Matematik og databehandling 2012 Miniprojekt C ...

Miniprojekt C Matematik og databehandling 2012(ii) Indsæt løsningen K = K(t) fundet i (c)(i) i differentialligningen (4). Bestem derefterden løsning L = L(t) til differentialligningen (4), som opfylder L(0) = 16. (Parameterenβ vil indgå i løsningsudtrykket.)(iii) Lad L = L(t) være løsningen fundet i (ii). Tegn vha. R graferne for L = L(t) for0 ≤ t ≤ 1 for parameterværdierne β = 2, 3 og 4 i samme koordinatsystem.Bestem grænseværdien lim t→∞ L(t) udtrykt ved β.Det oplyses, at der efter 0.4 dage er dannet 70 gram SCIENCE-12. Bestem β.[Vink: I får brug for R-funktionen uniroot.]Opgave 2 (25%)En sø tilføres i en periode et forurenende stof. Endvidere strømmer der rent vand ind i søen ogforurenet vand ud af søen. Til at starte med oplyses følgende:• Søens volumen på 3000 m 3 ændrer sig ikke i løbet af perioden.• Til et givet tidspunkt t (målt i måneder) tilføres det forurenende stof med en hastighed påf(t) gram pr. måned. Her er f(t) en indtil videre ukendt funktion.• Gennemstrømningen af vand i søen er på 600 m 3 pr. måned.Vi betegner mængden (målt i gram) af det forurenende stof i søen til tiden t med M = M(t).Oplysningerne ovenfor leder til differentialligningen(a) Det oplyses, atdMdt + 600 M = f(t). (6)3000f(t) = 0.1t+1.5.Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (6).(b) Ved periodens begyndelse er der 40 gram af stoffet i søen. Bestem et udtryk for mængdenM = M(t) af stoffet i søen til tiden t, idet det fortsat antages, at f(t) = 0.1t+1.5. Tegnvha. R grafen for M(t) for 0 ≤ t ≤ 30.I resten af Opgave 2 antages det, at der (pga. meget nedbør) strømmer mere vand ind i søen endud af søen. Mere specifikt oplyses følgende:• Søens volumen er 3000 m 3 ved periodens begyndelse.• Til et givet tidspunkt t (målt i måneder) tilføres det forurenende stof med en hastighed påf(t) gram pr. måned. Her er f(t) en indtil videre ukendt funktion.• Udstrømningen af (forurenet) vand fra søen er på 600 m 3 pr. måned.• Indstrømningen af rent vand til søen er på 750 m 3 pr. måned.Mængden (målt i gram) af det forurenende stof i søen til tiden t betegnes fortsat med M = M(t).(c) Bestem søens volumen som funktion af tiden t. Lav derefter som i Anvendelseseksempel C.8et kompartmentdiagram over ændringen i forureningen i søen, og benyt dette til at vise,at de nævnte antagelser leder til differentialligningen(d) Det antages, atdMdt + 4 M = f(t). (7)20+tf(t) = 0.18(20+t).Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen (7).3

Miniprojekt C Matematik og databehandling 2012Opgave 3 (10%)Vi betragter to populationer af hhv. gnuer og løver. Populationernes størrelser til tiden t betegneshhv. G(t) og L(t). Til beskrivelse af populationernes udvikling har man opstillet følgendesamhørende differentialligninger:hvor a > 0 er en parameter.⎧⎪⎨⎪⎩dGdt = 1.5G−aG2 −0.005GL(8)dLdt = −0.6L+0.0002GL,(a) En ligevægt for de samhørende differentialligninger (8) er en vektor ( G ∗L ∗ ), således at dekonstante funktioner G(t) = G ∗ og L(t) = L ∗ er løsninger til (8).Bestem udtrykt ved parameteren a samtlige ligevægte for (8).Afgør for hvilke værdier af a, der findes en ligevægt ( G ∗L ∗ ), som opfylder G ∗ > 0 og L ∗ > 0.(b) Lad a = 0.0002. For begyndelsesbetingelserne G(0) = 2000 og L(0) = 150 er nedenfor vist etfasediagram for de samhørende differentialligninger (8), dvs. en graf for gnu- og løvebestandensom vektorfunktionen ( G(t)L(t))af tiden t.L130 140 150 160 170 180 190t = 02000 2500 3000 3500GBenyt grafen til at afgøre om gnu- hhv. løvebestanden vokser eller aftager til starttidspunktet(t = 0).Benyt derefter de samhørende differentialligninger (8) til at beregne G ′ (0) og L ′ (0), og benytdisse værdier til at afgøre om gnu- hhv. løvebestanden vokser eller aftager til starttidspunktet.4

Miniprojekt C Matematik og databehandling 2012Opgave 4 (30%)[Denne opgave i databehandling berører ikke emner fra matematikken i Modul C.]Åge plejer at fordrive den mørke tid på året med at spille terningespil, alene eller sammen medYrsa. Han kan desværre ikke finde de 5 terninger, som han plejer at bruge. Nu har han imidlertidinstalleret programmet R og vil prøve at spille terningespil ved at bruge R.Åges spil benytter funktionen terning defineret somterning

Miniprojekt C Matematik og databehandling 2012(iii) Modificér funktionen hvor_mange så den får to parametre:• side (den side af terningen der ønskes optalt),• n (antallet af terninger).Parameteren side skal have standardværdien 6, mens parameteren n skal have standardværdien5.F.eks. skal kaldet hvor_mange(3,4) angive hvor mange 3’ere der er i et kast med 4terninger, mens hvor_mange() (stadigvæk) skal angive antallet af 6’ere i et kast med5 terninger.Aflevér en udskrift af funktionen hvor_mange med tilhørende forklaringer samt resultatetaf nogle kørsler.(b) Åges andet spil går ud på følgende: man kaster med 5 terninger indtil summen af øjnenefra kastet er mindst 25. Når summen af øjnene er mindst 25, skal man vide hvor mangeterningekast der er brugt og hvad hver af de 5 terninger viser.(i) Lav en R-funktion, stor_sum, der simulerer dette spil og returnerer hvor mangeterningekast der er brugt og hvad hver af de 5 terninger viser.Man kan lade sig inspirere af nedenstående “pseudo-kode” og “oversætte” de enkeltelinjer til “rigtig” R-kode.stor_sum stor_sum()[1] 13[1] 6 4 5 4 6Det betyder, at først i sit 13’ende terningekast opnåede Åge en sum på mindst 25, ogat kastet der gav denne sum var 6 4 5 4 6.Aflevér en udskrift af funktionen med tilhørende forklaringer samt resultatet af noglekørsler.Valgfrit: Funktionen’s output kan gøres pænere ved at bruge den indbyggede R-funktion cat: f.eks. giverslag

Miniprojekt C Matematik og databehandling 2012(ii) Modificér funktionen stor_sum, så den nu får en parameter, der angiver den ønskedemindste sum for slaget. Den modificerede funktion skal se ud somstor_sum