Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen

More documents

Recommendations

Info

Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 4 Ifølge vores antagelse er |AC ′ | |C ′ B| · |BA′ | |A ′ C| · |CB′ | |B ′ A| = 1, dvs. at |AD| |DB| = |AC′ | |C ′ B| . Af dette ses at D og C′ er samme punkt, og dermed at cevianerne AA ′ , BB ′ og CC ′ skærer hinanden i samme punkt P . Opgave 1.3. Før benyttede vi sætningen om midtnormaler til at bevise at højderne skærer hinanden i samme punkt. Benyt nu i stedet Cevas sætning til at bevise dette. Sætning om medianernes længde Længden af medianerne kan udtrykkes ved trekantens sidelængder. I en trekant ABC er længden af medianen m a fra vinkelspids A til siden a givet ved m 2 a = b2 2 + c2 2 − a2 4 . Bevis Kald fodpunktet for m a for M og vinklen ∠BMA for v. Ifølge cosinusrelationen gælder at og c 2 = m 2 a + a2 4 − m aa cos v, b 2 = m 2 a + a2 4 + m aa cos v. Her har vi udnyttet at cos(180 ◦ − v) = − cos(v). Ved addition af de to ligninger får man m 2 a = b2 2 + c2 2 − a2 4 . Opgave 1.4. I en trekant ABC betegnes medianerne henholdsvis m a , m b og m c . Find en formel for beregning af længderne af trekantens sider a, b og c udtrykt ved medianernes længde. Opgave 1.5. Vis at medianerne i en trekant deler trekanten i seks små trekanter med samme areal. Opgave 1.6. Lad I være vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt i en trekant ABC, og lad yderligere A 1 , B 1 og C 1 være refleksionen af I i henholdsvis a, b og c. Cirklen gennem A 1 , B 1 og C 1 går også gennem B. Bestem vinklen ∠ABC. Opgave 1.7. Fra vinkelspidsen C i trekant ABC tegnes en ret linie der halverer medianen fra A. I hvilket forhold deler denne linie siden AB (Georg Mohr 1995) Opgave 1.8. Lad I være centrum i den indskrevne cirkel til trekant ABC, og lad yderligere A 1 og A 2 være to forskellige punkter på linjen gennem B og C således at |AI| = |A 1 I| = |A 2 I|, B 1 og B 2
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 5 være to forskellige punkter på linjen gennem A og C således at |BI| = |B 1 I| = |B 2 I|, og C 1 og C 2 være to forskellige punkter på linjen gennem A og B således at |CI| = |C 1 I| = |C 2 I|. Vis at |A 1 A 2 | + |B 1 B 2 | + |C 1 C 2 | er trekantens omkreds. Opgave 1.9. I en trekant ABC med areal 1 indtegnes medianerne. Midtpunktet af medianen m a kaldes for A ∗ , midtpunktet af medianen m b kaldes for B ∗ , og midtpunktet af medianen m c kaldes for C ∗ . 2 Cirkler og vinkler Definition af centervinkel En centervinkel er en vinkel der har toppunkt i centrum og radier som vinkelben. En centervinkel måles ved den bue den spænder over. På figuren er ∠AOB en centervinkel som spænder over buen AB, og vi skriver ∠AOB = AB. ⌢ Bestem arealet af trekant A ∗ B ∗ C ∗ . Definition af periferivinkel En periferivinkel er en vinkel der har toppunkt på cirklen og korder som vinkelben. Sætning om periferivinkler En periferivinkel er halvt så stor som den bue den spænder over. Dermed er to periferivinkler som spænder over samme bue, lige store, og en periferivinkel der spænder over en halvcirkel, er ret. Bevis Lad v være en centervinkel og w en periferivinkel der begge spænder over buen AB. Kald centrum for O og punktet hvor w rører periferien, for C.
Page 1 and 2: Geometrinoter 1, januar 2009, Kirst
Page 3: Geometrinoter 1, januar 2009, Kirst
Page 11: Geometrinoter 1, januar 2009, Kirst

Geometrinoter 1 - Georg Mohr-Konkurrencen

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?