1. Bits og Bytes - VUC Aarhus

1
Bits og Bytes
Computere er fortræffelige til at opbevare data og behandle data Af data vil vi i dette afsnit primært
beskæftige os med billeder, tekst og lyd, og se på, hvordan sådanne data lagres i en computer Data
lagres som bits i en computer, hvor er bit er den mest fundamentale lagerenhed
Det er nemmest at tænke på en bit som noget, der kan repræsentere to muligheder Almindeligvis
benyttes tallene 0 og 1 som symboler for de to muligheder Det er så op til os (eller det computerprogram
vi benytter) at fastlægge, hvad der i en given situation menes med 0 og 1
Rent fysisk kan en bit fx realiseres ved hjælp af
• en elektrisk pære, der kan være tændt eller slukket
• en elektromagnet, der kan have nordpol i den ene eller den anden ende
- men det er ikke noget vi skal bekymre os om nu
Nedenfor ser du et billede af Mona Lisa Dette billede vil vi gerne have lagt ind i en computer, så vi
kan se det i et billedprogram Vi skal altså på en eller anden måde beskrive billedet ved hjælp af en
række 0’er og 1’ere Denne proces kaldes digitalisering
Digitalisering af billeder
Digitalisering af billeder foregår ved at man så at sige lægger et ‘net’ ud over billedet Hvert eneste
felt i dette net kaldes et billedelement eller en pixel Hvis nettet er tilpas finmasket, vil hvert billedelement
være (næsten) ensfarvet
Vi skal se på et net med en maskestørrelse på ca 025mm x 025mm Med ovenstående billede af
Mona Lisa giver det et net med 180 x 216 = 38800 masker
Nedenfor er vist Mona Lisas højre øje og en stor forsørrelse opdelt i kvadrater svarende til det net
der er lagt på
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 1

1 bits gråtoner
Vi skal nu til at bestemme gråtonen inden for hver pixel Til en start vil vi kun benytte os af to
gråtoner: Sort og hvid - altså to muligheder Vi skal således for hvert felt afgøre, om feltet er mest
sort eller mest hvidt Vi vælger tolkningen:
0 =
1 =
Det kan være lidt svært at afgøre om et felt er mest sort eller mest hvidt I den øverste række skal
alle felter pånær det sidste være sorte (øjenvipperne) I den anden række er der i midten et større
sammenhængende hvidt område (det øverste af øjet) Osv Svarende til felterne i forstørrelsen af
øjet, kan vi opstille et skema med den valgte farve:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Med lidt god vilje kan man genkende øjet ud fra mønstret af 0’er og 1-taller Med de valgte værdier
kommer øjet til at se sådan ud
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 2

Udfører vi digitaliseringen for hele billedet kommer det til at se sådan ud:
Til digitaliseringen har vi brugt 38800 bits Denne 1-bit digitalisering svarer til det man kan se på
en lystavle, hvor hver pixel er repræsenteret ved en lille pære, der enten kan være tændt eller
slukket Pærerne skal naturligvis være opstillet i 180 rækker og 216 søjler for at billedet skal kunne
genkendes
2 bits gråtoner
For at opnå en bedre gengivelse af Mona Lisa skal vi have flere gråtoner i sving Lad os fordoble
antallet af gråtoner til 4:
sort 66% 33% hvid
Til beskrivelsen af de fire gråtoner kan vi ikke nøjes med en enkelt bit, da vi med en enkelt bit kun
kan skelne mellem to muligheder Men benytter vi 2 bits til beskrivelsen, så har vi præcis 4 muligheder:
= 00
= 01
= 10
= 11
Her kommer koderne for Mona Lisas højre øje til at se sådan ud:
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 3

Billedet af Mona Lisa kommer med 4 gråtoner til at se sådan ud - stadigvæk ikke helt godt, men
langt bedre end før
Prisen for denne forbedrede udgave er det dobbelte antal bits, altså
180 x 216 x 2 = 77760 bits
Øvelse 1:
Lad os igen fordoble antallet af gråtoner — denne gang til 8 Hvor mange bits skal bruges til at
beskrive 8 gråtoner
Sæt systematisk bitkoder på de 8 gråtoner
=
=
=
=
=
=
=
=
Nedenfor ser du billedet af Mona Lisa i 8 gråtoner Hvor mange bits er anvendt i alt
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 4

4 bits gråtoner
Benytter vi 4 bits gråtoner, får vi i alt 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4
= 16 forskellige gråtoner:
En metode til systematisk nedskrivning af bitkoderne, hvor du starter med 0000 og slutter med
1111, er følgende:
1)
Start med
0000
2)
Skriv dernæst den anden mulighed for den bageste bit:
Din liste ser nu sådan ud:
0001
0000
0001
3)
Den næstbageste bit er 0 i begge bitkoder De to næste bitkoder fremkommer ved at sætte den
næstbageste bit til 1, så din liste nu er
0000
0001
0010
0011
4)
Den tredje bageste (eller næst forreste) bit er 0 i alle fire ovenstående bitkoder De næste fire næste
bitkoder fremkommer ved at skrive et 1-tal i tredje bageste bit:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 5

5)
De næste (og sidste) 8 bitkoder får du nu ved at erstatte 0’erne i den forreste bit med 1-taller:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Læg mærke til at fjerner du de to forreste bits i listen i 3), får du netop de 4 kombinationer der er
med 2 bits Fjerner du den forreste bit i listen i 4), får du netop den systematiske liste du skulle
opskrive i øvelse 1
Pladsforbruget ved 16 gråtoner er: 180 x 216 x 4 = 155520 bits, og med 16 gråtoner kommer Mona
Lisa til at se sådan ud (billedet til venstre)
Nu begynder det for alvor at ligne, men vi kan naturligvis gøre det endnu bedre ved at benytte flere
og flere gråtoner De næste i rækken vil være 32, 64, 128 og 256 gråtoner svarende til hhv 5-, 6-, 7-
og 8-bits koder
Almindeligvis benyttes 256 gråtoner ved digitalisering af sort/hvid billeder Ovenfor til højre ser du
en udgave af Mona Lisa med 256 gråtoner Kan du se forskel
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 6

Vi samler vores undersøgelser i et skema, hvor den sidste kolonne viser pladsforbruget for billedet
af Mona Lisa
Bits Gråtoner Pladskrav
1 2 38880
2 4 77760
3 8 116640
4 16 155520
5 32 194400
6 64 233280
7 128 272160
8 256 311040
Farvebilleder
Alle farver kan mixes af rød, grøn og blå Derfor taler man om RGB-farver Når en pixel i et
farvebillede skal beskrives, sker dette ved at angive, hvor meget rødt, grønt og blåt der skal blandes
i Vi kan således dele et farvebillede op i 3 almindelige gråtonebilleder, hvor det ene er ‘rødtone’,
det andet er ‘grøntone’ og det tredje er ‘blåtone’ - alle 3 farvelægges med en 8-bits farvekode
Nedenfor ses et farvebillede af Kylie Minogue (vises i sort-hvid her):
Dette billede deles op i 3 - en ‘rødtone’, en ‘grøntone’ og en ‘blåtone’
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 7

Farvebilleder kommer således til at fylde 3 gange så meget som et sort-hvidt billede Hver pixel i et
farvebillede farves med tre 8-bits koder for hhv rød, grøn og blå Der skal altså bruges 24 bits til
farvning af hver pixel Deraf kommer udtrykket 24-bits farver Undertiden benyttes endda yderligere
8 bits til at angive farvemætningen Herved kommer man op på 32-bits farver
Øvelse 2:
Ved at højreklikke på din computers skrivebord og vælge ‘Egenskaber’ i menuen kan du få ‘Egenskaber
for Skærm’ frem Vælger du her fanebladet ‘Indstillinger’, vil du få oplysninger om din
skærmindstilling frem (du får sikkert ikke de samme som dem, der er vist her)
Hvor mange bits skal bruges til et skærmbillede i denne opløsning
Bytes
En bit er den mest fundamentale lagerenhed i en computer Næsten lige så fundamental er enheden
en byte, som er det samme som 8 bits At man har lavet enheden bytes er af rent praktiske årsager
Vi har set, at i sort-hvid billeder fastlægges gråtonen i hver pixel vha en byte I farvebilleder fastlægges
farven vha 3 bytes, en byte til den røde farve, en byte til den grønne og en byte til den blå
farve Dette er blot et par eksempler blandt mange, hvor enheden en byte er praktisk at benytte I det
følgende vil du se flere
1 byte = 8 bits
Kilo-, Mega- og GigaBytes
Når man vejer ting, er gram et udmærket enhed for små vægte Når man skal veje tungere ting,
benyttes kilogram i stedet Forstavelsen kilo betyder her 1000 På samme måde med bytes, men her
betyder kilo i kilobytes ikke 1000
Vi har set, at hver gang vi tilføjer en bit, så fordobles antallet af muligheder Denne fordobling
svarer til at gange med 2, så potenserne af 2 er meget nyttige at kende:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 n 2 4 8 16 32 64 128 256 521 1024
Fx betyder 2 4 at 2 er ganget med sig selv 4 gange: 2 4
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 8

Et hurtigt kig i tabellen viser, at 2 10 = 1024 er den 2-potens, der er nærmest på 1000 Derfor har
man vedtaget, at 1 kilobyte skal betyde 1024 bytes Kilobyte forkortes KB
1 KB (kilobyte) = 1024 bytes
Da antallet af bytes, der skal benyttes eller er til rådighed, ofte er megastort, har man indført betegnelsen
megabyte (MB) Her er fastsættelsen
1 MB (megabyte) = 1024 KB
I nyere tid er betegnelserne gigabyte og terabyte også kommet på banen:
1 GB (gigabyte) = 1024 MB
1 TB (terabyte) = 1024 GB
Øvelse 3:
1) Billedet af Mona Lisa i 8 bits gråtoner fylder 311040 bits Hvor mange KB er det
2) I øvelse 2, skulle du bestemme, hvor meget et bestemt skærmbillede fylder Som resultat skulle
du gerne have fået 47040000 bits Hvor mange bytes er det Hvor mange KB og hvor mange MB
Et skærmkort skal kunne rumme et skærmbillede i den indbyggede hukommelse Moderne skærmkort
har typisk en hukommelse på 64 MB Hvad mon de overskydende megabytes bruges til
3) 1 KB = 1024 bytes = 2 10 bytes Skriv tilsvarende 1MB, 1GB og 1 TB som en 2-potens
Digitalisering af lyd
Hvis du tilslutter en mikrofon til lydkortet på din PC kan du let lave en lille lydoptagelse på dim PC
Det, der kommer ud af det, er en lille WAV-fil, som indeholder en digitalisering af den lyd, mikrofonen
modtog Lyden er analog af natur, men WAV-filen er digital Omsætningen sker i lydkortets
A/D (analog/digital)-konverter
Programmet til lydoptagelse finder du under Programmer / Tilbehør / Underholdning / Lydoptager
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 9

Under Filer / Egenskaber finder du følgende oplysninger, der fortæller noget om lydformatet:
Mikrofonen omdanner lyden til et elektrisk signal, der har form som en vekselspænding:
Musiksignalet hakkes nu i småbidder, og jo flere småbidder jo bedre
Størrelsen 22,050 kHz i indstillingen af ‘Lydoptager’ ovenfor betyder, at der er 22050 småbidder pr
sekund - eller med andre ord: Lyden registreres 22050 gange pr sekund
Hver bid måles nu:
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 10

Hvor fin denne måling er, afhænger af, hvor mange bits der benyttes til at repræsentere målingen I
‘Lydoptager’ måles med 8 bits Dvs 256 forskellige værdier kan registreres
Kvaliteten af en indspilning men ‘Lydoptager’ er ganske jævn Hvis du har installeret et ordentligt
lydkort i din computer, har du sikkert fået en del lyd-software med sammen med kortet Du skulle
så have mulighed for at lydoptagelse i en fornem musik CD kvalitet (44,100 kHz, 16 bit, Stereo)
Øvelse 4
Hvor mange Mb vil 1 minuts musik fylde i kvaliteten: 44,100 kHz, 16 bit, Stereo
Digitalisering af tekster
Digitalisering af tekst foregår på den måde, at hvert enkelt tegn tildeles en entydig bitkode Ønsker
vi blot at kunne digitalisere bogstaverne i det danske alfabet, behøver vi blot 29 x 2 = 58 bitkode, så
har vi kode til såvel små som store bogstaver Men det er slet ikke nok! Vi skal naturligvis også
have tallene (0, 1, , 9) med, vi skal også have tegne som komma, punktum, kolon osv med En
kode for mellemrum skal også med - kig på dit tastatur, og overvej, hvad der skal med
Man er internationalt blevet enige om en bitkode til hvert tegn (ASCII-koden), denne omfatter ud
over de allerede nævnte tegn også specielle tegn fra de øvrige vesteuropæiske sprog og en række
specielle kontroltegn Samles revl og krat kommer man ikke over 128 tegn, så 7 bits vil altså være
nok Alligevel benyttes en 8-bitskode
De ekstra 128 tegn, der herved bliver muligt at få med, kan lay-outes på forskellig måde, men ofte
har man de græske bogstaver samt nogle almindelige matematiske tegn med
Øvelse 5
I ASCII-koden (der er en 8-bitskode) er koderne for bogstaverne ‘A’ og ‘B’:
A = 01000001
B = 01000010
Idet det forudsættes, at bogstaverne kommer i alfabetisk orden, hvad er da bitkoderne for ‘M’ og
‘N’
Øvelse 6
Find vha Karbos Guide på wwwmkdatadk/pctutor ud af, hvad ASCII betyder Find i Karbos Guide
ASCII koden for tallene 0, 1, 9
Øvelse 7
På en almindelig A4 side er de ca 40 linjer med 60 tegn i hver Hvor mange sådanne A4 sider kan
der ligge på en 1,44 MB diskette
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 11

Digitalisering af tal
Vi har allerede set, at tallene 0, 1, 2, , 9 har en entydig 8-bits kode fatslagt i ASCII-tabellen Skal
vi fx skrive tallet 123, skal vi bruge 3 bytes (24 bits) til formålet Det er fint nok, hvis tallet blot skal
være en del af en tekst, men stal tallet bruges i forbindelse med beregninger, er det uhensigtsmæssigt
mange bits at benytte Derfor:
Der skal skelnes mellem tal opfattet som tekst og tal opfattet som noget,
der skal indgå i en beregning
Hvis vi nummererer alle systematisk opskrevne 8-bits bitkoder, kan vi repræsentere tallene fra 0 til
255 (altså 256 tal i alt):
0 = 00000000
1 = 00000001
2 = 00000010
3 = 00000011
4 = 00000100
254 = 11111110
255 = 11111111
Denne nummerering skal vise sig at være uhyre hensigtsmæssig Det er den ikke endnu Brugen
heraf ville kræve en fuldstændig tabel — hvad er fx bitkoden for 123 og hvilket tal har bitkoden
01010101
Øvelse 8
Fortsæt den systematiske nummerering Hvilke tal får følgende koder:
00000100
00001000
00010000
00100000
01000000
10000000
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 12

2
Lidt om talsystemer
Titalssystemet
Som bekendt er titalssystemet bygget op med cifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 som basis Når vi ser
et tal, som fx 5475, ved vi, at de to 5-taller i tallet ikke betyder det samme Her er det cifrets
position, der er afgørende Tallet læses og opfattes som
5× 1000 + 4× 100 + 7× 10 + 5
Skriver vi tallene 1000, 100 og 10 som potenser af 10, ser det sådan ud
3 2 1 0
5× 10 + 4× 10 + 7× 10 + 5×
10
hvor 10 0 = 1 Heraf kan vi se, hvordan tallets position giver 10-potensen: Vi tæller positionen
bagfra i tallet:
&LIIHU
3RVLWLRQ
5 4 7 5
3 2 1 0
Totalssystemet
Totalssystemet fungerer helt tilsvarende, blot er det bygget op af cifrene 0 og 1 Tal i totalssystemet
kaldes binære tal
Et binært tal som fx 100101 skal tolkes således:
&LIIHU
3RVLWLRQ
1 0 0 1 0 1
5 4 3 2 1 0
Vi oversætter til titalssystemet som før, hvor vi dog erstatter 10-potenserne med 2-potenser, men
ellers er princippet det samme:
5 4 3 2 1 0
1× 2 + 0× 2 + 0× 2 + 1× 2 + 0× 2 + 1×
2
Og så ville det jo være godt at kende alle 2-potenser Vi laver en lille tabel (som vi kender i forvejen)
Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q
2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Ved hjælp af denne tabel kan vi så oversætte 100101 til
32+ 0+ 0+ 4+ 1=
37
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 13

Hvordan kommer vi så den anden vej, altså oversætter fx 157 til totalssystemet Helt primitivtkan
vi blot benytte vores tabel igen:
Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q
2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
I 157 er der en 128’er Tilbage er 29 Dvs der er ingen 64’er og ingen 32’er, men der er en 16’er
Tilbage er så 13 Så er der plads til en 8’er, en 4’er, ingen 2’er, men en 1’er Dette kan vi skrive
således:
eller
1× 128 + 0× 64 + 0× 32 + 1× 16 + 1× 8 + 1× 4 + 0× 2 + 1
hvilket giver det binære tal 10011101
7 6 5 4 3 2 1 0
1× 2 + 0× 2 + 0× 2 + 1× 2 + 1× 2 + 1× 2 + 0× 2 + 1×
2
Øvelse 9
Hvilket tal i 10-talssystemet repræsenterer det binære tal 10011101
Skriv tallet 123 binært
Hvad er de binære 8-bits koder for tallene 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 og 128
Øvelse 10
På din computer ligger der som standard en lommeregner, der kan konvertere decimale tal til
binære tal og binære tal til decimale
Du finder lommeregneren ved at vælge
Start / Programmer / Tilbehør / Lommeregner
Som standard kommer der en slavelommeregner frem, men ved at gå ind i menupunktet ‘Vis’ kan
du ændre denne til en videnskabelig lommeregner:
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 14

Konverteringen sker ved at benytte de 4 ´radiobuttons’:
I startindstillingen (som vist) skal der indtastes decimale tal Dette kan ændres ved at klikke på
en af knapperne
Indtastr du fx 123 i indstillingen ‘Dec’ og derefter trykker på ‘Bin’, får du tallet skrevet binært i
lommeregnerens display Prøv! Og eksperimenter flittigt med lommeregneren
Hexadecimale tal
En byte er en af de mest grundlæggende enheder i en computer En byte er en streng bestående af
8 bits Binære tal er ofte meget svære at overskue, så derfor angiver man ofte bytes som
hexadecimale tal (tal i 16-talssystemet)
Ideen er, at man deler en byte i to
1 0 0 1 1 1 0 1
1 0 0 1 1 1 0 1
På fire bits kan man danne 16 forskellige tal (0000 = 0, 0001 = 1, , 1111 = 15) og det kan
udtrykkes som et ciffer i 16-talssystemet
Man har valgt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F til at betegne cifrene i 16-talssystemet
Det binære tal 10011101 kan altså udtrykkes som 9D hexadecimalt
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 15

1 + 1 = 10 Sådan lægger man binære tal sammen
Når du lægger to tal fra titalssystemet sammen, starter du med de bageste cifre og bruger menteoverførsel,
hvis summen af cifrene er 10 eller derover:
+
155
69
224
Først lægges 5 og 9 sammen Dette giver 4 og 1 i mente Så lægges 5 og 6 sammen med menten
(1), og dette giver 2 og 1 i mente Til slut lægges 1 og menten (1) sammen til 2
Tilsvarende sker det i totalsystemet Her er den grundlæggende regel:
1 + 1 = 0 og 1 i mente
Lad os skrive tallene 154 og 69 binært på 8 bits og prøve at lægge dem sammen efter denne regel:
155 = 10011011
69 = 01000101
223 = 11100000
Additionen foregår således (menterne er skrevet med fed skrift):
Start bagfra
1 + 1 = 0 og 1 i mente
1 + 1 + 0 = 0 og 1 i mente
1 + 0 + 1 = 0 og 1 i mente
osv
Øvelse
Udregn summen 00010101 + 10100100 Omskriv tallene til titalssystemet og check om du har
regnet rigtigt
Udregn summen 11001000 + 01010111 Kig nøje på resultatet - hvad sker der
At gange et tal med 2 er det samme som at lægge tallet sammen sig selv Prøv at lægge det binære
tal 01010101 sammen med sig selv Kig nøje på resultatet - kan du formulere en regel for at gange
et binært tal med 2
Bits og Bytes - Datalogi tilvalg 2002 / KN 16