Matematik og databehandling 2012 Besvarelse af Modultest D

0161412101086x 542Matematik og databehandling 2012t10 122 4 6 8Besvarelse af Modultest DOpgave 1 Facit: x 2 +y 2 = 3Vi harf(x,y) = 2 ⇔ x2 +y 2 +5x 2 +y 2 +1 = 2 ⇔ x2 +y 2 +5 = 2(x 2 +y 2 +1) = 2x 2 +2y 2 +2 ⇔ x 2 +y 2 = 3,som dermed er ligningen for niveaukurven for f(x,y) hørende til niveauet 2.Opgave 2 Facit: z = 12+12(x−2)+4(y −3)Vi har f(x,y) = x 2 y, f x ′(x,y) = 2xy og f′ y (x,y) = x2 og dermed f(2,3) = 12, f x ′ (2,3) = 12 ogf y(2,3) ′ = 4, så ligningen for tangentplanen for f(x,y) i punktet (2,3) erz = f(2,3)+f x ′ (2,3)(x−2)+f′ y (2,3)(y −3) = 12+12(x−2)+4(y −3).Opgave 3 Facit: Lokalt minimumDa f x(x,y) ′ = 4x 3 −4x og f y(x,y) ′ = 2y−2 har vi f x(1,1) ′ = 0 og f y(1,1) ′ = 0, så (x,y) = (1,1) eret stationært punkt for f(x,y). Endvidere er f xx(x,y) ′′ = 12x 2 −4, f yy(x,y) ′ = 2 og f xy(x,y) ′ = 0,så r = f xx(1,1) ′′ = 8 > 0, t = f yy(1,1) ′ = 2 og s = f xy(1,1) ′ = 0. Dermed er rt−s 2 = 16 > 0, såvi slutter at f(x,y) har lokalt minimum i (x,y) = (1,1).Opgave 4 Facit: 12Vi harså∫∫A(x) =Ω∫ 31x[−y 2 dy = x 3= −y] x (13 − − x )= 213 x,∫x 6y 2 dxdy = A(x)dx =0∫ 6023 xdx = [ 13 x2] 60 = 12.1

Besvarelse af Modultest D Matematik og databehandling 2012Opgave 11Facit: A = 1 2og B = −1Vi harf(x,y) = Ax 2 +By, f ′ x(x,y) = 2Ax ogf ′ y(x,y) = B, såf(2,−1) = 4A−B, f ′ x(2,−1) = 4Aog f ′ y(2,−1) = B. Da tangentplanen for f(x,y) i punktet (2,−1) har ligningenslutter vi atz = f(2,−1)+f ′ x(2,−1)(x−2)+f ′ y(2,−1)(y +1) = 3+2(x−2)−(y +1)4A−B = 3, 4A = 2 og B = −1.De to sidste ligninger giver A = 1 2og B = −1 (og vi bemærker at ligningen 4A−B = 3 ligeledeser opfyldt).Opgave 12Facit: IngenVi har f y ′(x,y) = e3x2 +y , så f y ′ (x,y) ≠ 0 for alle punkter (x,y). Heraf slutter vi, at f(x,y) ikkehar nogle stationære punkter.(Det er altså ikke nødvendigt at udregne f x ′(x,y) som i øvrigt er = 6xe3x2 +y .)Opgave 13 Facit: C3: =E2. D2: =B2%*C2 eller =B2*C2/100. E2: =C2+D2Ultimosaldo i år 1 overføres til primosaldo i år 2 osv., så i celle C3 er skrevet formlen =E2, somderefter er kopieret til cellerne C4 til C11.Renten fås som renten i procent/100 ganget med primosaldo, så i celle D2 er skrevet formlen=B2%*C2 eller =B2*C2/100, som derefter er kopieret til cellerne D3 til D11.Ultimosaldo fås som primosaldo plus den tilskrevne rente, så i celle E2 er skrevet formlen =C2+D2,som derefter er kopieret til cellerne E3 til E11.Opgave 14Facit: =SUM(D2:D11)Det totale beløb tilskrevet i renter fås ved at addere beløbene i cellerne D2 til D11, så i celle D13er skrevet formlen =SUM(D2:D11).Opgave 15Facit: =C$5*$B6^2+$D$2Når cellereferencen C5 kopieres fra celle C6 til de øvrige celler, så skal 5-tallet fastholdes, idetx-værdierne står i 5 række. Derfor skal C5 rettes til C$5.Når cellereferencen B6 kopieres fra celle C6 til de øvrige celler, så skal “B” fastholdes, idet Y -værdierne står i kolonne B. Derfor skal B6 rettes til $B6.Når cellereferencen D2 kopieres fra celle C6 til de øvrige celler, så skal både “D” og 2-talletfastholdes, idet k-værdien står i celle D2. Derfor skal D2 rettes til $D$2.Samlet set skal formlen i celle C6 derfor rettes til =C$5*$B6^2+$D$2.3