Lektion 4: Differentialkvotient

Lektion 4: Differentialkvotient
y
f(x)=(3x^2+8x-3)/(x^2+1)
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
x
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5
-0.5
Grafen for funktionen f(x) beskriver en virksomheds omsætning i kr. over tid. Vi vil gerne undersøge,
hvornår virksomheden havde den kraftigste vækst, og hvornår den havde det største fald i vækst.
Måden at undersøge ”væksthastigheden” er at tegne tangenten i et punkt og undersøge
hældningskoefficienten til tangenten, idet denne angiver væksthastigheden!
Lad os illustrere det ved hjælp af en funktion vi kender: f(x) = x 2 + 2
18
y
f(x)=x^2+2
16
14
12
10
8
6
4
2
x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Lektion 1: Efteråret 2011, LØJ Side 1

Vi vil gerne undersøge, tangenthældningen når x = 1.
y
f(x)=x^2+2
18
y=2x+1
16
14
12
10
8
6
4
2
x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Kigger vi nærmere på tangenten, så viser det sig, at vi umiddelbart let kan aflæse to punkter og derved
udregne hældningskoefficienten ret præcist: (x, y) = (2,5; 6) og (x, y) = (0,5; 2) så hældningen bliver:
a
t
=
6 − 2
=
2,5 − 0,5
4
= 2
2
Men det er ikke altid let at være så nøjagtig, og vi vil derfor udvikle en metode til at finde,
hældningskoefficienten til tangenten meget præcist. Lad os i stedet se, hvad der sker omkring x = 0,5
y
f(x)=x^2+2
28
y=1x+1.75
f(x)=1.7*x+1.4; R²=1
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Lektion 1: Efteråret 2011, LØJ Side 2

Vi forstørrer området omkring x = 0,5. Vi tegner sekanten (linje mellem to punkter på grafen)
3
y
f(x)=x^2+2
y=1x+1.75
Serie 1
Serie 2
f(x)=1.7*x+1.4; R²=1
f(x)=1.3*x+1.6; R²=1
2.5
2
1.5
1
0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
x
For at finde hældningskoefficienten til sekanten må vi først finde funktionstilvæksten Δy:
Funktionstilvæksten: Δ y = f x + h)
− f ( )
(
0
x0
Derefter hældningskoefficienten til sekanten:
Δy f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
=
h h
Så lader vi h → 0 og finder dermed hældningskoefficienten til tangenten:
h→
Δy
h
lim = lim
0
h→0
f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
h
Hældningskoefficienten til tangenten kaldes differentialkvotienten, og betegnes bl.a. f´(x 0 )
Lad os starte med det lette eksempel: f(x) = x 2 + 2, x 0 = 1
Funktionstilvæksten:
2
2
Δ y = f ( x + h)
− f ( x ) = f (1 + h)
− f (1) = h + 2h
+ 3 − 3 = h 2h
,
0 0
+
hvor f(1) = 1 2 + 2 = 3 og f(1 + h) = (1+h) 2 + 2 = 1 + h 2 + 2h + 2 = h 2 + 2h + 3.
2
Δy
h + 2h
Differenskvotienten, der er hældningskoefficienten til sekanten bliver: = = h + 2
h h
Så lader vi h → 0 of finder dermed differentialkvotienten, hældningskoefficienten til tangenten
Δy
f ′( 1) = = lim(
h + 2) = 2 . Hældningskoefficienten til tangenten i punktet (1, 3) på grafen for
h
lim
h→0
h→0
f(x) er altså 2, nøjagtigt som vi fandt tidligere. Lad os gentage øvelsen men i stedet i punktet x 0 = 0,5
Lektion 1: Efteråret 2011, LØJ Side 3

Funktionstilvæksten:
2
2
Δy = f ( x
0+
h)
− f ( x0
) = f (0,5 + h)
− f (0,5) = h + h + 2,25 − 2, 25 = h + h ,
hvor f(0,5) = 0,5 2 + 2 = 2,25 og f(0,5 + h) = (0,5+h) 2 + 2 = 0,25 + h 2 + h + 2 = h 2 + h + 2,25.
2
Δy
h + h
Differenskvotienten, der er hældningskoefficienten til sekanten bliver: = = h + 1
h h
Så lader vi h → 0 of finder dermed differentialkvotienten, hældningskoefficienten til tangenten
Δy
f ′( 0,5) = = lim(
h + 1) = 1. Hældningskoefficienten til tangenten i punktet (0,5; 2,25) på
h
lim
h→0
h→0
grafen for f(x) er altså 1.
Funktionen har toppunkt for x = 0, hvad er hældningskoefficienten der
Funktionstilvæksten:
2
2
Δ y = f ( x
0+
h)
− f ( x0
) = f (0 + h)
− f (0) = h + 2 − 2 = h ,
hvor f(0) = 0 2 + 2 = 2 og f(0 + h) = (0+h) 2 + 2 = h 2 + 2 = h 2 + 2.
Differenskvotienten, der er hældningskoefficienten til sekanten bliver:
Δy
h
=
2
h
h
= h
Så lader vi h → 0 of finder dermed differentialkvotienten, hældningskoefficienten til tangenten
Δy
f ′( 0) = lim = limh
= 0 . Hældningskoefficienten til tangenten i punktet (0, 2) på grafen for f(x) er
h→0
h h→0
altså 0. Det vil sige, at funktionen i toppunktet (funktionens minimumspunkt) har hældningskoefficienten 0,
og dermed en vandret tangent.
Definition
Hvis f er en funktion og x 0 et punkt i definitionsmængden, er differenskvotienten ud fra
Δy f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
punktet x 0 givet ved =
h h
Den angiver hældningen for sekanten mellem punkterne (x 0 ; f(x 0 )) og (x 0 +h; f(x 0 +h)).
Hvis differenskvotienten Δy/h har en grænseværdi for h→0, kaldes grænseværdien for
differentialkvotienten i x 0 og betegnes f´(x 0 ). Den angiver hældningen for tangenten i (x 0 ;
Δy
f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
f(x 0 )). Altså gælder: =
→ f ′(
x0
) for h→0.
h h
Hvis grænseværdien f´(x 0 ) eksisterer, kaldes funktionen differentiabel i x 0 . Hvis funktionen er
differentiabel i alle punkter i definitionsmængden, kaldes f for en differentiabel funktion.
Lektion 1: Efteråret 2011, LØJ Side 4

OPGAVER
1. Givet er funktionen f(x) = 2x 2 , og x 0 = 1
Δ y =
a. Find funktionstilvæksten: f x + h)
− f ( )
(
0
x0
Δy f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
b. Find differenskvotienten (hældningskoefficienten til sekanten): =
h h
f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
c. Find differentialkvotienten (hældningen til tangenten): f ′(
x0 ) = lim
h→0
h
2. Givet er funktionen f(x) = x 2 ‐ 3, og x 0 = ‐2
a. Find funktionstilvæksten: Δ y = f x + h)
− f ( )
(
0
x0
Δy f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
b. Find differenskvotienten (hældningskoefficienten til sekanten): =
h h
f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
c. Find differentialkvotienten (hældningen til tangenten): f ′(
x0 ) = lim
h→0
h
d. Find derefter f´(1) og f´(0) kan du sige noget om hvornår funktionen er voksende og
hvornår den er aftagende
3. Givet er funktionen f(x) = ‐x 2 + 3, og x 0 = ‐2
a. Find funktionstilvæksten: Δ y = f x + h)
− f ( )
(
0
x0
Δy f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
b. Find differenskvotienten (hældningskoefficienten til sekanten): =
h h
f ( x
0+
h)
− f ( x0
)
c. Find differentialkvotienten (hældningen til tangenten): f ′(
x0 ) = lim
h→0
h
d. Find derefter f´(1) og f´(0) kan du sige noget om hvornår funktionen er voksende og
hvornår den er aftagende
4. Bestem f´(x 0 ), når
a. f(x) = 3x +4 og x 0 = 2
b. f(x) = 5x + 6 og x 0 = 7
c. f(x) = ‐4x + 8 og x 0 =3
d. f(x) = ‐½x og x 0 = ‐9
e. f(x) = a∙x og x 0 = x 0
f. f(x) = a∙x +b og x 0 = x 0
g. f(x) = ‐½x og x 0 = ‐9
h. f(x) = 34 og x 0 =‐2
i. f(x) = 0 og x 0 =2
j. f(x) = k og x 0 = x 0
k. f(x) = x 2 og x 0 = ‐4
l. f(x) = ‐4x 2 og x 0 = 1
m. f(x) = x 2 og x 0 = x 0
n. f(x) = a∙ x 2 og x 0 = x 0
5.
Lektion 1: Efteråret 2011, LØJ Side 5