Statistik for gymnasiet og hf, 2011 - Matematik i gymnasiet og hf

11.3 2 -fordeling. Forskrift for tÅthedsfunktion.
Formlen (5) fra 11.2 kan vi ogsÅ skrive sÅdan:
G( x)
2F( x
21 ) 1
Da G er arealfunktionen for g , er
dvs.
g( x)
G(
x)
g ( x)
( 2F( x
21 ) 1)
'
( ( 1
)
1 1
2
Af reglen for at differentiere sammensat funktion fÅr vi F x
2
) ' F(
x
2
) (
x ) , sÅ
g(
x)
2F(
x
1
2
)
1
2
x
1
2
Dette kan ogsÅ vi ogsÅ skrive sÅdan:
1
g( x)
x
2
f ( x
2
)
1
Dette omskriver vi ved at bruge forskriften for f som stÅr i i 10.1 . Vi fÅr:
(6)
g(
x)
NÅr nogle tal er fordelt sÅdan at dette er tÄthedsfunktionen, sÅ siger vi at tallene er 2 -fordelt
med 1 frihedsgrad.
11.4 2 -fordeling. TÅthedsfunktion nÄr antal frihedsgrader ikke er 1.
I (6) har x eksponenten
1
2
. Hver gang vi lÄgger 2 1 til eksponenten, bliver antallet af
frihedsgrader 1 stÉrre. Samtidig mÅ vi erstatte konstanten
med en anden konstant sÅ
arealet under grafen stadig er 1. Hvis antallet af frihedsgrader er 4, sÅ er tÄthedsfunktionen
altsÅ af typen
Vi fÅr vores regnetekniske hjÄlpemiddel til at lÉse ligningen
0
x
2
e
kx
dx
mht. k og fÅr
(7)
g(
x)
g(
x)
1
2π
x
k
1
4
1
4
xe
1
2
kxe
x
2
e
1
, sÅ
x
2
x
2
, x 0 .
, x 0
er tÄthedsfunktionen for tal der er 2 -fordelt med 4 frihedsgrader.
11.5 2 -fordeling. Test og tÅthedsfunktion.
1
2π
Figuren viser grafen for funktionen (7) fra 11.4 .
Hvis vi i en 2 -test med 4 frihedsgrader
fÅr at 2 -teststÉrrelsen er 6,8 ,
sÅ er p-vÄrdien det grÅ areal:
p 1 xe 2 dx 0,146842
6,8
4
Normalt regner vi dette tal ud sÅdan:
x
p = χåCdf(6.8,,4) = 0,146842
g
Statistik for gymnasiet og hf Side 34 2011 Karsten Juul