Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen

Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 6
Antag først at vinkelbenene for vinkel v kun skærer vinkelbenene
for w i punkterne A og B. Da deler diameteren gennem C vinklerne
v og w i to vinkler som vi kalder hendholdsvis v A og v B og
w A og w B . Trekant AOC er nu en ligebenet trekant med to lige s-
tore vinkler w A , og den sidste vinkel er 180−v A . Da vinkelsummen
i en trekant er 180 ◦ , er 2w A = v A . Tilsvarende fås 2w B = v B , dvs.
2w = v.
Sætning om korde-tangent-vinkel
En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder
over.
Opgave 2.1 (Om korde-tangent-vinkler). Bevis sætningen om
korde-tangent-vinkler.
(Hint: Husk at AO står vinkelret på tangenten.)
Opgave 2.2. Bevis følgende om vinkel v og w på figurerne:
v =
⌢
AB + CD
⌢
2
⌢
CD − AB
⌢
og w =
.
2
Antag nu at w’s ene vinkelben CB skærer v’s vinkelben OA. Diameteren
gennem C skærer da yderligere periferien i et punkt vi
kalder for D. Ifølge det vi lige har vist, er 2∠BCD = ∠BOD og
2∠ACD = ∠AOD, og dermed
2w = 2∠ACD − 2∠BCD = ∠AOD − ∠BOD = v.
Definition af korde-tangent-vinkel
En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen
og en korde samt en tangent som vinkelben.
(Hint: Se på trekanter, og udnyt at vinkelsummen er 180 ◦ .)
Definition af et punkts potens.
I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Et punkt P ’s
potens mht. cirklen er tallet
|P O| 2 − r 2 .
Hvis P ligger på cirkelperiferien, er P ’s potens derfor 0, mens den
er positiv hvis P ligger uden for cirklen, og negativ hvis P ligger
inden for cirklen.