11. kursusgang

Elektromagnetisme – 11 Side 1 af 8
Induktion
Elektromotorisk kraft
Elektromagnetisk induktion
”Den elektromotoriske kraft” i en lukket kreds C er defineret som det
elektromagnetiske arbejde pr. ladning på en prøveladning q, der føres rundt i kredsen
med uendelig lille fart i forhold til C:
1
emf F
C
q dl
≡
, ⎡emf
⎤
q ∫ ⋅
V
C ⎣ ⎦=
. (11.1)
Den elektromagnetiske kraft på q er Lorentzkraften fra udtryk (8.5):
1
emf
C
= qE ( + v×
B)
dl:
q ∫
⋅
C
emf = ( E
+ v
× B
C ∫ kreds ) ⋅dl
, (11.2)
C
idet q’s hastighed v
pr. definition er lig hastigheden v af kredsløbsudsnittet dl .
kreds
For stive og stationære kredsløb fås
emf C
= E
∫ ⋅dl
. (11.3)
C
I EM7 blev U indført som spændingsfaldet i et batteridrevet jævnstrømskredsløb
emf
fraregnet selve kemidelen af batteriet.
Hvis C betegner det ydre og indre kredsløb, svarer dette ifølge opg. D til
U = −Δ ϕ = E⋅dl
. (11.4)
emf
Begreberne U
emf
og emf C
er således beslægtede, men ikke identiske, idet udtryk
(11.3) anvendt på et jævnstrømskredsløb, i hvilket det er muligt at indføre
elektrostatisk potential og dermed spændingsforskel, ville føre til U
emf
= 0 .
Ifølge EM1 s. 9 er begrebet elektromotorisk kraft som defineret i udtryk (11.3)
således kun relevant for kredsløb, for hvilke ∇× E
≠0
.
∫
C
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008

Elektromagnetisme – 11 Side 2 af 8
Induktion
Faradays induktionslov
Der gælder flg. empiriske lov kaldet ”Faradays induktionslov” 1 :
emf
dΦ
dt
ifølge hvilken en ændring i den magnetiske flux
S
C
=− , (11.5)
en elektromotorisk kraft i den lukkede kreds C, der afgrænser S.
Φ
S
gennem en flade S vil ”inducere”
Hvis C er såvel stift som stationært fås vha. udtryk (11.3) og (9.8) Faradays
induktionslov på integralform:
∂B
∫ E ⋅ dl =− ⋅nˆ
dA
C ∫∫ . (11.6)
S ∂t
Vha. Stokes’ sætning i udtryk (9.6) fås Faradays induktionslov på differentialform:
∂B
2
∫∫ ( ∇× E) ⋅ ndA ˆ =− ⋅ndA:
ˆ
S ∫∫S
∂t
∂B
∇× E =− , (11.7)
∂t
eftersom S er en vilkårlig flade.
I det ”magnetostatiske” tilfælde, hvor B( rt , ) = Br ( )
elektrostatiske relation ∇× E
= 0
3
fra udtryk (1.15) og vice versa.
, reducerer udtryk (11.7) til den
Omvendt vil et ”magnetodynamisk” felt inducere et elektrodynamisk felt og vice
versa, hvilket danner selve grundlaget for elektromagnetiske bølger i form af
svingninger i et koblet elektro- og magnetodynamisk felt.
1 Opdaget af englænderen Michael Faraday i 1831.
2 Dette udtryk kan i modsætning til udtryk (11.6) vises også at gælde for kredsløb, der ikke er stive og stationære.
3 En jævnstrøm giver således anledning til et magnetostatisk felt.
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008

Elektromagnetisme – 11 Side 3 af 8
Induktion
En antenne består således groft sagt af en leder indeholdende frie elektroner, der, når
de vha. en varierende spændingsforskel sættes i bevægelse, udsender et
elektrodynamisk felt, som inducerer et magnetodynamisk felt, hvorved antennen
udsender en elektromagnetisk bølge.
For en stiv og stationær leder C,
C
hvorigennem der er et tidsvarierende B-
felt, fås ifølge udtryk (11.6):
S
∂B
ˆn
−∫∫
⋅ ndA ˆ = E ⋅ dl > 0
S ∂t
∫ .
C
Der er således en elektromotorisk kraft i
∂B
C, og der går dermed en strøm i den
B ∂t
induceret
retning, der ifølge højrehåndsreglen er
positiv i forhold til den valgte retning for
dl I
ˆn .
Denne inducerede strøm skaber et induceret B-felt, der modvirker den ændring i B-
feltet, der inducerede strømmen. Dette er kendt som ”Lenz’s lov” og forklarer,
hvorfor man mærker modstand 4 , hvis man dypper en magnet i en spole.
4 Dette er en nødvendighed af hensyn til energibevarelsen.
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008

Elektromagnetisme – 11 Side 4 af 8
Induktion
Betragt en metalstang, der roterer i et B-
felt og derved beskriver en cirkel med
centrum i stangens ene ende.
De frie ladningsbærere i stangen vil have
en hastighed vinkelret på stangen, så
ifølge udtryk (8.5) vil der være en
magnetisk kraft på disse ladningsbærere,
som vil føre til en ladningsophobning i
stangens ender.
l
B St ()
−
B
+
B Ct ( )
ˆn
Denne ladningsophobning vil føre til en spændingsforskel, der er lig den
elektromotoriske kraft i den tænkte kreds Ct, ( ) der afgrænser den flade
S()
t
, som
stangen overstryger:
U
dΦSt
( ) d
= emf =− =− B nˆ
dA
Ct ( ) dt dt ∫∫ ⋅ . (11.8)
St ( )
Vekselstrømsgenerator
Her er vist en java-applet med en vekselstrømsgenerator baseret på
induktionsprincippet:
http://www.walter-fendt.de/ph11dk/generator_dk.htm.
Bemærk:
• Her er for nemheds skyld vist en én-faset generator baseret på én vinding og en
permanent magnet.
På elværkerne anvendes trefasede generatorer med tre spoler anbragt 120
forskudt i forhold til hinanden, idet disse spoler hver især indeholder en
jernkerne. Endvidere anvendes en elektromagnet.
• I appletten er det vindingen (spolen), der er ”rotor”, og magneten, der er
”stator”, men det kunne lige så godt have været omvendt.
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008

Elektromagnetisme – 11 Side 5 af 8
Induktion
Induktans
Ved et ”kvasistatisk” 5 felt forstås et felt, der varierer så langsomt, at det med god
tilnærmelse kan beregnes ud fra de love, der gælder for statiske felter.
Biot og Savarts lov er formuleret for jævnstrømme og er dermed et eksempel på en
lov, der strengt taget kun gælder for magnetostatiske felter, men som med god
tilnærmelse beskriver det kvasistatiske B-felt skabt af langsomtvarierende strømme 6 .
Selvinduktans
Ifølge Biot og Savart i udtryk (9.2) afhænger den magnetiske flux gennem en stiv og
stationær kreds, som en langsomtvarierende strøm i kredsen selv giver anledning til,
kun af strømstyrken:
dΦ
dΦ
dI
= . (11.9)
dt dI dt
For ”selvinduktansen” 7 dΦ
Wb
L ≡ , ⎡L⎤
H
dI
⎣ ⎦= ≡ , (11.10)
A
kan den ”selvinducerede emf”, som en ændring i strømmen inducerer i kredsen selv,
ifølge udtryk (11.5) skrives
emf
dI
=− L . (11.11)
dt
L er således et udtryk for, hvor stor en elektromotorisk kraft en ændring i
strømstyrken i en givet kreds vil inducere i kredsen selv.
5 Kvasi er latin og betyder ’næsten’.
6 Kirchhoffs love gælder således ligeledes tilnærmelsesvist for langsomtvarierende strømme.
7 Bemærk, at for n ˆ valgt i overensstemmelse med højrehåndsreglen i forhold til strømretningen øges Φ , når I øges, og
L er således pr. definition positiv.
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008

Elektromagnetisme – 11 Side 6 af 8
Induktion
Generelt er L ( I ), men i isotrope og magnetisk lineære materialer, for hvilke Biot og
Savarts lov i udtryk (9.2) kan generaliseres ved at erstatte μ
0
med μ , ses B-feltet og
dermed fluxen at være proportional med I, svarende til
Φ
L = = knst.
(11.12)
I
Gensidig induktans
I et system bestående af N kredse er fluxen
gennem den i’te kreds resultatet af bidragene
fra strømmene i hver af de N kredse:
Φ= i ∫∫ BndA ⋅ˆ
S
i
i
= B + B + + B ⋅nˆ
dA (11.13)
hvor
∫∫
Si
N
∑
= Φ
j=
1
Φ ij
( 1 2
N )
ij
,
i
således er bidraget til fluxen
Φ 1
I 1
I
2
I
3
Φ
3
Φ 2
gennem den i’te kreds fra strømmen i den
j’te kreds.
Ved kombination af udtryk (11.5) og (11.13) fås
emfC
i
dΦ
dΦ
N
i
ij
=−
dt
=−∑ . (11.14)
j=
1 dt
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008

Elektromagnetisme – 11 Side 7 af 8
Induktion
Hvis alle kredsene er stive og stationære og strømmene langsomtvarierende, sådan at
indføres den ”gensidige induktans”
dΦij dΦij dI
j
= , (11.15)
dt dI dt
j
dΦij
Mij
≡ , ⎡M⎤
H
dI
⎣ ⎦= . (11.16)
j
M ij er således et udtryk for, hvor følsom fluxen gennem den i’te kreds er over for
ændringer i strømmen i den j’te kreds 8 .
Ved kombination af udtryk (11.14), (11.15) og (11.16) fås
emfC
i
dI
=−∑ N
j
Mij
. (11.17)
j=
1 dt
M ij kobler således den elektromotoriske kraft i den i’te kreds til strømændringen i
den j’te eller vice versa, idet det kan vises (”Neumanns lov”), at
M
ij
= M . (11.18)
ji
Bemærk, at
M
ii
= L , (11.19)
og at der i isotrope og magnetisk lineære materialer tilsvarende udtryk (11.12) gælder
M
ij
i
Φij
= = knst.
(11.20)
I
j
8 Eks. er M = 0 , hvis den i’te og den j’te kreds befinder sig så langt fra hinanden, at B-feltet produceret af strømmen i
ij
den i’te kreds er nul, der hvor den j’te kreds befinder sig. I så fald siges de to kredse at være ”dekoblede”.
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008

Elektromagnetisme – 11 Side 8 af 8
Induktion
Induktanser i kredsløb
Fluxen gennem en spole er med god tilnærmelse lig summen af de fluxer, som de
enkelte vindinger giver anledning til, og da strømmen er den samme i alle vindinger,
er spolens selvinduktans ifølge udtryk (11.10) givet ved summen af de enkelte
vindingers selvinduktanser:
L = NL vinding
. (11.21)
Da emf svarer til potentialtilvækst, er
spændingsfaldet
U = U emf
i det viste
L
kredsløb ifølge udtryk (11.11) givet ved
dI
U = RI− emf = RI+ L , (11.22) I
R = Ri
+ Ry
dt
U
svarende til
dI R U
+ I = , (11.23)
dt L L
der som vist i opg. J for begyndelsesbetingelsen I ( 0)
= 0 har løsningen
R
U − t
= −e
L
⎟
R ⎜
. (11.24)
() ⎜1
I t
Når spændingen tilsluttes kl. t=0 vil
selvinduktansen i spolen således modvirke
strømmen (Lenz’s lov), men når systemet
har indstillet sig, og strømmen er vokset op
og er blevet konstant, er der ikke længere
nogen induktion i spolen, som derefter blot
opfører sig som et stykke ledning, sådan at
I
= U R jf. Ohms lov.
⎛
⎝
Den grønne kurve repræsenterer således ”indsvingningsstrømmen”, der asymptorisk
nærmer sig ”ligevægtsstrømmen” repræsenteret ved den røde kurve.
⎞
⎠
U
R
I
t
Thomas B. Lynge, Institut for Fysik og Nanoteknologi, AAU 22/07/2008