georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.

Løsninger · 1995Opgave 1. Et trapez har sidelængder som angivet på figuren (siderne med længde11 og 36 er parallelle). Beregn trapezets areal.11253036Løsning. På figuren er BE tegnet parallel med CD. Så er BCDE et parallelogram, ogdermed |BE| = 30 og |ED| = 11. Videre fås |AE| = 36 − 11 = 25. I den ligebenedetrekant ABE findes højden AF på grundlinjen BE til 20 (udnyt Pythagoras på denretvinklede trekant AFE, hvor hypotenusen er |AE| = 25, og den anden katete er|EF| = 15).BChFAED⊲arealerVi kan nu bestemme højden h i trapezet ved at udtrykke arealet af trekantABE på to måder: 1 2 · 25 · h = 1 20·302 · 20 · 30, hvoraf h =25= 4 · 6 = 24. Trapezetsareal er derfor 1 2 h(11 + 36) = 1 2 · 24 · (11 + 36) = 564.Opgave 2. Find alle sæt af fem på hinanden følgende hele tal med den egenskabat summen af kvadraterne på de tre første tal er lig med summen af kvadraternepå de to sidste.Løsning. Lad n betegne det midterste af de fem tal. Så kan vi opskrive ligningen(n − 2) 2 + (n − 1) 2 + n 2 = (n + 1) 2 + (n + 2) 2 .Ved udregning fås n 2 − 4n + 4 + n 2 − 2n + 1 + n 2 = n 2 + 2n + 1 + n 2 + 4n + 4,som omskrives til n 2 − 12n = 0, og videre til n(n − 12) = 0. Denne ligninghar løsningerne n = 0 og n = 12. De søgte talsæt er dermed (−2, −1, 0, 1, 2) og(10, 11, 12, 13, 14).66