Matematik og databehandling Eksamen, 5. november 2010, kl ...

Eksamen, 5. november 2010Matematik og databehandlingOpgave 2 (30 %)Planter påvirkes forskelligt af gifte. I visse tilfælde fører lave doser af en gift til en større vækst,mens høje doser hæmmer væksten. Til modellering af denne situation bruges nogle gange enfunktion af formenR(x) = a+bx1+x c for x ≥ 0,hvor a, b og c er parametre med a > 0, b > 0 og c > 1. Her angiver x den anvendte dosis afgiften (målt i passende enheder) og R(x) angiver plantebladenes længde (målt i cm). UdtrykketR(x) kaldes plantens respons.Man er ofte interesseret i at bestemme den dosis x 50 , for hvilken responsen R(x 50 ) er lig med50% af kontrolresponsen R(0).(a) Bestem kontrolresponsen udtrykt ved a, b og c.(b) Lad a = 4, b = 3 og c = 2. Bestem dosen x 50 .(c) Lad a = 1, b = 1 og c = 2.2. Skriv en eller flere linier som indtastet i R bestemmer dosenx 50 . Man kan benytte, at grafen for R(x) ser ud som på figuren neden for.R (x)0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x(d) Følgende funktion graf defineres i R:graf

Eksamen, 5. november 2010Matematik og databehandlingOpgave 3 (50%)De 15 spørgsmål i denne opgave løses uafhængigt af hinanden.(a) Det oplyses, at Taylorpolynomiet f 1 (x) af orden 1 med udviklingspunkt a = 1 for funktionenf(x) = x ber givet vedBestem b.f 1 (x) = 1+ 1 3 (x−1).(b) Bestem grænseværdiene x −1−xlim .x→0 x(c) Bestem grænseværdien[Vink: Sæt x = lny.]ln(lny)lim .y→∞ lny(d) Bestem matricen M og vektoren q så afbildningen( ( ) x 7y −10+xf =y)2xkan skrives på formen( ( x xf = M +q.y)y)(e) Lad 0 ≤ a ≤ 1. Bestem alle ligevægte for matricen( ) 0.4 aM = .0.6 1−a(f) Afgør for hvilke værdier af a matricen( ) a a2 3har en invers matrix og angiv for disse værdier af a den inverse matrix.(g) Bestem den fuldstændige løsning y = y(x) til differentialligningenhvor a > 0 er en parameter.dydx = 0.1y(1−ay),3

Eksamen, 5. november 2010Matematik og databehandling(o)I et regneark skal der i hver celle B10:B13 beregnes en værdi s t som følger:s t = s t−1 ·(1+r) n ,hvor s t−1 er værdien af cellen ovenover, r er en konstant der står i celle B6 og n en konstant,der står i celle B5. Værdien af s 0 står i celle B9.Hvilken formel er skrevet i B10 og kopieret til resten af området B10:B13 for at foretageberegningen?5