Frit fald med luftmodstand - LMFK

Frit fald med luftmodstandJens Busck, Skive GymnasiumMatematikFysikIndledningFormålet er at udlede en matematisk model, der giver sammenhængenmellem faldhastighed og faldstrækning, for etfrit fald med luftmodstand. Den udledte sammenhæng mellemfaldhas tighed og faldstrækning eftervises eksperimentelt.Jeg kan ikke lade være med at bringe nedenstående og tankevækkendehistoriske spekulationer om luft og vind:Grækeren Aristoteles mente, som en del bekendt, at verdenbestod af luft, ild, vand og jord. Overraskende varhan af den opfattelse, at vind ikke var luft i bevægelse,og at det var bedre, at dem der fremførte den slags, holdtderes mund (Kilde 2).LuftmodstandskraftenDen anvendte model for luftmodstandskraften (F L) skrivessom følger:FL2= 1 r cvAv(1)2hvor ρ er luftens densitet, c ver genstandens enhedsløse formfaktor,A er genstandens tværsnitsareal vinkelret på bevægelsesretningen,v er farten.Farten er den relative fart mellem genstand og luft. Det kanvære en genstand, der bevæger sig gennem stillestående luft,eller en stillestående genstand i blæsende vind, eller en kombination.Terminalhastighed ved frit fald med luftmodstandTil senere test af den udledte model, lige et ord om terminalhastigheden.En frit faldende genstand vil på et tidspunkt ikkefalde hurtigere, fordi luftmodstandskraften bliver så stor, at denophæver den nedadrettede tyngdekraft (mg). Den resulterendekraft er i så fald nul ifølge Newtons love. Terminalhastigheden(v t) bestemmes ud fra følgende:1rc Av22v t =hvilket givervtmg= 2 rc Avmgmed den faldende genstands masse m, tyngdeaccelerationeng, og resten af symbolerne beskrevet ovenfor.Udledning af model for faldhastighed og faldstrækning ifrit fald med luftmodstandEnergi i frit fald med luftmodstandÆndringen i mekanisk energi skyldes ydre kræfters arbejde.(2)Luftmodstandskraften er en ydre kraft.∆E + ∆E + A = 0 (3)k p LHvor ΔE ker ændringen i bevægelsesenergien, ΔE per ændringeni potentiel energi, og A Ler luftmodstandskraftens arbejde.Omskrives energiligningen (3) fås1 2mv − mgx + F dx 02L ' =x∫0hvor m er den faldende genstands masse, farten v = v(x) afhængeraf faldstrækningen (x). g er tyngdeaccelerationen, ogF L= F L(x) er luftmodstandskraften. Det antages at genstandentil start er i hvile i positionen x = 0.Indføres luftmodstandskraften (1) i (3), fåsx1 2 12mv 02( x) − mgx + r c A v dx2v'∫' = ( x )(4)0hvor ρ er luftens densitet, c ver genstandens formfaktor, og Aer genstandens tværsnitsareal relativ til bevægelsesretningen.En ny konstant u defineres for at lette notationencvAu = ρmKonstanten u har enheden m –1 . ”Ud af det blå” introduceresen ny variabel2w( x) = v( x)hvorved udtrykket (4) skrivesw − 2gx + u w dx = 0( x)x'∫ ( x )0Den tilsvarende differentialligning skrivesdwdx− 2g+ uw( x ) = 0 ellerhvor w (0)= 0.'dwdx= 2 g − uw( x ) (5)Søges differentialligningen (5) i formelsamlingen for gymnasietsmatematik A–niveau, belønnes man med følgende'y = b − ay(6)der har løsningenyb −= + ce axaDifferentialligningerne (5) og (6), har samme form. Løsningentil (5) skrives30 LMFK-bladet 3/2013

FRIT FALD MED LUFTMODSTAND - BORDTENNISBOLD5Auto Fit for: Latest | Hastighed vv = (2*9,82*x)^0,5RMSE: 0 m/s4Hastighed v (m/s)3Manual Fit for: Latest | Hastighed vv = ((2*9,82/u)*(1-exp(-ux)))^(0,5)u: 0,2500210,0 0,5 1,0 1,5 2,0Faldstrækning x (m)gw( x) = ⎛ ce⎝ ⎜ 2 ⎞u⎟⎠+−uxhvor c er en konstant, der kan bestemmes ud fra startbetingelsenom, at hastigheden er nul (v 2 = w = 0) for x = 0, hvilket giver2g− = cuLøsningen skrives med kendte eller direkte målbare fysiskestørrelser−ux( )gw( x) = ⎛ e⎝ ⎜ 2 ⎞u⎟ 1−⎠Farten (v) ved frit fald med luftmodstand som funktion af faldstrækningen(x) kan nu skrives:FRIT FALD MED LUFTMODSTAND( )g −uxv( x)= ⎛ e⎝ ⎜ 2 ⎞cvAu⎟ 1 − hvor u = ρ (7)⎠mog ρ er luftens densitet, c ver genstandens enhedsløse formfaktor,A er genstandens tværsnitsareal vinkelret på faldstrækningenx, v er farten, g er tyngdeaccelerationen, og mer genstandens masse.Test af model – TerminalhastighedModellen (7) testes for, om den giver den asymptotisk korrekteterminalhastighed (2), når faldstrækningen x går mod uendelig:Sammenhæng mellem faldstrækning og faldhastighed ved fritfald med luftmodstand for en bordtennisbold: Diameter 3,75 cm,masse 2,5 g. Luftens densitet ved 15 °C er sat til 1,225 kg/m 3 .Formkonstanten for en kugle er sat til 0,47 (afhænger af Reynoldstal). Disse værdier giver en beregnet u–værdi på 0,25 m –1 .Terminalhastigheden v t= 8,86 m/s nås i teorien asymptotisk forfaldstrækningen gående mod uendelig, men 90 % af terminalhastighedennås efter 6,64 m.g mgvx→∞ = 2u= 2c A= v tρhvilket den gør.vTest af model – Negligerbar luftmodstandModellen (5) testes for, om den for små faldstrækninger x, medlille fart v, og lille luftmodstand, nærmer sig løsningen for konstantaccelereret bevægelse uden luftmodstand:vsmå x−ux( )g= ⎛ e⎝ ⎜ 2 ⎞u⎟ 1−⎠g≈ ⎛ ux gx⎝ ⎜ 2 ⎞u⎟( 1− ( 1−)) = 2 (8)⎠hvor der er benyttet en rækkeudvikling af eksponentialfunktionen(Kilde 4),ex ≈ 1 + x for x lilleDet passer som ”fod i hose”.LMFK-bladet 3/2013 31MatematikFysik