10931: Mekanisk Fysik, Svingninger og Bølger Skriftlig eksamen ...

10931: Mekanisk Fysik, Svingninger og BølgerSkriftlig eksamen, den 15. december 2006LøsningsforslagOpgave 1: To klodser på skråplan(a) Kraftdiagrammerne for hver af de to klodser kan tegnes på følgende måde:PSfrag replacementsN 1 N 2αSFF k1F k2Syxm 1 gm 2 g(b) Vi vælger referencesystemet som skitseret i spørgsmål 1(a) og skriver Newtons2. lov op for hver af de to klodser. For klods 1 finder vi:og for klods 2 får vi tilsvarende:m 1 a 1x = S − m 1 g sin α − F k1 , (1)0 = N 1 − m 1 g cos α , (2)m 2 a 2x = F − S − m 2 g sin α − F k2 , (3)0 = N 2 − m 2 g cos α . (4)1

Normalkræfterne N 1 og N 2 kan således bestemmes direkte:N 1 = m 1 g cos α , (5)N 2 = m 2 g cos α , (6)og de to kinematiske friktionskræfter F k1 og F k2 bliver:F k1 = µ k N 1 = µ k m 1 g cos α , (7)F k2 = µ k N 2 = µ k m 2 g cos α . (8)Da klodserne trækkes op ad skråplanet med konstant hastighed må accelerationernevære nul: a 1x = a 2x = 0. Med brug af ligningerne (1) og (3)finder vi derfor størrelserne af snorkraften S og trækkraften F :S = (sin α + µ k cos α) m 1 g , (9)F = (sin α + µ k cos α) (m 1 + m 2 ) g . (10)(c) Arbejdet W bliver produktet af F og L, idet F er konstant:W = F L = (sin α + µ k cos α) (m 1 + m 2 ) g L . (11)(d) I taleksemplet fås størrelsen af kraften F = 27 N og arbejdet W = 13 J.Opgave 2: Kugle, klods og fjeder(a) Efter kollisionen er der energibevarelse, og den samlede kinetiske energi afkuglen og klodsen umiddelbart efter kollisionen og den potentielle energii fjederen, når den opnår sin maksimale sammentrykning, er derfor ligestore:12 (M + m) u2 = 1 2 k d2 . (12)Vi finder dermed klodsens fart umiddelbart efter kollisionen:u =√kM + m d . (13)2

(b) Under kollisionen er den samlede impuls af kuglen og klodsen bevaret:mv = (M + m)u . (14)Kuglens fart umiddelbart før den skydes ind i klodsen bliver derfor:v = M + m √mu = k(M + m) d m . (15)Sammenlign evt. resultaterne i spørgsmål (a) og (b) med det ballistiskependul i eksempel 8.8 side 298 i Young & Freedman.(c) I taleksemplet bliver kuglens fart før kollisionen: v = 221 ms −1 .Opgave 3: Svingende streng(a) Vi bruger udtrykket for grundtonen f 1 for stående bølger på en streng:f 1 = 1√F2 L µ , (16)hvor F er snorkraften og µ = m/L er massen per længde. Snorkraftenbliver således:F = 4 m L f 2 1= 178 N . (17)(b) Frekvensen for den 4. egensvingning er 4 gange så stor som grundtonen:f 4 = 4 f 1 = 262 Hz , (18)og den tilsvarende bølgelængde er halvdelen af strengens længde:λ 4 = L 2= 34.8 cm . (19)(c) Bølgefunktionen for den 4. egensvingning kan skrives:y(x, t) = A SW sin k 4 x sin ω 4 t , (20)hvor amplituden er A SW = 1.50 cm, bølgetallet er k 4 = 2π/λ 4 = 4π/L =0.181 cm −1 , og vinkelfrekvensen er ω 4 = 2πf 4 = 8πf 1 = 1.64 · 10 3 s −1 .3