Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen
Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen
Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Geometrinoter</strong> 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 6<br />
Antag først at vinkelbenene for vinkel v kun skærer vinkelbenene<br />
for w i punkterne A og B. Da deler diameteren gennem C vinklerne<br />
v og w i to vinkler som vi kalder hendholdsvis v A og v B og<br />
w A og w B . Trekant AOC er nu en ligebenet trekant med to lige s-<br />
tore vinkler w A , og den sidste vinkel er 180−v A . Da vinkelsummen<br />
i en trekant er 180 ◦ , er 2w A = v A . Tilsvarende fås 2w B = v B , dvs.<br />
2w = v.<br />
Sætning om korde-tangent-vinkel<br />
En korde-tangent-vinkel er halvt så stor som den bue korden spænder<br />
over.<br />
Opgave 2.1 (Om korde-tangent-vinkler). Bevis sætningen om<br />
korde-tangent-vinkler.<br />
(Hint: Husk at AO står vinkelret på tangenten.)<br />
Opgave 2.2. Bevis følgende om vinkel v og w på figurerne:<br />
v =<br />
⌢<br />
AB + CD<br />
⌢<br />
2<br />
⌢<br />
CD − AB<br />
⌢<br />
og w =<br />
.<br />
2<br />
Antag nu at w’s ene vinkelben CB skærer v’s vinkelben OA. Diameteren<br />
gennem C skærer da yderligere periferien i et punkt vi<br />
kalder for D. Ifølge det vi lige har vist, er 2∠BCD = ∠BOD og<br />
2∠ACD = ∠AOD, og dermed<br />
2w = 2∠ACD − 2∠BCD = ∠AOD − ∠BOD = v.<br />
Definition af korde-tangent-vinkel<br />
En korde-tangent-vinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen<br />
og en korde samt en tangent som vinkelben.<br />
(Hint: Se på trekanter, og udnyt at vinkelsummen er 180 ◦ .)<br />
Definition af et punkts potens.<br />
I en given cirkel betegnes centrum O og radius r. Et punkt P ’s<br />
potens mht. cirklen er tallet<br />
|P O| 2 − r 2 .<br />
Hvis P ligger på cirkelperiferien, er P ’s potens derfor 0, mens den<br />
er positiv hvis P ligger uden for cirklen, og negativ hvis P ligger<br />
inden for cirklen.