Besvarelse - Forside for harremoes.dk

MAT B GSKaugust 2009delprøven uden hjælpemidlerOpg 1For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionend(x) = −x + 12 0 ≤ x ≤ 12hvor x angiver den efterspurgte mængde og d(x) angiver den tilsvarende pris.Sammenhængen mellem udbud og pris for samme vare er bestemt ved funktionens(x) = 21 ·x + 6 0 ≤ x ≤ 12hvor x angiver den udbudte mængde og s(x) angiverden tilsvarende pris.Graferne for de to funktioner er vist på figuren.Ligevægtsprisen er prisen, hvor efterspørgsel ogudbud er lige store.a) Bestem ligevægtsprisen for den omtalte vareSvar : d(x) = s(x) −x + 12 = 21 ·x + 6 6 = 23 ·x x = 6 : 23 x = 4x = 4 d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 81412108642y(4 ;8 )f(x)=0.5*x+6efterspørgselSerie 1s(x) = 0.5*x + 6u dbu dd(x) = -x +12efterspørgsel2 4 6 8 10 12 14 16 18xOpg 2a) Løs ligningen x 2 + 3·x − 4 = 0Svar : koefficienter og diskriminant : a = 1; b = 3; c = −4 ; d = b 2 −4·a·c = 9 +16 =25x 2 + 3·x − 4 = 0 x =L = {−4;1}− b ±2ad x =− 3 ±225 x = −4 eller x = 1;Opg 3Funktionen f har forskriften f(x) = x 2 − x – 6 og grafen er indtegnet på bilag 1.a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i røringspunktet (1;−6) ogindtegn tangenten på bilag 1.y5Svar : Tangentens ligning i punktet (x 0 ,f(x 0 )) :f(x) = x 2 - x - 64y = f´(x 0 )·(x – x 0 ) + f(x 0 )32f´(x) = 2·x – 1; f´(1) = 2·1 – 1 = 1; f(1) = −61dvs. tangentens ligning :y = 1·(x – 1) – 6 y = x – 7-1f(x)=x^2-x-6Serie 1f(x)=x-7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7-2-3-4-5-6-7(1 ;-6 )y = x - 7x

Opg 4Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = 2x− 6a) Bestem definitionsmængde og nulpunkt for funktionen f.Svar : Kravet er at 2x – 6 ≥ 0 x ≥ 3 dvs. Dm(f) = [3;∞[f(x) = 0 2x – 6 = 0 x = 3f(x)=2Serie 1Serie 2Opg 5For trekant ABC kendes følgende størrelser :sin(B) = 0,6; a = 4 og c = 7a) Bestem arealet af trekant ABCSvar: T = 21 ·a·c·sin(B) = 21 ·4·7·0,6 = 8,4Ac = 7bCa = 4Bx

august 2009 delprøven med hjælpemidlerOpg 1y8G r a f 1På figuren ses graferne for funktionen f(x) og dens6afledte funktion f´(x). Graferne er angivet som Graf 1G r a f 2og Graf 2.4a) Gør rede for hvilken af graferne, der er graf for f(x)2og hvilken, der er graf for f´(x)Svar : Graf 2 er f(x) og Graf 1 er f´(x)-2Graf 2 er voksende for x ϵ ]−∞;−4] og i dette interval-4er Graf 1 over eller på x-aksen.-6Graf 2 er aftagende for x ϵ [−4;0] og i detteinterval er Graf 1under eller på x-aksen.Graf 2 er voksende for x ϵ [0;∞[ og i dette interval er Graf 1 over eller på x-aksen.Sætning : Hvis f´(x) > 0 (graf 1) for alle x ϵ ]a;b[ er f voksende i [a;b].Hvis f´(x) < 0 (graf 1) for alle x ϵ ]a;b[ er f aftagende i [a;b].f(x)=x^3/3+2*x^2-4f(x)=x^2+4*x-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6xOpg 2I tabellen herunder ses resultatet af en undersøgelse af 100 husstandes årligevandforbrug i m 3 .Årligt vandforbrug i m 3Intervalfrekvens]60;80] 0,04]80;100] 0,16]100;120] 0,20]120;140] 0,30]140;160] 0,24]160;180] 0,06a) Tegn sumkurven for fordelingenSvar : Grupperet observationssæt, da det er inddelt i intervaller. Sumkurven illustrerersummerede frekvenser.y1Se sumkurven til højre0.9F k = f 1 + f 2 +…+ f k ;F 1 = 0,04; F 2 = 0,20 ; F 3 = 0,40 ; 0.8F 4 = 0,70 ; F 5 = 0,94 ; F 6 = 1,000.70.60.50.40.30.2Serie 1Serie 2Serie 3Serie 4Serie 5Serie 6Serie 7Serie 8Serie 9Serie 10Serie 11Serie 120.120 40 60 80 100 120 140 160 180 200x

Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks.typeinterval, gennemsnit, fraktiler, kvartilafstand, variansb)Beskriv fordelingen af vandforbruget v.ha. 3 statistiske deskriptorerSvar : Lav et nyt detailleret skema med flere kolonner : Intervalfrekvens, summeretintervalfrekvens, Intervalmidtpunkt m i , Produkt m i·f i (for at beregne gennemsnit) ogprodukt (m i – µ) 2·f i (for at beregne varians og standardafvigelse)Årligtvandforbrug i m 3]x i−1 ;x i ]Intervalfrekvensf iF iSummeretIntervalfrekvensIntervalmidtpunktm iProduktm i·f iProdukt(m i – µ) 2·f i]60;80] 0,04 0,04 70 2,8 (70−124,4) 2·0,04]80;100] 0,16 0,20 90 14,4 (90−124,4) 2·0,16]100;120] 0,20 0,40 110 22,0 (110−124,4) 2·0,20]120;140] 0,30 0,70 130 39,0 (130−124,4) 2·0,30]140;160] 0,24 0,94 150 36,0 (150−124,4) 2·0,24]160;180] 0,06 1,00 170 10,2 (170−124,4) 2·0,06µ =∑ m i·f i =124,4Typeintervallet er]120;140] da det er hyppigst forekommendeGennemsnit/middeltal µ = ∑ m i·f i = m 1·f 1 + m 2·f 2 +…+ m 6·f 6 = 124,4Kvartilsæt :0,25-fraktilen i ]100;120] som er ca. 105 (aflæsning)0,50-fraktilen i ]120;140] som er ca. 126 (aflæsning)0,75-fraktilen i ]140;160] som er ca. 144 (aflæsning)Kvartilafstanden = 0,75-fraktilen − 0,25-fraktilen ≈ 144 – 105 ≈ 29Varians og standardafvigelse s 2 = ∑(m i – µ) 2·f i = 640,636 og s = 25,311 (mestbesværlige og tidskrævende at udregne)s 2 = ∑(m i – µ) 2·f i =640,636s = 25,311

Opg 3I forbindelse med et bilkøb låner Olsen 50.000 kr. i banken. Det aftales, at lånet skaltilbagebetales med 10 halvårlige ydelser, hvoraf de første 9 er på 6.000 kr., mens den10. ydelse bliver mindre. Renten fastsættes til 3% pr. halvår.Ved lånets oprettelse får Olsen en amortisationsplan af banken. På planen kan hanfølge lånets afvikling termin for termin. Første ydelse betales én termin efter lånetsoprettelse.I tabellen er vist begyndelsen af amortisationsplanen.Termin PrimorestgældYdelse Rentebeløb Afdrag Ultimorestgæld1 50.000,00 6.000 1.500,00 4.500,00 45.500,002 45.500,00 6.000 1.365,00 4.635,00 40.865,00345678910a) Forklar, hvordan tallene for 2. Termin i tabellen er udregnet.Svar : Ydelsen er y = 6.000 kr.primo restgæld 2. termin = 45.500,00 kr.Renten er 3% af 45.500 kr. = 1.365 kr.Afdrag = ydelse – renter = 4635 kr.Dvs. Ultimo restgæld 2. termin = 45.500 – 4635 = 40.865 kr.b) Bestem restgælden umiddelbart efter, at Olsen har betalt den 6. ydelse.Svar : Restgældformlen efter t terminer : R t = K t – A t = A 0·(1 + r) t − y·dvs. R 6 = 50.000·1,03 6 1.03^6−1− 6000· ≈ 20.892,76 kr.0.03( 1+r)^t−1r

Opg 4Virksomhed…produkterne Mini og Midi og forarbejdes i afdelingerne A og B.Afd. A : 1,5 time til forarbejdning af 1 stk. Mini og 3 timer 1 stk. MidiAfd. B : 1 time til forarbejdning af 1 stk. Mini og 1 time 1 stk. Midi.Begrænsninger : 24 timer pr uge i Afd. A og 11 timer pr. uge i Afd. B.Dækningsbidraget : 1000 kr. pr. stk. Mini og 1500 kr. pr. stk. Midi.Funktionen f(x,y) = a·x + b·y angiver det samlede dækningsbidrag (DB).a) Definér de to variable x og y og bestem en forskrift for funktionen f(x,y)Svar : x = antal stk. Mini og y = antal stk. MidiKriteriefunktionen f(x,y) = 1000·x + 1500·yb) Opstil uligheder, der beskriver begrænsningerne i produktionen, ogindtegn i et almindeligt koordinatsystem det område, der afgrænses afdisse uligheder.ySvar :11Skravering 110f(x)=-x+11A : 1,5·x + 3·y ≤ 24 y ≤ −0,5·x +8Skravering 29B : 1·x + 1·y ≤ 11 y ≤ −x + 11y = -x + 1 18 (0 ;8 )Beregne skæringspunkt :−0,5·x + 8 = −x + 11 0,5·x = 3 x = 6765(6 ;5 )Dvs. skæringspunktet er (6;5)43N(6 0 0 0 )y = -0 .5 *x + 82f(x)=-0.5*x+8f(x)=-2*x/3+41(1 1 ;0 )2 4 6 8 10 12 14 16xEn niveaulinje N(t) er defineret ved f(x,y) = tc) Indtegn niveaulinjen N(6000) svarende til f(x,y) = 6000 og bestem det antalMini og antal Midi, der skal produceres pr. uge for at opnå det størst muligedækningsbidrag.Svar : Niveaulinjen N(6000) er indtegnet på grafen.N(6000) : 1000·x + 1500·y = 6000 y = − 32 ·x + 4Ved parallelforskydning af niveaulinjer i pilens retning ses, at maksimum for f(x,y)fås i punktet (6;5) dvs. 6 stk. Mini og 5 stk. MidiAlternativt : Udregne kriteriefunktionens værdier i hjønepunkterne og konkludér :f(0;8) = 12.000 ; f (11;0) = 11.000 ; f(6;5) = 13.500 dvs. f(6;5) = max. DB

Opg 5I trekant ABC kendes følgende størrelser ∠ A = 35° ; b = 13 ; c = 10Serie 1a) Bestem længden af siden aSerie 2Svar : cosinusrelationen a 2 = b 2 + c 2 Serie 3− 2·b·c·cos(A) a 2 = 13 2 + 10 2 − 2·13·10·cos(35°) a 2 ≈ 56 a ≈ 56 ≈ 7,48A=35º ; b = 13 ; c = 10b) Bestem størrelsen af den stumpe vinkel BAn ven d cosin usrela tion ena^2+ c^2− b^256 + 100 −169Svar : cos(B) ==a2* a*c 2 *7.48*102 = b 2 + c 2 - 2*b*c*cos (A)≈ −0,0869 dvs. B ≈ 95°Bc =1 0af(x)=2+(-(x-2)^2+4)^0.5Ab =1 3CxOpg 6AFunktionen f har forskriften f(x) = x 3 − 6·x 2 +12·x – 4a) Gør rede for, at funktionen f er voksendeSvar : Når man skal bestemme monotoniforhold, skal man differentiere én gangdvs. finde f´(x) og undersøge fortegn for differentialkvotienten f´(x)f´(x) = 3·x 2 − 12·x + 12f´(x) = 0 3·x 2 − 12·x + 12 = 0 x =12 ±60 x = 2_______________________2___________________________fortegn for f´(x) + 0 +dvs. f er voksende i ]−∞;∞[NB! f´(x) = 3·x 2 − 12·x + 12 = 3·(x – 2) 2b) Gør rede for, at grafen for f har en vendetangent og bestem røringspunktet fordenneSvar : Når man skal bestemme krumningsforhold, skal man differentiere to gangedvs. finde f´´(x) og undersøge fortegn for den anden afledede f´´(x)f´´(x) = 6·x – 12f´´(x) = 0 6·x – 12 = 0 x = 2_______________________2_______________________Fortegn for f´´(x) − 0 +Der er fortegnsvariationen for f´´ omkring x = 2 (− 0 +), dvs.f har en vendetangent i (2;f(2)) = (2;4)Tangenten til grafen for f i punktet (1;3) har ligningen y = 3·x

c) Grafen for funktionen f har en anden tangent, der er parallel med y = 3·x.Bestem en ligning for denne tangent.Svar : Finde røringspunkt(er) (x 0 ,f(x 0 )) til tangent(er) med stigningstal 3.2 2f´(x 0 ) = 3·x 0 − 12·x 0 + 12 = 3 3·x 0 − 12·x 0 + 9 = 0 y2 8x 0 − 4·x 0 + 3 = 0 x 0 = 1 eller x 0 = 37Røringspunkt i (3;f(3)) = (3;5) ; f´(3) = 3y=3 *x6Tangentens ligning i (3;5) : y = f´(3)·(x – 3) + 5 5(3 ;5 )y = 3·(x – 3) + 5 y = 3·x − 4Opg 6BVirksomhed NYSTED producerer varen BETAOmkostninger : C(x) = 0,03·x 3 – 4,5·x 2 + 420·x + 12450 ; x ≥ 0Nysted kan afsætte hele sin produktion til prisen 519 kr. pr. stk.Omsætningen : R(x) = 519·x ; x ≥ 0 ved salg af x stk.Overskuddet defineres som funktionenO(x) = R(x) – C(x)a) Bestem det antal stk. BETA, der giverstørst overskudSvar :O(x) = R(x) – C(x) =519·x – (0,03·x 3 – 4,5·x 2 + 420·x + 12450) =−0,03·x 3 + 4,5·x 2 + 99·x − 12450O´(x) = R´(x) – C´(x) = −0,09·x 2 + 9·x + 99O´(x) = 0 −0,09·x 2 + 9·x + 99 = 0 x =− 9 ±−116.640.18=− 9 ± 10.8− 0.18x = antal stk. BETAx = −10 (dur ikke) eller x = 110_____________________0_________________110_____________Fortegn for O´(x) i.d + 0 −Dvs. maksimum for x = 110 dvs. 110 stk. BETA giver størst overskudGrænseomkostningerne, GROMK, defineres som de ekstra omkostninger,virksomheden får ved at producere 1 enhed mere. I praksis sættes GROMK vedmængden x lig med værdien af omkostningsfunktionens afledte funktion C´(x).4321f(x)=x^3-6*x^2+12*x-4f(x)=3*xf(x)=3*x-4Serie 1Serie 2-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-1100000900008000070000600005000040000300002000010000y-2-3-4(1 ;3 )f(x)Ry=3 *x-4f(x)=519*xf(x)=0.03*x^3-4.5*x^2+420*x+12450Serie 1-20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Cxx

Tilsvarende defineres grænseomkostningen GROMS…GROMS ved mængden xsættes derfor lig med værdien af omsætningsfunktionens afledte funktion R´(x).b) Bestem forskrifter for C´(x) og R´(x)Svar : C´(x) = 0,09·x 2 − 9·x + 420 ; R´(x) = 519I ligevægtssituationen er GROMK = GROMSc) Bestem ligevægtsmængden for BETA, hvor GROMK = GROMS ogsammenlign resultatet med svaret fra spørgsmål a).Svar : C´(x) = R´(x) 0,09·x 2 − 9·x + 420 = 519 0,09·x 2 − 9·x – 99 = 0 yf(x)=519x = −10 (dur ikke) eller x = 110900dvs. samme resultat som i spørgsmål a)800700G ROMK600500400300G ROMSR´(x)=5 1 9f(x)=0.09*x^2-9*x+420200100C ´(x)=0 ,0 9 *x^ 2 -9 *x+4 2 020 40 60 80 100 120 140 160 180 200x