Facit til udvalgte opgaver i Modul 1(lineær algebra)

Matematik og modeller Blok 4 2012Facit til opgaver til Lineær algebraOpgave S.1.1(−2)0−2 2Opgave S.1.2A 1 A 2 =B 2 =⎛⎝ 5 5 20 3 120 0 −18det A 2 = −15,⎛⎜⎝9 0 0 00 1 0 00 0 4 00 0 0 4⎞⎠ A 2 A 1 =A −12= 1 15⎞⎟⎠ B3 =⎛⎝⎛⎜⎝⎛⎝ 5 23 80 3 100 0 −183 −3 −20 15 100 0 −5⎞⎠27 0 0 00 1 0 00 0 8 00 0 0 −8⎞⎟⎠⎞⎠Opgave S.1.3M =( )2 −1,1 3(x=y)(2−1).Opgave S.1.41 er ikke, mens 2 og 3 er.Opgave S.1.5Ikke blandt de udvalgte. . .Opgave S.1.6Ikke blandt de udvalgte. . .Opgave S.1.7⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞0 0 8 00 4 0 02 0 0 032 0 0 0A 2 = ⎜ 0 0 0 8⎟⎝1/4 0 0 0⎠ , A3 = ⎜ 0 0 4 0⎟⎝ 0 0 0 4⎠ , A4 = ⎜0 2 0 0⎟⎝0 0 2 0⎠ , A20 = ⎜ 0 32 0 0⎟⎝ 0 0 32 0 ⎠0 1/4 0 01/8 0 0 00 0 0 20 0 0 32Opgave S.1.8Determinanten er lig med −500 så den inverse findes og er givet ved⎛⎞10 10 20⎝30 20 50⎠5 0 10−1⎛⎞= − 1 200 −100 100⎝ −50 0 100 ⎠ .500−100 50 −100Opgave S.1.96.

Opgave S.1.100 og −25.Opgave S.1.11y 4 = 850, y 5 = 7200.Opgave S.1.12x 1 = 44, x 2 = 60 og spild: 17800.og⎛A =⎜⎝B =A =10 10 2030 20 505 0 100 5 1020 10 30⎞⎟⎠⎛⎞3000 1800⎜ 300 150⎟⎝ 300 100 ⎠200 150⎛⎝ 10 8 0 30 0 0 00⎞⎠0 0 40 −10⎛⎞30000 18000C = ⎝33000 18900⎠10000 2500Opgave S.1.13⎛ ⎞ ⎛y 1⎜ y 2⎟⎝ y 3⎠ = ⎜⎝y 410 30 1040 30 305 0 51 2 6⎞⎛⎟ ⎝ x ⎞1⎠ x 2⎠x 3Antallet af timer: x 1 = 15, x 2 = 20 og x 3 = 0 – drastisk konsekvens, dvs 0 timer pr. døgn, for Afdeling3.Opgave S.1.14Matricen erSande antal: 5400, 2100, 900.⎛⎞0.75 0.15 0.05⎝0.15 0.80 0.05⎠0.10 0.05 0.90Opgave S.1.15Ikke blandt de udvalgte. . .Opgave S.1.16Ikke blandt de udvalgte. . .Opgave S.1.17Ingen løsning med 5; netop en løsning med 6:⎛⎝ x ⎞1x 2⎠ =x 3⎛⎝ 3 0−1⎞⎠ .

Opgave S.1.18Løsningerne erhvor t er vilkårlig.Opgave S.1.19⎛x =⎜⎝54000⎞⎟ + ⎠ t 1 ⎜⎝⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1 2x 23x 3⎜x 4= t1⎟ ⎜1⎟⎝x 5⎠ ⎝7⎠x 6 3⎛−1−2100⎞⎛⎟ + ⎠ t 2 ⎜⎝03010⎞⎛⎟ + ⎠ t 3 ⎜⎝12001⎞⎟⎠Opgave S.1.20b = 7a 1 − 4a 2 − 3a 3 + 5a 4 − 9a 5Opgave S.1.211: ja, 2: nej, 3: nej, 4: ja, 5: nej, 6: ja.Opgave S.1.22(x1)=x 2( )−13/5, ingen løsning,10(x1)= tx 2( )−1/2+1( )7/2.0Opgave S.1.232 og 3.Opgave S.1.24A −1 =⎛⎜⎝1/4 −1/4 0 00 1/3 −1/3 00 0 1/2 −1/20 0 0 1⎞⎟⎠Opgave S.1.25(31. .5)2.( )269.−117Opgave S.1.26⎛ ⎞1.⎝ 1 1 ⎠.15

⎛2. ⎝ 14 ⎞9 ⎠.−3Opgave S.1.27Egenværdi −36 med tilhørende egenvektor ( 3/41), egenværdi 0 med tilhørende egenvektor (15/8Opgave S.1.28Koordinaterne er (23/5, 11/5).1 )Opgave S.1.29Vektorerne⎛⎞er egenvektorene hørende til egenværdien 5.Vektorerneer egenvektorene hørende til egenværdien 4.Vektorerneer egenvektorene hørende til egenværdien 3.Opgave S.1.30a = 3 og b = −1.ttt⎝ 8 1⎠ , t ̸= 01⎛⎞⎝ 9 1⎠ , t ̸= 00⎛⎞⎝ 1 0⎠ , t ̸= 00Opgave S.1.31Egenværdierne er −2 ± i med tilhørende egenvektorer( )1 ∓ it .1Modulus af egenværdierne er √ 5 og argumenter er ±2.68.Opgave S.1.32Ikke blandt de udvalgte. . .Opgave S.1.33λ = 2,λ = 2 + √ 20i,λ = 2 − √ 20i,⎛⎝ −1 ⎞0 ⎠ ,3⎛ ⎞√−7⎝ 20i ⎠ ,1⎛ ⎞−7⎝ − √ 20i ⎠ ,1Opgave S.1.34Egenværdierne er 0 og 1 (dobbeltrod).

⎛5. ⎝ 0 ⎞−13⎠26Opgave S.1.39A =⎛⎜⎝0.84 0.12 0.0 0.00.16 0.80 0.08 0.00.0 0.08 0.77 0.060.0 0.0 0.15 0.94⎞⎟⎠og⎛⎜⎝302453921139022194Efter de foreslåede rækkeoperationer bliver fjerde ræke til nulrækken. Herved bestemmes egenvektorerhørende til egenværdien 1. En tilhørende egenvektor er fx⎛ ⎞6000⎜ 8000⎟⎝ 8000 ⎠ .20000⎞⎟⎠ .Opgave S.1.404/5.Opgave S.1.41Fx gælderog⎛A = ⎝0.6 0.2 0.10.2 0.4 0.10.2 0.4 0.8⎛x 6 = ⎝ 411 ⎞305 ⎠984x 20 =⎛⎝ 4003001000Den dominerende egenværdi er 1 med tilhørende egenvektor fx⎛⎝ 400 ⎞300 ⎠ .1000⎞⎠⎞⎠Opgave S.1.42⎛M = ⎝0.8 0.6 0.01.0 0.1 0.00.8 1.9 0.0Dominerende egenværdi er 1.3 med tilhørende egenvektor fx⎛⎝ 0.4447 ⎞0.3706⎠ .0.8153y t + z tx t→ 8 3 .⎞⎠ .

Opgave S.1.43I spørgsmål 3 bestemmer vi koordinaterne for v 0 i den basis af egenvektorer som R giver, dvs v 0 =c 1 q 1 + c 2 q 2 + c3q 3 . Tallet c er da lig med c 1 .Opgave S.1.44Ikke blandt de udvalgte. . .Opgave S.1.45Egenværdier og normerede egenvektorer:λ = 3 og første søjle i Q,λ = 0 og anden søjle i Q,λ = −3 og tredje søjle i Q.⎛Q = ⎝2/3 1/3 2/32/3 −2/3 −1/31/3 2/3 −2/3⎛⎞Q T AQ = ⎝ 3 0 00 0 0 ⎠0 0 −3⎛ ⎞A 5 b = A 6 c = ⎝ 162162 ⎠81⎞⎠Opgave S.1.46Ligevægten udtrykt ved a er13/4 − a( )2 − a.5/2Opgave S.1.47Totalmatricen omformes til (1 0 5/2)3/20 1 −1/2 −1/2og dermed bliver løsningerne til ligningssystemet⎛⎝ x ⎞ ⎛1x 2⎠ = ⎝ 3/2 ⎞ ⎛−1/2⎠ + t ⎝ −5/2 ⎞1/2 ⎠ .x 3 01Opgave S.1.48Totalmatricen omformes til (1 0 3)70 1 −1 −3og dermed bliver løsningerne til ligningssystemet⎛⎝ x ⎞ ⎛1x 2⎠ = ⎝ 7 ⎞ ⎛−3⎠ + t ⎝ −3 ⎞1 ⎠ .x 3 0 1Opgave S.1.49Nej; ja.Opgave S.1.50{1, 2} og {2, 3}.

Opgave S.1.51Hessematricen er (ex 1 +x 2 e x 1+x 2)e x 1+x 2 e x 1+x 2 + 2og den er positiv definit.Opgave S.1.52Ikke blandt de udvalgte. . .Henrik L. Pedersen (henrikp@life.ku.dk)april 2012