Trin 2 - eksempler.pdf

Matematik 

på Åbent VUC 

Trin 2 

Eksempler

Matematik på Åbent VUC 

Indledning til kursister på Trin II 

Indledning til kursister på Trin II 

Dette undervisningsmateriale består af 10 moduler med opgaver beregnet til brug på Trin I 

og 7 moduler med supplerende opgaver beregnet til brug på Trin II. I hvert modul er der en 

bestemt type opgaver. Der er fx et modul med Procentregning og et modul med Geometri. 

Du kan se navnene på alle modulerne i indholdsfortegnelsen. 

En hel del af fagstoffet er fælles for både Trin I og Trin II. Og dette fælles fagstof er kun med i 

modulerne til Trin I. Derfor vil mange kursister, der starter på Trin II, have brug for at arbejde 

med en del af opgaverne i Trin I-modulerne. 

Opgaverne i Trin I-modulerne er mærket: 

- nogle opgaver mærket med 



Jo mere farve der er i mærket, jo sværere er opgaven (synes jeg). 

Som Trin II-kursist skal du især regne opgaver mærket med og . 

Opgaverne i Trin II-moduler er ikke mærkede. Du skal regne så mange som muligt, men du 

kan sikkert ikke nå dem alle. Bed din lærer hjælpe dig med at vælge blandt opgaverne. 

Du må altid hoppe over en opgave eller noget af en opgave, hvis opgaven 

ligner de foregående, og du er sikker på, at du kan regne den. 

Til alle opgave-modulerne hører et modul med eksempler. Hvis du døjer med at regne 

en opgave, kan du næsten altid finde et eksempel, der ligner. 

Til alle opgave-modulerne hører også en facit-liste. Når du arbejder med opgaverne, er det 

en god ide regelmæssigt at kikke i facit-listen. Du får ikke noget ud af at regne en masse 

opgaver på en forkert måde. 

God fornøjelse med opgaverne! 

Niels Jørgen Andreasen 

Lektion 00s - Indledning til kursister på Trin II


Eksempler 

Indholdsfortegnelse for eksempelsamling 

Eksempelsamlingen er inddelt i disse moduler: 

Grundliggende regning og talforståelse ........................................1 

Omregning.....................................................................................6 

Sammensætning af regnearterne .................................................13 

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler.........18 a 

Brøker og forholdstal ..................................................................19 

Procent.........................................................................................28 

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler............36 a 

Bogstavregning ...........................................................................37 

Bogstavregning - supplerende eksempler ...................................46 a 

Funktioner og koordinatsystemer................................................47 

Funktioner - supplerende eksempler...........................................56 a 

Geometri......................................................................................57 

Statistik........................................................................................71 

Statistik........................................................................................78 a 

Kombinatorik og sandsynlighedsregning ...................................79 

Rente, lån og opsparing - supplerende eksempler ......................85 

Hvert modul er inddelt i en række afsnit, og alle modulerne starter med en 

indholdsfortegnelse over disse afsnit. 

Modulerne med supplerende eksempler er udelukkende beregnet til brug på Trin II 

Eksemplerne er lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. 

Arbejdet med eksemplerne er afsluttet i sommeren 2002. 

Jeg vil meget gerne høre fra dig, hvis du opdager fejl i eksemplerne 

eller på anden måde har kommentarer hertil. 

Med venlig hilsen 

Niels Jørgen Andreasen 

niels.joergen.andreasen@vucaarhus.dk 

Lektion 00s - Indholdsfortegnelse til eksempelsamling med supplerende eksempler


Eksempler 

Grundliggende regning 

Indholdsfortegnelse 

Indholdsfortegnelse.......................................................................0 

Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine ...............1 

Talsystemets opbygning - afrunding af tal....................................2 

Store tal og negative tal.................................................................3 

Lig med, større end og mindre end ...............................................3 

Regning med papir og blyant........................................................4 

Gange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v.................................5 

Lektion 01 - Grundliggende regning eksempler Side 0


Eksempler 

Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine 

I eksemplerne herunder skal 

du bruge prislisten til højre. 

Eksemplerne er enkle, men ideen er at vise, 

hvordan man bruger regnemaskinen. 

Mælk, pr. liter ..........7 kr. 

Rugbrød ....................12 kr. 

Kager, pr. stk............5 kr. 

Slik, kæmpepose ... 20 kr. 

Eksempler på opgaver 

Hvad koster en liter mælk 

og et rugbrød 

Hvor meget får man tilbage, 

når man køber et rugbrød 

og betaler med 50 kr. 

Hvad koster 5 liter mælk 

Man får: Man får: Man får: 

Mælk 7 kr. 

Betalt 50 kr. 

Rugbrød 12 kr. 

Rugbrød 12 kr. 

I alt 19 kr. Tilbage 38 kr. 

7 · 5 kr. = 35 kr. 

På regnemaskinen tastes: 

7 x 5 = 

Eller blot: 

7 kr. + 12 kr. = 19 kr. 


7 + 12 = 

Eller blot: 

50 kr. - 12 kr. = 38 kr. 


50 - 12 = 

Man skriver gange med 

en prik, men på regnemaskinen 

skal man taste et kryds. 


Hvor mange kager kan 

man få for 20 kr. 

5 børn deler en kæmpepose slik. 

Hvor meget skal de betale hver 

Man får: 

20 kr. : 5 kr. = 4 


20 ÷ 5 = 

Man får: 

20 kr. : 5 = 4 kr. 


20 ÷ 5 = 

Man skriver division med to prikker, men på regnemaskinen ser tegnet anderledes ud. 

I eksemplet til venstre spørger man: ”Jeg har 20 kr. Hvor mange gange kan jeg få 5 kr.” 

I eksemplet til højre deler man 20 kr. i 5 lige store dele. Men regnestykket er det samme. 



Eksempler 

Talsystemets opbygning - afrunding af tal 

Herunder er tegnet 24 firkanter på to forskellige måder. Til venstre er de placeret på må og få. 

Til højre er de placeret, så de passer til vores talsystem. 

24 betyder nemlig 2 ⋅ 10 + 4 , eller to 10’ere og fire 1’ere. 

325 betyder på samme måde 3 ⋅ 100 + 2 ⋅10 

+ 5 , 

eller tre 100’ere, to 10’ere og fem 1’ere. 

Forestil dig, at du har tre 100-krone-sedler, 

to 10-kroner og fem 1-kroner. 

2,4 betyder to 1’ere (to hele) og fire 10.ende-dele. Det er et tal mellem 2 og 3. 

De enkelte tal i et tal kaldes cifre. 24 har to cifre. 325 har tre cifre. 

Tal med komma i kaldes decimaltal. Cifrene efter kommaet kaldes decimaler. 


Afrund 3,46 til en decimal. 

Afrund 254.312 til helt antal tusinde. 

3,46 er et tal mellem 3,4 og 3,5 

men tættest på 3,5. 

Derfor bliver resultatet: 3,5 

3,46 

254.312 er et tal mellem 254.000 og 255.000 

men tættest på 254.000. 

Derfor bliver resultatet: 254.000 

254.312 

3,4 3,5 

254.000 255.000 

Hvis det tal, som skal afrundes, er præcis i midten, runder man opad. 3,45 afrundes til 3,5. 

I store tal ( som f.eks. 254.312) sætter man ofte - men ikke altid - punktum efter hvert 3. ciffer 

regnet fra højre. Punktummerne må aldrig tastes med ind på regnemaskinen. 

Til gengæld ligner regnemaskinens komma et punktum · Det er ret forvirrende! 



Eksempler 

Store tal og negative tal 

Det kan være svært at forstå meget store tal, men det er vigtigt at kende navnene på dem. 

Her er et par eksempler: 

Der bor omkring fem millioner mennesker i Danmark. Tallet fem millioner skrives 5.000.000. 

Nogle gange skriver man blot fem mio. eller 5 mio. 

En million skrives 1.000.000. Altså et et-tal med seks nuller bagefter. 

Det er det samme som 1.000 

⋅ 1. 000 . 

Der bor omkring seks milliarder mennesker på jorden. Tallet seks milliarder skrives 6.000.000.000. 

Nogle gange skriver man blot seks mia. eller 6 mia.. 

En milliard skrives 1.000.000.000. Altså et et-tal med ni nuller bagefter. 

Det er det samme som tusind millioner eller 1.000 

⋅ 1.000. 000 eller 1.000 

⋅ 1.000 ⋅1. 

000 

Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, 

hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. 


Udregn: 5 − 8 

Udregn: - 3 + 10 

10 

5 

0 

Man får: 

5 − 8 = −3 

Man får: 

− 3 + 10 = 7 

-5 

-10 

Man viser ofte alle tal (positive og negative) på en tallinie med nul i midten. 

-10 -5 

0 

5 

10 

Lig med, større end og mindre end 

Du kender sikkert lighedstegnet. Man skriver 2 + 2 = 4 , fordi 2 + 2 er lig med 4. 

Man kan også skrive 5 + 1 = 8 − 2 eller 117 ,2 = 117, 2 . 

Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud: 

7 > 5 betyder at 

7 er større end 5 

Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej. 

Tegnet åbner sig altid imod det største tal. 

3 < 8 betyder at 

3 er mindre end 8 



Eksempler 

Regning med papir og blyant 

Når man regner med papir og blyant skal man ”sætte i mente” og låne” 


Udregn: 

346 + 52 

Udregn: 

378 + 256 

346 Tallene skrives op over 

378 

+ 52 hinanden og 1’erne lægges + 256 

8 sammen. 4 

346 378 

Derefter lægges 10’erne 

+ 52 + 256 

sammen. 

98 

34 

346 Til sidst lægges 100’erne 

378 

+ 52 sammen. Den tomme plads + 256 

398 

opfattes som 0. 634 

1 

1 1 

1 1 

1’erne lægges sammen og 

giver 14, men ti af 1’ere 

sættes i mente som en 10’er 


giver 13, men ti af 10’ere 

sættes i mente som en 100’er 


giver 6. 


Udregn: 

278 - 47 

Udregn: 

625 - 458 

278 Tallene skrives op over 

625 

- 47 hinanden og 1’erne trækkes - 458 

1 fra hinanden 7 

10 

Man må låne en 10’er for 

at kunne trække 1’erne fra 

hinanden. 

10 10 

278 625 

Derefter trækkes 10’erne fra 

- 47 - 458 

hinanden. 

31 

67 

Man må låne en 100’er for 

at kunne trække 10’ere fra 

hinanden. 

10 10 

278 Til sidst trækkes 100’erne fra 625 

- 47 hinanden. Den tomme plads - 458 

231 

opfattes som 0. 167 

100’erne trækkes fra 

hinanden. Der er fem 

100’er i øverste række. 



Eksempler 


Udregn: 

3 · 42 

Udregn: 

4 · 296 

3 · 42 Tallene skrives op, og 3 og 2 4 · 296 

6 ganges med hinanden. 4 

3 · 42 4 · 296 

3 og 4 ganges med hinanden. 

126 

84 

2 

3 2 

3 2 

4 · 2 9 6 

1 1 8 4 

4 gange 6 giver 24, men 

2-tallet sættes i mente. 

4 gange 9 giver 36. Hertil 

lægges 2-tallet. Man får 38, 

men 3-tallet sættes i mente. 

4 gange 2 giver 8. Hertil 

lægges 3-tallet. Man får 11. 

Gange og division med 10, 100, 1.000 o.s.v. 


10 ⋅ 12 

2,4 ⋅ 100 

150 : 10 

230 : 1.000 

10 ⋅ 12 = 120 

2 ,4 ⋅ 100 = 240 150 :10 = 15 

230 :1.000 = 0, 23 

Man ganger et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at sætte 0’er på tallet eller rykke kommaet til højre. 

Man dividerer et tal med 10, 100, 1.000 o.s.v. ved at fjerne 0’er eller rykke kommaet til venstre. 


80 ⋅ 300 

12.000 : 400 

Man må se bort fra 0’erne i første omgang. 

Man får: 8 ⋅ 3 = 24 

Derefter sættes de tre 0’er bagpå. 

I alt fås: 

80 ⋅ 300 = 

24.000 

Man må fjerne 0’erne parvis på denne måde: 

12.000 : 400 = 12.000 : 400 = 120 : 4 = 30 

I den sidste beregning bruger man, at: 12 : 4 = 3 



Eksempler 

Omregning 


Indholdsfortegnelse.......................................................................6 

Kg-priser........................................................................................7 

Tid og hastighed............................................................................9 

Valuta ..........................................................................................11 

Rente og værdipapirer.................................................................12 

Lektion 02 - Omregning eksempler Side 6


Eksempler 

Kg-priser 

De eksempler, som er vist herunder, kan ofte regnes og skrives op på flere måder. 

Vær også opmærksom på at man kan skrive division på to måder: 

Med et divisionstegn og med en brøkstreg. Det er ofte lidt tilfældigt, om man 

bruger den ene eller den anden skrivemåde. 

Eksempel på opgave 

Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 1,7 kg oksefars. 

Man får: 1,7 

⋅ 59 = 100,30 kr. 


Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Find prisen på 450 g oksefars. 

Opgaven kan regnes på flere måder: 

- Man kan (fordi 1 kg = 1.000 g) sige: 

1.000 g koster 59 kr. 

59 

1 g koster = 0,059 kr. 

1.000 

450 g koster 450 ⋅ 0,059 = 26,55 kr. 

- Man kan i en beregning sige: 

59 ⋅ 450 

1.000 

= 26,55 kr. 

- Eller man kan (fordi 450 g = 0,450 kg) sige: 

0,450 

⋅ 59 = 26,55 kr. 


Oksefars koster 59 kr. pr. kg. Hvor meget oksefars kan man få for 40 kr 



- Eller man kan i en beregning sige: 

1.000 g koster 59 kr. 

59 

1 g koster 

1.000 

For 40 kr. kan man få: 

= 0,059 kr. 

40 

0,059 

= 678 g. 

40 : 59 = 0,678 kg eller 678 g 



Eksempler 


2,5 kg kartofler koster 9,95 kr. Find kg-prisen. 

Man får: 9 ,95 : 2,5 

= 3,98 kr. pr. kg. 


325 g leverpostej koster 11,75 kr. Find kg-prisen. 



325 g koster 11,75 kr. 

11, 75 

1 g koster 325 

= 0,03615… kr. 

1.000 g koster 0,03615 

⋅ 1. 000 = 36,15 kr. 

- Man kan i en beregning sige: 

11,75 

⋅1.000 

= 36,15 kr. 

325 

- Eller man kan (fordi 325 g = 0,325 kg) sige: 

11 ,75 : 0,325 = 36,15 kr. 


225 g leverpostej koster 7,95 kr. Hvad vil 325 g koste 


- Man kan sige: 

- Eller man kan i en beregning sige: 

225 g koster 7,95 kr. 

7,95 

1 g koster = 0,03533… kr. 

225 

325 g koster 0,03533⋅ 325 = 11,48 kr. 

7,95 

⋅325 

225 

= 11,48 kr. 

Eksemplerne ovenfor drejer sig alle om vægtangivelser og kg-priser, men 

regnemetoderne kan let overføres til mange andre typer af opgaver. 

Det er f.eks. den samme tankegang, som er brugt i eksemplerne i de 

efterfølgende afsnit om tid og valuta. 



Eksempler 

Tid og hastighed 

Opgaver med tid er besværlige, fordi tids-enhederne ikke passer ind i vores talsystem. 

Det er let at regne med meter og cm, fordi der er 100 cm i en meter, og det er let at regne 

med kg og gram, fordi der er 1.000 gram i et kg. Men når der er 60 sekunder i et minut og 

60 minutter i en time, kan man let lave fejl. 


Hvor mange minutter er 

4 timer og 17 minutter 

Omregn 310 sekunder 

til minutter og sekunder. 

Man får: 

4 ⋅ 60 + 17 = 

240 + 17 = 257 minutter 

Man siger først: 310 : 60 = 5,16... 

Det betyder, at der er 5 hele minutter, 

som svarer til 5⋅ 60 = 300 sekunder. 

Derfor er: 

310 sekunder = 5 minutter og 10 sekunder 


Det koster 45 kr. i timen at leje en båd. 

- Hvad koster det at leje båden i 

2 timer og 30 minutter 

- Hvor længe har man haft båden, 

når man skal betale 105 kr 

Man kan sige: 

2 t. og 30 min. = 2 ⋅ 60 + 30 = 150minutter 

45 

1 min. koster = 0,75 kr. 

60 

2 t. og 30 min. koster: 150 ⋅ 0, 75=112,50 kr. 

Man kan sige: 

45 

1 min. koster = 0,75 kr. 

60 

For 105 kr. kan man få: 

140 min. = 2 t. og 20 min. 

105 =140 min. 

0,75 


En håndværker tager 780 kr. for 3 timer og 15 minutter. Hvad er timelønnen 

Man kan sige: 

3 t. og 15 min. = 3 ⋅ 60 + 15 = 195minutter 

Prisen pr. minut er: 780 : 195 = 4 kr. 

Prisen pr. time er: 4 ⋅ 60 = 240 kr. 



Eksempler 


Omregn 2 timer og 50 minutter 

til decimaltal. 

Man får: 

2 t. og 50 min. = 2,83 time. 

50 

Det er fordi 50 min. = time = 0,83 time. 

60 

Du må aldrig sige at: 

2 t. og 50 min. = 2,50 time. 

Omregn 1,2 time 

til timer og minutter. 

Man får: 

1,2 time = 1 t. og 12 min. 

Det er fordi 0,2 t. = 0,2 

⋅ 60 min. = 12 min. 

Du må aldrig sige at: 

1,2 time = 1 t. og 20 min. 

En hastighed er den afstand, som noget bevæger sig (kører, cykler, går….) pr. tidsenhed. 

Hvis en bil kører 100 km/time, så vil den på en time kunne køre 100 km. 

Hastighed måles oftest i km/time, men man bruger også andre enheder. Fx m/sekund. 

Eksempler på opgaver: 

En bil kører 240 km 

på 3 timer. 

Hvad er bilens hastighed 

Hvor langt kan du gå 

på 2 timer, når din 

hastighed er 5 km/time 

Hvor lang tid tager det 

at cykle 60 km, når man 

kører 15 km/time 

Man får: 

Man får: 

240 = 80 km/time 

5⋅ 2 = 10 km 

3 

Man kan altid finde hastigheden med formlen til højre. 

Formlen kan omskrives som vist herunder. 

Afstand = Hastighed ⋅ Tid eller 

Tid = 

Man får: 

60 = 4 timer 

15 

Afstand 

Hastighed = 

Tid 

Afstand 

Hastighed 

Prøv selv at sætte tallene fra eksemplerne ovenfor ind i de tre udgaver af formlen. 


Hvad er hastigheden i km/time, når man cykler 36 km på 1 time 30 minutter 

- Da 1 time og 30 min. = 1,5 time, 

- Eller man kan finde hastigheden i km/min. og 

kan man sige: 

gange med 60. Det kan gøres i en beregning: 

36 36 ⋅ 60 

= 24 km/time = 24 km/time 

1,5 

90 



Eksempler 

Valuta 

Kursen på en fremmed valuta er prisen i kroner for 100 stk. af den fremmede valuta. 

I disse eksempler og de tilhørende opgaver er der brugt valutakurser fra sommeren 2001, 

men valutakurser ændrer sig hele tiden. 

Kursen på svenske kr. er 83,91. Det betyder, at 100 svenske kr. koster 83,91 danske kr. 

En svensk krone er altså mindre værd end en dansk krone. Helt præcist: 0,8391 kr. eller 83,91 øre. 

Kursen på US-dollars er 856,91. Det betyder, at 100 US-dollars koster 856,91danske kr. 

En US-dollar er altså mere værd end en dansk krone. Helt præcist: 8,5691 kr. eller 856,91 øre. 

Når man skal regne om mellem danske kroner og fremmed valuta, kan man bruge denne formel: 

F ⋅ K 

D = D = Antal danske kroner F = Antal fremmed valuta K = Valutakursen 

100 

Formlen kan også skrives således: 

D ⋅100 

F = eller 

K 

K = 

D ⋅100 

F 

Eksempler på opgaver: 

Hvor meget koster 

250 US-dollars, 

når kursen er 856,91 

Hvor mange svenske kr. kan 

man få for 800 danske kr., 

når kursen er 83,91 

Hvad er kursen på pesetas, 

når 70.000 pesetas, 

koster 3.139 kr. 

Man får: 

250 ⋅856,91 

= 2.142 kr. 

100 

Eller blot: 

250 ⋅ 8,5691= 2.142 kr. fordi 

hver dollar koster 8,5691 kr. 

Man får: 

800 ⋅100 

= 953 sv. kr. 

83,91 

Eller blot: 

800 = 953 sv. kr. 

0,8391 

fordi hver svensk krone 

koster 0,8391 dansk krone. 

Man får: 

3.139 

⋅100 

= 4,484 

70.000 

100 pesetas koster altså kun 

cirka 4,50 kr. 

Man kan meget let få stillet valuta-regnestykker forkert op, men brug din sunde fornuft til at 

vurdere, om resultatet er rimeligt. 

I eksemplet til venstre må man forvente, at krone-tallet er en del større end dollar-tallet. 

I eksemplet i midten må man forvente, at antal svenske kr. er lidt større end antal danske kr. 

I eksemplet til højre må man forvente, at kursen er lav (langt under 100), fordi antal pesetas 

er langt større end antal kr. 



Eksempler 

Rente og værdipapirer 

Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. 

Renten opgives som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno), men pengene står 

sjældent i netop et år. Derfor beregnes renten efter det præcise antal dage. 

For at gøre beregningen lettere kan man lade som om, der er 30 dage i alle måneder og 

360 dage i et år (fejlen bliver ikke ret stor), men bankens computere bruge de præcise tal. 

Man bruger denne formel (evt. med 365 i stedet for 360): 

K ⋅ r ⋅ d 

R = 

100 ⋅360 

R = beregnet rente i kr. 

K = kapital i kr. 

r = renten pr. år i procent 

d = antal dage (kaldet rentedage) 


Der står 5.000 kr. fra 1. april til 1. juni på en konto med en rente på 3% pro anno. 

Beregn renten, hvis man regner… 

- …med 30 dage i hver måned. - …med det præcise antal dage. 

Der går 2 måneder ≈ 60 dage, så man får: 

5.000 ⋅ 3⋅ 

60 

= 25,00 kr. 

100 ⋅ 360 

Der går 61 dage (tæl selv efter), så man får: 

5.000 ⋅3⋅ 

61 

= 25,07 kr. 

100 ⋅365 

Aktier og obligationer er eksempler på værdipapirer. 

Aktier er andele i virksomheder (aktieselskaber). Hvis virksomheden giver overskud, får aktieejerne 

del i overskuddet (udbytte). En aktie har en pålydende værdi, men handelsprisen kan 

være højere eller lavere. Den kaldes kursværdien og afhænger af, hvor godt virksomheden går. 

Kursen på en aktie er handelsprisen for 

hver 100 kr. i pålydende værdi. 

Formlen viser sammenhængen: 

Kursværdi = 

Pålydendeværdi ⋅ Kurs 

100 

Obligationer er gældsbeviser. Hvis man ejer en obligation har man en sum penge til gode. 

Dette beløb kaldes obligationens pålydende værdi. Man får hvert år udbetalt en bestemt 

procentdel af disse penge i rente, og ved slutningen af obligationens løbetid får man udbetalt 

penge svarende til den pålydende værdi. 

Obligationer kan købes og sælges. Man køber og sælger retten til at få de årlige renter samt - til 

sidst - den pålydende værdi. Renten på en obligation er fast gennem hele løbetiden (mange år), 

mens den varierer andre steder. Derfor svinger handelsprisen på obligationer på samme måde 

som handelsprisen på aktier. Er renten på en obligation højere end renten andre steder, så vil 

kursen på obligationen være høj - og omvendt. 

Udbytte og rente opgives altid som en procentdel af den pålydende værdi (ikke af kursværdien). 



Eksempler 

Sammensætning af regnearterne 


Indholdsfortegnelse.....................................................................13 

Plus, minus, gange og division....................................................14 

Negative tal .................................................................................15 

Parenteser og brøkstreger............................................................17 

Potenser og rødder.......................................................................18 

Lektion 03 - Sammensætning af regnearter eksempler Side 13


Eksempler 

Plus, minus, gange og division 


Udregn: 8 − 5 + 6 − 4 + 2 

Udregn: 6 − 4 + 8 + 2 − 5 

Man regner forfra og får: 

8 − 5 + 6 − 4 + 2 = 

3 + 6 − 4 + 2 = 

9 − 4 + 2 = 

5 + 2 = 7 


6 − 4 + 8 + 2 − 5 = 

2 + 8 + 2 − 5 

10 + 2 − 5 

12 − 5 = 7 

Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. 

Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal 

følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” plus foran det forreste tal). 

Forestil dig at: 

- du skal have 8 kr., 6 kr. og 2 kr., 

- du skal af med 5 kr. og 4 kr. 

Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i. 

(I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har). 

Man kan også tænke således: 8 − 5 + 6 − 4 + 2 = 8 + 6 + 2 − 5 − 4 = 16 − 9 = 7 . 

Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket. 


Udregn: 4 ⋅ 6 : 3 ⋅ 5 : 2 

Udregn: 5 ⋅ 4 : 2 ⋅ 6 : 3 


4 ⋅ 6 : 3⋅5 : 2 = 

24 : 3⋅5 : 2 = 

8 ⋅5 : 2 = 

40 : 2 

= 20 


5⋅ 

4 : 2 ⋅ 6 : 3 = 

20 : 2 ⋅ 6 : 3 = 

10 ⋅ 2 : 3 = 

60 : 3 

= 20 

Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge. 

Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene 

skal følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” gange foran det forreste tal). 



Eksempler 

I lange regnestykker skal man gange og dividere før man plusser og minusser. 


Udregn: 4 ⋅ 5 + 8 : 2 

Udregn: 7 − 12 : 4 + 8 ⋅3 : 6 − 5 

Man får: 

4 ⋅ 5 + 8 : 2 = 

20 + 4 = 24 

Man får: 

7 −12 : 4 + 8 ⋅3 : 6 − 5 = 

7 − 3 + 4 − 5 = 3 

På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står. 

En mindre god regnemaskine vil typisk give 14, hvis man indtaster opgaven til venstre. 

Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således: 

7 −12 : 4 + 8 ⋅3 : 6 − 5 = 

7 

− 

3 

+ 

4 

− 

5 = 3 

Så kan man f.eks. let se, at 4-tallet i anden linie er resultatet af 8 ⋅ 3 : 6 . 

Negative tal 

Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå, 

hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto. 

Der findes specielle regneregler for negative tal. 

Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler. 

Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder. 


Udregn: 5 − 8 

Udregn: 5 + ( −8) 

10 

5 

0 

-5 

-10 

Man får: 

5 − 8 = −3 

Man får: 

5 + ( −8) 

= −3 

Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt. 

I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt. 

Forestil dig, at du har 5 kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet. 

Så vil der være -3 kr. på kontoen (overtræk). 

I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen. 

Forestil dig, at har 5 kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto. 

Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen. 



Eksempler 


Udregn: 6 − (−4) 

Udregn: − 3 − (−7) 

Man får: 

6 − ( −4) 

= 10 

fordi 6 − ( −4) 

svarer til 6 + 4 

Man får: 

− 3 − ( −7) 

= 4 

fordi − 3 − ( −7) 

svarer til − 3 + 7 

Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til, 

fordi to minusser efter hinanden giver plus. 

Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal. 

Tegningen til højre viser, at forskellen på -4 og 6 er 10. 

-5 

0 5 

10 

Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler 

+ ⋅ − = − 

− ⋅ + = − 

og 

+ : − = − 

− : + = − 

og 

− 

− 

⋅ 

: 

− 

− 

= 

= 

+ 

+ 


Udregn: 3 ⋅( 

−5) 

= 

Udregn: (− 24) : 4 

Man får: 

3⋅ 

( −5) 

= −15 

på grund af regnereglen: 

Forestil dig, at der på 3 forskellige 

bankkonti alle ”står” -5 kr. (overtræk). 

I alt ”står” der -15 kr. på de 3 konti. 

+ 

⋅ 

− 

= 

− 

Man får: 

( − 24) : 4 = −6 

på grund af regnereglen: 

− : 

Forestil dig, at en gæld på 24 kr. 

deles i 4 lige store gælds-portioner. 

Hver portion bliver en gæld på 6 kr. 

+ 

= 

− 


Udregn: - 4 ⋅ ( −2) 

= 

Udregn: ( − 20) : ( −5) 

Man får: 

− 4 ⋅ ( −2) 

= 8 

på grund af regnereglen: − ⋅ − = + 

Dette eksempel er svært at forklare. 

Man får: 

( − 20) : ( −5) 

= 4 

på grund af regnereglen: − : − = + 

Forestil dig, at en gæld på 20 kr. skal 

deles i mindre gælds-portioner på 5 kr. 

Der bliver 4 gælds-portioner. 



Eksempler 

Parenteser og brøkstreger 

Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først. 


Udregn: 4 ⋅ (8 − 3) 

Udregn: 6 + (4 ⋅3 

− 2) : 5 

Man får: 

4 ⋅ (8 − 3) = 4 ⋅ 5 = 20 

Man får: 

6 + (4 ⋅ 3 − 2) 

: 5 

= 6 + (12 − 2) 

: 5 

= 

6 + 10 : 5 = 6 + 2 = 8 

En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn. 

Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer. 

Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først. 


Udregn: 

5 + 7 

9 − 6 

8 ⋅3 

Udregn: 3 + − 5 

6 

Man får: 

5 + 7 

= 

9 − 6 

12 

3 

= 4 

Opgaven i eksemplet svarer til at skrive 

( 5 + 7) : (9 − 6) = 12 :3 = 4 , 

men brøkstregen er mere ”fiks”. 

Man får: 

8⋅ 

3 24 

3 + − 5 = 3 + − 5 = 3 + 4 − 5 = 2 

6 6 


Skriv 

6 ⋅ 4 ⋅2 

3 ⋅ 8 

uden brøkstreg. Skriv 8 ⋅ 5 ⋅2 : 4 : 10 på en brøkstreg. 

Man får: 

6 ⋅ 4 ⋅ 2 

= 6 ⋅ 4 ⋅ 2 : 3 : 8 

3⋅8 

Man får: 

8⋅ 

5⋅ 

2 

8 ⋅ 5 ⋅ 2 : 4 :10 = 

4 ⋅10 



Eksempler 

Potenser og rødder 

Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens. 


Skriv 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 som en potens. 

Udregn også resultatet. 

Skriv 

7 

5 som et almindeligt gangestykke. 

Udregn også resultatet. 

Man får: 

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 

4 

6 

Man siger seks i fjerde. 

På regnemaskinen trykkes 6 ^ 4 = for at 

beregne resultatet. Man får: 1.296. 

Man får: 

5 7 = 5 ⋅5⋅ 

5⋅ 

5⋅ 

5⋅ 

5⋅ 

5 = 78.125 

Man siger fem i syvende. 

Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store. 

Bemærk at ”potens-knappen” også kan se således ud: y x 

på regnemaskinen. 

Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens. 

De fleste regnemaskiner har en ”i anden-knap”. Den ser således ud: x 2 . 

For at finde 

5 5 = 

2 

⋅ 5 tastes 5 x 2 og man får 25. 

Rødder er det modsatte af potenser. 


Find 16 Find 3 8 

16 kaldes for kvadratroden af 16. 

Man får 

fordi 

16 = 4 

2 

4 eller 4 ⋅ 4 er 16. 

Man skulle tro, at 16 også kan være − 4 , fordi 

3 

8 kaldes både for den tredje rod af 8 

og for kubikroden af 8. 

Man får 

fordi 

3 

8 = 

2 

3 

2 eller 2 2 ⋅ 2 

⋅ er 8. 

2 

(− 4) er 16 (husk regnereglen: − ⋅ − = + ). 

Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 16 . Og − 16 betyder − 4 . 

Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x . 

Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine. 



Supplerende eksemplet til Trin II 

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler 


Indholdsfortegnelse.....................................................................18 a 

Potenser .......................................................................................18 b 

Rødder .........................................................................................18 d 

10-tals-potenser...........................................................................18 e 

Lektion 03s - Sammensætning af regnearterne supplerende eksempler 

Side 18a



Potenser 

Der findes nogle specielle regneregler for potenser. 

De er vist her til højre. 

Reglerne ser indviklede ud, men hvis man afprøver 

dem på almindelige tal, så er de meget logiske. 

I: 

II: 

III: 

a 

a 

a 

a 

m 

m 

n 

n 

⋅ a 

n 

= a 

⋅ b 

n 

= a 

m−n 

m+ 

n 

= (a⋅ 

b) 

n 

IV: 

V: 

a 

b 

(a 

n 

n 

m 

⎛ a ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ 

) 

n 

= a 

n 

m⋅n 


Skriv på kortere form: 

2 6 3 

6 ⋅ 2 

6 

5 

6 3 3 

4 ⋅ 5 

Man får iflg. regel I: 

2 3 2+ 

3 

6 ⋅ 6 = 6 = 

Men man kan også skrive: 

6 

2 

⋅ 6 

3 

6 

= 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 

og det er naturligvis 

5 

5 

6 

Man får iflg. regel II: 

6 

6 

5 

2 

= 6 

5−2 

= 6 


6 

6 

5 

2 

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 

= 

6 ⋅ 6 

Ved at forkorte får man 

3 

3 

6 

Man får iflg. regel III: 

3 3 

3 

4 ⋅ 5 = (4 ⋅ 5) = 

20 


4 

3 

⋅ 5 

3 

= 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 5⋅ 

5⋅ 

5 = 

4 ⋅ 5⋅ 

4 ⋅5 

⋅ 4 ⋅ 5 = 20 ⋅ 20 ⋅ 20 


3 

20 

3 



4 

6 2 3 

(4 ) 

4 

2 

Man får iflg. regel IV: 

6 

2 

4 

4 

⎛ 6 ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

4 

= 3 


6 

2 

4 

4 

4 

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 

= = 

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 


6 

2 

4 

3 

⋅ 

6 

2 

⋅ 

6 

2 

⋅ 

6 

2 

= 3⋅3⋅ 

3⋅3 

Man får iflg. regel V: 

2 3 2⋅3 

( 4 ) = 4 = 


(4 

2 

) 

3 

= 4 

2 

⋅ 4 

2 

4 

6 

⋅ 4 


2 

6 

4 

= 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 

I eksemplerne på denne side bliver man ikke bedt om at omregne de viste potenser 

til "almindelige" tal, men det kan let gøres på regnemaskinen. 


Side 18b



Når man skriver en potens, kalder man det lille tal eksponenten. 

Selv om det lyder spøjst, kan en eksponent godt være negativ. 

Man definerer en negativ eksponent som vist til højre. 

4 

1 1 

6 − betyder derfor det samme som 

4 eller . 

6 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 

4 

Men skrive-måden 6 − fylder mindre end de andre. 

På regnemaskinen trykkes: 6 ^ (-) 4 = eller på ældre modeller 6 y x 4 +/- = 

Resultater bliver (naturligvis) et meget lille tal. Man får: 0,0007716… 

−n 

a = 

1 

n 

a 

Man definerer også, at et tal opløftet til nulte potens altid giver en. 

Det betyder, at 2 0 = 1 og 117 0 = 1 og 1.000.000 0 = 1 og….. 

De regneregler for potenser, som stod øverst på forrige side, 

gælder også, hvis en eller flere af eksponenterne er negative tal eller nul. 

a 0 = 1 

for alle a 



5 6 -2 6 ⋅ 

3 6 0 6 ⋅ 

2 

(4 ) 

-3 

Man får iflg. regel I: 

5 −2 

5−2 

6 ⋅ 6 = 6 = 


5 −2 

1 

6 ⋅ 6 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 

6 ⋅ 6 

6 

Ved at forkorte får man 

3 

3 

6 

5 

5 −2 

6 

Bemærk også at 6 ⋅ 6 = 

2 

6 

Man får iflg. regel II: 

3 0 3+ 

0 

6 ⋅ 6 = 6 = 


6 

3 

⋅ 6 

0 


6 

= 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅1 

= 6 ⋅ 6 ⋅ 6 

3 

3 

6 

Man får iflg. regel V: 

(4 

) 

3 −2 

= 4 

3 ⋅(-2) 

= 4 

−6 


3 −2 

1 

( 4 ) = = 

3 2 

(4 ) 

1 

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 


6 

4 − 

Til sidst skal nævnes at eksponenten også kan være et decimaltal eller en brøk. 

2 

2,5 

3 

Det er indviklet at forklare, hvad der helt præcis menes med regneudtryk som 3 eller 4 . 

Du kan evt. læse mere andre steder. 

Her skal du blot prøve at indtaste nogle potenser med decimal-eksponent på regnemaskinen. 

Du skal kontrollere (nogle af) tallene i tabellen herunder. 

… 

1,9 

3 

2 

3 

2,1 

3 

2,2 

3 

2,3 

3 …… 

2,9 

3 

3 

3 

3,1 

3 … 

… 8,06.. 9 10,04.. 11,21.. 12,51 …… 24,19.. 27 30,13.. … 

Resultatet af potens-beregningen vokser jævnt i takt med, at eksponenten vokser. 


Side 18c



Rødder 

Rødder er det modsatte af potenser. 

Hvis man skriver 4 625 så mener man det tal, som opløftet til 4. potens giver 625. 

Man siger den 4. rod af 625, og resultatet er 5, fordi 5 4 = 625 

På regnemaskinen trykkes: 4 x √ 625 = eller (på ældre modeller): 625 INV y x 4 = 


Udregn: 

6 3.011 

5 

- 2.548 

4 

0,0016 

Man får: 

6 3.011 = 3,8 (afrundet) 

fordi 3,8 

6 ≈ 3. 011 

6 

Bemærk at (−3,8) 

også er 3.011. 

Men 6 3 . 011 betyder normalt 

det positive af tallene. 

Man får: 

− 2.548 = 4,8 (afrundet) 

5 

− 

5 

fordi ( − 4,8) ≈ −2. 

548 

Bemærk at man godt kan tage 

en ulige rod af et negativt tal. 

Men ikke en lige rod! 

Man får: 

4 

0,0016 = 

0,2 

Bemærk at når man tager 

en rod af et tal, der er mindre 

end en, så bliver resultatet 

større end start-tallet. 

Der findes også specielle regneregler for rødder. 

De minder om reglerne for potenser. 

Reglerne for kvadratrødder (til venstre) er reelt 

kun specielle eksempler på reglerne til højre. 

Reglerne er meget logiske, hvis man afprøver dem 

på almindelige tal. 

n n n 

a ⋅ b = a⋅ 

b a ⋅ b = a ⋅ b 

n 

a a a = n 

b b 

n 

= 

b 

a 

b 

Der findes også en særlig sammenhæng mellem potenser og rødder. 

Denne sammenhæng kan nogle gange bruges i beregninger. 

n 

a = a 

1 

n 



4 ⋅ 

Man får: 

25 

4 ⋅ 25 = 4 ⋅ 25 = 

100 

Kontroller selv, at resultatet bliver det samme 

uanset hvilken skrive-måde, man vælger. 

Udregn: 

1 

3 

512 

Beregningen kan indtastes på regnemaskinen på 

mange måder. En af mulighederne er at bruge at: 

1 

3 

512 = 

3 

512 

1 

Ved at trykke som vist ovenfor, får man: 512 3 = 8 


Side 18d



10-tals-potenser 

Man skriver nogle gange meget store og meget små tal med brug af 10-tals-potenser. 


Skriv som almindelige tal: 

8 

6 ⋅ 10 

12 

4,25 ⋅ 10 

-6 

2 ⋅ 10 

Man får: 

6 ⋅10 

8 

= 

6 ⋅10 

⋅10 

⋅10 

⋅....... 

⋅10 

= 

6 ⋅100.000.000. 

= 

600.000.000 

Der tilføjes i alt 8 nuller, 

8 

fordi der ganges med 10 . 

Et nul for hver gang man 

ganger med 10. 

Man får: 

4,25 ⋅10 

12 

= 

4,25 ⋅10 

⋅10 

⋅10 

⋅....... 

⋅10 

= 

4,25 ⋅1.000.000.000.000. 

= 

4.250.000.000.000 

Kommaet rykkes 2 pladser til 

højre, og der tilføjes 10 nuller. 

I alt 12 ændringer fordi der 

12 

ganges med10 . 

Tænk først på at: 

−6 

1 

10 = 

6 

10 

= 

Derfor får man at: 

2 ⋅10 

−6 

= 

2 

1.000.000 

1 

1.000.000 

= 0,000002 

Det usynlige komma efter 2 

rykkes 6 pladser til venstre, 

fordi omregningen svarer til 

6 gange at dividere med 10. 

Især det midterste eksempel giver en god fornemmelse af, at man kan spare plads ved at 

bruge 10-tals-potenser. Skrive-måden bruges bl.a. inden for videnskaber som fysik og kemi. 

Når man bruger denne skrive-måde, er det meget vigtigt at huske reglerne for, hvorledes man 

ganger og dividerer et tal med 10, 100 osv. Husk at: 

- man ganger et tal med 10, 100 osv. ved at flytte kommaet til højre og/eller tilføje nuller. 

- man dividerer et tal med 10, 100 osv. ved at fjerne nuller og/eller flytte kommaet til venstre. 


8 7 

Udregn: 4 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅10 

Selv om opgaven ser indviklet ud, kan den godt regnes uden brug af regnemaskine: 

8 7 

8 7 

8+ 

7 

15 

4 ⋅10 

⋅ 6 ⋅10 

= 4 ⋅ 6 ⋅10 

⋅10 

= 24 ⋅10 

= 24 ⋅10 

= 2,4 ⋅ 

Den sidste omskrivning - fra 

15 

24 ⋅ 10 til 

at skrive disse tal med netop et ciffer foran kommaet. 

10 

16 

16 

2,4 

⋅ 10 - er udelukkende fordi, der er tradition for 

Hvis du skal bruge regnemaskine, kan du naturligvis bruge potens-knappen: ^ eller y x 

Men regnemaskinen har også en særlig 10-tals-potens-knap. Bed din lærer om hjælp. 


Side 18e


Eksempler 

Brøker og forholdstal 



Hvad er brøker - nogle eksempler...............................................20 

Forlænge og forkorte...................................................................21 

Udtage brøkdele ..........................................................................22 

Uægte brøker og blandede tal .....................................................23 

Brøker og decimaltal...................................................................23 

Regning med brøker - plus og minus..........................................23 

Regning med brøker - gange og division....................................23 

Forholdstal...................................................................................23 

Lektion 04 - Brøker eksempler Side 19


Eksempler 

Hvad er brøker - nogle eksempler 

Tegningerne forestiller en lagkage og to plader chokolade. 

Lagkagen er inddelt i 4 lige store stykker – eller brøkdele. 

Hver brøkdel kaldes 4 

1 (en fjerde-del). 

Chokoladen til venstre er inddelt i 16 lige store stykker. 

Ligesom en Rittersport. 

Hver del kaldes 16 

1 (en sekstende-del). 

Chokoladen til højre er inddelt i 6 lige store stykker. 

Hver del kaldes 6 

1 (en sjette-del). 

Her er to lagkager og to plader chokolade, som der er spist af. 

Der er spist 4 

3 af lagkagen til venstre. Der er 4 

1 tilbage. 


5 af lagkagen til højre. Der er 8 

3 tilbage. 


7 af chokoladen til venstre. Der er 16 

9 tilbage. 


7 af chokoladen til venstre. Der er 12 

5 tilbage. 

Tallet over brøkstregen kaldes tæller. 

Tæller 2 

Tallet under brøkstregen kaldes nævner. 3 

Nævner 

En brøkstreg er også et divisionstegn. 

2 kan betyde to ting, som reelt er det samme: 

3 

- en hel deles i 3 dele - vi tager de 2 

- resultatet af 2 divideret med 3 



Eksempler 

Forlænge og forkorte 

Der findes mange ”navne” for den samme brøk. Man skifter navn ved at forlænge eller forkorte. 

Eksempel på opgaver 

Forlæng brøken 3 

2 med 4. Forkort brøken 16 

4 med 4. 

Man skal gange både tæller og nævner med 4: 

Man får: 

2 

3 

2⋅ 

4 

= 

3 ⋅ 4 

= 

8 

12 

Tegningen viser, at brøkerne 3 

2 og 12 

8 

er ens. 

Man skal dividere tæller og nævner med 4: 

Man får: 

4 

16 

= 

4:4 

16:4 

1 

4 

Tegningen viser, at brøkerne 16 

4 

= 

og 

4 

1 er ens. 

2 

3 

= 

2 ⋅ 4 

3⋅ 

4 

= 

8 

12 

4 

16 

= 

4 : 4 

16 : 4 

= 

1 

4 

Gør man tæller og nævner større uden at ændre brøken, så forlænger man brøken. 

Man forlænger ved at gange tæller og nævner med samme tal. 

Gør man tæller og nævner mindre uden at ændre brøken, så forkorter man brøken. 

Man forkorter ved at dividere tæller og nævner med samme tal. 

Man forkorter normalt mest muligt. 


Hvor stor en brøkdel udgør 15 ud af 20 

15 

Man skal forkorte brøken mest mulig: 

20 

Man får: 

15 

20 

= 

15:5 

20:5 

= 

3 

4 

Tegningen viser resultatet. 



Eksempler 

Udtage brøkdele 


Find 3 

2 af 12. 

Man kan finde 3 

2 af 12 på 2 måder. 

- Man kan enten: 

1 

først sige: af 12= 

12:3= 

4 

3 

2 

og derefter sige: af 12 = 2 ⋅ 4= 

8 

3 

2 2 ⋅12 

- Eller man kan sige: ⋅ 12 = = 8 . 

3 3 

På regnemaskinen tastes 2 × 12 ÷ 3 = 

2 

3 

De tre skriveformer af 12 

2 2 ⋅12 

og ⋅ 12 og 

3 3 

betyder det samme. 


18 svarer til 4 

3 af et tal. Find tallet. 

Man kan finde tallet - det hele - på to måder: 

- Man kan enten: 

1 

først sige: af det hele er 18 : 3 = 6 

4 

3 = 1 

18 = 6 4 = 24 

4 

4 

4 

og derefter sige: Det hele må være 6 ⋅ 4= 

24 

18⋅ 

4 

- Eller man kan sige: = 24 . 

3 

På regnemaskinen tastes 18 × 4 ÷ 3 = 



Eksempler 

Uægte brøker og blandede tal 

Brøker er ofte mindre end en hel. Så er tælleren mindre end nævneren, 

og brøken kaldes en ægte brøk. 4 

3 og 5 

1 er eksempler på ægte brøker. 

Hvis en brøk er større end en hel, er der to skriveformer: 

Man kan både sige, at der er 4 

9 lagkage, 

og at der er 

Altså: 

9 

4 

= 2 

1 

2 lagkage. 

4 

1 

4 

Brøken 4 

9 kaldes en uægte brøk. Tæller er større end nævner. 

Tallet 

1 

2 kaldes et blandet tal. Det er sat sammen af et helt tal og en ægte brøk. 

4 

Tegningen til højre viser, at 

11 

6 

5 

6 

= 1 . 


13 

Omskriv til blandet tal. Omskriv 2 til uægte brøk. 

5 

3 

1 

Man får: 

13 

5 

= 2 

3 

5 

Der bliver 2 hele, fordi 13 : 5 = 2 , rest 3. 

Lav evt. selv en tegning, 

der viser omregningen. 

Man får: 

1 

2 = 

3 

7 

3 

Det er fordi 2 ⋅ 3 + 1 = 7 

Nogle gange skrives regnestykket således: 

1 2⋅3+ 

1 

2 = = 

3 3 

7 

3 



Eksempler 

Brøker og decimaltal 

Decimaltal er også brøker. De kaldes nogle gange decimalbrøker 

Første ciffer efter kommaet er 10.-dele, andet ciffer er 100.-dele o.s.v. 

Almindelige brøker kan laves om til decimaltal ved: 

- enten at forlænge til 10.-dele, 100.dele o.s.v. 

- eller at dividere tæller med nævner på regnemaskinen. 


Omskriv 2 

1 til decimaltal. Omskriv 4 

1 til decimaltal. 

- Man kan enten forlænge: 

- Man kan enten forlænge: 

1 5 

1 25 

25 2 

= = 0,5 

= = 0,25 ( = + 

2 10 

4 100 

100 10 100 

- eller taste 1 ÷ 2 = på regnemaskinen. - eller taste 1 ÷ 4 = på regnemaskinen. 

1 

Så får man: = 

1 

0, 5 

Så får man: = 0, 25 

2 

4 

5 ) 


Omskriv 3 

1 

til decimaltal. 

Man kan ikke forlænge til hverken 10.-dele eller 100.dele eller ….. 

Man får: 1 = 0,333.... 

ved at taste 1 ÷ 3 = på regnemaskinen, og afrunder til fx: 1 = 0, 33 

3 

3 


Omskriv 0,3 til brøk. 

Omskriv 0,75 til brøk. 

Man får: 

3 

10 

0 ,3 = Man får: 

75 

100 

0 ,75 = = 

3 

4 



Eksempler 

Regning med brøker - plus og minus 

Hvis to brøker har samme nævner, kan man lægge dem sammen ved 

at lægge tællerne sammen og beholde nævneren. 

Man trækker brøker fra hinanden på samme vis. 


2 4 

5 3 

+ − 

9 9 

7 7 

Man får: 

2 

9 

4 

9 

6 

9 

+ = , som kan forkortes til 2 . Man får: − = 

3 7 7 7 

5 

3 

2 

Tegningen viser beregningen til venstre: 

2 

9 

+ 

4 

9 

= 

6 

9 

= 

2 

3 

Hvis to brøker med forskellige nævnere skal lægges sammen eller trækkes fra hinanden, 

skal man først finde en fællesnævner. 


1 1 

1 3 

+ − 

2 3 

2 8 

Man får: 

1 

2 

1 

3 

3 

6 

2 

6 

5 

6 

+ = + = 

Man får: 

1 

2 

− 

3 

8 

= 

4 

8 

− 

3 

8 

= 

1 

8 

Tegningen viser beregningen til venstre: 

1 

2 

+ 

1 

3 

= 

3 

6 

+ 

2 

6 

= 

5 

6 



Eksempler 

Regning med brøker - gange og division 

Man ganger et tal og en brøk ved at gange tælleren med tallet og dividere med nævneren. 


3 ⋅ 8 (eller 3 

8 ⋅ 

4 

4 - rækkefølgen er ligegyldig) 

3 

4 

3⋅8 

24 

4 

Man får: ⋅8 

= = = 6 

4 

3 

- Det kan både betyde af 8 hele (til højre) 

4 

3 

- Og betyde 8 portioner på (her under) 

4 

Tegningerne viser, at begge dele giver 6. På regnemaskinen tastes 3 × 8 ÷ 4 = 

Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. 


2 3 ⋅ 

3 4 

Man får: 

2 

3 

⋅ 

3 

4 

= 

2⋅ 

3 

3⋅ 

4 

= 

6 

12 

= 

1 

2 

Tegningerne viser - på to måder - at resultatet er rimeligt. (Men de er lidt svære at forstå) 

2 3 

2 3 

⋅ er det samme som af 

3 4 

3 4 

eller - da rækkefølgen er ligegyldig: 

3 2 

3 2 

⋅ er det samme som af 

4 3 

4 3 

eller 

eller 

2 af eller eller 

3 

3 af eller eller 

4 



Eksempler 

Man dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet. 


3 

: 2 

4 

Man får: 

3 3 2 = 

4 4 ⋅ 2 

: = 

3 

8 

Tegningen til højre viser regnestykket 

3 

4 

: 2 = 

3 

8 

Hvis divisionen går op kan man også gøre som i dette eksempel: 

6 2 

7 

6:2 

: = = 

7 

3 

7 

Man dividerer et tal med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. 


2 

4 : 

3 

2 

3 

3 

2 

4⋅3 

12 

2 

Man får: 4 : = 4 ⋅ = = = 6 

Tegningen til højre viser, at når man 

har 4 hele, kan man 6 gange få 3 

2 

2 

Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. 


1 1 : 

2 3 

Tegningen er svær at forstå 

Man får: 

1 

2 

1 

3 

1 

2 

3 

1 

1⋅3 

2⋅1 

3 

2 

: = ⋅ = = = 1 

1 

2 

Tegningen skal vise, at hvis man 

har 2 

1 plade chokolade, kan man 

1 1 

få plade 1 gang 

3 2 

1 

= 1 

: = : 

2 



Eksempler 

Forholdstal 


Del 1.000 kr. mellem to personer i forholdet 2 : 3. 

Beløbet skal deles i 5 portioner, fordi 2 + 3 = 5 . 

Den ene person får ⋅1.000 

= 400 kr. 

2 

5 

Den anden person får ⋅1.000 

= 600 kr. 

3 

5 


En læskedrik skal blandes med vand i forholdet 1 : 6 . 

Drikken sælges i flasker med 500 ml (½ liter). 

Hvor meget færdigblandet drik bliver der ud af en flaske 

Hver meget koncentreret drik skal man bruge for at få en liter færdigblandet drik 

Der skal bruges 6 ⋅500 

= 3. 000 ml vand til 500 ml koncentreret drik. 

I alt får man 3.500 ml = 3,5 liter færdigblandet drik. 

1 

Fordi 1 + 6 = 7 skal der bruges liter koncentreret drik til en liter færdigblandet drik 

7 

Det svarer til 0,143 liter eller 143 ml. 

Et forhold kan forkortes ligesom en brøk. 

Forholdet 20 : 30 kan forkortes til 2 : 3 . Man dividerer begge tal med 10. 



Eksempler 

Procentregning 



Find et antal procent af…............................................................30 

Procent, brøk og decimaltal ........................................................31 

Hvor mange procent udgør…....................................................32 

Find det hele…............................................................................33 

Promille .......................................................................................33 

Moms...........................................................................................34 

Ændring i procent........................................................................35 

Forskel i procent..........................................................................36 

Lektion 05 - Procent eksempler Side 29


Eksempler 

Ordet procent betyder pr. hundrede, og procentregning er en slags brøkregning, hvor man regner 

1 

med 100-dele - eller prøver at regne om til 100-dele. En procent er . Man skriver 1%. 

100 

Find et antal procent af…. 


På et VUC er der 735 kursister. Heraf er 40% mænd. 

Hvor mange procent af kursisterne er kvinder 

Hvor mange mænd er der 

De to procent-tal for mænd og kvinder skal give 100% tilsammen. 

Derfor er der 100% - 40% = 60% kvinder. 

Antallet af mænd kan findes på flere måder. 

- Man kan - se tegningen - sige: 

100% = 735kursister 

735 

1% = = 7,35kursist 

100 

40% = 7,35 ⋅ 40 = 294 kursister 

Denne måde er nem at forstå 

men besværlig at skrive. 

1% = 7,35 kursist 

40% = 294 kursister 

100% = 735 kursister 

- Eller man kan - i en beregning - sige: 

735⋅ 40 

40% af 735 = = 294 kursister 

100 

40 

Denne skrive-måde er brøk-regning. Man finder af 735. 

100 

På regnemaskinen tastes 735 x 40 ÷ 100 = 

Beregnings-metoden kan sættes på formel på denne måde: 

Del = 

Det hele ⋅ Antalprocent 

100 

- Endelig kan man - i en beregning - sige: 

40% af 735 = 0,40 

⋅ 735 = 294 kursister. 

Her bruger man, at 40% er det samme som decimal-tallet 0,40 (se næste side). 



Eksempler 

Procent, brøk og decimaltal 

Procent-tal, brøker og decimal-tal er tre sider af samme sag. 

Således er 50% både det samme som 2 

1 og det samme som 0,5. 

Et procent-tal kan altid omskrives til det samme antal 100-dele. Nogle gange kan man forkorte. 


Omskriv disse procent-tal til brøker: 7% , 80% og 250% 

Man får: 

7 % = 

7 

100 

80 

80 % = = 

100 

4 

5 

Tegningen viser at 

80 % = 

4 

5 

250 5 1 

250 % = = = 2 

100 2 2 

En brøk kan nogle gange omskrives til procent-tal ved at forlænge eller forkorte til 100-dele. 

Men langt fra alle brøker kan forlænges eller forkortes til 100-dele (se næste side). 

Man laver et procent-tal om til et decimal-tal ved at rykke kommaet to pladser til venstre. 

Man laver et decimal-tal om til et procent-tal ved at rykke kommaet to pladser til højre. 


Omskriv disse procent-tal til decimal-tal: 5% , 60% og 147% 

Man får: 5 % = 0, 05 60 % = 0, 60 (eller blot 0,6) 147% = 1,47 


Omskriv disse decimal-tal til procent-tal: 0,005 ; 0,75 og 4,3 

Man får: 0,005 = 0,5% 0,77 = 75% 4,3 = 430% 



Eksempler 

En brøk kan altid omskrives til procent-tal ved at dividere tæller med nævner 

og rykke kommaet to pladser til højre. Man bruger decimal-tal som mellem-resultat 


Omskriv disse brøker til procent-tal: 4 

3 og 3 

2 

3 

2 

Man får: = 0,75 = 75% 

= 0,66666... = 67% 

4 

3 

3 3 75 

I opgaven med kan man også sige = = 75% 

. 

4 4 100 

2 

I opgaven med er resultatet et uendeligt decimal-tal. Man kan også sige 66,7% eller 66,67%…. 

3 

Hvor mange procent udgør….. 


På et VUC er der 395 kursister. Heraf er 257 kvinder. 

Hvor mange procent af kursisterne er kvinder 

Procent-tallet kan findes på flere måder. 


100 % = 395kursister 

395 

1 % = = 3,95kursist 

100 

257 

Kvinderne udgør = 65% af kursisterne. 

3,95 


Kvinderne udgør 

257 ⋅100 

= 65% af kursisterne. 

395 

257 

Man omregner brøken til procent-tal. På regnemaskinen tastes 257 ÷ 395 x 100 = 

395 

Man beregner, hvor mange procent en del udgør af det hele, på denne måde: 

Del ⋅100 

Antalprocent = 

Det hele 



Eksempler 

Find det hele….. 


51 personer deltog i sports-klubbens årsmøde. Det svarer til 15% af medlemmerne. 

Hvor mange medlemmer er der i alt 

Tallet kan findes på flere måder. 


15% = 51 personer 

51 

1 % = = 3,4 person 

15 

I alt er der 3,4 ⋅100 

= 340 medlemmer af sportsklubben. 


I alt er der 

51⋅100 

= 340 medlemmer af sportsklubben. 

15 

På regnemaskinen tastes 51 ÷ 15 x 100 = 

Når man ved, hvor mange procent en del udgør, kan man beregne det hele på denne måde: 

Det hele 

Del ⋅100 

= 

Antalprocent 

Promille 

Promille ligner procent, men ordet betyder pr. tusinde. En promille er altså 

Promille-opgaver regnes stort set som procent-opgaver. 

1 

1.000 

og skrives 1‰. 


Find 2‰ af 60.000 kr. 

Man får: 

2‰ af 60.000 kr. = 

60.000 

⋅ 2 

= 120 kr. 

1.000 

Læg mærke til, at der divideres med 1.000 i stedet for med 100. 



Eksempler 

Moms 

Alle priser tillægges 25% moms. 


Et par bukser koster 156 kr. uden moms. Find prisen med moms. 

Opgaven kan besvares på mange måder: 


Pris uden moms: 156 kr. 

156 ⋅ 25 

Moms: = 

100 

39 kr. 

I alt 

195 kr. 

- Eller man kan sige: 

Pris uden moms: 156 kr. 

Moms: 0,25⋅ 156 = 39 kr. 

I alt 

195 kr. 


156 ⋅125 

Pris med moms: = 195 kr. 

100 


Pris med moms: 1,25⋅156 

= 195 kr. 

Pas på når du skal regne baglæns og 

finde prisen uden moms. 

Tegningen til højre viser, at: 

- momsen udgør 25% 

eller 4 

1 af prisen uden moms. 

25 1 

- men momsen udgør eller 125 5 

eller 20% af prisen med moms. 

Pris uden moms Moms 

25% 

100% 

Pris med moms 

100% 25% 

100% 25% 25% 


En boremaskine koster 499 kr. med moms. Find prisen uden moms. 

Man får: 

Pris uden moms: 

499 ⋅100 

= 399,20 kr. 

125 



Eksempler 

Ændring i procent 

En ændring kan her både betyde en stigning og et fald. 


En togbillet koster 160 kr. 

Prisen stiger med 15%. 

Find prisen efter stigningen. 

En computer koster 9.995 kr. 

Prisen falder med 20%. 

Find prisen efter faldet. 

Begge opgaver kan regnes på flere måder: 


Gammel pris: 

160 kr. 

160 ⋅15 

Stigning: = 

100 

24 kr. 

Ny pris 

184 kr. 


Gammel pris: 9.995 kr. 

9.995 

⋅ 20 

Fald: = 

100 

1.999 kr. 

Ny pris 

7.996 kr. 


160 ⋅115 

Ny pris: = 184 kr. 

100 


Ny pris: 1,15 ⋅160 = 184 kr. 


9.995 ⋅80 

Ny pris: = 7.996 kr. 

100 


Ny pris: 0,80 

⋅ 9. 995 = 7.996 kr. 

Man finder en ændring i procent på denne måde: 

Ændring i procent 

= 

Ændring i tal ⋅100 

Starttal 


Prisen på en busbillet er 

vokset fra 18 kr. til 22 kr. 

Find stigningen i procent. 

Prisen på et TV er faldet 

fra 2.999 kr. til 1.999 kr. 

Find faldet i procent. 

Man får: 

Stigning i tal: 22 - 18 = 4 kr. 

Stigning i procent: 

4 ⋅100 

= 22,2% 

18 

Man får: 

Fald i tal: 2.999 - 1.999 = 1.000 kr. 

1.000 

⋅100 

Fald i procent: = 33,3% 

2.999 

Du skal altid dividere med start-tallet uanset om start-tallet er størst eller mindst. 



Eksempler 

Forskel i procent 

Du skal finde en forskel i procent, når der i en opgave bliver spurgt om, hvor meget et tal 

er større end (eller mindre end) et andet tal. Eller højere end eller lavere end eller dyrere end eller... 

Man finder en forskel i procent på denne måde: 

Forskel i 

Forskel i tal ⋅100 

procent = 

"End"-tal 

Man kan også skrive Sammenligningstal under brøkstregen, men ordet end bliver næsten 

altid brugt i spørgsmålene. 

Nu kommer to eksempler, som ligner hinanden, men alligevel giver forskellige resultater. 

Hold tungen lige i munden!!! 


En liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Køb 

og 7,50 kr. i Nær-Kiosken. 

Hvor mange procent er Nær-Kiosken 

dyrere end Super-Køb 

En liter mælk koster 6,00 kr. i Super-Køb 

og 7,50 kr. i Nær-Kiosken. 

Hvor mange procent er Super-Køb 

billigere end Nær-Kiosken 

Man skal dividere med prisen i Super-Køb, 

fordi der blive spurgt ”end Super-Køb”. 

Man får: 

Forskel i tal: 7,50 - 6,00 = 1,50 kr. 

Man skal dividere med prisen i Nær-Kiosken, 

fordi der blive spurgt ”end Nær-Kiosken”. 

Man får: 

Forskel i tal: 7,50 - 6,00 = 1,50 kr. 

Forskel i procent: 

1,50 

⋅100 

= 25% 

6,00 

Forskel i procent: 

1,50 

⋅100 

= 20% 

7,50 

Tegningen viser, at forskellen fylder mere 

sammenlignet med Super-Køb 

end sammenlignet 

med Nær-Kiosken. 

Pris i Super-Køb 

Pris i Nær-Kiosken 

Forskel 

Forskel 

Pris i Super-Køb 

Forskel 

Pris i Nær-Kiosken 



Supplerende eksempler til Trin II 

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler 



Procenter og decimaltal...............................................................36 b 

Vækst-fomlen..............................................................................36 d 

Fra side 36f og fremefter vises eksempler på brug af vækstformlen. 

Formlen skrives normalt på denne måde: 

K + 

n 

n 

= K 

0 

(1 r) 

K n = slutværdi 

K 0 = startværdi 

r = vækstprocenten som decimaltal 

n = antal ændringer 

Der er vist fire typer af eksempler med vækstformlen: 

- eksempler hvor K n er ukendt 

- eksempler hvor K 0 er ukendt 

- eksempler hvor r er ukendt 

- eksempler hvor n er ukendt 

Det er meget vigtigt, at du er klar over, at vækstformlen er i familie med 

x 

eksponentialfunktionen, der normalt skrives på denne måde: y = b ⋅ a 

Det kan være lidt forvirrende, men de to formler/funktioner udtrykker 

faktisk præcis det samme rent matematisk. 

Lektion 05s - Procent og eksponentiel vaekst supplerende eksempler 

Side 36a



Procenter og decimaltal 

Når et tal skal ændres med et bestemt antal procent, og man skal finde den nye værdi, så er 

langt den hurtigste metode at udnytte sammenhængen mellem procenttal og decimaltal. 

Det er altid det oprindelige tal, der sættes til 100% = 1,00 


Du har en timeløn på 88,40 kr., og du 

får lovning på en lønforhøjelse på 5%. 

Hvad bliver din nye timeløn 

En cykel, der normalt koster 2.995 kr., 

sælges nu med en rabat på 15%. 

Hvad bliver den nye pris for cyklen 

Den nye løn bliver 100% + 5% = 105% af den 

gamle løn. Da 105% = 1,05 får man: 

88,40 

⋅ 1,05 = 92,82 kr. 

Den nye pris bliver 100% - 15% = 85% af den 

gamle pris. Da 85% = 0,85 får man: 

2.995 

⋅ 0,85 = 2.545,75 kr. 

Metoden kan sættes på formel på denne måde: 

(prøv selv at indsætte tallene fra eksemplerne) 

Nyt tal = Gammelt tal ⋅ (1+ r) 

r = ændringsprocenten som decimaltal (med fortegn) 

Metoden kan også bruges, hvis du skal regne baglæns. 


Du får efter en lønforhøjelse på 2,5% 

nu en månedsløn på 18.942 kr. 

Hvad var din løn før forhøjelsen 

Et komfur koster efter en prisnedsættelse 

på 35% nu 2.596,75 kr. 

Hvad kostede komfuret før nedsættelsen 

Den nye løn er 100% + 2,5% = 102,5% af den 

gamle løn. Da 102,5% = 1,025 får man: 

18.942 = Gammelløn ⋅1,025 

18.942 

Gammelløn = = 18.480 kr. 

1,025 

Den nye pris er 100% - 35% = 65% af den 

gamle pris. Da 65% = 0,65 får man: 

2.596,75 = Gammel pris ⋅ 0,65 

Gammelpris = 

2.596,75 

= 3.995 kr. 

0,65 

Bemærk at det altid er det "gamle tal", der sættes til 100%. Uanset om der sker 

en stigning eller et fald, og uanset om man regner fremad eller bagud i tid. 


Side 36b



Hvis et tal over flere omgange skal ændres med bestemte antal procent, så beregnes 

ændringen altid i forhold til "der, hvor man er kommet til". 


Som nyansat i et firma får du en startløn på 16.200 kr. pr. måned. 

Men du får hurtigt lønforhøjelse to gange. Først på 10% og siden på 15%. 

Hvor meget kommer du til at tjene 

Efter den første lønforhøjelse kommer du til at tjene 100% + 10% = 110% af startlønnen. 

Da 110% = 1,10 bliver lønnen: 16.200 

⋅ 1, 10 = 17.820 kr. 

Efter den anden lønforhøjelse kommer du til at tjene 100% + 15% = 115% af 17.820 kr. 

Da 115% = 1,15 bliver lønnen: 17.820 

⋅ 1, 15 = 20.493 kr. 

Det hurtigste er at finde resultatet i en beregning på denne måde: 

16.200 

⋅ 1,10 ⋅1,15 

= 20.493 kr. 

Bemærk at startlønnen ganges med 1 ,10 ⋅ 1,15 = 1, 265. Derfor er lønnen efter de to forhøjelser 

hele 26,5% højere end startlønnen, selv om 10% + 15% = 25%. 

Bemærk også at det er forkert 

at regne opgaven som vist til højre. 

Den sidste stigning på 15% skal 

beregnes af lønnen efter den første 

stigning og ikke af startlønnen. 

Rent sprogligt kan dette være svært 

at høre, men sådan er "reglerne". 

Startløn 

16.200 kr. 

+ Forhøjelse på 10%: 16.200 

⋅ 0, 10= 1.620 kr. 

+ Forhøjelse på 15%: 16.200 

⋅ 0, 15= 2.430 kr. 

= Løn efter begge forhøjelser: 20.250 kr. 

Metoden ovenfor kan også bruges, hvis et tal falder, og/eller hvis man skal regne baglæns. 


Et par bukser er under et udsalg sat ned to gange. Først med 20% og siden med 40%. 

Bukserne koster nu 138 kr. 

Hvor meget kostede bukserne før udsalget 

En nedsættelse på 20% svarer til at beholde 100% - 20% = 80% = 0,80 

En nedsættelse på 40% svarer til at beholde 100% - 40% = 60% = 0,60 

Man får: 

138 = Førpris ⋅ 0,80 ⋅ 0,60 = Førpris ⋅ 0,48 

Førpris = 

138 

0,48 

= 287,50kr. 


Side 36c



Vækst-fomlen 

Når et tal over flere omgange skal ændres med det samme antal procent, 

bruger man vækst-formlen: 

K + 

n 

n 

= K 

0 

(1 r) 

K n = slutværdi 

K 0 = startværdi 

r = ændringsprocenten som decimaltal (med fortegn) 

n = antal ændringer 

Man bruger bogstaverne K og r i formlen, fordi den ofte bruges til renteberegning. 

Så står K for kapital, mens r står for rentesatsen. 


Du har en forsikring, hvor den årlige 

præmie lige nu er på 1.248 kr. 

Præmien skal stige med 3% om året 

de kommende 4 år. 

Hvad bliver præmien om 4 år 

På en ø bor der lige nu 816 indbyggere, 

men tallet forventes at falde med ca. 4% 

om året de næste mange år. 

Hvor mange indbyggere kan man forvente, 

at der vil være på øen om 7 år 

K 0 (startværdien) er 1.248, 

r (ændringsprocenten) er 3% = 0,03 

og n (antal ændringer) er 4. 

Slutværdien (K 4 ) findes således: 

K 

K 

K 

4 

4 

4 

= 1.248⋅ 

(1+ 

0,03) 

= 1.248⋅1,03 

= 1.405kr. 

4 

4 

= 1.248 ⋅1,1255.... 

K 0 (startværdien) er 816, 

r (ændringsprocenten) er -4% = -0,04 

og n (antal ændringer) er 7. 

Slutværdien (K 7 ) findes således: 

K 

K 

K 

7 

7 

7 

= 816 ⋅ (1− 

0,04) 

= 816 ⋅ 0,96 

= 613 indbyggere 

Bemærk at eksemplerne ovenfor helt svarer til eksemplerne på sidste side. 

At gange med 1,03 4 svarer til at gange med 1,03⋅ 1,03⋅1,03⋅1, 

03. 

At gange med 0,96 7 svarer til at gange med 0,96 

⋅ 0,96 ⋅...... 

⋅ 0, 96 . 

7 

7 

= 816 ⋅ 0,7514.... 

Bemærk også at 1,03 4 = 1,1255. Selv om 4 ⋅ 3% 

= 12%, så lægger man i alt 12,55% til starttallet. 

Det er fordi, de 3% procent hver gang - som vist herunder - beregnes af et lidt større tal. 

Antal år fra nu 0 1 2 3 4 

Pris i kr. pr. år 1.248,00 1.285,44 1.324,00 1.363,72 1.404,63 ≈ 1.405 

Ændring 

+ 37,44 + 38,56 + 39,72 + 40,91 

Der regnes med 

flere decimaler 

end de viste. 

Bemærk også at 0,96 7 ≈ 0,75. Selv om 7 ⋅ 4% 

= 28%, så trækker man i alt kun 25% fra starttallet. 

Det er fordi, de 4% hver gang beregnes af et lidt mindre tal. Lav selv en tabel som ovenfor. 


Side 36d



Udtrykket eksponentiel vækst - som står i overskriften - betyder ganske enkelt, 

at noget regelmæssigt vokser (eller falder) med et bestemt antal procent. 

Vær opmærksom på, at vækst-formlen er i familie med eksponentialfunktionen. 

x 

Den skrives normalt på formen y = b ⋅ a . Den er omtalt i et andet modul. 

De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk. 

I eksemplerne på sidste side, blev vækst-formlen brugt til at finde K n . 

Men formlen kan også bruges til at finde en af de andre størrelser (K 0 , r eller n). 

Det er dog en del sværere, fordi man enten skal regne baglæns (lignings-løsning) 

eller prøve sig frem (simulation). I de næste eksempler skal vi finde K 0 . 


I 1991 blev et beløb indsat på en konto, 

der giver en fast årlig rente på 5%. 

I 2001 var beløbet vokset til 40.722 kr. 

Hvor mange penge blev der indsat 

I 1999 var der ca. 400 harer i et område. 

Bestanden var faldet med ca. 15% pr. år 

i årene forinden. 

Hvor mange harer var der i 1994 


n (antal ændringer) er 2001 - 1991 = 10 

K 10 (slutværdien) er 40.722 

K 0 (startværdien) er ukendt og findes således: 

40.722 = K 

40.722 = K 

K 

0 

0 

0 

⋅ (1+ 

0,05) 

⋅1,05 

10 

10 

40.722 

= = 25.000 kr. 

10 

1,05 


n (antal ændringer) er 1999 - 1994 = 5. 

K 5 (slutværdien) er 400 

K 0 (startværdien) er ukendt og findes således: 

400 = K 

400 = K 

K 

0 

0 

0 

400 

= 

0,85 

⋅ (1− 

0,15) 

⋅ 0,85 

5 

5 

5 

≈ 900 harer 

På regnemaskinen trykkes 40722 ÷ 1,05 ^ 10 = i eksemplet til venstre 

I eksemplet til højre, får man 901 som resultat, men der er naturligvis ingen, der kan vide, 

hvor mange harer der præcis er i et område. Tallene 400 og 15% er behæftet med usikkerhed. 

Derfor opgives facit som et rundt tal. 

Med fare for forvirring vises her en typisk fejl. 

Det er fristende at regne eksemplet til højre således, 

men resultatet bliver anderledes, og det er forkert. 

I den forkerte beregning er der regnet "fremad" i 

stedet for "bagud". Men det er vigtigt at holde styr på, 

hvad der er starttal, og hvad der er sluttal. 

K 

K 

K 

5 

5 

5 

= 400 ⋅ (1+ 

0,15) 

= 400 ⋅1,15 

≈ 800 harer 

5 

5 

= 400 ⋅ 2,01.... 


Side 36e



Nu kommer der eksempler på, hvorledes man kan beregne r, når de andre størrelser er kendte. 

Hold tungen lige i munden. Det er meget svært! 


I 1992 blev der indsat 12.000 kr. 

på en konto. I 2001 var beløbet 

(m. rente) vokset til 17.833 kr. 

Find den årlige rente 

Oplaget for en avis er fra 1995 til 2000 

faldet fra 27.400 til 21.100 eksemplarer. 

Find det gennemsnitlige årlige fald målt i 

procent 



K 0 (startværdien) er 12.000 

r (ændringsprocenten) er ukendt 

og kan findes således: 

17.833 = 12.000 ⋅ (1+ 

r) 

17.833 

= (1+ 

r) 

12.000 

9 

1,486.. = (1+ 

r) 

1,486.. = 1+ 

r 

1,045 = 1+ 

r 

9 

9 

r = 1,045 −1 

= 0,045 = 4,5% 

Altså en årlig rente på 4,5% 

9 




r (ændringsprocenten) er ukendt 

og kan findes således: 

5 

21.100 = 27.400 ⋅ (1+ 

r) 

21.100 

= (1+ 

r) 

27.400 

0,770.. = (1+ 

r) 

0,770.. = 1+ 

r 

0,949 = 1+ 

r 

5 

5 

r = 0,949 −1 

= -0,051 = -5,1% 

Altså et årligt fald på 5,1% 

5 

9 

I eksemplet til venstre tager man den 9. rod af 1,486 og får 1,045. Altså: 1,486 = 1, 045 

Det er fordi, at 1,045 opløftet til 9. potens giver 1,486. Altså fordi: 1,045 9 = 1, 486 

På regnemaskinen trykkes: 9 x √ 1,486 = eller (på ældre modeller): 1,486 INV y x 9 = 

I eksemplet til højre finder man et gennemsnitligt årlige fald på 5,1%. 

Men det præcise fald kan godt have været større nogle år og mindre andre år. 

I eksemplet til venstre kan renten godt være variabel. Så er 4,5% også et gennemsnitstal. 

Her vises igen en typisk fejl. Det er fristende 

at regne eksemplet til højre således, men 

resultatet bliver anderledes, og det er forkert. 

Når der står gennemsnitlig ændring i procent, 

(og en ændring kan både være en stigning 

eller et fald) skal man bruge vækst-formlen. 

Samlet fald i tal: 27.400 - 21.100 = 6.300 

6.300 ⋅100 

Samlet fald i procent: = 23,0% 

27.400 

23,0% 

Gennemsn. fald i procent: = 4,6% 

5 


Side 36f



Til sidst kommer der eksempler på, hvorledes man kan finde n, når de andre størrelser er kendte. 

I stedet for at regne baglæns (lignings-løsning), prøver man sig frem (simulation). 


Du sætter 6.000 kr. ind på en konto 

med en fast årlig rente på 4%. 

Hvornår vil beløbet (m. rente) 

nå op på 10.000 kr. 

Der bor lige nu 13.850 personer 

i en kommune, men tallet forventes 

at falde med 2% om året. 

Hvornår vil befolkningstallet nå 12.000 

K n (slutværdien) er 10.000 



n (antal ændringer) er ukendt. 

Man gætter på et tal som n-værdi, 

sætter tallet ind i formlen og beregner K n . 

Vi gætter først på 10 år (n = 10) og får: 

10 

K10 = 6.000 ⋅1,04 

= 8.881 kr. 

Resultatet er mindre end 10.000, så vi må prøve 

med et større n. Her n = 15: 

15 

K15 = 6.000⋅1,04 

= 10.806 kr. 

Nu er resultatet for stort men dog lidt tættere på. 

Ved fortsat at prøve os frem, når vi til at: 

13 

K13 = 6.000 ⋅1,04 

= 9.990≈ 

10.000kr. 

n må altså være 13 år. 

K n (slutværdien) er 12.000 



n (antal ændringer) er ukendt 

Man gætter igen på et tal som n-værdi, 

sætter tallet ind i formlen og beregner K n . 

Vi gætter igen på 10 år (n = 10) og får: 

10 

K10 = 13.850 ⋅ 0,98 = 11.316 personer 

Resultatet er mindre end 12.000, så vi prøver 

med et mindre n. Her n = 5: 

5 

K 

5 

= 13.850 ⋅ 0,98 = 12.519 personer 

Nu er resultatet for stort men dog lidt tættere på. 

Ved fortsat at prøve os frem, når vi til at: 

7 

K 

7 

= 13.850 ⋅ 0,98 = 12.024≈ 

12.000 pers. 

n må altså være 7 år. 

Eksemplet ovenfor til venstre kan også regnes således: 

10.000 

10.000 

= 1,04 

6.000 

1,666... = 1,04 

n 

= 6.000 ⋅1,04 

Så kan man efterfølgende - som ovenfor - sætte forskellige 

n 

n 

n-værdier ind og forsøge at ramme 1,04 n = 1,666... 

. 

For n = 13 får man: 1,04 13 = 1,665 

Metoden er hurtigere, men den er også sværere at forstå. 

Prøv selv at bruge metoden på eksemplet ovenfor til højre. 

Til sidst disse bemærkninger: 

• eksemplerne ovenfor er lidt for "pæne". Du finder meget sjældent en n-værdi, 

der får formlen til at passe så godt som i disse eksempler. 

• der findes en metode til at beregne n. Men den kræver brug af logaritme-funktionen, 

og den må du læse om andre steder. 


Side 36g


Eksempler 

Bogstavregning 



Formler........................................................................................38 

Reduktion ....................................................................................39 

Ligninger .....................................................................................40 

Lektion 06 - Bogstavregning eksempler Side 37


Eksempler 

I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. 

Formler 

En formel er en slags regne-opskrift, hvor man med bogstaver viser, hvorledes noget 

skal regnes ud. F.eks. formler til beregning af areal og rumfang af geometriske figurer. 

Man skifter formlens bogstaver ud med tal og regner så løs som i et almindeligt 

regnestykke. Hvis formlen er kompliceret, bliver regnestykket det også. 


Beregn: 

R = 5 ⋅ S + 7 

når S = 3 

Beregn: 

F = (2,5 ⋅ g − 12) 

når g = 9 og h = 6 

: h 

Man får: 

R = 5 ⋅S+ 

7 

= 5 ⋅3 

+ 7 

= 15 + 7 = 22 

Man får: 

F = (2,5 ⋅ g−12) 

: h 

= (2,5 ⋅9 

−12) 

= (22,5 −12) 

: 6 

: 6 

= 10,5 : 6 = 1,75 

I de næste eksempler er der udeladt gangetegn i formlerne. Det gør man ofte. 


Beregn: 

n − 5 

M = 5n + − 8 

3 

når n = 11 

Beregn: 

Z = 4x 

2 − 

y 

når x = 3 og y = 25 

Man får: 

n− 

5 

M = 5n+ 

− 8 

3 

11− 

5 

= 5 ⋅11+ 

− 8 

3 

= 55 + 2 − 8 = 49 

Man får: 

Z = 4 x 

2 

− 

y 

2 

= 4 ⋅3 

− 25 

= 4 ⋅9 

− 5 = 36 − 5 = 31 



Eksempler 

Reduktion 

Reduktion betyder, at man prøve at skrive bogstavudtryk (det samme som formler) 

på en kortere måde. Man regner med bogstaver. 


Reducer: 

5 ⋅ a − 2 ⋅ a + a 

Reducer: 

2x + 5y − 3 + x − 3y − 4 

Bogstavet a symboliserer et tal. 

Ikke et bestemt tal. Blot et eller andet tal. 

Når a står alene, er det det samme som1⋅ 

a 

Man får: 

5⋅ a− 

2 ⋅a+ 

a = 4⋅ 

a eller blot 4a 

Man kan regne x’er sammen, man kan regne y’er 

sammen, og man kan regne tal sammen. 

Man får: 

2 x+ 

5 y− 

3 + x− 

3y− 

4 = 

2 x+ 

x+ 

5 y− 

3 y− 

3 − 4 = 

3x+ 

2 y− 

7 

Det kan være svært at forstå ideen i bogstav-reduktion, men prøv at tænke på, at: 

- eksemplet til venstre svarer til at sige: 5 agurker - 2 agurker + 1 agurk = 4 agurker 

- eksemplet til højre til: 2 æbler + 5 pærer - 3 + 1 æble - 3 pærer - 4 = 3 æbler + 2 pærer - 7 

Sammenligningen med frugt og grønt holder ikke helt, men den er god at tænke på. 


Reducer: 

4 ⋅ 2a − 6a : 2 + a 

Reducer: 

3x 

2 

+ 4x − x 

2 

− 3x 

Man får: 

4 ⋅ 2a− 

6a 

: 2 

+ a = 

8a− 

3a+ 

a = 6a 

Læg mærke til at 6a : 2 bliver til 3a. 

Det svarer til det halve af 6a 

Man får: 

3x 

3x 

2 

2 

+ 4 x− 

x 

− x 

2 

2 

− 3x = 

+ 4 x− 

3x = 2 x 

2 

+ x 

Man kan ikke regne x 2 ’er og x’er sammen 

Prøv at udskifte a med 3 i startudtrykket til venstre (og hold hovedet koldt). 

Man får: 4 ⋅ 2 ⋅3 

− 6 ⋅ 3 : 2 + 3 = 24 − 9 + 3 = 18 . Det er det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 3. 

Prøv også at udskifte a med 5 i startudtrykket til venstre (og hold fortsat hovedet koldt). 

Man får: 4 ⋅ 2 ⋅5 

− 6 ⋅ 5 : 2 + 5 = 40 −15 

+ 5 = 30 . Det er stadig det samme som 6 ⋅ a , altså 6 ⋅ 5 . 

Prøv selv at udskifte a med andre tal. Du får altid 

6 ⋅ tallet. Det er ideen i bogstavreduktion. 



Eksempler 

De sidste eksempler med reduktion er stygge: 


Reducer: 

5a + (4 − 2a) + 3 

Reducer: 

3b − (b − 5 + 3a) + 6a 

Reducer: 

5 ⋅ (4 + 2a) + (8a − 6) 

: 2 

Man får: 

5a+ 

(4 − 2a) + 3 = 

5a+ 

4 - 2a+ 

3 = 

5a- 2a+ 

4 + 3 = 

3a+ 

7 

Man får: 

3b− 

(b− 

5 + 3a) + 6a = 

3b− 

b+ 

5 − 3a+ 

6a = 

3a+ 

2b+ 

5 

Man får: 

5 ⋅ (4 + 2a) + (8a− 

6) 

5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2a+ 

8a 

20 + 10a+ 

4a− 

3 = 

14a+ 

17 

: 2 

: 2 

= 

− 6 : 2 = 

Man kan uden videre hæve (fjerne) en plus-parentes. 

Man hæver en minus-parentes ved at ændre fortegnene på hvert led i parentesen. 

Man ganger en parentes med et tal ved at gange hvert led i parentesen med tallet. 

Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet. 

Ligninger 

En ligning er et slags regnestykke, hvor et af tallene mangler - det er udskiftet med et bogstav. 

Man skal finde ud af, hvilket tal der får regnestykket til at passe. 


Løs ligningen: 

12 = x + 5 

Du må gerne gætte eller prøve dig frem. 


3x + 2 = 

20 

Du må gerne gætte eller prøve dig frem. 

Du kan sikkert straks se, at x må være 7. 

Man skriver 

x = 7 

Det kaldes at gætte en løsning. 

Du kan måske se, at x må være 6. 

Man skriver 

x = 6 

For at være sikker kan man regne efter: 

3⋅ 

6 + 2 = 20 

18 + 2 = 20 

20 = 20 



Eksempler 

Man må altid gerne gætte eller prøve sig frem, når man løser ligninger, men når 

ligningerne er komplicerede, er det både svært og tidskrævende. 

Der findes særlige metoder til at løse ligninger. Her kommer nogle eksempler. 

Hvis det første eksempel er for indviklet så prøv at blade videre til de næste sider. 



5 ⋅ x − 6 = 15 

Tænk på ligningen som et spørgsmål der lyder: 

”Hvilket tal har den egenskab, at 5 gange tallet minus 6 giver 15” 

Tænk også på x som et tal der er ”pakket ind” i nogle beregninger. 

Vi skal pakke x ud og se, hvilket tal der gemmer sig inde bagved. 

Til venstre er metoden vist trin for trin. Til højre er nogle af trinene hoppet over. 

5⋅ x− 

6 = 15 Når 5x− 6 er lig med 15, kan man lægge 6 til 

på begge sider af lighedstegnet. 

5 ⋅ x− 

6 + 6 = 15 + 6 Der kommer til at stå noget andet på begge sider, 

men lighedstegnet gælder stadig. 

5⋅ 

x = 15 + 6 

Man lægger 6 til for at ophæve -6. 

5⋅ 

x = 21 

5 ⋅ x 

= 

5 

x = 

21 

5 

21 

5 

x = 4,2 

Der kommer til at stå 5 x i stedet for 5x− 6, 

og x er blevet pakket delvist ud. 

Senere dividerer man med 5 på begge sider af 

lighedstegnet for at ophæve, at der står 5 ⋅ foran x. 

Til sidst er x pakket helt ud, og man kan regne ud, 

at x er 4,2. 

Når man løser en ligning af denne type, nøjes man 

ofte med at skrive som vist til højre. 

5 ⋅ x− 

6 = 15 

5 ⋅ x = 15 + 6 

5 ⋅ x = 21 

x = 

21 

5 

x = 4,2 

Når du løser ligninger kan du også tænke på en gammeldags skålvægt. 

Der står lodder på begge skåle og vægten er i balance. 

På lodderne står der, hvor meget de vejer, 

men tallet mangler på det mørke lod (x). 

Ved at flytte rundt på lodderne, og ved at tilføje og 

fjerne lodder, skal man få det mørke lod (x) til at stå 

alene på den ene vægtskål, uden at vægten tipper. 

Når det mørke lod står alene, kan man regne ud, hvad det vejer 

ved at kikke på lodderne på den anden vægtskål. 



Eksempler 

Når man løser ligninger, må man: 

- lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 

- trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 

- gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. 

- dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. 



x − 7 = 

9 

x− 

7 = 9 

x− 

7 + 7 = 9 + 7 

x = 9 + 7 

x = 16 

Man lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet x− 

7 = 9 

for at ophæve -7. 

x = 9 + 7 


ofte med at skrive som vist til højre. x = 16 

Når man lægger det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man 

flytter et minus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et plus-tal. 



37 = x + 19 

37 = x+ 

19 Man trækker 19 fra på begge sider af lighedstegnet 

37 −19 

= x+ 

19 −19 

for at ophæve +19. 

37 −19 

= x 



18 = x 

Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre 

x = 18 

37 = x+ 

19 

37 −19 

= x 

18 = x 

side, er kun til ”pynt”. x = 18 

Når man trækker det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man 

flytter et plus-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et minus-tal. 



Eksempler 



x 

12 = 

3 

12 = 

x 

3 

x⋅ 

3 

12 ⋅ 3 = 

3 

12 ⋅ 3 = x 

36 = x 

Man ganger med 3 på begge sider af lighedstegnet 

for at ophæve at x bliver divideret med 3. 



Den sidste ændring, hvor x flyttes over på venstre 

side, er kun til ”pynt”. 

12 = 

x 

3 

12 ⋅ 3 = x 

36 = x 

x = 36 

x = 36 

Når man ganger med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man 

flytter et divisions-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et gange-tal. 



4 ⋅ x = 32 

4 ⋅ x = 32 

4 ⋅ x 

= 

4 

x = 

32 

4 

32 

4 

x = 8 

Man dividerer med 4 på begge sider af lighedstegnet 

for at ophæve, at x bliver ganget med 4. 



4 ⋅ x = 32 

x = 

32 

4 

x = 8 

Når man dividerer med det samme tal til på begge sider af lighedstegnet, ser det ud som om, man 

flytter et gange-tal over på den anden side af lighedstegnet og laver det om til et divisions-tal. 



Eksempler 

Her kommer et par eksempler, som er drilske, selv om de ser lette ud: 



13 = 29 - x 

13 = 29 − x 

13 + x = 29 

x = 29 −13 

x = 14 


45 

15 = 

x 

15 = 

15 ⋅ x = 45 

x = 

45 

x 

45 

15 

x = 3 

Man kan ikke ende med at have x til at stå alene bag et minus, bag et divisionstegn 

eller under en brøkstreg. Derfor laver man disse ”tricks”: 

- til venstre fjerner man - x ved at lægge x til på begge sider af lighedstegnet. 

- til højre fjerner man x fra pladsen under brøkstregen ved at gange med x på 

begge sider af lighedstegnet. 

Her kommer nogle mere indviklede eksempler: 



3 ⋅ x − 9 = 21 

3⋅ 

x− 

9 = 21 

3⋅ 

x = 21+ 

9 

3⋅ 

x = 30 

x = 

30 

3 

x = 10 

Først lægger man 9 til på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om -9 flyttes over på den anden side og ændres til +9). 

Derefter dividerer man med 3 på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om 3 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 3 . 

Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). 



Eksempler 



5 ⋅ x − 11 

= 7 

4 

5 ⋅ x−11 

= 7 

4 

5⋅ 

x−11 

= 7 ⋅ 4 

5⋅ 

x−11 

= 28 

5 ⋅ x = 28 + 11 

5 ⋅ x = 39 

x = 

39 

5 

x = 7,8 

Først ganger man med 4 på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om : 4 flyttes over på den anden side og ændres til⋅ 4 ). 

Derefter lægger man 11 til på begge sider af lighedstegnet. 


Til sidst dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om 5 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 5 . 

Husk at brøkstregen betyder divisionstegn). 



6x − 6 = 4x + 1 

6 x− 

6 = 4 x+ 

1 

6 x = 4 x+ 

1+ 

6 

6 x− 

4 x = 1+ 

6 

2 x = 7 

x = 

7 

2 

x = 3,5 

Først lægger man 6 til på begge sider af lighedstegnet. 


Derefter trækker man 4x fra på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om 4x flyttes over på den anden side og ændres til - 4x). 

Derefter regner man sammen på begge sider af lighedstegnet. 


(Det ser ud som om 2 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 2. 

Der er et usynligt gangetegn, og brøkstregen betyder divisionstegn). 

Det er altid en god ide, at kontrollere sine beregninger. I eksemplet ovenfor får man: 

6 ⋅3,5 

− 6 = 4 ⋅3,5 

+ 1 

21− 

6 = 14 + 1 

15 = 15 



Eksempler 

Til sidst kommer et par eksempler, hvor der indgår potenser og rødder: 



x 2 = 49 


x = 4 

x 2 ± 

= 49 

x 

= 4 

x = ± 

49 

x = 4 

2 

x = 

7 

x = 16 

I eksemplet til venstre tager man kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. 

Tænk på at 

2 

x må være x. 

I eksemplet til højre sætter man begge sider af lighedstegnet i anden potens. 

2 

Tænk på at ( x ) må være x. 

Potenserne og rødderne kan også være "pakket ind" som vist herunder: 




2 

4 ⋅ x = 121 

x − 3 = 8 

4 ⋅ x 

2 

= 121 

x − 3 = 8 

x 

x 

2 

2 

= 

= 30,25 

x = ± 

121 

4 

x = ± 5,5 

30,25 

Man skal først have x 2 eller 

x = 8 + 3 

x = 11 

x = 11 

x = 121 

x til at stå alene. Derefter gør man som i de øverste eksempler. 

2 




Bogstavregning - supplerende eksempler 



Reduktion ....................................................................................46 b 

Ligninger .....................................................................................46 d 

Lektion 06s - Bogstavregning supplerende eksempler 

Side 46a



Reduktion 

Her er først et par eksempler med bogstavudtryk, hvor der indgår brøker. 


Reducer: 

2a 

3 

− 

a 

+ a 

2 

Reducer: 

2 + 

3b 

1 

2b 

Vær opmærksom på at opgaven helt svarer til 

at skrive: 

2 

3 

a − 

1 

2 

a + a 

Man finder først en fællesnævner for brøkerne. 

Her vælges 6 (den mindste), og man får: 

2 ⋅ 2a 3⋅ 

a 6 ⋅ a 

− + = 

2 ⋅3 

3⋅ 

2 6 

4a 

6 

− 

3a 

6 

eller med den anden skriveform: 

2⋅2 

2⋅3 

a 

3⋅1 

− 

3 ⋅ 2 

a + 

6 

6 

a = 

4 

6 

a − 

3 

6 

a + 

+ 

6 

6 

6a 

6 

a = 

= 

7 

6 

7a 

6 

a 

Opgaven ligner den ved siden af, men det kan 

forvirre, at der er et bogstav under brøkstregen. 

Man finder igen en fællesnævner. 

Den mindst mulige er 6b. 

Man får: 

2 ⋅ 2 3⋅1 

+ = 

2 ⋅3b 

3⋅ 

2b 

4 

6b 

+ 

3 

6b 

= 

7 

6b 

Man ganger to parenteser med hinanden ved - hver for sig - at gange alle ledene i den første 

parentes med alle ledene i den anden parentes. Men det kan være indviklet at få det hele med. 

Læs eksemplerne herunder mere end en gang!! 

Hvis to parenteser står tæt ved siden af hinanden, er der altid et usynligt gange-tegn imellem. 


Reducer: 

(4a − 6) ⋅ (2a + 4) 

Reducer: 

3ab + (a + 2)(b − 4) + 5a 

Man får: 

4a ⋅ 2a + 4a ⋅ 4 − 6 ⋅ 2a − 6 ⋅ 4 = 

8a 

8a 

2 

2 

+ 16a−12a− 

24 = 

+ 4a − 24 

Man får: 

3ab + a ⋅ b + a ⋅ ( −4) 

+ 2 ⋅ b + 2 ⋅ ( −4) 

+ 5a = 

3ab + ab − 4a + 2b − 8 + 5a = 

4ab + a + 2b − 8 

Man skal især passe på, når der er minus-tegn foran tal eller bogstaver. 

I eksemplet til højre er det negative tal "pakket ind" for at vise, at minuset hører til tallet. 


Side 46b



Du vil oftest have brug for at gange en parentes med et tal eller et bogstav, men man kan 

også gå den anden vej. Man kan sætte noget uden for parentes. Her er et par eksempler. 


Sæt mest muligt uden for parentes i disse udtryk: 

6a + 15b 

5x 2 + 15xy 

Reducer dette udtryk: 

2m 2 − 6mn 

m − 3n 

Man får: 

6a + 15b = 

3⋅ 

2a + 3⋅5b 

= 

3⋅ 

(2a + 5b) 

Man får: 

5x 2 + 15xy = 

5x ⋅ x + 5x ⋅3y 

= 

5x ⋅ (x + 3y) 

Start med at sætte uden for parentes 

over brøkstregen. Man får: 

2m 2 − 6mn 2m ⋅ (m − 3n) 

= 

= 2m 

m − 3n m − 3n 

I eksemplerne herover skal man tænke omvendt af, når man ganger. 

Man opdeler hvert led i tal eller bogstaver, som ganget med hinanden giver ledet. 

Men pas på: Man kan ofte opdele ledene på flere måder, hvoraf kun en kan bruges. 

Til sidst vises et par eksempler med potenser og rødder. 


Reducer disse udtryk: 

2 x 3 

x ⋅ 2 

x 

5 

x 2 

2 ⋅ (3y) 

4x ⋅ x 

Man får: 

x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 

5 

x 

Man får: 

x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x 

x ⋅ x 

= 

3 

x 

Man får: 

2 ⋅ 3y ⋅ 3y = 18y 

2 

Man får: 

4 ⋅ x ⋅ x = 2x 

Eksemplerne ovenfor kan godt regnes uden de viste mellemregninger (eller med mellemregninger 

skrevet på anden vis). 

Herunder er vist nogle regneregler og definitioner, som gælder for regning med potenser og rødder. 

Kontroller selv at de to eksempler ovenfor til venstre, svarer til de to første regneregler. 

a 

a 

a 

m 

m 

n 

⋅ a 

n 

= a 

= a 

m−n 

m+ 

n 

n n 

(a⋅ 

b) = a ⋅ 

b 

n 

⎛ a ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ b ⎠ 

(a 

m 

) 

n 

n 

a 

= 

b 

n 

= a 

n 

m⋅n 

n n n 

a ⋅ b = a⋅ 

b a ⋅ b = a ⋅ b 

−n 

1 

a = 

n 

a 

a n 

a a a 

= 1 

n = 

b b b 

n 

n n 

b 

a = a 


Side 46c



Ligninger 

Ligninger med parenteser og brøkstreger kan være svære at løse. Her er et par eksempler. 

Læg mærke til den måde hvorpå x'et bliver "pakket ud". Rækkefølgen er ikke ligegyldig! 

I det første eksempel skal man fjerne 7 og 5, før man kan fjerne 2. 



5(x + 2) 

7 

= 4 

5(x + 2) 

= 4 

7 

5(x + 2) = 4 ⋅ 7 

5(x + 2) = 28 

x + 2 = 

28 

5 

x + 2 = 5,6 

x = 5,6 − 2 

x = 3,6 


(Det ser ud som om : 7 flyttes over på den anden side og ændres til⋅ 7 ). 

Husk at brøkstregen betyder det samme som et divisionstegn! 

Derefter dividerer man med 5 på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om 5 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 5 ). 

Husk at der er et usynligt gangetegn mellem tal og parentes! 

Til sidst trækker man 2 fra på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om + 2 flyttes over på den anden side og ændres til − 2 ). 



5x + 9 

6 + = 13 

3 

5x + 9 

6 + = 13 

3 

5x + 9 

= 13 − 6 

3 

5x + 9 

= 7 

3 

5x + 9 = 7 ⋅3 

5x + 9 = 21 

5x = 21− 

9 

5x = 12 

12 

x = = 2,4 

5 

Først trækker man 6 fra på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om 6 + flyttes over på den anden side og ændres til − 6 ). 

Derefter ganger man med 3 på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om : 3 flyttes over på den anden side og ændres til⋅ 3). 

Derefter trækker man 9 fra på begge sider af lighedstegnet. 

(Det ser ud som om + 9 flyttes over på den anden side og ændres til − 9 ). 


(Det ser ud som om 5 ⋅ flyttes over på den anden side og ændres til : 5 ). 


Side 46d



Hvis der er flere brøkstreger i en ligning, kan man finde en fællesnævner. 



x 5 + 2x 

+ 2 = 

3 4 

x 5 + 2x 

+ 2 = 

3 4 

⎛ x ⎞ 5 + 2x 

12 ⋅ ⎜ + 2⎟ 

= 12 ⋅ 

⎝ 3 ⎠ 4 

x 

5 + 2x 

12 ⋅ + 12 ⋅ 2 = 12 ⋅ 

3 

4 

4 ⋅ x + 24 = 3⋅ 

(5 + 2x) 

4x + 24 = 15 + 6x 

24 −15 

= 6x − 4x 

9 = 2x 

9 

2 

= x 

x = 4,5 


Man vælger 12 fordi både 3 og 4 går op i 12. 

Det er derfor, at man kan forkorte ud som vist. 

Man tænker på samme måde, som når man finder en fællesnævner. 

Derefter løses ligningen på "normal" vis. 

Man regner sammen på begge sider af lighedstegnet 

Man trækker 4x og 15 fra på begge sider af lighedstegnet. 

Her er det gjort på samme tid. 


Der er ofte flere skrive-måder for ligninger og regneudtryk. 

Ligningen i eksemplet ovenfor er således magen til ligningen: 

Til sidst vises nogle eksempler på ligninger med potenser og rødder. 

Mange af resultaterne er afrundede. Man får sjældent pæne tal ved den slags beregninger. 


Løs disse ligninger: 

x 5 4 

= 605 

x = 6,5 

1 x + 2 = (5 + 2x) 

3 

1 

4 

Man får: 

x 

5 

= 605 

x = 

5 

x = 3,6 

605 

Man ophæver en potens ved 

at tage den tilsvarende rod. 

På regnemaskinen trykkes: 5 x √ 605 = 

eller på ældre modeller: 605 INV y x 5 = 

Man får: 

4 

x = 6,5 

x = 6,5 

4 

x = 1.785 

Man ophæver en rod ved 

at tage den tilsvarende potens. 

På regnemaskinen trykkes: 6,5 ^ 4 = 

eller på ældre modeller: 6,5 y x 4 = 


Side 46e



Hvis der står en potens (eller en rod) inde i en ligning, skal man først isolere potensen (roden). 



3 x 

6 8 

x 

⋅ − 96 = 1.350 

+ 1,3 = 2,0 

4 

Man får: 

3⋅ 

x 

6 

− 96 = 1.350 

3⋅ 

x 

3⋅ 

x 

x 

6 

6 

6 

= 1.350 + 96 

= 1.446 

1.446 

= = 482 

3 

x = 

6 

482 = 2,8 

Man får: 

8 

x 

4 

+ 1,3 = 2,0 

8 

8 

x 

4 

= 2,0 −1,3 

= 0,7 

x = 0,7 ⋅ 4 = 2,8 

x = 2,8 

8 

= 3.778 

I eksemplet til venstre kan x også være -2,8, fordi (-2,8) 6 også er 482 

Til allersidst vises et par lidt specielle eksempler med potenser og rødder. 



4 = 

(x + 2) 1.296 

7 

900 + x = 2, 7 

Man får: 

Man får: 

(x + 2) 

4 

= 1.296 

7 

900 + x 

= 2,7 

x + 2 = 

4 

1.296 

x + 2 = 6 

x = 6 − 2 = 4 

900 + x = 2,7 

7 

900 + x = 1.046 

x = 1.046 − 900 = 146 

I eksemplet til venstre opfatter man i første omgang (x + 2) som en helhed, der isoleres. 

Man får x + 2 = 6 fordi 6 4 = 1. 296 

Men der er faktisk en svarmulighed mere end den viste, fordi (-6) 4 også er 1.296. 

Man får så: 

x + 2 = −6 

x = −6 

− 2 = −8 

I eksemplet til højre opfatter man i første omgang 900 + x som en helhed. 


Side 46f


Eksempler 

Funktioner og koordinatsystemer 



Brug af grafer og koordinatsystemer ..........................................48 

Lineære funktioner......................................................................51 

Andre funktioner .........................................................................55 

Lektion 07 - Funktioner og koordinatsystemer eksempler Side 47


Eksempler 

Brug af grafer og koordinatsystemer 


Et supermarked sælger kartofler for 2 kr. pr. kg. 

Lav en graf i et koordinatsystem. 

Billige kartofler 

Kun 2 kr. pr. kg 

- Vej selv af - 

Først beregnes nogle priser: 

- 1 kg kartofler koster 2 ⋅1 

= 2 kr. 

- 2 kg kartofler koster 2 ⋅ 2 = 4 kr. 

- og så videre….. 

og 0 kg kartofler koster naturligvis 0 kr. 

Man kan lave en tabel som denne: 

Antal kg kartofler 0 1 2 3 4 5 

Pris i kr. 0 2 4 6 8 10 

Ud fra tallene i tabellen kan man lave tegningen herunder: 

Pris i kr 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

2,5 kg koster 5 kr 

0 1 2 3 4 5 

Antal kg kartofler 

Prikkerne på tegningen svarer til tal-parrene 

i tabellen. 

Men man behøver ikke at købe et helt 

antal kg kartofler. Det viser den skrå streg 

gennem prikkerne. Man kan f.eks. se, 

at 2,5 kg kartofler koster 5 kr. 

Tal-akserne og gitteret på tegningen kaldes et koordinat-system. 

Prikkerne kaldes punkter. 

Den skrå streg kaldes en graf. 



Eksempler 

Et koordinatsystem har en vandret og en lodret tal-akse. 

Den vandrette akse kaldes x-akse eller første-akse. 

Den lodrette akse kaldes y-akse eller anden-akse. 

Herunder er vist to koordinatsystemer. 

I det øverste koordinat-system er der markeret tre punkter. 

Det ene punkt ligger lige over 1-tallet på x-aksen 

og lige ud for 2-tallet på y-aksen. 

Derfor hedder punktet (1,2). 

Tallene 1 og 2 kaldes punktets koordinater. 

Det andet punkt har koordinaterne 3 og 4. 

Derfor hedder punktet (3,4). 

Tallet 3 kaldes x-koordinat eller første-koordinat. 

Tallet 4 kaldes y-koordinat eller anden-koordinat. 

Det tredje punkt ligger på x-aksen og hedder (2,0) 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

(3, 4) 

(1, 2) 

(2, 0) 

0 1 2 3 4 5 

I det nederste koordinat-system er der tegnet to grafer. 

Den skrå graf går igennem alle de punkter, 

hvor x-koordinaten og y-koordinaten er ens. 

For eksempel (0,0) og (1,1). 

Den vandrette graf går igennem alle de punkter, 

hvor y-koordinaten er 3,5. 

For eksempel (0 ; 3,5) og (1 ; 3,5). 

Læg mærke til at der bruges et semikolon (;), når 

der er komma (,) i koordinaterne 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 



Eksempler 

I koordinat-systemerne på forrige side går begge tal-akser til 5, men tal-akserne kan indrettes på 

mange andre måder, og akserne kan godt være forskellige. Her er et par eksempler: 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

0 20 40 60 80 100 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0 2 4 6 8 10 

Nogle gange forlænger man tal-akserne bagud og nedad for at få de negative tal med. 

Det er vist herunder: 

5 

4 

(-3, 2) 

3 

2 

1 

0 

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

-1 

(-2, -4) 

-2 

-3 

-4 

-5 

(3, -3) 



Eksempler 

Lineære funktioner 

En funktion er en sammenhæng mellem to talstørrelser. 

Tallene kan variere, men de afhænger af hinanden. 


Prisen på en taxa-tur afhænger normalt af, hvor mange km man kører. 

En taxa-tur kan være både være billig og dyr. Og den kan både være kort og lang. 

Men de to tal kan ikke variere på må og få. Prisen afhænger af turens længde. 

Prisen er en funktion af antal km. 

Prisen for at sende et brev afhænger normalt af, hvor mange gram brevet vejer. 

Prisen (portoen) er en funktion af brevets vægt. 

En funktion kan beskrives ved hjælp af: 

- en tabel 

- en graf i et koordinatsystem 

- en funktionsforskrift (et regneudtryk, en formel) - kaldes ofte blot funktion 

Grafen for en funktion er ofte en ret linie. Så kaldes funktionen en lineær funktion. 


Tre foto-butikker tager forskellige priser når de 

fremkalder film og laver billeder. 

Sammenlign priserne ved at: 

- lave tabeller 

- tegne grafer i et koordinatsystem 

- opstille funktioner 

Først udregnes prisen for nogle forskellige film hos 

Andersens Foto: 

- ved 10 billeder bliver prisen: 2 ⋅10 

+ 30 = 20 + 30 = 50 kr. 

- ved 20 billeder bliver prisen: 2 ⋅ 20 + 30 = 40 + 30 = 70 kr. 


Tallene samles i en tabel. 

Andersens Foto 

2 kr. pr. billede 

30 kr. for fremkaldelse 

Billed-Ringen 

4 kr. pr. billede 

Prisen er med fremkaldelse 

City-Film 

90 kr. pr. film 

Prisen er med fremkaldelse 

og uanset antal billeder 



Eksempler 

Tabellen ser således ud: 

Antal billeder på en film: 0 10 20 30 40 

Pris hos Andersens Foto: 30 50 70 90 110 

Det er måske ikke så realistisk med 0 billeder, men tallet er taget med for ”systemets skyld”. 

Derefter udregnes priser hos Billed-Ringen: 

- hvis der er 10 billeder på en film, bliver prisen: 4 ⋅10 

= 40 kr. 

- hvis der er 20 billeder på en film, bliver prisen: 4 ⋅ 20 = 80 kr. 


Hos City-Foto er prisen 90 kr. uanset antal billeder. Nu kan tabellen udviddes: 

Antal billeder på en film: 0 10 20 30 40 

Pris hos Andersens Foto: 30 50 70 90 110 

Pris hos Billed-Ringen: 0 40 80 120 160 

Pris hos City-Film: 90 90 90 90 90 

Ud fra tallene i tabellen laves disse grafer: 

Pris i kr 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

City-Film 

Andersens Foto 

40 

20 

0 

Billed-Ringen 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 

Antal billeder på en film 



Eksempler 

Graferne viser bl.a. at: 

- at Billed-Ringen er billigst, hvis der er under 15 billeder på en film. 

- at Billed-Ringen og Andersens Foto er lige dyre ved 15 billeder. 

- at Andersens Foto er billigst, hvis der er mellem 15 og 30 billeder på en film. 

- at Andersens Foto og City-Film er lige dyre ved 30 billeder. 

- at City-Film er billigst, hvis der er over 30 billeder på en film. 

Da de fleste film er på enten 24 eller 36 billeder, vil der være mest fornuft i at vælge 

Andersens Foto eller City-Film. 

Nu kaldes antallet af billeder på en film for x, 

og prisen kaldes for y. 

y er en funktion af x, og y kaldes for 

funktionsværdien af x. 

Sammenhængen mellem x og y kan beskrives 

med disse funktions-forskrifter: 

Foto-butik 

Funktion 

Andersens Foto y = 2 ⋅ x + 30 

Billed-Ringen 

y = 4 ⋅ x 

City-Foto y = 90 

Alle tre funktioner kaldes lineære funktioner, fordi deres grafer bliver rette linier. 

Lineære funktioner kan generelt skrives på formen: 

y = a ⋅ x + b 

I funktionen y = 2 ⋅ x + 30 er a = 2 og b = 30. 

I funktionen 

y = 4 ⋅ x er a = 4 og b = 0. Men man skriver ikke nullet. 

I funktionen y = 90 

er a = 0 og b = 90. Men man skriver ikke nullet. 

Tallet a fortæller, hvor meget grafen hælder. Det kaldes stigningstal. 

Hvis a er lille, er grafen flad. Hvis a er stor, er grafen stejl. 

Hvis a er negativ, så hælder grafen nedad. 

Tallet b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. Der hvor grafen ”starter”. 

Hvis b = 0, er x og y ligefrem proportionale. De vokser i takt. 

Hos Billed-Ringen er prisen ligefrem proportional med antallet af billeder. 

Hvis to funktions-grafers skæringspunkt er svært at aflæse, kan det beregnes. 

Man kan beregne, hvor grafen for Andersens Foto og grafen for Billed-Ringen 

skærer hinanden ved at løse ligningen: 

2 ⋅ x + 30 = 4 ⋅ x 

Man finder skæringspunktets x-værdi, når man sætter funktionernes højre-sider lig med hinanden. 

Kontroller selv, at man får x = 15. Det betyder, at priserne bliver ens ved 15 billeder. 



Eksempler 

Det er ofte bogstaverne x og y, der indgår i funktions-forskrifter, 

men andre bogstaver kan bruges også. 

Funktionerne kan have selv bogstav-navne. 

Hvis funktionen hedder f, kaldes funktionsværdien f(x) i stedet for y. 


Tegn i et koordinatsystem grafen for disse funktioner: 

f(x) = 0,5 ⋅ x + 4 

g(x) = 2 ⋅ x + 1 

Først beregnes en række sammenhængende værdier af x og f(x). 

- hvis x = 0: f(x) = 0,5 ⋅ 0 + 4 = 0 + 4 = 4 

- hvis x = 1: f(x) = 0,5 ⋅1+ 

4 = 0,5 + 4 = 4,5 

- hvis x = 2: f(x) = 0,5 ⋅ 2 + 4 = 1+ 

4 = 5 

10 

og så videre. Tallene sættes ind i en tabel: 

x 0 1 2 3 4 

f(x) 4 4,5 5 5,5 6 

8 

Derefter laves en tilsvarende tabel for funktionen g. 

Regn selv efter: 

x 0 1 2 3 4 

g(x) 1 3 5 7 9 

Til sidst tegnes graferne i et koordinatsystem. 

Læg mærke til, at: 

- grafen for f går 1 hen og 0,5 op 

- grafen for g går 1 hen og 2 op 

- grafen for f skærer y-aksen i 4 

- grafen for g skærer y-aksen i 1 

6 

y = 0,5x+4 

Grafen 

4 

går 1 hen 

og 0,5 op. 

y = 2x+1 

2 Grafen 

går 1 hen 

og 2 op. 

0 

-2 0 2 4 6 

-2 

Mange funktioner, beskriver virkelige (eller realistiske) ting. Som i eksemplet med foto-priserne. 

Andre funktioner er ren ”tal-gymnastik”. Som eksemplet herover. 

Ofte giver det kun mening at kikke på de positive tal. Som i eksemplet med foto-priserne. 

Nogle gange tager man negative tal med. Som på graferne herover. 



Eksempler 

Andre funktioner 

Mange af de funktioner, som du møder, er lineære funktioner. 

Men du kan også støde på grafer og funktioner, hvis grafer ikke er rette linier. 



Et skur skal være firkantet (et rektangel eller et kvadrat). 

Arealet skal være 12 m 2 . 

- Lav en tabel og en graf over mulige mål. 

- Opstil også en funktion 

Den anden side 

(bredde) 

Den ene side 

(længde) 

12 m 2 

Først udregnes forskellige mulige kombinationer af sidelængder: 

12 

- hvis den ene side er 6 m, så bliver den anden side = 2 m 

6 

- hvis den ene side er 5 m, så bliver den anden side 2, 4 5 

og så videre. Tallene samles i en tabel (nogle af tallene er afrundede): 

Den ene side i m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Den anden side i meter 12 6 4 3 2,4 2 1,7 1,5 1,3 1,2 1,1 1 

I virkeligheden vil man næppe lave et skur, 

hvor den ene side er 1 m og den anden side 

er 12 meter, men muligheden er med 

for ”systemets skyld”. 

Tallene i tabellen kan vises på grafen til højre. 

Grafen er ikke en ret linie men en blød bue. 

12 

Man kan opstille denne funktion: y = , 

x 

hvor x er den ene side, og y er den anden side. 

Læg mærke til at graf og tabel er ”symetriske”. 

Når er x = 3 så er y = 4, og omvendt når x = 4, så 

er y = 3. 

Man siger, at x og y er omvendt proportionale. 

15 

10 

5 

0 

0 5 10 15 



Eksempler 


Tegn en graf for funktionen f(x) = x − 6x + 8 . 

Start med at udfylde denne tabel: 

x 0 1 2 3 4 5 6 

f(x) 

2 

Først beregnes de sammenhængende værdier af x og f(x). 

- hvis x = 0: 

2 

f(x) = 0 − 6 ⋅ 0 + 8 = 0 − 0 + 8 = 8 

- hvis x = 1: 

2 

f(x) = 1 − 6 ⋅1+ 

8 = 1− 

6 + 8 = 3 

- hvis x = 2: 

2 

f(x) = 2 − 6 ⋅ 2 + 8 = 4 −12 

+ 8 = 0 

og så videre. Tabellen ser således ud: 

x 0 1 2 3 4 5 6 

f(x) 8 3 0 -1 0 3 8 

Grafen bliver igen en blød bue men af en anden type end før. 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 0 2 4 6 8 10 

-2 




Funktioner - supplerende eksempler 



Oversigt over forskellige typer af funktioner..............................56 b 

Omvendt proportionalitet og hyperbler ......................................56 c 

2.gradsfunktioner og parabler .....................................................56 f 

Eksponentialfunktioner ...............................................................56 i 

Lektion 07s - Funktioner supplerende eksempler 

Side 56a



Oversigt over forskellige typer af funktioner 

Du skal kende disse funktionstyper. Den første type er grundigt omtalt på de foregående sider. 

Lineære funktioner kan skrives på formen: 

- Graferne er rette linier. 

y = a ⋅ x + b 

- a er hældningskoefficient, og størrelsen af a fortæller, hvor stejl grafen er. 

Hvis a er positiv hælder linien opad, hvis a er negativ hælder den nedad. 

- b fortæller, hvor grafen skærer y-aksen. 

- Hvis funktionen kan skrives på formen: y = a ⋅ x (altså b = 0), 

så er x og y ligefrem proportionale. 

De øvrige typer bliver grundigt omtalt på de efterfølgende sider. 

a 

Hyperbler kan skrives på formen: y = + b 

x + c 

- Graferne består af to adskilte symmetriske buer (her er kun vist den ene). 

- a fortæller, hvor meget buerne krummer. 

- b og c fortæller, hvor grafen er placeret. 

a 

- Hvis funktionen kan skrives y = så er x og y omvendt proportionale. 

x 

2.gradsfunktioner er funktioner på formen: 

y = a ⋅ x 

2 

+ b ⋅ x + c 

- Graferne kaldes parabler og er symmetriske buer, med et toppunkt 

og en lodret symmetriakse. 

- a bestemmer parablens form. 

Hvis a er positiv, vender "benene" opad, hvis a er negativ, vender de nedad. 

Jo "større" a er (uanset fortegn), jo mere "spids" er parablen. 

- b og c bestemmer grafens placering, men sammenhængen er kompliceret. 

Eksponentialfunktioner er funktioner på formen: 

y = b ⋅ a 

Funktionerne beskriver størrelser, der regelmæssigt ændrer sig 

med et bestemt antal procent. 

- Graferne er bløde buer. 

- a bestemmer vækstens størrelse og dermed, hvordan buen krummer. 

Hvis a > 1 krummer grafen opad, hvis a < 1 krummer grafen nedad. 

- b fortæller hvor grafen skærer y-aksen. 

Du kan sagtens støde ind i helt andre funktioner, men du skal kende disse hoved-typer. 

x 


Side 56b



Omvendt proportionalitet og hyperbler 


Et redskabsskur skal være 16 m 2 og have form som et rektangel eller et kvadrat. 

Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem de mulige sidelængder. 

Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. 

Hvis vi regner i meter, og sidelængderne kaldes for x og y, må der skulle gælde at: x ⋅ y = 16 . 

16 

Det kan omskrives til funktionsforskriften: y = , og man kan lave en tabel som denne: 

x 

x 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 

y 16,00 8,00 5,33 4,00 3,20 2,67 2,29 2,00 1,60 1,33 1,14 1,00 

Mange af tallene i tabellen er urealistiske. Man vil aldrig lave et skur, der måler 1 m x 16 m. 

Men tallene er taget med for at vise den matematiske sammenhæng mellem x og y. 

Regnemæssigt kan man sagtens bruge x-værdier mindre end 1 og større end 16, men man 

kan aldrig bruge 0 som x-værdi. Grafen kommer til at se ud som vist herunder. 

Både tabel og graf er symmetriske. 

Du kan fx finde tal-parret (2,00;8,00) 

i den ene ende af både tabel og graf, 

og du kan finde det modsatte talpar 

(8,00;2,00) i den anden ende. 

Der eneste grund til, at der er lidt 

længere mellem x-værdierne sidst i 

tabellen er, at grafen her er fladere og 

lettere at tegne. Men der er ingen 

faste regler for valg af x-værdier. 

15 

10 

Der gælder at: 

- y-værdien bliver halveret, når 

når x-værdien bliver fordoblet. 

- y-værdien falder til en tredjedel, 

når x-værdien bliver tredoblet o.s.v. 

Denne sammenhæng mellem x og y 

kaldes omvendt proportionalitet. 

5 

0 

0 5 10 15 

a 

Funktioner der kan skrives på formen y = kaldes omvendt proportionale funktioner. 

x 

Graferne for omvendt proportionale funktioner kaldes hyperbler, og de ligner altid grafen herover. 


Side 56c



Rent praktisk giver negative tal ingen mening i eksemplet med redskabsskuret, 

men rent regnemæssigt kan man godt indsætte negative x-værdier i funktionen: 

Man får en tabel som denne (husk, at 0 ikke kan bruges som x-værdi): 

16 

y = 

x 

x … -12,0 -8,0 -6,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 12,0 … 

y … -1,3 -2,0 -2,7 -4,0 -5,3 -8,0 -16,0 16,0 8,0 5,3 4,0 2,7 2,0 1,3 … 

Herunder er grafen for 

16 

y = indtegnet sammen med grafen for 

x 

15 

4 

y = (stiplet graf). 

x 

10 

5 

0 

-15 -10 -5 0 5 10 15 

-5 

-10 

Hyperbler består altid af to grene som vist herover, og de har altid to symmetri-akser. 

Ofte tegner man dog kun den ene gren, og symmetrien er kun tydelig, hvis der er brugt 

den samme inddeling på begge tal-akser. 

Hvis man tegner grafer for forskellige hyperbler, vil man se at: 

- hvis a er lille, vil grafen være tæt på tal-akserne. 

- hvis a er stor, vil grafen være langt fra tal-akserne. 

- hvis a er negativ vil grafen "vende rundt", således at den venstre gren 

ligger over x-aksen, og den højre gren ligger under x-aksen. 

-15 

Husk at funktionsforskriften 

altid er: 

a 

y = 

x 


Side 56d




En taxa-vognmand tager 16 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km. 

Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem antal km (x) og prisen pr. km (y). 

Opstil også en funktion, der viser sammenhængen. 

Eksemplet ligner mange typiske opgaver med lineære funktioner. Men i disse opgaver er 

y den samlede pris. Her er y prisen pr. km, og så bliver graf og funktion meget anderledes. 

36 

Hvis man kører 4 km, bliver den samlede pris 16 + 5⋅ 

4 = 36 kr. Prisen pr. km bliver = 9 kr. 

4 

På den måde kan man lave en tabel: 

x 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 

y 21,00 13,00 10,33 9,00 8,20 7,67 7,29 7,00 6,60 6,33 6,14 6,00 

Grafen ser ud som vist til højre: 

Prisen pr. km. kan findes således: 

- først deles startgebyret på 16 kr. 

ud på det kørte antal km. 

- derefter lægges den faste km-pris 

på 5 kr. oveni. 

Derfor kan man opstille denne 

funktionsforskrift: 

16 

y = + 5 

x 

Både tabel og graf er ligner meget 

tabellen og grafen fra eksemplet 

med haveskuret på side 56c. 

x-værdierne er de samme og alle 

y-værdierne er præcis 5 større. 

20 

15 

10 

Denne gang er x og y ikke 

omvendt proportionale, men 

grafen kaldes stadig en hyperbel. 

Grafen har præcis sammen form som 

før, men den er parallelforskudt opad 

i koordinatsystemet. 

Grafen for alle funktioner, der kan skrives på formen 

Størrelsen af tallet a bestemmer hyperblens form. 

5 

0 

0 5 10 15 

a 

y = + b , er hyperbler. 

x 


Side 56e



2.gradsfunktioner og parabler 

2 

Funktioner, der kan skrives på formen y = a ⋅ x + b ⋅ x + c kaldes 2.gradsfunktioner. 

Graferne for alle 2.gradsfunktioner ligner hinanden og kaldes parabler 

Her er et par eksempler på 2.gradsfunktioner: 

y = 3⋅ 

x 

2 

− 2 ⋅ x + 4 

a = 3, b = -2 og c = 4 

y = x 

2 − 

2 

a = 1, b = 0 og c = -2 

y = −x 

2 + 

4x 

a = -1, b = 4 og c = 0 

Bemærk at a ikke må være 0. 


Lav en tabel og en graf for funktionen: y = x 2 

Tabellen kommer til at se således ud: 

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

y 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 


Da mange af y-værdierne er store, 

er hele tabellen ikke vist på grafen. 

Funktionen y = x 2 er en slags "standard- 

2.gradsfunktion", og grafen for funktionen 

er en "standard-parabel". 

Læg mærke til, at både tabel og graf er 

symmetriske omkring x = 0 (y-aksen). 

y-aksen er symetri-akse for parablen. 

Punktet (0,0) er top-punkt for parablen. 

Alle andre parabler har også et toppunkt, 

og de er symmetriske som grafen til højre. 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 

-1 


Side 56f




Lav tabeller og grafer for disse funktioner: 

2 + 

2 

f(x) = −2x 

6 

g(x) = 2x − 8x + 3 

h(x) = 0, 

5x − x − 2 

2 

Tabellen kommer til at se således ud (kontroller selv nogle af tallene): 

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

f(x) -44 -26 -12 -2 4 6 4 -2 -12 -26 -44 

g(x) 93 67 45 27 13 3 -3 -5 -3 3 13 

h(x) 15,5 10,0 5,5 2,0 -0,5 -2,0 -2,5 -2,0 -0,5 2,0 5,5 

Graferne ser ud som vist til højre. 

Når man sætter x-værdier ind i 2.gradsfunktioner, 

skal man være omhyggelig. 

Især hvis x-værdierne er negative, 

eller hvis a- og b-værdierne i 

funktionsforskriften er negative. 

Her er et par regne-eksempler: 

f( −1) 

= −2 

⋅ ( −1) 

= −2 

⋅1+ 

6 

2 

= −2 

+ 6 = 4 

h( −3) 

= 0,5 ⋅ ( −3) 

+ 6 

= 0,5 ⋅9 

+ 3 - 2 

− ( −3) 

− 2 

= 4,5 + 3 - 2 = 5,5 

Læg mærke til, at både tabeller og 

grafer er symmetriske lige som i 

eksemplet på forrige side. 

Men det er kun f, der er symmetrisk 

om x = 0 (y-aksen). Funktionerne 

g og h har andre symmetri-akser. 

Læg også mærke til, at: 

- graferne for f og g har samme facon. 

De vender blot hver sin vej. 

- graferne for f og g er meget "spidse", 

mens grafen for h er lidt mere "flad". 

2 

8 

7 

6 

5 

f(x) 

4 

h(x) 

3 

2 

1 

0 

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 

-1 

-2 

-3 

-4 

g(x) 

-5 

-6 

-7 


Side 56g



2 

Grafen for en 2.gradsfunktion (funktion af typen y = a ⋅ x + b ⋅ x + c ) er en symmetrisk parabel 

med toppunkt og en lodret symmetri-akse. 

Tallet a bestemmer parablens form. 

- hvis a er "stort" (uanset fortegn) så er parablen "spids" 

- hvis a er "lille" (uanset fortegn), så er parablen "flad" 

- hvis a er positivt, har parablen "benene" opad 

- hvis a er negativt, har parablen "benene" nedad 

Kontroller selv, at reglerne ovenfor passer på eksemplerne på de sidste par sider. 

x-værdien til en parabels toppunkt kan findes således: 

− b 

x top 

= 

2a 


Find toppunkterne til disse parabler: 

2 + 

2 

f(x) = −2x 

6 

g(x) = 2x − 8x + 3 

h(x) = 0,5x − x − 2 

2 

− b 0 

x top 

= = = 0 

2a 2 ⋅ ( −2) 

y 

top 

= f(0) 

= −2 

⋅ 0 

2 

+ 6 = 6 

− b − ( −8) 

8 

x top 

= = = = 2 

2a 2 ⋅ 2 4 

y 

top 

= f(2) 

= 2 ⋅ 2 

2 

− 8 ⋅ 2 + 3 

= 8 −16 

+ 3 = −5 

− b − ( −1) 

1 

x top 

= = = = 1 

2a 2 ⋅ 0,5 1 

y 

top 

= f(1) 

= 0,5 ⋅1 

= 

2 

0,5 -1- 2 

−1− 

2 

= -2,5 

I eksemplet ovenover bruges de sammen parabler, som er tegnet på forrige side. 

Kontroller selv at de beregnede toppunkter passer med tegningen. 

Hvis man skal tabel-lægge en 2.gradsfunktion og tegne den tilhørende parabel, 

er det ofte en fordel først at finde top-punktet. Når man kender det, er det lettere 

at lave tabellen og tegne grafen. 

Der findes også en særlig metode til at finde de steder, hvor en parabel skærer 

x-aksen (parablens nul-punkter). Metoden er nævnt i de tilhørende opgaver. 

Til sidst en vigtig oplysning: 

Parabler og 2.gradsfunktioner kan bruges til at beskrive mange ting fra den virkelige verden. 

Det kan du se eksempler på i de tilhørende opgaver. Men sammenhængen mellem virkelighed 

og matematik er ikke så nem at forstå. Derfor er disse eksempler lavet som ren "tal-gymnastik". 


Side 56h



Eksponentialfunktioner 

Lønstigningerne i eksemplet herunder er (desværre) urealistisk høje, men det skal du ikke tænke på. 


Anna får en timeløn på 80 kr. Hun bliver lovet en årlig lønstigning på 15% de kommende år. 

Børge får en timeløn på 105 kr. Han bliver lovet en årlig lønstigning på 8% de kommende år. 

Lav tabeller, grafer og funktioner, der beskriver Annes og Børges timeløn år for år. 

Den letteste måde at lægge 15% til et tal er ved at gange tallet med 1,15. Derfor får man: 

Annas løn efter 1 år: 80,00 

⋅ 1, 15 = 92,00 kr. 


⋅ 1, 15 = 105,80 kr. eller 80 ,00 ⋅1,15⋅1, 

15 = 

2 

80 ⋅ 1,15 = 105,80 kr. 

3 


⋅ 1, 15 = 121,67 kr. eller 80 ,00 ⋅ 1,15⋅1,15 

⋅1,15. 

= 80 ⋅ 1,15 = 121,67 kr. 

Børges løn kan fremskrives på tilsvarende måde ved at gange med 1,08. I alt får man: 

Antal år (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 

Annas løn 80,00 92,00 105,80 121,67 139,92 160,91 185,04 212,80 244,72 

Børges løn 105,00 113,40 122,47 132,27 142,85 154,28 166,62 179,95 194,35 


Hvis x er antal år regnet fra "nu", 

og y er timelønnen, kan man opstille 

denne funktion for Anna: 

y = 80 ⋅1,15 

og denne funktion for Børge: 

x 

y = 105 ⋅1,08 

Bemærk at funktionerne godt nok passer 

0 

for x = 0 fordi: 80 ⋅1,15 

= 80 ⋅1 

= 80 og 

1 

for x = 1 fordi: 80 ⋅ 1,15 = 80 ⋅1,15 

= 92 . 

x 

Når en størrelse regelmæssigt vokser 

(eller aftager) med et bestemt antal procent, 

siger man, at den vokser eksponentielt. 

Funktionerne ovenfor er eksempler 

på eksponentialfunktioner. 

Graferne buer mere og mere opad fordi 

lønstigningerne bliver større og større 

målt i kr. Graferne er ikke rette linier. 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 


Side 56i



Funktioner, der kan skrives på formen 

y 

x 

= b ⋅ a kaldes eksponentialfunktioner. 

Eksponentialfunktioner bruges til at beskrive talstørrelser, der regelmæssigt ændrer sig 

med et bestemt antal procent. 

- b er startværdien. På forrige side startlønningerne. 

- a er "1 + ændringsprocenten som decimaltal". Fx 1 + 15% = 1 + 0,15 = 1,15 

Vær opmærksom på, at eksponentialfunktioner er i familie med vækst-formlen. 

Den skrives normalt på formen K 

n 

+ r) 

De to formler/funktioner udtrykker præcis det samme rent matematisk. 

n 

= K 

0 

(1 Den er omtalt i et andet modul. 


En bil koster som ny 160.000 kr. Bilens værdien falder med 25% om året 

Lav en tabel, en graf og en funktion, der beskriver bilens værdi år for år. 

Man trækker 25% fra et tal ved at gange tallet med 0,75. Man beholder 100% - 25% = 75%. 

Værdi efter 1 år: 160.000 

⋅ 0, 75 = 120.000 kr. 

2 

Værdi efter 2 år: 120.000 

⋅ 0, 75 = 90.000 kr. eller 160.000 ⋅ 0,75⋅ 

0, 75 = 160.000 

⋅ 0,75 = 90.000 kr. 

x 

Funktionsforskriften må være y = 160.000 ⋅ 0,75 , hvor x er antal år, og y er bilens værdi. 

Tabellen kommer til at se således ud: 

Antal år (x) 0 1 2 3 4 5 6 

Bilens værdi 160.000 120.000 90.000 67.500 50.625 37.969 28.477 


x 

Funktionen y = 160.000 ⋅ 0,75 er også 

en eksponentialfunktion, men der er tale 

om en negativ eksponentiel vækst. 

Grafen buer mindre og mindre nedad, 

fordi det årlige værditab bliver mindre 

og mindre målt i kr. 

En eksponentialfunktion skrevet 

x 

på formen y = b ⋅ a beskriver: 

- en positiv vækst når a > 1 

- en negativ vækst når a < 1 

160.000 

140.000 

120.000 

100.000 

80.000 

60.000 

40.000 

20.000 

0 

0 1 2 3 4 5 6 


Side 56j


Eksempler 

Geometri 



Længdemål og omregning mellem længdemål...........................58 

Omkreds og areal af rektangler og kvadrater..............................59 

Omkreds og areal af andre figurer ..............................................60 

Omregning mellem arealenheder................................................63 

Nogle geometriske begreber og redskaber..................................64 

Målestoksforhold.........................................................................65 

Rumfang......................................................................................66 

Omregning mellem rumfangsenheder.........................................67 

Massefylde ..................................................................................68 

Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning)........69 

Regne baglæns ............................................................................70 

Lektion 08 - Geometri eksempler Side 57


Eksempler 

I geometri bruges en lang række formler til beregning af bl.a. areal og rumfang. 

På disse sider, er der eksempler på, hvorledes man bruger nogle af formlerne. 

Du skal ikke huske formlerne udenad. Du kan bruge en formel-samling. 

Længdemål og omregning mellem længdemål 

Vi bruger flere forskellige måleenheder, når vi måler længde (eller afstand), men 

standardenheden er en meter (m). En meter kan - som vist herunder - opdeles i: 

- decimeter (dm). Der går 10 dm til en meter. Ordet "deci" betyder tiende-del. 

- centimeter (cm). Der går 100 cm til en meter. Ordet "centi" betyder hundrede-del. 

- millimeter (mm). Der går 1000 mm til en meter. Ordet "milli" betyder tusinde-del. 

(millimeter er ikke med på tegningen - der var ikke plads) 

1 m = 10 dm 

1 dm = 10 cm 

1 cm 

Her er sammenhængen mellem 

måleenhederne stillet op i en tabel: 

1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm 

1 dm = 10 cm = 100 mm 

1 cm = 10 mm 

Hvis man måler større afstande bruger man ofte kilometer. 

- en kilometer (km) er 1.000 meter. Ordet "kilo" betyder tusinde. 

Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. 


Omregn 97,5 cm til mm. 

Omregn 1.250 m til km. 

I skemaet står der ” ⋅ 10 ” fordi, 

hver cm svarer til 10 mm. 

Man får: 

97 ,5 cm = 97,5 mm ⋅10 

= 975 mm 

I skemaet står der ”: 1. 000 ” fordi, 

hver km svarer til 1.000 m. 

Man får: 

1.250 

m = 1.250 km :1.000 = 1,250 km 



Eksempler 

Omkreds og areal af rektangler og kvadrater 

Et rektangel er en firkant, hvor: 

- siderne er parvis lige lange 

- hjørnerne er rette vinkler 

Eksempler på rektangler: 

Et kvadrat er en firkant, hvor: 

- alle sider er lige lange 

- hjørnerne er rette vinkler 

Eksempler på kvadrater: 

Et kvadrat er et særligt ”pænt” rektangel 


Find omkreds og areal af et rektangel med 

længden 4 m og bredden 3 m. 

Find arealet af et rektangel med 

længden 350 cm og bredden 2,50 m. 

Omkredsen findes ved: 

- enten at sige: 4 m + 3 m + 4 m + 3 m = 14 m 

- eller at sige: 2 ⋅ 4 m + 2 ⋅3 

m = 14 m 

Arealet findes ved at bruge formlen: 

Areal = længde ⋅ bredde eller blot A = l ⋅ b 

Man får: 

A = 4 m ⋅ 3 m = 12 

2 

m 

Tegningen viser, at rektanglet svarer til 

12 kvadrater, som måler 1 m på hver led. 

Et sådant kvadrat kaldes en kvadratmeter (1 m 2 ) 

4 m 

Man kan ikke regne med både m og cm, så 

350 cm laves om til 3,50 m. 

Man får: 

A = 3,50 m ⋅ 2,50 m = 

2 

8,75 m 

Tegningen viser, at resultatet er rimeligt. 

Hvis du tæller de hele, de halve og den kvarte 

kvadratmeter sammen, så får du 8,75 m 2 . 

350 cm = 3,50 m 

2,50 m 

3 m 

Hvis du er usikker på, hvorledes man 

omregner længdemål, så blad en side 

tilbage. Der er et par eksempler. 



Eksempler 

Omkreds og areal af andre figurer 


Tegningen til højre er en skitse af et hus. 

Find husets areal. 

6 m 

12 m 

For at finde arealet må huset opdeles i rektangler. 

Det kan f.eks. gøres således: 

7 m 

10 m 

Der mangler tilsyneladende 

nogle mål for det nederste rektangel, 

men ved at kikke på tallene på skitsen 

kan man regne ud at: 

- arealet af det øverste rektangel må være: 

- arealet af det nederste rektangel må være: 

I alt er huset derfor: 

A = 12 m ⋅ 6 m = 

A = 5 m ⋅ 4 m = 

2 

72 m 

2 

20 m 

2 

92 

m 

Arealer som det ovenfor kan ofte findes på flere måder. 

Tænk selv over om du kunne have fået resultatet på andre måder 

Ud over rektangler og kvadrater skal du kende trekanter, parallelogrammer, trapezer og cirkler. 

I de næste eksempler kan du se, hvorledes de ser ud. 


Find arealet af en trekant med grundlinie 5 cm og højde 3 cm. 

Man får: 

A = 

1 

2 

⋅ h ⋅ g = 

1 

2 

⋅ 5 cm ⋅ 3 cm = 

2 

7,5 cm 

Tegningen viser, at arealet af trekanten svarer til halvdelen 

af arealet af et rektangel, med længden 5 cm og højden 3 cm. 

1 

A = 2 

⋅ h ⋅ g 

højde 

grundlinie 

Den lille tegning viser, at højden i en trekant nogle gange kan falde ”uden for”. 



Eksempler 


Find arealet af et parallelogram med grundlinie 4 cm og højde 3 cm. 

Man får: 

A = h ⋅ g = 4 cm ⋅ 3 cm = 12 

2 

cm 

A = h ⋅ g 

Tegningen viser, at arealet af parallelogrammet svarer til 

arealet af et rektangel, med længden 4 cm og højden 3 cm. 

Du klipper venstre ende af 

og flytter stykket mod højre. 

højde 

grundlinie 


Find arealet af et trapez hvor de parallelle sider (a og b) er 6 cm og 3 cm 

og højden er 4 cm. 

Man får: 

A = 

1 

2 

⋅ h ⋅ (a + b) = 

1 

2 

⋅ 4 cm ⋅ (6 cm + 3 cm) = 18 

2 

cm 

Tegningen viser, at trapezet kan klippes i stykker og laves om 

til et rektangel, med længden 4,5 cm og højden 4 cm. 

1 

A = 2 

⋅ h ⋅ (a + b) 

a 

højde 

b 

Den lille tegning viser, at trapezer godt kan være ”skæve”. 



Eksempler 


Find omkredsen af en cirkel med en radius på 1,5 cm. 

(Det svarer til en diameter på 3 cm) 

Man får: 

- enten O = π ⋅ d = π ⋅3 

cm = 9,4 cm 

- eller O = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π ⋅1,5 

cm = 9,4 cm 

O = π ⋅ d 

eller 

O = 2 ⋅ π ⋅ r 

radius 

diameter 

Tegningerne viser en cirkel, der ”rulles ud”. 

Omkredsen et altid et bestemt tal gange diameteren. 

Dette tal kaldes π (læses pi). 

π er et uendeligt decimaltal, som starter med 3,14… 

Mange regnemaskiner har en π -knap. 

radius 

diameter 

radius 

diameter 

omkreds 


Find arealet af en cirkel med en radius på 2,5 cm. 

Man får: 

2 

2 

A = π ⋅ r = π ⋅ 2,5 = 

19,6 cm 

På regnemaskinen tastes: π X 2,5 x 2 = 

På tegningen bliver cirklen skåret i lagkagestykker og lagt ”omvendt”. 

2 

Forestil dig at stykkerne gøres meget tyndere. 

Resultatet vil ligne et rektangel. 

Længden bliver en halv omkreds - altså π ⋅ 2,5 

Højden bliver lig med radius - altså 2,5 cm 

Arealet bliver derfor 

2 

π ⋅ 2,5⋅ 

2,5 = π ⋅ 2,5 = 

A = π ⋅ r 

cm 

19,6 cm 

2 

2 

radius 



Eksempler 

Omregning mellem arealenheder 

Man skal tænke sig meget godt om, når man laver omregning mellem arealenheder. 

Når der skal 10 dm til en meter, kan man let tro, at der også skal 10 dm 2 til en m 2 , 

men tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 = 100 dm 2 til en m 2 . 

1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 

1 cm 2 


arealenhederne stillet op i en tabel: 

1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 2 

1 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 2 

1 cm 2 = 100 mm 2 

Bemærk at den mindste af enhederne (mm 2 ) ikke er med på tegningen 

Til opgaverne hører et specielt skema, som kan bruges ved omregning mellem måleenheder. 


Omregn 2500 cm 2 til m 2 . Omregn 3,5 cm 2 til mm 2 . 

I skemaet står der ”: 10. 000 ” fordi, 

hver m 2 svarer til 10.000 cm 2 . 

Man får: 

2 

2 

2500 cm = 2500 m :10.000 = 

0,25 m 

2 

I skemaet står der ” ⋅ 100 ” fordi, 

hver cm 2 svarer til 100 mm 2 . 

Man får: 

2 

2 

3 ,5 cm = 3,5 mm ⋅100 

= 

350 mm 

2 



Eksempler 

Nogle geometriske begreber og redskaber. 

Når man arbejder med geometriske figurer, har man ofte brug for 

en passer og en vinkelmåler. 

Passeren skal bruges til at tegne cirkler, og den kan 

også anvendes til andre tegneopgaver. 

Vinkelmåleren bruges til at måle og afsætte vinkler. 

De to redskaber er vist til højre. 

En vinkel er et mål for størrelsen af et cirkeludsnit eller størrelsen 

af et ”hjørne” (en vinkelspids) i f.eks. en trekant eller en firkant. 

En cirkel måler 360° 

(læses 360 grader) 

hele vejen rundt. 

Et ”lige” hjørne 

måler 90° og kaldes 

en ret vinkel. 

Det er en kvart cirkel. 

En vinkel på mindre 

end 90° kaldes 

en spids vinkel. 

Den viste vinkel er 60° 

En vinkel på mere 

end 90° kaldes 

en stump vinkel. 

Den viste vinkel er 120° 

I en trekant er de tre vinkler altid 180° tilsammen. 

Nogle særligt ”pæne” trekanter har specielle navne: 

I en ligesidet trekant er 

alle siderne lige lange, og 

alle vinklerne er 60°. 

I en ligebenet trekant er 

to af siderne lige lange og 

to af vinklerne lige store. 

I en retvinklet trekant er en 

af vinklerne ret - altså 90°. 

Særligt ”pæne” figurer kan være regulære eller symmetriske. Her er et par eksempler: 

Regulær 

sekskant 

Symmetrisk figur med 

vandret symmetriakse 

(eller spejlingsakse). 



Eksempler 

Målestoksforhold 


Tegningen viser et hus i målestoksforhold 1:200. 

Find husets længde og bredde. 

Find også husets areal. 

Grundrids af hus 

1:200 

Først måles længde og bredde på tegningen. 

Man får 7,5 cm og 4,0 cm. 

Så beregnes de rigtige mål ved at gange med 200. 

Man får: 

- længde: 7,5 cm ⋅ 200 = 1500 cm = 15,00 m 

- bredde: 4 ,0 cm ⋅ 200 = 800 cm = 8,00 m 

Arealet beregnes til: 

15 m ⋅ 8 m = 120 

2 

m 

På tegningen i eksemplet ovenfor er længdemålene 200 gange mindre end i virkeligheden. 

Eller man kan sige, at målene på det rigtige hus er 200 gange større end på tegningen. 

Det er definitionen på et målestoksforhold. Tegningen er en formindsket kopi af huset. 

Men arealet af det rigtige hus er 200 ⋅ 200 = 40.000 gange større end arealet af tegningen. 

Kik tilbage på siden med "Omregning mellem arealenheder". Så forstår du sikkert hvorfor! 


En byggegrund har form som et rektangel. 

Længden er 30 m og bredden er 20 m. 

Lav en tegning i målestoksforhold 1:500 

Tegningens mål findes ved at dividere med 500. 

Man får: 

- længde: 30 m : 500 = 0,06 m = 6 cm 

- bredde: 20 m : 500 = 0,04 m = 4 cm 

Tegningen ser ud som til højre 

Hvis man vil skrive mål på tegningen, skal 

det være de rigtige mål - ikke de tegnede mål. 

20 m 

30 m 

1:500 

Når to figurer er præcise forstørrede/formindskede 

kopier af hinanden, siger man, at de er ligedannede. 

Men selv om man forstørrer/formindsker længdemålene, 

så er er vinklerne uforandrede. 



Eksempler 

Rumfang 


Ladet på en lastbil har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange m 3 (kubikmeter) kan det rumme 

Rumfanget findes ved at bruge formlen: 

Rumfang = længde ⋅ bredde ⋅ højde eller blot V = l ⋅ b ⋅ h 

(Bogstavet V bruges for rumfang) 

Man får: 

V = 8 m ⋅ 2 m ⋅ 2 m = 

3 

28 m 

Det betyder, at ladet kan rumme 28 terninge-formede kasser, 

som måler 1 m på hver led. 

En sådan terning kaldes en kubikmeter (m 3 ). 

2 m 

28 X 1 m 3 

2 m 

7 m 


En kasse har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange liter kan den rumme 

Liter er det samme som kubikdecimeter (dm 3 ). 

(se evt. næste side om rumfangsenheder) 

Derfor laves målene om fra cm til dm inden beregningen. 

Man får: 

V = 

3 

= 7,5 dm ⋅3 

dm ⋅ 4 dm 90 dm eller 90 liter 

40 cm 

75 cm 

30 cm 


5 cm 

En lille dåse har de mål, som er vist på skitsen. 

Hvor mange milliliter (ml) kan den rumme 

9 cm 

Milliliter er det samme som kubikcentimeter (cm 3 ) 

og dåsen har form som en cylinder. 

2 

2 

3 

Man får: V = π ⋅ r ⋅ h = π ⋅ 5 ⋅9 

= 707 cm eller 707 ml 

På regnemaskinen tastes: π X 5 x 2 X 9 = 

Til højre er vist formlen for rumfanget af en cylinder. 

Der findes en række andre formler, som du også 

kan få brug for, når du regner opgaver med rumfang. 

V = π ⋅ r 

2 ⋅ 

h 

radius 

højde 



Eksempler 

Omregning mellem rumfangsenheder 

Der bruges to systemer af rumfangsenheder. Meter-enheder og liter-enheder. 

Tegningen herunder viser bl.a., at der går 10 ⋅ 10 ⋅10 

= 1.000 dm 3 til en m 3 . 

1 dm 3 = 1.000 cm 3 

1 m 3 = 1.000 dm 3 1 cm 3 


rumfangsenhederne vist i en tabel: 

1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 = 1.000.000.000 mm 3 

1 dm 3 = 1.000 cm 3 = 1.000.000 mm 3 

1 cm 3 = 1.000 mm 3 

Man måler også rumfang med liter-enheder: 

liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) og milliliter (ml). 

Her er hoppet mellem enhederne kun en ti-gang. 

Det er vigtigt at vide, at: 

1 liter 

1 dl 

1 cl 

1 ml 

- 1 dm 3 er det samme som en liter (l) 

- 1 cm 3 er det samme som en milliliter (ml) 

Her er vist sammenhængen mellem liter-enhederne: 

1 liter = 10 dl = 100 cl = 1.000 ml 

1 dl = 10 cl = 100 ml 

1 cl = 10 ml 


Omregn 3,5 m 3 til liter. 

En liter er det samme som en dm 3 . Derfor skal man gange med 1.000. 

Man får: 

3,5 m 

= 

3 

3 

3 

= 3,5 dm ⋅1.000 

3.500 dm = 3.500 liter 



Eksempler 

Massefylde 

Masse er et andet ord for vægt, og fylde betyder rumfang. 

Derfor er massefylde det samme som vægt pr. rumfangsenhed. 

Som formel skrives det normalt som vist til højre, men formlen 

kan også omskrives som vist herunder: 

Massefylde = 

Vægt 

Rumfang 

Vægt = Rumfang · Massefylde eller 

Rumfang = 

Vægt 

Massefylde 

Hvis et materiale har massefylden 2,5 g pr. cm 3 , betyder det, 

at en cm 3 (en kubikcentimeter-terning) vejer 2,5 g. 

Vand har en massefylde på 1 g pr. cm 3 . 

Massefylde er vægt 

pr. rumfangsenhed. 

Fx vægt pr. cm 3 . 

Lette ting, der kan flyde (fx træ), har en massefylde under 1 g pr. cm 3 . 

Tunge ting, der ikke kan flyde (fx de forskellige metaller), 

har en massefylde på over 1 g pr. cm 3 . 

Når man regner med massefylde, er det vigtigt at have 

styr på både rumfangsenhederne (se forrige side) og 

vægtenhederne. 

1 ton = 1.000 kg = 1.000.000 g 

1 ton 

1 kg = 1.000 g 

1 kg 

1 g 


En metalklods vejer 323 g 

og har et rumfang på 85 cm 3 . 

Hvad er massefylden 

Hvor meget vejer 5 m 3 grus, 

når massefylden for gruset 

er 2,3 tons pr. m 3 

Hvor meget fylder 0,5 kg 

alkohol, når massefylden 

er 0,8 kg pr. liter 

Man får: 

Man får: 

Man får: 

323 g 

Massefylde = 

85 cm 

= 3,8 g pr.cm 

3 

3 

Vægt = 5 m 

3 

= 11,5 tons 

⋅ 2,3 tons 

pr.m 

3 

0,5 kg 

Rumfang = 

0,8 kg pr.liter 

= 0,625 liter 

I eksemplerne ovenfor er der sat enheder på tallene i beregningerne og ikke kun på facit. 

Det behøver man ikke, men mange synes, at det er en god hjælp. 

Pas på med opgaver hvor der er små decimaltal som i eksemplet til højre. Man bliver let forvirret! 



Eksempler 

Sidelængder i retvinklede trekanter (Pythagoras’ sætning) 

Læresætningen om sidelængderne i en retvinklet trekant, er måske den mest berømte 

regneregel inden for matematik. Pythagoras har fået æren for sætningen. 

Han levede i Grækenland for mere end 2.000 år siden. 

B 

Det mest enkle eksempel er en såkaldt 3-4-5-trekant. 

Hvis man laver en trekant, hvor siderne måler 3 cm, 

4 cm og 5 cm, vil trekanten altid være retvinklet. 

Det gælder naturligvis også, hvis man bruger 

andre måleenheder. Fx 3 m, 4 m og 5 m. 

Man bruger normalt bogstavnavne som vist på tegningen, og sætningen lyder: 

A 

c = 5 cm 

b = 4 cm 

a = 3 cm 

C 

Man navngiver hjørner 

med store bogstaver og 

sider med små bogstaver. 

2 2 

a + b = 

c 

2 

Hvis du regner efter, får du at: 

og det er jo ganske rigtigt. 

3 = 

2 2 2 

+ 4 5 eller 9 + 16 = 25, 

Denne sammenhæng mellem sidelængderne gælder altid for retvinklede trekanter. 

Det er vigtigt, at c er den længste side - siden modsat den rette vinkel. 

Det er lige meget, hvilken af de korte sider man kalder a og b. 


Tegningen viser en retvinklet trekant. 

A 

c = 

a = 12 cm 

B 

b = 5 cm 

Find den manglende sidelængde c. 

C 

Skitsen viser en stige, 

der er stillet op ad 

en høj mur. 

Stigens længde 

er 4,50 m. 

110 cm 

Hvor højt når 

stigen op 

Man sætter ind i formlen 

og løser en ligning: 

12 

2 

+ 5 

2 

= c 

144 + 25 = c 

169 = c 

2 

2 

2 

c = 169 = 13 cm 

2 2 

a + b = 

c 

2 

Stigen, muren og jorden danner en retvinklet 

trekant, hvor c = 4,50 m og en af de korte sider 

er 110 cm = 1,10 m. Denne side kaldes a. 

Siden langs muren kaldes b og findes således: 

1,10 

2 

+ b 

1,21+ 

b 

b 

2 

2 

2 

= 4,50 

2 

= 20,25 

= 20,25 −1,21 

= 19,04 

b = 

19,04 = 4,36 m 



Eksempler 

Regne baglæns 

Formlerne for areal og rumfang bruges (naturligvis) mest, når man skal beregne arealer og rumfang. 

Men hvis man mangler et af længdemålene på en figur, og man kender figurens areal eller rumfang 

og det andet (de andre) længdemål, så kan man regne baglæns (lignings-løsning). 


Find bredden af et rektangel med 

arealet 12 m 2 og længden 4,8 m. 

Formlen for arealet af et rektangel er: A = l ⋅ b 

Man sætter de kendte tal ind i formlen og 

regner baglæns (løser en ligning): 

A = l ⋅ b 

12 = 4,8⋅ 

b 

12 

4,8 

= b 

2,5 = b 

b = 2,5 m 

Find højden af en kasse, der rummer 0,87 m 3 

og har længden 145 cm og bredden 80 cm. 

Rumfangs-formlen lyder: V = l ⋅ b ⋅ h 

For at enhederne kan passe sammen laves 145 cm 

om til 1,45 m og 80 cm laves om til 0,80 m 

0,87 = 1,45⋅ 

0,80 ⋅ h 

0,87 = 1,16 ⋅ h 

0,87 

1,16 

V = l ⋅ b ⋅ h 

= h 

0,75 = h 

h = 0,75 m = 75 cm 


Find arealet af en cirkel der har 

en omkreds på 44 cm. 

Find radius i en cylinder der er 

60 cm høj og kan rumme 118 liter. 

Der er ingen formel, der direkte forbinder 

omkreds og areal, men man kan finde radius 

med denne formel: O = 2 ⋅ π ⋅ r 

44 

6,283 

44 = 2 ⋅ π ⋅ r 

44 = 6,283⋅ 

r 

= r 

r = 7,0 cm 

Nu findes arealet med formlen: 

A = 

A = π ⋅ r 

2 

Rumfangs-formlen lyder: V = π⋅ 

r 

2 ⋅ h 

For at enhederne kan passe sammen laves 60 cm 

om til 6 dm (husk at 1 liter = 1 dm 3 ). 

2 

118 = π⋅ 

r ⋅ 6 

118 = 18,85 ⋅ r 

118 

18,85 

2 

V = π⋅ 

r ⋅ h 

6,26 = r 

= 2 

2 

2 

π ⋅ r = π ⋅ 7,0 153,9 cm 

r = 6,26 = 2,5dm = 25 cm 

= r 

2 

2 

2 



Eksempler 

Statistik 



Middelværdi med mere ...............................................................72 

Hyppigheds- og frekvens-tabeller...............................................73 

Diagrammer.................................................................................74 

Hvilket diagram er bedst ...........................................................76 

Grupperede observationer ...........................................................77 

Lektion 09 - Statistik eksempler Side 71


Eksempler 

Når man skal holde styr på mange oplysninger, f.eks. en masse tal, kan det være en fordel 

at samle dem i en tabel eller lave et diagram ud fra tallene. Dette kaldes for statistik. 

Man ser ofte tabeller og diagrammer i aviser og på TV. 

Du skal: 

- kunne forstå og aflæse tabeller og diagrammer. 

- selv kunne lave tabeller og diagrammer ud fra tal eller andre oplysninger. 

Du skal også vide, at man kan snyde med tal og statistik. Vidste du at: 

En statistiker er en person, som kan ligge med fødderne i 

en varm bageovn og hovedet i en kold dybfryser og sige: 

I gennemsnit er temperaturen meget behagelig. 

Middelværdi med mere 


På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. 

Der er 18 kursister. Den første siger 3 fag, den næste siger 5 fag o.s.v 

Her er alle svarene: 

3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1 

Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde. 

Find typetal og middelværdi. 

Mindsteværdien er det mindste af svarene. Man får 1 fag. 

Størsteværdi er det største af svarene. Man får 5 fag. 

Variationsbredde er forskellen på det største og det mindste svar: Man får 5 −1 

= 4 fag. 

Typetal er det svar, som gives flest gange. Man får 4 fag. 

Middelværdien findes ved at lægge alle svarene sammen og dele med antal svar. Man får: 

3 + 5 + 4 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 4 + 1 57 

= = 3,2 fag pr. kursist. 

18 

18 

Middelværdi kaldes også gennemsnit. De to ord betyder det samme. 



Eksempler 

Hyppigheds- og frekvens-tabeller 

Eksempel på opgave (fortsat) 

På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. 

Svarene er: 

3, 5, 4, 2, 5, 4, 4, 4, 1, 3, 1, 5, 3, 4, 3, 1, 4, 1 

Lav en tabel over hyppighed og frekvens. 

Hyppighederne findes ved at tælle hvor mange der har svaret 1, hvor mange der har svaret 2 o.s.v. 

Man får: 

Antal fag 1 2 3 4 5 I alt 

Hyppighed 4 1 4 6 3 18 

I stedet for Hyppighed, kunne man i tabellen skrive Antal svar eller Antal kursister. 

Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV. 

4 ⋅100 

Frekvenserne findes ved at udregne procent-tal. Frekvensen for 1 fag er = 22% 

. 

18 

Tabellen udviddes og man får: 


Hyppighed 4 1 4 6 3 18 

Frekvens 22% 6% 22% 33% 17% 100% 

I dette eksempel er procent-tallene afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med, 

men lad være med at skrive hele rækken af decimaler. 

I stedet for Frekvens, kunne man i tabellen skrive Antal procent. 

Det ville man gøre, hvis det var en ”rigtig” tabel i en avis eller på TV. 



Eksempler 

Diagrammer 

Herunder er vist hvorledes man laver et pindediagram, et cirkeldiagram og en kurve. 

Men der findes mange flere diagrammer end disse. Kik i de matematik-bøger som er på dit VUC. 


På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor mange fag de følger. Der er 18 kursister. 

Svarene er vist i tabellen: 


Hyppighed 4 1 4 6 3 18 

Lav et pindediagram over hyppighederne. 

Pindediagrammet kan se således ud: 

7 

6 

Hyppighed 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 2 3 4 5 

Antal fag 

Man kan også lave et diagram over frekvenserne. De to diagrammer vil ligne hinanden. 



Eksempler 


Et hold med 18 nystartede VUC-kursister bliver 

spurgt om, hvorledes de kommer til VUC. 

Svarene er vist i tabellen. 

Lav et cirkeldiagram over tallene 

Transportmiddel 

Antal 

personer 

Til fods 4 

Cykel 6 

Bus 3 

Bil 5 

I alt 18 

En hel cirkel er 360º (360 grader). 

Cirklen skal inddeles i 4 ”lagkagestykker”. En for hver transportform. 

4 4 ⋅ 360 

Lagkagestykket for Til fods skal udgøre af 360º: Man får: = 80º 

18 18 

De andre lagkagestykker bliver 120º, 60º og 100º. Regn selv efter. 

Du kan også beregne grad-tal ud fra procent-tal (frekvenser). 

Først laves en cirkel med en passer. Så laves lagkagestykkerne et af gangen med en vinkelmåler. 

Til fods 

Cykel 

33% 

Bus 

17% 

Til fods 

22% 

Bil 

28% 

Man beregner ofte procent-tal og skriver dem på som vist her over. 

Man kan også måle vinklerne i et diagram og regne baglæns og finde procent-tallene. 



Eksempler 


I august starter der 18 kursister på et VUC-hold. 

I årets løb er der både nye kursister, der kommer ind på holdet, og kursister, som må stoppe. 

Tabellen viser antal kursister måned for måned. 

Måned Aug. Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts April Maj 

Antal 

kursister 

18 21 20 17 16 22 18 17 16 14 

Lav en kurve over tallene. 

Kurven tegnes i et koordinatsystem og ser således ud: 

25 

Antal kursister 

20 

15 

10 

5 

0 

Maj 

April 

Marts 

Feb. 

Jan. 

Dec. 

Nov. 

Okt. 

Sept. 

Aug. 

Måned 

Hvilket diagram er bedst 

Der findes ingen faste regler for, hvornår man skal bruge de forskellige diagrammer. 

Men her er et par tommelfinger-regler. 

Kurven er god, når man skal vise, hvorledes det samme tal ændrer sig over tiden. 

Pinde- og cirkeldiagrammer er gode, når man vil vise forskellige tal på samme tidspunkt. 

Pindediagrammet giver et godt billede af, hvor store tallene er i forhold til hinanden. 

Cirkeldiagrammet giver et godt billede af, hvor stor en del hvert tal udgør af det hele. 



Eksempler 

Grupperede observationer 

Hvis man stiller et spørgsmål, hvor der er mange mulige svar, så må man samle svarerne i 

”grupper”. Det kaldes intervaller. 


På et VUC-hold bliver kursister spurgt om, hvor langt (helt antal km) de har til VUC. 

Der er 18 kursister. 

Svarene er: 

10, 1, 18, 6, 14, 4, 22, 3, 19, 8, 13, 4, 1, 10, 0, 2 4, 1 

Grupper svarene i intervallerne 0 - 4 km, 5 - 9 km o.s.v. 

Lav en tabel over hyppighed og frekvens. 

Lav et diagram over frekvensfordelingen: 

Tabellen laves på præcis samme måde som tidligere vist. 

Først tæller man op, hvor mange der har svaret 0, 1, 2, 3 eller 4 km. 

Så tæller man op, hvor mange der har svaret 5, 6, 7, 8 eller 9 km. O.s.v. 

Tabellen ser således ud: 

Antal km 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 19 20 - 24 I alt 

Hyppighed 8 2 5 2 1 18 

Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100% 

Diagrammet kan se således ud: 

50% 

40% 

Frekvens 

30% 

20% 

10% 

0% 

20 - 24 

15 - 19 

10 - 14 

5 -9 

0 - 4 

Antal km 



Eksempler 

Tabellen og diagrammet her over ser ud, som de typisk vil gøre det i en avis eller på TV. 

Men i matematik bruges ofte en speciel måde at skrive intervaller på. 

Man bruger enten firkantede parenteser eller større end- og mindre end-tegn. 

Her er nogle eksempler: 

Lukket interval Åbent interval Halvåbent interval Halvåbent interval 

[0 ; 5] ] 0 ; 5[ [0 ; 5[ ] 0 ; 5] 

0 ≤ x ≤ 5 0 < x < 5 0 ≤ x < 5 0 < x ≤ 5 

0 5 0 5 0 5 0 5 

0 - 5 

1 - 4 

0 - 4 

1 - 5 

eller 0,0 - 5,0 

eller 0,1 - 4,9 

eller 0,0 - 4,9 

eller 0,1 - 5,0 

eller 0,00 - 5,00 

eller 0,01 - 4,99 

eller 0,00 - 4,99 

eller 0,01 - 5,00 

eller…. 

eller…. 

eller…. 

eller…. 

Med firkantede parenteser kan hyppigheds- og frekvenstabellen skrives således: 

Antal km [0 ; 5[ [5 ; 10[ [10 ; 15[ [15 ; 20[ [20 ; 25[ I alt 

Hyppighed 8 2 5 2 1 18 

Frekvens 44% 11% 28% 11% 6% 100% 

Diagrammer for grupperede observationer laves ofte således: 

50% 

40% 

30% 

20% 

10% 

0% 

0 5 10 15 20 25 

Det kaldes et søjlediagram eller et histogram. 




Statistik - supplerende eksempler 



Middelværdi for grupperede observationer ................................78 b 

Summeret frekvens og sumkurver ..............................................78 c 

Indekstal ......................................................................................78 e 

Lektion 09s - Statistik supplerende eksempler 

Side 78a



Middelværdi for grupperede observationer 


Tabellen til højre viser månedslønningerne 

for de ansatte i et firma. 

Find et cirka-tal for gennemsnitslønnen 

Man kan naturligvis ikke finde en præcis middelværdi, 

når man ikke kende de ansattes præcise lønninger, 

men man kan finde et cirka-tal. 

(husk at gennemsnit og middelværdi er det samme). 

Metoden kaldes interval-midtpunkts-metoden. 

Månedsløn i kr. Antal 

[12.000 ; 16.000[ 11 

[16.000 ; 20.000[ 16 

[20.000 ; 25.000[ 8 

[25.000 ; 30.000[ 5 

[30.000 ; 40.000[ 2 

Man lader som om, at de 11 personer, der har en månedsløn i intervallet [12.000 ; 16.000[, 

alle tjener 14.000 kr. Altså lønnen midt i intervallet. Det gør de givetvis ikke, men hvis deres 

lønningerne er (nogenlunde) jævnt fordelt på intervallet, så bliver fejlen ikke så stor. 

Man gør det samme for de andre løn-intervaller, og den samlede månedsløn bliver: 

11⋅ 14.000 + 16 ⋅18.000 

+ 8⋅ 

22.500 + 5⋅ 

27.500 + 2 ⋅35.000 

= 829.500 kr. 

829.500 

Da der i alt er 42 ansatte bliver gennemsnitlønnen: = 19.750 kr. 

42 


Side 78b



Summeret frekvens og sumkurver 




Udvid tabellen således at den også viser 

frekvens og summeret frekvens. 

Tabellen kommer til at se ud som vist herunder. 

For overblikkets skyld er der tilføjet en i alt-række. 

Månedsløn i kr. Antal 

[12.000 ; 16.000[ 11 

[16.000 ; 20.000[ 16 

[20.000 ; 25.000[ 8 

[25.000 ; 30.000[ 5 

[30.000 ; 40.000[ 2 

Frekvenserne er fundet ved almindelig procent-beregning. 

Fx er frekvensen for intervallet [12.000 ; 16.000[ fundet således: 

De summerede frekvenser findes ved at 

lægge frekvenserne sammen nedad. 

Den første summerede frekvens er lig med 

den første "almindelige" frekvens. 

11⋅100 

= 26% 

42 

Månedsløn i kr. Antal Frekvens Summeret 

frekvens 

[12.000 ; 16.000[ 11 26% 26% 

Den næste summerede frekvens (64%) 

er fundet som 26% + 38%. 

Den viser, at der er 64% af de ansatte, 

der tjener op til 20.000 kr. 

Den tredje summerede frekvens (83%) 

er fundet som 26% + 38% + 19% 

(eller lidt hurtigere som 64% + 19%) 

Den viser, at der er 83% af de ansatte, der 

tjener op til 25.000 kr. 

[16.000 ; 20.000[ 16 38% 64% 

[20.000 ; 25.000[ 8 19% 83% 

[25.000 ; 30.000[ 5 12% 95% 

[30.000 ; 40.000[ 2 5% 100% 

I alt 42 100% 

Således fortsætter man - man kan dog ikke beregne en summeret frekvens for "i alt". 

Man kan også beregne summerede hyppigheder (antal). Det gøres på tilsvarende vis. 

Prøv selv at gøre det! 

Bemærk at alle procent-tallene ovenfor er afrundet til helt tal. Ofte tager man en decimal med, 

men der er normalt ingen grund til at tage en masse decimaler med. 

Man kan også skrive frekvenstal og summerede frekvenstal som brøker eller decimaltal. 


Side 78c






Lav en sumkurve ud fra 

de summerede frekvenser. 

Aflæs medianen og vurder 

hvor stor en andel af de ansatte 

der har en månedsløn over 22.000 kr. 

Månedsløn i kr. 

Frekvens Summeret 

frekvens 

[12.000 ; 16.000[ 26% 26% 

[16.000 ; 20.000[ 38% 64% 

[20.000 ; 25.000[ 19% 83% 

[25.000 ; 30.000[ 12% 95% 

[30.000 ; 40.000[ 5% 100% 

Sumkurven ser ud som vist herunder. 

Først afsættes ud fra de summerede frekvenser "knækpunkterne". Altså punkterne: 

(12.000 kr. ; 0%), (16.000 kr. ; 26%), (20.000 kr. ; 64%)……(40.000 kr.; 100%). 

Så laver man lige streger fra punkt til punkt, fordi man antager, at lønningerne er 

jævnt fordelt på intervallerne. 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

50% 

40% 

30% 

20% 

10% 

Her aflæses at ca. 72% 

tjener op til 22.000 kr. 

Her aflæses medianen 

Sumkurver er svære at forstå. 

Men dette punkt betyder fx, 

at 83% tjener op til 25.000 kr. 

Sumkurven starter ved 12.000 kr., fordi 

ingen af de ansatte tjener under dette beløb. 

0% 

10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 40.000 

Månedsløn i kr. 

Medianen er 50%-værdien. Den aflæses til ca.18.500 kr. Det betyder, at den lavest lønnede 

halvdel tjener op til ca. 18.500 kr., mens den bedst lønnede halvdel tjener mere. 

Medianen kan let forveksles middelværdien, men den betyder ikke det samme. 

På sumkurven aflæses også, at 100% - ca. 72% = ca. 28% tjener over 22.000 kr. 


Side 78d



Indekstal 

Indekstal er en slags procenttal, der bruges til at beskrive, hvordan en talstørrelse (fx en pris) 

forandrer sig over tid. Indekstal beregnes således: 

Periodens tal · 100 

Indekstal = Basisperiodens tal 


Yrsa Olsen arbejder på en fabrik. 

Hun bor i en lejlighed i en anden by, og hun tager hver dag bussen på arbejde. 

Tabellen viser hendes timeløn og husleje samt prisen på et månedskort til bussen. 

År 1990 1992 1994 1996 1998 2000 

Timeløn 67 72 76 82 89 96 

Husleje 3.345 3.415 3.598 3.746 3.817 4.075 

Buskort 375 425 480 510 545 565 

Sammenlign løn- og prisudviklingen ved at lave en indekstabel. Brug 1990 som basisår. 

Man laver en tabel præcis magen til tabellen ovenfor, men i stedet for krone-beløbene 

skriver man indekstal. Alle tre indekstal for 1990 sættes til 100, da dette år er basisår. 

De øvrige indekstallene beregnes som vist herunder: 

Timeløn 1992: 

72 ⋅100 

= 107,5 Timeløn 1994: 

67 

76 ⋅100 

= 113,4 Timeløn 1996: 

67 

Læg mærke til at man altid dividerer med timelønnen fra 1990 (basisåret). 

I alt får man denne tabel (kontroller selv tallene): 

År 1990 1992 1994 1996 1998 2000 

Timeløn 100,0 107,5 113,4 122,4 132,8 143,3 

Husleje 100,0 102,1 107,6 112,0 114,1 121,8 

Buskort 100,0 113,3 128,0 136,0 145,3 150,7 

82 ⋅100 

= ... 

67 

I tabellen er indekstallene skrevet med en decimal. Ofte afrunder man til helt tal. 

Indekstallene viser, at huslejen er steget klart langsommere end lønnen. 

Til gengæld er prisen på buskortet vokset noget hurtigere end lønnen. 

Indekstal er gode til at vise en udvikling, da det er let at sammenligne et tal med tallet 100. 

Indekstal er gode, hvis man skal sammenligne udviklingen af meget forskellige talstørrelser. 


Side 78e



Indekstal er en slags procental. Men når indekstallet for Yrsa Olsens løn fra 1994 til 1996 

stiger fra 113,4 til 122,4, så siger man, at stigningen er på 122,4 - 113,4 = 9,0 procentpoint. 

Stigningen er ikke på 9% af lønnen i 1994 men på 9% af lønnen i 1990 (basisåret). 

Derfor siger man procentpoint og ikke procent. Det kan være svært at huske (og forstå). 


Indekstabellen viser udviklingen i prisen på et månedskort til en busrute. 

År 1990 1992 1994 1996 1998 2000 

Buskort 100,0 113,3 128,0 136,0 145,3 150,7 

Find stigningen fra 1994 til 1996 i både procentpoint og procent. 

Stigningen i procentpoint er forskellen i indekstal: 136,0 - 128,0 = 8,0 procentpoint. 

8,0 

⋅100 

Stigningen i procent findes ved almindelig procentregning: = 6,25% 

128,0 

Kik evt. i modulet om procentregning, hvis du døjer med at huske regnemetoderne. 

Hvis man beregner stigningen i procent fra 1994 til 1996 ud fra de rigtige buspriser fra 

30 ⋅100 

eksemplet på forrige side, så får man: = 6,25%. Altså præcis samme resultat. 

480 

Det vil altid være tilfældet. 

Tabellen i eksemplet ovenfor viser tydeligt, at prisstigningen er størst i starten. 

Den største stigning målt i procentpoint er på 14,7 procentpoint fra 1992 til 1994. 

14,7 

⋅100 

Det svarer til en stigning på : = 13,0% 

113,3 

Men den største stigning i "almindelige" procent er faktisk fra 1990 til 1992. 

Her er stigningen på 13,3% (og i øvrigt også på 13,3 procentpoint). 

Danmarks Statistik udregner indekstal for den gennemsnitlige prisudvikling i samfundet. 

Tallene kaldes forbrugerprisindeks. Beregningen af tallene er kompliceret, og den er ikke 

kun baseret på priserne på almindelige "købmandsvarer". Der indgår også udgifter til 

fx husleje og transport. Her er vist forbrugerprisindeks med 1980 som basisår. 

År 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 

Indeks 100,0 123,0 139,8 151,7 165,0 177,4 185,5 191,6 199,7 207,9 219,3 

I tabellen er af pladshensyn kun vist tal fra hvert andet år, men der bliver beregnet nye tal 

hver eneste måned året rundt. Tallene er gode som sammenligningsgrundlag. 


Side 78f




Sammenlign udviklingen i prisen på et månedskort (se forrige sider) 

med udviklingen i forbrugerprisindekset. 

Man kan ikke umiddelbart sammenligne indekstal med forskellige basisår, men det er 

alligevel muligt at lave en sammenligning. Man kan omregne forbrugerprisindekset, 

således at 1990 bliver basisår. Man får: 

År 1980 …. 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 

Indeks 56,4 …. 93,0 100,0 104,6 108,0 112,6 117,2 123,6 

De nye indekstal for 1998 er fx fundet således: 

207,9 

⋅100 

= 117,2 

177,4 

Nu kan man tydeligt se, at prisen på buskortet er vokset en del hurtigere end forbrugerprisindekset. 

Men sammenligningen kan også laves på flere andre måder. Overvej selv hvordan. 


Et forsikringsselskab regulerer sine præmier 

efter udviklingen i forbrugerprisindekset. 

En indboforsikring kostede 778 kr. i 1998. 

År 1996 1997 1998 1999 

Indeks 199,7 204,1 207,9 213,0 

Find prisen på forsikringen i 1999. 

Prisen kan beregnes således: 

Pris i1998 ⋅ Indekstalfra1999 

Pris i 1999 = 

Indekstalfra1998 

= 

778 ⋅ 213,0 

207,9 

= 797 kr. 

Metoden kan sættes på formel på denne måde: 

Nyt tal = 

Gammelt tal ⋅ Nyt indekstal 

Gammelt indekstal 

NB: Beregningen i eksemplet ovenfor er lidt urealistisk. 

Man kender naturligvis ikke forbrugerprisindekset for 1999, når man skal beregne 

forsikringspræmien for 1999. I praksis vil man lave en "forsinket" indeksregulering. 

Man vil bruge indekstallene fra 1997 og 1998 som det gamle og det nye indekstal. 


Side 78g


Eksempler 

Sandsynlighed og kombinatorik 



Simpel sandsynlighed..................................................................80 

Kombinatorik ..............................................................................81 

Sandsynlighed og kombinatorik..................................................83 

Kombinatorik og kugletrækning .................................................83 

Lektion 10 - Kombinatorik og sandsynlighedsregning eksempler Side 79


Eksempler 

Sandsynlighedsregning og kombinatorik er to matematik-områder, som ofte hæftes sammen. 

Det er fordi, at kombinatorik kan anvendes som hjælpemiddel i sandsynlighedsregning. 

Men man kan dog: 

- både arbejde med sandsynlighedsregning uden brug af kombinatorik. 

Det kaldes herunder for simpel sandsynlighed. 

- og bruge kombinatorik til andet end sandsynlighedsregning. 

Simpel sandsynlighed 

Sandsynlighed beregnes på denne måde: Sandsynlighed = 

Antal gunstige udfald 

Antal mulige udfald 


Du kaster med en almindelig terning. 

- hvad er sandsynligheden for 

at få en 6’er 

- hvad er sandsynligheden for 

at få et lige tal 

Terningen kan lande på 6 måder, 

Der er stadig 6 mulige udfald. 

så der er 6 mulige udfald. 

Nu er 3 af udfaldene (2, 4 og 6) gunstige. 

Men kun et 1 af udfaldene (6’er) er gunstigt. Man får: 

Man får: 

3 1 

1 = som kan omregnes til 0 ,5 = 50 % 

som kan omregnes til 0 ,17 = 17 % 

6 2 

6 


Hvad er sandsynligheden for, at en bus er 

forsinket over 5 min 

Man får: 

16 

= 

29 + 42 + 16 

16 

87 

= 0,18 = 18% 

En optælling viser at: 

- 29 busser kørte præcis til tiden 

- 42 busser var forsinket 1 - 5 min. 

- 16 busser var forsinket over 5 min. 

Eksemplerne med terningen kaldes teoretisk sandsynlighed. 

Eksemplet med busserne kaldes statistisk sandsynlighed. 



Eksempler 

Kombinatorik 


Du kaster med en sort og en hvid terning. 

På hvor mange måder (antal kombinationsmuligheder) kan terningerne lande 

Begge terninger kan lande på 6 måder. 

Man får: 

6 ⋅ 6 = 6 

2 = 36 kombinationsmuligheder. 

Mulighederne er vist som 36 felter i skemaet til højre. 

Pilen peger på kombinationen af en sort 3’er og en hvid 2’er. 

Der er også 36 kombinationsmuligheder, når terningerne er ens. 

Slår man med to ens terninger rigtig mange gange, vil man få 

kombinationen en 5’er og en 6’er (eller en 6’er og en 5’er) 

dobbelt så ofte som kombinationen to 6’ere. 


På en restaurant kan man frit sammensætte 

en 3 retters-menu ud fra det viste menu-kort. 

Hvor mange kombinationsmuligheder er der 

Forret 

Salat 

Suppe 

Hovedret 

Bøf 

Steg 

Pizza 

Lasagne 

Dessert 

Is 

Kage 

Frugt 

Man får: 

2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24 kombinationsmuligheder. 

Mulighederne er vist på tegningen til højre. 

Tegningen kaldes et tælletræ. Den viser, at man: 

- først vælger mellem 2 forretter 

- derefter vælger mellem 4 hovedretter 

Suppe 

Bøf 

Steg 

Pizza 

Lasagne 

Is 

Kage 

Frugt 

- til sidst vælger mellem 3 desserter 

Hver ”grenspids” svarer til en kombinationsmulighed, 

men der er ikke plads til at skrive tekst over alt. 

Salat 

Den øverste pil peger på: Suppe - lasagne - kage 

Den nederste pil peger på: Salat - steg - frugt 

Tælletræer er gode til at vise kombinatorik, men 

de er svære at tegne. De bliver let for store. 



Eksempler 

Eksemplerne på denne side ligner hinanden to og to, men er alligevel forskellige. 

Hold hovedet koldt og tænk grundigt over forskellene. 


En alarm har de viste tryk-knapper. 

For at slå alarmen fra skal man indtaste 

en kode på 4 bogstaver. 

- Hvor mange kombinationsmuligheder 

er der, hvis hvert bogstav må 

bruges flere gange 

F.eks. DCAC eller BBCB eller FEAB. 

Det første bogstav kan vælges på 6 måder, 

det andet bogstav kan vælges på 6 måder, 

og så videre….. 

Man får: 

6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 

4 

6 

= 

1 .296 kombinationsmuligheder 


er der, hvis hvert bogstav kun må 

bruges en gang 

F.eks. FEAB. 

Det første bogstav kan vælges på 6 måder, men 

det andet bogstav kan kun vælges på 5 måder, 

da der allerede er valgt et bogstav. 

Det tredje bogstav kan vælges på 4 måder og 

det fjerde bogstav på 3 måder. 

Man får: 

6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360 kombinationsmuligheder 


På et VUC-hold med disse 12 kursister 

skal der vælges 2 personer 

til skolens kursistråd. 


er der, når der: 

- først vælges et medlem til rådet 

- derefter vælges en suppleant 

Medlemmet kan vælges på 12 måder. 

Suppleanten kan kun vælges på 11 måder, 

da der allerede er valgt en person. 

Man får: 

12 ⋅ 11 = 132 kombinationsmuligheder 

F.eks. Ida som medlem og Bo som suppleant, 

eller Bo som medlem og Ida som suppleant, 

eller….. 

Anna Carl Ida Kaj Mie Pia 

Bo Else Jens Lis Ole Ulf 


er der, når begge personer skal 

være medlemmer af rådet 

Det første medlem kan vælges på 12 måder. 

Det andet medlem kan kun vælges på 11 måder, 

da der allerede er valgt en person. 

Men man får kun: 

12 ⋅11 

= 66 kombinationsmuligheder 

2 

fordi mulighederne er parvis ens. 

Der er lige meget om Ida eller Bo vælges først. 



Eksempler 

Sandsynlighed og kombinatorik 


Ved en fodboldturnering kan man 

gætte på resultatet af nogle kampe. 

Man skal udfylde den viste tipskupon. 

Hvad er sandsynligheden for at gætte alle 

resultaterne rigtigt 

Man skal først finde antal kombinationsmuligheder. 

Den første kamp kan ende på 3 måder 

(sejr til Gåsedal, uafgjort eller sejr til Andebjerg). 

Den næste kamp kan også ende på 3 måder o.s.v. 

Der er i alt 3⋅ 3⋅ 

3⋅3⋅ 

3 = 3 

5 = 243 muligheder, 

fordi der er 5 kampe. 

Sandsynligheden for at ramme den rigtige er: 

1 

= 0,004 = 0,4% 

243 

Tælletræet til højre viser ideen i udregningen, men 

det er næsten umuligt at tegne træet helt færdigt 

1 

X 

2 

Kombinatorik og kugletrækning 

Alle kombinatorik-opgaver kan "oversættes" til, 

at man et antal gange skal trække en kugle 

fra en pose med et antal kugler. 

(Men det kan være svært at oversætte) 

Kombinatorik-opgaver handler om situationer, hvor der et antal gange skal vælges mellem 

et antal valgmuligheder. 

Hvis man udfylder en almindelig tipskupon, skal man 13 gange (ud for hver kamp) vælge 

mellem 3 valgmuligheder (1, X eller 2). Det svarer til, at man 13 gange trækker en kugle 

fra en pose med 3 kugler. 

Hvis man kaster 2 terninger, skal terningerne 2 gange "vælge" mellem 6 valgmuligheder. 

Det svarer til, at man 2 gange trækker en kugle fra en pose med 6 kugler. 

På næste side er en oversigt over forskellige "kugle-træknings-modeller". 



Eksempler 

Eksempel på opgave: 

På hvor mange måder kan man sammensætte 

en 3-retters menu ud fra et menukort med 

3 forretter, 4 hovedretter og 2 desserter 

Opgaven svarer til, at man har 3 forskellige poser, 

med forskellige antal kugler. Der er: 

3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 kombinationsmuligheder 

Poserne er forskellige: 


Hvor mange kombinationsmuligheder er der på en 

cykellås med 6 trykknapper, der kan stå i 3 positioner 

Opgaven svarer til, at man har 6 ens poser, 

med 3 kugler i hver pose, eller at man bruger 

den samme pose 6 gange og lægger den trukne 

kugle tilbage efter hver trækning. Der er: 

3⋅ 3⋅ 

.... ⋅3 

= 3 

6 = 729 kombinationsmuligheder 


I en bestyrelse med 5 medlemmer skal der vælges 

en formand, en næstformand og en kasserer. 

På hvor mange måder kan det gøres 

Opgaven svarer til, at man 3 gange fra den samme 

pose trækker en kugle. Man starter med 5 kugler i 

posen, og der må ikke lægges tilbage. Der er: 

5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 kombinationsmuligheder. 

Posen kan genbruges. 

Kuglerne lægges tilbage. 

Posen kan genbruges. 

Kuglerne lægges ikke tilbage. 

Rækkefølgen har betydning. 

Posen genbruges. Kuglerne lægges ikke tilbage. Rækkefølgen er ligegyldig. 


På hvor mange måder, kan man ud 

af en bestyrelse på 5 medlemmer finde 

2 personer til en arbejdsgruppe 

5 ⋅ 4 

Der er = 10 kombinationsmuligheder. 

2 

Man kunne tro, at der var 

5 ⋅ 4 = 20 muligheder, men mulighederne 

er parvis ens. (De samme 2 personer 

fundet i forskellig rækkefølge). 


På hvor mange måder, kan man ud af en bestyrelse på 

5 medlemmer finde en arbejdsgruppe på 3 personer 

5 ⋅ 4 ⋅3 

Der er = 10 kombinationsmuligheder. 

3⋅ 

2 ⋅1 

Hvis rækkefølgen havde haft betydning, var der 

5 ⋅ 4 ⋅3 

= 60 muligheder, men mulighederne kan 

samles i grupper af muligheder med de samme 

3 personer fundet i forskellige rækkefølger. 

Og 3 personer kan findes på 3 ⋅ 2 ⋅1 

= 6 måder. 




Rente, lån og opsparing - supplerende eksempler 



Simpel rente og sammensat rente................................................85 

Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing .....................87 

Serielån........................................................................................88 

Annuitetslån ................................................................................89 

Opsparing ....................................................................................93 

Lektion 11s - Rente, laan og opsparing supplerende eksempler Side 84



Simpel rente og sammensat rente 

Hvis man sætter penge i banken, får man renter. Hvis man låner penge, betaler man renter. 

Renten oplyses normalt som et bestemt antal procent pr. år (kaldet pro anno). 

Pengene står sjældent i netop et år, så renten beregnes efter det præcise antal dage. 

På terminsdagen lægges den beregnede rente oveni det beløb, der er på kontoen. 

På indlån er der normalt en årlig terminsdag. Det er ofte 31/12 (til nytår). 

På udlån er der tit flere terminsdage pr. år. 


Der indsættes 10.000 kr. på en konto med årlig på rente på 3%. 

Hvor meget bliver renten, hvis beløbet står på kontoen… 

- …i 2 mdr. fra 30/6 til 31/8 - …i 2 mdr. fra 30/11 til 31/1 

Årsrenten bliver 3% af 10.000 kr. = 300 kr. Fra 30/11 til 31/12 er der 31 dage. 

31 

Perioden er på 62 dage (tæl selv efter), Renten bliver ⋅ 300 = 25,48 kr., som lægges 

62 

365 

så renten bliver af årsrenten. 

365 

til de 10.000 kr., fordi 31/12 er terminsdag. 

62 

Man får ⋅ 300 = 50,96 kr. 

365 

Efter 31/12 skal renten beregnes af 10.025,48 kr. 

Årsrenten bliver 3% af 10.025,48kr. = 300,76 kr. 

10.000 ⋅ 3⋅ 

62 

I en beregning skrives = 50, 96kr. 

100 ⋅365 

Fra 31/12 til 31/1 er igen 31 dage, og renten 

Ofte er det præcist nok at tælle måneder. bliver 31 ⋅ 300, 76 = 25,54 kr. 

365 

2 

Så får man ⋅ 300 = 50,00 kr. 

12 

Den samlede rente er 25,48 + 25,54 = 51,02 kr. 

I eksemplet ovenfor til venstre taler man om simpel rente. 

Beregningen er vist på flere måder, men der er bl.a. brugt denne formel: 

K ⋅ r ⋅ d 

R = 

100 ⋅365 

R = beregnet rente i kr. 

K = kapital i kr. 

r = renten pr. år i procent 

d = antal dage (kaldet rentedage) 

I eksemplet ovenfor til venstre bliver den præcise rente 50,96 kr. I eksemplet til højre er 

den præcise rente 6 øre højere, selv om beløbet på 300 kr., står lige lang tid på kontoen. 

Forskellen skyldes at pengene står hen over en terminsdag. De ekstra 6 øre, der beregnes 

for januar måned, er renterne af den rente, der blev tilskrevet på terminsdagen 31/12. 

Beløbet kaldes for rentes rente. Hvis en kapital forrentes i flere år, og renten er høj, 

kan rentes rente betyde en hel del. 




Hvis et beløb forrentes over flere hele rente-tilskrivnings-perioder (terminer), 

bruger man sammensat rentesregning. En rente-tilskrivnings-periode er ofte 

et kalenderår, men det kan også være en måned, et kvartal eller et halvt år. 


Et år til nytår indsættes 5.000 kr. på en konto med en årlig rente på 4%. 

Hvor meget står der på kontoen (med rente)… 

- …efter præcis et år - …efter 3 år 

Der skal lægges 4% til. 

Det gøres lettest ved at gange med 1,04. 

Man får 5.000 

⋅ 1, 04 = 5.200 kr. 

Der skal lægges 4% til tre gange. 

Det gøres lettest ved at gange med 1,04 tre gange. 

Man får 5.000 

⋅ 1,04 ⋅1,04 

⋅1, 

04 = 5.624,32 kr. 

Heraf må renten udgøre 624,32 kr. 

I en beregning skrives 

3 

5.000 

⋅ 1,04 = 5.624,32 kr. 

I eksemplet ovenfor til højre er brugt denne formel (ofte kaldet vækst-formlen): 

K + 

n 

n 

= K 

0 

(1 r) 

K n = kapital efter n rente-tilskrivninger 

K 0 = startkapital. 

r = renten som decimaltal 

n = antal rentetilskrivnninger 


Et år til nytår optages et lån på 20.000 kr. til en årlig rente på 10%. 

Lånet skal betales tilbage (med renter) på en gang efter 5 år. 

Hvor meget skal der betales tilbage, hvis der er… 

- …helårlig rentetilskrivning - …kvartårlig rentetilskrivning 

Man får ved at bruge formlen ovenfor, at 

K 

5 

10 

5 

= 20.000 ⋅1, 

= 32.210 kr. 

Der er reelt lagt 61% til fordi 1,10 5 ≈ 1, 61 

Den kvartårlige rentetilskrivning betyder, at der 

hvert kvartal skal lægges 10 % : 4 = 2,5% til. 

Der er 5⋅ 4 = 20 kvartaler, så i alt fås: 

20 

K 

20 

= 20.000 ⋅1, 

025 = 32.772 kr. 

I eksemplet overfor til højre ganges hvert år med 1,025 4 ≈ 1, 1038 . Derfor lægges der reelt 

10,38% til hvert år. Dette tal kaldes den nominelle rente, mens 10% er den pålydende rente. 




Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing 

Når man låner penge skal man normalt betale renter og afdrag hver termin. 

En termin er en periode på f.eks. en måned et kvartal eller et år. 

Den periode, det tager at betale lånet tilbage, kaldes lånets løbetid. 

Det beløb, man i alt låner, kaldes lånets hovedstol. 

Et afdrag er det beløb, som man i en bestemt termin reelt betaler af på lånet. 

Det beløb, som man mangler at betale tilbage, kaldes restgæld. 

Renten i en termin er en bestemt procentdel af restgælden. 

Renten er betaling for at låne penge. 

Summen af renter og afdrag i en termin kaldes ydelse. 

Når man betaler renter får man et skattefradrag og skal derfor betale mindre i skat. 

Hele ydelsen kaldes bruttoydelsen. 

Nettoydelsen er ydelsen minus det beløb, man sparer i skat 

Når man sparer op får man renter hver termin, men renten på opsparing er lavere 

end renten på lån. Det er på den måde, at bankerne tjener penge. 

Der findes mange forskellige former for lån, og man kan låne penge mange andre 

steder end i banken. Hvis man låner penge til køb af et hus eller en ejerlejlighed, 

så låner man de fleste af pengene i en kreditforening. Hvis man køber noget på 

afbetaling, så optager man reelt et lån. Det sker ofte i et finansieringsselskab. 

Du kan læse mere om de forskellige slags lån andre steder. 

Der er ret stor forskel på renten på forskellige lån. Det er mange gange let at få 

et lån hos et finansieringsselskab, men til gengæld er renten høj. Det kan være 

sværere at få banklån og kreditforeningslån, men her er renten ofte lidt lavere. 

Hvis dem, der låner pengene ud, kan føle sig sikre på at få deres pengene tilbage, 

så er renten lavere end, hvis der er en risiko for, at pengene ikke bliver betalt tilbage. 

Det er ofte meget kompliceret at regne på rigtige lån og opsparinger. Derfor er eksemplerne 

og opgaverne i dette materiale lidt forenklede sammenlignet med mange rigtige lån. 




Serielån 

Ved et serielån betaler man et fast afdrag hver termin. Renten bliver mindre og mindre, 

fordi restgælden bliver mindre og mindre. Ydelsen bliver ligeledes mindre og mindre 

Serielån bruges ikke så ofte i praksis, men de er lette at regne på. 


Et serielån på 50.000 kr. afvikles over 5 år med helårlige terminer og en årlig rente på 10%. 

Find først det årlige afdrag og første års rente. 

Opstil også en amortiseringstabel og vis lånets afvikling grafisk. 

Det årlige afdrag bliver 

Amortiseringstabellen ser således ud: 

50.000 

= 10.000 kr. Første års rente bliver 10% af 50.000 = 5.000 kr. 

5 

Termin Rente Afdrag Ydelse Restgæld 

0 50.000 

1 5.000 10.000 15.000 40.000 

2 4.000 10.000 14.000 30.000 

3 3.000 10.000 13.000 20.000 

4 2.000 10.000 12.000 10.000 

5 1.000 10.000 11.000 0 

Termin 0 er ved lånet optagelse, og 

restgælden er 50.000 kr. det første år. 

Efter et år (termin 1) betales et afdrag 

på 10.000 kr. samt 5.000 kr. i rente. 

Restgælden falder til 40.000 kr. 

Efter to år (termin 2) betales igen 

et afdrag på 10.000 kr. Renten er nu 

10% af 40.000 = 4.000 kr. 

Efter fem år er lånet betalt tilbage. 

Bemærk at summen af afdragene (naturligvis) er 50.000 kr. 

Summen af renterne er 15.000 kr., og det er en del mere end 10% af 50.000 kr. 

Grafisk kan lånets afvikling vises på mange måder. Til venstre er vist ydelsernes fordeling 

på renter (øverst) og afdrag (nederst). Til højre er vist restgælden termin for termin. 

14.000 

12.000 

10.000 

8.000 

6.000 

4.000 

2.000 

0 

1 2 3 4 5 

50.000 

40.000 

30.000 

20.000 

10.000 

0 

0 1 2 3 4 5 




Annuitetslån 

Ved et annuitetslån betaler man en fast ydelse hver termin. I starten, hvor restgælden og 

renten er stor, er der kun plads til små afdrag. Senere falder renten, mens afdragene vokser. 

Langt de fleste rigtige lån er annuitetslån. 


Et annuitetslån på 50.000 kr. afvikles med en årlig ydelse på 13.000 kr., 

og en årlig rente på 10%. 

Opstil en amortiseringstabel. 

Amortiseringstabellen ser således ud. Det er vigtigt, 

at du selv prøver at regne (nogle af) tallene efter. 


0 50.000 

1 5.000 8.000 13.000 42.000 

2 4.200 8.800 13.000 33.200 

3 3.320 9.680 13.000 23.520 

4 2.352 10.648 13.000 12.872 

5 1.287 11.713 13.000 1.159 

6 116 1.159 1.275 0 

Efter et år (termin 1) betales den faste 

ydelse på 13.000 kr. Fordi renten er 

10% af 50.000 = 5.000 kr., bliver der 

13.000 - 5.000 = 8.000 kr. til afdrag. 


Efter to år (termin 2) betales igen den 

faste ydelse på 13.000 kr. Renten er 

nu kun 10% af 42.000 = 4.200 kr. 

Derfor bliver afdraget nu lidt større. 

Efter fem år er der stadig en lille 

restgæld, så der bliver brug for en 

noget mindre 6. ydelse. 

Det er besværligt, at opstille tabeller, som den ovenfor, men hvis du prøver, 

får du en god fornemmelse af, hvorledes et annuitetslån er skruet sammen. 

I eksemplet ovenfor er ydelsen et rundt tal, nemlig 13.000 kr. Til gengæld bliver 

den sidste ydelse anderledes end de øvrige. Hvis man betaler en ydelse, der er 

lidt større end 13.000 kr., kan man nøjes med at betale 5 lige store ydelser. 

Ydelsen kan findes med denne formel: 

G ⋅ r 

y = 

1− 

(1+ 

r) 

−n 

y = ydelsen pr. termin 

G = gælden (lånets hovedstol) 

r = renten pr. termin som decimaltal 

n = antal terminer 

Formlen kaldes for ydelsesformlen. 

På de næste sider kan du se eksempler på brug af formlen. 

Forklaring på formlen er indviklet. Den kan du finde andre steder. 

Her skal kun lære at bruge formlen. 





Et annuitetslån på 50.000 kr. afvikles over 5 år med helårlig ydelse og en årlig rente på 10%. 

Beregn den årlige ydelse. 

Opstil en amortiseringstabel og vis lånets afvikling grafisk. 

Ydelsen beregnes således 

G ⋅ r 

1− 

(1+ 

r) 

50.000 ⋅ 0,10 

= 

1−1,10 

y = = 

− n −5 

13.190kr. 

På regnemaskinen trykkes 50000 X 0,10 ÷ ( 1 – 1,10 ^ (-) 5 ) = 

eller på lidt ældre modeller således 50000 X 0,10 ÷ ( 1 – 1,10 y x 5 +/- ) = 

50.000 ⋅ 0,10 5.000 5.000 

Du kan også lave mellemregninger: y = = 

= = 13.190 

− 5 

1−1,10 

1− 

0,6209... 0,3791... 

Amortiseringstabellen ser således ud: 


0 50.000 

1 5.000 8.190 13.190 41.810 

2 4.181 9.009 13.190 32.801 

3 3.280 9.910 13.190 22.892 

4 2.289 10.901 13.190 11.991 

5 1.199 11.991 13.190 0 

Efter et år (termin 1) betales den faste 

ydelse på 13.190 kr. Fordi renten er 

10% af 50.000 = 5.000 kr. bliver der 

13.190 - 5.000 = 8.190 kr. til afdrag. 


Efter to år (termin 2) betales igen den 

faste ydelse på 13.000 kr. Renten er 

nu kun 10% af 41.810 = 4.181 kr. 

Derfor bliver afdraget nu lidt større. 

Grafisk kan lånets afvikling vises på mange måder. Til venstre er vist ydelsernes fordeling 

på renter (øverst) og afdrag (nederst). Til højre er vist restgælden termin for termin. 

14.000 

12.000 

10.000 

8.000 

6.000 

4.000 

2.000 

0 

1 2 3 4 5 

50.000 

40.000 

30.000 

20.000 

10.000 

Grafen til venstre viser tydeligt, at renterne falder og afdraget vokser. 

Grafen til højre viser - dog ikke så tydeligt - at restgælden falder hurtigst til sidst. 

0 

0 1 2 3 4 5 





Et annuitetslån på 1.000.000 kr. afvikles over 30 år med kvartårlige terminer 

og en årlig rente på 8%. 

Beregn ydelsen og undersøg, hvor meget der i alt bliver betalt i rente. 

Opstil også et par rækker af en amortiseringstabel. 

Der er i alt 30 ⋅ 4 = 120 terminer, og renten pr. termin er 8 % : 4 = 2% 

. 

Man får 

G ⋅ r 

1− 

(1+ 

r) 

1.000.000 ⋅ 0,02 

= 

1 

1−1,02 

y = = 

− n − 20 

I alt betales der 120 ⋅ 22. 048 = 2.645.760 kr. 

22.048kr. 

Heraf må 2.645.760 - 1.000.000 = 1.645.760 kr. være renter. 

Tallene kan lyde voldsomme, men lånet ligner mange realkreditlån til køb af bolig. 

Amortiseringstabellen starter på denne måde: 


0 1.000.000 

1 20.000 2.048 22.048 997.952 

2 19.959 2.089 22.048 995.863 

Det ses tydeligt, at der i starten 

næsten kun betales renter. 

Amortiseringstabeller som den ovenfor 

er umulige at lave fuldt ud i hånden, 

men de kan let laves på computer 

med et regnearksprogram. 

Til højre er - lidt formindsket - vist 

nogle udsnit at amortiseringstabellen 

for lånet i eksemplet ovenfor. 

Læg mærke til at man - efter halvdelen 

af løbetiden - stadig betaler langt mere 

i rente end i afdrag. 

Læg også mærke til at man - efter 

halvdelen af løbetiden - kun har betalt 

lidt under ¼ af lånet tilbage. 


0 1.000.000 

1 20.000 2.048 22.048 997.952 

2 19.959 2.089 22.048 995.863 

3 19.917 2.131 22.048 993.732 

4 19.875 2.173 22.048 991.559 

58 15.716 6.332 22.048 779.458 

59 15.589 6.459 22.048 773.000 

60 15.460 6.588 22.048 766.411 

61 15.328 6.720 22.048 759.692 

62 15.194 6.854 22.048 752.837 

116 2.078 19.970 22.048 83.953 

117 1.679 20.369 22.048 63.584 

118 1.272 20.776 22.048 42.808 

119 856 21.192 22.048 21.616 

120 432 21.616 22.048 0 




Ydelsesformlen kan omskrives på denne måde: 

1− 

(1+ 

r) 

G = y ⋅ 

r 

−n 

G = gælden (lånets hovedstol) 

y = ydelsen pr. termin 

r = renten pr. termin som decimaltal 

n = antal terminer 

Denne udgave af formlen kaldes for gældsformlen. 

Formlen bruges til at beregne, hvor stort et lån man kan få, når renten er kendt, 

og man kan betale en bestemt ydelse i et bestemt antal terminer. 


Du vil købe en computer på afbetaling over 2 år. 

Renten er 1,5% pr. måned, og du kan betale en ydelse på 500 kr. pr. måned. 

Hvor dyr en computer kan du købe 

Når man køber på afbetaling, optager man reelt et lån. Derfor kan man bruge gældsformlen. 

Man får 

1− 

(1+ 

r) 

G = y ⋅ 

r 

−n 

1−1,015 

= 500 ⋅ 

0,015 

−24 

= 10.015kr. 

≈ 10.000 kr. 

På regnemaskinen trykkes 500 X ( 1 – 1,015 ^ (-) 24 ) ÷ 0,015 = 

eller på lidt ældre modeller således 500 X ( 1 – 1,015 y x 24 +/- ) ÷ 0,015 = 

Bemærk at der i alt skal betales 24 ⋅ 500 = 12.000 kr., så renterne udgør cirka 2.000 kr. 

En rente på 1,5% pr. måned lyder voldsom, men ved køb på afbetaling kan renten sagtens 

være endnu højere. 

Det er vigtigt, at du er klar over, at rigtige lån ofte er mere indviklede at regne på 

end lånene i disse eksempler og de tilhørende opgaver. Det kan fx skyldes at: 

• rigtige lån næsten aldrig har helårlige terminer. 

• der ud over renter og afdrag skal betales forskellige "gebyrer" og "omkostninger". 

• der skal betales et afdrag hver måned men kun beregnes og betales renter hvert kvartal. 

• lånet næsten aldrig optages på "terminsdagen". Hvis lånet optages midt i en termins-periode, 

skal der til første termin kun betales rente for resten af denne periode. Ikke for en hel termin. 

• man på grund af "kurstab" skal betale renter og afdrag af et beløb, der er større end 

det beløb, man får udbetalt. Det er tilfældet ved realkreditlån til køb af bolig. 

• renten ofte er variabel. Den kan ændre sig mens lånet betales tilbage. 

Du kan få en god fornemmelse for, hvorledes lån afvikles, ved at regne opgaverne. 

Men du skal være klar over, at dine beregninger nogle gange kun giver dig cirka-tal. 




Opsparing 


På en opsparingskonto indsættes hvert år til nytår 6.000 kr. Renten er 5% pr. år. 

Lav en tabel der beskriver opsparingen år for år. 

Tabellen starter således: 

Indbetaling Rente Indsat Opsparing 

1 0 6.000 6.000 

2 300 6.000 12.300 

3 615 6.000 18.915 

Ved 2. indbetaling har de første 

6.000 kr. stået på kontoen i et år. 

Derfor tilskrives en rente på 

5% af 6.000 = 300 kr. 

Ved 3. indbetaling har der stået 

12.300 kr. på kontoen det seneste år. 

Derfor tilskrives en rente på 

5% af 12.300 = 615 kr. 

Det er besværligt, at lave en tabel som den ovenfor, hvis der foretages mange indbetalinger. 

Men der findes en formel til at beregne opsparingen efter et bestemt antal indbetalinger: 

O 

n 

(1+ 

r) 

= y ⋅ 

r 

n 

−1 

O n = opsparingen efter n indbetalinger 

y = indbetaling pr. termin 

n = antal indbetalinger 

r = renten pr. termin 


På en opsparingskonto indsættes hvert år til nytår 6.000 kr. Renten er 5% pr. år. 

Find opsparingen (med renter) efter den 8. indbetaling. 

Man får 

O 

8 

8 

1,05 −1 

= 6.000 ⋅ = 57.294 kr. 

0,05 

På regnemaskinen trykkes 6.000 X ( 1,05 ^ 8 – 1 ) ÷ 0,05 = 

Da der er indbetalt 8 ⋅ 6. 000 = 48.000 kr., må der i alt være tilskrevet 9.294 kr. i renter. 

Bemærk også at den 8. indbetaling sker 7 år efter at indbetalingerne er begyndt. 

Rigtige opsparinger er ofte mere indviklede at regne på. Det kan fx skyldes at: 

• der indbetales penge hver måned men kun beregnes og tilskrives renter hvert år. 

• pengene bliver stående på kontoen i en periode efter sidste indbetaling. 

Men du får udmærkede cirka-tal ved at bruge opsparingsformlen.

Trin 2 - eksempler.pdf

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?