Talteori - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori, træning til Baltic Way 2006, Kirsten Rosenkilde 44 Følger4.1 OpgaveLad a 1 = a 2 = 1 og a n+2 = a n a n+1 + 1 for n > 2.Vis at der ikke findes noget n, n > 2, så a n er et kvadrattal.4.2 OpgaveOm en følge af naturlige tal a 0 , a 1 , a 2 , . . . oplyses at a 0 < a 1 og a n = 3a n−1 − 2a n−2 forn > 1.Vis at a m ≡ a m+1 mod 2 m for alle naturlige tal m.4.3 Opgave (BW 2000)En følge af naturlige tal a 1 , a 2 , a 3 , . . . opfylder at hvis m, n ∈ N, m < n og m går op i n,da vil a m gå op i a n og a m < a n .Bestem den mindst mulige værdi af a 2000 .4.4 OpgaveLad m være et ulige naturligt tal, og betragt følgen a 0 = m og a n = 2a n−1 + 1 for n ∈ N.Vis at der findes uendeligt mange tal i følgen som er delelige med m.