Fascinationen ved knuder. (The fascination of knots)

Fascinationen ved knuderMatematikDen gordiske knude:»At lave en ikke-knudefra en forelagt knudemed besværingkræver et sværdtil beskæring.«Demonstreret afAlexander den Store.Af Vagn Lundsgaard HansenDet er en fascinerendeegenskab ved det 3-dimensionale rum,hvori vi lever, at det tilladerknuder. Tag et stykke snor, slåen knude på snoren, bind de toender sammen, og der opstår enmatematisk knude. Mere præcister en matematisk knude enlukket kurve i rummet udenselv-gennemskæringer; forforståelsens skyld må den gerneanskues som et snorestykkemed sammenbundne ender.Hvis den lukkede kurve kandeformeres over i en cirkeluden at skære den over i processen,kaldes den en trivielknude, eller en ikke-knude.En højrehåndet person, somslår en sædvanlig knude på etstykke snor før enderne bindessammen, frembringer en såkaldthøjrehåndet kløverbladsknude,mens en venstrehåndetperson frembringer en venstrehåndetkløverbladsknude.Begge de to kløverbladsknuderer ikke trivielle, og de kan ikkedeformeres over i hinanden;intuitive kendsgerninger som eroverraskende vanskelige at bevisematematisk. Da de tokløverbladsknuder samtidigtkan arrangeres som hinandensspejlbilleder, sådan at den enefremkommer fra den anden vedFigur 3. To snore med tre halve snoninger.Når enderne bindes sammenfremkommer en kløverbladsknude.Figur 1. En knude, der kan deformeres over i en cirkel uden at skære den overi processen, kaldes en triviel knude, eller en ikke-knude. Figuren viser toeksempler.Figur 2. Til højre ses den højrehåndede kløverbladsknude og til venstre denvenstrehåndede. Kløverbladsknuderne er anbragt, så man kan se, at de erhinandens spejlbilleder. Da de ikke kan deformeres over i hinanden, sigerman, at en kløverbladsknude er kiral.spejling i et plan, siger en matematiker,med et ord arvet frakrystallografien, at en kløverbladsknudeudviser håndethed,eller at den er kiral.Man kan frembringe enkløverbladsknude ved atsammenbinde de to ender i enfletning bestående af et par afsnore sammensnoet med trehalve snoninger.FletningerFra et system af tre snore kanman frembringe en sædvanlighårfletning ved at gentage enprocedure et antal gange, hvoriman først tager den første snorover den anden og så den trediesnor over den anden. Hvisman gentager denne proceduretre gange og dernæst sammenbinderenderne på den resulterendefletning, får man et systemaf tre sammenhængenderinge med den egenskab, atfjerner man en vilkårlig af detre ringe fra systemet, falder detfuldstændigt fra hinanden.Dette system af tre sammenhængenderinge kaldes enBorromean lænke. Det er netopdenne type af lænke, man møderi en såkaldt tre-i-en ring,som udsmykker mange fingre.Helt generelt kan en vilkårligknude eller lænke opnås ved atsammenbinde enderne på en12 Aktuel Naturvidenskab 2/2000

Figur 7. Skulpturen „Immortality“ afden engelske kunstner John Robinson.Gengivet med tilladelse af EditionLimitée.passende fletning.Det 3-dimensionale rum haren skjult symmetri, som giveranledning til begrebet spin forelementarpartikler i fysik. Fænomenetspin kan illustreresved en overraskende egenskabved fletninger, nemlig at mankan afsno en dobbelt snoningaf snore uden tilbagesnoning.Denne kendsgerning er knyttettil eksistensen af ikke-trivielleknuder i gruppen af rotationer irummet.Der er også andre fysiskeanvendelser af teorien for fletninger,eksempelvis i forbindelsemed topologiske kvantetal,og i fluid dynamik ved studietaf vortex ringe og af kaotiskdynamik.Figur 6. Armbånd fra Georg Jensen.Knuder og kunstKnuder kan findes til overflod iarabisk ornamentik og somdekorationer i keltiske kulturerog vikinge kulturer. Der findesfaktisk meget matematik ikunst og design.Randen på et Möbius bånd -et rektangulært bånd hvor manhar limet et par af modståendesider sammen efter først at havegivet båndet en halv snoning -er en ikke-knude. Möbius båndetbruges i et vidunderligtarmbånd lavet af firmaetgrundlagt af den danske sølvsmedGeorg Jensen.Kunstneren John Robinsonhar lavet en spændende skulpturaf et Möbius bånd udformetsom en kløverbladsknude.Han kalder sin skulptur Immortality.Man kan gennemløbebåndet igen og igen i enperiodisk bevægelse, men det ernødvendigt at gennemløbe detto gange for at komme tilbagetil udgangspositionen.Hvis man udformer enknude som et rør uden vinduerog går rundt inden i røret, erdet vanskeligt at afgøre, omrøret har en knude, eller om deter en ikke-knude. At være enknude, eller en ikke-knude, eren egenskab ved det omgivenderum til knuden. Man kan derforpakke en stor rummængdesammen i et rør med knuderuden at forandre den periodiskekarakter af det indre, som kanopleves i en ikke-knude, mensman på samme tid kan sørgefor, at røret er attraktivt setudefra.Et vigtigt forskningsområdeFascinationen ved knuder oglænker er gammel som menneskehedenselv, men studiet afDiracs strengproblemFigur 4. Sammenbindes enderne i en hårfletningmed tre basis fletninger, fremkommeren Borromean lænke.Figur 5. I de 6 små figurer vises det, hvordan man uden at dreje på flaskeåbnerenkan fjerne dobbeltsnoningen på systemet af elastiske (eller løsthængende)tråde i 1. ved at føre de elastiske tråde over og rundt om flaskeåbneren.Demonstrationen belyser begrebet ‘half-spin’ for elementarpartikler.Aktuel Naturvidenskab 2/2000 13

Figur 8. Knudeteori har for nylig fundet anvendelser i studiet af DNA-molekyler. Omkring 1986 påviste biokemikerneWasserman, Dungan og Cozzarelli, at bestemte enzymer fik visse DNA-molekyler til at danne knuder i form afden såkaldte stevedor knude. Elektronmikroskopi billedet (tv) er fremstillet i laboratoriet hos Nicholas Cozzarelli,Professor i Biokemi og Molekylær Biologi ved University of Berkeley. Til sammenligning vises stevedor knude (th).dem som matematiske objekterbegyndte først for alvor i etarbejde af den tyske matematikerJohann Listing 1847. Efterat den New Zealandske matematikerVaugn Jones omkring1985 opdagede en ny polynomiumsinvariant til at skelnemellem knudetyper, er studietaf knuder og lænker blevet etvigtigt matematisk forskningsområdemed et antal potentielleanvendelser i andre videnskaber,ikke mindst i biologi vedstudiet af proteiner og vira.Eksempelvis angriber vira langeDNA-molekyler i cellekernerneved at binde forskellige knuderpå dem. Den matematisketeori for knuder tillader os atidentificere signaturen af deforskellige typer af virus og kansåledes hjælpe ved bekæmpelsenaf dem.Man er nået langt, sidenAlexander den Store brugte sværdtil at løse den gordiske knude.Om forfatterenVagn Lundsgaard Hansener professor vedInstitut for MatematikDTU, Bygning 3032800 LyngbyTlf.: 4525 3039Fax: 4588 1399E-mail: V.L.Hansen@mat.dtu.dkYderligere læsningV.L. Hansen: Braids and Coverings- Selected topics. Cambridge Univ.Press, Cambridge (1989).J. C. Turner and P. van de Griend(Editors): History and Science o£Knots. World Scientific Ltd.,Singapore (1996).Hjemmesider:"Mathematics in Knots",University of Wales, Bangorhttp://www.bangor.ac.uk/ma/CPM/exhibit/welcome.htmEn side med mange links er:http://www.forum.swarthmore.edu/14 Aktuel Naturvidenskab 2/2000