Matematik 1 Semesteruge 7 (20. - 24. oktober 2008) side 1 Lineære ...

side 2 Semesteruge 7 (20. - 24. oktober 2008) Matematik 1Appetitvækker til næste ugeHvis der for en n × n matrix A findes et reelt tal λ og en vektor v med søjle-koordinatmatrixv ≠ 0, således at Av = λv, da kan man fx forstå λ som en egenfrekvens for en svingning, og vsom en egensvingningsform.Hjemmeopgavesæt 3 til aflevering på Lille Dag i semesteruge 8:Afleveres til klasselæreren på Lille Dag i semesteruge 8.1. I vektorrummet R 2 er der givet vektorerne a 1 = (8,−3) og a 2 = (5,−2). Endvidere er enlineær afbildning f : R 2 → R 2 fastlagt vedf (a 1 ) = 2a 1 − 3a 2 og f (a 2 ) = −a 1 + 2a 2 .(a) Gør rede for at (a 1 ,a 2 ) er en basis for R 2 .(b) Angiv afbildningsmatricen for f mht. basis (a 1 ,a 2 ).(c) Bestem afbildningsmatricen for f mht. den sædvanlige basis for R 2 .(d) Bestem kernen for f .(e) Skriv f (a 1 −2a 2 ) både som en linearkombination af a 1 og a 2 og som en linearkombinationaf de sædvanlige basisvektorer i R 2 .(f) Løs den lineære ligning f (x) = (−21,15).2. Lad U ⊆ R 2×2 være mængden af symmetriske 2 × 2 matricer, dvs. at 2 × 2 matricen Atilhører U hvis og kun hvis A = A T .(a) Vis at U er et underrum af R 2×2 .(b) Bestem en basis for U og angiv dimensionen af U .(c) En lineær afbildning f : R 2×2 → R har afbildningsmatricen F = [1 1 1 0] mht. densædvanlige basis i R 2×2 og den sædvanlige basis i R. Bestem kernen for f .(d) Angiv en lineær afbildning g : R 2×2 → R som har U som kerne.3. En afbildning f : P 3 (R) → R 2 er givet ved at(a) Vis at f er lineær.f (P(x)) = (P(1),P(−2)).(b) Find afbildningsmatricen for f med hensym til monomie-basis i P 3 (R) og den sædvanligebasis i R 2 .(c) Find dimensionen af kernen for f og dimensionen af billedrummet af f , og bestemen basis for kernen for f og en basis for billedrummet af f .(d) Vis at x − x 3 er en løsning til den lineære ligning f (P(x)) = (0,6), og bestem denfuldstændige løsning til den lineære ligning.