10931: Mekanisk Fysik, Svingninger og Bølger Skriftlig eksamen ...
10931: Mekanisk Fysik, Svingninger og Bølger Skriftlig eksamen ...
10931: Mekanisk Fysik, Svingninger og Bølger Skriftlig eksamen ...
- No tags were found...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>10931</strong>: <strong>Mekanisk</strong> <strong>Fysik</strong>, <strong>Svingninger</strong> <strong>og</strong> Bølger<strong>Skriftlig</strong> <strong>eksamen</strong>, den 15. december 2006LøsningsforslagOpgave 1: To klodser på skråplan(a) Kraftdiagrammerne for hver af de to klodser kan tegnes på følgende måde:PSfrag replacementsN 1 N 2αSFF k1F k2Syxm 1 gm 2 g(b) Vi vælger referencesystemet som skitseret i spørgsmål 1(a) <strong>og</strong> skriver Newtons2. lov op for hver af de to klodser. For klods 1 finder vi:<strong>og</strong> for klods 2 får vi tilsvarende:m 1 a 1x = S − m 1 g sin α − F k1 , (1)0 = N 1 − m 1 g cos α , (2)m 2 a 2x = F − S − m 2 g sin α − F k2 , (3)0 = N 2 − m 2 g cos α . (4)1
Normalkræfterne N 1 <strong>og</strong> N 2 kan således bestemmes direkte:N 1 = m 1 g cos α , (5)N 2 = m 2 g cos α , (6)<strong>og</strong> de to kinematiske friktionskræfter F k1 <strong>og</strong> F k2 bliver:F k1 = µ k N 1 = µ k m 1 g cos α , (7)F k2 = µ k N 2 = µ k m 2 g cos α . (8)Da klodserne trækkes op ad skråplanet med konstant hastighed må accelerationernevære nul: a 1x = a 2x = 0. Med brug af ligningerne (1) <strong>og</strong> (3)finder vi derfor størrelserne af snorkraften S <strong>og</strong> trækkraften F :S = (sin α + µ k cos α) m 1 g , (9)F = (sin α + µ k cos α) (m 1 + m 2 ) g . (10)(c) Arbejdet W bliver produktet af F <strong>og</strong> L, idet F er konstant:W = F L = (sin α + µ k cos α) (m 1 + m 2 ) g L . (11)(d) I taleksemplet fås størrelsen af kraften F = 27 N <strong>og</strong> arbejdet W = 13 J.Opgave 2: Kugle, klods <strong>og</strong> fjeder(a) Efter kollisionen er der energibevarelse, <strong>og</strong> den samlede kinetiske energi afkuglen <strong>og</strong> klodsen umiddelbart efter kollisionen <strong>og</strong> den potentielle energii fjederen, når den opnår sin maksimale sammentrykning, er derfor ligestore:12 (M + m) u2 = 1 2 k d2 . (12)Vi finder dermed klodsens fart umiddelbart efter kollisionen:u =√kM + m d . (13)2
(b) Under kollisionen er den samlede impuls af kuglen <strong>og</strong> klodsen bevaret:mv = (M + m)u . (14)Kuglens fart umiddelbart før den skydes ind i klodsen bliver derfor:v = M + m √mu = k(M + m) d m . (15)Sammenlign evt. resultaterne i spørgsmål (a) <strong>og</strong> (b) med det ballistiskependul i eksempel 8.8 side 298 i Young & Freedman.(c) I taleksemplet bliver kuglens fart før kollisionen: v = 221 ms −1 .Opgave 3: Svingende streng(a) Vi bruger udtrykket for grundtonen f 1 for stående bølger på en streng:f 1 = 1√F2 L µ , (16)hvor F er snorkraften <strong>og</strong> µ = m/L er massen per længde. Snorkraftenbliver således:F = 4 m L f 2 1= 178 N . (17)(b) Frekvensen for den 4. egensvingning er 4 gange så stor som grundtonen:f 4 = 4 f 1 = 262 Hz , (18)<strong>og</strong> den tilsvarende bølgelængde er halvdelen af strengens længde:λ 4 = L 2= 34.8 cm . (19)(c) Bølgefunktionen for den 4. egensvingning kan skrives:y(x, t) = A SW sin k 4 x sin ω 4 t , (20)hvor amplituden er A SW = 1.50 cm, bølgetallet er k 4 = 2π/λ 4 = 4π/L =0.181 cm −1 , <strong>og</strong> vinkelfrekvensen er ω 4 = 2πf 4 = 8πf 1 = 1.64 · 10 3 s −1 .3