på AVU Eksempler til niveau G - VUC Aarhus

Matematik på AVUEksempler til niveau GIndholdsfortegnelse for eksempelsamlingEksempelsamlingen er inddelt i disse 10 kapitler:Grundliggende regning og talforståelse ........................................ 1Regning med enheder .................................................................. 10Sammensætning af regnearterne ................................................. 18Brøker og forholdstal .................................................................. 25Procent ......................................................................................... 36Bogstavregning ........................................................................... 45Geometri ...................................................................................... 55Statistik ........................................................................................ 75Funktioner og koordinatsystemer ................................................ 83Kombinatorik og sandsynlighedsregning ................................... 93Hvert kapitel er inddelt i en række afsnit, og alle kapitler starter med enindholdsfortegnelse over disse afsnit.

Matematik på AVUEksempler til niveau GDe fire regnearter: Plus, minus, gange og divisionI eksemplerne herunder skaldu bruge prislisten til højre.Mælk, pr. liter ..... 8 kr.Rugbrød ............... 15 kr.Kager, pr. stk. ......5 kr.Slik, pr. pose ..... 20 kr.KartoflerPr. kg. .......... 8 kr.Eksempler på opgaverHvad koster en liter mælkog et rugbrød?Hvor meget får man tilbage, når man køberet rugbrød og betaler med 50 kr.?Man skal lægge sammen (plus). Man får: Man skal trække fra (minus). Man får:Mælk 8 kr.Betalt 50 kr.+ Rugbrød 15 kr. − Rugbrød 15 kr.I alt 23 kr. Tilbage 35 kr.Eller blot:8 kr. + 15 kr. = 23 kr.På regnemaskinen tastes:8 + 12 =Eller blot:50 kr. - 15 kr. = 35 kr.På regnemaskinen tastes:50 − 15 =Når man lægger sammen (plus) er rækkefølgen på tallene ligegyldig.Det er altså lige meget, om man skriver 8 kr. + 15 kr., eller man skriver 15 kr. + 8 kr.Når man trækker fra (minus) er rækkefølgen på tallene ikke ligegyldig.Det er ikke lige meget, om man skriver 50 kr. − 15 kr., eller man skriver 15 kr. − 50 kr.Hvis man skriver 15 kr. − 50 kr., bliver resultatet −35 kr. Altså et negativt tal (et underskud).Minus er det modsatte af plus. 50 − 15 = 35 er det modsatte af 35 + 15 = 50 (eller 15 + 35 = 50).Eksempler på opgaverHvad koster 4 liter mælk?Man skal gange. Man får: 4 · 8 kr. = 32 kr.På regnemaskinen tastes: 4 x 8 =Man skriver gange med en prik, men på regnemaskinen skal man taste x .På computer bruges ofte *.Når man ganger er rækkefølgen på tallene ligegyldig ligesom ved plus.Det er altså lige meget, om man skriver 4 · 8 kr., eller man skriver 8 kr. · 4.Husk på, at gange svarer til at lægge flere ens tal sammen.4 · 8 kr. er det samme som 8 kr. + 8 kr. + 8 kr. + 8 kr.Grundliggende regning og talforståelse Side 2

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempler på opgaverHvor mange kagerkan man få for 20 kr.?5 børn deler en pose slik.Hvor meget skal de betale hver?Man skal dividere. Man får:20 kr.20 kr. : 5 kr. = 4 eller = 45 kr.På regnemaskinen tastes:20 ÷ 5 =Man skal dividere. Man får:20 kr. : 5 = 4 kr. ellerPå regnemaskinen tastes:20 ÷ 5 =20 kr.5= 4 kr.Man skriver division med to prikker eller med brøkstreg som vist ovenfor.På regnemaskinen skal man taste ÷ . På computer bruges ofte /.Når man dividerer, er det vigtigt, at tallene står i den rigtige rækkefølge. Ligesom ved minus!Hvis man skriver 5 : 20, bliver resultatet 0,25 eller 41Division er det modsatte af gange. 20 : 5 = 4 er det modsatte af 4 · 5 = 20 (eller 5 · 4 = 20).I eksemplet til venstre spørger man: ”Jeg har 20 kr. Hvor mange gange kan jeg få 5 kr.?”Altså: Hvor mange gange skal jeg sige 5 kr. + 5 kr. + ….., inden jeg når op på 20 kr.?Eller hvor mange gange kan jeg sige 20 kr. − 5kr. − 5 kr. − ….., inden jeg når ned på 0 kr.?I eksemplet til højre deler man 20 kr. i 5 lige store dele. Men regnestykket er det samme.Eksempler på opgaverHvor mange kg kartoflerkan man få for 20 kr.?Hvor mange liter mælkkan man få for 20 kr.?Man skal dividere. Regnestykket bliver:20 kr.20 kr. : 8 kr. eller8 kr.Hvis man bruger regnemaskine, får man 2,5.Hvis kartoflerne sælges i ”løs vægt”,giver det også god mening at sige,at resultatet er 2,5 kg.Man skal dividere. Regnestykket bliver:20 kr.20 kr. : 8 kr. eller8 kr.Her får man også 2,5.Men man kan helt sikkert ikkefå lov at købe 2,5 liter mælk.Derfor vil man i stedet sige,at resultat er 2 liter mælk og 4 kr. i rest.Grundliggende regning og talforståelse Side 3

Matematik på AVUEksempler til niveau G10-tals-systemetto 10’erefire 1’ereHer er tegnet 24 firkanterpå to forskellige måder.Til venstre er de placeret tilfældigt.Til højre er de placeret,så de passer til vores talsystem.24 betyder nemlig 2 ⋅ 10 + 4 ,eller to 10’ere og fire 1’ere.24132 betyder på samme måde1 ⋅ 100 + 3⋅10+ 2 ,eller en 100’er, tre 10’ere og to 1’ere.Forestil dig, at du har en 100-krone-seddel,tre 10-kroner og to 1-kroner.en 100’ertre 10’ere132to 1’ereAlle tal er bygget op af cifre (0, 1, 2….9).Tallet 8.524 har fire cifre.Cifrene har forskellige betydningefter hvilken plads (position), de har i tallet.Vores talsystem er et positions-system.8 . 5 2 4Når man går en plads til venstre,bliver værdien af et ciffer 10 gange så stort.Derfor kaldes talsystemet for 10-tal-systemet.1.000’ere100’ere10’ere1’ereMan sætter ofte et punktum (en læseprik)mellem hvert tredje ciffer regnet fra højre.En hel kan deles op i 10ende-dele og 100-dele som vist.En 10ende-del er det samme som ti 100-dele.Man bruger denne opdeling, når tal ikke er hele.Man kan naturligvis opdele videre i 1.000-delemen det er umuligt at vise på en tegningGrundliggende regning og talforståelse Side 4

Matematik på AVUEksempler til niveau GHer er vist 2,5 firkant. 2,5 betyderto 1’ere (to hele) og fem 10.ende-dele.Her er vist 1,75 firkant. 1,75 betyderen 1’er (en hel), syv 10.ende-deleog fem 100-dele.2,5 og 1,75 kaldes decimaltal.Cifrene efter kommaet kaldes decimaler.I stedet for 2,5 og 1,75 kan man skrive1 32 og 1 .2 41 3 3 og kaldes brøker. betyder fx, at man deler en hel i fire lige store dele og tager tre af delene.2 4 4Du kan læse mere om brøker senere, men prøv at kikke lidt på tegningerne herunder.5 1Tegningen til venstre viser at 0 ,5 = = .10 2Det er ikke så svært at forstå.7 5 75 3Tegningen til højre viser at 0 ,75 = + = = ,10 100 100 4men det er måske lidt svært at forstå.Afrunding af talEksempler på opgaverAfrund 3,46 til en decimal.Afrund 254.312 til helt antal tusinde.3,46 er et tal mellem 3,4 og 3,5men tættest på 3,5.Derfor bliver resultatet: 3,53,46254.312 er et tal mellem 254.000 og 255.000men tættest på 254.000.Derfor bliver resultatet: 254.000254.3123,4 3,5254.000 255.000Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad. 3,45 afrundes til 3,5.Grundliggende regning og talforståelse Side 5

Matematik på AVUEksempler til niveau GRegning med papir og blyantNår man regner med papir og blyant skal man ”sætte i mente” og låne”Eksempler på opgaverUdregn:346 + 52Udregn:378 + 256346 Tallene skrives op over378 1’erne lægges sammen og+ 52 8hinanden og 1’erne læggessammen.+ 256411 1giver 14, men ti af 1’eresættes i mente som en 10’er346378 10’erne lægges sammen ogDerefter lægges 10’erne+ 52 + 256sammen.98 34giver 13, men ti af 10’eresættes i mente som en 100’er346 Til sidst lægges 100’erne378+ 52 sammen. Den tomme plads + 256398 opfattes som 0.6341 1100’erne lægges sammen oggiver 6.Eksempler på opgaverUdregn:278 - 47Udregn:625 - 458278 Tallene skrives op over625 Man må låne en 10’er for- 47 1hinanden og 1’erne trækkesfra hinanden- 458710at kunne trække 1’erne frahinanden.278625 Man må låne en 100’er forDerefter trækkes 10’erne fra- 47 - 458at kunne trække 10’ere frahinanden.31 67hinanden.10 10278 Til sidst trækkes 100’erne fra 625 100’erne trækkes fra- 47 231 hinanden. Den tomme pladsopfattes som 0.- 45816710 10hinanden. Der er fem100’er i øverste række.Grundliggende regning og talforståelse Side 6

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempler på opgaverUdregn:3 · 42Udregn:4 · 2963 · 42 Tallene skrives op, og 3 og 2 4 · 296 4 gange 6 giver 24, men6 ganges med hinanden.4 2-tallet sættes i mente.3 · 424 · 2963 og 4 ganges med hinanden.126 8423 2 4 gange 9 giver 36. Hertillægges 2-tallet. Man får 38,men 3-tallet sættes i mente.3 24 · 2 9 61 1 8 44 gange 2 giver 8. Hertillægges 3-tallet. Man får 11.Eksempler på opgaverUdregn:43 · 56Udregn:195 : 5I eksemplet herunder viser jeg ikke de tal,Man undersøger om 5 gårder sættes i mente. 5 1 9 5 op i 1, men det gør det jo ikke.43 · 56 3 ganges med 56 ligesom 3 Man dividerer 19 med 5.168 ovenfor, og man får 168. 5195 Resultatet bliver 3, rest 4.0 Der skrives også 0 bagerst 3 skrives ovenover som vist.i næste tal-række. 35195 Man ganger 3 med 5.4 ganges med 56 ligesom 15 Resultatet er 15, og det43 · 56 ovenfor, og man får 224. 4 skrives under 19. Derefter168 Resultatet skrives en plads trækker man 15 fra 19.2240 forskudt mod venstreforan nullet. 39 5 ”trækkes ned”, så der står 45.5195 Man dividerer 45 med 5.43 · 56 168 og 2240 lægges sammen 15 Resultatet bliver 9, som skrives168 på samme måde som i 45 til højre for 3. I alt får man der-+ 2240 eksemplerne med plus. 45 for 39. Til sidst ganges og2408 0 trækkes fra som ovenfor.Grundliggende regning og talforståelse Side 7

Matematik på AVUEksempler til niveau GStore talDet kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem.Her er et par eksempler:Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives 5.000.000.Nogle gange skriver man blot fem mio. eller 5 mio.En million skrives 1.000.000. Altså et et-tal med seks nuller bagefter.Det er det samme som 1.000⋅ 1. 000 .Der bor omkring syv milliarder mennesker på jorden. Tallet syv milliarder skrives 7.000.000.000.Nogle gange skriver man blot syv mia. eller 7 mia..En milliard skrives 1.000.000.000. Altså et et-tal med ni nuller bagefter.Det er det samme som tusind millioner eller 1.000⋅ 1.000. 000 eller 1.000⋅ 1.000 ⋅1.000Nogle gange skriver man store tal, som en slags decimaltal. I virkeligheden bor derca. 5.500.000 mennesker i Danmark. Det skriver man ofte som 5,5 mio.I store tal (som f.eks. 6.254.312) sætter man ofte - men ikke altid - punktum (læseprik) efterhvert 3. ciffer regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen.Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum · Det er ret forvirrende!Negative talNegative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå,hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto.Eksempler på opgaverUdregn: 5 − 8Udregn: - 3 + 10Man får:5 − 8 = −3Man får:− 3 + 10 = 7Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten.1050-5-10-10 -5 0 510Du kan læse mere om, hvordan man regner med negative tal i et senere afsnit.Grundliggende regning og talforståelse Side 8

Matematik på AVUEksempler til niveau GGange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v.Det er vigtigt, at man kan gange og dividere med 10 og med 100 osv. uden at bruge regnemaskine.Eksempler på opgaver10 ⋅ 122,4 ⋅ 100150 : 10230 : 1.00010 ⋅ 12 = 1202 ,4 ⋅ 100 = 240 150 :10 = 15230 :1.000 = 0, 23Man ganger et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at sætte 0’er på tallet eller rykke kommaet til højre.Man dividerer et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at fjerne 0’er eller rykke kommaet til venstre.Man kan også gange og dividere store runde tal med hinanden uden at bruge regnemaskine.Eksempler på opgaver80 ⋅ 30012.000 : 400Man må se bort fra 0’erne i første omgang.Man får: 8 ⋅ 3 = 24Derefter sættes de tre 0’er bagpå.I alt fås:80 ⋅ 300 =24.000Man må fjerne 0’erne parvis på denne måde:12.000 : 400 = 12.000 : 400 = 120 : 4 = 30I den sidste beregning bruger man, at: 12 : 4 = 3Grundliggende regning og talforståelse Side 9

Matematik på AVUEksempler til niveau GRegning med enhederMåleenheder ................................................................................ 11Kg-priser ...................................................................................... 13Tid og hastighed .......................................................................... 15Valuta .......................................................................................... 17Regning med enheder Side 10

Matematik på AVUEksempler til niveau GMåleenhederDu skal kende de vigtigste måleenheder for vægt, rumfang og længde.Vægt måles normalt i ton (t), kilo (kg) eller gram (g).Der skal 1.000 kg til 1 ton, og der skal 1.000 g til et kg.Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhedtil den anden vha. tabellen og tegningen herunder.1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g1 kg = 1.000 g· 1000· 1000tonkgg:1000:1000Eksempler på opgaverOmregn 500 kg til ton.Omregn 2,3 kg til gram.Man får: 500 :1. 000 = 0,5 ton Man får: 2,3⋅ 1. 000 = 2.300 gRumfang måles normalt i liter (l), deciliter (dl),centiliter (cl) eller milliliter (ml).Der skal 10 dl til 1 liter, der skal 10 cl 1 dl,og der skal 10 ml til en cl.Man kan vise, hvordan man regner om fra den ene enhedtil den anden vha. tabellen og tegningen herunder.1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml1 dl = 10 cl = 100 ml1 cl = 10 ml· 10· 10· 10literdlclml:10:10:10Regning med enheder Side 11

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempler på opgaverOmregn 1,5 liter til cl.Omregn 5 ml til cl.Man får: 1,5⋅ 100 = 150 cl Man får: 5 : 10 = 0,5 clI eksemplet til venstre, kan man også gange med 10 to gange.Altså: 1,5⋅ 10 ⋅10= 150 cl.Hvis man skal måle større rumfang, bruger man ofte kubikmeter (m 3 ).Der skal 1.000 liter til 1 m 3 . Du kan læse mere i afsnittet om geometri.1m 3 = 1.000 literm 3· 1000liter:1000Længde målesnormalt i meter (m),decimeter (dm),centimeter (cm)eller millimeter (mm).Der skal 10 dm til 1 m,der skal 10 cm 1 dm,og der skal 10 mm til 1 cm.Man kan vise, hvordan man regner omfra den ene enhed til den andenvha. tabellen og tegningen herunder.Der er sikkert en tavlelineali jeres klasseværelse.Den er en meter lang.1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm1 dm = 10 cm = 100 mm1 cm = 10 mm· 10· 10· 10mdmcmmm:10:10:10Hvis man skal måle større længder,bruger man normalt kilometer (km).Der skal 1.000 m til 1 km.km· 1000:1000m1 km = 1.000 mRegning med enheder Side 12

Matematik på AVUEksempler til niveau GKg-priserDe eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder.Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder:Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om manbruger den ene eller den anden skrivemåde.Eksempel på opgaveOksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 1,7 kg oksefars.Man får: 1,7⋅ 59 = 100,30 kr.Eksempel på opgaveOksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 450 g oksefars.Opgaven kan regnes på flere måder:- Man kan (fordi 1 kg = 1.000 g) sige:1.000 g koster 59 kr.591 g koster = 0,059 kr.1.000450 g koster 450 ⋅ 0,059 = 26,55 kr.- Man kan i en beregning sige:59 ⋅ 4501.000= 26,55 kr.- Eller man kan (fordi 450 g = 0,450 kg) sige:0,450⋅ 59 = 26,55 kr.Eksempel på opgaveOksefars koster 59 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 40 kr.?Opgaven kan regnes på flere måder:- Man kan (fordi 1 kg = 1.000 g) sige:- Eller man kan i en beregning sige:1.000 g koster 59 kr.591 g koster1.000For 40 kr. kan man få:= 0,059 kr.400,059= 678 g.40 : 59 = 0,678 kg eller 678 gRegning med enheder Side 13

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgave2,5 kg kartofler koster 9,95 kr.Find kg-prisen.Man får: 9 ,95 : 2,5= 3,98 kr. pr. kg.Eksempel på opgave325 g leverpostej koster 11,75 kr.Find kg-prisen.Opgaven kan regnes på flere måder:- Man kan (fordi 1 kg = 1.000 g) sige:325 g koster 11,75 kr.11, 751 g koster 325= 0,03615… kr.1.000 g koster 0,03615⋅ 1. 000 = 36,15 kr.- Man kan i en beregning sige:11,75⋅1.000= 36,15 kr.325- Eller man kan (fordi 325 g = 0,325 kg) sige:11 ,75 : 0,325 = 36,15 kr.Eksempel på opgave225 g leverpostej koster 7,95 kr. Hvad vil 325 g koste?Opgaven kan regnes på flere måder:- Man kan sige:- Eller man kan i en beregning sige:225 g koster 7,95 kr.7,951 g koster = 0,03533… kr.225325 g koster 0,03533⋅ 325 = 11,48 kr.7,95⋅325225= 11,48 kr.Eksemplerne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser,men regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver.Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i deefterfølgende afsnit om tid og valuta.Regning med enheder Side 14

Matematik på AVUEksempler til niveau GTid og hastighedTid måles normalt i timer,minutter og sekunder.Der er 60 minutter i en timeog 60 sekunder i et minut.time· 60:60min.· 60:60sek.1 time = 60 min = 3.600 sek.1 min. = 60 sek.Eksempler på opgaverHvor mange minutter er4 timer og 17 minutter?Man får:4 ⋅ 60 + 17 =240 + 17 = 257 minutterOmregn 310 sekundertil minutter og sekunder.Man siger først: 310 : 60 = 5,16 ...Det betyder, at der er 5 hele minutter,som svarer til 5⋅ 60 = 300 sekunder.Derfor er:310 sekunder = 5 minutter og 10 sekunderEksempler på opgaverDet koster 45 kr. i timen at leje en båd.- Hvad koster det at leje båden i2 timer og 30 minutter?Man kan sige:2 t. og 30 min. = 2 ⋅ 60 + 30 = 150 minutter451 min. koster = 0,75 kr.602 t. og 30 min. koster: 150 ⋅ 0, 75=112,50 kr.- Hvor længe har man haft båden,når man skal betale 105 kr.?Man kan sige:451 min. koster = 0,75 kr.60For 105 kr. kan man få:140 min. = 2 t. og 20 min.105 =140 min.0,75Eksempel på opgaveEn håndværker tager 936 kr. for 3 timer og 15 minutter. Hvad er timelønnen?Man kan sige:3 t. og 15 min. = 3 ⋅ 60 + 15 = 195 minutter.Prisen pr. minut er: 936 : 195 = 4,80 kr.Prisen pr. time er: 4,80⋅ 60 = 288 kr.Man kan også omregne 3 t. 15 min.til decimaltal (se næste side), og så får man:3 t. og 15 min. = 3,25 time.Prisen pr. time er: 936 : 3,25 = 288 kr.Regning med enheder Side 15

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempler på opgaverOmregn 2 timer og 50 minuttertil decimaltal.Man får:2 t. og 50 min. = 2,83 time.50Det er fordi 50 min. = time = 0,83 time.60Du må aldrig sige at:2 t. og 50 min. = 2,50 time.Omregn 1,2 timetil timer og minutter.Man får:1,2 time = 1 t. og 12 min.Det er fordi 0,2 t. = 0,2⋅ 60 min. = 12 min.Du må aldrig sige at:1,2 time = 1 t. og 20 min.En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går….) pr. tidsenhed.Hvis en bil kører 100 km/time, så vil den på en time kunne køre 100 km.Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund.Eksempler på opgaver:En bil kører 240 kmpå 3 timer.Hvad er bilens hastighed?Hvor langt kan du gåpå 2 timer, når dinhastighed er 5 km/time?Hvor lang tid tager detat cykle 60 km, når mankører 15 km/time?Man får:Man får:240 5⋅ 2 = 10 km= 80 km/time3Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre.Formlen kan omskrives som vist herunder.Afstand = Hastighed ⋅ Tid ellerTid =Man får:60 = 4 timer15AfstandHastighed =TidAfstandHastighedPrøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen.Eksempel på opgaveHvad er hastigheden i km/time, når man cykler 36 km på 1 time 30 minutter?- Da 1 time og 30 min. = 1,5 time,- Eller man kan finde hastigheden i km/min. ogkan man sige:gange med 60. Det kan gøres i en beregning:36 = 24 km/time 36 ⋅ 60= 24 km/time1,590Regning med enheder Side 16

Matematik på AVUEksempler til niveau GValutaKursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta.Her er der brugt valutakurser fra november 2012, men valutakurser ændrer sig hele tiden.Kursen på svenske kr. er 87,65. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 87,65 danske kr.En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,8765 kr. eller 87,65 øre.Kursen på US-dollars er 585,67. Det betyder, at 100 US-dollars koster 585,67danske kr.En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 5,8567 kr. eller 585,67 øre.Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel:F⋅KD = D = Antal danske kroner F = Antal fremmed valuta K = Valutakursen100Formlen kan også skrives således:D ⋅100F = ellerKK =D ⋅100FEksempler på opgaver:Hvor meget koster250 US-dollars,når kursen er 585,67?Hvor mange svenske kr. kanman få for 800 danske kr.,når kursen er 87,65?Hvad er kursen på tjekkiske,koruna når 12.000 koruna,koster 3.521 kr.?Man får:250 ⋅585,67= 1.464 kr.100Eller blot:250 ⋅ 5,8567 = 1.464 kr. fordihver dollar koster 5,8567 kr.Man får:800 ⋅100= 913 sv. kr.87,65Eller blot:800 = 913 sv. kr.0,8765fordi hver svensk kronekoster 0,8391 dansk krone.Man får:3.521⋅100= 29,3412.000100 koruna koster altsålidt under 30 kr.Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til atvurdere, om resultatet er rimeligt.I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet.I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr.I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal korunaer langt større end antal kr.Vær endelig opmærksom på, at man i den virkelige verden ofte skal betale et gebyr for at veksle.Regning med enheder Side 17

Matematik på AVUEksempler til niveau GSammensætning af regnearternePlus, minus, gange og division .................................................... 19Negative tal ................................................................................. 20Parenteser og brøkstreger ............................................................ 22Potenser og rødder ....................................................................... 24Sammensætning af regnearterne Side 18

Matematik på AVUEksempler til niveau GPlus, minus, gange og divisionEksempler på opgaverUdregn: 8 − 5 + 6 − 4 + 2Udregn: 6 − 4 + 8 + 2 − 5Man regner forfra og får:8 − 5 + 6 − 4 + 2 =3 + 6 − 4 + 2 =9 − 4 + 2 =5 + 2 = 7Man regner forfra og får:6 − 4 + 8 + 2 − 5 =2 + 8 + 2 − 510 + 2 − 512 − 5 = 7Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skalfølge med tallene (der står normalt et ”usynligt” plus foran det forreste tal).Forestil dig at:- du skal have 8 kr., 6 kr. og 2 kr.,- du skal af med 5 kr. og 4 kr.Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i.(I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har).Man kan også tænke således: 8 − 5 + 6 − 4 + 2 = 8 + 6 + 2 − 5 − 4 = 16 − 9 = 7 .Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket.Eksempler på opgaverUdregn: 4 ⋅ 6 : 3 ⋅ 5 : 2Udregn: 5 ⋅ 4 : 2 ⋅ 6 : 3Man regner forfra og får:4 ⋅ 6 : 3⋅5 : 2 =24 : 3⋅5 : 2 =8 ⋅5 : 2 =40 : 2= 20Man regner forfra og får:5⋅4 : 2 ⋅ 6 : 3 =20 : 2 ⋅ 6 : 3 =10 ⋅ 2 : 3 =60 : 3= 20Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegneneskal følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” gange foran det forreste tal).Sammensætning af regnearterne Side 19

Matematik på AVUEksempler til niveau GI lange regnestykker skal man gange og dividere før man lægger sammen og trækker fra.Eksempler på opgaverUdregn: 4 ⋅ 5 + 8 : 2Udregn: 7 − 12 : 4 + 8 ⋅3 : 6 − 5Man får:4 ⋅ 5 + 8 : 2 =20 + 4 = 24Man får:7 −12 : 4 + 8 ⋅3 : 6 − 5 =7 − 3 + 4 − 5 = 3På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står.En mindre god regnemaskine vil typisk give 14, hvis man indtaster opgaven til venstre.Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således:7 −12 : 4 + 8 ⋅3 : 6 − 5 =7−3+4−5 = 3Så kan man f.eks. let se, at 4-tallet i anden linie er resultatet af 8 ⋅ 3 : 6 .Negative talNegative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå,hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto.Der findes specielle regneregler for negative tal.Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler.Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder.Eksempler på opgaverUdregn: 5 − 8Udregn: 5 + ( −8)1050-5-10Man får:5 − 8 = −3Man får:5 + ( −8)= −3Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt.I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt.Forestil dig, at du har 5 kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet.Så vil der være -3 kr. på kontoen (overtræk).I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen.Forestil dig, at har 5 kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto.Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen.Sammensætning af regnearterne Side 20

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempler på opgaverUdregn: 6 − (−4)Udregn: − 3 − (−7)Man får:6 − ( −4)= 10fordi 6 − ( −4)svarer til 6 + 4Man får:− 3 − ( −7)= 4fordi − 3 − ( −7)svarer til − 3 + 7Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til,fordi to minusser efter hinanden giver plus.Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal.Tegningen til højre viser, at forskellen på -4 og 6 er 10.-50 510Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler+ ⋅ − = −− ⋅ + = −og+ : − = −− : + = −og−−⋅:−−==++Eksempler på opgaverUdregn: 3 ⋅(−5)=Udregn: (− 24) : 4Man får:3⋅( −5)= −15på grund af regnereglen:Forestil dig, at der på 3 forskelligebankkonti alle ”står” -5 kr. (overtræk).I alt ”står” der -15 kr. på de 3 konti.+⋅−=−Man får:( − 24) : 4 = −6på grund af regnereglen:− :Forestil dig, at en gæld på 24 kr.deles i 4 lige store gælds-portioner.Hver portion bliver en gæld på 6 kr.+=−Eksempler på opgaverUdregn: - 4 ⋅ ( −2)=Udregn: ( − 20) : ( −5)Man får:− 4 ⋅ ( −2)= 8på grund af regnereglen: − ⋅ − = +Dette eksempel er svært at forklare.Man får:( − 20) : ( −5)= 4på grund af regnereglen: − : − = +Forestil dig, at en gæld på 20 kr. skaldeles i mindre gælds-portioner på 5 kr.Der bliver 4 gælds-portioner.Sammensætning af regnearterne Side 21

Matematik på AVUEksempler til niveau GLig med, større end og mindre endDu kender lighedstegnet. Man skriver 2 + 2 = 4 , fordi 2 + 2 er lig med 4.Man kan også skrive 5 + 1 = 8 − 2 eller 117 ,2 = 117, 2 .Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud:7 > 5 betyder at7 er større end 5Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej.Tegnet åbner sig altid imod det største tal.3 < 8 betyder at3 er mindre end 8Der er også tegn for større end eller lig med og mindre end eller lig med.De ser sådan ud: ≥ og ≤ .Parenteser og brøkstregerHvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først.Eksempler på opgaverUdregn: 4 ⋅ (8 − 3)Udregn: 6 + (4 ⋅3− 2) : 5Man får:4 ⋅ (8 − 3) = 4 ⋅ 5 = 20Man får:6 + (4 ⋅ 3 − 2): 5= 6 + (12 − 2): 5=6 + 10 : 5 = 6 + 2 = 8En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn.Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer.Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først.Eksempler på opgaverUdregn:5 + 79 − 68 ⋅3Udregn: 3 + − 56Man får:5 + 79 − 6=12= 43Man får:8⋅3 243 + − 5 = 3 + − 5 = 3 + 4 − 5 = 26 6Sammensætning af regnearterne Side 22

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempler på opgaverSkriv5 + 74 + uden brøkstreg. Skriv 18 : (10 − 4) − 3 med brøkstreg.9 − 6Man får:4 + (5 + 7) : (9 − 6)I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningenhedde 4 + .123I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningenhedde 4 + 12 : 3 ,og det er naturligvis det samme.Man får:18 − 310 − 4I opstillingen uden brøkstreg vil mellemregningenhedde 18 : 6 − 3.I opstillingen med brøkstreg vil mellemregningenhedde − 3 ,186og det er naturligvis det samme.Matematikere synes normalt, at opstillinger med brøkstreger er de ”pæneste”,men hvis man skal indtaste regnestykkerne i et regneark eller på en regnemaskine,kan det være nødvendigt at skrive vandret. I eksemplet til venstre kan man fx taste4 + ( 5 + 7 ) ÷ ( 9 − 6 ) = på regnemaskinen.Eksempler på opgaverSkriv6 ⋅ 4 ⋅23 ⋅ 8uden brøkstreg. Skriv 8 ⋅ 5 ⋅2 : 4 : 10 på en brøkstreg.Man får:6 ⋅ 4 ⋅ 2= 6 ⋅ 4 ⋅ 2 : 3 : 83⋅8Man får:8⋅5⋅28 ⋅ 5 ⋅ 2 : 4 :10 =4 ⋅10I eksemplet til venstre skal man dividere med 24, fordi 3 ⋅ 8 = 24 , men resultatet bliverdet samme, hvis man først dividerer med 3 og derefter dividerer med 8.Eksempler på opgaverKurt køber fem dage om ugen dagens ret og et glas juice?Hvor meget skal han betale?Skriv både et regnestykke med parentesog et regnestykke uden parentes.Man kan enten skrive 5 ⋅ (20 + 4) = 5 ⋅ 24 = 120 kr.eller man kan skrive 5 ⋅ 20 + 5 ⋅ 4 = 100 + 20 = 120 kr.KantinepriserDagens ret ......... 20 kr.Juice, pr. glas ..... 4 kr.Tænk selv over, hvorforregnestykkerne er ens.Sammensætning af regnearterne Side 23

Matematik på AVUEksempler til niveau GPotenser og rødderHvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens.Eksempler på opgaverSkriv 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 som en potens.Udregn også resultatet.Skriv75 som et almindeligt gangestykke.Udregn også resultatet.Man får:6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 =46Man siger seks i fjerde.På regnemaskinen trykkes 6 ^ 4 = for atberegne resultatet. Man får: 1.296.Man får:5 7 = 5 ⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅5 = 78.125Man siger fem i syvende.Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store.Bemærk at ”potens-knappen” også kan se således ud: y xpå regnemaskinen.Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens.De fleste regnemaskiner har en ”i anden-knap”. Den ser således ud: x 2 .For at finde2⋅ 5 tastes 5 x 2 og man får 25.5 5 =2Bemærk: (−5)giver også 25, fordi ( − 5) ⋅ ( −5)= 25 , men det er vigtigt at huske parentesen.Rødder er det modsatte af potenser.Eksempler på opgaverFind 16 Find 3 816 kaldes for kvadratroden af 16.Man fårfordi16 = 424 eller 4 ⋅ 4 er 16.Man skulle tro, at 16 også kan være − 4 , fordi38 kaldes både for den tredje rod af 8og for kubikroden af 8.Man fårfordi38 = 22 ⋅ ⋅ er 8.32 eller 2 22(− 4) er 16 (husk regnereglen: − ⋅ − = + ).Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 16 . Og − 16 betyder − 4 .Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x .Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine.Sammensætning af regnearterne Side 24

Matematik på AVUEksempler til niveau GBrøker og forholdstalHvad er brøker - nogle eksempler ............................................... 26Forlænge og forkorte ................................................................... 27Udtage brøkdele .......................................................................... 28Uægte brøker og blandede tal ..................................................... 29Brøker og decimaltal ................................................................... 30Regning med brøker - plus og minus .......................................... 32Regning med brøker - gange og division .................................... 33Forholdstal ................................................................................... 35Brøker og forholdstal Side 25

Matematik på AVUEksempler til niveau GHvad er brøker - nogle eksemplerNår man skal skrive tal, som ikke er hele, kan man enten bruge decimaltal eller brøker.I dag bruger man mest decimaltal, men det er alligevel vigtigt at kende til brøker.Det giver også rigtig god tal-træning at arbejde med brøker.Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade.Lagkagen er inddelt i 4 lige store stykker – eller brøkdele.Hver brøkdel kaldes 41 (en fjerde-del).Chokoladen til venstre er inddelt i 16 lige store stykker.Ligesom en Rittersport.Hver del kaldes 161 (en sekstende-del).Chokoladen til højre er inddelt i 6 lige store stykker.Hver del kaldes 61 (en sjette-del).Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af.Der er spist 43 af lagkagen til venstre. Der er 41 tilbage.Der er spist 85 af lagkagen til højre. Der er 83 tilbage.Der er spist 167 af chokoladen til venstre. Der er 169 tilbage.Der er spist 127 af chokoladen til venstre. Der er 125 tilbage.Tallet over brøkstregen kaldes tæller.Tallet under brøkstregen kaldes nævner.Tæller23NævnerEn brøkstreg er også et divisionstegn.2 kan betyde to ting, som giver det samme:3- en hel deles i 3 dele - vi tager de 2- resultatet af 2 divideret med 3Brøker og forholdstal Side 26

Matematik på AVUEksempler til niveau GForlænge og forkorteDer findes mange ”navne” for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte.Eksempel på opgaverForlæng brøken 32 med 4. Forkort brøken 164 med 4.Man skal gange både tæller og nævner med 4:Man får:232⋅4=3 ⋅ 4=812Tegningen viser, at brøkerne 32 og 128er ens.Man skal dividere tæller og nævner med 4:Man får:416=4:416:414Tegningen viser, at brøkerne 164=og41 er ens.23=2 ⋅ 43⋅4=812416=4 : 416 : 4=14Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken.Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal.Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken.Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal.Man forkorter normalt mest muligt.Eksempel på opgaveHvor stor en brøkdel udgør 15 ud af 20?15Man skal forkorte brøken mest mulig:20Man får:1520=15:520:5=34Tegningen viser resultatet.Brøker og forholdstal Side 27

Matematik på AVUEksempler til niveau GUdtage brøkdeleEksempel på opgaveFind 32 af 12.Man kan finde 32 af 12 på 2 måder.- Man kan enten:1først sige: af 12=12:3=432og derefter sige: af 12 = 2 ⋅ 4=832 2 ⋅12- Eller man kan sige: ⋅ 12 = = 8 .3 3På regnemaskinen tastes 2 × 12 ÷ 3 =2De tre skriveformer af 1232 2 ⋅12og ⋅ 12 og3 3betyder det samme.Eksempel på opgave18 svarer til 43 af et tal. Find tallet.Man kan finde tallet - det hele - på to måder:- Man kan enten:1først sige: af det hele er 18 : 3 = 643 = 118 = 6 4 = 24444og derefter sige: Det hele må være 6 ⋅ 4=2418⋅4- Eller man kan sige: = 24 .3På regnemaskinen tastes 18 × 4 ÷ 3 =Brøker og forholdstal Side 28

Matematik på AVUEksempler til niveau GUægte brøker og blandede talBrøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren,og brøken kaldes en ægte brøk. 43 og 51 er eksempler på ægte brøker.Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer:Man kan både sige, at der er 49 lagkage og,at der erAltså:9412 lagkage.41= 24Brøken 49 kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner.Tallet12 kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk.4Tegningen til højre viser, at11 5= 1 .6 6Eksempel på opgaver13Omskriv til blandet tal. Omskriv 2 til uægte brøk.531Man får:13 3= 25 5Der bliver 2 hele, fordi 13 : 5 = 2 , rest 3.Lav evt. selv en tegning,der viser omregningen.Man får:12 =373Det er fordi 2 ⋅ 3 + 1 = 7Nogle gange skrives regnestykket således:1 2⋅3+12 = =3 373Brøker og forholdstal Side 29

Matematik på AVUEksempler til niveau GBrøker og decimaltalDecimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøkerFørste ciffer efter kommaet er 10.-dele, andet ciffer er 100.-dele o.s.v.Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved:- enten at forlænge til 10.-dele, 100.dele o.s.v.- eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen.Eksempel på opgaverOmskriv 21 til decimaltal. Omskriv 41 til decimaltal.- Man kan enten forlænge:- Man kan enten forlænge:1 51 2525 2 5= = 0,5= = 0,25 ( = + )2 104 100100 10 100- eller taste 1 ÷ 2 = på regnemaskinen. - eller taste 1 ÷ 4 = på regnemaskinen.1Så får man: =10, 5Så får man: = 0, 2524Eksempel på opgaveOmskriv 31til decimaltal.Man kan ikke forlænge til hverken 10.-dele eller 100.dele eller …..Man får: 1 = 0,333....ved at taste 1 ÷ 3 = på regnemaskinen, og afrunder til fx: 1 = 0, 3333Eksempler på opgaverOmskriv 0,3 til brøk.Omskriv 0,75 til brøk.Man får:30 ,3 = Man får:10750 ,75 = =10034Brøker og forholdstal Side 30

Matematik på AVUEksempler til niveau GDet er vigtigt, at kende sammenhængen mellem de mest almindelige brøker og decimaltal.Kik på tegningerne herunder og prøv at huske disse brøker.Brøkerne 21 , 41 , 51 og 101svarer alle til pæne decimaltal.0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,01 = 0,521 2 = 0,5=2210,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,01 = 0,2541 = 20,25 = 0,5 3 = 4 0, 75 = 144440,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,01 = 0,251 = 0,22 = 0, 4 3 = 0, 6 4 = 8 5 0, = 1555550,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,01= 0,110Der var kun plads til atskrive hver anden brøk.1Brøken svarer til det uendelige decimaltal 0,333….3Forestil dig, at tre personer skal dele 100 kr. Det kan man ikke gøre, så alle får præcis det samme.0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,01 ≈31 2 3 ≈ 0,333...≈ 0,666...= 1333101= 0,1103= 0,3105= 0,5107= 0,7109= 0,90,333...Brøker og forholdstal Side 31

Matematik på AVUEksempler til niveau GRegning med brøker - plus og minusHvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen vedat lægge tællerne sammen og beholde nævneren.Man trækker brøker fra hinanden på samme vis.Eksempler på opgaver2 45 3+ −9 97 7Man får:2 4 69+ =9 9, som kan forkortes til 2 . Man får: 5 3 2− =3 7 7 7Tegningen viser beregningen til venstre:29+49=69=23Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden,skal man først finde en fællesnævner.Eksempler på opgaver1 11 3+ −2 32 8Man får:121 3 2 5+ = + =Man får:3 6 6 612−38=48−38=18Tegningen viser beregningen til venstre:12+13=36+26=56Brøker og forholdstal Side 32

Matematik på AVUEksempler til niveau GRegning med brøker - gange og divisionMan ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren.Eksempel på opgave3 ⋅ 8 (eller 38 ⋅44 - rækkefølgen er ligegyldig)3 3⋅824Man får: ⋅8= = = 64 4 43- Det kan både betyde af 8 hele (til højre)43- Og betyde 8 portioner på (her under)4Tegningerne viser, at begge dele giver 6. På regnemaskinen tastes 3 × 8 ÷ 4 =Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner.Eksempel på opgave2 3 ⋅3 4Man får:23⋅34=2 ⋅ 33⋅4=612=12Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå)2 32 3⋅ er det samme som af3 43 4eller - da rækkefølgen er ligegyldig:3 23 2⋅ er det samme som af4 34 3ellereller2 af eller eller33 af eller eller4Brøker og forholdstal Side 33

Matematik på AVUEksempler til niveau GMan dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet.Eksempel på opgave3: 24Man får:3 3 2 =4 4 ⋅ 2: =38Tegningen til højre viser regnestykket34: 2 =38Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel:6:2 : = =76 2737Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.Eksempel på opgave24 :32 3 4⋅312Man får: 4 : = 4 ⋅ = = = 63 2 2 2Tegningen til højre viser, at når manhar 4 hele, kan man 6 gange få 32Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk.Eksempel på opgave1 1 :2 3Man får:121312311⋅32 ⋅132: = ⋅ = = = 1Tegningen skal vise, at hvis manhar 21 plade chokolade, kan man1 1få plade 1 gang3 212Tegningen er måske lidt svær at forstå1= 1: = :2Brøker og forholdstal Side 34

Matematik på AVUEksempler til niveau GForholdstalEksempel på opgaveDel 1.000 kr. mellem to personer i forholdet 2 : 3.Beløbet skal deles i 5 portioner, fordi 2 + 3 = 5 .2Den ene person får ⋅1.000= 400 kr.53Den anden person får ⋅1.000= 600 kr.5Eksempel på opgaveEn læskedrik skal blandes med vand i forholdet 1 : 6 .Drikken sælges i flasker med 500 ml (½ liter).Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske?Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik?Der skal bruges 6 ⋅500= 3. 000 ml vand til 500 ml koncentreret drik.I alt får man 3.500 ml = 3,5 liter færdigblandet drik.1Fordi 1 + 6 = 7 skal der bruges liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik7Det svarer til 0,143 liter eller 143 ml.Et forhold kan forkortes ligesom en brøk.Forholdet 20 : 30 kan forkortes til 2 : 3 . Man dividerer begge tal med 10.Brøker og forholdstal Side 35

Matematik på AVUEksempler til niveau GProcentregningFind et antal procent af…. ........................................................... 37Procent, brøk og decimaltal ........................................................ 38Hvor mange procent udgør…..? .................................................. 39Find det hele….. .......................................................................... 40Promille ....................................................................................... 40Moms ........................................................................................... 41Forskel i procent .......................................................................... 42Ændring i procent ........................................................................ 43Procent og procentpoint .............................................................. 44Procent Side 36

Matematik på AVUEksempler til niveau GOrdet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner1med 100-dele - eller prøver at regne om til 100-dele. En procent er . Man skriver 1%.100Find et antal procent af….Eksempel på opgavePå et VUC er der 735 kursister. Heraf er 40% mænd.Hvor mange procent af kursisterne er kvinder?Hvor mange mænd er der?De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 100% tilsammen.Derfor er der 100% - 40% = 60% kvinder.Antallet af mænd kan findes på flere måder.- Man kan - se tegningen - sige:100% = 735kursister100% = 735 kursister7351% = = 7,35kursist10040% = 7,35 ⋅ 40 = 294 kursisterDenne måde er nem at forståmen besværlig at skrive.1% = 7,35 kursist40% = 294 kursister- Eller man kan - i en beregning - sige:735⋅ 4040% af 735 = = 294 kursister10040Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder af 735.100På regnemaskinen tastes 735 x 40 ÷ 100 =Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde:Del =Det hele ⋅ Antalprocent100- Endelig kan man - i en beregning - sige:40% af 735 = 0,40⋅ 735 = 294 kursister.Her bruger man, at 40% er det samme som decimal-tallet 0,40 (se næste side).Procent Side 37

Matematik på AVUEksempler til niveau GEn brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævnerog rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultatEksempel på opgaveOmskriv disse brøker til procent-tal: 43 og 3232Man får: = 0,75 = 75%= 0,66666... = 67%433 3 75I opgaven med kan man også sige = = 75%.4 4 1002I opgaven med er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige 66,7% eller 66,67%….3Hvor mange procent udgør…..?Eksempel på opgavePå et VUC er der 395 kursister. Heraf er 257 kvinder.Hvor mange procent af kursisterne er kvinder?Procent-tallet kan findes på flere måder.- Man kan sige:100 % = 395kursister3951 % = = 3,95kursist100257Kvinderne udgør = 65% af kursisterne.3,95- Eller man kan - i en beregning - sige:Kvinderne udgør257 ⋅100= 65% af kursisterne.395257Man omregner brøken til procent-tal. På regnemaskinen tastes 257 ÷ 395 x 100 =395Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde:Del ⋅100Antalprocent =Det heleProcent Side 39

Matematik på AVUEksempler til niveau GFind det hele…..Eksempel på opgave51 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 15% af medlemmerne.Hvor mange medlemmer er der i alt?Tallet kan findes på flere måder.- Man kan sige:15% = 51 personer511 % = = 3,4 person15I alt er der 3,4 ⋅100= 340 medlemmer af sportsklubben.- Eller man kan - i en beregning - sige:I alt er der51⋅100= 340 medlemmer af sportsklubben.15På regnemaskinen tastes 51 ÷ 15 x 100 =Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde:Det heleDel ⋅100=AntalprocentPromillePromille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altsåPromille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver.11.000og skrives 1‰.Eksempel på opgaveFind 2‰ af 60.000 kr.Man får:2‰ af 60.000 kr. =60.000⋅ 2= 120 kr.1.000Læg mærke til, at der divideres med 1.000 i stedet for med 100.Procent Side 40

Matematik på AVUEksempler til niveau GMomsAlle priser tillægges 25% moms.Eksempel på opgaveEt par bukser koster 156 kr. uden moms. Find prisen med moms.Opgaven kan besvares på mange måder:- Man kan sige:Pris uden moms: 156 kr.156 ⋅ 25Moms: =10039 kr.I alt195 kr.- Eller man kan sige:Pris uden moms: 156 kr.Moms: 0,25⋅ 156 = 39 kr.I alt195 kr.- Eller man kan - fordi 100% +25% = 125% - sige:156 ⋅125Pris med moms: = 195 kr.100- Eller man kan - fordi 125% = 1,25 - sige:Pris med moms: 1,25⋅156= 195 kr.Pas på når du skal regne baglæns ogfinde prisen uden moms.25%Tegningen til højre viser, at:- momsen udgør 25%eller 41 af prisen uden moms.25 1- men momsen udgør eller 125 5eller 20% af prisen med moms.Pris uden moms100%Moms25%100%Pris med momsEksempler på opgaverEn boremaskine koster 499 kr. med moms.Find prisen uden moms.Man får:Pris uden moms:499 ⋅100= 399,20 kr.125En boremaskine koster 499 kr. med moms.Find momsen.Man får:Pris uden moms:499 ⋅ 25= 99,80 kr.125100 25 4 1I stedet for og kan man også regne med og . Tænk over hvorfor, og prøv selv efter.125 1255 5Procent Side 41

Matematik på AVUEksempler til niveau GForskel i procentDu skal finde en forskel i procent, når der bliver spurgt om, hvor meget et tal er større end(eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller...Man finder en forskel i procent på denne måde:Forskel iForskel i tal ⋅100procent ="End"-talMan kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver megetofte brugt i spørgsmålene.Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater.Hold tungen lige i munden!!!Eksempler på opgaverEn liter mælk koster 8 kr. i Super-Købog 10 kr. i Nær-Kiosken.Hvor mange procent er Super-Købbilligere end Nær-Kiosken?En liter mælk koster 8 kr. i Super-Købog 10 kr. i Nær-Kiosken.Hvor mange procent er Nær-Kioskendyrere end Super-Køb?Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken,fordi der blive spurgt ”end Nær-Kiosken”.Man får:Forskel i tal: 10 - 8 = 2 kr.Forskel i procent:2 ⋅100= 20%10Man skal dividere med prisen i Super-Køb,fordi der bliver spurgt ”end Super-Køb”.Man får:Forskel i tal: 10 - 8 = 2 kr.Forskel i procent:2 ⋅100= 25%8Til venstre sammenligner man med Nær-kiosken. Derfor er Nær-kiosken 100%.Til højre sammenligner man med Super-køb. Derfor er Super-køb 100%.10 kr.100 %10 kr.20 %25 %100 %5 kr.Nær-KioskenNær-kioskenSuper-Køb Super-køb50 %5 kr.Super-Køb Super-købNær-KioskenNær-kiosken50 %0 kr.0 %0 kr.0 %Procent Side 42

Matematik på AVUEksempler til niveau GÆndring i procentEn ændring kan her både betyde en stigning og et fald.Eksempler på opgaverEn togbillet koster 160 kr.Prisen stiger med 15%.Find prisen efter stigningen.En computer koster 6.995 kr.Prisen falder med 20%.Find prisen efter faldet.Begge opgaver kan regnes på flere måder:- Man kan sige:Gammel pris:160 kr.160 ⋅15Stigning: =10024 kr.Ny pris184 kr.- Man kan sige:Gammel pris: 6.995 kr.9.995⋅ 20Fald: =1001.399 kr.Ny pris5.596 kr.160 ⋅115- Man kan sige: Ny pris: = 184 kr.100Det er fordi, at100% + 15% = 115%- Man kan sige: Ny pris: 1,15 ⋅160 = 184 kr.Det er fordi, at 115% = 1,15 -9.995 ⋅80- Man kan sige: Ny pris: = 5.596 kr.100Det er fordi, at 100% - 20% = 80%- Man kan sige: Ny pris: 0,80⋅ 9. 995 = 5.596 kr.Det er fordi, at 80% = 0,80 -Man finder en ændring i procent på denne måde:Ændring i procent=Ændring i tal ⋅100StarttalEksempler på opgaverPrisen på en busbillet ervokset fra 18 kr. til 22 kr.Find stigningen i procent.Prisen på et TV er faldetfra 2.999 kr. til 1.999 kr.Find faldet i procent.Man får:Stigning i tal: 22 - 18 = 4 kr.Stigning i procent:4 ⋅100= 22,2%18Man får:Fald i tal: 2.999 - 1.999 = 1.000 kr.1.000⋅100Fald i procent: = 33,3%2.999Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst.Procent Side 43

Matematik på AVUEksempler til niveau GNår man skal regne på ændringer i procent,kan det være en fordel at bruge decimaltalsom vist på forrige side.Metoden kan beskrives med denne figur, hvorr = ændringsprocenten som decimaltal med fortegn.Gammelt talHer er vist, hvordan man kan bruge metoden til at regne baglæns:· (1+r):(1+r)Nyt talEksempler på opgaverPrisen på et kg oksefars er steget med 4%,og det koster nu 79 kr.Find den gamle pris.Prisen på et TV er faldet med 15%,og det koster nu 1.699 kr.Find den gamle pris.Man får:1 + r = 1+0,04 = 1,04Gammel pris = 79 : 1,04 ≈ 76 kr.Man får:1 + r = 1−0,15 = 0,85Gammel pris = 1 .699 : 0,85 = 1.999 kr.Procent og procentpointMan bruger ordet procentpoint i stedet for procent, når man finder forskellen på to procenttal.Men man bruger ofte de to ord - procent og procentpoint - forkert. Også i aviser, radio og TV.Hvis arbejdsløsheden fx er vokset fra 6% til 9%, så er der faktisk blevet 50% flere arbejdsløse,fordi stigningen på 3% er halvdelen af de 6%, som var arbejdsløse i forvejen.Men stigningen er på 3 procentpoint, fordi det er en forskel på to procenttal.Tallet 3% er ikke 3% af dem, som var arbejdsløse før, men 3% af det, man kalder arbejdsstyrken.Arbejdsstyrken betyder alle dem, som enten har et arbejde eller prøver på at få et arbejde.Eksempel på opgaveDer går 20 kursister på et matematikhold, som har timer mandag, onsdag og fredag.En uge er der 5 kursister syge om mandagen, 2 syge om onsdagen og 8 syge om fredagen.Hvor mange procentpoint faldt antallet af syge fra mandag til onsdag?Hvor mange procentpoint voksede antallet af syge fra onsdag til fredag?Først beregner man antal syge i procent.Kontroller selv tallene.Mandag OnsdagFredagSyge i procent 25% 10% 40%Faldet fra mandag til onsdag er på25 - 10 = 15 procentpoint.Stigningen fra onsdag til fredag er på40 - 10 = 30 procentpoint.Procent Side 44

Matematik på AVUEksempler til niveau GBogstavregningFormler ........................................................................................ 46Reduktion .................................................................................... 47Ligninger ..................................................................................... 48Bogstavregning Side 45

Matematik på AVUEksempler til niveau GI bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal.FormlerEn formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes nogetskal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer.Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligtregnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også.Eksempler på opgaverBeregn:R = 5 ⋅ S + 7når S = 3Beregn:F = (2,5 ⋅ g − 12)når g = 9 og h = 6: hMan får:R = 5 ⋅S+7= 5 ⋅3+ 7= 15 + 7 = 22Man får:F = (2,5 ⋅ g−12): h= (2,5 ⋅9−12)= (22,5 −12): 6: 6= 10,5 : 6 = 1,75I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte.Eksempler på opgaverBeregn:n − 5M = 5n + − 83når n = 11Beregn:Z = 4x2 −ynår x = 3 og y = 25Man får:n−5M = 5n+− 8311−5= 5 ⋅11+− 83= 55 + 2 − 8 = 49Man får:Z = 4 x2−y2= 4 ⋅3− 25= 4 ⋅9− 5 = 36 − 5 = 31Bogstavregning Side 46

Matematik på AVUEksempler til niveau GReduktionReduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler)på en kortere måde. Man regner med bogstaver.Eksempler på opgaverReducer:5 ⋅ a − 2 ⋅ a + aReducer:2x + 5y − 3 + x − 3y − 4Bogstavet a symboliserer et tal.Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal.Når a står alene, er det det samme som1⋅aMan får:5⋅ a−2 ⋅a+a = 4⋅a eller blot 4aMan kan regne x’er sammen, man kan regne y’ersammen, og man kan regne tal sammen.Man får:2 x+5 y−3 + x−3y−4 =2 x+x+5 y−3 y−3 − 4 =3x+2 y−7Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at:- eksemplet til venstre svarer til at sige: 5 agurker - 2 agurker + 1 agurk = 4 agurker- eksemplet til højre til: 2 æbler + 5 pærer − 3 + 1 æble − 3 pærer − 4 = 3 æbler + 2 pærer − 7Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på.Eksempler på opgaverReducer:4 ⋅ 2a − 6a : 2 + aReducer:3x2+ 4x − x2− 3xMan får:4 ⋅ 2a−6a: 2+ a =8a−3a+a = 6aLæg mærke til at 6a : 2 bliver til 3a.Det svarer til det halve af 6aMan får:3x3x22+ 4 x−x− x22− 3x =+ 4 x−3x = 2 x2+ xMan kan ikke regne x 2 ’er og x’er sammenPrøv at udskifte a med 3 i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt).Man får: 4 ⋅ 2 ⋅3− 6 ⋅ 3 : 2 + 3 = 24 − 9 + 3 = 18 . Det er det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 3.Prøv også at udskifte a med 5 i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt).Man får: 4 ⋅ 2 ⋅5− 6 ⋅ 5 : 2 + 5 = 40 −15+ 5 = 30 . Det er stadig det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 5 .Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid6 ⋅ tallet. Det er ideen i bogstavreduktion.Bogstavregning Side 47

Matematik på AVUEksempler til niveau GDe sidste eksempler med reduktion er nok lidt svære:Eksempler på opgaverReducer:5a + (4 − 2a) + 3Reducer:3b − (b − 5 + 3a) + 6aReducer:5 ⋅ (4 + 2a) + (8a − 6): 2Man får:5a+(4 − 2a) + 3 =5a+4 - 2a+3 =5a- 2a+4 + 3 =3a+7Man får:3b−(b−5 + 3a) + 6a =3b−b+5 − 3a+6a =3a+2b+5Man får:5 ⋅ (4 + 2a) + (8a−6)5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2a+8a20 + 10a+4a−3 =14a+17: 2: 2=− 6 : 2 =Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes.Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen.Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet.Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet.LigningerEn ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav.Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe.Eksempler på opgaverLøs ligningen:12 = x + 5Du må gerne gætte eller prøve dig frem.Løs ligningen:3x + 2 =20Du må gerne gætte eller prøve dig frem.Du kan sikkert straks se, at x må være 7.Man skriverx = 7Det kaldes at gætte en løsning.Du kan måske se, at x må være 6.Man skriverx = 6For at være sikker kan man regne efter:3⋅6 + 2 = 2018 + 2 = 2020 = 20Bogstavregning Side 48

Matematik på AVUEksempler til niveau GMan må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men nårligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende.Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler.Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at bladre videre til de næste sider.Eksempler på opgaverLøs ligningen:5 ⋅ x − 6 = 15Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder:”Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 15?”Tænk også på x som et tal der er ”pakket ind” i nogle beregninger.Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved.Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over.5⋅ x−6 = 15 Når 5x− 6 er lig med 15, kan man lægge 6 tilpå begge sider af lighedstegnet.5 ⋅ x−6 + 6 = 15 + 6 Der kommer til at stå noget andet på begge sider,5⋅x = 15 + 6men lighedstegnet gælder stadig.Man lægger 6 til for at ophæve −6.5⋅x = 215 ⋅ x=5x =215215x = 4,2Der kommer til at stå 5 x i stedet for 5x− 6,og x er blevet pakket delvist ud.Bagefter dividerer man med 5 på begge sider aflighedstegnet for at ophæve, at der står 5 ⋅ foran x.Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud,at x er 4,2.Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.5 ⋅ x−6 = 155 ⋅ x = 15 + 65 ⋅ x = 21x =215x = 4,2Ligningen ovenfor kan også løses på en anden og lidt uautoriseret måde.Man spørger jo: ”Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 15?”Det kan vises på en tegning på denne måde.Hvis man kendte værdien af x, kunne man regne sig fremtil tallet 15 ved at gå fra venstre mod højre på tegningen.Når man kender tallet 15, kan man regne sig tilbage til x,ved at gå fra højre mod venstre.Man får først 15 + 6 = 21, og derefter 21 : 5 = 4, 2Metoden er rigtig smart og let at forstå, og den kanbruges mange gange men desværre i alle ligninger.x5 ⋅ x − 6 = 15· 5:5−6+615Bogstavregning Side 49

Matematik på AVUEksempler til niveau GNår man løser ligninger, må man:- lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet.- trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.- gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet.- dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet.Eksempel på opgaveLøs ligningen:x − 7 =9x−7 = 9x−7 + 7 = 9 + 7x = 9 + 7x = 16Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnetfor at ophæve −7.Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.x−7 = 9x = 9 + 7x = 16Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal.Eksempel på opgaveLøs ligningen:37 = x + 1937 = x+19 Man trækker 19 fra på begge sider af lighedstegnet37 −19= x+19 −19for at ophæve +19.37 −19= xNår man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.18 = xx = 1837 = x+1937 −19= x18 = xDen sidste ændring, hvor x flyttes over på venstreside, er kun til ”pynt”. x = 18Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal.Bogstavregning Side 50

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveLøs ligningen:x12 =312 =x3x⋅312 ⋅ 3 =312 ⋅ 3 = x36 = xMan ganger med 3 på begge sider af lighedstegnetfor at ophæve at x bliver divideret med 3.Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstreside, er kun til ”pynt”.12 =x312 ⋅ 3 = x36 = xx = 36x = 36Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal.Eksempel på opgaveLøs ligningen:4 ⋅ x = 324 ⋅ x = 324 ⋅ x=4x =324324x = 8Man dividerer med 4 på begge sider af lighedstegnetfor at ophæve, at x bliver ganget med 4.Når man løser en ligning af denne type, nøjes manofte med at skrive som vist til højre.4 ⋅ x = 32x =324x = 8Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, manflytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal.Bogstavregning Side 51

Matematik på AVUEksempler til niveau GHer kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud:Eksempler på opgaverLøs ligningen:13 = 29 - x13 = 29 − x13 + x = 29x = 29 −13x = 14Løs ligningen:4515 =x15 =15 ⋅ x = 45x =45x4515x = 3Man kan ikke ende med at have x til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegneller under en brøkstreg. Derfor laver man disse ”tricks”:- til venstre fjerner man −x ved at lægge x til på begge sider af lighedstegnet.- til højre fjerner man x fra pladsen under brøkstregen ved at gange med x påbegge sider af lighedstegnet.Her kommer nogle mere indviklede eksempler:Eksempel på opgaveLøs ligningen:3 ⋅ x − 7 = 233⋅x−7 = 233⋅x = 23 + 73⋅x = 30x =303x = 10Først lægger man 7 til på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om −7 flyttes over på den anden side og ændres til +7).Derefter dividerer man med 3 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 3 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 3 .Husk at brøkstregen betyder divisionstegn).Man kunne måske finde på først at dividere med 3 i eksemplet ovenfor, men hvis man gør det,skal man dividere hele venstre side, både 3⋅ x og −7, med 3, og så er man lige vidt.Tænk på reglen om, at man ved almindelig udregning skal gange før man trækker fra(gange og division før plus og minus).Når man løser ligninger, skal man arbejde baglæns (plus og minus før gange og division).Bogstavregning Side 52

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveLøs ligningen:5 ⋅ x − 11= 745 ⋅ x−11= 745⋅x−11= 7 ⋅ 45⋅x−11= 285 ⋅ x = 28 + 115 ⋅ x = 39x =395x = 7,8Først ganger man med 4 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om : 4 flyttes over på den anden side og ændres til⋅ 4 ).Derefter lægger man 11 til på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om −11 flyttes over på den anden side og ændres til +11).Til sidst dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 5 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 5 .Husk at brøkstregen betyder divisionstegn).Her arbejder man også baglæns af de almindelige udregningsregler.Skulle venstre side udregnes alene, ville man først gange x med 5,derefter trække 11 fra og til sidst dividere med 4. Her starter man medat gange med 4, så lægger man 11 til, og til sidst dividerer man med 5.Eksempel på opgaveLøs ligningen:6x − 6 = 4x + 16 x−6 = 4 x+16 x = 4 x+1+66 x−4 x = 1+62 x = 7x =72x = 3,5Først lægger man 6 til på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om −6 flyttes over på den anden side og ændres til +6).Derefter trækker man 4x fra på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 4x flyttes over på den anden side og ændres til −4x).Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet.Til sidst dividerer man med 2 på begge sider af lighedstegnet.(Det ser ud som om 2 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 2.Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn).Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man:6 ⋅3,5− 6 = 4 ⋅3,5+ 121−6 = 14 + 115 = 15Bogstavregning Side 53

Matematik på AVUEksempler til niveau GTil sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder:Eksempler på opgaverLøs ligningen:x 2 = 49Løs ligningen:x = 4x 2 ±= 49x= 4x = ±49x = 42x =7x = 16I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.Tænk på at2x må være x.I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens.2Tænk på at ( x ) må være x.Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder:Eksempler på opgaverLøs ligningen:Løs ligningen:24 ⋅ x = 121x − 3 = 84 ⋅ x2= 121x − 3 = 8xx22== 30,25x = ±1214x = ± 5,530,25Man skal først have x 2 ellerx = 8 + 3x = 11x = 11x = 121x til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler.2Bogstavregning Side 54

Matematik på AVUEksempler til niveau GGeometriLængdemål og omregning mellem længdemål ........................... 56Omkreds og areal af rektangler og kvadrater .............................. 57Omkreds og areal af andre figurer .............................................. 58Omregning mellem arealenheder ................................................ 62Nogle geometriske begreber og redskaber. ................................. 63Målestoksforhold og ligedannethed ............................................ 66Rumfang ...................................................................................... 68Omregning mellem rumfangsenheder ......................................... 69Massefylde .................................................................................. 70Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning) ........ 71Rumfang (2) ................................................................................ 72Regne baglæns ............................................................................ 74I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang.På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne.Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling.Geometri Side 55

Matematik på AVUEksempler til niveau GLængdemål og omregning mellem længdemålVi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), menstandardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i:- decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del.- centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del.- millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del.Bemærk: Det er kun cm og mm, der er tegnet i den rigtige størrelse herunder.1 m = 10 dm1 dm = 10 cm1 cm = 10 mmHer er sammenhængen mellemmåleenhederne stillet op i en tabel:1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm1 dm = 10 cm = 100 mm1 cm = 10 mm1 mmHvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer.- en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde.Der er altså samme størrelsesforhold mellem en km og en m, som der er mellem en m og en mm.Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.Eksempler på opgaverOmregn 97,5 cm til mm.Omregn 1.250 m til km.I skemaet står der ” ⋅ 10 ” fordi,hver cm svarer til 10 mm.Man får:97 ,5 cm = 97,5 mm ⋅10= 975 mmI skemaet står der ”: 1. 000 ” fordi,hver km svarer til 1.000 m.Man får:1.250m = 1.250 km :1.000 = 1,250 kmGeometri Side 56

Matematik på AVUEksempler til niveau GOmkreds og areal af rektangler og kvadraterEt rektangel er en firkant, hvor:- siderne er parvis lige lange- hjørnerne er rette vinklerEksempler på rektangler:Et kvadrat er en firkant, hvor:- alle sider er lige lange- hjørnerne er rette vinklerEksempler på kvadrater:Et kvadrat er et særligt ”pænt” rektangelEksempler på opgaverFind omkreds og areal af et rektangel medlængden 4 m og bredden 3 m.Find arealet af et rektangel medlængden 350 cm og bredden 2,50 m.Omkredsen findes ved:- enten at sige: 4 m + 3 m + 4 m + 3 m = 14 m- eller at sige: 2 ⋅ 4 m + 2 ⋅3m = 14 mArealet findes ved at bruge formlen:Areal = længde ⋅ bredde eller blot A = l ⋅ bMan får:A = 4 m ⋅ 3 m = 122mTegningen viser, at rektanglet svarer til12 kvadrater, som måler 1 m på hver led.Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m 2 )4 mMan kan ikke regne med både m og cm, så350 cm laves om til 3,50 m.Man får:A = 3,50 m ⋅ 2,50 m =28,75 mTegningen viser, at resultatet er rimeligt.Hvis du tæller de hele, de halve og den kvartekvadratmeter sammen, så får du 8,75 m 2 .350 cm = 3,50 m2,50 m3 mHvis du er usikker på, hvorledes manomregner længdemål, så blad en sidetilbage. Der er et par eksempler.Geometri Side 57

Matematik på AVUEksempler til niveau GOmkreds og areal af andre figurerEksempel på opgaveTegningen til højre er en skitse af et hus.Find husets areal.6 m12 mFor at finde arealet må huset opdeles i rektangler.Det kan f.eks. gøres således:7 m10 mDer mangler tilsyneladendenogle mål for det nederste rektangel,men ved at kikke på tallene på skitsenkan man regne ud at:- arealet af det øverste rektangel må være:- arealet af det nederste rektangel må være:I alt er huset derfor:A = 12 m ⋅ 6 m =A = 5 m ⋅ 4 m =272 m220 m292mArealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder.Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måderUd over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler.I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud.Eksempel på opgaveFind arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde 3 cm.Man får:A =12⋅ h ⋅ g =12⋅ 5 cm ⋅ 3 cm =27,5 cmTegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelenaf arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden 3 cm.1A = ⋅ h ⋅ g 2højdegrundlinieDen lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde ”uden for”.Geometri Side 58

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveFind arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde 3 cm.Man får:A = h ⋅ g = 4 cm ⋅ 3 cm = 122cmA = h ⋅ gTegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer tilarealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden 3 cm.Du klipper venstre ende afog flytter stykket mod højre.højdegrundlinieEksempel på opgaveFind arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og 3 cmog højden er 4 cm.Man får:A =12⋅ h ⋅ (a + b) =12⋅ 4 cm ⋅ (6 cm + 3 cm) = 182cmTegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves omtil et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm.1A = ⋅ h ⋅ (a + b)2ahøjdebDen lille tegning viser, at trapezer godt kan være ”skæve”.Geometri Side 59

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveFind omkredsen af en cirkel med en radius på 1,5 cm.(Det svarer til en diameter på 3 cm)Man får:- enten O = π ⋅ d = π ⋅3cm = 9,4 cm- eller O = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅1,5cm = 9,4 cmO = π ⋅ dellerO = 2 ⋅ π ⋅ rradiusdiameterTegningerne viser en cirkel, der ”rulles ud”.Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren.Dette tal kaldes π (læses pi).π er et uendeligt decimaltal, som starter med 3,14…Mange regnemaskiner har en π -knap.radiusdiameterradiusdiameteromkredsEksempel på opgaveFind arealet af en cirkel med en radius på 2,5 cm.Man får:22A = π ⋅ r = π ⋅ 2,5 =19,6 cmPå regnemaskinen tastes: π X 2,5 x 2 =På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt ”omvendt”.2Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere.Resultatet vil ligne et rektangel.Længden bliver en halv omkreds - altså π ⋅ 2,5Højden bliver lig med radius - altså 2,5 cmArealet bliver derfor2π ⋅ 2,5⋅2,5 = π ⋅ 2,5 =A = π ⋅ rcm ≈ 7,85.. cm19,6 cm22radiusGeometri Side 60

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveSkitsen viser en lille løbebane.Banen (det grå område) er 10 m bred.45 mFind banens længde langs indersidenog banens areal.Indersiden består af to halvcirkler og to linjestykker.Banens omkreds bliver:Omkreds af cirkel: O = π ⋅ d = π ⋅ 35 ≈ 110 mLinjestykker: 2 ⋅ 45 = 90 mOmkreds i alt200 mNår man skal finde banens areal, må man først finde arealet af hele området (hvid + grå)og derefter trække midten (hvid) fra. Begge dele består af to halvcirkler med et rektangel i midten.Prøv selv at beregne målene på hele området, og se om dine tal passer med tallene herunder.Man får:Areal af hele området:Areal af det midterste område:22Cirkel: A = π ⋅ r = π ⋅ 27,5 = 2.376 m 222Cirkel: A = π ⋅ r = π ⋅17,5= 962 m 2Rektangel: A = l ⋅ b = 45 ⋅ 55 = 2.475 m 2 Rektangel: A = l ⋅ b = 45 ⋅ 35 = 1.575 m 2Areal i alt: 4.851 m 2 Areal i alt:2.537 m2Arealet af banen bliver derfor: 4.851 - 2.537 m 2 = 2.314 m 2Eksempel på opgaveFind arealet af en trekant, hvor sidelængderne er 5 cm, 6 cm og 7 cm.Man kan ikke bruge den almindelige formel for arealet1af en trekant ( A = ⋅ h ⋅ g ), fordi man ikke kender en højde.2a bMen man kan i stedet for bruge Herons formel.cFørst findes den halve omkreds.A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)a + b + c 5 + 6 + 7 18Man får: s = = = = 9 cmHvor s er den halve omkreds:2 2 2a + b + cDerefter findes arealet.s =2Man får: A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)= 9 ⋅ (9 − 5) ⋅ (9 − 6) ⋅ 9 − 7) = 9 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 216 = 14,7 cm 235 m35 mGeometri Side 61

Matematik på AVUEksempler til niveau GOmregning mellem arealenhederMan skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder.Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm 2 til en m 2 ,men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 = 100 dm 2 til en m 2 .Bemærk: Det er kun cm 2 og mm 2 , der er tegnet i den rigtige størrelse.1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 1 mm 21 cm 2 = 100 mm 2Her er sammenhængen mellemarealenhederne stillet op i en tabel:1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 21 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 21 cm 2 = 100 mm 2Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder.Eksempler på opgaverOmregn 2500 cm 2 til m 2 . Omregn 3,5 cm 2 til mm 2 .I skemaet står der ”: 10. 000 ” fordi,hver m 2 svarer til 10.000 cm 2 .Man får:222500 cm = 2500 m :10.000 =0,25 m2I skemaet står der ” ⋅ 100 ” fordi,hver cm 2 svarer til 100 mm 2 .Man får:223 ,5 cm = 3,5 mm ⋅100=350 mm2Geometri Side 62

Matematik på AVUEksempler til niveau GNogle geometriske begreber og redskaber.Når man arbejder med geometriske figurer, har man ud over linealofte brug for en passer og en vinkelmåler.Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kanogså anvendes til andre tegneopgaver.Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler.Når man arbejder med geometriske figurer, kan man i dag også brugeet computerprogram som fx Geogebra i stedet for at tegne og måle i hånden.Et bestemt sted kaldes på matematik-sprog et punkt.Et punkt fylder ingenting - det har ingen størrelse.Men i praksis er man nødt til at tegne et kryds eller en prik som vist her.Et punkt kan også være et hjørne i fx en trekant eller en firkant.Man giver punkter bogstav-navne med store bogstaver.ABEn linje er en lige streg, der i princippet er uendelig lang,men det kan man naturligvis ikke tegne.Et linjestykke er en lige streg, der går fra et punkt til et andet.Altså en streg med en bestemt længde.Linjestykket på tegningen hedder PQ, fordi det går fra P til Q.Hvis man skriver |PQ|, betyder det længden af PQ.To linjer - eller linjestykker - kan være parallelle,hvis der er et fast afstand mellem dem.Ligesom et par togskinner.PQTo linjer - eller linjestykker - kan stå vinkelret på hinanden,hvis de danner en ret vinkel (se næste side).Randen af en cirkel kaldes cirklens periferi.Afstanden fra periferi til periferi gennem centrumkaldes cirklens diameter.Afstanden fra centrum til periferi kaldes radius.Man skal kende radius for at tegne cirklenmed en passer.PeriferiKordeRadiusEt linjestykke fra periferi til periferi, der er mindreend diameteren, kaldes en korde.En linje, der lige akkurat rører en cirkel i et punkt,kaldes en tangent.DiameterTangentGeometri Side 63

Matematik på AVUEksempler til niveau GEn vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsenaf et ”hjørne” (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant.En cirkel måler 360°(læses 360 grader)hele vejen rundt.Et ”lige” hjørnemåler 90° og kaldesen ret vinkel.Det er en kvart cirkel.En vinkel på mindreend 90° kaldesen spids vinkel.Den viste vinkel er 60°En vinkel på mereend 90° kaldesen stump vinkel.Den viste vinkel er 120°Nogle særligt ”pæne” trekanter har specielle navne:I en ligesidet trekant eralle siderne lige lange, ogalle vinklerne er 60°.I en ligebenet trekant erto af siderne lige lange ogto af vinklerne lige store.I en retvinklet trekant er enaf vinklerne ret - altså 90°.Tegningen til højre viser, at de tre vinkler i en trekantaltid er 180° tilsammen. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E og ∠C =∠F.Og ∠D, ∠E og ∠F svarer tilsammen til halvvejs rundt i en cirkel.EFCDMan kan altid dele en firkant op i to trekanter somvist nedenfor. På den måde kan man vise, at vinklernei en firkant altid er 2·180° = 360° tilsammen.ABMan kan fortsætte og opdele en femkant i tre trekanter osv.På den måde kan man vise, at der gælder denne formelfor vinklerne i en mange-kant:v = (n − 2) ⋅180hvor v er vinkelsummen (alle vinklerne lagt sammen),og n er antal kanter.En mange-kant kaldes også en polygon.Geometri Side 64

Matematik på AVUEksempler til niveau GSærligt ”pæne” figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler:RegulærsekskantI en regulær figurer alle sider og allevinkler lige store.Symmetrisk figur medvandret symmetriakse(eller spejlingsakse).Man tegner nogle gange disse linjer i trekanter:MidtnormalerVinkelhalveringslinjerMedianerMidtnormaler går gennemmidtpunktet på siderne, ogde står vinkelret på siderne.Vinkelhalveringslinjernedeler vinklerne op ito lige store vinkler.Medianerne går fravinkelspidserne til midtenaf de modstående sider.Alle tre typer af linjer mødes i et punkt. Det gælder også for højderne i en trekant.Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for trekantens omskrevne cirkel, og vinkelhalveringslinjernesskæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel. Prøv selv at tegne.Eksempel på opgaveKonstruer en trekant ABC som vist på skitsen,hvor a = 4,5 cm, c = 6 cm og ∠A = 40°.AbcaCB2) Derefter afsættes∠A = 40°, ogsiden b skitseressom vist.3) Derefter tegnesen cirkelbue medcentrum i B ogradius på 4,5 cm.Ca = 4,5 cmA40°1) Først tegnes c = 6 cm.40° c = 6 cmB A B4) Til sidst tegnes siden a, og deoverflødige steger viskes ud.Geometri Side 65

Matematik på AVUEksempler til niveau GMålestoksforhold og ligedannethedMan bruger målestoksforhold, når man arbejder med fx arkitekttegninger og kort.Tegningerne og kortene er præcise formindskede kopier af virkeligheden, selv om mannaturligvis ikke altid kan få alle detaljer med, når man laver tegninger og kort.Et målestoksforhold skrives fx således: 1 : 100 . Det betyder at en længdeenhed (mm, cm…)på tegningen eller på kortet svarer til 100 længdeenheder i virkeligheden.Eksempel på opgaveTegningen viser et hus i målestoksforhold 1:200.Find husets længde og bredde.Find også husets areal.Grundrids af hus1:200Først måles længde og bredde på tegningen.Man får 7,5 cm og 4,0 cm.Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 200.Man får:- længde: 7,5 cm ⋅ 200 = 1.500 cm = 15,00 m- bredde: 4 ,0 cm ⋅ 200 = 800 cm = 8,00 mArealet beregnes til:15 m ⋅ 8 m = 1202mPå tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 200 gange mindre end i virkeligheden.Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 200 gange større end på tegningen.Men arealet af det rigtige hus er 200 ⋅ 200 = 40.000 gange større end arealet af tegningen.Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor!Eksempel på opgaveEn byggegrund har form som et rektangel.Længden er 30 m og bredden er 20 m.Lav en tegning i målestoksforhold 1:500Tegningens mål findes ved at dividere med 500.Man får:- længde: 30 m : 500 = 0,06 m = 6 cm- bredde: 20 m : 500 = 0,04 m = 4 cmTegningen ser ud som til højre.Hvis man vil skrive mål på tegningen, skaldet være de rigtige mål - ikke de tegnede mål.20 m30 m1:500Geometri Side 66

Matematik på AVUEksempler til niveau GNogle gange kan tegningen godt være større end virkeligheden.Eksempel på opgaveTegningen viser et tværsnit af en knappenål.I hvilket målestoksforhold er tegningen lavet?Først måler man på tegningen. Man får:10 mm- ”hovedets” diameter: 5 cm = 50 mm- ”nålens” længde: 4 cm = 40 mm8 mmNu kan man finde målestoksforholdet på to måder:Enten som 50 :10 = 5 : 1 eller som 40 :8 = 5 : 1Bemærk: Når tegningen er større end virkeligheden, skriver man det største tal først.I eksempler passer det jo med at 5 mm på tegningen svarer til 1 mm i virkeligheden.Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede kopier af hinanden, siger man,at de er ligedannede. Vinklerne er ens i de to figurer.Eksempel på opgaveDe to trekanter I og II er ligedannede.IIFind længden af c og d.IFørst finder man størrelsesforholdet ved atsammenligne siderne b og e.Størrelsesforholdet er 4:5 (eller 5:4).Det betyder, at hver gang man har 4 længdeenhederpå trekant I, så har man 5 længdeenheder på trekant II.Det er lettest at omregne forholdet til et tal.Man får:e : b = 5 : 4 = 1,25b = 4 cmSiderne i trekant II er altså 1,25 gange størreend siderne i trekant I.Derefter får man: d = 1,25 ⋅ a = 1,25 ⋅9,6= 12 cm og c = f :1,25 = 13 :1,25 = 10,4 cma = 9,6 cmcde =5 cmf = 13 cmBemærk: Når man arbejder med målestoksforhold, arbejder man også med ligedannethed.Tegningen og den virkelige ting er jo præcise formindskede/forstørrede kopier af hinanden.Geometri Side 67

Matematik på AVUEksempler til niveau GRumfangEksempel på opgaveLadet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen.Hvor mange m 3 (kubikmeter) kan det rumme?Rumfanget findes ved at bruge formlen:Rumfang = længde ⋅ bredde ⋅ højde eller blot V = l ⋅ b ⋅ h(Bogstavet V bruges for rumfang)Man får:V = 8 m ⋅ 2 m ⋅ 2 m =328 mDet betyder, at ladet kan rumme 28 terninge-formede kasser,som måler 1 m på hver led.En sådan terning kaldes en kubikmeter (m 3 ).2 m28 X 1 m 32 m7 mEksempel på opgaveEn kasse har de mål, som er vist på skitsen.Hvor mange liter kan den rumme?Liter er det samme som kubikdecimeter (dm 3 ).(se evt. næste side om rumfangsenheder)Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen.Man får:V =3= 7,5 dm ⋅3dm ⋅ 4 dm 90 dm eller 90 liter40 cm75 cm30 cmEksempel på opgave5 cmEn dåse har de mål, som er vist på skitsen.Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme?9 cmMilliliter er det samme som kubikcentimeter (cm 3 )og dåsen har form som en cylinder.223Man får: V = π ⋅ r ⋅ h = π ⋅ 5 ⋅9= 707 cm eller 707 mlPå regnemaskinen tastes: π X 5 x 2 X 9 =V = π ⋅ r2 ⋅hradiusTil højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder.Der findes en række andre formler, som du ogsåkan få brug for, når du regner opgaver med rumfang.højdeGeometri Side 68

Matematik på AVUEksempler til niveau GOmregning mellem rumfangsenhederDer bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder.Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 ⋅10= 1.000 dm 3 til en m 3 .1 dm 3 = 1.000 cm 31 m 3 = 1.000 dm 3 1 cm 3Her er sammenhængen mellemrumfangsenhederne vist i en tabel:1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 = 1.000.000.000 mm 31 dm 3 = 1.000 cm 3 = 1.000.000 mm 31 cm 3 = 1.000 mm 3Man måler også rumfang med liter-enheder:liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml).Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang.Det er vigtigt at vide, at:1 liter1 dl1 cl1 ml- 1 dm 3 er det samme som en liter (l)- 1 cm 3 er det samme som en milliliter (ml)Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne:1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml1 dl = 10 cl = 100 ml1 cl = 10 mlEksempel på opgaveOmregn 3,5 m 3 til liter.En liter er det samme som en dm 3 . Derfor skal man gange med 1.000.Man får:3,5 m=333= 3,5 dm ⋅1.0003.500 dm = 3.500 literGeometri Side 69

Matematik på AVUEksempler til niveau GMassefyldeMasse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang.Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed.Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlenkan også omskrives som vist herunder:Massefylde =VægtRumfangVægt = Rumfang · MassefyldeellerRumfang =VægtMassefyldeHvis et materiale har massefylden 2,5 g pr. cm 3 , betyder det,at en cm 3 (en kubikcentimeter-terning) vejer 2,5 g.Vand har en massefylde på 1 g pr. cm 3 .Massefylde er vægtpr. rumfangsenhed.Fx vægt pr. cm 3 .Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm 3 .Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller),har en massefylde på over 1 g pr. cm 3 .Når man regner med massefylde, er det vigtigt at havestyr på både rumfangsenhederne (se forrige side) ogvægtenhederne.1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g1 ton1 kg = 1.000 g1 kg1 gEksempler på opgaverEn metalklods vejer 323 gog har et rumfang på 85 cm 3 .Hvad er massefylden?Hvor meget vejer 5 m 3 grus,når massefylden for gruseter 2,3 tons pr. m 3 ?Hvor meget fylder 0,5 kgalkohol, når massefyldener 0,8 kg pr. liter?Man får:323 gMassefylde =385 cm= 3,8 g pr.cm3Man får:Vægt = 5 m3= 11,5 tons⋅ 2,3 tons pr.m3Man får:0,5 kgRumfang =0,8 kg pr.liter= 0,625 literI eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit.Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp.Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret!Geometri Side 70

Matematik på AVUEksempler til niveau GSidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning)Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømteregneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen.Han levede i Grækenland for mere end 2.000 år siden.BDet mest enkle eksempel er en såkaldt 3-4-5-trekant.Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler 3 cm,4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet.Det gælder naturligvis også, hvis man brugerandre måleenheder. Fx 3 m, 4 m og 5 m.Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder:Ac = 5 cmb = 4 cma = 3 cmCMan navngiver hjørnermed store bogstaver ogsider med små bogstaver.2 2a + b =c2Hvis du regner efter, får du at:og det er jo ganske rigtigt.3 =2 2 2+ 4 5 eller 9 + 16 = 25,Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter.Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel.Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b.Eksempler på opgaverTegningen viser en retvinklet trekant.Ac =a = 12 cmBb = 5 cmFind den manglende sidelængde c.CSkitsen viser en stige,der er stillet op aden høj mur.Stigens længdeer 4,50 m.110 cmHvor højt nårstigen op?Man sætter ind i formlenog løser en ligning:122+ 52= c144 + 25 = c169 = c222c = 169 = 13 cm2 2a + b =c2Stigen, muren og jorden danner en retvinklettrekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte siderer 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a.Siden langs muren kaldes b og findes således:1,102+ b1,21+bb222= 4,502= 20,25= 20,25 −1,21= 19,04b =19,04 = 4,36 mGeometri Side 71

Matematik på AVUEksempler til niveau GRumfang (2)Her er et eksempel på en mere kompliceret opgave med rumfang og overfladeareal:Eksempel på opgaveSkitserne viser to kaffekrus.Det ene er sammensat af en cylinderog en halvkugle. Det andet har formsom en keglestub.Sammenlign rumfang og indvendigoverfladeareal på de to krus.8 cm5 cm8 cm9 cmFørst finder man de nødvendigeformler. De er vist til højre undervejs.6 cmVi starter med at finde rumfanget af kruset til venstre.Man får:22Rumfang af cylinder: V = π ⋅ r ⋅ h = π ⋅ 4 ⋅ 5 = 251,3 cm 31 4 3 2 3Rumfang af halvkugle: V = ⋅ ⋅ π ⋅ r = ⋅ π ⋅ 4 = 134,0 cm 32 3 3Rumfang i alt: 385,3 cm 3Man kan naturligvis også skrive rumfanget som 385,3 ml,da cm 3 og ml jo er det samme.Nu finder vi overfladearealet af kruset til venstre.Man får:Krum overflade af cylinder:Overflade af halvkugle:O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 4 ⋅5= 125,7 cm 2O 21π22= ⋅ 4 ⋅ ⋅ r = 2 ⋅ ⋅ 4 = 100,5 cm 2Overflade i alt: 226,2 cm 2Når man regner på overfladen af en cylinder, skal man væreopmærksom på, at formlen giver ”den krumme overflade”.Top og bund er ikke med.I denne opgave skal man heller ikke bruge top og bund,men det skal man måske i andre opgaver.Pas på med ikke at lade dig snyde af formlen.πRumfang cylinder:V = π ⋅ r2 ⋅hKrum overflade af cylinder:O = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ hh er højdenr er radiusradiusRumfang kugle:4V = ⋅ π ⋅ r 3Overflade af kugle:O = 4 ⋅ π ⋅ rr er radiusradius32højdeGeometri Side 72

Matematik på AVUEksempler til niveau GNu finder vi rumfanget af kruset til højre.Man får:Rumfang: V ==13⋅ π ⋅ h ⋅ (R1⋅ π ⋅9⋅ (43= 348,7cm232+ r+ 322+ R ⋅ r)+ 4 ⋅3)Her kan man naturligvis også skrive 348,7 ml.Beregningen ovenfor er lidt kompliceret.12 2Man kan godt indtaste ⋅ π ⋅ 9 ⋅ (4 + 3 + 4 ⋅ 3)3i en beregning på regnemaskine på denne måde:1 ÷ 3 X π X 9 X ( 4 x 2 + 3 x 2 + 4 X 3 ) =Men hvis du er usikker på, hvorledes du skal gøre,kan du roligt dele beregningen op i flere dele.Nu finder vi overfladearealet af kruset, men først må vi finde den skrå side.Det gør vi på denne måde vha. Pythagoras’ sætning:Man kan lave en retvinklet trekant i siden af kruset som vist.Den skrå side er hypotenusen. Den ene katete er højden,og den anden katete er forskellen på R og r.Man får:h29Det er fristende blot at runde af til 9 cm eller 9,1 cm, men man bør medtagenogle flere decimaler i sine mellemregninger.Nu er vi parate til at finde overfladearealet af kruset til højre.Her skal vi være opmærksomme på, at der både er en krum overflade og en bund.Man får:Krum overflade af keglestub: O = π ⋅ ( R + r) ⋅s= π ⋅ (4 + 3) ⋅9,055...= 199,1 cm 2Areal af bund:+ (R − r)2+(4 - 3)O22= s= s81 + 1 = s82 = ss =π222282 = 9,055.... cmπRumfang af keglestub:V =⋅ π ⋅ h ⋅ (R22= 2 ⋅ ⋅ r = 2 ⋅ ⋅ 3= 28,3 cm 2Overflade i alt: 227,4 cm 2hR-r132+ r2+ R ⋅ r)Krum overflade af keglestub:O = π ⋅ (R + r) ⋅sh er højdenR er den store radiusr er den lille radiuss er den skrå sideskråsidesrR8 cm6 cmhøjde9 cmTil sidst skal vi sammenligne tallene, og man får, at rumfanget af kruset til venstre er385,3 - 347,8 = 37,5 cm 3 større end kruset til højre. Overfladearealerne er næsten lige store,men arealet af kruset til højre er dog 227,4 - 226,2 = 1,2 cm 2 større end kruset til venstre.Geometri Side 73

Matematik på AVUEksempler til niveau GRegne baglænsFormlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang.Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfangog det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning) som vist herunder.Der findes dog også andre metoder end den viste. Man kan fx prøve sig frem i et regneark.Eksempler på opgaverFind bredden af et rektangel medarealet 12 m 2 og længden 4,8 m.Formlen for arealet af et rektangel er: A = l ⋅ bMan sætter de kendte tal ind i formlen ogregner baglæns (løser en ligning):A = l ⋅ b12 = 4,8⋅b124,8= b2,5 = bb = 2,5 mFind højden af en kasse, der rummer 0,87 m 3og har længden 145 cm og bredden 80 cm.Rumfangs-formlen lyder: V = l ⋅ b ⋅ hFor at enhederne kan passe sammen laves 145 cmom til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m0,87 = 1,45⋅0,80 ⋅ h0,87 = 1,16 ⋅ h0,871,16V = l ⋅ b ⋅ h= h0,75 = hh = 0,75 m = 75 cmEksempler på opgaverFind arealet af en cirkel der haren omkreds på 44 cm.Der er ingen formel, der direkte forbinderomkreds og areal, men man kan finde radiusmed denne formel: O = 2 ⋅ π ⋅ r446,28344 = 2 ⋅ π ⋅ r44 = 6,283⋅r= rr = 7,0 cmNu findes arealet med formlen:22A = π ⋅ r = π ⋅ 7,0 =A = π ⋅ r153,9 cm22Find radius i en cylinder der er60 cm høj og kan rumme 118 liter.Rumfangs-formlen lyder: V = π⋅r2 ⋅ hFor at enhederne kan passe sammen laves 60 cmom til 6 dm (husk at 1 liter = 1 dm 3 ).2118 = π⋅r ⋅ 6118 = 18,85 ⋅ r11818,852V = π⋅r ⋅ h= r6,26 = rr =2226,26 = 2,5dm = 25cmGeometri Side 74

Matematik på AVUEksempler til niveau GStatistikMiddelværdi med mere ............................................................... 76Hyppighed og frekvens ............................................................... 77Diagrammer ................................................................................. 78Hvilket diagram er bedst? ........................................................... 80Grupperede observationer ........................................................... 81Statistik Side 75

Matematik på AVUEksempler til niveau GNår man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordelat samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik.Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV.Du skal:- kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer.- selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger.Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at:En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne ien varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige:I gennemsnit er temperaturen meget behagelig.Middelværdi med mereEksempel på opgavePå et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor mange fag de følger.Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger 5 fag osv.Her er alle svarerne: 3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde.Find typetal og middelværdi.Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag.Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag.Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 −1= 4 fag.Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag.Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får:3 + 5 + 4 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 4 + 1 57= = 3,2 fag pr. kursist.1818Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme.Statistik Side 76

Matematik på AVUEksempler til niveau GHyppighed og frekvensEksempel på opgave (fortsat)På et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.Her er svarerne: 3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1Lav en tabel over hyppighed og frekvens.Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 osv.Man får:Antal fag 1 2 3 4 5 I altHyppighed 4 1 4 6 3 18I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister.Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.4 ⋅100Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er = 22%.18Tabellen udvides og man får:Antal fag 1 2 3 4 5 I altHyppighed 4 1 4 6 3 18Frekvens 22% 6% 22% 33% 17% 100%I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med,men lad være med at skrive hele rækken af decimaler.Det er en stor fordel at lave frekvenstabeller i et regneark. Så kan man lave en formel,der beregner den første frekvens og så kopiere denne formel.I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent.Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV.Bemærk: Hvis man skal finde hyppigheder og frekvenser er det en stor fordel få tallenesorteret efter størrelse. Det kan man let gøre, hvis man har tallene i et regneark.Så vil talrækken overfor se således ud: 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3.Det er mere overskueligt.Man kan også få regneark (og andre programmer) til at tælle, hvor mange der er af hvert tal,men det er lidt mere avanceret.Statistik Side 77

Matematik på AVUEksempler til niveau GDiagrammerHerunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og en kurve.Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC.Eksempel på opgave (fortsat)På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister.Svarene er vist i tabellen:Antal fag 1 2 3 4 5 I altHyppighed 4 1 4 6 3 18Lav et pindediagram over hyppighederne.Pindediagrammet kan se således ud:76Hyppighed5432101 2 3 4 5Antal fagPindediagrammet kaldes også et søjlediagram. Man bruger de to ord lidt på må og få.Hvis man har tabellen med hyppighederne i et regneark, kan man let få regnearket tilat lave diagrammet.Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden.Statistik Side 78

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveEt hold med 18 VUC-kursisterbliver spurgt om, hvorledes de kommer til VUC.Svarene er vist i tabellen.Lav et cirkeldiagram over tallene.Man kan lynhurtigt lave et cirkeldiagram i et regneark,men her vil jeg forklare, hvordan man laver diagrammetmed passer og vinkelmåler.TransportmiddelAntalpersonerTil fods 4Cykel 6Bus 3Bil 5I alt 18En hel cirkel er 360º (360 grader). Cirklen skal inddeles i 4 ”lagkagestykker”.En for hver transportform.4 4 ⋅ 360Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 360º. Man får: = 80º18 18De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter.Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler.TilfodsCykelTilfodsBusBilDu kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser).Frekvensen for Til fods er fx 22,2% (regn selv efter).22,2⋅360Hvis du vil bruge procent-tallet, bliver regnestykket:100≈ 80°Man kan også blive bedt om at aflæse på et cirkeldiagram. Så skal man måle, hvor mange grader”lagkagestykkerne” er og omregne disse grad-tal til enten antal procent eller antal personer.Hvis man ud fra cirkeldiagrammet ovenfor skal beregne, hvor mange der kører med bus,skal man først måle lagkagestykket for Bus. Det er 60°.60Der er altså af personerne, der kører med bus.36060 ⋅100Det kan enten omregnes til antal procent på denne måde: = 16.666… ≈ 17%36060 ⋅18eller til antal personer på denne måde: = 3 personer.360Statistik Side 79

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveI august starter der 18 kursister på et VUC-hold.I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe.Tabellen viser antal kursister måned for måned.Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April MajAntalkursister18 21 20 17 16 22 18 17 16 14Lav et diagram over tallene.Der er flere mulige diagrammer, men det er vigtigt, at man kan se, at tallet både stiger og falderi løbet af året. Her har jeg valgt at lave det, som man kalder en kurve.Hvis man bruger regneark, skal man vælge det, der hedder et punkt-diagram eller et x-y-diagram.25Antal kursister20151050MajAprilMartsFeb.Jan.Dec.Nov.Okt.Sept.Aug.MånedHvilket diagram er bedst?Der findes ingen helt faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer.Men her er et par tommelfinger-regler.Kurven er god, når man skal vise, hvorledes det samme tal ændrer sig over tid.Søjle- og cirkeldiagrammer er gode, når man vil vise forskellige tal på samme tidspunkt.Pindediagrammet giver et godt billede af, hvor store tallene er i forhold til hinanden.Cirkeldiagrammet giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele.Statistik Side 80

Matematik på AVUEksempler til niveau GGrupperede observationerHvis man stiller et spørgsmål, hvor der er mange mulige svar, så må man samle svarerne i”grupper”. Det kaldes intervaller.Eksempel på opgavePå et VUC-hold bliver kursisterne spurgt om, hvor langt (helt antal km) de har til VUC.Der er 18 kursister.Svarene er: 10, 1, 18, 6, 14, 4, 22, 3, 19, 8, 13, 4, 1, 10, 0, 2 4, 1Grupper svarene i intervallerne 0 - 4 km, 5 - 9 km o.s.v.Lav en tabel over hyppighed og frekvens.Lav et diagram over frekvensfordelingen.Tabellen laves på præcis samme måde som tidligere vist.Først tæller man op, hvor mange der har svaret 0, 1, 2, 3 eller 4 km.Så tæller man op, hvor mange der har svaret 5, 6, 7, 8 eller 9 km. Osv.Tabellen ser således ud:Antal km 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 - 24 I altHyppighed 8 2 5 2 1 18Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100%Diagrammet kan se således ud:50%40%Frekvens30%20%10%0%20 - 2415 - 1910 - 145 -90 - 4Antal kmStatistik Side 81

Matematik på AVUEksempler til niveau GTabellen og diagrammet på forrige side ser ud, som de typisk vil gøre det i en avis eller på TV.Men i matematik bruges ofte en speciel måde at skrive intervaller på.Man bruger enten firkantede parenteser eller større end- og mindre end-tegn.Her er nogle eksempler:Lukket interval Åbent interval Halvåbent interval Halvåbent interval[0 ; 5] ] 0 ; 5[ [0 ; 5[ ] 0 ; 5]0 ≤ x ≤ 5 0 < x < 5 0 ≤ x < 5 0 < x ≤ 50 5 0 5 0 5 0 50 - 51 - 40 - 41 - 5eller 0,0 - 5,0eller 0,1 - 4,9eller 0,0 - 4,9eller 0,1 - 5,0eller 0,00 - 5,00eller 0,01 - 4,99eller 0,00 - 4,99eller 0,01 - 5,00eller….eller….eller….eller….Med firkantede parenteser kan hyppigheds- og frekvenstabellen skrives således:Antal km [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ I altHyppighed 8 2 5 2 1 18Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100%Diagrammer for grupperede observationer laves nogle gange således. Det kaldes et histogram:50%40%30%20%10%0%0 5 10 15 20 25I et histogram, er det i virkeligheden arealet på diagrammet, der er et mål for, hvor mange procentder er i hvert interval. Hvis et interval er bredere end de andre, skal søjlen over intervallet væreforholdsvis lavere, men det er lidt kompliceret. Du kan evt. læse mere andre steder.Statistik Side 82

Matematik på AVUEksempler til niveau GFunktionerIntroduktion til grafer og koordinatsystemer .............................. 84Lineære funktioner ...................................................................... 87Andre funktioner ......................................................................... 91Funktioner Side 83

Matematik på AVUEksempler til niveau GIntroduktion til grafer og koordinatsystemerEksempel på opgaveEt supermarked sælger kartofler for 2 kr. pr. kg.Lav en graf i et koordinatsystem.Billige kartoflerKun 2 kr. pr. kg- Vej selv af -Først beregnes nogle priser:- 1 kg kartofler koster 2 ⋅1= 2 kr.- 2 kg kartofler koster 2 ⋅ 2 = 4 kr.- og så videre…..og 0 kg kartofler koster naturligvis 0 kr.Man kan lave en tabel som denne:Antal kg kartofler 0 1 2 3 4 5Pris i kr. 0 2 4 6 8 10Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder:Pris i kr1098765432102,5 kg koster 5 kr0 1 2 3 4 5Antal kg kartoflerPrikkerne på tegningen svarer til tal-parrenei tabellen.Men man behøver ikke at købe et heltantal kg kartofler. Det viser den skrå streggennem prikkerne. Man kan f.eks. se,at 2,5 kg kartofler koster 5 kr.Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system.Prikkerne kaldes punkter.Den skrå streg kaldes en graf.Man behøver ikke at beregne alle tal i sin tabel enkeltvis. Hvis man bruger et regneark,kan man lave en formel, der beregner det første tal. Derefter kan man kopiere formlen og fåregnearket til at beregne resten af tallene. Man kan også få regnearket til at lave grafen.Funktioner Side 84

Matematik på AVUEksempler til niveau GEt koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse.Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse.Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse.Herunder er vist to koordinatsystemer.I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter.Det ene punkt ligger lige over 1-tallet på x-aksenog lige ud for 2-tallet på y-aksen.Derfor hedder punktet (1,2).Tallene 1 og 2 kaldes punktets koordinater.Det andet punkt har koordinaterne 3 og 4.Derfor hedder punktet (3,4).Tallet 3 kaldes x-koordinat eller første-koordinat.Tallet 4 kaldes y-koordinat eller anden-koordinat.Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (2,0)543210(3, 4)(1, 2)(2, 0)0 1 2 3 4 5I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer.Den skrå graf går igennem alle de punkter,hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens.For eksempel (0,0) og (1,1).Den vandrette graf går igennem alle de punkter,hvor y-koordinaten er 3,5.For eksempel (0 ; 3,5) og (1 ; 3,5).Læg mærke til at der bruges et semikolon (;),når der er komma (,) i koordinaterne5432100 1 2 3 4 5Funktioner Side 85

Matematik på AVUEksempler til niveau GI koordinat-systemerne på forrige side går begge tal-akser til 5, men tal-akserne kan indrettespå mange andre måder, og akserne kan godt være forskellige. Her er et par eksempler:10080601,00,80,6(3 ; 0,5)40(70, 30)0,4200,200 20 40 60 80 1000,00 2 4 6 8 10Nogle gange forlænger man tal-akserne bagud og nedad for at få de negative tal med.Det er vist herunder:54(-3, 2)3210-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1(-2, -4)-2-3-4-5(3, -3)Funktioner Side 86

Matematik på AVUEksempler til niveau GLineære funktionerEn funktion er en sammenhæng mellem to talstørrelser.Tallene kan variere, men de afhænger af hinanden.Her er et par eksempler:Prisen på en taxa-tur afhænger normalt af, hvor mange km man kører.En taxa-tur kan være både være billig og dyr. Og den kan både være kort og lang.Men de to tal kan ikke variere på må og få. Prisen afhænger af turens længde.Prisen er en funktion af antal km.Prisen for at sende et brev afhænger normalt af, hvor mange gram brevet vejer.Prisen (portoen) er en funktion af brevets vægt.En funktion kan beskrives ved hjælp af:- en tabel- en graf i et koordinatsystem- en funktionsforskrift (et regneudtryk, en formel) - kaldes ofte blot funktionGrafen for en funktion er ofte en ret linie. Så kaldes funktionen en lineær funktion.Eksempel på opgaveTre biludlejnings-firmaer tager forskellige priser,når man skal leje en bil i en dag.Sammenlign priserne ved at:- lave tabeller- tegne grafer i et koordinatsystem- opstille funktionerFørst udregnes prisen for nogle forskellige antal km hosAndersen Biler:- ved 100 km bliver prisen: 2 ⋅ 100 + 450 = 200 + 450 = 650 kr.- ved 200 km bliver prisen: 2 ⋅ 200 + 450 = 400 + 450 = 850 kr.- og så videre…..Andersen Biler2 kr. pr. km450 kr. i fast afgiftByens Biludlejning3,50 kr. pr. kmIngen fast afgiftCity-Biler1.500 kr. pr. daguanset antal km.Tallene skrives ind i en tabel. Det letteste er at lave tabellen i et regneark.Så behøver man kun at beregne prisen for det første antal km.Derefter kan man kopiere sin beregning.Funktioner Side 87

Matematik på AVUEksempler til niveau GTabellen ser således ud:Antal km på en dag: 0 100 200 300 400 500 600Pris hos Andersen Biler: 450 650 850 1.050 1.250 1.450 1.650Det er måske ikke så realistisk med 0 km, men tallet er taget med for ”systemets skyld”.Derefter udregnes priser hos Byens Biludlejning:- ved 100 km, bliver prisen: 3 ,50 ⋅ 100 = 350 kr.- ved 200 km, bliver prisen: 3 ,50 ⋅ 200 = 700 kr.- og så videre…..Hos City-Biler er prisen 1.500 kr. uanset antal km. Nu kan tabellen udviddes:Antal km på en dag: 0 100 200 300 400 500 600Pris hos Andersen Biler: 450 650 850 1.050 1.250 1.450 1.650Pris hos Byens Biludlejning: 0 350 700 1.050 1.400 1.750 2.100Pris hos City-Biler: 1.500 1.500 1.500 1.500 1.500 1.500 1.500Nu kan du lave disse grafer ud fra tallene i tabellen. Hvis du har lavet din tabel i et regneark,kan du også få regnearket til at tegne graferne ud fra tabellen.20001800160014001200City-BilerPris i kr.1000800Andersen BilerByens Biler60040020000 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600Antal kmFunktioner Side 88

Matematik på AVUEksempler til niveau GGraferne viser bl.a. at:- at Byens Biler er billigst, hvis man kører under 300 km på en dag.- at Byens Biler og Andersen Biler er lige dyre, hvis man kører præcis 300 km på en dag.- at Andersen Biler er billigst, hvis man kører mellem 300 og 525 km på en dag.- at Andersen Biler og City-Biler er lige dyre, hvis man kører præcis 525 km på en dag.- at City-Film er billigst, hvis man kører over 525 km på en dag.Alt efter hvor langt man skal køre, kan man så vælge det ene eller det andet firma.Nu kaldes antallet af km på en dag for x, ogprisen kaldes for y.y er en funktion af x, og y kaldes forfunktionsværdien af x.Sammenhængen mellem x og y kan beskrivesmed disse funktions-forskrifter:FirmaFunktionAndersen Biler y = 2 ⋅ x + 450Byens Biludlejningy = 3,50 ⋅ xCity-Biler y = 1. 500Alle tre funktioner kaldes lineære funktioner, fordi deres grafer bliver rette linier.Lineære funktioner kan generelt skrives på formen:y = a ⋅ x + bI funktionen y = 2 ⋅ x + 450er a = 2 og b = 450.I funktioneny = 3,50 ⋅ x er a = 3,50 og b = 0. Men man skriver ikke nullet.I funktionen y = 1. 500 er a = 0 og b = 1.500. Men man skriver ikke 0·x.Tallet a fortæller, hvor meget grafen hælder. Det kaldes stigningstal eller hældningskoefficient.Hvis a er lille, er grafen flad. Hvis a er stor, er grafen stejl.Hvis a er negativ, så hælder grafen nedad.Hvis a = 0 er grafen vandret.Tallet b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Der hvor grafen ”starter”.Hvis b = 0, så funktionen kan skrives på formen y = a ⋅ x , er x og y ligefrem proportionale.De vokser i takt. Når x bliver fordoblet, bliver y også fordoblet.Alle tre funktioner er lineære, men det er kun hos Byens Biler, at prisen er ligefrem proportionalmed antallet af km.Hvis to funktions-grafers skæringspunkt er svært at aflæse, kan det beregnes.Man kan fx beregne, hvor grafen for Andersen Biler og grafen for Byens Bilerskærer hinanden ved at løse ligningen:2 ⋅ x + 450 = 3,50 ⋅ xMan finder skæringspunktets x-værdi, når man sætter funktionernes højre-sider lig med hinanden.Kontroller selv, at man får x = 300. Det betyder, at priserne bliver ens ved 300 km.Funktioner Side 89

Matematik på AVUEksempler til niveau GDet er ofte bogstaverne x og y, der indgår i funktions-forskrifter,men andre bogstaver kan bruges også.Funktionerne kan selv have bogstav-navne.Hvis funktionen hedder f, kaldes funktionsværdien f(x) i stedet for y. Man siger ”f af x”.Eksempel på opgaveTegn i et koordinatsystem grafen for disse funktioner:f(x) = 0,5 ⋅ x + 4g(x) = 2 ⋅ x + 1Først beregnes en række sammenhængende værdier af x og f(x).- hvis x = 0: f(x) = 0,5 ⋅ 0 + 4 = 0 + 4 = 410- hvis x = 1: f(x) = 0,5 ⋅1+4 = 0,5 + 4 = 4,5- hvis x = 2: f(x) = 0,5 ⋅ 2 + 4 = 1+4 = 5og så videre. Tallene sættes ind i en tabel:8x 0 1 2 3 4f(x) 4 4,5 5 5,5 6Derefter laves en tilsvarende tabel for funktionen g.Regn selv efter:x 0 1 2 3 4g(x) 1 3 5 7 9Til sidst tegnes graferne i et koordinatsystem.Læg mærke til, at:- grafen for f går 1 hen og 0,5 op- grafen for g går 1 hen og 2 op- grafen for f skærer y-aksen i 4- grafen for g skærer y-aksen i 16y = 0,5x+4Grafen4går 1 henog 0,5 op.y = 2x+12 Grafengår 1 henog 2 op.0-2 0 2 4 6-2Mange funktioner, beskriver virkelige (eller realistiske) ting. Som i eksemplet med bil-priserne.Andre funktioner er ren ”tal-gymnastik” som eksemplet herover.Ofte giver det kun mening at kikke på de positive tal. Som i eksemplet med bil-priserne.Nogle gange tager man negative tal med. Som på graferne herover.Nogle computerprogrammer, som fx Geogebra, kan tegne grafer for funktioner uden,at man først skal lave en tabel. Man behøver kun at skrive funktionsforskriften. Men i starten,når man arbejder med funktioner, giver det en bedre forståelse, hvis man også laver en tabel.Funktioner Side 90

Matematik på AVUEksempler til niveau GAndre funktionerMange af de funktioner, som du møder, er lineære funktioner.Men du kan også støde på funktioner, hvis grafer ikke er rette linier.Her er et par eksempler:Eksempel på opgaveEt skur skal være firkantet (et rektangel eller et kvadrat).Arealet skal være 12 m 2 .- Lav en tabel og en graf over mulige mål.- Opstil også en funktionDen anden side(bredde)Den ene side(længde)12 m 2Først udregnes forskellige mulige kombinationer af sidelængder:12- hvis den ene side er 6 m, så bliver den anden side = 2 m6- hvis den ene side er 5 m, så bliver den anden side 2, 4 5og så videre. Tallene samles i en tabel (nogle af tallene er afrundede):Den ene side i m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Den anden side i meter 12 6 4 3 2,4 2 1,7 1,5 1,3 1,2 1,1 1I virkeligheden vil man næppe lave et skur,hvor den ene side er 1 m og den anden sideer 12 meter, men muligheden er medfor ”systemets skyld”.Tallene i tabellen kan vises på grafen til højre.Grafen er ikke en ret linie men en blød bue.12Man kan opstille denne funktion: y = ,xhvor x er den ene side, og y er den anden side.Læg mærke til at graf og tabel er ”symmetriske”.Når er x = 3 så er y = 4, og omvendt når x = 4, såer y = 3.Man siger, at x og y er omvendt proportionale,fordi y bliver halveret, når x bliver fordoblet.1510500 5 10 15Funktioner Side 91

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgaveTegn en graf for funktionen f(x) = x − 6x + 8 .Start med at udfylde en tabel som denne:x 0 1 2 3 4 5 6f(x)2Først beregnes de sammenhængende værdier af x og f(x).- hvis x = 0:2f(x) = 0 − 6 ⋅ 0 + 8 = 0 − 0 + 8 = 8- hvis x = 1:2f(x) = 1 − 6 ⋅1+8 = 1−6 + 8 = 3- hvis x = 2:2f(x) = 2 − 6 ⋅ 2 + 8 = 4 −12+ 8 = 0og så videre. Tabellen ser således ud:x 0 1 2 3 4 5 6f(x) 8 3 0 -1 0 3 8Grafen bliver igen en blød bue men af en anden type end før.1086420-2 0 2 4 6 8 10-2Funktioner Side 92

Matematik på AVUEksempler til niveau GSandsynlighed og kombinatorikSimpel sandsynlighed .................................................................. 94Kombinatorik .............................................................................. 95Sandsynlighed og kombinatorik .................................................. 97Kombinatorik og kugletrækning ................................................. 97Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 93

Matematik på AVUEksempler til niveau GSandsynlighedsregning og kombinatorik er to matematik-områder, som ofte hæftes sammen.Det er fordi, at kombinatorik kan anvendes som hjælpemiddel i sandsynlighedsregning.Men man kan dog:- både arbejde med sandsynlighedsregning uden brug af kombinatorik.Det kaldes herunder for simpel sandsynlighed.- og bruge kombinatorik til andet end sandsynlighedsregning.Simpel sandsynlighedSandsynlighed beregnes på denne måde: Sandsynlighed =Antal gunstige udfaldAntal mulige udfaldEksempler på opgaverDu kaster med en almindelig terning.- hvad er sandsynligheden forat få en 6’er?- hvad er sandsynligheden forat få et lige tal?Terningen kan lande på 6 måder,Der er stadig 6 mulige udfald.så der er 6 mulige udfald.Nu er 3 af udfaldene (2, 4 og 6) gunstige.Men kun et 1 af udfaldene (6’er) er gunstigt. Man får:Man får:3 11 = som kan omregnes til 0 ,5 = 50 %som kan omregnes til 0 ,17 = 17 %6 26Eksempel på opgaveHvad er sandsynligheden for, at en bus erforsinket over 5 min?Man får:16=29 + 42 + 161687= 0,18 = 18%En optælling viser at:- 29 busser kørte præcis til tiden- 42 busser var forsinket 1 - 5 min.- 16 busser var forsinket over 5 min.Eksemplerne med terningen kaldes teoretisk sandsynlighed.Eksemplet med busserne kaldes statistisk sandsynlighed.Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 94

Matematik på AVUEksempler til niveau GKombinatorikEksempel på opgaveDu kaster med en sort og en hvid terning.På hvor mange måder (antal kombinationsmuligheder) kan terningerne lande?Begge terninger kan lande på 6 måder.Man får:6 ⋅ 6 = 62 = 36 kombinationsmuligheder.Mulighederne er vist som 36 felter i skemaet til højre.Pilen peger på kombinationen af en sort 3’er og en hvid 2’er.Der er også 36 kombinationsmuligheder, når terningerne er ens.Slår man med to ens terninger rigtig mange gange, vil man fåkombinationen en 5’er og en 6’er (eller en 6’er og en 5’er)dobbelt så ofte som kombinationen to 6’ere.Eksempel på opgavePå en restaurant kan man frit sammensætteen 3 retters-menu ud fra det viste menu-kort.Hvor mange kombinationsmuligheder er der?ForretSalatSuppeHovedretBøfStegPizzaLasagneDessertIsKageFrugtMan får:2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24 kombinationsmuligheder.Mulighederne er vist på tegningen til højre.Tegningen kaldes et tælletræ. Den viser, at man:- først vælger mellem 2 forretter- derefter vælger mellem 4 hovedretterSuppeBøfStegPizzaLasagneIsKageFrugt- til sidst vælger mellem 3 desserterHver ”grenspids” svarer til en kombinationsmulighed,men der er ikke plads til at skrive tekst over alt.SalatDen øverste pil peger på: Suppe - lasagne - kageDen nederste pil peger på: Salat - steg - frugtTælletræer er gode til at vise kombinatorik, mende er svære at tegne. De bliver let for store.Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 95

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksemplerne på denne side ligner hinanden to og to, men er alligevel forskellige.Hold hovedet koldt og tænk grundigt over forskellene.Eksempler på opgaverEn alarm har de viste tryk-knapper.For at slå alarmen fra skal man indtasteen kode på 4 bogstaver.- Hvor mange kombinationsmulighederer der, hvis hvert bogstav måbruges flere gange ?F.eks. DCAC eller BBCB eller FEAB.Det første bogstav kan vælges på 6 måder,det andet bogstav kan vælges på 6 måder,og så videre…..Man får:6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 =46=1 .296 kombinationsmuligheder- Hvor mange kombinationsmulighederer der, hvis hvert bogstav kun måbruges en gang?F.eks. FEAB.Det første bogstav kan vælges på 6 måder, mendet andet bogstav kan kun vælges på 5 måder,da der allerede er valgt et bogstav.Det tredje bogstav kan vælges på 4 måder ogdet fjerde bogstav på 3 måder.Man får:6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 kombinationsmulighederEksempler på opgaverPå et VUC-hold med disse 12 kursisterskal der vælges 2 personertil skolens kursistråd.- Hvor mange kombinationsmulighederer der, når der:- først vælges et medlem til rådet- derefter vælges en suppleant?Medlemmet kan vælges på 12 måder.Suppleanten kan kun vælges på 11 måder,da der allerede er valgt en person.Man får:12 ⋅ 11 = 132 kombinationsmulighederF.eks. Ida som medlem og Bo som suppleant,eller Bo som medlem og Ida som suppleant,eller…..Anna Carl Ida Kaj Mie PiaBo Else Jens Lis Ole Ulf- Hvor mange kombinationsmulighederer der, når begge personer skalvære medlemmer af rådet?Det første medlem kan vælges på 12 måder.Det andet medlem kan kun vælges på 11 måder,da der allerede er valgt en person.Men man får kun:12 ⋅11= 66 kombinationsmuligheder2fordi mulighederne er parvis ens.Der er lige meget om Ida eller Bo vælges først.Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 96

Matematik på AVUEksempler til niveau GSandsynlighed og kombinatorikEksempel på opgaveVed en fodboldturnering kan mangætte på resultatet af nogle kampe.Man skal udfylde den viste tipskupon.Hvad er sandsynligheden for at gætte alleresultaterne rigtigt?Man skal først finde antal kombinationsmuligheder.Den første kamp kan ende på 3 måder(sejr til Gåsedal, uafgjort eller sejr til Andebjerg).Den næste kamp kan også ende på 3 måder o.s.v.Der er i alt 3⋅ 3⋅3⋅3⋅3 = 35 = 243 muligheder,fordi der er 5 kampe.Sandsynligheden for at ramme den rigtige er:1= 0,004 = 0,4%243Tælletræet til højre viser ideen i udregningen, mendet er næsten umuligt at tegne træet helt færdigt1X2Kombinatorik og kugletrækningAlle kombinatorik-opgaver kan "oversættes" til,at man et antal gange skal trække en kuglefra en pose med et antal kugler.(Men det kan være svært at oversætte)Kombinatorik-opgaver handler om situationer, hvor der et antal gange skal vælges mellemet antal valgmuligheder.Hvis man udfylder en almindelig tipskupon, skal man 13 gange (ud for hver kamp) vælgemellem 3 valgmuligheder (1, X eller 2). Det svarer til, at man 13 gange trækker en kuglefra en pose med 3 kugler.Hvis man kaster 2 terninger, skal terningerne 2 gange "vælge" mellem 6 valgmuligheder.Det svarer til, at man 2 gange trækker en kugle fra en pose med 6 kugler.På næste side er en oversigt over forskellige "kugle-træknings-modeller".Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 97

Matematik på AVUEksempler til niveau GEksempel på opgave:På hvor mange måder kan man sammensætteen 3-retters menu ud fra et menukort med3 forretter, 4 hovedretter og 2 desserter?Opgaven svarer til, at man har 3 forskellige poser,med forskellige antal kugler. Der er:3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 kombinationsmulighederPoserne er forskellige:Eksempel på opgave:Hvor mange kombinationsmuligheder er der på encykellås med 6 trykknapper, der kan stå i 3 positioner?Opgaven svarer til, at man har 6 ens poser,med 3 kugler i hver pose, eller at man brugerden samme pose 6 gange og lægger den truknekugle tilbage efter hver trækning. Der er:3⋅ 3⋅.... ⋅3= 36 = 729 kombinationsmulighederPosen kan genbruges.Kuglerne lægges tilbage.Eksempel på opgave:I en bestyrelse med 5 medlemmer skal der vælgesen formand, en næstformand og en kasserer.På hvor mange måder kan det gøres?Opgaven svarer til, at man 3 gange fra den sammepose trækker en kugle. Man starter med 5 kugler iposen, og der må ikke lægges tilbage. Der er:5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 kombinationsmuligheder.Posen kan genbruges.Kuglerne lægges ikke tilbage.Rækkefølgen har betydning.Posen genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen er ligegyldig.Eksempel på opgave:På hvor mange måder, kan man udaf en bestyrelse på 5 medlemmer finde2 personer til en arbejdsgruppe?5 ⋅ 4Der er = 10 kombinationsmuligheder.2Man kunne tro, at der var5 ⋅ 4 = 20 muligheder, men mulighederneer parvis ens. (De samme 2 personerfundet i forskellig rækkefølge).Eksempel på opgave:På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på5 medlemmer finde en arbejdsgruppe på 3 personer?5 ⋅ 4 ⋅3Der er = 10 kombinationsmuligheder.3⋅2 ⋅1Hvis rækkefølgen havde haft betydning, var der5 ⋅ 4 ⋅3= 60 muligheder, men mulighederne kansamles i grupper af muligheder med de samme3 personer fundet i forskellige rækkefølger.Og 3 personer kan findes på 3 ⋅ 2 ⋅1= 6 måder.Kombinatorik og sandsynlighedsregning Side 98