georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.
georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.
georg mohr-konkurrencen. opgaver og løsninger 1991-2010.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Georg Mohr-KonkurrencenOpgave 3. Punktet P ligger inden i △ABC så △BPC er ligebenet, <strong>og</strong> vinkel P erret. Desuden er △BAN <strong>og</strong> △CAM begge ligebenede <strong>og</strong> med en ret vinkel i A, <strong>og</strong>begge ligger uden for △ABC. Vis at △MNP er ligebenet <strong>og</strong> retvinklet.NAMPBLøsning. Lad Q være midtpunktet af siden BC. Vi ønsker at vise at trekanterneNBP <strong>og</strong> ABQ er ensvinklede med forholdet √ 2. Bemærk først at ∠NBP = 45 ◦ +∠ABP = ∠ABQ. Ifølge Pythagoras er |NB| = √ 2|AB| <strong>og</strong> |BP| = √ 2|BQ|, hvilketviser at trekanterne NBP <strong>og</strong> ABQ er ensvinklede med forholdet √ ⊲ensvinklede2. På tilsvarendetrekanter måde ser man at trekant MCP <strong>og</strong> trekant ACQ er ensvinklede med forholdet √ 2.Dette viser at |NP| = √ 2|AQ| = |MP|. Desuden er ∠NPM = 360 ◦ − (∠NPB +∠MPC) − ∠BPC = 360 ◦ − (∠AQB + ∠AQC) − 90 ◦ = 360 ◦ − 180 ◦ − 90 ◦ = 90 ◦ .Dermed er trekant MNP ligebenet <strong>og</strong> retvinklet.⊲primtalQOpgave 4. Fjorten elever skriver hver et helt tal på tavlen. Da de sidenhen møderderes matematiklærer Homer Gr<strong>og</strong>, fortæller de ham at uanset hvilket tal deslettede på tavlen, så kunne de resterende tal deles i tre grupper med samme sum.De fortæller ham <strong>og</strong>så at tallene på tavlen var hele tal. Er det nu muligt for HomerGr<strong>og</strong> at afgøre hvilke tal eleverne skrev på tavlen?Løsning. Ja, det er muligt. Først viser vi at alle tallene på tavlen er delelige med 3.Kald de 14 tal for x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x 14 <strong>og</strong> deres sum for s. Tallet 3 går op i s − x ifor alle i = 1, 2, 3, . . . , 14, da de 14 tal kan inddeles i tre grupper med samme sumnår man fjerner et tal. Dette betyder at <strong>og</strong>så(s − x 1 ) + (s − x 2 ) + · · · + (s − x 14 ) = 14s − (x 1 + x 2 + · · · + x 14 ) = 13ser delelig med 3, <strong>og</strong> da 3 er et primtal som ikke går op i 13, må 3 gå op i s. Menvi ved <strong>og</strong>så at 3 går op i s − x i for alle i = 1, 2, 3, . . . , 14, <strong>og</strong> dermed må 3 gå op ihvert af de 14 tal. Vi har nu vist at alle tallene på tavlen er delelige med 3. Antagnu at mindst et af tallene er forskelligt fra 0. Der findes dermed et positivt helttal n så 3 n går op i alle 14 tal, mens 3 n+1 ikke går op i alle 14 tal. Dividerer vitallene med 3 n , opnår vi 14 nye tal hvor mindst et tal ikke er deleligt med 3. De14 nye tal må <strong>og</strong>så have egenskaben at hvis man fjerner et tal, kan de resterende13 deles i tre grupper med samme sum, men det har vi lige vist medfører atalle tallene er delelige med 3, hvilket ikke er rigtigt. Dermed er antagelsen om atmindst et af tallene er forskelligt fra 0, forkert, <strong>og</strong> det vil sige at alle tallene påtavlen må være 0. Det er altså muligt for Homer Gr<strong>og</strong> at afgøre hvilke tal eleverneskrev på tavlen.40C