Besvarelse - Forside for harremoes.dk
Besvarelse - Forside for harremoes.dk
Besvarelse - Forside for harremoes.dk
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
MAT B GSKaugust 2009delprøven uden hjælpemidlerOpg 1For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionend(x) = −x + 12 0 ≤ x ≤ 12hvor x angiver den efterspurgte mængde og d(x) angiver den tilsvarende pris.Sammenhængen mellem udbud og pris <strong>for</strong> samme vare er bestemt ved funktionens(x) = 21 ·x + 6 0 ≤ x ≤ 12hvor x angiver den udbudte mængde og s(x) angiverden tilsvarende pris.Graferne <strong>for</strong> de to funktioner er vist på figuren.Ligevægtsprisen er prisen, hvor efterspørgsel ogudbud er lige store.a) Bestem ligevægtsprisen <strong>for</strong> den omtalte vareSvar : d(x) = s(x) −x + 12 = 21 ·x + 6 6 = 23 ·x x = 6 : 23 x = 4x = 4 d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 81412108642y(4 ;8 )f(x)=0.5*x+6efterspørgselSerie 1s(x) = 0.5*x + 6u dbu dd(x) = -x +12efterspørgsel2 4 6 8 10 12 14 16 18xOpg 2a) Løs ligningen x 2 + 3·x − 4 = 0Svar : koefficienter og diskriminant : a = 1; b = 3; c = −4 ; d = b 2 −4·a·c = 9 +16 =25x 2 + 3·x − 4 = 0 x =L = {−4;1}− b ±2ad x =− 3 ±225 x = −4 eller x = 1;Opg 3Funktionen f har <strong>for</strong>skriften f(x) = x 2 − x – 6 og grafen er indtegnet på bilag 1.a) Bestem en ligning <strong>for</strong> tangenten til grafen <strong>for</strong> f i røringspunktet (1;−6) ogindtegn tangenten på bilag 1.y5Svar : Tangentens ligning i punktet (x 0 ,f(x 0 )) :f(x) = x 2 - x - 64y = f´(x 0 )·(x – x 0 ) + f(x 0 )32f´(x) = 2·x – 1; f´(1) = 2·1 – 1 = 1; f(1) = −61dvs. tangentens ligning :y = 1·(x – 1) – 6 y = x – 7-1f(x)=x^2-x-6Serie 1f(x)=x-7-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7-2-3-4-5-6-7(1 ;-6 )y = x - 7x
Opg 4Funktionen f er givet ved <strong>for</strong>skriften f(x) = 2x− 6a) Bestem definitionsmængde og nulpunkt <strong>for</strong> funktionen f.Svar : Kravet er at 2x – 6 ≥ 0 x ≥ 3 dvs. Dm(f) = [3;∞[f(x) = 0 2x – 6 = 0 x = 3f(x)=2Serie 1Serie 2Opg 5For trekant ABC kendes følgende størrelser :sin(B) = 0,6; a = 4 og c = 7a) Bestem arealet af trekant ABCSvar: T = 21 ·a·c·sin(B) = 21 ·4·7·0,6 = 8,4Ac = 7bCa = 4Bx
august 2009 delprøven med hjælpemidlerOpg 1y8G r a f 1På figuren ses graferne <strong>for</strong> funktionen f(x) og dens6afledte funktion f´(x). Graferne er angivet som Graf 1G r a f 2og Graf 2.4a) Gør rede <strong>for</strong> hvilken af graferne, der er graf <strong>for</strong> f(x)2og hvilken, der er graf <strong>for</strong> f´(x)Svar : Graf 2 er f(x) og Graf 1 er f´(x)-2Graf 2 er voksende <strong>for</strong> x ϵ ]−∞;−4] og i dette interval-4er Graf 1 over eller på x-aksen.-6Graf 2 er aftagende <strong>for</strong> x ϵ [−4;0] og i detteinterval er Graf 1under eller på x-aksen.Graf 2 er voksende <strong>for</strong> x ϵ [0;∞[ og i dette interval er Graf 1 over eller på x-aksen.Sætning : Hvis f´(x) > 0 (graf 1) <strong>for</strong> alle x ϵ ]a;b[ er f voksende i [a;b].Hvis f´(x) < 0 (graf 1) <strong>for</strong> alle x ϵ ]a;b[ er f aftagende i [a;b].f(x)=x^3/3+2*x^2-4f(x)=x^2+4*x-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6xOpg 2I tabellen herunder ses resultatet af en undersøgelse af 100 husstandes årligevand<strong>for</strong>brug i m 3 .Årligt vand<strong>for</strong>brug i m 3Intervalfrekvens]60;80] 0,04]80;100] 0,16]100;120] 0,20]120;140] 0,30]140;160] 0,24]160;180] 0,06a) Tegn sumkurven <strong>for</strong> <strong>for</strong>delingenSvar : Grupperet observationssæt, da det er inddelt i intervaller. Sumkurven illustrerersummerede frekvenser.y1Se sumkurven til højre0.9F k = f 1 + f 2 +…+ f k ;F 1 = 0,04; F 2 = 0,20 ; F 3 = 0,40 ; 0.8F 4 = 0,70 ; F 5 = 0,94 ; F 6 = 1,000.70.60.50.40.30.2Serie 1Serie 2Serie 3Serie 4Serie 5Serie 6Serie 7Serie 8Serie 9Serie 10Serie 11Serie 120.120 40 60 80 100 120 140 160 180 200x
Fordelingen kan beskrives ved <strong>for</strong>skellige statistiske deskriptorer, som f.eks.typeinterval, gennemsnit, fraktiler, kvartilafstand, variansb)Beskriv <strong>for</strong>delingen af vand<strong>for</strong>bruget v.ha. 3 statistiske deskriptorerSvar : Lav et nyt detailleret skema med flere kolonner : Intervalfrekvens, summeretintervalfrekvens, Intervalmidtpunkt m i , Produkt m i·f i (<strong>for</strong> at beregne gennemsnit) ogprodukt (m i – µ) 2·f i (<strong>for</strong> at beregne varians og standardafvigelse)Årligtvand<strong>for</strong>brug i m 3]x i−1 ;x i ]Intervalfrekvensf iF iSummeretIntervalfrekvensIntervalmidtpunktm iProduktm i·f iProdukt(m i – µ) 2·f i]60;80] 0,04 0,04 70 2,8 (70−124,4) 2·0,04]80;100] 0,16 0,20 90 14,4 (90−124,4) 2·0,16]100;120] 0,20 0,40 110 22,0 (110−124,4) 2·0,20]120;140] 0,30 0,70 130 39,0 (130−124,4) 2·0,30]140;160] 0,24 0,94 150 36,0 (150−124,4) 2·0,24]160;180] 0,06 1,00 170 10,2 (170−124,4) 2·0,06µ =∑ m i·f i =124,4Typeintervallet er]120;140] da det er hyppigst <strong>for</strong>ekommendeGennemsnit/middeltal µ = ∑ m i·f i = m 1·f 1 + m 2·f 2 +…+ m 6·f 6 = 124,4Kvartilsæt :0,25-fraktilen i ]100;120] som er ca. 105 (aflæsning)0,50-fraktilen i ]120;140] som er ca. 126 (aflæsning)0,75-fraktilen i ]140;160] som er ca. 144 (aflæsning)Kvartilafstanden = 0,75-fraktilen − 0,25-fraktilen ≈ 144 – 105 ≈ 29Varians og standardafvigelse s 2 = ∑(m i – µ) 2·f i = 640,636 og s = 25,311 (mestbesværlige og tidskrævende at udregne)s 2 = ∑(m i – µ) 2·f i =640,636s = 25,311
Opg 3I <strong>for</strong>bindelse med et bilkøb låner Olsen 50.000 kr. i banken. Det aftales, at lånet skaltilbagebetales med 10 halvårlige ydelser, hvoraf de første 9 er på 6.000 kr., mens den10. ydelse bliver mindre. Renten fastsættes til 3% pr. halvår.Ved lånets oprettelse får Olsen en amortisationsplan af banken. På planen kan hanfølge lånets afvikling termin <strong>for</strong> termin. Første ydelse betales én termin efter lånetsoprettelse.I tabellen er vist begyndelsen af amortisationsplanen.Termin PrimorestgældYdelse Rentebeløb Afdrag Ultimorestgæld1 50.000,00 6.000 1.500,00 4.500,00 45.500,002 45.500,00 6.000 1.365,00 4.635,00 40.865,00345678910a) Forklar, hvordan tallene <strong>for</strong> 2. Termin i tabellen er udregnet.Svar : Ydelsen er y = 6.000 kr.primo restgæld 2. termin = 45.500,00 kr.Renten er 3% af 45.500 kr. = 1.365 kr.Afdrag = ydelse – renter = 4635 kr.Dvs. Ultimo restgæld 2. termin = 45.500 – 4635 = 40.865 kr.b) Bestem restgælden umiddelbart efter, at Olsen har betalt den 6. ydelse.Svar : Restgæld<strong>for</strong>mlen efter t terminer : R t = K t – A t = A 0·(1 + r) t − y·dvs. R 6 = 50.000·1,03 6 1.03^6−1− 6000· ≈ 20.892,76 kr.0.03( 1+r)^t−1r
Opg 4Virksomhed…produkterne Mini og Midi og <strong>for</strong>arbejdes i afdelingerne A og B.Afd. A : 1,5 time til <strong>for</strong>arbejdning af 1 stk. Mini og 3 timer 1 stk. MidiAfd. B : 1 time til <strong>for</strong>arbejdning af 1 stk. Mini og 1 time 1 stk. Midi.Begrænsninger : 24 timer pr uge i Afd. A og 11 timer pr. uge i Afd. B.Dækningsbidraget : 1000 kr. pr. stk. Mini og 1500 kr. pr. stk. Midi.Funktionen f(x,y) = a·x + b·y angiver det samlede dækningsbidrag (DB).a) Definér de to variable x og y og bestem en <strong>for</strong>skrift <strong>for</strong> funktionen f(x,y)Svar : x = antal stk. Mini og y = antal stk. MidiKriteriefunktionen f(x,y) = 1000·x + 1500·yb) Opstil uligheder, der beskriver begrænsningerne i produktionen, ogindtegn i et almindeligt koordinatsystem det område, der afgrænses afdisse uligheder.ySvar :11Skravering 110f(x)=-x+11A : 1,5·x + 3·y ≤ 24 y ≤ −0,5·x +8Skravering 29B : 1·x + 1·y ≤ 11 y ≤ −x + 11y = -x + 1 18 (0 ;8 )Beregne skæringspunkt :−0,5·x + 8 = −x + 11 0,5·x = 3 x = 6765(6 ;5 )Dvs. skæringspunktet er (6;5)43N(6 0 0 0 )y = -0 .5 *x + 82f(x)=-0.5*x+8f(x)=-2*x/3+41(1 1 ;0 )2 4 6 8 10 12 14 16xEn niveaulinje N(t) er defineret ved f(x,y) = tc) Indtegn niveaulinjen N(6000) svarende til f(x,y) = 6000 og bestem det antalMini og antal Midi, der skal produceres pr. uge <strong>for</strong> at opnå det størst muligedækningsbidrag.Svar : Niveaulinjen N(6000) er indtegnet på grafen.N(6000) : 1000·x + 1500·y = 6000 y = − 32 ·x + 4Ved parallel<strong>for</strong>skydning af niveaulinjer i pilens retning ses, at maksimum <strong>for</strong> f(x,y)fås i punktet (6;5) dvs. 6 stk. Mini og 5 stk. MidiAlternativt : Udregne kriteriefunktionens værdier i hjønepunkterne og konkludér :f(0;8) = 12.000 ; f (11;0) = 11.000 ; f(6;5) = 13.500 dvs. f(6;5) = max. DB
Opg 5I trekant ABC kendes følgende størrelser ∠ A = 35° ; b = 13 ; c = 10Serie 1a) Bestem længden af siden aSerie 2Svar : cosinusrelationen a 2 = b 2 + c 2 Serie 3− 2·b·c·cos(A) a 2 = 13 2 + 10 2 − 2·13·10·cos(35°) a 2 ≈ 56 a ≈ 56 ≈ 7,48A=35º ; b = 13 ; c = 10b) Bestem størrelsen af den stumpe vinkel BAn ven d cosin usrela tion ena^2+ c^2− b^256 + 100 −169Svar : cos(B) ==a2* a*c 2 *7.48*102 = b 2 + c 2 - 2*b*c*cos (A)≈ −0,0869 dvs. B ≈ 95°Bc =1 0af(x)=2+(-(x-2)^2+4)^0.5Ab =1 3CxOpg 6AFunktionen f har <strong>for</strong>skriften f(x) = x 3 − 6·x 2 +12·x – 4a) Gør rede <strong>for</strong>, at funktionen f er voksendeSvar : Når man skal bestemme monotoni<strong>for</strong>hold, skal man differentiere én gangdvs. finde f´(x) og undersøge <strong>for</strong>tegn <strong>for</strong> differentialkvotienten f´(x)f´(x) = 3·x 2 − 12·x + 12f´(x) = 0 3·x 2 − 12·x + 12 = 0 x =12 ±60 x = 2_______________________2___________________________<strong>for</strong>tegn <strong>for</strong> f´(x) + 0 +dvs. f er voksende i ]−∞;∞[NB! f´(x) = 3·x 2 − 12·x + 12 = 3·(x – 2) 2b) Gør rede <strong>for</strong>, at grafen <strong>for</strong> f har en vendetangent og bestem røringspunktet <strong>for</strong>denneSvar : Når man skal bestemme krumnings<strong>for</strong>hold, skal man differentiere to gangedvs. finde f´´(x) og undersøge <strong>for</strong>tegn <strong>for</strong> den anden afledede f´´(x)f´´(x) = 6·x – 12f´´(x) = 0 6·x – 12 = 0 x = 2_______________________2_______________________Fortegn <strong>for</strong> f´´(x) − 0 +Der er <strong>for</strong>tegnsvariationen <strong>for</strong> f´´ omkring x = 2 (− 0 +), dvs.f har en vendetangent i (2;f(2)) = (2;4)Tangenten til grafen <strong>for</strong> f i punktet (1;3) har ligningen y = 3·x
c) Grafen <strong>for</strong> funktionen f har en anden tangent, der er parallel med y = 3·x.Bestem en ligning <strong>for</strong> denne tangent.Svar : Finde røringspunkt(er) (x 0 ,f(x 0 )) til tangent(er) med stigningstal 3.2 2f´(x 0 ) = 3·x 0 − 12·x 0 + 12 = 3 3·x 0 − 12·x 0 + 9 = 0 y2 8x 0 − 4·x 0 + 3 = 0 x 0 = 1 eller x 0 = 37Røringspunkt i (3;f(3)) = (3;5) ; f´(3) = 3y=3 *x6Tangentens ligning i (3;5) : y = f´(3)·(x – 3) + 5 5(3 ;5 )y = 3·(x – 3) + 5 y = 3·x − 4Opg 6BVirksomhed NYSTED producerer varen BETAOmkostninger : C(x) = 0,03·x 3 – 4,5·x 2 + 420·x + 12450 ; x ≥ 0Nysted kan afsætte hele sin produktion til prisen 519 kr. pr. stk.Omsætningen : R(x) = 519·x ; x ≥ 0 ved salg af x stk.Overskuddet defineres som funktionenO(x) = R(x) – C(x)a) Bestem det antal stk. BETA, der giverstørst overskudSvar :O(x) = R(x) – C(x) =519·x – (0,03·x 3 – 4,5·x 2 + 420·x + 12450) =−0,03·x 3 + 4,5·x 2 + 99·x − 12450O´(x) = R´(x) – C´(x) = −0,09·x 2 + 9·x + 99O´(x) = 0 −0,09·x 2 + 9·x + 99 = 0 x =− 9 ±−116.640.18=− 9 ± 10.8− 0.18x = antal stk. BETAx = −10 (dur ikke) eller x = 110_____________________0_________________110_____________Fortegn <strong>for</strong> O´(x) i.d + 0 −Dvs. maksimum <strong>for</strong> x = 110 dvs. 110 stk. BETA giver størst overskudGrænseomkostningerne, GROMK, defineres som de ekstra omkostninger,virksomheden får ved at producere 1 enhed mere. I praksis sættes GROMK vedmængden x lig med værdien af omkostningsfunktionens afledte funktion C´(x).4321f(x)=x^3-6*x^2+12*x-4f(x)=3*xf(x)=3*x-4Serie 1Serie 2-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-1100000900008000070000600005000040000300002000010000y-2-3-4(1 ;3 )f(x)Ry=3 *x-4f(x)=519*xf(x)=0.03*x^3-4.5*x^2+420*x+12450Serie 1-20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200Cxx
Tilsvarende defineres grænseomkostningen GROMS…GROMS ved mængden xsættes der<strong>for</strong> lig med værdien af omsætningsfunktionens afledte funktion R´(x).b) Bestem <strong>for</strong>skrifter <strong>for</strong> C´(x) og R´(x)Svar : C´(x) = 0,09·x 2 − 9·x + 420 ; R´(x) = 519I ligevægtssituationen er GROMK = GROMSc) Bestem ligevægtsmængden <strong>for</strong> BETA, hvor GROMK = GROMS ogsammenlign resultatet med svaret fra spørgsmål a).Svar : C´(x) = R´(x) 0,09·x 2 − 9·x + 420 = 519 0,09·x 2 − 9·x – 99 = 0 yf(x)=519x = −10 (dur ikke) eller x = 110900dvs. samme resultat som i spørgsmål a)800700G ROMK600500400300G ROMSR´(x)=5 1 9f(x)=0.09*x^2-9*x+420200100C ´(x)=0 ,0 9 *x^ 2 -9 *x+4 2 020 40 60 80 100 120 140 160 180 200x