Talteori - Georg Mohr-Konkurrencen

Talteori, træning til Baltic Way 2006, Kirsten Rosenkilde 11 Ligninger1.1 OpgaveTalteoriBestem samtlige par af naturlige tal n og m for hvilke1.2 Opgave (BW 1997)1 + 3 n = 2 m .Bestem alle tripler a, b og c af naturlige tal med a ≥ b ≥ c som opfylder ligningen1.3 Opgave (BW 1998)1 · a 3 + 9 · b 2 + 9 · c + 7 = 1997.Bestem samtlige par af naturlige tal x og y som er løsning til ligningen1.4 Opgave (BW 1999)2x 2 + 5y 2 = 11(xy − 11).Bestem det mindste naturlige tal k således at k = 19 n − 5 m for naturlige tal n og m.1.5 OpgaveI 1001-nats eventyr fortæller sultanen sin kone at hun skal hænges med mindre hun kanfinde to naturlige tal n og m som opfylder atOverlever hun?1 1001 + 2 1001 + . . . + n 1001 = m(n + 2).

Talteori, træning til Baltic Way 2006, Kirsten Rosenkilde 22 Potenser af heltal2.1 OpgaveVis at der ikke findes naturlige tal x, y og n, n > 1, for hvilkex(x + 1) = y n .2.2 OpgaveVis at ligningenikke har nogle heltallige løsninger.x 3 + 3 = 4y(y + 1)2.3 OpgaveFor hvilke naturlige tal m og n, hvor m er ulige, er m n + 1 et kvadrattal?2.4 OpgaveVis at der ikke findes naturlige tal x, y og n, n > 1, for hvilkex(x + 1)(x + 2) = y n .BemærkningGenerelt gælder at produktet af k på hinanden følgende tal, k > 1, aldrig er en n’te potensaf et helt tal, når n > 1.2.5 OpgaveVis at n + 3 og n 2 + 3 ikke begge kan være kubiktal for noget helt tal n.

Talteori, træning til Baltic Way 2006, Kirsten Rosenkilde 33 Fælles divisorer3.1 OpgaveLad a, d og n være naturlige tal.Vis at hvis ingen af tallene a, a + d, a + 2d, . . . , a + (n − 1)d er delelige med n, da ergcd(d, n) > 1.3.2 OpgaveLad a, b, c og d være naturlige tal således at ab = cd.Vis at a n + b n + c n + d n er et sammensat tal for alle naturlige tal n.3.3 OpgaveVis at hvis x er et rationalt tal, og x x også er rationalt, da er x et helt tal.3.4 OpgaveLad a, m og n være naturlige tal, hvor m er ulige, og a > 1.Bestem gcd(a m − 1, a n + 1).

Talteori, træning til Baltic Way 2006, Kirsten Rosenkilde 44 Følger4.1 OpgaveLad a 1 = a 2 = 1 og a n+2 = a n a n+1 + 1 for n > 2.Vis at der ikke findes noget n, n > 2, så a n er et kvadrattal.4.2 OpgaveOm en følge af naturlige tal a 0 , a 1 , a 2 , . . . oplyses at a 0 < a 1 og a n = 3a n−1 − 2a n−2 forn > 1.Vis at a m ≡ a m+1 mod 2 m for alle naturlige tal m.4.3 Opgave (BW 2000)En følge af naturlige tal a 1 , a 2 , a 3 , . . . opfylder at hvis m, n ∈ N, m < n og m går op i n,da vil a m gå op i a n og a m < a n .Bestem den mindst mulige værdi af a 2000 .4.4 OpgaveLad m være et ulige naturligt tal, og betragt følgen a 0 = m og a n = 2a n−1 + 1 for n ∈ N.Vis at der findes uendeligt mange tal i følgen som er delelige med m.