Omvendte trigonometriske funktioner Hyperbolske funktioner

arcsin omgør, hvad Sin gør:arcsin (a) = b () Sin (b) = ah() sin (b) = a ^ b 2π2 , π i2 Definitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1]. arcsin 1 = π 2 da sin π 2 = 1 ogπ22 π2, π 2 . arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og 0 2 π2, π 2 . arcsin 1 2 = π 6 da sin π 6 =12og π 6 2 π2, π 2 . arcsin sin 3π 2 = arcsin ( 1) =π2.1.3 arcsin IIarcsin II sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. arcsin (sin x) = x for alle x 2 π2, π 2 . arcsin er differentiabel i ethvert x 2 ]1, 1[ medddx arcsin x = 1p1 x 2 Bevis. Lad x 0 2 π2, π 2 og lad f = sin i den generelle sætning omdifferentiabilitet. f 0 (x 0 ) = cos x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = sin x 0 , sågælder1.4 arccos Iarccos If1 0(y0 ) =1=q1 (sin x 0 ) 21f 0 (x 0 ) = 1 =cos x 01q= 1q1 (sin x 0 ) 2 1 y 2 0 Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, π]. Lad os kalde denCos. Vi har altsåcos x for x 2 [0, π]Cos (x) =ikke defineret for x /2 [0, π] Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldesarcuscosinus og betegnes med arccos.2

arccos omgør, hvad Cos gør:arccos (a) = b () Cos (b) = a() cos (b) = a ^ b 2 [0, π] Definitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1]. arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, π]. arccos 0 = π 2 da cos π 2 = 0 ogπ22 [0, π]. arccos 12= π 3 da cos π 3 =12og π 32 [0, π]. arccos cos 3π 2 = arccos (0) =π2.1.5 arccos IIarccos II cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1]. arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, π]. arccos er differentiabel i ethvert x 2 ] 1, 1[ medddx arccos x = 1p1 x 2 Bevis. Lad x 0 2 ]0, π[ og lad f = cos i den generelle sætning om differentiabilitet.f 0 (x 0 ) = sin x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = cos x 0 , så gælder1.6 arctan If1 0(y0 ) =1=q1 (cos x 0 ) 21f 0 (x 0 ) = 1=sin x 01q= 1q1 (sin x 0 ) 2 1 y 2 0arctan I Betragt restriktionen af tangensfunktionen til π2, π 2 . Lad os kalde denTan. Vi har altsåtan x for x 2 πTan (x) =2, π 2ikke defineret for x /2 π2, π 2 Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldesarcustangens og betegnes med arctan. arctan omgør, hvad Tan gør:arctan (a) = b () Tan (b) = ai() tan (b) = a ^ b 2π2 , π h23

Definitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R. arctan 1 = π 4 da tan π 4 = 1 og π 4 2 π2, π 2 . arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og 0 2 π2, π 2 . arctan p 3 = π 3 da tan π p3 = 3 ogπ32 π2, π 2 . arctan tan 3π 4 = arctan ( 1) =π4.1.7 arctan IIarctan II tan (arctan x) = x for alle x 2 R. arctan (tan x) = x for alle x 2 π2, π 2 . arctan er differentiabel i ethvert x 2 R medddx arctan x = 11 + x 2 Bevis. Lad x 0 2 π2, π 2 og lad f = tan i den generelle sætning omdifferentiabilitet. f 0 (x 0 ) = 1 + tan 2 x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = tan x 0 , sågælder Maple.f1 0(y0 ) = 1f 0 (x 0 ) = 11 + tan 2 x 0= 11 + y 2 02 Hyperbolske funktioner2.1 sinh og coshsinh og cosh Sinus hyperbolsk defineres såledessinh x = 1 2 ex e x Cosinus hyperbolsk defineres såledescosh x = 1 2ex + e x Begge er definerede og differentiable overalt medddsinh x = cosh x,dxcosh x = sinh xdx4

Hyperbolsk idiotformel: cosh 2 xsinh 2 x = 1. Bevis:(cosh x) 2 (sinh x) 2 == 1 4= 12.2 tanh, arsinh, arcosh, artanhtanh, arsinh, arcosh, artanh Tangens hyperbolsk defineres således 12 ex + e x 2 12 ex e x 2e 2x + 2 + e 2x 1e 2x 2 + e 2x4tanh x = sinh xcosh x sinh er voksende og derfor enentydig. Den har en invers: arsinh. Det kan vises, at for alle x 2 R:arsinh x = lnx + p x 2 + 1 cosh er ikke enentydig, men restriktionen til [0, ∞[ er. Den omvendtehertil er arcosh. Det kan vises, at for alle x 1:arcosh x = lnx + p x 2 1 For mere se Maple.5