviset bliver at bestemme E t (y t+j ).Defineres nu q t+j4x1= ,somenmatriceafsandsynlighederbetingetafinvestorensq t+j1 ,q t+j2 ,q t+j3 ,q t+j4informationssæt opsummeret i (y t ,q t ),hvor(Φ t ) indeholder den fulde historie af indtjeninger (y 0 ,y 1 ,y 2 ,.....,y t ),dvs.q t+j1 = Pr(R t+j =1,y t+j = y t | Φ t )q t+j2 = Pr(R t+j =1,y t+j = −y t | Φ t )q t+j3 = Pr(R t+j =2,y t+j = y t | Φ t )q t+j4 = Pr(R t+j =2,y t+j = −y t | Φ t )kan sandsynligheden for henholdsvis (y t+j = y t | Φ t ) og (y t+j = −y t | Φ t ) skrives somPr(y t+j = y t | Φ t ) = q t+j1 + q t+j3 = γ 1x4q t+j4x1hvor γ =(1, 0, 1, 0)og (5.8)Pr(y t+j = −y t | Φ t ) = q t+j2 + q t+j4 = γ 1x4q t+j4x1hvor γ =(0, 1, 0, 1)Det væsentligste i beviset er så at indse at [Barberis et al. 1998, p. 335]q t+j4x1= Q q t+j−14x4 4x1hvor Q er den transponerede overgangs-matrice for tilstandene (R t+j ,y t+j ),dvs.Q = R t+j =1,y t+j = y : R t+j =1,y t+j = −y : R t+j =2,y t+j = y : R t+j =2,y t+j = −y :R t+j−1 =1,y t+j−1 = y | (1 − λ 1 ) π L (1 − λ 1 )(1− π L ) λ 1 π H λ 1 (1 − π H )R t+j−1 =1,y t+j−1 = −y | (1 − λ 1 )(1− π L ) (1− λ 1 ) π L λ 1 (1 − π H ) λ 1 π HR t+j−1 =2,y t+j−1 = y | λ 2 π L λ 2 (1 − π L ) (1− λ 2 ) π H (1 − λ 2 )(1− π H )R t+j−1 =2,y t+j−1 = −y | λ 2 (1 − π L ) λ 2 π L (1 − λ 2 )(1− π H ) (1− λ 2 ) π Hhvoraf det eksempelvis kan ses at Pr(R t+j =1,y t+j = y t | R t+j−1 =2,y t+j−1 = y t )=λ 2 π LDa vil q t+j er altså være produktet af overgangs-sandsynlighederne Q j ,ogdenaktuelleperiodestilstands-52

5.3 Under- og overreaktion Martin Heisselsandsynlighed, dvs.q t+j4x1⎛= Q j q t = Q j4x4⎜⎝q t01 − q t0⎞⎟⎠hvor q t er sandsynligheden for at R t =1og det i øvrigt bemærkes at q t = q t .Afovenståendeog(5.8)fåsog deraf E t (y t+j ) som vi indledningsvis søgte efterPr(y t+j = y t | Φ t ) = γ ogPr(y t+j = −y t | Φ t ) = γ Q j q t1x4 4x4 4x1Q j q t1x4 4x4 4x1E t (y t+j | Φ t )=y tγ Q j q t Pr(y t+j=y t|Φ t)+(−y t )γ Q j q t Pr(y t+j=−y t|Φ t)Indsættes dette i den oprindelige formel for prisen (5.7) fås følgende der afslutter beviset [Barberis et al.1998, p. 336]ρ 1 = 1 δγ 0 (1 + δ)[I (1 + δ) − Q] −1 Qγ 1ρ 2 = − 1 δγ0 = (1, −1, 1, −1)γ 1 = (0, 0, 1, 0)γ 2 = (1, 0, −1, 0)γ 0 (1 + δ)[I (1 + δ) − Q] −1 Qγ 25.3 Under- og overreaktionSom tidligere nævnt kan overreaktion i modellen illustreres ud fra aktivets afkast over tid som følge af en rækkeindtjeningschok med samme fortegn. Derskersåledesoverreaktioniprisdannelsen,hvisenserieafpositiveindtjeningschokforårsager et mindre forventet afkast end en tilsvarende serie af negative indtjeningschok. Formeltkan dette udtrykkes som, at der eksisterer et tal M ≥ 1, sådanatderforallem ≥ M gælder atE t (P t+1 − P t | y t−1 = ....... = y t−m = y) − E t (P t+1 − P t | y t−1 = ....... = y t−m = −y) < 0Underreaktion er derimod en konsekvens af blot en enkelt periodes indtjeningschok og er kendetegnende ved,at det forventede afkast som følge af et positivt indtjeningschok er større end det forventede afkast som følge af53

5.3 Under- og overreaktion Martin Heisselet negativt indtjeningschok, dvs.E t (P t+1 − P t | y t =+y) − E t (P t+1 − P t | y t = −y) > 0For at prisligningen i (5.6) udviser både underreaktion såvel som overreaktion til ny information, er der derforen række betingelser for modellens parametre der skal være opfyldt, hvilket vil være temaet for det følgende.Underreaktion til ny information giver sig udslag i, at prisen, P t ,ikkekorrigerernoktildetobserveredeindtjeningschok.Når prisligningen udviser underreaktion, vil prisen efter et positivt indtjeningschok således værelavere end aktivets fundamentale værdi, Ntδ ,givetdennenyeinformation.Iprisligningen(5.6)svarerdettetil,at korrektionen som følge af irrationalitet er negativ. For at dette er tilfældet, må konstanten ρ 1 69 ikke være forstor iforholdtilρ 2 .Defineresnuq g som en gennemsnitlig værdi af q, kandennebetingelseudtrykkesved 70y t (ρ 1 − q g ρ 2 ) < 0 ⇐⇒ρ 1 < q g ρ 2 (underreaktion) (5.9)Hvis der omvendt over en periode er observeret en række af positive indtjeningschok, da vil overreaktionenforårsage, at prisen overstiger den fundamentale værdi, hvorfor fejlen må være positiv. Dette kan udtrykkes vedy t (ρ 1 − q l ρ 2 ) > 0 ⇐⇒ρ 1 > q l ρ 2 (overreaktion) (5.10)ρ 1 kan altså heller ikke være for lille iforholdtilρ 2 . Det er i afsnit 5.1 på side 48 blevet gjort klart, at qvil være faldende i perioder med flere på hinanden følgende positive indtjeningschok 71 ,såq l er ganske enkeltet udtryk for den generelt lave værdi af q der er resultatet af flere på hinanden følgende positive indtjeningschok.Kombineres betingelserne i (5.9) og (5.10) ses det, at prisligningen i (5.6) vil udvise både underreaktion tilny information såvel som overreaktion til en serie af ensrettede indtjeningschok hvisq l ρ 2

5.4 Illustration Martin HeisselProposition 2 (Under- og overreaktion): Prisligningen i (5.6) vil udvise såvel under- som overreaktion tilindtjeningschokkene, y t , hvis de underliggende parametre λ 1 , λ 2 , π 1 , og π 2 tilfredsstiller atkρ 2

5.4 Illustration Martin HeisselDet modsatte gør sig gældende i figur 10 (højre) der illustrerer underreaktionen. Her er det de små overgangssandsynlighederder sikrer underreaktion. Dette skyldes, at investoren for små π L og π H forventer skiftende indtjeningschokuagtet hvilket regime investoren vurderer der er gældende. Og da underreaktionen netop sker somfølge af skiftende fortegn på indtjeningschokket, må π L og π H begrænses, for at betingelserne for underreaktioner opfyldt.Når de to ovenstående figurer kombineres, fås et illustrativt udtryk for modellens parameter-begrænsningder sikrer både overreaktion og underreaktion i prisdannelsen.Figur 11: Selvom betingelserne for både over- og underreaktion er opfyldt for mange par af transitionssandsynligheder, er resultatetlangt fra trivielt.Det ses tydeligt af figur 11, at en lang række af parameterværdier (π L ,π H ) opfylder de tilstrækkelige betingelserfor, at prisligningen i Proposition 1 udviser både overreaktion såvel som underreaktion. Det er imidlertidogså klart, at dette resultat langt fra er trivielt. Som det ses, findes den ønskede adfærd for værdier der hverkener for store eller for små. Ydermere er det vigtigt at notere sig, at dette billede kun er en illustration forλ 1 =0, 1 < 0, 3=λ 2 - billedet vil alt andet lige se anderledes ud for andre værdier af disse sandsynligheder forregimeskift.Konklusionen på denne illustration er således ikke at afgøre nøjagtigt, for hvilke parameterværdier modellenudviser over- og undereaktion, men nærmere blot at konkludere at en lang række af parameterværdier opfylderde tilstrækkelige betingelser som anført i Proposition 2.56

5.5 Delkonklusion Martin Heissel5.5 DelkonklusionVed at kombinere indsigten om konservatisme og repræsentativitet fra den psykologiske litteratur med de empiriskebeviser om Post-Earnings Announcement Drift og Vinder/Taber-effekten, udvikler Barberis et al. [1998] enmodel der kan forklare short-term momentum og long-term reversion. Momentum forklares således i modellenmed en hypotese om underreaktion, hvorimoddeteroverreaktion der skaber long-term reversion i prisdannelsen.Som nævnt i kapitel 4 baserer konservatismen sig på det klassiske eksperiment udført i Edwards [1968] derdokumenterer, at individer underreagerer til nye indikationer. I samme kapitel var dog også gennemgangen afrepræsentativitet der ifølge Kahneman & Tversky [1972] gør, at individer i nogle situationer overreagerer påny information. Dette blev benævnt base-rate neglect. Spørgsmålet er da, hvad der er bestemmende for, omindivider underreagerer eller overreagerer i en situation, hvor der tilløber ny information?En teori omkring dette findes i Griffen & Tversky [1992] der noterer, at individer opdaterer deres forventningerbaseret på informationens styrke og vægt 73 .Specifiktsynesindivideratfokusereformegetpåinformationensstyrke og for lidt på dens vægt. Underreaktionen (konservatisme) sker i dette setup, når investorerne fokusererfor meget på informationer med høj vægt og lav styrke, hvorimod overreaktionen (repræsentativitet) sker, nårinformationen har lille vægt, men er af stor styrke.Modellen i Barberis et al. [1998] er inspireret af denne hypotese fra Griffen & Tversky [1992]. Et enkeltindtjeningstal kan således synes svagt i relation til at forecaste fremtidige tal, da det blot vil fremstå som etglimt af processen uden tydelig information. Herved ignoreres dog vægten af den seneste information om detfremtidige niveau for indtjeningen. På samme måde vil en serie af ensrettede indtjeningsoverraskelser opfattessom stærke, selvom vægten af denne information i et forecast af fremtidig vækst er begrænset - specielt nårdenne følger en random walk.I modellen følger væksten i indtjeningen netop en random walk, men da investoren som udgangspunkt har enstærk forventning om, at væksten i indtjeningen er mean-reverting, underreagerer han til nye indtjeningsoverraskelser.Det er denne underreaktion der skaber momentum i aktivets afkast. Efter en længere serie af disse ændrerinvestoren sin forventning om regimet og forventer i højere grad, at indtjeningen følger en trend. Da den sandeproces stadig er en random-walk uden trend, overreagerer investoren dog til den seneste indtjeningsoverraskelse.Dette skaber den overreaktion i prisdannelsen der forårsager reversionen.73 Griffen & Tversky [1992] illustrerer dette med en aktieanbefaling. Styrken er da hvor positiv anbefalingen er, og vægten erafsenderens omdømme eller troværdighed.57

Martin Heissel6 Investor Psychology and Security Market Under- and Overreaction(Daniel et al. [1998])I det foregående kapitel præsenteredes en model der var baseret på konservatisme og repræsentativitet. De toøvrige investor biases fra afsnit 4.1 på side 25 benyttes i dette kapitel i modellen fra Daniel et al. [1998] til atforklare samme fænomen om momentum og reversion. Modellernes udgangspunkt - investor biases - er såledesdet samme, men mekanismerne er vidt forskellige.Modellen er en partiel ligevægtsmodel, hvor irrationaliteten modelleres ved overdreven selvtillid og biasedselv-tillæggelse. Konklusionen fra Daniel et al. [1998] er, at overdreven selvtillid og biased selv-tillæggelse kantillægges en betydende indflydelse på prisdannelsen således atOverdreven selvtillid forårsager• negativ autokorrelation over lange lags (reversion)• øget pris-volatilitetBiased selv-tillæggelse tilføjer hertil• positiv autokorrelation over korte lags (momentum)For at modellere effekten af ny information anvendes fire perioder der adskiller sig ved informationens karakter.Modellens irrationelle investorer overreagerer til privat information som følge af overdreven selvtillid. Detteformaliseres ved, at præcisionen på det private signal overvurderes.Når der efterfølgende tilløber ny offentlig information underreagerer, de selvsamme irrationelle investorertil dette. Dette skyldes biased selv-tillæggelse, hvor den opfattede præcision opdateres forskelligt afhængigt af,om den offentlige information be- eller afkræfter informationen i det tidligere private signal. Modellen adskillersig altså bl.a. fra modellen i Barberis et al. [1998] ved ikke blot at betragte offentlig, men også privat information.I det følgende vil modellens grundlæggende antagelser først gennemgås. Dernæst følger i afsnit 6.2 modellen,hvor kun den overdrevne selvtillid er modelleret. I dette afsnit udledes propositioner omhandlende de empiriskidentificerede anomalier fra kapitel 3. Afsnit 6.3 udvider den grundlæggende model til også at indeholde biasedselv-tillæggelse. Gevinsten herved er en proposition der udvider resultaterne fra afsnit 6.2 og forener bådemomentum og reversion. Endelig udvides modellen i afsnit 6.4 til at dække en vilkårlig tidshorisont. Simulationeraf denne models parametre bekræfter de tidligere fundne resultater.6.1 Modellens antagelserDet følgende redegør først for modellens antagelser om agenter, perioder, aktiver og signalerne i forbindelse medafsløringen af ny information.58

6.1 Modellens antagelser Martin HeisselAgenter Det er antaget, at alle agenter lider af overdreven selvsikkerhed i den forstand, at når en tilfældigagent modtager et privat signal, overestimerer han præcisionen af dette. Agenter der modtager et privat signalbenævnes informerede (I), ogagenterderikkemodtagerdetprivatesignaleruinformerede(U). Detantages,at de informerede agenter er risiko-neutrale, og de uinformerede er risiko-averse.Initialbeholdninger Alle agenter er fra begyndelsen udstyret med en forbrugskurv bestående af et antalaktier samt et risikofrit aktiv der fungerer som numeraire og således er en fordring på én enhed af forbrug imodellens sidste periode.PerioderModellen består af fire perioder der forløber som følger• t =0:Herharalleagenterhomogeneforventningeroghandlerkunderesinitialebeholdningerforatopnåoptimal risikodeling.• t =1:Deinformeredeagenter,I,modtageretprivat signal om værdien af det underliggende aktiv. Signaleter fælles for alle, forstået således, at alle informerede får samme støjfyldte signal. Herefter handles dermellem de informerede og uinformerede agenter.• t =2:Dertilløberetstøjfyldtogoffentligt signal til økonomien. At signalet er offentligt betyder, at såvelI som U ser det. Handlen mellem I og U fortsætter herefter.• t =3:Densidsteoffentligeinformationtilløbervedlikvideringafaktivet,dividendenudbetalesogagenternesforbrug finder sted.Det risikable aktiv og signalerneDet risikable aktiv genererer en dividende der antages at være normalfordeltθ ∼ N 0,σθ2 Om henholdsvis det private (periode 1) og offentlige (periode 2) signal gælder ats 1 = θ + , ∼ N 0,σ2 s 2 = θ + η ,η ∼ N 0,σp2 (6.1)hvormed præcisionen af det private signal er 1σ.Deterkendtafalle,atdeinformeredeinvestoreroverestimererpræcisionen af deres private signal. Dette formaliseres ved, at variansen på fejlleddet underestimeres,2 dvs.σ 2 I

6.2 Modellen med konstant selvtillid Martin Heisselsikrer således, at kursen ikke først overreagerer i sidste periode inden aktivet likvideres. Var dette tilfældet, villekorrektionen risikere at blive meget abrupt og overdrevet stor.6.2 Modellen med konstant selvtillidDe risiko-neutrale informerede agenter er prissættere i modellen, hvorfor priserne i hver periode vil opfylde atP 1 = E I (θ | θ + )P 2 = E I (θ | θ + , θ + η)hvor E I er udtryk for at forventningerne er taget under hensyn til agenternes fejlagtige tro på præcisionen afdet private signal σ 2 I

6.2 Modellen med konstant selvtillid Martin HeisselFigur 12: Den fuldtoptrukne linje illustrerer her prisdannelsen med konstant selvtilid. I afsnit 6.3 på side 65 udvides modellentil også at inkludere biased selvtillægelse. Dette resulterer i en prisdannelsen illustreret ved den stiplede linje [Daniel et al. 1998,Fig. 1, p. 1847].Ved anvendelse af de udledte ligevægtspriser kan intuitionen fra figur 12 understøttes formelt. Jf. (6.2) vilprisændringerne til henholdsvis t =1og t =2vil være givet vedog følgeligtP 1 − P 0 = σ2 θ(θ + )σθ 2 + σ2 I P 2 − P 1 = σ2 θ σ2I + σp2 θ + σ2θσp 2 + σθ 2σ2 I ησ2I+ σp2 + σ2Iσp2σ 2 θ− σ2 θ(θ + )σ 2 θ + σ2 ICov (P 2 − P 1 ,P 1 − P 0 )=−(σθ 2 + σ2 I )2 σθ2 σ2 − σI2 σ2I σθ6 (6.3)σ2I+ σp2 + σ2Iσp 2der er negativ under forudsætning af, at de informerede agenter er overdrevet selvsikre σ 2 >σ 2 I.Dennenegativekovariation mellem prisændringerne bekræfter således, at der vil ske en korrektion i prisdannelsen somfølge af det offentlige signal der tilløber til tid t =2.For prisændringen til tid t =3gælder ligeledes jf. (6.2)og derforP 3 − P 2 = θ − σ2 θ σ2I + σp2 θ + σ2θσp 2 + σθ 2σ2 I ησ2I+ σp2 + σ2Iσp2σ 2 θCov (P 3 − P 2 ,P 2 − P 1 )=(σθ 2 + σ2 I ) σθ2 σ2 − σI2 σ2p σI 2σ6 θ σ2I+ σp2 + σ2Iσp 2 2> 0 for σ 2 >σI 2 (6.4)Da aktivet likvideres til t =3,afsløresdensandeværdiafθ.DetfølgerderfordirekteatCov (P 3 − P 1 ,P 1 − P 0 )

6.2 Modellen med konstant selvtillid Martin Heissel0. Sammenmed(6.4)viserdette,hvorledeskorrektionenderskersomfølgeafdetoffentlige-menstøjfyldtesignali periode 2 ikke er fuldstændig, men fortsætter i tiden efter offentliggørelsen.De ovenstående betragtninger kan sammenfattes i følgende propositionProposition 1 (prisændringer): Hvis investorerne lider af overdreven selvtillid1. vil prisændringer som følger af tilkomsten af privat information i gennemsnit blive delvist korrigeret pålangt sigt.2. vil prisændringer som følger af tilkomsten af offentlig information være positivt korreleret med efterfølgendeprisændringer.6.2.2 Autokorrelation og volatilitetDe empiriske studier der har undersøgt autokorrelationerne i aktieafkast, har typisk ikke betinget prisændringernepå, hvorvidt der er tilløbet enten privat eller offentlig information til markedet 75 .Dettesvareranalytisktil, at man i modellen undersøger to på hinanden følgende prisændringer der er tilfældigt udvalgte. Eksempelviskunne man betragte prisændringerne til tid t =1og t =2og sammenligne disse med prisændringerne til tidt =2og t =3.Jævnfør foregående afsnit 6.2.1 vil prisændringerne mellem t =1og t =2have negativ kovarians. Omvendt,så vil kovariansen mellem prisændringerne til t =2og t =3være positiv 76 .Betragtesnudensituation,hvordermed lige stor sandsynlighed vælges to tilfældige og på hinanden følgende prisændringer, da vil den overordnedeautokorrelation være negativ, hvilket kan ses ved at betragte den ubetingede middelværdi af kovarianserne frahenholdsvis (6.3) og (6.4), dvs.= 1 2=12 Cov (P 2 − P 1 ,P 1 − P 0 )+ 1 2 Cov (P 3 − P 2 ,P 2 − P 1 )(σ−2 −σ2 I)σ 2 I σ6 θ(σθ 2+σ2 I) 2 [σθ(σ 2 I 2+σ2 p)+σI 2σ2 p] + (σ 2 −σ2 I)σ 2 p σ2 I σ6 θ(σθ 2+σ2 I)[σθ(σ 2 I 2+σ2 p)+σI 2σ2 p] 2(σ 2 I −σ2 )σ 4 I σ8 θ2(σ 2 θ +σ2 I)[σ 2 I(σ 2 θ +σ2 p)+σ 2 θ σ2 p] 2 < 0for σ2I 0.62

6.2 Modellen med konstant selvtillid Martin HeisselProposition 2 (autokorrelation): Hvis investorerne lider af overdreven selvtillid, da vil ubetingede 77 prisændringer,for både korte og lange lags, være negativt autokorrelerede.Det er værd at bemærke, at Proposition 2 som udgangspunkt ikke er forenelig med momentum, da dettefænomen er defineret som positiv autokorrelation for korte lags. Denne konklusion afhænger dog af, hvor jævntprisdannelsen udvikler sig. I afsnit 6.3 på side 65 udvides modellen til også at betragte biased selv-tillæggelse.Effekten heraf er, at impulse-respons funktionens ekstremum så at sige bliver mindre markant. Da den negativeautokorrelation omkring et sådan jævnere ekstremum vil være mindre i absolutte termer, vil autokorrelationenfor korte lags kunne være positiv (se evt. den stiplede prisudvikling der er afbilledet i figur 12 på side 61).Pris-volatilitet Udover at influere på autokorrelationen i prisdannelsen, vil overdreven selvtillid også påvirkevolatiliteten i denne. Det er umiddelbart klart, at den absolutte størrelse på det irrationelle udsving der følgeraf det private signal afhænger af præcisionen på dette signal. Volatiliteten i prisdannelsen afhænger derfor afgraden af de informerede agenters overdrevne selvsikkerhed. Betragter vi således variansen på prisændringen tilt =1,harvi σ2Var(P 1 − P 0 ) = Var θ(θ + )σθ 2 + σ2 I σ2 2=θσθ 2 + Var(θ + )σ2 I σ2θ+ σ 2= σ4 θ(σ 2 θ + σ2 I )2 (da θ og er stokastisk uafhængige) (6.6)Af (6.6) ses det således, at prisvolatiliteten omkring det private signal er faldende i σI 2 og følgeligt voksende ipræcisionen 78 .Øgetselvtillidresultererdermedistørreprisvolatilitetomkringdetprivatesignal.Som en naturlig konsekvens heraf åbnes ligeledes muligheden for en øget prisvolatilitet omkring tidspunktetfor det offentlige signal. Da den nødvendige korrektions størrelse som udgangspunkt er ukendt, vil prisvolatilitetenomkring det offentlige signal (Var(P 2 − P 1 )) dog enten kunne øges eller mindskes. Dette ses daogså af udtrykket σ2Var(P 2 − P 1 ) = Var θ σ2I + σp2 θ + σ2θσp 2 + σθ 2σ2 I η σθ2 − σ2 θ(θ + )σ2I+ σp2 + σ2Iσp2 σθ 2 + σ2 IσI4 σI 4σ6 θ + σ8 θ σ2 + σθ 4σ2 p σ2I + σθ 2 2= σ2θσ2I+ σp2 + σ2Iσp 2 2(6.7)(σ2I+ σθ 2)2 om hvilken det ikke umiddelbart kan afgøres, hvorvidt denne vil være voksende eller faldende i σ 2 I .Tidligere betragtede vi den ubetingede autokorrelation. På samme vis kan den ubetingede volatilitet i pris-77 dvs.„ «der ikke betinges på tilkomsten af hverken privat eller offentlig information.781σ 2 I63

6.2 Modellen med konstant selvtillid Martin Heisseldannelsen vurderes ud fra et eksperiment, hvor volatiliteten beregnes helt tilfældigt i modellen. Uden at betingepå henholdsvis privat eller offentlig information, vil de enkelte varianser i en sådan beregning ganske enkeltvægtes lige, og modellens ubetingede volatilitet er således det aritmetiske gennemsnit af de enkelte varianser iprisændringerne, dvs.Var ubetinget = 1 TTVar(P t+1 − P t ) (6.8)t=0Excess volatiliteten kan da defineres som forskellen i volatilitet, når der er overdreven selvtillid dvs. σI 2 0for σ 2 I 0 for σI 2

6.3 Simpel og stiliseret model med udfaldsafhængig selvtillid Martin HeisselProposition 3 (pris-volatilitet):1. Overdreven selvtillid øger volatiliteten omkring det private signal (s 1 ), kan enten øge eller mindske volatilitetenomkring det offentlige signal (s 2 ) og øger den ubetingede volatilitet (Var excess )2. Med overdrevet selvsikre (informerede) investorer vil den proportionale excess volatilitet være større omkringtidspunktet for det private signal (t = 1) end omkring tidspunktet for det offentlige signal (t = 2).Som en ekstra gevinst, leverer modellen altså også en mulig forklaring på, hvad der er blevet benævnt “the equityvolatility puzzle” (Shiller[1981]) 81 .6.3 Simpel og stiliseret model med udfaldsafhængig selvtillidIdenovenståendemodelleringblevdetantaget,atagenternesselvtillididetprivatesignalvarkonstant.Medbaggrund i selv-tillæggelsen der tidligere er beskrevet i afsnit 4.1.2 på side 26, udvides modellen nu til atinkorporere en udfaldsafhængig selvtillid. Mere specifikt, så påvirkes de informerede agenters selvtillid på enasymmetrisk måde, således at et offentligt signal (s 2 ) der bekræfter agentens private signal (s 1 ) øger agentenstillid til dette signal. Afkræfter det offentlige signal derimod agentens private signal, forbliver agentens tillid idet private signal konstant.Modelleringen er således udtryk for en asymmetrisk (biased) selv-tillæggelse. Effekten heraf er, at den offentligeinformation der tilløber til tid t =2kan øge selvtilliden og derved også forstærke overreaktionen iprisdannelsen jf. figur 12 på side 61 (den stiplede linje).Iforholdtildenstatiskemodelfraafsnit6.2gøresdetoffentligesignaldertilløbertilt =2nu diskret såledesat s 2 = {−1, 1}, hvordetpositivesignalmodtagesmeddenkonstantesandsynlighedp 82 .Vurderingen af og selvtilliden til de informerede investorers private signal afhænger af det offentlige signalsåledes at hvissign (s 1 )=sign (θ + ) =sign (s 2 )reduceres de informeredes varians på den normalfordelte støj 83 med konstanten k såσ 2 I − k

6.3 Simpel og stiliseret model med udfaldsafhængig selvtillid Martin HeisselGivet at alle stokastiske variable som tidligere antages normalfordelte fås følgende priser (lig priserne i (6.2))P 0 = 0P 1 = E I (θ | θ + ) = σ2 θσθ 2 + (θ + ) (6.11)σ2 IHvis det offentlige signal i periode 2 afkræfter det private signal fra periode 1, forbliver selvtilliden som sagtkonstant. Det offentlige signal er dermed uden information og som følge heraf vil prisen til tid t =2ikke ændres(dvs. P 2 ≈ P 1 ).Er signalet derimod bekræftende så sign (s 2 )=sign (s 1 ),bestemmesdennyepris,P 2I ,udfradetnyeniveaufor den informerede agents øgede selvtillid, σI 2 − k, såledesatσ 2 θP 2I =σθ 2 + (θ + ) (6.12)σ2 I− kder blot afviger fra prisen til tid t =1fra (6.11) ved at σ 2 I er erstattet af σ2 I − k.For at tillade yderligere støjfyldt offentlig information der måtte komme senere at have en inflydelse påkorrektionen, kan der tilføjes et tidspunkt t =3 mellem tidspunkterne t =2og t =3 84 .Detteandetoffentligeog støjfyldte signal antages at have formen fra (6.1), dvs.s 3 = θ + η,η ∼ Nid 0,σP2 Idetteset-upvilprisentiltidt =3 når P 2 ikke påvirkes af den øgede selvtillid som følge af sign (s 2 ) = sign (s 1 )være givet som i (6.2).Påvirkes selvtilliden derimod af det første offentlige signal, s 2 ,erstattesi(6.2)blotσI 2 med σ2 I − k, dvs.P 3I =hvor⎧σ ⎪⎨ θ(σ 2 2 I +σ2 P )Dθ + σ2 θ σ2 PD + σ2 θ σ2 ID η hvis sign(s 2) = sign (s 1 )⎪⎩σθ(σ 2 2 I −k+σ2 P )Dθ + σ2 θ σ2 PD + σ2 θ(σ 2 −k) IDη hvis sign(s 2 )=sign (s 1 )(6.13)D ≡ σ 2 θogD ≡ σ 2 θσ2I + σp2 + σ2I σp2σ2I − k + σp2 + σ2I − k σp2Nedenstående tabel opsummerer på overskuelig vis den forventede prisdannelse betinget af forholdet mellemdet private og det offentlige signal.84 se evt. figur 12 på side 61.66

6.3 Simpel og stiliseret model med udfaldsafhængig selvtillid Martin HeisselP t sign (s 2 )=sign (s 1 ) sign (s 2 ) = sign (s 1 )P 0 = 0 0P 1 =σ 2 θσθ 2+σ2 I(θ + )σ 2 θσθ 2+σ2 I(θ + )P 2 =P 3 =σ 2 θσ 2 θ +σ2 I −k (θ + ) >σθ(σ 2 2 I −k+σ2 P )Dθ + σ2 θ σ2 PD + σ2 θ(σ 2 −k) IDη ≶σ 2 θσθ 2+σ2 I(θ + )σθ(σ 2 2 I +σ2 P )Dθ + σ2 θ σ2 PD + σ2 θ σ2 IDηP 3 = θ θTabel 7: Den forventede prisdannelse i modellen med udfaldsafhængig selvtillid, hvor D ≡ σθ2 `σ2 I − k + σp2 ´+`σ2 I − k´ σp 2 & D ≡σθ2 `σ2 I + σp2 ´+ σ 2I σp.2Modellens implikationerFølgerne af den introducerede biased selv-tillæggelse i form af øget selvtillid er, at modellen nu ikke kun i korrektionsfasen,men også i overreaktionsfasen udviser momentum på kort sigt (dvs. korte lags). Da den eksogenesandsynlighed for det positive signal er konstant og tidspunkt 1 prisændringen med sandsynligheden 0,5 harværet positiv, fås af loven om itererede forventninger [Daniel et al. 1998, p. 1879]Cov (P 2 − P 1 ,P 1 − P 0 ) = E s2 (E [(P 2 − P 1 )(P 1 − P 0 ) | s 2 ])= 1 kσθ4 σ2θ+ σ 22 (σθ 2 + σ2 I − k)(σ2 θ + > 0 da k

6.4 Dynamisk model med udfaldsafhængig selvtillid Martin HeisselMønstret kan forklares ved følgende betragtning; Da impuls-respons funktionen topper med prisen på sithøjeste til tidspunkt t =2(ved tilkomsten af det offentlige signal), og samtidig antages at være monotontvoksende (aftagende) i overreaktionsfasen (korrektionsfasen), 86 vil alle én-perioders og på hinanden følgendeprisændringer indenfor samme fase have positiv autokorrelation. Omvendt vil netop de to én-perioders og påhinanden følgende prisændringer der omgiver impuls-respons funktionens maksimum være negativt korrelerede.87 Under givne parameterværdier vil denne fase-overlappende og negative autokorrelation dog være tæt på 0.Dette vil være tilfældet, hvis den ekstra selvtillid som følge af et bekræftende offentligt signal er begrænset (dvs.k er lille), eller det efter tidspunkt t =2tilstødende offentlige signal er meget støjfyldt 88 (ση 2 er stor), hvorvedkorrektionen bliver svag.Betragtes dette tilfælde, da vil de positive autokorrelationer der findes i både overreaktionsfasen og korrektionsfasenopveje den (lille) negative autokorrelation der netop kendetegner faseovergangen. For store stikprøvervil dette resultere i, at den ubetingede autokorrelation for to på hinanden følgende prisændringer vil værepositiv. Prisudviklingen udviser altså momentum. Omvendt, så vil autokorrelationen for prisændringer med storelags være negativ da disse – i gennemsnit – vil blive trukket fra henholdsvis overreaktions- og korrektionsfasen.Modellen leverer således en samlet forklaring på den kortsigtede momentum og langsigtede reversion deropsummeres i følgende propositionProposition 4 (momentum og reversion): Hvis investorernes selvtillid ændres som følge af biased selv-tillæggelse,og hvis overreaktionen eller korrektionen er passende jævn, så vil aktiekursændringer udvise ubetinget positivautokorrelation for korte lags (momentum) og negativ autokorrelation for lange lags (reversion).Det skal her bemærkes, at forklaringen på momentum er en anden end forklaringen fra afsnit 3.1.2.2 på side 19.I Jegadeesh & Titman [1993] forklares momentum således med, at prisdannelsen er langsom i sin opdatering tilnyheder. Momentum er da et resultat af underreaktion - som det blev modelleret i kapitel 5.ImodellenfraDanieletal.[1998]derimod,ermomentumetresultatafoverreaktion-enoverreaktionderforstærkes yderligere af bekræftende offentlig information.6.4 Dynamisk model med udfaldsafhængig selvtillidOvenfor blev modellen gennemgået i et simpelt og kort tidsperspektiv. Modellen vil i det følgende blive udvidettil at dække et tilfældigt antal perioder. Modellen kan løses ved simulation, hvilket resulterer i mønstre der erkonsistente med propositionerne udledt i de simplere modeller der er gennemgået tidligere.86 idet det er antaget, at offentlig information der tilløber senere end tidspunkt 2 ikke påvirker agentens selvtillid.87 se evt. figur 12 på side 61.88 eller begge dele.68

6.4 Dynamisk model med udfaldsafhængig selvtillid Martin HeisselHelt som tidligere modtager den informerede investor et privat signal, om hvilket han har en forudindtagettro på. Denne selvtillid opdateres i tråd med biased selv-tillæggelse som i afsnittet ovenfor. Den uobserveredefundamentale værdi af aktien er som før normalfordelt med en (af alle) kendt varians˜θ ∼ N 0,σθ2 Nøjagtigt ligesom tidligere modtager hver informerede investor på tidspunkt 1 et privat signal. På tidspunkt2ogalleefterfølgendetidspunkterindtiltidspunktTtilløberderligeledesetoffentligtsignal,hvisvarianserkendt af alle. Der antages˜s 1 = ˜θ +˜ ,˜ ∼ Nid 0,σ2 ˜φ t = ˜θ +˜η t , ˜η t ∼ Niid 0,ση2 Lad nu Φ t være gennemsnittet af alle offentlige signaler indtil tid t, såΦ t =1(t − 1)tτ=2˜φ τ = θ + 1(t − 1)t˜η ττ=2, Φ t ∼ Nidθ,σ 2 η(t − 1)(6.15)hvor t − 1 udtrykker, at det første signal ikke er offentligt, men derimod privat.Som tidligere er det i præcisionen af det private signal, 1/σ 2 ,atirrationalitetenfordeinformeredeagenterinkorporeres. Specifikt så implementeres følgende opdateringsregel for investorens præcision v I,t = 1σ 2 I,t⎧ ⎪⎨ 1+k vI,t−1 hvis |s 1 − Φ t−1 | < 2σ Φ,t & sign (s 1 − Φ t−1 )=sign (φ t − Φ t−1 )v I,t =⎪⎩(1 − k) v I,t−1 ellers(6.16)Til tidspunkt t =1tror den informerede investor, at hans private signal er mere præcist end det i virkelighedener v I,1 =1/σ 2 I,1 < 1/σ2 = v . Ved enhver frigivelse af offentlig information opdaterer den informeredeinvestor sit estimat på præcisionen således, at selvtilliden øges hvis signalet, φ t , bekræfter og samtidig ikkeafviger for meget fra det private signal 89 . Omvendt mindskes selvtilliden ved et afkræftende signal, men da detantages, at k>k> 0, er selv-tillæggelsen som tidligere biased. 1+k1−kinvestorers selv-tillæggelses bias.kan således fortolkes som en proxy forLigevægtenPå alle tidspunkter antages den risikofrie rente at være 0 og agenten risiko-neutral, så derfor erprisen på aktivet lig forventningen til den endelige dividendeP t = E I˜θ | s1 ,φ 2 ,........,φ t = E I˜θ | Φt(6.17)89 her 2 standardafvigelser på det gennemsnitlige signal indtil tid t, σ Φ,t .69

6.5 Illustration ved simulering Martin HeisselDefineres nu præcisionen på ˜θ og ˜φ t som henholdsvis v θ =1/σ 2 θ og v η =1/σ 2 η er prisen til tidspunkt t givet ved[Daniel et al. 1998, p. 1860]˜P t = E˜θ | s1 , Φ t = (t − 1) v ηΦ t + v I,t s 1(6.18)v θ + v η + v I,thvor det ses, at (t − 1) v η er præcisionen af det gennemsnitlige offentlige signal Φ t da1σ 2 ηt−1= t − 1σ 2 η=(t − 1) v ηPrisdannelsen i (6.18) er derfor til enhver tid en vægtning af den samlede offentlige information samt de informeredeinvestorers private information, hvor vægtningen tager udgangspunkt i informationernes præcision.6.5 Illustration ved simuleringFor at illustrere denne dynamiske model simuleres i Daniel et al. [1998] 50.000 prisudviklinger løbende over 120perioder (T = 120). Isimulationenermodellensparametresatsomfølger:• ¯k =0, 75 >k=0, 1 illustrerer assymetrien i opdateringen af den selvsikre investors selvtillid. Ved etbekræftende signal øges investorens tro på præcision af hans signal således mere, end den sænkes ved etafkræftende signal,• σ 2 = σ 2 θ =1

6.5 Illustration ved simulering Martin HeisselFigur 13: Prisudviklingen når s 1 = 1 og θ = 0 for situationen med konstant (stiplet) og varierende investor selvtillid (fuldtoptrukne) [Daniel et al. 1998, Fig. 2, p. 1861].Det er umiddelbart klart, at prisen initialt springer fra 0 til 0,5 som følge af det bemærkelsesværdigt positivesignal. Dette sker både i situationen, hvor investorens selvtillid i dette signal er konstant og varierende somfølge af selv-tillæggelsen. Efter det private signal begynder den offentlige nyhedsstrøm at tilløbe, og det ses affiguren, at den gennemsnitlige prisudvikling fortsætter med at stige, til den når sit maksimum i ¯P =0, 7366 iperiode t = 16. Efterperiode16vendertendensen,ogdengennemsnitligeprisudviklingerfaldendefortilsidstat have vandret asymptote i P =0. For situationen med konstant selvtillid er det klart, at prisen vil falde jævntsom følge af, at mere offentlig information om den fundamentale værdi afsløres.Det der driver den initiale overreaktion er således den informerede investors overdrevne selvtillid i detprivate signal. Han lægger således mere vægt på dette (overreaktionsfasen), indtil han på et tidspukt indser,at det offentlige informationssæt er mere præcist og han derfor revurderer sin forventning til aktivets værdi(korrektionsfasen). Det er derfor ikke overraskende, at en afbildning af investorens selvtillid over tid vil udvisesamme pukkelformede udvikling (Daniel et al. [1998]).71

6.6 Delkonklusion Martin HeisselFigur 14: Figuren illustrerer intuitionen fra Proposition 4 om, at autokorrelationen er positiv for korte lags (momentum) og negativfor lange lags (reversion) [Daniel et al. 1998, Fig. 3, p. 1862].Endeligt er den ubetingede gennemsnitlige autokorrelation for lags 1 til 119 illustreret i figur 14 og bekræftermodellens intuition fra Proposition 4 og figur 13. Simulationerne udviser således positiv autokorrelation for kortelags (momentum) og negativ autokorrelation for lange lags (reversion).6.6 DelkonklusionIkapitel6ermodelleretetalternativtilforklaringenfrakapitel5(Barberisetal.[1998])påmomentumogreversion i aktieafkast. I Daniel et al. [1998] baseres forklaringen således på overdreven selvtillid og ændringeni denne selvtillid som følge af biased selv-tillæggelse.Imodellenoverreagererinvestorernetilprivatinformationogunderreagerertiloffentliginformation.Deirrationelleinvestorer overvurderer som følge af overdreven selvtillid præcisionen af deres private signal, hvorvedoverreaktionen opstår. Med biased selv-tillæggelse øges denne overreaktionen ved et bekræftende offentlig signal.Overreaktionen efterfølges af en korrektion (reversion), når yderligere offentlig information tilløber og afsløreraktivets lavere fundamentale værdi.Den traditionelle opfattelse fra de empiriske studier er, at momentum skyldes underreaktion, og at reversioner et resultat af overreaktion 90 -hvilketogsåvarresultatetfragennemgangenafmodellenikapitel5.Ved en alternativ modellering af investor irrationalitet, implicerer modellen i Daniel et al. [1998] derimod,at momentum kan skyldes en fortsat overrreaktion skabt af overdreven selvtillid og biased selv-tillæggelse. Denefterfølgende korrektion er naturligvis et direkte resultat af denne overreaktion, men da korrektionene kun erdelvis, kan reversionen karakteriseres som underreaktion til offentlige nyheder.90 se evt. afhandlingens kapitel 3 på side 8.72

Martin HeisselPå det lange sigt er modellerne i Barberis et al. [1998] og Daniel et al. [1998] dog konsistente, idet de beggeleverer en forklaring på momentum og reversion i aktieafkast. Mekanismerne på det mellemlange sigt adskillersig dog, idet den bærende mekanisme i Barberis et al. [1998] er undereaktion, hvorimod Daniel et al. [1998]baserer sig på overreaktion. Hvorvidt den ene forklaring er bedre end den anden, er et empirisk spørgsmål, ogsvaret skal således søges i data. Dette vil blive berørt yderligere i afhandlingens kapitel 8.Det er i øvrigt værd at notere sig den kendsgerning, at havde investorerne alternativt været præget af manglendeselvtillid, ville modellen i stedet implicere reversion på kort sigt, momentum på langt sigt og utilstrækkeligpris-volatiltet (set i forhold til fuldt rationelle priser) - stik imod de empiriske indikationer. Dette illustrerer påglimrende vis problematikken omkring modellering af menneskelig psykologi og således også vigtigheden i, atmodellen baserer sig på to veldokumenterede investor biases.Fælles for modellerne i henholdsvis kapitel 5 og 6 er, at resultaterne baserer sig på fejl i agenternes forventningsdannelse.Modellen der følger i kapitel 7 går en anden vej, hvor den bærende mekanisme ikke baseres påagenternes forventningsdannelse, men i stedet den konkurrencemæssige interaktion i markedet mellem rationelleog irrationelle agenter.7 A Unified Theory of Underreaction, Momentum Trading, and Overreactionin Asset Markets (Hong & Stein [1999])Udgangspunktet for forklaringen i de to foregående kapitler er investor irrrationalitet, hvor identificerede biasesinfluerer på agenternes forventningsdannelse. Nærværende kapitel tager en anden tilgang i forklaringen afmomentum og reversion. Udgangspunktet her er således begrebet begrænset rationalitet (Simon [1955]), der argumenterer,at en beslutningsproces er præget af en række begrænsninger og følgelige trade-offs. Når begrænsettid, information og ressourcer til at håndtere stor kompleksitet forenes med personlige begrænsninger 91 ,opståren situation, hvor agenten er nødsaget til at træffe det tilfredsstillende valg fremfor det optimale. Det er dogvigtigt at skelne mellem begrænset rationalitet og irrationalitet, idet begrænset rationelle agenter har til hensigtat agere rationelt [Williamson 1981, p. 553]. De agerer med andre ord så rationelt som muligt givet de førnævntebegrænsninger og trade-offs.Momentum og reversion skabes i Hong & Stein [1999] som et resultat af den konkurrencemæssige interaktionmellem to grupper af agenter, hvor alle er begrænset rationelle. Blandt nyhedshandlerne, observerer den enkeltenyhedshandler en mængde privat information, men kan ikke udlede yderligere information fra den gældende prisimarkedet.Enheltcentralantagelseerda,atdenneprivateinformationdiffunderergradvistipopulationenafnyhedshandlere, hvorved prisdannelsen - per definition - vil udvise underreaktion på kort sigt 92 .91 kunne eksempelvis være kravet til succes, følelser, personligt pres osv.92 som også var tilfældet i modellen fra kapitel 5 på side 44.73

7.1 Modellens antagelser Martin HeisselDenne underreaktion skaber profitmuligheder for den anden gruppe af agenter - momentumhandlerne - derimodellenssetupaleneformåratbaserederesefterspørgselpådensenestekursudvikling.Ensåsimpelhandelsstrategiviser sig at skabe overreaktion på lidt længere sigt. Det er denne overreaktion der afslutningsvis ergrundlaget for kursudviklingens langsigtede reversion mod aktivets fundamentale værdi.Afsnit 7.1 introducerer indledningsvis de generelle antagelser om aktivet og agenterne. Dernæst behandlerafsnit 7.2 modellen i et setup der alene indeholder nyhedshandlerne. Det er også i dette afsnit, at den centraleformalisering af informationsspredningen defineres. Momentumhandlerne tilføjes i afsnit 7.3 der afsluttes medto propositioner om henholdsvis prisdynamikken og autokorrelationen i prisdannelsen. Modellen illustreres vedsimulation og komparativ statik på modellens centrale parametre i afsnit 7.4.7.1 Modellens antagelserDet følgende er de generelle antagelser om aktivet og modellens agenter. Øvrige antagelser præsenteres i taktmed, at elementerne tilføjes modellen i afsnit 7.2 og 7.3.Aktivet Modellen opererer med kun ét risikofyldt aktiv. Dette aktiv udbetaler først udbytte ved likvideringtil tidspunkt T. Der er således ikke løbende dividendeudbetaling. Resultatet heraf er, at aktivets fundamentaleværdi kan skrives somD T = D 0 +Tj=0 j, j ∼ Nid 0,σ 2hvor de normalfordelte j fortolkes som de periodevise nyheder om aktivets endelige fundamentale værdi derobserveres af den ene type af agenter. Da aktivet ikke udbetaler udbytte på løbende basis, betragter modellenudelukkende grænsetilfældet hvor T →∞. Fokus kan hermed rettes mod steady-state strategier der er uafhængigeaf tiden, til aktivet likvideres. Gennem hele modellen er den risikofrie rente for nemheds skyld normaliserettil værende 0.Agenter Der er i modellen to typer af agenter - Nyhedshandlere og Momentumhandlere. To antagelser er fællesfor begge typer af agenter, nemlig at de dels antages at have CARA-nytter 93 og desuden er begrænset rationellei den forstand, at de hver især kun er i stand til at håndtere en delmængde af den tilgængelige information. Derer således ingen fuldt rationelle agenter i modellen forstået på den måde, at ingen agent formår at håndtere alinformation. Som nævnt indledningsvis agerer agenterne dog rationelt, givet deres respektive begrænsninger.7.2 Modellen kun med NyhedshandlereDet første led i udviklingen af modellen er at se på prisdannelsen i en situation kun bestående af nyhedshandlere(fundamentalister). Disse nyhedshandlere baserer deres handler alene på private signaler om aktivets fremtidigefundamentale værdi. Historiske og aktuelle priser er således ikke en del af beslutningsgrundlaget.93 konstant absolut risikoaversion - dette var eksempelvis også en antagelse i modellen fra afsnit 4.2.2 på side 34.74

7.2 Modellen kun med Nyhedshandlere Martin HeisselInformationsspredningEn helt essentiel antagelse er, at nyhedsstrømmen diffunderer gradvist ud i populationenaf nyhedshandlere. Den tekniske modellering af dette sker på en noget uortodoks facon som gennemgåsidetfølgende.Om nyhedshandlere er det antaget, at de kan opdeles i z lige store delpopulationer ligesom hver enkeltfundamentale nyhed, j ,kanopdelesiz uafhængige del-nyheder hver med den konstante varians σ2z .Formeltkan det formuleres ved at j =z n j = 1 j + 2 j + 3 j + ... z jn=1Når der til tid t tilløber information om t+z−1 94 ,diffundererdettegradvistudipopulationafnyhedshandlerepå følgende måde: gruppe 1 observerer 1 t+z−1, gruppe2ser 2 t+z−1, gruppe3opfatter 3 t+z−1 osv. Dette gældergennem hele populationen af nyhedshandlere indtil gruppe z der observerer z t+z−1. Såledeshar 1 zaf den samledepopulation af nyhedshandlere til tid t observeret hver enkelt del-nyhed af t+z−1 .I næste periode, t +1,roterergruppernesåledes,atgruppe1nuser 2 t+z−1, hvorimodgruppe2observerer 3 t+z−1 osv. Som i periode t fortsætter dette gennem hele population, således at gruppe z til tid t +1ser denførste del-nyhed, dvs. 1 t+z−1. Pådennemådespredesnyhedernegradvist,da 2 zmed hver del-nyhed af t+z−1 .af populationen nu er bekendtDette rotationsprincip fortsætter indtil tid t + z − 1, hvorhverenkeltdelpopulationvilhavesetsamtligedelnyheder, hvorfor t+z−1 da er fuldt afsløret. En umiddelbar fordel ved denne form for nyhedsspredning er, atalle nyhedshandlere på ethvert givet tidspunkt vil være lige velinformeret omkring aktivets fundamentale værdi.Idennemodelleringafnyhedsspredningenkanparameterenz fortolkes som en proxy for informationsflowet.Jo større z, deslangsommerespredesnyhederneipopulationenafnyhedshandlere.Deterklart,atdennemodellering ikke umiddelbart kan forklare den form for underreaktion der empirisk er observeret i litteraturen omPEAD 95 ,hvoralleagenterfårinformationenpåsammetid.Konstruktionenharderimodikkenogleudmiddelbaresvagheder i relation til at forklare den ubetingede positive autokorrelation der er påvist for korte tidshorisonter(Jegadeesh & Titman [1993]).Aktivet og NyhedshandlerneSom tidligere nævnt har alle agenterne CARA-nytter. Ydermere antages det,at alle nyhedshandlere lever indtil aktivet likvideres til tid T ,dersåledesogsåerderesinvesteringshorisont.To mere kritiske og utraditionelle antagelser gøres dog i det følgende. For det første antages det, at nyhedshandlernetil tidspunkt t vil basere deres efterspørgsel efter det risikable aktiv udfra en statisk buy-and-holdoptimering, hvor positionen i aktivet holdes, indtil dette likvideres. Med udgangspukt i begrænset rationaliteter det således antaget, at nyhedshandlerne ikke formår at forecaste fremtidige prisreaktioner og derfor ikke kananvende nogen form for dynamisk handelsstrategi.For det andet er strategien ikke betinget af hverken nuværende eller historiske priser der derfor ikke kanindgå i vurderingen af D T . Man kan eventuelt tænke på denne begrænsede rationalitet som, at nyhedshandlernehar “nok at gøre” med at beregne D T som funktion af de enkelte nyheder ( j ’er).94 her indikerer fodtegnet tidspunktet, hvor nyheden er fuldt afsløret.95 Post-Earnings Announcement Drift - se afsnit 3.1.2.1 på side 15 for en gennemgang.75

7.2 Modellen kun med Nyhedshandlere Martin HeisselEndeligt antages udbuddet af det risikable aktiv at være fast i størrelsen Q.Prisdannelsen Med de ovenstående antagelser er det nu muligt at beskrive prisdannelsen i modellen, nårkun nyhedshandlerne er til stede. Som vist tidligere i afsnit 4.2.2.1 på side 35 svarer nyttemaksimering medCARA-nytter til at maksimere agentens certainty equivalent 96 . CARA-nytten er her givet vedU i˜WT= −e −ai ˜W T,a i > 0hvor a i er den enkelte agents absolutte risikoaversion. Da formuen til tid T er betinget af de normalfordelte j ,j =0,...,T,erløsningenpånyhedshandlernesmaksimerinsproblem 97 E t ˜PT | Φ N − (1 + r) P t E t ˜PT | Φ N − P tXN d = a N Var ˜PT | Φ N= a N Var ˜PT | Φ Nhvor X d N er agentens efterspørgsel, og Φ N = Tj=0 j er nyhedshandlernes informationssæt. Givet symmetrieni modellens setup er såvel risikoaversionen som den betingede varians på aktivets fundamentale værdi ens foralle nyhedshandlere. I ligevægten skal der desuden gælde, at udbud er lig efterspørgsel X d N = Q ,hvorforQ = E t ˜PT | Φ N − P t ⇔a N Var ˜PT | Φ NP t = E t˜PT | Φ N− a N VarP t = E t˜PT | Φ N− θQ˜PT | Φ NQ ⇔hvor θ er en funktion af nyhedshandlernes risikoaversion (a N ) og variansen på de enkelte nyheder (’er).Givet nyhedsspredningen beskrevet tidligere, vil der der til tid t gælde, at z−1zaf t+1 er observeret, z−2z t+2 er afsløret osv 98 .Vedatnormaliserenyhedshandlernesrisikoaversionsådanatθ =1,vilprisdannelsenimodellen kun med nyhedshandlere derfor være givet vedP t = D t + z − 1z t+1 + z − 2 t+2 + ... 1 zz t+z−1 − θQ= D t + 1 z [(z − 1) t+1 +(z − 2) t+2 + ... t+z−1 ] − Q (7.1)afPrisdannelsen i (7.1) viser, hvorledes nyhederne inkorporeres lineært i prisen henover z perioder. Dettebetyder så også, at der vil være positiv autokorrelation for korte lags der er mindre end z. Underreaktioner altså en direkte konsekvens af modelleringen, og kan derfor betragtes som et naturligt udgangspunkt formodellen.En yderligere konsekvens heraf er, at overreaktionen til nyheder aldrig vil kunne observeres, dvs. man vil96 se evt. appendiks B.1 på side 105.97 husk her, at renten er normaliseret til 0.98 dvs. af den nyhed der er fuldt afsløret til tid t +1mangler de z grupper alle at se én del-nyhed af t+1 .76

7.3 Tilføjelse af Momentumhandlere Martin Heisselaldrig se negativ autokorrelation i modellen, når der kun er nyhedshandlere 99 .Den altoverskyggende antagelse bag det ovenstående resultat er, at nyhedshandlerne ikke betinger deresforventninger på aktuelle og historiske priser. Var dette tilfældet, ville ligevægten i stedet være fuldt efficientmed priser der følger en random-walk og være givet ved 100 (stadig for θ =1)P ∗ t = D t+z−1 − Q (7.2)Det er derfor nærliggende at undersøge, hvorvidt en anden gruppe af handlende, ved udelukkende at fokusere påprisudviklingen, kan udnytte nyhedernes gradvise indvirkning og dermed generere en ligevægt tilnærmelsesvissom den angivet i (7.2). Dette vil være temaet for det næste afsnit der tilføjer momentumhandlere til modellen.7.3 Tilføjelse af MomentumhandlereModellen udvides til også at inkludere momentumhandlere der baserer deres handler på forventninger om prisudviklingengivet prisernes historie. I dette setup foregår transaktionerne med nyhedshandlerne som markedsordrer- dvs. momentumhandlerne afgiver deres ordrer (i mængder) uden reelt at kende priserne, hvortil disse eksekveres.Nyhedshandlerne får da rollen som børsmæglere, og prisen bliver et resultat af konkurrencen mellemdisse.Momentumhandlerne Det antages, at momentumhandlerne nøjagtig som nyhedshandlerne har CARAnytter.Derudover har momentumhandlerne en endelig horisont på deres investering, hvilket er modsat nyhedshandlerneder som bekendt holder aktivet til likvidering. Mere præcist så indtræder der i hver periode t en nygeneration af momentumhandlere der holder deres investering i aktivet indtil tidspunkt t + j. Investeringshorisonten,j, antages af modelleringshensyn at være eksogent givet.For at kunne afgive deres ordrer, forsøger momentumhandlerne at forecaste deres forventede afkast, dvs.P t+j − P t . Specifikt så baserer momentumhandlerne deres forventning om den fremtidige prisudvikling pået simpelt akkumuleret afkast over de seneste k perioder dvs. P t−1 − P t−1−k .Envigtigantagelseerda,atmomentumhandlerne kun er i stand til at anvende univariate forudsigelser baseret på historiske priser, ogsåledes ikke kan tillægge forskellige værdier af k forskellig vægtning. Denne antagelse kan igen forklares medagenternes begrænsede rationalitet der kun gør dem i stand til at anvende et simpelt forecast.For simplificerings skyld sættes derfor k =1så 10199 dette viser sig imidlertid at ændres, når modellen tilføres momentumhandlere.100 dette følger af logikken i Grossman [1976].101 størrelsen af k er ikke afgørende for modellens implikationer (Hong & Stein [1999]).∆P t−1 ≡ P t−1 − P t−2 (7.3)77

7.3 Tilføjelse af Momentumhandlere Martin HeisselPrisdannelsenMed ovenstående antagelser vil ordre-flowet der afgives af generationen af momentumhandleretil tidspunkt t være givet på den lineære formF t = A + φ∆P t−1 (7.4)hvor konstanten A samt parameteren φ der angiver efterspørgsels-elasticiteten findes ved optimering af momentumhandlernesbeslutningsproblem. Af (7.3) og (7.4) afsløres det hvorledes momentumhandlernes efterspørgselsom ventet øges som følge af en pris-appreciering da 102P t−1 > P t−2 ⇔P t−1 − P t−2 = ∆P t−1 > 0Da momentumhandlernes ordreflow absorberes i handlen mellem nyhedshandlere, opfattes det for disse blotsom et udbudschok uden nogen information. Dette er helt i tråd med, at nyhedshandlerne ikke baserer deresbeslutninger på prisudviklingen.Ordreflowet fra momentumhandlerne er altså det eneste der forårsager variation i udbuddet. Givet at deraltid vil være j generationer af disse momentumhandlere, vil det aggregerede udbud der absorberes i handlenmed nyhedshandlere være givet vedS t = Q −ji=1= Q − jA −F t+1−iji=1φ∆P t−iUnder den fortsatte antagelse at nyhedshandlerne til tid t følger buy-and-hold strategien således at aktiverkøbt til tid t ikke sælges før likvideringen til tid T ,bliverprisdannelsensomi(7.1)meddeneneundtagelse,atdet faste udbud, Q, erstattesafdetvariableudbudS t .Prisenerderforgivetved 103P t = D t + 1 z [(z − 1) t+1 +(z − 2) t+2 + ... t+z−1 ] − S tTidsmæssig uoverensstemmelse= D t + 1 z [(z − 1) t+1 +(z − 2) t+2 + ... t+z−1 ] − Q + jA +jφ∆P t−i (7.5)Det er som nævnt antaget, at nyhedshandlerne baserer deres efterspørgseltil tidspunkt t ud fra en strategi om ikke at rebalancere. Det er dog også klart, at med indførelsen af momentumhandlerebliver der udøvet vold mod denne antagelse, da nyhedshandlerne netop absorberer udbudschokketved at agere som market-makers.Denne tidsmæssige uoverenstemmelse er dog en svaghed der må accepteres for at kunne løse modellen. Uden102 dette kræver selvfølgelig φ>0, hvilket senere viser sig opfyldt i en gyldig ligevægt (se evt. afsnit 7.3.2 på side 80).103 konstanterne Q og A har ingen reel betydning i analysen, og vil derfor blive ignoreret i den resterende del af redegørelsen ([Hong&Stein1999,p.2152]).i=178

7.3 Tilføjelse af Momentumhandlere Martin Heisseldenne skulle nyhedshandlerne til tid t således ikke blot basere deres efterspørgsel på forventningen om den endeligedividende (D T ),menogsåpåderesforventningomallefremtidigeprisudviklinger,hvilketvilkompliceremodellen betragteligt. Den tidsmæssig inkonsistens kan da også ligesom de tidligere antagelser ses i lyset afbegrænset rationalitet.Spørgsmålet er selvfølgelig hvorvidt denne svaghed ved modellen har en betydelig effekt på konklusionerneder følger? Det kan umiddelbart synes svært at svare fuldstændigt afkræftende herpå, men nærmere overvejelsersynes at give en formodning om, at dette ikke er tilfældet. Ved først at begrænse nyhedshandlernes rationalitettil en buy-and-hold strategi sikres, at disse ikke blot køber mere aggresivt op efter positive nyheder med enforventning om, at disse nyheder starter en lavine af momentum-køb. Var dette tilfældet, da ville prisreaktionentil information blot foregå hurtigere og derved mindske underreaktionen fra tidligere (se evt. afsnit 7.2 påside 76). Modelleringen sikrer imidlertid, at en sådan front-runnning effekt aldrig vil kunne eliminere denneunderreaktion fuldstændigt.7.3.1 Bestemmelse af ligevægtenLigevægten er defineret ved ligevægtsværdien af efterspørgselselasticiteten φ. Førsteledibestemmelseafmodellensligevægt er derfor at løse momentumhandlernes efterspørgsel efter aktivet. Dette maksimeringsproblemfølger samme gang som for nyhedshandlerne, hvorfor efterspørgslen er givet ved 104X d M =E M˜WM | Φ Ma M Var M˜WM | Φ M E M ˜WM | Φ M= γ Var M ˜WM | Φ Mhvor γ er momentumhandlernes aggregerede risiko-tolerance = 1a M,ogE M ˜WM | Φ M er momentumhandlernesforventede formue givet deres information. Da momentumhandlernes informationssæt som nævnt kun erbaseret på den seneste prisudvikling (∆P t−1 = P t−1 − P t−2 ),ogefterspørgslenergivetsomi(7.4),erløsningenpå dette maksimeringsproblem givet ved [Hong & Stein 1999, p. 2152]104 se evt. afsnit 7.2.F t = X d M ⇔φ∆P t−1 = γ E M (P t+j − P t | ∆P t−1 )Var M (P t+j − P t | ∆P t−1 ) ⇔Cov (P t+j − P t , ∆P t−1 )φ = γVar(∆P ) Var M (P t+j − P t )79

7.3 Tilføjelse af Momentumhandlere Martin HeisselLigevægten er da defineret som den faste værdi af φ der simultant opfylder ovenstående samt pris-dynamikkenfra (7.5). Dvs. at der i ligevægten simultant skal gælde atP t = D t + 1 z [(z − 1) t+1 +(z − 2) t+2 + ... t+z−1 ] − Q + jA +φ =Cov (P t+j − P t , ∆P t−1 )γVar(∆P ) Var M (P t+j − P t )jφ∆P t−i(7.6)Det er umiddelbart klart, at ovenstående ligevægt ikke har nogen løsning i lukket form. Det er blandtmodellens absolut største svagheder, at der kræves en forholdsvis kompliceret algoritme til løsning af ovenståendeligevægtsbetingelser. Dette er ikke gjort i indeværende opgave. Derimod redegør afsnit 7.4 for den komparativestatik for modellens parametre udført i Hong & Stein [1999].i=17.3.2 Egenskaberne for stationære ligevægteDen resterende del af analysen i Hong & Stein [1999] baserer sig udelukkende på (kovarians-)stationære ligevægteder generelt er defineret ved atE (x t ) = µ ∀ tCov (x t ,x t+k ) = ϕ (k) ∀ t, kEn nødvendig betingelse for at ligevægten i (7.6) er stationær er at|φ| < 1Dette er ikke nødvendigvis opfyldt for tilfældigt valgte parameterværdier, men kan grundet modellens kompleksitetdog også tænkes opfyldt for mange forskellige kombinationer af modellens parametre.Problemet er i høj grad, at modellen ikke umiddelbart har nogen løsning i lukket form, hvorfor en algoritmeer nødvendig for at bestemme det faste φ der løser modellen. Det er dog givet at for en tilstrækkelig lille værdi afmomentumhandlernes risiko-tolerance (dvs. lille γ), da vil der eksistere en sådan gyldig ligevægt. Dette skyldes,at en tilstrækkelig lille γ vil sikre, at |φ| er tilstrækkelig lille, og dermed at |φ| < 1 (Hong & Stein [1999])En række umiddelbare iagttagelser kan dog gøres om egenskaberne ved en gyldig ligevægt, begyndende medfølgende lemma omhandlende momentumhandlernes adfærd.Lemma 1 (momentumhandlernes adfærd): I enhver kovarians-stationær ligevægt da vilφ>0hvilket vil sige, at momentumhandlerne vil handle rationelt ved at jagte trenden.80

7.3 Tilføjelse af Momentumhandlere Martin HeisselSammenholdt med momentumhandlernes efterspørgsel i (7.4) er det med ovenstående lemma klart, at momentumhandlerneefter en prisstigning vil øge deres efterspørgsel. Givet deres forventninger er dette en fuldkommenrationel adfærd. For bevis af Lemma 1 henvises til Hong & Stein [1999] 105 ,menmeddenfølgendeumiddelbare betragtning er det klart, at φ =0ikke er en mulig ligevægt.Antages det for illustrationens skyld, at φ = 0, da vil prisen være givet ved (7.1) (modellen kun mednyhedshandlere). I denne situation er det tidligere gjort klart at Cov (P t+j − P t , ∆P t−1 ) > 0, dainformationenkun spredes gradvist i populationen af nyhedshandlere. Men med positiv kovarians kan φ jf. (7.6) ikke være lig0. Så med dette modsigelsesargument er det altså klart at 0

7.3 Tilføjelse af Momentumhandlere Martin Heisselmomentumhandlere øger deres efterspørgsel som følge af prisstigningen der foråsages af dette nyhedschok. Deter desuden klart, at den samlede efterspørgsel fra momentumhandlerne som minimum vil vokse indtil tid t + j,da momentumhandlerne først lukker deres positioner til tid t + j +1.På baggrund af ovenstående kan følgende Proposition 1 formuleres,Propostition 1 (prisdynamik): Givet et positivt nyhedschok (én enhed), t+z−1 , der fra tidspunkt t gradvistdiffunderer ud i populationen, vil der i enhver (kovarians)stationær ligevægt gælde at1. der altid er overreaktion, i den forstand at den akkumulerede prisreaktion topper i en værdi der er strengtstørre end fundamentalværdien (= 1).2. hvis momentumhandlernes tidshorisont, j, opfylder at j ≥ z − 1, vil den akkumulerede prisreaktion toppetil tidspunkt t + j for derefter at falde mod den fundamentale værdi (= 1).3. hvis j

7.4 Illustration af modellen ved numerisk komparativ statik Martin HeisselModsat konklusionen fra Proposition 1, siger Proposition 2, at prisdannelsen vil vende indenfor j +1 perioderog om muligt endnu før. Modsigelsen til Proposition 1 skal findes i, at Proposition 2 er et ubetinget udsagn.Proposition 2 siger således, at en agent der til tid t køber som følge af en ubetinget appreciering af priserne tiltid t − 1 gennemsnitligt ikke vil tjene nogen profit.Det er dermed klart, at en strategi hvor der kun købes som konsekvens af positive nyheder som udgangspunkter bedre end en strategi, hvor der købes som følge af prisstigninger.Årsagen hertil skal findes i det faktum, at ikke alle prisstigninger er drevet af positive nyheder (Proposition1). En momentumhandler der køber til tid t som følge af en appreciering til tid t − 1 risikerer, at den senestankomne nyhed eksempelvis var til tid t − i, hvorforprisstigningenbloterdrevetafmomentum.Hanrisikererså at sige, at indtræde sent i en momentum-cyklus der er startet af positive nyheder til t − i og som vil begyndesin tilpasning i den nærmeste fremtid (t − i + j + 1). Somfølgeherafvildensenemomentumhandlerbegyndeat opleve tab, før han når sin investeringshorisont.Ovenstående illustrerer et centralt element i modellen. En momentumhandler der er heldig nok til at købeaktivet lige efter et positivt nyhedschok, kommer i modellen til at fungere som en negativ eksternalitet påde senere generationer af momentumhandlere. Detoprindeligeprispresøgessomfølgeafmomementumhandelog vil til sidst have nået et niveau der ikke kan retfærdiggøres af det oprindelige nyhedschok (dvs. der skeroverreaktion). Momentumhandlernes manglende evne til at betinge på nyhedschok (’er) gør, at de agerer sårationelt som muligt, men med eksternaliteten til stede skaber dette til trods et irrationelt resultat.7.4 Illustration af modellen ved numerisk komparativ statikDet er som tidligere nævnt ikke muligt at løse modellen i lukket form, hvorfor en nummerisk metode må anvendes.I Hong & Stein [1999] er derfor benyttet en algoritme, hvor jagten på den faste ligevægtsværdi af φ der løser(7.6) tager sit udgangspunkt i j =1, en lille værdi for risikotolerancen (lille γ) og φ =0.Medudgangspunkti de resulterende løsninger undersøges efterfølgende det øvrige parameter-rum for gyldige ligevægte gennemboot-strapping. Formålet hermed er altid at finde den gyldige ligevægt, hvor værdien af φ er mindst.I det følgende præsenteres numerisk komparativ statik på en række af modellens parametre. For hvert sætaf parameter-værdier bestemmes i Hong & Stein [1999] følgende1. ligevægtsværdien af φ2. den kumulative prisreaktion til et énheds -chok (dvs. E () = 1)3. den ubetingede standardafvigelse af månedlige afkast (∆P )4. standardafvigelsen på prisfejlen (P t − Pt ∗ ) -dvs.prisensetiforholdtildenfuldtrationelleprisbestemtved (7.2)5. autokorrelationen i afkastene83

7.4 Illustration af modellen ved numerisk komparativ statik Martin HeisselUdgangspunktet for de komparative analyser er altid, at såvel diffusions-parameteren og momentumhandlernestidshorisont sættes til 12 måneder, dvs. z = j = 12. Derudoverantagesmomentumhandlernesrisikotoleranceatvære γ =0, 3 hvilket i Campbell et al. [1993] findes passende for det generelle marked. Endeligt er standardafvigelsenpå de fundamentale nyhedschok for alle følgende komparitive analyser sat til σ =0, 5 pr. måned.De følgende komparative analyser illustrerer da, hvad de enkeltstående effekter på prisdannelsen er, af atændre på antagelserne om henholdsvis z, j, ogγ.7.4.0.1 Diffusionsparameteren (z) Tabel 9 viser, hvorledes en ændring i diffusionsparameteren ændrerintensiteten af momentumhandlen. Et højere z betyder, at nyhedshandlerne er længere tid om at identificere aktivetsfundamentale værdi, og derfor også at momentumhandlernes profitpotentiale øges 107 .Momentumhandlensintensitet (φ) er derfor monotont voksende i z.Diffusions parameter z =3 z =6 z =9 z = 12 z = 15 z = 18φ 0,0322 0,1293 0,2023 0,2605 0,3214 0,3785std.afv.(P t − P t−1 ) 0,2952 0,2317 0,2106 0,2028 0,1977 0,1907std.afv.(P t − P ∗ t ) ved φ =0 0,3727 0,6180 0,7935 0,9373 1,0620 1,1736std.afv.(P t − P ∗ t ) 0,3744 0,6317 0,8087 0,9365 1,0331 1,0992Tabel 9: Momentumhandlens intensitet er monotont voksende i diffusions parameteren z [Hong & Stein 1999, Tabel AIII, p.2178].Sammenholdes resultaterne fra tabel 9 med prisreaktionen i figur 16 ses desuden, at den øgede intensitet imomentumhandlen overføres direkte i en monotont voksende overreaktion. Des hurtigere informationen spredesipopulationenafnyhedshandlere,desmindreeroverreaktionensåledes.Figur16illustrererdogkunsituationenhvor z ≤ j +1,hvilketvilsige,atmomentumhandlernestidshorisontoverstigerdentiddettager,førinformationen er fuldt afsløret (j ≥ z − 1).I appendiks E.1 er hele tabellen fra Hong & Stein [1999] gengivet (Table AIII). Det interessante i denhenseende er, at sammenhængen mellem højere intensitet og øget overreaktion ikke gælder, når z>j+1.Forz =15 108 udviser prisreaktionen eksempelvis en overreaktion på 37, 04%, hvilketoverstigerde34, 74% der oplevesved z = 18 -dettetiltrodsforatφ z=18 =0, 3785 >φ z=15 =0, 3214. Årsagen til dette skifte i sammenhængenskal findes i, at momentumhandlerne når jj+1.107 det realiserede afkast afhænger naturligvis af, hvornår den enkelte momentumhandler indtræder i momentum-cyklen.108 > 13 = j +1.84

7.4 Illustration af modellen ved numerisk komparativ statik Martin HeisselFigur 16: Prisreaktionen for varierende z. Øvrige parametre er j =12, γ =0, 3 og σ =0, 5 [Hong & Stein 1999, fig. 3, p. 2159].Bemærk i øvrigt, at Proposition 1 ses at holde i figur 16. For de viste værdier af z topper overreaktionensåledes efter 12 måneder (= t + j). Forz = 15 og z = 18 når prisen først sit maksimum i tiden efter den 12.måned 109 .7.4.0.2 Momentumhandlernes tidshorisont (j) Ifigur17illustreresprisudviklingenforj =6, 12 & 18samt base der er situationen uden momentumhandel (dvs. φ = j = 0). Deterklart,atprisenibase-scenarietudvikler sig lineært, indtil al information er kendt af alle nyhedshandlere jf. (7.1). Derfor handler aktivet til denfundamentale værdi (= 1) efter t = 11 måneder (= z + j − 1).IhenholdtilProposition1sesdetderudover,hvorledesprisenforj = 12 (= z) topper netop 12 mdr. efter detfundamentale nyhedschok 110 .Værdienafaktiveterher1,342svarendetilenoverreaktionpå34,2%iforholdtil den fundamentale værdi. Ligeledes for j = 18 nås toppen i t = 18 -igenheltitrådmedProposition1.Efter at overreaktionen har nået sit maksimum, tilpasses prisen til den fundamentale værdi. Dette sker dog ikkemonotont, men med en række fluktuationer i takt med at effekten af momentumhandlen gradvist uddør.109 for z =15nås maksimum på 1, 3704 i t =14og for z =18nås maksimum på 1, 3474 i t =17.110 Proposition 1 siger netop at for j ≥ z − 1 topper prisen i t + j.85

7.4 Illustration af modellen ved numerisk komparativ statik Martin HeisselFigur 17: Prisreaktionen for varierende j. Øvrige parametre er z =12, γ =0, 3 og σ =0, 5 [Hong & Stein 1999, fig. 1, p. 2157].Figur 17 afslører desuden også, hvorledes prisreaktionen ændres på en ikke-monoton facon, når momentumhandlernestidshorisont varieres. Dette skyldes, at der, når j varieres, er to modsatrettede effekter som påvirkerprisdannelsen og dermed den observerede overreaktion. For det første betyder en længere horisont, at der tilethvert givet tidspunkt vil være flere momentumhandlere i markedet. Deres samlede indflydelse på prisdannelsenvil derfor alt andet lige være større for højere j. Modsat så betyder den længere horisont også, at risikoenfor at købe aktivet sent i en given momentum-cyklus forøges. De (begrænset) rationelle momentumhandlereidentificerer naturligvis denne risiko, hvilket mindsker deres lyst til at handle så aggressivt som ellers. Detteillustreres i tabel 10 ved at φ er faldende i j.Momentumhandlernes horisont j =3 j =6 j =9 j = 12 j = 15 j = 18φ 0,5550 0,4455 0,3262 0,2605 0,2263 0,2015std.afv.(P t − P t−1 ) 0,2229 0,2322 0,2179 0,2028 0,1908 0,1833std.afv.(P t − Pt ∗ ) ved φ =0 0,9373 0,9373 0,9373 0,9373 0,9373 0,9373std.afv.(P t − Pt ∗ ) 0,8011 0,8438 0,9103 0,9365 0,9524 0,9604Tabel 10: Momentumhandlens intensitet er faldende i momentumhandlernes tidshorisont [Hong & Stein 1999, Tabel AI, p. 2174]I appendix E.1 (Table AI) findes autokorrelations-tabellen for denne analyse fra Hong & Stein [1999]. Herafses, at intuitionen vedrørende autokorrelationen i afkastene der førte til Proposition 2 også holder stik i ensituation med risikoaverse momentumhandlere 111 .Autokorrelationenmellemmånedsafkastenebliversåledeshurtigere negativ for lavere værdier af j. Eksempelvisindfinderdenførstenegativeautokorrelationsigalleredeefter 4 mdr. for j =3,hvorimoddetteførstskerved11.månedforj = 15. Ifigur17kandettesespåhastighedenaf prisreaktionens oscillationer i tilnærmelsen til den fundamentale værdi. Det er tydeligt, at prisdannelsen forj =6flukturerer hurtigere end for j = 12 der igen fluktuerer hurtigere end for j = 18.111 I Proposition 2 er det antaget, at momentumhandlerne er risiko-neutrale. Se afsnit 7.3.2 om autokorrelation (p. 82).86

7.4 Illustration af modellen ved numerisk komparativ statik Martin Heissel7.4.0.3 Momentumhandlernes risikotolerance (γ) Slutteligt ses i figur 18 effekten af at variere momentumhandlernesrisikotolerance. Bemærk først konsistensen med intuitionen fra figur 15 på side 81. ScenarietBase er situationen hvor γ =0hvilket jf. (7.6) betyder, at efterspørgslen fra momentum-handlerne erikke-eksisterende, og prisen derfor er givet som i modellen kun med nyhedshandlere. Base-scenariet illustrerersåledes, hvordan informationen indregnes lineært i prisdannelsen indtil periode t = 11, hvorinformationenerfuldt afsløret til de z = 12 grupper af nyhedshandlere.Figur 18: Prisreaktionen for varierende γ. Øvrige parametre er z =12=j og σ =0, 5 [Hong & Stein 1999, fig. 2, p. 2158].Dernæst ses det tydeligt, hvorledes en øget risikotolerance medfører øget overreaktion. Dette kommer somet resultat af, at momentumhandlerne med en højere risikotolerance handler mere aggresivt på de seneste prisændringer.Det betyder altså, at des mere risikotolerante momentumhandlerne er, des mere vil prisen overstigeaktivets fundamentale værdi. En følge heraf er ligeledes, at den efterfølgende tilpasning oplever større fluktuationerpå sin vej mod fundamentalværdien.Momentumhandlernes risikotolerance γ = 113γ = 111γ = 1 9γ = 1 7γ = 1 5γ = 1 3φ 0,1316 0,1453 0,1625 0,1848 0,2152 0,2605std.afv.(P t − P t−1 ) 0,1662 0,1691 0,1731 0,1786 0,1872 0,2028std.afv.(P t − P ∗ t ) ved φ =0 0,9373 0,9373 0,9373 0,9373 0,9373 0,9373std.afv.(P t − P ∗ t ) 0,9070 0,8998 0,8999 0,9021 0,9102 0,9365Tabel 11: Såvel momentumhandlens intensitet som afkastvolatiliteten er voksende i momentumhandlernes risikotolerance [Hong&Stein1999,TabelAII,p.2176].Tabel 11 bekræfter denne øgede momentumhandel, idet φ er monotont voksende i γ. En ændring af risikotolerancenkan også fortolkes som en ændring i den relative sammensætning af nyheds- og momentumhandlere (Hong&Stein[1999]),hvorformomentumhandlensintensitetalt andet lige vil være større for højere risikotolerance -dvs. φ skal være voksende. Forskellen til tabel 10 hvor φ er faldende for øget j 112 ,ernuatmomentumhandlerne112 husk at øget j betyder, at der til enhver tid vil være flere momentumhandlere i markedet.87

7.5 Delkonklusion Martin Heisselgrundet deres øgede riskotolerance ikke på samme måde frygter at indtræde sent i momentum-cyklen.Derudover ses det, at også den ubetingede afkastsvolatilitet, std.afv. (P t − P t−1 ),ermonotontvoksendeiγ.Dette er interessant, da det samtidigt viser sig, at variationen på prisfejlen i forhold til den rationelle pris givetved std.afv. (P t − P ∗ ),førsterfaldendeogsenerevoksendeiγ. ArgumentetfraFriedman[1953]omatrationelspekulation 113 stabiliserer priserne synes således ikke at finde støtte i modellen (Hong & Stein [1999]).7.5 DelkonklusionKapitlet har analyseret en foreslået forklaring på momentum og reversion med et væsentligt anderledes udgangspunktend modellerne fra kapitel 5 og 6. Fremfor at ty til en mere eller mindre subjektiv modellering afinvestor biases, baserer Hong & Stein [1999] deres model på det anerkendte princip om begrænset rationalitet.De to grupper af agenter er begrænset i deres evner til at processere informationer, således at nyheds-handlernealene betragter fundamentaliteter og momentum-handlere en kort historisk prisudvikling.Den utraditionelle og kontroversielle antagelse der driver modellens resultater ligger i informationsspredningen.Det er således antaget, at såvel gruppen af nyheds-handlere som selve information kan deles og kun betragtesdelvist. Dermed antages det, at nyheder indregnes gradvist og lineært, hvorfor momentum i prisdannelsen nærmereer en antagelse end et resultat. Dette udbedres dog noget med introduktionen af momentum-handlere derforstærker momentum-effekten og således opbygger en overreaktion. I grundlaget for momentum og reversioner modellen således konsistent med betragtningerne fra Barberis et al. [1998], men står i kontrast til Daniel etal. [1998].Den afsluttende simulering og komparative statik illustrerede på intuitiv vis, hvorledes momentumhandlensintensitet og overreaktionen vokser med diffusionsparameteren, z. Medhensyntilmomentumhandlernestidshorisont er intensiteten faldende, idet risikoen for at indtræde sent i momentum-cyklen øges. Derudover findesprisdannelsens reversion mod fundamentalværdien at være mere jævn, når tidshorisonten er lang. Endeligtmedfører en øget risiko-tolerance en forstærket overreaktion og følgeligt større fluktuationer i reversionen.Udover den noget uortodokse modellering af informationsspredningen, lider modellen af en tidsmæssig uoverenstemmelse.Dette er sammen med kompleksiteten der forhindrer en løsning på lukket form blandt modellensstørste svagheder.8 Opsamling og de empiriske testEfter de tre foregående kapitlers redegørelser for de adfærdsmæssige modellers forklaring af momentum ogreversion, vil nærværende kapitel først indeholde en kort sammenfatning af modellernes centrale mekanismer.Efterfølgende skal modellernes retfærdiggørelse findes i data, hvorfor afsnit 8.2 dels vil redegøre for de centraleimplikationer og de empiriske undersøgelser af disse.113 husk i den forbindelse, at momentumhandlerne i realiteten anses for værende modellens rationelle arbitragører, der forsøger atudnytte nyhedshandlernes underreaktion til ny information.88

8.1 Opsamling Martin Heissel8.1 OpsamlingDa de tre modeller er et resultat af de identificerede anomalier, er det naturligvis ikke overraskende, at de erkonsistente i resultaterne på både kort og langt sigt. Dette til trods er de dog signifikant forskellige på detmellemlange sigt, og dermed også i mekanismerne der driver de ønskede resultater. For alle tre modeller erden langsigtede reversion et resultat af overreaktion i prisdannelsen. Ligeledes skyldes denne overreaktion ialle modellerne, at der er momentum i prisdannelsen. Det er dog netop i årsagen til dette momentum, entenunderreaktion eller overreaktion, at modellerne adskiller sig fra hinanden. Tabel 12 giver et hurtigt overblik overmodellernes årsager og mekanismer.MomentumReversionBarberis et al. (1998)Årsagen: Underreaktion OverreaktionMekanismen: Konservatisme RepræsentativitetBeskrivelse:Overvægtning af priorsmedfører undervægtning afrelevant ny informationUkritisk klassificering af størredatamængder medførerekstrapolationDaniel et al. (1998)Årsagen: Overreaktion OverreaktionMekanismen: Biased selv-tillæggelse Overdreven selvtillidBeskrivelse:Det bekræftende offentligesignal øger præcisionen i detprivate signal, hvorimod etafkræftende signal ingen effekthar på denne præcision.Informerede investoreroverestimerer præcisionen afderes private information.Hong & Stein (1999)Årsagen: Underreaktion OverreaktionMekanismen: Begrænset rationalitet Begrænset rationalitetBeskrivelse:Den gradviseinformations-spredning medførerunderreaktion i prisdannelsen.Momentum-handlere jagterdette profitpotentiale og skaberderved momentumAnvendelse af simplemomentum-strategier medfører,at tilpasningen til højerefundamentaliteter accelereres.Resultatet bliver, at prisenovergår aktivets fundamentaleværdi.Tabel 12: De grundlæggende forskelle i modellernes forklaring af henholdsvis momentum og reversion.For god ordens skyld følger en kort rekapitulering;Barberis et al. [1998] betragter kun offentlig information. Her forklares, hvorledes konservatisme resulterer ien overvægtning af investorernes intiale forventninger (priors) og dermed forårsager underreaktion til enkelt-89

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin Heisselstående nyheder (eksempelvis i form af regnskabsoplysninger). Det er denne underreaktion, der initialt skabermomentum i prisdannelsen. Repræsentativet tilføjer yderligere momentum, når investoren oplever en rækkeensrettede nyheder. Hvis eksempelvis en aktie, først klassificeret som værende en value-aktie, oplever en rækkepositive indtjeningsoverraskelser, vil investoren nu som følge af repræsentativitet reklassificere aktien somværende en vækst-aktie 114 og dermed overreagere til denne serie af ensrettede nyheder. Barberis et al. [1998]ræsonnerer altså, at konservatisme skaber underreaktion og dermed momentum, hvorimod repræsentativitetgennem øget momentum skaber overreaktion og dermed reversion.Simulering af modellen illustrerede, hvorledes en række kombinationer af parameteriseringen resulterer i enprisdannelse der udviser denne under- såvel som overreaktion.Det helt centrale aspekt i Daniel et al. [1998] er, at prisdannelsen (investorerne) overreagerer til privatinformation, men underreagerer til offentlig information. Præcisionen af den private information overestimeresog gør, at denne overvægtes i relation til den initiale forventning. Aktivet vil derfor - i gennemsnit - handles oversin fundamentale værdi efter tilkomsten af privat information. Ved efterfølgende tilløb af offentlig informationkorrigerer prisdannelsen delvist mod den fundamentale værdi.Når de informerede investorer ligeledes lider af biased selv-tillæggelse, øges troen i det private signal, når detoffentlige signal er bekræftende. Resultatet bliver en yderligere overreaktion efter tilløbet af offentlig information- der skabes momentum på kort sigt. Efterhånden som yderligere offentlig information ankommer, tilpassesprisdannelsen gradvist. Reversionen opstår derfor som en konsekvens af overreaktionen, men er karakteriseretved løbende underreaktion til den offentlig information.Uden at skelne til psykologien modellerer Hong & Stein [1999] prisdannelsen gennem interaktionen af togrupper af agenter, der begge lider under begrænset rationalitet. Nyhedshandlerne agerer udelukkende på baggrundaf fundamentaliteter, og da informationen om disse spredes gradvist i population, udviser prisdannelsenalene underreaktion, der er modellens grundlag for momentum.Denne utilstrækkelige tilpasning skaber muligheden for profitabel handel for momentumhandlerne. Noglemomentumhandlere vil således øge efterspørgslen og dermed accelerere prisdannelsen, der så sætter gang iyderligere momentumhandel. Det er de tidlige momentumhandlere, der vil profittere af dette, da de senestemomentumhandlere først indtræder efter, at prisdannelsen har toppet. Tidlige momentumhandlerere er derforen negativ eksternalitet for sene momentumhandlere.8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelserSom indledningsvist nævnt i kapitel 1 må en seriøs finansiel teori ikke blot forventes velbegrundet, men ligeledesfordre nye hypoteser og implikationer der i bedste fald kan testes i fremtidige empiriske undersøgelser. Dette vilvære temaet i det følgende.114 Value-aktier er velkendte selskaber der prissættes efter selskabets fundamentale værdi, dvs. med fokus på balancen.Market/Book-ratioen vil derfor typisk være lav for Value-aktier. Vækst-aktier prisfastsættes derimod primært udfra forventningenom fremtidig indtjening og væksten i denne. Det er derfor mere potentialet der er i fokus, og derfor vil Market/Book ofte værehøjere for vækst-aktier.90

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin HeisselDa reversionen i modellerne opstår som konsekvens af det opbyggede momentum, baserer de empiriske testaf modellernes forudsigelser sig primært på undersøgelsen af momentum og dets grundlag.8.2.1 Modellernes testbare implikationerEn af de store udfordringer i forbindelse med test af de i afhandlingen behandlede adfærdsmæssig modeller er,at der ikke umiddelbart findes målbare variable, der direkte afslører investorernes fejl som følge af eksempelviskonservatisme, repræsentativitet, overdreven selvtillid eller biased selv-tillæggelse. Derudover vil alle empiriskeundersøgelser af denne type, hvad enten det er test af en antaget rationel eller irrationel model, være offer for,hvad der er blevet benævnt “The Fama Critique” [Daniel 2004, p. 52]. Dette dækker over det faktum, at en porteføljebaserettest af markedsefficiensen altid vil være en sammenfaldende test af dels investorernes rationalitetog af en given model for aktivernes prisfastsættelse 115 .Dette ændrer dog ikke på den kendsgerning, at modellernes legitimitet må forsøges fundet i empiriske undersøgelseraf data. Inden en redegørelse af de empiriske foretagne undersøgelser følger dog først en hurtiggennemgang af implikationerne, der er undersøgt i disse out-of-sample test.Modellerne behandlet i indeværende afhandling fordrer på overordnet plan følgende tre testbare implikationer1. at investorerne underreagerer til nye enkeltstående informationer og overreagerer til en serie af nye informationer(Barberis et al. [1998])2. at momentum er størst i aktiver, hvorom information er mest uhåndgribelig og dermed svært forståelig(Daniel et al. [1998])3. at momentum er størst i aktiver, for hvilke informationen spredes langsomst i populationen af investorer(Hong & Stein [1999])Barberis et al. [1998]Det blev kort nævnt i afslutningen af afhandlingens kapitel 5, at implikationerne af Barberis et al. [1998] ertæt knyttet til resultaterne fra Griffen & Tversky [1992] om dimensionerne, hvorefter vi som individer opdatererforventninger. Argumentet er, at der i processen fokuseres for meget på informationens styrke og for lidt påinformationens vægt. Disse kan kort skitseres ved1. Informationens StyrkeBaserer sig på radikaliteten i informationen. Selve budskabet eller størrelsen af en effekt kunne såledesvære udtryk for informationens styrke.115 en yderligere diskussion af dette findes eksempelvis i Cochrane [2005]. Han argumenterer for, at kun test der baserer sig påat undersøge, om agenternes marginalnytte af formuen (eller den stokastiske diskonteringsfaktor) afspejler de makroøkonomiskeforhold, kan afsløre om markedet er rationelt eller efficient.91

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin HeisselEksempelvis vil styrken i en aktieanalytikers anbefaling, hvad enten det er køb eller sælg, være et resultataf radikaliteten i denne analytikers ændrede syn på fundamentaliteterne.2. Informationens VægtOmhandler informationskildens troværdighed. Det kunne således være budbringerens troværdighed elleren given stikprøvestørrelse.I relation til en aktieanbefaling vil vægten i analytikerens anbefaling være udtryk for udgiverens troværdighed.En anbefaling fra Morgan Stanley Equity Research vil således vægte højere end en analyse fraAktieinfo.netUdfaldet heraf er illustreret i tabel 13, der opsummerer implikationerne fra Barberis et al. [1998].Dimensioner lille (statistisk) VÆGT stor VÆGTlille STYRKE(indhold)Enkeltstående information⇒Underreaktion (konservatisme)stor STYRKESerie af informationer⇒Overreaktion(repræsentativitet)Tabel 13: Jf. Barberis et al. [1998] vil enkeltstående informationer være af lille styrke, men stor vægt. Omvendt vil en serie afinformationer have stor styrke, men lille vægt.Under antagelse af at enkeltstående regnskabsmeddelelser er informationer af lille styrke, men stor statistiskvægt, illustrerer Barberis et al. [1998], at der grundet konservatisme sker underreaktion og dermed momentum.Omvendt antages en meddelelse efter en serie af ensrettede regnskabsmeddelelser at have stor styrke, men lillestatistisk vægt, hvorved der sker overreaktion som følge af repræsentativitet.De i litteraturen anvendte proxies til måling af dette baserer sig på to kilder. Chan et al. [2004] benytter sigdirekte af trends og sekvenser af historiske regnskabstal til at teste forudsigeligheden af fremtidige afkast. Entre-delt porteføljeinddeling sker først på baggrund af historiske vækstrater for henholdsvis Omsætning, EBITog Nettoresultat. Dernæst inddeles efter konsistensen i disse og endeligt efter om disse vækstrater be- ellerafkræftes i efterfølgende perioder 116 . På denne måde forsøger Chan et al. [2004] at finde tegn på konservatismeog repræsentativitet i disse offentligt tilgængelige og rapporterede regnskabstal.Overordnet set bekræftes hypotesen om konservatisme. Chan et al. [2004] finder således signifikante momentumeffekterpå det mellemlange sigt (ét års rullende formationsperiode og ét års besiddelse) ved at være lang i aktiermed de bedste historiske vækstrater og kort i aktier med de dårligste historiske vækstrater. Den største svaghedved dette resultat er imidlertid, at effekterne baseret på omsætningsvækst er svagest og insignifikante efter korrigering117 . Dette er slående, da det umiddelbart må forventes, at informationer om omsætningen (første linjei resultatopgørelsen) er lettere at processere og gennemskue end vækstrater for indtjeningstallene.116 se evt. appendiks F.1 på side 118 for en grafisk fremstilling af porteføljerne der testes.117 vha. Fama-French 3-faktor og C-CAPM.92

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin HeisselFor også at teste effekten af repræsentativitet undersøges bevægelserne over 5-årige perioder 118 .Dengennemgåendekonklusion er en afvisning af effekten af repræsentativitet. Chan et al. [2004] finder således ikke tegnpå reversion i porteføljernes afkast, når disse baseres alene på historiske vækstrater (1. inddeling) 119 .2. inddeling efter konsistente og inkonsistente vækstrater afslører ligeledes ingen tegn på repræsentativitet.Det er jf. hypotesen om repræsentativitet forventeligt, at aktier med mere konsistente vækstrater vil oplevestørre reversion. En lang position i disse kombineret med en kort position i de inkonsistente aktier generererdog et positivt afkast - modsat hypotesen [Chan et al. 2004, tabel 6 & 7].Endeligt fordrer den 3. inddeling efter be- eller afkræftende vækstrater endnu et afvisende resultat mht.repræsentativitet. En lang position i aktier med høj og konsistent vækst der afkræftes, og en kort position i enportefølje af aktier med lav og konsistent vækst der afkræftes, skal jf. repræsentativitet generere negativt afkast.Dette skyldes, at aktiverne i den første portefølje skal drives ned i pris, samtidig med at priserne på aktiverne iden sidste skal drives op. Dette totale afkast skal ydermere være mindre (dvs. mere negativt) end den tilsvarendestrategi anvendt på de inkonsistente aktiver, da investorernes tro på de konsistente aktiver forventes stærkest.Afkastene der rapporteres er overvejende insignifikante, men som oftest også af forkert fortegn [Chan et al. 2004,tabel 8 & 9]. Der findes altså absolut ingen tegn på repræsentativitet målt ved virksomhedernes rapporterederegnskabstal.En anden tilgang der baserer sig mere på heuristikken findes i Doukas & McKnight [2005], der anvenderdata på aktieanalytikernes konsensus-forecast til at skabe en målvariabel for informationernes styrke og vægt.Specifikt testes hypotesen om konservatisme ved at se på sammenhængen mellem momentum-effekten og spredningeni analytikernes indtjeningsforecast. Tanken er, at des mindre spredning der er i analytikernes forecasts,des større troværdighed har disse forecasts. I relation til Barberis et al. [1998] betyder dette, at vægten af informationener aftagende i analytikernes spredning. Styrken af analytikernes forecast måles i Doukas & McKnight[2005] ved ændringerne i de enkelte aktivers konsensus-forecast. Da investorerne jf. modellen i Barberis et al.[1998] lægger for meget vægt på styrken (ændringen i konsensus) og har for lidt fokus på vægten (spredningen),vil momentum-effekten forventes størst i aktiver, hvor denne adspredelse i analytiker-forecast er mindst.Den porteføljebaserede test går lang i aktiverne med de mest positive ændringer i konsensus-forecast og korti aktiver med de mest negative ændringer. Ved desuden at sortere efter spredningen i analytikernes forecasttegner der sig et klart billede af, at momentum-profitten er størst, hvor spredningen i analytiker forecasts ermindst [Doukas & McKnight 2005, tabel 6]. Dette er helt i tråd med hypotesen.Resultaterne indikerer altså, at investorerne rent faktisk lægger for meget vægt på indholdet og for lidtvægt på troværdigheden i ny information. Givet at spredningen i analytikernes forecast fanger de psykologiskeaspekter, der ligger i konservatismen, er undersøgelsen på 13 europæiske børser i Doukas & McKnight [2005] tilstøtte for modellen i Barberis et al. [1998].118 Dvs. porteføljerne dannes på baggrund af fem års vækstrater og holdes efterfølgende i fem år.119 Det er dog værd at bemærke, at Chan et al. [2004] ligesom De Bondt & Thaler [1985] finder reversion ved anvendelse af priserfremfor regnskabstal.93

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin HeisselDaniel et al. [1998]Ligesom ovenstående er implikationen fra Daniel et al. [1998] koblet til de psykologiske heuristikker, derer modelleret. Idéen er således, at investorernes selvtillid og tro på egne evner er størst, når den informationder behandles er mest abstrakt og uhåndgribelig. Dette bunder i den subjektivitet, der naturligt nok vil opståi en situation, hvor informationen er svært forståelig og derfor tillægges individuel fortolkning. Her har denpsykologiske forskning vist, at selvtilliden og troen på egne evner er størst.Dette kan direkte overføres til investorernes opgave med at fastsætte prisen på et givet aktiv. Det vil eksempelvistypisk være lettere at fastsætte en fair pris på en virksomhed med stabil drift eller indtjening og iøvrigt begrænsede vækstmuligheder, end en virksomhed med masser af uhåndgribelige aktiver, goodwill og storevækstmuligheder. Usikkerheden er ganske enkelt større i sidstnævnte, da indtjeningen afhænger meget mere afden fremtidige udvikling. Den mere subjektive værdifastsættelse resulterer derfor i større momentum i aktiveraf den sidstnævnte type.Ovenstående er udgangspunktet for de proxies, der er anvendt for at afsløre, hvorvidt momentum er et resultataf overdreven selvtillid og biased selv-tillæggelse. I Daniel & Titman [1999] anvendes således virksomhedernesBook-to-Market 120 , der længe har været anvendt som variabel til at adskille vækst-aktier (lav B/M) fra værdiaktier(høj B/M). For vækst-aktier er den fremtidige vækst således afspejlet i den relativt høje markedsværdisammenholdt med den bogførte værdi, en fremtidig vækst der er mere abstrakt og usikker. Derfor implicererhypotesen om overdreven selvtillid, at momentum er størst i aktiver med lav B/M, da værdiansættelsen af disseberor på større subjektivitet.I undersøgelsen, der dækker årene 1963-1997, sorteres alle aktier på NYSE, AMEX og NASDAQ i 25 porteføljerbaseret på både B/M- og momentum-kvintiler. Resultaterne afslører, at momentumeffekten er størstfor aktiver med den laveste B/M-ratio. En kombineret lang position i aktiverne med størst momentum og kortiaktivernemedmindstmomentumgenererersåledesetafkastpå0, 752% for lav B/M-aktier. Det tilsvarendeafkast for høj B/M-aktierne er blot 0, 105%, hvilket er signifikant lavere [Daniel & Titman 1999, tabel 1]. Ligeledesundersøges, hvorvidt dette overnormale afkast skyldes risiko, men Daniel & Titman [1999] konkluderer,at hverken Fama-French 3-faktor modellen eller CAPM kan forklare dette 121 .Xiuqing [2008] benytter ligeledes B/M-ratioen i sin undersøgelse af momentum-effekten på de internationalemarkeder. Ved anvendelse af 6/6-strategien fra Jegadeesh & Titman [1993] påviser Xiuqing [2008] ikke blot, atmomentum-effekten eksisterer internationalt, men også at den er faldende i B/M-ratioen. En lang position iaktier med det største afkast over de sidste seks måneder kombineret med en kort position i de værste leverersåledes signifikant forskellige afkast, når disse også sorteres efter B/M-ratioer. I de to store markeder UK ogUSA er de månedlige profitter eksempelvis 1, 15%, 0, 69% & 0, 28% (UK) og 1, 12%, 0, 71 & 0, 69% (USA) 122for henholdsvis lav-, middel- og høj B/M-ratioer. Figur 19 illustrerer, at det generelle billede er til støtte for120 forholdet mellem den bogførte værdi og markedsværdien af aktiekapitalen.121 strategierne har sågar negative beta-værdier.122 for Danmark er afkastene 1, 04%, 1, 02% og 0, 26% for henholdsvis lav-, middel- og høj B/M-ratioer.94

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin Heisselhypotesen om, at momentum-effekten er aftagende i B/M-ratioen.Figur 19: Også internationalt er momentum-profitten generelt faldende i B/M-rationen. Egen tilvirkning [Xiuqing 2008, tabel 5,pp. 202 - 203].En yderligere test der foretages i Xiuqing [2008] er baseret på handelsvolumen. Ligesom for B/M-ratioen erudgangspunktet, at såvel den overdrevne selvtillid som biased selv-tillæggelse er mest udtalt, når uenighedener størst. Når der indgåes en handel, skyldes dette helt grundlæggende, at sælger og køber er uenige om fundamentaliteternefor det givne aktiv. Idéen er derfor, at en større handelsvolumen er tegn på større uenighed, ogat momentum-effekten derfor forventes voksende i aktivets handelsvolumen.Også dette finder Xiuqing [2008] støtte for. Med undtagelse af Canada og Danmark viser resultaterne, atmomentum-effekten generelt er stigende med handelsvolumen. For at tage UK og USA igen så er afkastene−0, 89%, 0, 67% og 1, 13% (UK) samt 0, 38%, 0, 93% og 1, 32% (USA) for henholdsvis lav-, middel- og høj handelsvolumen[Xiuqing 2008, tabel 8, pp. 210-211].De ovenstående resultater er i øvrigt i tråd med resultaterne fra Lee & Swaminathan [2000]. På amerikanskdata finder de, at den samme momentum-strategi udviser en voksende momentum-effekt i aktiernes handelsvolumen.Dette resultat er både økonomisk og statistisk signifikant for alle strategier undersøgt med undtagelseaf 9/3-strategien 123 [Lee & Swaminathan 2000, tabel II, pp. 2028-29].Udover at dokumentere momentum-effekten finder Lee & Swaminathan [2000] ligeledes en klar reversion iafkastene, der synes at ske i både fjerde og femte år efter porteføljedannelserne. Trods dette er resultaternesstøtte til Daniel et al. [1998] dog begrænsede. Grunden hertil er, at graden af momentum ganske vist er størrefor aktier med høj handelsvolumen, men kun når disse er historiske tabere. De meget handlede tabere fortsættersåledes tabene længere end de mindre handlede tabere. Det viser sig dog at være omvendt for vinderne. Her123 9 måneders formationsperiode og 3 måneders besiddelse. Lee & Swaminathan [2000] undersøger i alt 16 strategier - kombinationeraf 3, 6, 9 og 12 måneders formations- og besiddelsesperioder.95

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin Heisselfortsætter de mindst handlede vindere med at stige over en længere periode end de mest handlede vindere. Lee&Swaminathan[2000]leverersåledesenoverordnet,menabsolutikkeubetingetstøttetilforklaringenforeslåetaf Daniel et al. [1998].Hong & Stein [1999]Den altovervejende implikation fra Hong & Stein [1999] henfører naturligt nok ikke til nogen svært måleligheuristik, men derimod til hvorledes informationer spredes i markedet. Specifikt implicerer Hong & Stein [1999],at momentum må forventes størst i de aktiver, hvor informationsspredningen er mest træg. Dette gør det dogikke lettere at identificere en konkret målvariabel til anvendelse i empiriske test.IHong,Lim&Stein[2000]foreslårforfatterneselvdevariable,deriempirienerblevetkoblettilmomentumsom følge af langsom informationsspredning. Disse er• Størrelse: det er forventeligt, at informationsstrømmen er voksende i virksomhedens markedsværdi. Destørste selskaber tiltrækker sig oftest mere opmærksomhed i offentligheden, hvorfor det er forventeligt, atinformationer om disse største selskaber spredes relativt hurtigere i markedet.– Momentum-effekten forventes derfor aftagende i virksomhedernes markedsværdi• Analytiker dækning: som servicevirksomhed har det at levere aktieanalyser oplevet en kolosal vækst, ogudføres i dag både af den finansielle sektor samt andre uafhængige virksomheder. I forlængelse heraf erinformationskilderne blevet flere, og det må således forventes, at des flere analytikere der følger en givenaktie, des hurtigere spredes informationerne i markedet.– Momentum-effekten forventes derfor aftagende i graden af virksomhedernes analytiker-dækningMht. størrelsen finder Hong, Lim & Stein [2000], på nær i de mindste aktier, at momentum-effekten er stærktaftagende i aktiernes markedsværdi. Tilgangen er som i de øvrige tilfælde en lang position i de seneste vindereog en kort position i taberne. Ved desuden at inddele i størrelsesdeciler efter NYSE/AMEX brudpunkter finderHong, Lim & Stein [2000], at effekten udviser en n-form i aktiernes markedsværdi. Profitten er således negativfor de mindste aktier, men voksende indtil 3. decil hvor den topper i 0, 85% pr. måned. Denne profit falderefterfølgende, som aktierne bliver større og slutter i 0, 021% for de største aktier [Hong, Lim & Stein 2000, tabel3, p. 275].Xiuqing [2008] har dog eftergjort undersøgelsen fra Hong, Lim & Stein [2000] med et blandet resultat. Figur20 viser, hvorledes resultaterne synes meget afhængige af metoden. Billedet ændres således betragteligt vedanvendelse af alternativ størrelsesinddeling.96

8.2 Modellernes implikationer og de empiriske undersøgelser Martin HeisselFigur 20: Resultaterne fra Hong, Lim & Stein [2000] (sort), replikationen i Xiuqing [2008] (stiplet) og den alternative størrelsesindelingfra Xiuqing [2008] (grå). Egen tilvirkning [Hong, Lim & Stein 2000 Xiuqing 2008, tabel 3, p. 275], [Xiuqing 2008, tabel 3,pp. 196 - 197].IHong,Lim&Stein[2000]eranvendtNYSE/AMEXdecilertilinddelingen,tiltrodsforatundersøgelsenogså dækker aktier noteret på NASDAQ. Xiuqing [2008] viser bl.a. som illustreret i figur 20, at en mere ligefreminddeling efter alle aktier udviser stigende momentum-effekt i markedsværdien helt frem til 7. decil. Først herefteraftager effekten med markedsværdien.I sin egen undersøgelse af momentum og markedsværdi finder Xiuqing [2008] tilmed ved at inddele virksomhedernei tre størrelsesgrupper på hvert marked, at momentum-effekten er voksende i markedsværdien [Xiuqing2008, tabel 2, pp. 193 - 194]. Dette er klart i modstrid med implikationerne fra Hong & Stein [1999] og konklusionernefra Hong, Lim & Stein [2000].Da markedsværdien alene potentielt fanger mange andre effekter end kun informationsspredningen, identificererHong, Lim & Stein [2000] en alternativ variabel - residual analytikerdækning. Da analytikerdækningen erstærkt korreleret med virksomhedernes markedsværdi, er denne variabel konstrueret som residualet af følgenderegressionlog (1 + #analytikere i ) = β i log (markedsværdi i )+d i NASDAQ + ihvord i =⎧⎪⎨ 1 hvis virksomheden handles på NASDAQ⎪⎩0 hvis virksomheden ikke handles på NASDAQTilgangen er herefter som tidligere, at undersøge momenttum-effekten ved en porteføljetest der er lang i debedste (P3) og kort i de værste (P1) aktier indenfor tre delmængder af de handlede aktier (henholdsvis lav-97

8.3 Delkonklusion Martin Heisselmiddel- og høj residual analytiker dækning).For det første finder Hong, Lim & Stein [2000], at momentum-effekten er stærkere i den del af stikprøven,hvor analytikerdækningen er mindst. P 3−P 1 momentum-afkastet er således 1, 13%, 0, 92% og 0, 72% pr. månedi grupperne af aktier med henholdsvis lav-, middel- og høj analytikerdækning. En forskel mellem de mindst ogmest fulgte virksomheder der er statistisk signifikant med en t-statistik på 3, 50 [Hong, Lim & Stein 2000, tabel4, p. 280].Ydermere finder Hong, Lim & Stein [2000], at denne momentum-effekt er stærkt drevet af de dårligste aktier(P1). De finder således, at blandt de historisk dårligste aktier outperformer de aktier med højest analytikerdækningde aktier med lavest analytikerdækning med 0, 70% pr.måned(t-stat.=5, 16). Med aktiekursen sommål for de fremtidige forventninger, indikerer dette i høj grad vigtigheden af analytikernes rolle som formidlereaf de dårlige nyheder, som virksomhedslederne ofte vil være tilbageholdende med at informere markedet om.Også dette resultat udfordres i internationalt data af Xiuqing [2008]. Mål-variablene adskiller sig dog, idetXiuqing [2008] finder analytikerdækningen på følgende facon:1. alle aktier inddeles i kvintiler efter størrelse (markedsværdi) på det enkelte marked2. for hver kvintil bestemmes medianen af analytikere, der følger virksomhederne3. residual analytikerdækningen findes som den enkelte virksomheds antal af analytikere fratrukket medianenfra pkt. 2Kun for det europæiske marked finder Xiuqing [2008] på denne måde en monotont faldende momentum-effekt,som analytikerdækningen øges. For USA, Asien og Verden (eksl. USA) er sammenhængen v-formet. Dvs.momentum-profitten falder fra den mindst fulgte gruppe af aktier til aktierne med middel dækning. Derefterstiger profitten dog i de mest fulgte aktier. Dette er stik imod forventningerne fra Hong & Stein [1999].Endeligt er der Amerika (eksl. USA), hvor Xiuqing [2008] ganske rigtigt finder, at effekten er mindre for demest fulgte aktier (0, 65%) end for de mindst fulgte (0, 84%). For aktierne med middel dækning er effekten dogsignifikant størst (1, 61%) [Xiuqing 2008, tabel 4, pp. 200 - 201].Billedet fra Xiuqing [2008] er derfor på ingen måde entydigt og således heller ikke til stor støtte for modelleniHong&Stein[1999].OmvendtfinderHong,Lim&Stein[2000]storstøttevedanvendelseafsåvelstørrelsesom residual analytikerdækning. At Xiuqing [2008] med så relativt små ændringer i testdesing og udvidelse afdatamaterialet kan dokumentere så markant anderledes konklusioner er dog en seriøs udfordring for konklusionernefra Hong, Lim & Stein [2000].8.3 DelkonklusionGennemgangen ovenfor er opsummeret i tabel 14. Det er tydeligt, at der i litteraturen ikke tegner sig nogenklar enighed om den indbyrdes kvalitet af de tre foreslåede forklaringer på momentum og reversion.98

8.3 Delkonklusion Martin HeisselArtikel Variable DataDaniel &Titman (1999)Hong et al.(2000)Lee &Swaminathan(2000)Jegadeesh &Titman (2001)Chan et al.(2004)Daniel (2004)Doukas &McKnight(2005)Xiuqing (2008)BSV(1998)DHS(1998)HS(1999)-B/M-ratio CSRP (1964-1997) - √ -- Markedsværdi- Analytiker dækning (residual)-Historiskhandelsvolume-Historiskeafkast(momentum)CRSP & I/B/E/S(1976-1996)NYSE & AMEXCompustat &I/B/E/S(1965-1995)- - √(√) (√) (√)-Historiskeafkast CRSP (1965-1997) (√) (√) (√)- Historiske vækstrater forregnskabstal(omsætning, nettoresultat &EBIT)- Vækstrater for regnskabstal(omsætning, nettoresultat &EBIT)- Analytiker dækning (residual)-Spredningianalytikerforecast- Markedsværdi- Analytiker dækning (residual)-B/M-ratio-HistoriskhandelsvolumeCRSP & Compustat(1965-2000)CRSP & Compustat(1965-2000)I/B/E/S (3.084aktier, 13 eur.lande, 1998-2001)1) CRSP &Compustat2) Datastream &I/B/E/S(1962-2000)÷ (√) - -- √ -√ - √- √ ÷Tabel 14: Kronologisk oversigt over de empiriske undersøgelser af de præsenterede modeller. Beviserne er ikke entydige, hvilket ihøj grad kan skyldes en manglende konsistent måling af investorernes behandling af ny information. Kausaliteten i de anvendteproxies vil fortsat blive diskuteret. (√ = Støtte, (√) =Begrænset støtte, ÷ = Ingen støtte, − = Ingen betragtning).Der kan naturligvis være mange grunde hertil. Først og fremmest skyldes det nok manglen på et genereltaccepteret testapparat. De empiriske undersøgelser bærer i den grad præg af et subjektivt valg af metode ogleverer derfor overvejende støtte til den pågældende model, der undersøges. Undtagelsen er her Xiuqing [2008],der ved eftergørelse af Hong, Lim & Stein [2000] på et udvidet og internationalt datagrundlag betvivler dereskonklusioner.En væsentlig del af skylden bæres også af en manglende påvist kausal sammenhæng mellem de anvendteproxies og de modellerede investor biases. Modellernes teoretiske mangler er således også dem, der umiddelbarthindrer en forenet empirisk konklusion på validiteten i modelleringen af momentum og reversion i aktieafkast.Det er nøjagtig dette argument, der får såvel Lee & Swaminathan [2000] samt Jegadeesh & Titman [2001]til at konkludere, at effekterne ganske vist er der, men at årsagerne hertil er mere uklare. Begge artikler erdog ikke afvisende overfor de foreslåede forklaringer, men konkluderer blot, at fortolkningen af resultaterne skaltages med forbehold.99

Martin HeisselOveni de nævnte undersøgelser kan lægges den stadigt voksende litteratur, der dokumenterer en fortsat tilstedeværelseaf profitable handelsstrategier baseret på fænomenerne momentum og reversion. Langt størstedelenaf denne litteratur beskæftiger sig dog alene med at dokumentere afkastet uden nogen overvejelser om årsagernetil den enkelte strategis profitabilitet. Hele denne litteratur kan derfor blot regnes som støtte for de overordnedemekanismer i prisdannelsen, henholdsvis over- og underreaktion.Som litteraturen er i dag, er den eneste mulige konklusion derfor, at modeller som dem præsenteret i indeværendeafhandling bestemt synes at have deres berretigelse i den fremtidige forskning indenfor finansieringsteorien.Det er derimod ikke muligt at afgøre, hvilken modellering der synes mest plausibel. En mere konsistent og stringenttilgang vil kunne udbedre noget af denne mangelfuldhed, men et egentligt gennembrud kan først forventes,når de kausale sammenhænge mellem investorernes opfattelse og bearbejdning af information til deres handlingerforetaget i markedet er klarlagte. Spørgsmålet er så bare, om dette nogensinde besvares på tilfredsstillendevis.9 KonklusionGennem en struktureret redegørelse og analyse, har jeg i denne afhandling formidlet tre mulige og plausiblealternative forklaringer på en særlig form for afkastforudsigelighed der er observeret i aktieafkast - den kortsigtedemomentum og lang-sigtede reversion. Alternativerne basererer sig alle på elementerne fra BehaviouralFinance der som disciplin har tiltrukket sig en stadigt stigende interesse i såvel offentlige medier som akademiskekredse.Kapitel 2 klarlagde, hvorledes empiriske undersøgelser af de finansielle markeder i stor stil ydede støtte tilEfficient Market Hypothesis i tiden efter denne hypoteses gennembrud. I al sin enkelthed proklamerer EMH, atpriserne til enhver tid afspejler al information og dermed også, at ingen investor aktivt kan tjene et overnormaltafkast, ud over hvad der retfærdiggøres ved investeringens risiko.Det er i afhandlingens kapitel 3 dokumenteret, hvorledes dette siden midten af 1980’erne og til stadighed udfordresaf en række empiriske studier der står som den egentlige baggrund for forskningen i Behavioral Finance.Den kortsigtede momentum-effekt og Post-Earnings Announcement Drift er dokumenteret som underreaktiontil ny information i prisdannelsen. Om den langsigtede reversion har afhandlingen desuden dokumenteret profitabilitetenved contrarian strategien der identificerer en assymetrisk overreaktion til nyheder.Samlet set afviser disse anomalier EMH i sin semi-stærke form. Afhandlingen har derfor behandlet denneafkastforudsigelighed ved at analysere tre foreslåede modeller til en deskriptiv forklaring herpå.Inden denne redegørelse og analyse, har afhandlingens kapitel 4 først beskæftiget sig med grundstenene i100

Martin HeisselBehavioral Finance. Den kognitive psykologi der omhandler investorernes beslutningstagning under usikkerhedblev introduceret, da et væsentligt argument i Behavioral Finance er, at finansielle priser ikke alene er etresultat af investorernes nyttemaksimerende adfærd, men ligeledes afspejler mere subjektive værdiforhold. Somintroduktion til den kognitive psykologi har afhandlingen derfor behandlet fire investor biases - konservatisme,selv-tillæggelse, overdrevet selvtillid og repræsentativitet - der vurderes blandt de mest betydningsfulde indenforde forventnings-baserede modeller. Analysen illustrerede, hvorledes disse irrationelle handlinger synes at væresystematiske brud på antagelsen om fuldt rationelle investorer.Dernæst har afhandlingen behandlet teorien om begrænset arbitrage der er det andet centrale element afBehavioral Finance. I denne del af teorien har afhandlingen redegjort for, hvorledes de irrationelle noise tradersaf forskellige årsager kan influere prisdannelsen. Den mest generelle forklaring benævnes noise trader risiko ogblev analyseret i en model, hvor noise tradernes uforudsigelige forventninger skaber usikkerhed i prisdannelsen.Denne øgede usikkerhed resulterer i, at markedets arbitragører ikke vil agere tilstrækkeligt aggressivt påprisfejlen, og dermed ikke formår at neutralisere noise tradernes effekt. Som supplement til denne teoretiskediskussion er der desuden præsenteret en række empiriske studier, der på glimrende vis indikerer, at arbitragei praksis synes at være begrænset.De ovennævnte betragtninger er anvendt i afhandlingens hovedformål, der analyserer tre forskellige deskriptivemodeller til forklaring af momentum og reversion i aktieafkast.ImodellerneafBarberisetal.[1998]ogDanieletal.[1998]bunderforklaringenidenspecifikkemodelleringaf de foreslåede investor biases. Ligheden ophører dog her, da modellerne er uenige om mekanismen der fører tilde nævnte anomalier. Helt i tråd med den redegjorte empiri forklarer Barberis et al. [1998] således momentummed underreaktion (konservatisme) og reversion med overreaktion (repræsentativitet).Analysen af modellen i Daniel et al. [1998] viser ligeledes, at reversionen er en konsekvens af overreaktion.Forskellen til Barberis et al. [1998] ligger dog i, at det momentum der har skabt denne overreaktion i sig selv erkarakteriseret ved en overreaktion til nyheder skabt dels af overdreven selvtillid og biased selv-tillæggelse.Endeligt har afhandlingen også analyseret en tredje model, hvis udgangspunkt ikke er bestemte investorbiases, men derimod begrebet begrænset rationalitet. Modellen fra Hong & Stein [1999] opererer med nyhedsogmomentumhandlere, hvor interaktionen mellem disse begrænset rationelle investorer skaber momentum ogreversion. Analysen viser, hvorledes momentum opstår som konsekvens af underreaktion, og at reversionen eret resultat af overreaktion - nøjagtig som det var tilfældet i Barberis et al. [1998].Modellerne analyseret er således alle enige i, at baggrunden for reversion er en overreaktion i prisdannelsen.De er derimod uenige om grundlaget for momentum, og som følge heraf baserer de empiriske test af modellernesig på analyser af netop denne momentumeffekt. Afhandlingens kapitel 8 har afdækket de tre grundlæggendeimplikationer fra de analyserede modeller som værende; 1) at investorerne underreagerer til enkeltstående informationer,men overreagerer til serier af enslydende informationer 2) at momentum er stærkest for aktier hvorinformationen er mest diffus og uhåndgribelig 3) at momentum er stærkest hvor informationspredning er mesttræg.101

9.1 Kritikken, begrænsningerne og den fremtidige forskning Martin HeisselDe empiriske test har i overvejende grad ydet støtte til de analyserede modeller, og kun enkelte forfatterehar været forbeholdne overfor de fundne resultater. Grundet den stadig relativt svagt dokumenterede kausalesammenhæng mellem de anvendte proxies og de modellerede investor biases, skal disse empiriske undersøgelsersresultater dog tages med forbehold. Det er således uklart, hvorvidt de anvendte proxies reelt fanger de kognitiveeffekter, eller om det i realiteten nærmere er tale om test af hypotesen fra kapitel 4 om, at disse anomalier erstørst under forhold, hvor arbitrage er mest begrænset. Den afhængige variabel er således i alle test momentumeffektensstørrelse.Helt overordnet er det derfor ikke muligt at konkludere på sandheden i de foreslåede modeller, da dettevil kræve yderligere stringens og konsistens i de anvendte test. Derudover er omfanget af foretagne test stadigrelativt beskedent. De kendte resultater indikerer dog, at idéen med at forklare de observerede anomalier vedadfærdsmæssige perspektiver som præsenteret i denne afhandling synes relevant og berettiget.9.1 Kritikken, begrænsningerne og den fremtidige forskningUd over den manglende stringens i de empiriske test, står modellerne ligeledes overfor en række teoretiskeudfordringer. Eksempelvis baserer samtlige modeller sig på repræsentative investorer. Behavioral Finance somdiscplin argumenterer netop for, at antagelserne i den traditionelle litteratur om homogene forventninger ogrisikopræferencer er alt for generaliserende. Det synes dog paradoksalt, at man ikke anser det for problematiskat aggregere de psykologiske påvirkninger.Et andet aspekt er anvendelsen af Bayes’ lov. Den eksperimentelt dokumenterede irrationalitet ligger oftei ukorrekt anvendelse af Bayes’ lov (eksempelvis konservatisme og repræsentativitet). Alligevel opdateresagenternes forventning i eksempelvis Barberis et al. [1998] ved korrekt anvendelse af Bayes’ lov.Analysen illustrerer også, hvorledes under- eller overreaktionen afhænger af informationens karakter. I Barberiset al. [1998] underreageres til offentlige information. Dette sker også i Daniel et al. [1998], da reversionensker gradvist. Omvendt overreageres her til den private information. Disse tendenser er dog i modstrid medeksempelvis Odean [1998] der finder, at markederne underreagerer til abstrakt og statistisk information derer højst relevant i forbindelse værdiansættelsen. Dette kan sidestilles med information om fundamentaler, ogsåledes den private information, som de informerede investorer modtager i Daniel et al. [1998]. Omvendt finderOdean [1998] også, at markedet overreagerer til meget fremtrædende og anekdotisk information der synesmindre relevant ved værdiansættelsen. Dette kan sidestilles med den offentlige information i såvel Barberis etal. [1998] som Daniel et al. [1998], hvor der i begge tilfælde sker underreaktion til denne type af information.Man fristes dermed til at tro, at behavioristerne selv er ofre for en eller flere indentificerede biases. Eksempelviskunne ovenstående fortolkes som eksempler på Confirmation Bias idenforstand,atforfatternebevidstsynesat søge - og finde - den information der bekræfter deres hypoteser. Alternativt kunne det også være udtryk forkognitiv dissonans, idetforfatterneganskegiveterbekendtmedresultaternefraOdean[1998],menforsøgeratrationalisere sig til den rette sammenhæng.Endelig er der det meget iøjnefaldende faktum, at momentum og reversion er konstateret i tværsnitsdata.Med andre ord baseres de empiriske undersøgelser på test af porteføljer, og vurderer dermed et gennemsnitligt102

9.1 Kritikken, begrænsningerne og den fremtidige forskning Martin Heisseludfald. Modellerne analyseret i denne afhandling modellerer imidlertid alle prisdannelsen i et enkelt risikabeltaktiv. Der kan således stilles spørgsmålstegn ved, om konklusionerne herfra kan overføres direkte til at besvareet fænomen observeret på tværs af aktiver.9.1.1 Modellernes begrænsningerBlandt svaghederne ved de i afhandlingen behandlede modeller, er desuden også det faktum, at de alle erdeskriptive. De fordrer derfor ingen normative retningslinjer der kan hjælpe investorerne til bedre beslutningerpå de finansielle markeder, og behandler ydermere ikke tids-aspektet i de respektive anomalier. Analysen harsåledes hverken tydeliggjort persistensen af en momentum-effekt eller tidspunktet for reversionens begyndelse.De praktiske implikationer af modellerne må som følge heraf siges at være meget begrænsede. Sammenmed de forudgående empiriske undersøgelser og de senere empiriske test leverer modellerne bevis for, at enprofitabel strategi kan baseres på fænomenerne. Destøttersåledesopombevisernepå,atsåvelmomentumsomreversion kan udnyttes i en handelsstrategi. Dette revolutionerer dog ikke finansieringslitteraturen, da det mereinteressante naturligvis ville være hvorledes mekanismerne -dvs.depsykologiskepåvirkninger-kanudnyttes.Problematikken er som med de empiriske test, at man endnu mangler klare kausale sammenhænge mellemde identificerede investor biases og målbare variable. Her fordrer modellerne desværre ikke nye resultater, da deblot beskriver én deskriptiv måde, hvorpå disse modellerede biases kunne tænkes at influere i prisdannelsen.9.1.2 Perspektivering og Behavioral Finance fremadrettetIdiskussionenommarkedsefficienserdetidenseneretidblevetpointeret,atdeternødvendigtatskelnemellem de to aspekter af dette, nævnt i afhandlingens indledning samt kapitel 4. Der synes således i stigendegrad at være en generel accept i litteraturen af, at de finansielle markeder fremstår som efficiente i den forstand,at aktive investorer ikke konsekvent formår at slå markedet (Statman [1999]). Dette underbygges bl.a. af enlang række empiriske undersøgelser der ikke formår at dokumentere kontinuerligt overnormale profitter til storeinstitutionelle investorer.Uenigheden ligger derimod i diskussionen om den information der er indeholdt i priserne. Her argumenterertilhængerne af Behavioral Finance fortsat, at priserne ikke alene er bestemt af fundamentaliteter, men at ogsåmere subjektive og værdiladede aspekter spiller ind.De i afhandlingen behandlede modeller er som nævnt ikke ufejlbarlige ej heller uforbederlige. Dette tiltrods står de dog som eksempler på, at det bestemt er muligt at producere teorier der med solid basis i denpsykologiske og økonomiske forskning formår at forklare en række komplekse empiriske resultater. Forskningensaktuelle fokus synes dog i stigende grad at være rettet mod de præference-baserede modeller, hvor ProspectTheory (Kahneman & Tversky [1979]) spiller en helt central rolle som substitut for den traditionelle teori omforventet nytte.Set i lyset af kritikkernes argumenter om Behavioral Finance som en “pandoras æske” for forklaringsmulighedersynes denne retning mod mere grundlæggende Behavioral Asset Pricing at være fornuftig. Det synes således103

9.1 Kritikken, begrænsningerne og den fremtidige forskning Martin Heisselnødvendigt med et mere veldefineret og velaccepteret udgangspunkt, før den teoretiske modellering indenforBehavioral Finance for alvor vil vinde bredere accept i finansieringskredse 124 .Da dette endnu ikke er opnået, fremstår Behavioral Finance langt hen ad vejen stadig som delvise forklaringerpå nogle af udfordringerne i den traditionelle litteratur, og er derfor til stadighed mål for den berretigede kritikfra tilhængerne af EMH. Det er min klare overbevisning, at denne “skyttegravskrig” mellem tilhængerne af dentraditionelle litteratur og behavioristerne vil fortsætte så længe den samlende adfærdsmæssige ramme mangler.Teoriens manglende overordnede struktur til trods, har denne afhandling dog dokumenteret, at elementernefra Behavioral Finance synes relevante og således fortsat vil bidrage til den finansielle litteratur i årene fremover.124 Et glimrende eksempel på dette er Shefrin [2008], der bl.a. udvikler en Behavioral Stokastisk Diskonterings Funktion, BehavioralAsset Pricing Model (BAPM) og Behavioral Black-Scholes.104

Martin HeisselAAppendiksA.1 Efficient Market HypothesisLad forskellen på den realiserede og den forventede pris til t +1væreda erx j t+1 = pj t+1 − E p j t+1 | Φ t E ˜x j t+1 | Φ t =0Ligeledes kan overnormalt afkast i forhold til det i ligevægten forventede afkast defineres somz j t+1 = r j t+1˜r − E j t+1 | Φ t ⇐⇒ E ˜z j t+1 | Φ t = 0Af ovenstående fremgår, at såvel serien af priser som afkast per definition er et ”fair spil” med hensyn tilinformationsserien Φ t - dvs. agenterne har ens forventninger givet den tilgængelige information.Lad nu følgende definere en investeringsstrategien der angiver beløbet investoren investerer i hvert enkeltaktiv, a j (Φ t )a (Φ t )=[a 1 (Φ t ) ,a 2 (Φ t ) ,.........,a n (Φ t )]Den totale markedsværdi af et sådan system vil da væreV t+1 =der med ovenstående har forventningenB.1 De Long et al. [1990]nj=1EṼt+1 | Φ t = a j (Φ t )r j t+1 − E ˜r j t+1 | Φ tnj=1 a j (Φ t ) E ˜z j t+1 | Φ t =0Nyttefunktionen er givet med konstant absolut riskioaversion på formenU (w) =−e −2γw , w ∼ N ¯w, σw2 w er her formuen der er normalfordelt med middelværdi ¯w og varians σ 2 w.ForventningentilU (w) er da givet105

C.1 Barberis, Shleifer & Vishny [1998] Martin HeisselvedE (U (w)) = E−e −(2γ)w= −e −2γ ¯w+ 1 2 Var(−2γw)= −e −2γ ¯w+ 1 2 (−2γ)2 σ 2 w= −e −2γ ¯w+2γ2 σ 2 w= −e −2γ( ¯w−γσ2 w)Maksimering af E (U (w)) er derfor lig maksimering af ¯w − γσ 2 w.C.1 Barberis, Shleifer & Vishny [1998]Excel-ark til illustration af den praktiske opdatering af q t106

C.1 Barberis, Shleifer & Vishny [1998] Martin HeisselBevis for proposition 2Proposition 2 (Under- og overreaktion): Prisligningen i (5.6) vil udvise såvel under- som overreaktion til indtjeningschokkene,y t , hvis de underliggende parametre λ 1 , λ 2 , π 1 , og π 2 tilfredsstiller atkρ 2 0(C.1)hvorimod overreaktion er defineret som et forventet lavere afkast givet en serie af positive indtjeningschok engivet en serie af negative indtjeningschok. Der findes altså et tal M 1 sådan at der for alle m M gælder atE t [P t+1 − P t | y t = y t−1 = ...= y t−m = y] − E t [P t+1 − P t | y t = y t−1 = ...= y t−m = −y] < 0(C.2)For at bestemme de tilstrækkelige betingelser for dette fra Proposition 2 er det nyttigt at definere en funktionder beskriver forskellen i det forventede afkast som følge af henholdsvis et positivt og et negativt indtjeningschokder er betinget af at investorens forventning om regimet antager en specifik værdi. f (q) defineres derfor somf (q) ≡ E t (P t+1 − P t | y t+1 =+y, q t = q) − E t (P t+1 − P t | y t+1 = −y, q t = q)107

C.1 Barberis, Shleifer & Vishny [1998] Martin HeisselEt eksplicit udtryk for P t+1 − P t kan fås direkte fra prisligningen i (5.6)P t+1 − P t = N t+1δ= N t + y t+1δ= y t+1δ= y t+1δNt+ y t+1 (ρ 1 − ρ 2 q t+1 ) −+ y t+1 (ρ 1 − ρ 2 q t+1 ) −+ y t+1 (ρ 1 − ρ 2 q t+1 ) − y t (ρ 1 − ρ 2 q t )δ + y t (ρ 1 − ρ 2 q t )Ntδ + y t (ρ 1 − ρ 2 q t )+ y t+1 ρ 1 − y t+1 ρ 2 q t+1 − y t ρ 1 + y t ρ 2 q tVed først at lægge henholdsvis leddene y t+1 ρ 2 q t , y t ρ 2 q t og y t ρ 2 q t+1 til og derefter trække de selvsamme fra iovenstående fås følgendeP t+1 − P t = y t+1+ y t+1 ρ 1 − y t+1 ρ 2 q t+1 − y t ρ 1 + y t ρ 2 q t + y t+1 ρ 2 q t+1 − y t+1 ρ 2 q t+1δ+y t ρ 2 q t − y t ρ 2 q t + y t ρ 2 q t+1 − y t ρ 2 q t+1= y t+1δ+(y t+1 − y t )(ρ 1 − ρ 2 q t ) − y t ρ 2 (q t+1 − q t ) − (y t+1 − y t ) ρ 2 (q t+1 − q t )(C.3)Da indtjeningschokkene følger en random-walk er sandsynligheden for at det følgende indtjeningschok er afsamme fortegn lig 1 2 .Betingetafatdetaktuelleindtjeningschokerpositivt(y t =+y) og q t = q er forventningentil afkastet i (C.3) (funktionerne ¯∆(q) og ∆ (q) er som defineret i afsnit 5.1 på side 48)E t [P t+1 − P t | y t =+y, q t = q] = 1 2 yδ + yρ 2∆ (q)+ 1 −y2 δ− 2y (ρ 1 − ρ 2 q) − yρ 2 ¯∆(q)+2yρ2 ¯∆(q)= 1 2 yρ 2∆ (q) − y (ρ 1 − ρ 2 q)+ 1 2 yρ 2 ¯∆(q)= y (ρ 2 q − ρ 1 )+ 1 2 yρ 2 ¯∆(q)+∆(q)Desuden er −yδE t [P t+1 − P t | y t = −y, q t = q] = 1 2= −y (ρ 2 q − ρ 1 ) − 1 2 yρ 2 ¯∆(q)+∆(q)− yρ 2∆ (q) + 1 y2 δ +2y (ρ 1 − ρ 2 q)+yρ 2 ¯∆(q) − 2yρ2 ¯∆(q)= −E t [P t+1 − P t | y t =+y, q t = q]og derfor kan funktionen f (q) skrives somf (q) = E t [P t+1 − P t | y t =+y, q t = q] − E t [P t+1 − P t | y t = −y, q t = q]= 2E t [P t+1 − P t | y t =+y, q t = q]= 2y (ρ 2 q − ρ 1 )+yρ 2 ¯∆(q)+∆(q)(C.4)måEn tilstrækkelig betingelse for overreaktion er da f q < 0, hvilketvisesidetfølgende.Holderf (q) < 0 daE tPt+1 − P t | y t =+y, q t = q

C.1 Barberis, Shleifer & Vishny [1998] Martin HeisselHvis vi nu lader m →∞da vilE t Pt+1 − P t | y t = y t−1 ,...,y t−j = y, q t = q →E t Pt+1 − P t | y t =+y, q t = q ogE t Pt+1 − P t | y t = y t−1 ,...,y t−j = −y, q t = q →E t Pt+1 − P t | y t = −y, q t = q Det må derfor også gælde at for alle m ≥ M (hvor M er tilstrækkeligt stor) atE t [P t+1 − P t | y t = y t−1 ,...,y t−j = y] f q ⇔⎡⎤0 > 2y ⎢ρ 2 q − ρ 1 + yρ2 ⎣ ¯∆ q =0 + ∆ q ⎥⎦ ⇔ 2yρ 1 > 2yρ 2 q − +yρ 2 ¯∆ q ⇔ρ 1 > ρ 2 q + 1 2 ρ ¯∆ 2 q ⇔¯∆ q ρ 1 > q + ρ 2 ⇔2ρ 1 > kρ 2I det følgende defineres den tilstrækkelige betingelse for underreaktion. Dettekansommedoverreaktionogsåudtrykkes ved funktionen f (q) på følgende mådeE q (f (q)) > 0hvor E q her er forventningen taget over den ubetingede fordeling for q. Vedanvendelseaf(C.4)kandetteskrivessomE q (f (q)) = 2y (ρ 2 E (q) − ρ 1 )+yρ 2 Eq ¯∆(q)+∆(q) > 0 ⇔ 2yρ 2 E (q)+yρ 2 Eq ¯∆(q)+∆(q) > 2yρ 1 ⇔ρ 2 E (q)+ 1 2 ρ 2 Eq ¯∆(q)+∆(q) > ρ 1 ⇔ρ 1 < E (q)+ E q ¯∆(q)+∆(q)ρ 22Der kan dog ikke findes nogle eksplicitte udtryk for disse forventninger hvorfor det i stedet er nødvendigt atafgrænse disse. Denne afgrænsning kan gøres ved at definere ¯k, hvorved der fås følgende tilstrækkelig betingelse109

C.1 Barberis, Shleifer & Vishny [1998] Martin Heisselfor underreaktion¯k < E(q)+ E q ¯∆(q)+∆(q)⇔2ρ 1 < ¯kρ 2(C.5)hvor det desuden også er antaget at ρ 2 > 0 som skrevet i Propostion 2.For at begrænse udtrykket E (q)+ 1 2 E q ¯∆(q)+∆(q) begrænses først E (q). DetbemærkesdaatE (q t ) = E (q t+1 )=E qt (E (q t+1 | q t )) 1 = E qt qt +2¯∆(q t ) + 1 2 (q t − ∆ (q t ))= E q [g (q)]Idéen er nu at begrænse funktionen g (q) af henholdsvis en øvre og nedre grænse over intervallet q, ¯q 125 .Dette kan gøres ved hjælp af linæere funktioner der er parallelle med linjen gennem q,g q og (¯q, g (¯q))(endepunkterne for g (q)). Der betragtes altså en situation hvor g (q) begrænses opadtil af funktionen ḡ (q) =a + bq der har hældningenVed indsættelse i g (q) fåsb = g (¯q) − g q ¯q − q⎡ ⎤=0g (¯q) = 1 ⎢ ⎥⎣¯q + ¯∆(¯q) ⎦ + 1 22 [¯q − ∆ (¯q)] = ¯q − 1 2 ∆ (¯q)g q = 1 2q + ¯∆q+12⎡ ⎤=0 ⎢⎣q − ∆ q ⎥⎦ = q + 1 2 ¯∆ q således at hældningen bliverb = g (¯q) − g q ¯q − q= ¯q − q −12 ∆ (¯q)+ ¯∆ q< 1¯q − qSkæringspunktet med y-aksen, a, vil da opfylde at den største nedre grænse for forskellen til g (q) (infimumegenskaben)vil være lig 0inf (a + bq − g (q)) = 0q[q,¯q]Da det om forventningen over den ubetingede fordeling for q gælder at E q [g (q) − q] =0må det ligeledes gælde125 husk at når først q er i dette interval vil den forblive heri for altid, ligesom den med sandsynligheden 1 vil indtræde i intervallet.110

D.1 Daniel, Hirshleifer & Subrahmanyam [1998] Martin HeisselatE q [ḡ (q) − q] ≥ 0 ⇔E [a + bq − q] ≥ 0Konsekvensen af b q − q¯q − q∆ (¯q)+= ¯q ¯∆ q − q∆ (¯q)¯q − q= c 1 + c 2 q ¯q − q¯∆ q = q∆ (¯q) − q∆ (¯q)+¯q ¯∆ q − q ¯∆ q ¯q − q¯q − q+ ∆ (¯q) − ¯∆ q q¯q − qVi har derfor fra betingelsen i (C.5)E (q)+ 1 2 E ¯∆(q)+∆(q) ≥ q e + 1 2 E (c 1 + c 2 q) ≥ q e + 1 2 E (c 1 + c 2 q ∗ )⎧⎪⎨ ¯q e hvis c 2 < 0q ∗ =⎪⎩q e hvis c 2 ≥ 0hvilket afslutter beviset af Proposition 2.D.1 Daniel, Hirshleifer & Subrahmanyam [1998]Proposition 3 (volatilitet)Idetfølgendefindesdeeksplicitteudtrykudeladtfraafsnit6.2.2påside63vedrørendepris-volatiliteten.Ubetinget prisvolatilitet Den ubetingende pris-volatilitet bestemmes som det ligevægtede gennemsnit afde respektive varianser Var(P 1 − P 0 ), Var(P 2 − P 1 ) og Var(P 3 − P 2 ).Så126 jf. afsnit 5.1 på side 48.111

D.1 Daniel, Hirshleifer & Subrahmanyam [1998] Martin Heissel⎡V ubetinget = 1 ⎣ σ2 σpσ 4 θ 4 + σ4 I σ2 ησθ2 σ2η + σθ2 3 σ2Iσ2 p + σθ2 + σ2 p σθ 2 2+σI 4σ6 θ + σ8 θ σ2 + σθ 4σ2 p σ2I + σθ 2 2 ⎤ σ2θσ2I+ σp2 + σ2Iσp2 2+ 3σ4 θ σ2θ+ σ 2 ⎦(σ2I+ σθ 2)2(σθ 2 + σ2 I )2σ 4 Ihvilket reduceres til V R ubetinget = σ2 θ3i det tilfælde hvor ingen agenter er overdrevet selvsikre σ 2 I = σ2 .Excessvolatiliteten er daV excess = V ubetinget − VubetingetR⎡= 1 ⎣ σ2 σpσ 4 θ 4 + σ4 I σ2 ησθ2 σ2η + σθ2 3 σ2Iσ2 p + σθ2 + σ2 p σθ 2 2+> 0 for σ 2 I σI2112

E.1 Hong & Stein [1999] Martin HeisselDirekte fra prisligninger i (6.11), (6.12) og (6.13) fås (alle under forudsætning af at σ 2 >σ 2 I )Cov (P 3 − P 3 ,P 3 − P 2 ) = σ6 θ2σ 2 Iσ2 − σ 2 I(σθ 2 + σ2 I )2 σθ2 σ2I+ σp2 + σ2Iσp2σ2I − k σ 2 + k − σI 2+(σθ 2 + σ2 I − k)2 σθ2 σ2I− k + σp2 +(σ2I− k) σp2 kσpσ 2 θ4 k + σ2 − σI 2 Cov (P 3 − P 3 ,P 2 − P 1 )=−2(σI 2 − k + σ2 θ ) (σI 2 − k) σθ 2 + < 0p σ2 + σ2θσp2> 0 (D.1)Cov (P 3 − P 3 ,P 1 − P 0 ) = 1 2 σθ 4σ2 p σ2 − σI 2(σθ 2 + σ2 I ) σI2 σ2θ+ σp2 + σ2θσp2 k + σ2 − σI 2σ 4 θ σ2 p+(σθ 2 + σ2 I − k) (σI 2 − k) σθ 2 + p σ2 + σ2θσp2< 0og endeligCov (P 3 − P 2 ,P 1 − P 0 ) = − σ6 θ2+σ 2 Iσ2 − σ 2 I σ2θ+ σp2 2 σ2Iσ2θ+ σp2 + σ2θσp2σ2I − k σ 2 + k − σI 2(σθ 2 + σ2 I − k)2 (σI 2 − k) σθ 2 + p σ2 + σ2θσp2< 0kσ 6 θσ2I − k σ 2 + k − σ 2 ICov (P 3 − P 2 ,P 2 − P 1 )=−2(σI 2 − k + σ2 θ )2 (σI 2 − k) σθ 2 + < 0p σ2 + σ2θσp2(D.2)Af (6.14), (D.1) og (D.2) der udtrykker alle 1-lag kovarianser, ses det at momentum (defineret som positivtgennensnit af de tre konsekutive kovarianser) vil forekomme så længe σp 2 er tilstrækkelig stor. Dette skyldes at(D.1) - som den eneste negative kovarians - bliver mindre negativ des større σp,hvorforetsimpeltgennemsnit2af disse tre kovariaanser vil være positvt så længe σp 2 er tilstrækkelig stor.For størrelsen af den asymmetriske selv-tillægelse er konklusionen modsat. Dette kan ses ved at kovarianseni(D.1)og(6.14)gårmodnulfork → 0. Da(D.2)samtidigerstrengtstørreendnulfork → 0 vil momentumforekomme så længe k er tilstrækkelig lille.E.1 Hong & Stein [1999]På de følgende sider følger tabellerne AIII (om komparativ statik på diffusionsparameteren z) ogAI(omkomparativ statik på momentumhandlernes tidshorisont j) dererbeskrevetafsnit7.4påside83.113

2178 The Journal of FinanceTableAIIIComparativeStaticswithRespecttoInformationDiffusionParameterInformationdiffusionparameterztakesonvalues3,6,9,12,15,and18.4istheintensityofmomentumtradedescribedinequation(7).P,isthestockpriceattimet.P*istherationalexpectationsstockprice.Theotherparametervaluesaresetasfollows:Themomentumtraders'horizonj=12,thevolatilityofnewsshocksa-=0.5,andthemomentumtraders'risktolerancey=1/3.InformationDiffusionParameterz=3z=6z=9z=12z=15z=1800.03220.12930.20230.26050.32140.3785Standarddeviationof(Pt-Pt-,)0.29520.23170.21060.20280.19770.1907Standarddeviationof(Pt-Pt*)at+=00.37270.61800.79350.93731.06201.1736Standarddeviationof(Pt-Pt*)0.37440.63170.80870.93651.03311.0992Cumulativeimpulseresponseatlag00.33330.16670.11110.08330.06670.055610.67740.35490.24470.18840.15480.132121.02180.54590.38280.29910.24970.216731.03290.73730.52190.41130.34690.304241.03330.92870.66110.52380.44480.392951.03331.12010.80040.63650.54300.482161.03331.14490.93970.74920.64120.571371.03331.14811.07900.86180.73940.660781.03331.14851.21830.97450.83760.750191.03331.14861.24651.08720.93590.8395101.03331.14861.25221.19991.03410.9288111.03331.14861.25331.31261.13231.0182121.03331.14861.25361.34201.23061.1076131.02261.12701.23111.32791.30741.1760141.01111.09991.19961.29691.37041.2284150.99971.07171.16521.26001.36021.2718160.99891.04331.13021.22111.32561.3107170.99891.01481.09491.18171.28311.3474180.99890.98641.05961.14201.23781.3275190.99890.97951.02421.10241.19181.2862200.99890.97820.98891.06271.14541.2368210.99890.97800.95361.02301.09891.1842220.99890.97790.94070.98331.05241.1305230.99890.97790.93700.94361.00591.0763240.99890.97790.93600.90380.95941.0220

Underreaction, Momentum Trading, and Overreaction 2179250.99890.97790.93580.88590.91280.9676260.99920.98070.94020.88480.87320.9211270.99960.98460.94750.89260.84020.8837281.00000.98870.95600.90430.83290.8531291.00000.99290.96480.91750.84170.8268301.00000.99720.97370.93120.85810.8030311.00001.00140.98260.94510.87800.8015321.00001.00280.99160.95900.89920.8165331.00001.00321.00050.97300.92090.8409341.00001.00331.00950.98700.94280.8701351.00001.00331.01391.00100.96480.9014Returnautocorrelationsatlag10.68060.86610.92390.94660.95850.966620.34100.69700.81550.85040.87940.901030.01100.52330.69950.73880.77610.817840.00040.34930.57870.62200.66400.721650.00000.17750.44160.50360.54860.611660.00000.02300.29810.38460.43210.486170.00000.00000.15320.26540.31520.35478(0.0000)(0.0230)0.01120.14640.19830.22349(0.0000)(0.0481)(0.1148)0.02760.08180.097910(0.0004)(0.0739)(0.1647)(0.0898)(0.0335)(0.0202)11(0.0110)(0.0997)(0.1983)(0.2027)(0.1455)(0.1304)12(0.0223)(0.1249)(0.2270)(0.2994)(0.2483)(0.2311)13(0.0330)(0.1455)(0.2482)(0.3385)(0.3352)(0.3159)14(0.0230)(0.1309)(0.2371)(0.3348)(0.3873)(0.3692)15(0.0117)(0.1071)(0.2130)(0.3088)(0.4071)(0.3980)16(0.0007)(0.0815)(0.1846)(0.2729)(0.3802)(0.4097)17(0.0000)(0.0557)(.1544)(0.2332)(0.3356)(0.4070)18(0.0000)(0.0302)(0.1206)(0.1919)(0.2842)(0.3855)19(0.0000)(0.0069)(0.0847)(0.1502)(0.2302)(0.3299)20(0.0000)(0.0009)(0.0481)(0.1083)(0.1753)(0.2591)210.00000.0029(0.0120)(0.0663)(0.1201)(0.1826)220.00000.00660.0208(0.0245)(0.0649)(0.1062)230.00000.01040.03750.0170(0.0101)(0.0326)240.00040.01420.04770.05730.04350.0370250.00070.01800.05560.09290.09380.1015

2174 The Journal of FinanceTableAlComparativeStaticswithRespecttoMomentumTraders'HorizonMomentumtraders'horizonjtakesonvalues3,6,9,12,15,and18.0istheintensityofmomentumtradedescribedinequation(7).P,isthestockpriceattimet.P*istherationalexpectationsstockpriceinequation(2).Theotherparametervaluesaresetasfollows:Theinformationdiffusionparameterz=12,thevolatilityofnewsshockso-=0.5,andtherisktolerancey=1/3.MomentumTraders'Horizonj =3j =6j =9j=12j=15j =18p0.55500.44550.32620.26050.22630.2015Standarddeviationof(P,-P,-,)0.22290.23220.21790.20280.19080.1833Standarddeviationof(P,-Pf*)atp00.93730.93730.93730.93730.93730.9373Standarddeviationof(P,-P,*)0.80110.84380.91030.93650.95240.9604Cumulativeimpulseresponseatlag00.08330.08330.08330.08330.08330.083310.21290.20380.19390.18840.18550.183520.36820.34080.31320.29910.29200.287030.53770.48510.43550.41130.39940.391240.66880.63280.55880.52380.50710.495550.75300.78190.68230.63650.61470.599960.79690.93170.80590.74920.72250.704270.81051.04460.92960.86180.83020.808680.82871.12461.05330.97450.93790.912990.87531.18251.17691.08721.04561.0173100.96021.22731.27341.19991.15331.1217111.08301.26491.35221.31261.26101.2260121.14121.21511.33891.34201.28541.2471131.14751.12631.29471.32791.29091.2513141.10401.03641.24011.29691.29211.2522151.01160.96071.18201.26001.29241.2523160.92810.90121.12271.22111.27361.2524170.87820.85471.06301.18171.24621.2524180.87470.81731.00321.14201.21601.2524190.92400.82280.94331.10241.18481.2356200.99770.86480.89231.06271.15341.2120211.06630.92350.85001.02301.12191.1864221.10630.98340.84050.98331.09041.1603231.10121.03660.85180.94361.05891.1340241.05741.08100.87330.90381.02741.1076

Underreaction, Momentum Thading, and Overreaction 2175250.99511.11750.89930.88590.99591.0813260.93821.13130.92710.88480.96441.0550270.90961.11870.95570.89260.93291.0286280.91801.08700.98450.90430.92021.0023290.95721.04611.01340.91750.91610.9759301.01051.00421.03950.93120.91490.9496311.05600.96581.06180.94510.91460.9401321.07660.93241.07220.95900.91870.9373331.06630.91141.07190.97300.92590.9365341.03090.90761.06480.98700.93440.9364350.98610.92011.05401.00100.94330.9363Returnautocorrelationsatlag10.86300.93310.94580.94660.94650.943620.54410.78880.84150.85040.86730.863430.17060.60630.70480.73880.78130.77824(0.1203)0.40390.55610.62200.69070.69205(0.2115)0.18880.40310.50360.58700.60546(0.1035)(0.0293)0.24920.38460.47740.518270.1284(0.2138)0.09630.26540.36580.428580.3635(0.3233)(0.0522)0.14640.25370.327090.4735(0.3637)(0.1883)0.02760.14150.2208100.4096(0.3533)(0.3027)(0.0898)0.03000.1137110.1910(0.3051)(0.3708)(0.2027)(0.0784)0.008712(0.0958)(0.2200)(0.3955)(0.2994)(0.1741)(0.0846)13(0.3160)(0.0850)(0.3589)(0.3385)(0.2162)(0.1215)14(0.4026)0.0574(0.2985)(0.3348)(0.2452)(0.1465)15(0.3294)0.1696(0.2289)(0.3088)(0.2697)(0.1690)16(0.1297)0.2376(0.1560)(0.2729)(0.2873)(0.1909)170.10340.2632(0.0823)(0.2332)(0.2792)(0.2125)180.28080.2532(0.0098)(0.1919)(0.2595)(0.2330)190.33870.21080.0582(0.1502)(0.2355)(0.2485)200.25990.13180.1177(0.1083)(0.2096)(0.2402)210.08690.03310.1594(0.0663)(0.1803)(0.2224)22(0.1076)(0.0608)0.1810(0.0245)(0.1488)(0.2016)23(0.2477)(0.1329)0.17620.0170(0.1165)(0.1801)24(0.2817)(0.1765)0.15490.0573(0.0838)(0.1583)25(0.2046)(0.1914)0.12520.0929(0.0510)(0.1363)

F.1 Chan et al. [2004] Martin HeisselF.1 Chan et al. [2004]Nedenstående figurer illustrerer hvorledes aktiverne inddeles i porteføljerne med udgangspunkt i væksrater forOmsætning, EBIT og Nettoresultat. Undersøgelsenforetagesbådepådetmellemlangesigt(1år)oglangtsigt(5år). Chan et al. [2004] finder støtte (dog ikke ubetinget) for hypotesen om konservatisme, men afviser definitivthypotesen om repræsentativitet målt ved rapporterede regnskabstal.1. 2.3.Figur F.1: Den tredelte porteføljeinddeling til test af konservatisme og repræsentativitet foretaget i Chan et al. [2004] ([Chan etal. 2004, fig. 1,2 & 3, pp. 19-21]).118

LITTERATURMartin HeisselLitteraturAlbert M., & H. Raiffa (1982): ”A progress report on the training of probability assessors”, i ”Judgment underUncertainty: Heuristics and Biases” (redigeret af Kahneman, D., Slovic, P. & A. Tversky), Cambridge, U.K.,&NewYork:Cambridge University Press, pp.294–305,1982.Ball R., & P. Brown (1968): “An Empirical Evaluation of Accounting Income Numbers”, Journal of AccountingResearch, (Efteråret,1986),pp.159-178.Ball, R., Kothari, S., P. & R. Watts (1988): “Economic Determinants of the Relation between Earnings Changesand Stock Returns”, The Accounting Review, Vol.68,No.3(Juli,1993),pp.622-638.Banz, R. (1981): “The Relationship between Return and Market Value of Common Stocks”, Journal of FinancialEconomics, Vol.9,No.1(1981),pp.3-18.Barber, B. M & T. Odean (2001): ”Boys wil be Boys: Gender, Overconfidence, and Common Stock Investment”,The Quarterly Journal of Economics, Vol.116,No.1(Feb.,2001),pp.261-292.Barberis, N. & M., Huang (2001): “Mental accounting, loss aversion, and individual stock returns”, Journal ofFinance, Vol.56,No.4(Aug.,2001),pp.1247–1292.Barberis, N., Huang, M. & J. Santos (2001): “Prospect theory and asset prices”, Quarterly Journal of Economics,Vol. 116, No. 1 (Feb., 2001), pp. 1 – 53.Barberis, N., Shleifer, A. & R. Vishny (1998): “A model of investor sentiment”, Journal of Financial Economics,Vol. 49, (Feb., 1998), pp. 307 - 343.Beawer, W. H. (1968): “The Information Content of Annual Earnings Announcements”, Journal of AccountingResearch, (Supplement,1968),pp.67-92.Benartzi S. & R. H. Thaler (1995): “Myopic Loss Aversion and the Equity Premium Puzzle”, The QuarterlyJournal of Economics, Vol.110,No.1(Feb.,1995),pp.73–92.Bernard, V. L. (1992): “Stock Price Reactions to Earnings Announcements: A Summary of Recent AnomaliesEvidence and Possible Explanations”, i “Advances of Behavioral Finance” (redigeret af Richard Thaler), NewYork: Russel Sage Foundation, (kap. 11) pp. 303 - 340.Bernard, V. L. & J. K. Thomas (1989): “Post-Earnings-Announcement Drift: Delayed Price Response or RiskPremium?”, Journal of Accounting Research, Vol. 27, (Current Studies on The Information Content of AccountingEarnings, 1989), pp. 1 - 36.Bernard, V. L. & J. K. Thomas (1990): “Evidence that stock prices do not fully reflect the implications ofcurrent earnings for future earnings”, Vol. 13, No. 4 (Dec., 1990), pp. 305 - 340.Campbell, J. Y., Grossman, S. J. & J. Wang (1993): “Trading Volume and Serial Correlation in Stock Returns”,The Quarterly Journal of Economics, Vol.108,No.4(Nov.,1993),pp.905-939.119

LITTERATURMartin HeisselCampbell, J. Y. & A. S. Kyle (1993): “Smart Money, Noise Trading and Stock Price Behaviour”, The Reviewof Economic Studies, Vol.60,No.1(Jan.,1993),pp.1–34.Chan, W. S., Frankel, R. & S. P. Kothari (2004): “Testing behavioral finance theories using trends and consistencyin financial performance, Journal of Accounting and Economics, Vol.38(2004),pp.3-50.Chen, N., Roll, R. & S. Ross (1986): “Economic Forces and the Stock-Market”, Journal of Business, Vol. 59,No. 3 (Jul., 1986), pp. 383 - 404.Christensen, P. O. & G. A. Feltham (2009): “Equity Valuation”, Foundations and Trends ® in Accounting, Vol4, No. 1 (2009), Now Publishers Inc. (2009), ISBN: 1601982720.Cochrane, J. H. (2005): “Financial Markets and the Real Economy”, Foundations and Trends ® in Finance, Vol1, No. 1 (2005), pp. 1 - 101.Daniel, K. (2004): “Discussion of: “Testing behavioral finance theories using trends and sequences in financialperformance” (by Wesley Chan, Richard Frankel, and S. P. Kothari)”, Journal of Accounting and Economics,Vol. 38 (2004), pp. 51 - 64.Daniel, K., Hirshleifer D. & A. Subrahmanyam (1998): “Investor Psychology and Security Market Under- andOverreaction”, Journal of Finance, Vol.53,No.6(Dec.1998),pp.1839-1885.Daniel, K. & S. Titman (1999): “Market Efficiency in an Irrational World”, Financial Analyst Journal, Vol.55,(1999), pp. 28 - 40.De Bondt, W. F. M. & R. Thaler (1985): “Does the stock market overreact?”, Journal of Finance, Vol.40,No.3, Papers and Proceedings of the Forty-Third Annual Meeting American Finance Association, Dallas, Texas,December 28-30, 1984 (Jul., 1985), pp. 793 - 805.De Long, J. B., Shleifer, A., Summers, L. H., & R. J. Waldmann (1990): ”Noise Trader Risk in FinancialMarkets”, The Journal of Political Economy, Vol.98,No.4(Aug.,1990),pp.703–738.De Long, J. B., Shleifer, A., Summers, L. H., & R. J. Waldmann (1991): “The Survival of Noise Traders inFinancial Markets”, The Journal of Business, Vol.64,No.1(Jan.,1991),pp.1–19.Denis, D. K., McConnell, J. J., Ovtchinnikov, A. V. & Y. Yu (2003): “S&P 500 Index Additions and EarningsExpectations”, The Journal of Finance, Vol.58,No.5(Okt.,2003),pp.1821-1840.Doukas, J. A. & McKnight P. J. (2005): “European Momentum Strategies, Information Diffusion, and InvestorConservatism”, European Financial Management, Vol.11,No.3(2005),pp.313-338.Edwards, W. (1968): ”Conservatism in Human Information Processing”, i “Formal Representation of HumanJudgement” (redigeret af B. Kleinmutz), NY: Wiley & Sons, 1968.Fama, E. F. (1965): “The Behavior of Stock-Market Prices”, The Journal of Business, Vol.38,No.1(Jan.,1965), pp. 34 – 105.120

LITTERATURMartin HeisselFama, E. F. (1970): “Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work”, The Journal ofFinance, Vol.25,No.2(May,1970),pp.383–417.Fama, E. F. (1998): “Market efficiency, long-term returns, and behavioral finance “, Journal of Financial Economics,Vol. 49, No. 3 (Sep., 1998), pp. 283 - 306.Fama, E. F., Fisher, L., Jensen, M. C. & R. Roll (1969): “The Adjustment of Stock Prices to New Information”,International Economic Review, Vol.10,No.1(Feb.,1969),pp.1–21.Fama, E. F. & J. D. MacBeth (1973): “Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests”, The Journal of PoliticalEconomy, Vol.81,No.3(Maj-Juni,1973),pp.607-636.Figlewski, S. (1979): ”Subjective Information and Market Efficiency in a Betting Market”, The Journal ofPolitical Economy, Vol.87,No.1(Feb.,1979),pp.75–88.Fischoff, B., Slovic, P. & S. Lichtenstein (1977): ”Knowing with Certainty: The Appropriateness of ExtremeConfidence”, Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, Vol.3,No.4(1977),pp. 552 - 564.Freeman, R. & S. Tse (1989): “The Multi-period Information Content of Earnings Announcements: RationalDelayed Reactions to Earnings News”, Journal of Accounting Research, Vol.27,(Supplement,1989),pp.49-79.Friedman, M. (1953): “The case for flexible exchange rates”, i “Essays in Positive Economics” (University ofChicago Press), pp. 157 – 203.Froot, K. A. & E. M. Dabora (1999): “How are stock prices affected by the location of trade?”, Journal ofFinancial Economics, Vol.53,No.2(Aug.1999),pp.189-216.Foster, G. (1977): “Quarterly Accounting Data: Time-Series Properties and Predictive-Ability Results”, TheAccounting Review, Vol.52,No.1(Jan.,1977),pp.1-21.Gervais, S. & T. Odean (2001): ”Learning to Be Overconfident”, Review of Financial Studies, Vol.14,No.1(Foråret, 2001), pp. 1 – 27.Grether, D. M (1980): “Bayes Rule as a Descriptive Model: The Representativeness Heuristic”, The QuarterlyJournal of Economics, Vol.95,No.3(Nov.,1980),pp.537-557.Griffin, D. & A. Tversky (1992): “The Weighing of Evidence and the Determinants of Confidence”, CognitivePsychology, Vol.24(1992),pp.411-435.Grossman, S. (1976): ”On the Efficiency of Competitive Stock Markets Where Trades Have Diverse Information”,The Journal of Finance, Vol. 31, No. 2 ( Papers and Proceedings of the Thirty-Fourth Annual Meeting of theAmerican Finance Association Dallas, Texas December 28-30, 1975) (Maj, 1976), pp. 573 - 585.Hastie, R & R. M. Dawes (2001): ”Rational Choice in an Uncertain World – The Psychology of Judgment andDecision Making”, Thousand Oaks, CA: Sage Publications, ISBN 0-7619-2275-X.121

LITTERATURMartin HeisselHirshleifer, D. (2001): “Overconfidence, Arbitrage, and Equilibrium Asset Pricing”, The Journal of Finance, Vol.56, No. 3 (Juni, 2001), pp. 921 - 965.Hirshleifer, D., Subrahmanyam, A. & S. Titman (2006): “Feedback and the succes of irrational investors”, Journalof Financial Economics, Vol.81,pp.311-338Hong, H. & J. C. Stein (1999): “A Unified Theory of Underreaction, Momentum Trading and Overreaction inAsset Markets”, The Journal of Finance, Vol.54,No.6(Dec.,1999),pp.2143-2184.Hong, H., Lim, T. & J. C. Stein (2000): “Bad News Travel Slowly: Size, Analyst Coverage, and the Profitabilityof Momentum Strategies”, The Journal of Finance, Vol.55,No.1(Feb.,2000),pp.265-295.Hopwood, W. S. & J. C. McKeown (1986): “Univariate Time-Series Analysis of Quarterly Earnings: SomeUnresolved Issues”, Studies in Accounting Research No. 25, (AmericanAccountinAssociation,1986)Hull, J. C. (2005): ”Options, Futures and Other Derivatives”, SixthEdition,UpperSaddleRiver,NJ:PearsonPrentice Hall, ISBN 0-13-149908-4.Jegadeesh, N & S. Titman (1993): “Returns to Buying Winners and Selling Loosers: Implications for StockMarket Efficiency”, The Journal of Finance, Vol.48,No.1(Mar.,1993),pp.65-91.Jegadeesh, N & S. Titman (2001): “Profitability of Momentum Strategies: An Evaluation of Alternative Explanations”,The Journal of Finance, Vol.56,No.2(Apr.,1993),pp.699-720.Jensen, Michael C. (1978) : ”Some Anomalous Evidence Regarding Market Efficiency”, Journal of FinancialEconomics, Vol.6,(1978),pp.95–101.Kahneman, D & A. Tversky (1972): ”Subjective Probability: A Judgement of Representativeness”, CognitivePsychology, Vol.3,No.3,pp.430–454.Kahneman, D. & A. Tversky (1973): “On the Psychology of Prediction”, Psychological Review, Vol.80,No.4(Juli, 1973), pp. 237 - 251.Kahneman, D. & A. Tversky (1979): “Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk”, Econometrica,Vol. 47, No. 2 (Mar., 1979), pp. 263 - 291.Kahneman, D & M. W. Riepe (1998): “Aspects of investor psychology”, Journal of Portfolio Management, Vol.24, No. 4 (Juli, 1998), pp. 52 – 65.Kaul, A., Mehrotra, V. & R. Morck (2000): “Demand Curves for Stocks Do Slope Down: New Evidence froman Index Weights Adjustment”, The Journal of Finance, Vol.55,No.2(Apr.,2000),pp.893-912.Keown A. J. & J. M. Pinkerton (1981): “Merger Announcements and Insider Trading Activity: An EmpiricalInvestigation”, The Journal of Finance, Vol.36,No.4(Sep.,1981),pp.855–869.Keynes, J. M. (1964): “The General Theory of Employment, Interest and Money”, London:Harcourt,Brace&Jovanovich, 1964 (genoptryk af 1936 udgaven)122

LITTERATURMartin HeisselKogan, L., Ross, S. A., WANG, J. & M. M. Westerfield (2006): ”The Price Impact and Survival of IrrationalTraders”, The Journal of Finance, Vol.61,No.1(Feb.,2006),pp.195-229.Kyle, A. (1985): ”Continuous auctions and insider trading”, Econometrica, Vol.53,No.6(Nov.,1985),pp.1315–1336.Lee, M. C., & B. Swaminathan (2000): “Price Momentum and Trading Volume”, The Journal of Finance, Vol.55, No. 5 (Okt., 2000), pp. 2017 - 2069.Lev, B. & J. Ohlson (1982): “Market-Based Empirical Research in Accounting: A Review, Interpretation, andExamination”, Journal of Accounting Research, Vol.20,(Supplement,1982),pp.249-322.Levy, R. A. (1967): ”Relative Strength as a Criterion for Investment Selection”, The Journal of Finance, Vol.22, No. 4 (Dec., 1967), pp. 595 - 610.Lintner, J. (1965): “The Valuation of Risk Assets and Selection of Risky Investments in Stock Portfolios andCapital Budgets”, Review of Economics and Statistics, Vol.47,pp.13–37.Lo, A. & C. MacKinlay (1990): “When are contrarian profits due to stock market overreaction?”, Review ofFinancial Studies, Vol.3,pp.175-205.Merton, R. C. (1987): “A Simple Model of Capital Market Equilibrium With Incomplete Information”, TheJournal of Finance, Vol.42,No.3(Juli,1987),pp.483-510.Mitchell, M., Pulvino, T. & E. Stafford (2002): “Limited Arbitrage in Equity Markets”, The Journal of Finance,Vol. 57, No. 2 (Apr., 2002), pp. 551 - 584.Mossin, J. (1966): “Equilibrium in a Capital Market”, Econometrica, Vol.34,pp.768–783.Odean, T. (1998): “Volume, Volatility, Price, and Profit When All Traders Are Above Average”, Journal ofFinance, Vol.53,pp.1887-1934.Palomino, F. (1996): ”Noise Trading in Small Markets”, The Journal of Finance, Vol.51,No.4(Sep.,1996),pp. 1537 – 1550.Pompian, M. M. (2006): ”Behavioral Finance and Wealth Management – How to Build Optimal Portfolios ThatAccount for Investor Biases”, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2006, ISBN: 0-471-74517-0.Ross, S. (1976): “The Arbitrage Theory of Capital Market Asset Pricing”, Journal of Economic Theory, Vol.13, pp. 341 – 360.Rouwenhorst, G. K. (1998): “International Momentum Strategies”, The Journal of Finance, Vol.53,No.1(Feb.,1998), pp. 267 - 284.Samuelson, Paul A. (1965): ”Proof That Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly”, Industrial ManagementReview, Vol.6,No.2(Foråret,1965),pp.41–49.Savage, L (1954): “The Foundations of Statistics”, NewYork,NY:JohnWiley&Sons,1954.123

LITTERATURMartin HeisselScharfstein, D. S. & J. C. Stein (1990): Herd Behavior and Investment, The American Economic Review, Vol.80, No. 3 (Juni, 1990), pp. 465 – 479.Scholes, M. S. (1972): ”The Market for Securities: Substitution Versus Price Pressure and the Effects of Informationon Share Prices”, The Journal of Business, Vol.45,No.2(Apr.,1972),pp.179–211.Schwert, G. W. (2003): “Anomalies and Market Efficiency”, kap. 15 i “Handbook of the Economics of Finance”(redigeret af Constantinides, G. M., Harris, M & R. Stulz), (2003), Elsevier Science BV, pp.937-972.Sharpe, W. F. (1964): “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk”,Journal of Finance, Vol.19,pp.425–442.Sharpe, W & G. Alexander (1990): ”Investments”,4thedition,Englewood,NJ:Prentice HallShefrin, Hersh (2008): ”A Behavioral Approach to Asset Pricing”, 2ndedition,AcademicPressAdvanceFinance,Elsevier Inc., (Maj, 2008), ISBN-13: 978-0-12-374356-5.Shiller, R. J. (1981): ”Do Stock Prices Move Too Much to be Justified by Subsequent Changes in Dividends?”,The American Economic Review, Vol.71,No.3(Juni,1981),pp.421–436.Shleifer, A. (2000): ”Inefficient Markets – An introduction to Behavioral Finance”, 1stedition,NewYork,NY:Oxford University Press.Shleifer, A. & R. Vishny (1997): “The Limits of Arbitrage”, The Journal of Finance, Vol.52,No.1(Mar.,1997),pp. 35 - 55Simon, H. A. (1955): “A Behavioral Model of Rational Choice”, The Quarterly Journal of Economics, Vol.69,No. 1. (Feb., 1955), pp. 99 - 118.Statman, M. (1999): “Behaviorial Finance: Past Battles and Future Engagements “, Financial Analysts Journal,Vol. 55, No. 6, Behavioral Finance (Nov. - Dec., 1999), pp. 18 - 27.Subrahmanyam, A. (2008): “Behavioral Finance: A Review and Synthesis”, European Financial Management,Vol. 14, No. 1 (Jan., 2008), pp. 12 – 29.Williamson, O. E. (1981): “The Economics of Organization: The Transaction Cost Approach”, The AmericanJournal of Sociology, Vol.87,No.3(Nov.,1981),pp.548-577.Xiuqing, J. (2008): “Is it Under- or Overreaction? An Empirical Investigation”, Asia-Pacific Journal of FinancialStudies, Vol.37,No.2,pp.185-216.124