Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen
Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen
Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Geometrinoter</strong> 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 7<br />
Sætning om et punkts potens<br />
I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Lad P være et<br />
punkt og l og m være to linjer gennem P , hvor l skærer cirklen i A<br />
og B, og m skærer cirklen i C og D. (Hvis en af linjerne tangerer<br />
cirklen, er de to punkter sammenfaldende.)<br />
∠P QA er lige så stor som periferivinklen ∠P BQ, ifølge sætningerne<br />
om periferivinkler og korde-tangent-vinkler. Dermed er △AQP og<br />
△QBP ensvinklede, og dette giver |P Q| 2 = |AP ||BP |. Samlet har<br />
vi at |AP ||BP | netop er punktet P ’s potens mht. cirklen.<br />
Lad nu m være endnu en linje gennem P som skærer cirklen i punkterne<br />
C og D. Ifølge det vi netop har vist, må også |CP ||DP | være<br />
punktet P ’s potens mht. til cirklen, dvs. at<br />
|AP ||BP | = |CP ||DP |.<br />
Da gælder at<br />
|AP ||BP | = |CP ||DP |.<br />
Hvis P ligger uden for cirklen, er |AP ||BP | netop punktets potens<br />
mht. cirklen, og hvis P ligger inden for cirklen, er −|AP ||BP | netop<br />
punktets potens.<br />
Bevis i tilfældet hvor punktet ligger uden for cirklen.<br />
Lad P være et punkt uden for cirklen, og lad l være en vilkårlig<br />
linje gennem P som skærer cirklen i punkterne A og B. Vi viser<br />
først at |AP ||BP | netop er P ’s potens mht. cirklen.<br />
Opgave 2.3 (Om et punkt potens). Bevis sætningen om et punkts<br />
potens i det tilfælde hvor punktet ligger inden i cirklen.<br />
Opgave 2.4. Lad to cirkler C 1 og C 2 skære hinanden i punkterne<br />
A og B. Tangenten til C 1 gennem B skærer C 2 i punktet C, og<br />
tangenten til C 2 gennem B skærer C 1 i punktet D. Desuden oplyses<br />
at |AC| = 3 og |AD| = 4.<br />
Bestem længden af AB.<br />
Opgave 2.5. En halvcirkel med diameter AB bevæger sig langs<br />
en ret vinkel således at A bevæger sig langs det ene vinkelben, og<br />
B langs det andet. Vis at et fast punkt P på halvcirklen bevæger<br />
Tegn tangenten til cirklen gennem P som vist på figuren, og<br />
kald røringspunktet for Q. Ifølge Pythagoras’ sætning er |P Q| 2 =<br />
|P O| 2 − r 2 .<br />
Betragt nu trekanterne AQP og QBP . Korde-tangent-vinklen<br />
sig langs en ret linje.<br />
(Hint: Betragt cirklen med diameter AB, og overvej hvilke punkter<br />
der ligger på cirklen.)