Matematisk formelsamling til A-niveau

Matematisk formelsamling til A-niveau
- i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1
Forord
Matematisk formelsamling til A-niveau er udarbejdet for at give et samlet overblik over de formler og
det symbolsprog, der knytter sig til kernestoffet for dette niveau i gymnasiet og på hf. Selv om alle
hjælpemidler i dag er tilladt ved en del af den skriftlige eksamen, vil en formelsamling være praktisk at
have for eleverne, også i det daglige arbejde. Formelsamlingen har derimod ingen juridisk status, og
kernestoffet til skriftlig eksamen er ikke defineret af den.
For overblikkets skyld er medtaget formler for areal og rumfang af en række elementærgeometriske
figurer.
Endvidere indeholder formelsamlingen en liste over matematiske standardsymboler. Hensigten hermed
er dels at give eleverne et hurtigt overblik, dels at bidrage til, at undervisere og forfattere af
undervisningsmaterialer kan anvende ensartet notation, symbolsprog og terminologi. Listen over
matematiske standardsymboler går derfor ud over kernestoffet, men holder sig dog inden for det
matematiske univers i gymnasiet og på hf.
En række af formlerne i formelsamlingen er kun anvendelige under visse forudsætninger (f.eks. at
nævneren i en brøk er forskellig fra 0). Sådanne forudsætninger er af hensyn til overskueligheden ikke
eksplicit nævnt.
Figurerne er medtaget som illustration til formlerne, og den enkelte figur anskueliggør ofte ét blandt
flere mulige tilfælde.
Betydningen af de størrelser, der indgår i formlerne, er ikke altid forklaret, men vil dog være det i
tilfælde, hvor denne betydning ikke følger umiddelbart af skik og brug i den matematiske litteratur.
Formelsamlingen udgives af Matematiklærerforeningen og er udarbejdet af et udvalg nedsat af
foreningen: Formand for Matematiklærerforeningen Marianne Kesselhahn, forlagsdirektør Jørgen
Dejgaard, fagkonsulent Bjørn Grøn, formand for opgavekommissionen for hf Gert Schomacker, formand
for opgavekommissionen for gymnasiet Ellen Stengaard Munkholm, medlem af opgavekommissionen
for hf Flemming Mørk, medlem af opgavekommissionen for gymnasiet Sven Toft Jensen.
Redaktionen er afsluttet august 2007.
Marianne Kesselhahn
Matamatiklærerforeningen
Bjørn Grøn
Fagkonsulent
Bemærk:
Denne formelsamling er redigeret til brug i forsøg med netadgang ved
skriftlig eksamen i matematik og må ikke anvendes i anden
sammenhæng.
1 Formelsamlingen må kun anvendes af hold, der deltager i forsøget.
1

Til første delprøve – delprøven med formelsamling – forventes eleven at kunne:
Forståelsesindhold:
Opstille enkle formler, ligninger og differentialligninger
Redegøre for konstanternes betydning i det grafiske forløb for første- og andengradspolynomier samt
eksponentielle funktioner
Fortolkning af konstanter i vækstmodellerne: Lineær, eksponentiel, forskudt eksponentiel og logistisk
Aflæse og fortolke fordoblings- og halveringskonstant for eksponentiel vækst
Anvende viden om sammenhængen mellem afledet funktion og monotoniforhold
Fortolke værdien af afledet funktion
Aflæse væksthastighed grafisk
Anvende viden om sammenhængen mellem stamfunktion, bestemt integral og areal
Fortolke egenskaber ved løsninger til differentialligninger (uden at løse differentialligningen)
Aflæse og fortolke de statistiske deskriptorer ud fra et givet boksplot, histogrammer og sumkurve
Formelindhold:
Anvende nulreglen og løse første og andengradsligninger
Anvende kvadratsætningerne og reducere udtryk
Sætte tal ind i formler
Anvende Pythagoras læresætning
Foretage beregninger i ensvinklede trekanter
Isolere ukendte størrelser, herunder anvende logaritmer og potenser
Bestemme regneforskrifter for lineære og eksponentielle funktioner
Differentiere polynomier, e kx , ln( x)
og x a , herunder 1 x
Anvende de regneregler for differentiation, som er beskrevet i kernestoffet
Bestemme en tangentligning
Bestemme integraler af polynomier,
a
x , e kx samt funktionen 1 x
Anvende de regneregler for integration, som er beskrevet i kernestoffet
Redegøre for om en given funktion er en løsning til en differentialligning
Anvende reglerne for vektorregning
Anvende vektorielle værktøjer til at svare på spørgsmål om ortogonalitet, parallelitet og areal
Opstille parameterfremstillinger og ligninger for linjer i planen
Omskrive cirkelligninger med henblik på at bestemme centrum og radius
2

Bemærk: Formler og symboler omtalt på siderne 27-32 kan også indgå i begge delprøver.
For at gøre det overskueligt har vi markeret relevante formler til brug i første delprøve med grønt.
Indholdsfortegnelse
Procentregning ..................................................................................................................................... 4
Proportionalitet..................................................................................................................................... 4
Kvadratsætninger ................................................................................................................................. 4
Potensregneregler ................................................................................................................................. 4
Ensvinklede trekanter ........................................................................................................................... 5
Retvinklet trekant ................................................................................................................................. 5
Vilkårlig trekant ................................................................................................................................... 5
Vektorer i planen .................................................................................................................................. 6
Linjer i planen ...................................................................................................................................... 8
Cirkel .................................................................................................................................................... 9
Parabel .................................................................................................................................................. 9
Vektorer i rummet ................................................................................................................................ 9
Planer i rummet .................................................................................................................................. 12
Linjer i rummet .................................................................................................................................. 12
Kugle .................................................................................................................................................. 12
Polynomier ......................................................................................................................................... 13
Logaritmefunktioner .......................................................................................................................... 14
Eksponentielt voksende...................................................................................................................... 15
funktioner ........................................................................................................................................... 15
Eksponentielt aftagende ..................................................................................................................... 16
funktioner ........................................................................................................................................... 16
Potensfunktioner ................................................................................................................................ 17
Trigonometriske funktioner ............................................................................................................... 18
Differentialregning ............................................................................................................................. 19
Afledet funktion ................................................................................................................................. 20
Stamfunktion ...................................................................................................................................... 20
Regneregler for integration ................................................................................................................ 21
Areal og rumfang ............................................................................................................................... 22
Differential ligninger.......................................................................................................................... 23
Grupperede observationer .................................................................................................................. 24
Ugrupperede observationer ................................................................................................................ 25
Areal og omkreds, rumfang og overflade af geometriske figurer ...................................................... 26
Matematiske standardsymboler .......................................................................................................... 27
3

PROCENTREGNING
Begyndelsesværdi B
Slutværdi S
(1) S = B⋅ (1 + r)
Vækstrate r (2) r = S − 1
B
Procentvis ændring p (3) p% = r⋅
100%
Startkapital K
0
Rente p % pr. termin
Kapital K efter n terminer
(4) K = K0 ⋅ (1 + r) n , hvor
p
r =
100
PROPORTIONALITET
x og y er proportionale
Proportionalitetsfaktor k
(5) y = k⋅
x
y
k
x =
x og y er omvendt proportionale (6)
1
y= k⋅ x ⋅ y = k
x
KVADRATSÆTNINGER
Kvadratet på en sum (7)
Kvadratet på en differens (8)
2 2 2
( + ) = + + 2
a b a b ab
2 2 2
( − ) = + − 2
a b a b ab
To tals sum gange
samme to tals differens
POTENSREGNEREGLER
(9)
(10)
( a+ b)( a− b)
= a − b
r s r s
a ⋅ a = a +
2 2
(11)
a
a
r
s
= a
r−s
(12) ( a )
r s = a r⋅s
(13) ( a⋅ b) r = a r ⋅ b
r
(14)
r
⎛a⎞ a
⎜ ⎟ =
⎝b⎠
b
r
r
0
(15) a = 1
(16)
(17)
(18)
a
r
s
− r
=
a
r
a
1
r
a
= a
1
r
= a
r
s
4

ENSVINKLEDE
TREKANTER
(19)
a1 b1 c1
= = = k
a b c
(20)
a
b
c
1
1
1
= k⋅
a
= k⋅b
= k⋅c
RETVINKLET TREKANT
Pythagoras’ sætning (21)
2 2 2
c = a + b
Cosinus (22)
b
cos A = c
Sinus (23)
a
sin A =
c
Tangens (24)
a
tan A = b
VILKÅRLIG TREKANT
Cosinusrelation (25)
(26)
Sinusrelation (27)
(28)
Trekantens areal T (29)
2 2 2
c = a + b − 2abcosC
a + b − c
cosC
=
2ab
2 2 2
a = b =
c
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
= =
a b c
1
2
T = absinC
5

VEKTORER I PLANEN
Koordinatsættet for vektor a → (30)
a → 1
a = ⎛ ⎜ ⎞
⎟
⎝a2
⎠
Længden af vektor → 2 2
a (31) | → a|
= a + a
1 2
Multiplikation af vektor →
a
tallet k
med
(32)
⎛a1⎞ ⎛ka1⎞
k ⎜ ⎟=
⎜ ⎟ a ka
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
Summen af to vektorer (33)
Differensen mellem to vektorer (34)
⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎛a1+
b1
⎞
⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
a b a + b
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 2⎠
⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎛a1−
b1
⎞
⎜ ⎟− ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
a b a − b
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 2⎠
(35)
AB
⎛ x
− x ⎞
2 1
= ⎜ ⎟
y2 − y1
⎝
⎠
Skalarproduktet
(prikproduktet) af → a og → (36) → →
b
a⋅ b = ab
1 1+
a2b2
→
→
→
→
(37) a⋅ b = | a|| b|cosv, hvor v er vinklen mellem → a og →
b
→
→
a⋅
b
(38) cosv
=
→ →
| a|| b|
6

→
Ortogonale vektorer (39) a →
→
⋅ b = 0 ⇔ a ⊥
→
b
Projektionen af b → på a → (40)
→
b
a
→
→
ab ⋅ →
= a
→ 2
| a |
Længden af projektionen (41)
→
→
→ | a⋅
b|
| ba
| =
→
| a |
Tværvektoren til → a (42) → ⎛a1⎞ ⎛−a2⎞
a = ⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎝a2⎠ ⎝ a1
⎠
Determinanten for
→
vektorparret ( ab , →
(43)
)
→ → →
→
det( ab , ) = a⋅ b= ab−ab
=
a
a
b
1 1
b
2 2
1 2 2 1
→
→
→ →
(44) det( ab , ) = | a|| b|sinv, hvor v er vinklen fra → a til →
b
→
→
Parallelle vektorer (45) det( ab , ) = 0 ⇔ a||
b
→
→
Arealet af det parallelogram,
der udspændes af → a og → →
(46) A = |det( ab , →
)|
b
7

LINJER I PLANEN
Hældningskoefficienten a
for linjen gennem A og B
y2 − y1
(47) a =
x − x
2 1
Ligning for linjen gennem
punktet (0, b) med hældningskoefficient
a
(48) y = ax+
b
Ligning for linjen gennem
punktet A( x1, y
1)
med
hældningskoefficient a
(49) y = ax ( − x1)
+ y1
Ligning for linjen l gennem
P med normalvektor
0
a →
n = ⎛ ⎜ ⎞
⎟
⎝b
⎠
(50) ax ( − x0) + by ( − y0) = 0
Parameterfremstilling for
linjen l gennem P
0
med
r1
retningsvektor
→ r = ⎛ ⎜ ⎞
⎟
⎝r2
⎠
(51)
⎛x
⎞ ⎛x0⎞ ⎛r1⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + t ⎜ ⎟
⎝y
⎠ ⎝y0 ⎠ ⎝r2
⎠
(52)
Afstanden fra P til linjen l med ligningen
ax + by + c = 0
er
dist( Pl , ) =
ax + by + c
1 1
a + b
2 2
8

CIRKEL
Ligning for cirklen med centrum
Cx (
0, y
0)
og radius r
PARABEL
(53)
( x − x ) + ( y− y ) = r
2 2 2
0 0
Ligning for parabel (54)
2
y = ax + bx + c
⎛−b
−d
⎞
Toppunktet T (55) T = ⎜ , ⎟
⎝2a
4a
⎠ , hvor 2
d = b − 4ac
VEKTORER I RUMMET
Koordinatsættet for vektor a → (56)
⎛a
⎞
1
→ ⎜ ⎟
a = ⎜
a2
⎟
⎜a
⎟
⎝ 3 ⎠
Længden af vektor a → (57)
| → a|
= a + a + a
2 2 2
1 2 3
9

Multiplikation af vektor med
tallet k
(58)
⎛a
⎞ ⎛
1
ka ⎞
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k a = ka
2 2
⎜a
⎟ ⎜
3
ka ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 3⎠
Summen af to vektorer (59)
⎛a ⎞ ⎛
1
b ⎞ ⎛
1
a1+
b ⎞
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a + b = a + b
2 2 2 2
⎜a ⎟ ⎜
3
b ⎟ ⎜
3
a3 b ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
+
3⎠
Differensen mellem to vektorer (60)
⎛a ⎞ ⎛
1
b ⎞ ⎛
1
a1−
b ⎞
1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a − b = a −b
2 2 2 2
⎜a ⎟ ⎜
3
b ⎟ ⎜
3
a3 b ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
−
3⎠
Koordinatsættet for vektor AB
(61)
⎛ x2 x ⎞
−
1
⎜ ⎟
AB = y2 − y1
⎜ z2 − z ⎟
⎝ 1 ⎠
Skalarproduktet
(prikproduktet) af → a og → b
(62) → →
a⋅ b = ab
1 1+ a2b2+
a3b3
(63)
→
→
→
→
a⋅ b = | a|| b|cosv,
hvor v er vinklen mellem →
a
og b →
→
→
a⋅
b
(64) cosv
=
→ →
| a|| b|
→
Ortogonale vektorer (65) a →
→
⋅ b = 0 ⇔ a ⊥
→
b
10

Projektionen af → b på → → ab ⋅ →
a (66) ba
= a
→ 2
| a |
→
→
Længden af projektionen (67)
→
→
→ | a⋅
b|
| ba
| =
→
| a |
Vektorproduktet
(krydsproduktet) af a → og b → (68)
Længden af → a× (69)
b →
⎛
⎜
⎜
⎜
a
a
a
b
2 2
b
3 3
b
→ →
3 3
a× b = ⎜ ⎟
⎜ a1 b1
⎟
→
→
⎜
⎜
⎜
⎝
a
a
→
b
1 1
b
2 2
→
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
| a× b| = | a|| b|sinv,
hvor v er vinklen mellem →
a
og b →
Arealet A af det parallelogram,
der er udspændt af → a og → →
b
(70) A = | a×
→
b|
11

PLANER I RUMMET
Ligning for planen α gennem
punktet P0( x0, y0, z
0)
med
⎛a
⎞
→ ⎜ ⎟
normalvektor n = b
⎜c
⎟
⎝ ⎠
(71) ax ( − x0) + by ( − y0) + cz ( − z0) = 0
Afstand fra punktet P til planen α med ligningen
(72)
ax + by + cz + d = 0
ax1+ by1+ cz1+
d
dist( P, α)
=
2 2 2
a + b + c
LINJER I RUMMET
Parameterfremstilling for linjen l gennem P 0 med
retningsvektor r →
(73)
⎛x ⎞ ⎛x0⎞ ⎛r1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
y = y + t r
0 2
⎜z⎟ ⎜z ⎟ ⎜
0
r ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠
KUGLE
(75)
Ligning for kuglen med centrum Cx (
0, y0, z
0)
og radius r
( x − x ) + ( y− y ) + ( z− z ) = r
2 2 2 2
0 0 0
12

POLYNOMIER
Førstegradspolynomium,
lineær funktion f
(76) f ( x)
= ax+
b
Hældningskoefficienten (77)
a =
y
x
− y
− x
2 1
2 1
Når en lineær model f ( x)
= ax+ b skal bestemmes ud fra et talmateriale, anvendes lineær regression på
hele talmaterialet.
Andengradspolynomium p
med nulpunkter (rødder)
x
1
og x
2
(78)
2
p( x)
= ax + bx + c
= ax ( −x)( x−x)
1 2
Nulpunkter (rødder) i p (79)
−b−
d − b+
d
x1
= , x2
= , hvor
2a
2a
2
d = b − 4ac
13

LOGARITMEFUNKTIONER
Grafen for den naturlige
logaritmefunktion
(80) ln x→−∞ for x→
0
(81) ln x→∞
for x→∞
(82) y = ln x ⇔ x=
e y
(83) ln e = 1
(84) ln( a⋅ b) = ln( a) + ln( b)
(85) ln a
⎜
⎞ ⎟ = ln( a) ln( b)
⎝b
⎠
(86)
r
ln( a ) = r⋅
ln( a)
Grafen for logaritmefunktionen
med grundtal 10
(87) log x→−∞ for x→
0
(88) log x→∞
for x→∞
(89) y = log x ⇔ x = 10 y
(90) log10 = 1
(91) log( a⋅ b) = log( a) + log( b)
(92) log ⎛ a
⎜
⎞ ⎟ = log( a) − log( b)
⎝b
⎠
r
(93) log( a ) = r⋅
log( a)
14

EKSPONENTIELT
VOKSENDE
FUNKTIONER
Grafen for en eksponentielt
voksende funktion f
a > 1
vækstraten r > 0
(94) f( x)
= b⋅a
x
= b⋅ (1 + r)
x
kx
= b⋅ e , hvor k = lna
(95) f( x) →∞ for
x→∞
(96) f( x) →0 for
x→−∞
Fremskrivningsfaktoren a
ud fra 2 punkter på grafen
( x1, y
1)
og ( x2, y
2)
(97)
a
1
x2−x1 y ⎛ x2 x1
2
y ⎞ −
2
= = ⎜ ⎟
y1 y1
⎝
⎠
x
Grafen for f ( x)
= b⋅ a i et
enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Fordoblingskonstanten T (98) T
2
2
= x2−
x1
log 2 ln 2 ln 2
(99) T = 2
log a = ln a = k
x
Når en eksponentiel model f ( x)
= b⋅ a skal bestemmes ud fra et talmateriale, anvendes eksponentiel
regression på hele talmaterialet.
15

EKSPONENTIELT
AFTAGENDE
FUNKTIONER
Grafen for en eksponentielt
aftagende funktion f
0< a < 1
vækstraten r < 0
(100) f( x)
= b⋅a
x
= b⋅ (1 + r)
x
−kx
= b⋅ e , hvor k =−ln
a
(101) f( x) →0 for
x→∞
(102) f( x) →∞ for
x→−∞
Fremskrivningsfaktoren a
ud fra 2 punkter på grafen
( x1, y
1)
og ( x2, y
2)
(103)
a
1
x2−x1 y ⎛ x2 x1
2
y ⎞ −
2
= = ⎜ ⎟
y1 y1
⎝
⎠
x
Grafen for f ( x)
= b⋅ a i et
enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Halveringskonstanten T 1 (104) T1 = x2 − x1
2
2
(105)
T
( ) ( ) ( )
= log ln ln ln 2
log( a) = ln( a)
= −k = k
1 1 1
2 2 2
x
Når en eksponentiel model f ( x)
= b⋅ a skal bestemmes ud fra et talmateriale, anvendes eksponentiel
regression på hele talmaterialet.
16

POTENSFUNKTIONER
Potensfunktion (106) f ( x)
= b⋅
x
a
Grafer for f ( x)
= x
a
a
Grafen for f ( x)
= b⋅ x i et
dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
Bestemmelse af tallet a
ud fra to punkter på grafen
( x1, y
1)
og ( x2, y
2)
(107)
⎛ y ⎞ ⎛
2
y ⎞
2
log⎜ ⎟ ln ⎜ ⎟
y1 y1
a =
⎝ ⎠
=
⎝ ⎠
⎛ x ⎞ ⎛
2
x ⎞
2
log⎜ ⎟ ln ⎜ ⎟
x x
⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠
Når x ganges med tallet 1+ rx
,
så ganges f ( x ) med tallet 1+
r
y
(108) 1 + r = (1 + r ) a
y
x
a
Når en potensmodel f ( x)
= b⋅ x skal bestemmes ud fra et talmateriale, anvendes potensregression på
hele talmaterialet.
17

TRIGONOMETRISKE
FUNKTIONER
Gradtal v omsat til radiantal x (109)
v
x = ⋅ 2π radian
360
Radiantal x omsat til gradtal v (110)
x
v = ⋅ 360 grader
2π
Definition af cos x og sin x
(111)
2 2
(cos x) + (sin x) = 1
(112) cos( x + 2π)=cos( x)
(113) cos( − x) = cos( x)
(114) cos(π − x) =− cos( x)
Grafen for cosinus
(115) sin( x + 2π)=sin( x)
(116) sin( − x) =− sin( x)
(117) sin(π − x) = sin( x)
Grafen for sinus
18

DIFFERENTIALREGNING
Differentialkvotienten f ′( x0)
for funktionen f i tallet x
0
(118)
f( x) − f( x0)
f′ ( x0) = lim
x→x0
x−
x
f ( x0 + h) − f( x0)
= lim
h→0
h
0
Ligning for tangenten t til
grafen for f i P( x0, f ( x
0))
(119)
y= f′
( x )( x− x ) + f( x )
0 0 0
= ax ( − x) + y,
0 0
hvor a = f ′( x0
) og y0 = f( x0)
(120) ( k ⋅ f ( x)) ′ = k⋅
f ′( x)
(121) ( f ( x) + g( x)) ′ = f ′( x) + g′
( x)
Regneregler for differentiation
(122) ( f ( x) − g( x)) ′ = f ′( x) − g′
( x)
(123) ( f( x) ⋅ g( x))
′ =
f ′( x) ⋅ g( x) + f( x) ⋅g′
( x)
(124) ( f ( gx ( )))′ = f′ ( gx ( )) ⋅ g′
( x)
19

AFLEDET FUNKTION
Funktion
Logaritmefunktion (125) ln x
Afledet funktion
dy
y = f( x)
y′ = f′
( x)
=
dx
Eksponentialfunktioner (126) e x e x
1
= x
x
(127) e kx k ⋅ e kx
−1
(128)
Potensfunktioner (129)
(130)
x
a
a
x
1
= x
x
−1
x
a
⋅ ln a
a⋅
x −
a 1
1
− =− x
2
x
−2
(131)
x = x 1 2
2
1
x
=
12
x
−1 2
Trigonometriske funktioner (132) cos x − sin x
(133) sin x cos x
STAMFUNKTION
Funktion
Stamfunktion
f ( x )
f ( x)
dx
∫
Eksponentialfunktioner (134) e x
e x
(135) e kx 1 e kx
k
(136)
x
a
x
a
ln a
Potensfunktioner (137)
a
x
1 a
a+
1
1
x +
(138)
1
x
−1
= x
ln | x |
(139)
x = x 1 2
2 2
3
=
3
x x x
3
2
Trigonometriske funktioner (140) cos x sin x
(141) sin x − cos x
20

REGNEREGLER FOR
INTEGRATION
(142)
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + c ,
hvor F( x ) er en stamfunktion til f ( x )
Ubestemt integral
∫ ∫
(143) k ⋅ f ( x) dx= k⋅
f ( x)
dx
∫ ∫ ∫
(144) ( f ( x) + g( x)) dx= f ( x) dx+
g( x)
dx
∫ ∫ ∫
(145) ( f ( x) − g( x)) dx= f( x) dx−
g( x)
dx
Integration ved
substitution
∫ ∫ , hvor t = g( x)
(146) f( g( x)) ⋅ g′
( x) dx=
f ( t)
dt
b
(147) [ ]
b
∫ f ( x ) dx= F ( x ) = F ( b ) −F
( a ),
a a
hvor F( x ) er en stamfunktion til f ( x )
b c b
∫ ∫ ∫
(148) f ( x) dx= f( x) dx+
f( x)
dx
a a c
Bestemt integral
b
∫ ∫
(149) k⋅ f( x) dx= k⋅
f( x)
dx
a
b
a
b b b
∫ ∫ ∫
(150) ( f ( x) + g( x)) dx= f( x) dx+
g( x)
dx
a a a
b b b
∫ ∫ ∫
(151) ( f ( x) − g( x)) dx= f( x) dx−
g( x)
dx
a a a
Integration ved
substitution
(152)
∫
[ ]
b g( b) g( b)
a
∫
f( g( x)) ⋅ g′
( x) dx= f() t dt = F()
t
g( a)
= F( g( b)) −F( g( a)),
hvor F( x) er en stamfunktion til f( x)
g( a)
21

AREAL OG RUMFANG
Arealet A
af det markerede område
(153) A= ∫ f( x)
dx
b
a
Arealet A
af det markerede område
∫
b
(154) A= ( f( x) −g( x))
dx
a
Rumfanget V
af omdrejningslegemet
(155)
b
2
V = π ∫ ( f( x))
dx
a
22

DIFFERENTIAL
LIGNINGER
Ligning
Løsning
(156) y′ = hx ( )
y = ∫ hx ( ) dx
(157) y′= k ⋅ y
y = ce kx
b −
(158) y′ = b− ay y= + ce ax
a
(159) y′ = y( b−
ay)
b a
y =
1 + c e −bx
(160) y′= ay( M − y)
M
y =
1 + c e −aM
x
(161) y′+ ax ( ) ⋅ y = bx ( )
∫
y= b x dx+
c
( ) ( ) ( )
e − Ax Ax −Ax
( )e e ,
hvor A(x) er stamfunktion til a(x)
23

GRUPPEREDE
OBSERVATIONER
Histogram (162) Arealet af en blok svarer til
intervallets frekvens
Histogram
med ens intervallængder
(163) Højden af en blok svarer til
intervallets frekvens
Sumkurve (164)
Q
1: nedre kvartil, 25%-fraktilen
m : median, 50%-fraktilen
Q : øvre kvartil, 75%-fraktilen
3
24

UGRUPPEREDE
OBSERVATIONER
Prikdiagram (165) Observationerne afsat på en tallinje
(166) Min : mindste observation
(167) Max : største observation
(168)
m : median
(midterste observation, når antallet
af observationer er ulige, ellers tallet
midt mellem de to midterste
observationer)
(169)
Q
1: nedre kvartil
(medianen for den nederste halvdel
af observationerne)
(170)
Q
3
: øvre kvartil
(medianen for den øverste halvdel
af observationerne)
(171) Boksplot, kassediagram
(boksens højde er uden betydning)
Middeltal x for observationssættet
x1, x2,..., x
n
(172)
x + x + + x
x =
n
1 2
...
n
25

AREAL OG OMKREDS, RUMFANG OG OVERFLADE AF GEOMETRISKE FIGURER
Trekant
h
g
A
Højde
Grundlinje
areal
A =
1
2
hg
Parallelogram
h Højde
g Grundlinje
A areal A = hg
Trapez
h Højde
a, b parallelle sider
A
areal
1
A = ha+
b
2
( )
Cirkel
r
A
Radius
areal
A=
π r
2
O omkreds O=
2π r
Kugle
r
O
Radius
overflade
O = 4π r
2
V
rumfang
V
= 4
3 π
r
3
Cylinder
Kegle
h
r
O
V
h
s
r
O
V
Højde
Grundfladeradius
krum O = 2π rh
fl d
rumfang
V = π
2
r h
Højde
Sidelinje
Grundfladeradius
krum O=
π rs
fl d
1 2
rumfang V = 3
πr h
26

MATEMATISKE STANDARDSYMBOLER
Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
{.,.,.,.}
mængde på listeform { − 5,0,3,10}
{ 2,4,6,... }
N, mængden af naturlige tal N = { 1,2,3,... }
Z, mængden af hele tal Z = {..., −2, − 1,0,1,2,... }
Q, mængden af rationale tal
R, mængden af reelle tal
tal, der kan skrives q p ,
p∈Z
q∈N
∈ tilhører / er element i 2∈
N
G p( x)
mængden af de elementer i G, for
2
x∈ N x < 11 = 1,2,3
{ x∈
}
{ } { }
hvilke p(x) er sand
x px afkortet, G er underforstået { xx 2 < 9} = ] − 3;3[
{ ( )}
{( x, y)| p( x, y )}
område i planen {( xy , )|0< x< 2∧ y≥
5}
[ ab ; ] lukket interval [ 1;3] = { x∈R | 1 ≤ x≤
3}
] ab ; ] halvåbent interval ] 1;3] = { x∈ R | 1 < x≤
3}
[ ab ; [ halvåbent interval [ 1;3 [ = { x∈R | 1 ≤ x<
3}
] ab ; [ åbent interval ] 1;3 [ = { x∈ R | 1 < x<
3}
⊂ er en ægte delmængde af { 1, 2,3}
⊂ N
∩ fællesmængde A∩
B
∪ foreningsmængde A∪
B
\ mængdedifferens A \ B
A komplementærmængde U \
A
Ø
den tomme mængde
disjunkte mængder
× mængdeprodukt
A∩ B=
Ø
[ − 10;10] × [ − 10;10]
benyttes til at angive et
grafvindue
∧
”og” i betydningen ”både og”
(konjunktion)
x< 2 ∧ y = 5
27

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
∨
⇒
⇔
”eller” i betydningen
”og/eller” (disjunktion)
”medfører”, ”hvis … så”
(implikation)
”ensbetydende”, ”hvis og kun
hvis” (biimplikation)
x< 2 ∨ x>
5
x = ⇒ =
2
2 x 4
2
x x x
= 4 ⇔ =−2 ∨ = 2
n
∑ a a
i
1+ a2 + ... + an
i=
1
n
∏ ai
a1⋅a
... 2
⋅ ⋅ an
i=
1
4
∑
i=
1
i
= 1 + 2 + 3 + 4
2 2 2 2 2
n ! n fakultet, n udråbstegn n! = 1⋅2 ⋅... ⋅ n= i, for n≥1
i=
1
0! = 1
n
∏
f ( x )
funktionsværdi af x ved
funktionen f
f ( x ) kan også stå for funktionen
f
Dm( f ) definitionsmængden for f
Vm( f ) værdimængden for f
f ( x) = 2x+ 1, så er f (4) = 3.
I visse sammenhænge bruges
udtryksmåden
”funktionen y = 2x
+ 1 ” eller
”funktionen 2x + 1 ”
f g sammensat funktion ( f g)( x) = f( g( x))
1
f −
omvendt (invers) funktion
s = f t ⇔ t = f s
−1
() ( )
log x, log( x )
ln x, ln( x )
e x
x
a
a
x
| x |
sin x , sin( x )
cos x , cos( x )
tan x , tan( x )
cot x , cot( x )
logaritmefunktionen med
grundtal 10
den naturlige logaritmefunktion
den naturlige eksponentialfunktion
eksponentialfunktionen med
grundtal a, a > 0
potensfunktion
numerisk (absolut) værdi af x
sinus
cosinus
tangens
cotangens
y = log x ⇔ x = 10 y
y = ln x ⇔ x=
e x
e y
betegnes også exp(x)
b a
eksponentialfunktion eller en eksponentiel
udvikling
x
⋅ kaldes undertiden for en
b x
potensfunktion eller en potens-udvikling
a
⋅ kaldes undertiden for en
|3| = 3, | − 7| = 7
| x | betegnes også abs(x)
sin x
tan x =
cos x
cos x
cot x =
sin x
28

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
−1
sin ( y)
−1
omvendt funktion til sinus sin ( y) = x ⇔ sin x=
y
−1 π −1
sin (0,5) = , sin (0,5) = 30°
6
−1
sin betegnes også Arcsin
−1
cos ( y)
omvendt funktion til cosinus
−1
cos ( )
y = x ⇔ cos x=
y
−1 −1
cos (0,5) , cos (0,5) 60
cos
−1
π
=
3
= °
betegnes også Arccos
−1
tan ( y)
−1
omvendt funktion til tangens tan ( y) = x ⇔ tan x = y
−1 π −1
tan (1) = , tan (1) = 45°
4
−1
tan betegnes også Arc tan
lim f ( x)
x→x0
grænseværdien af f ( x )
for x gående mod
0
x x→8
lim x + 1 = 3
lim f ( x)
x→∞
f ( x)
→ a
for x → x
0
grænseværdien af f ( x )
for x gående mod ∞
f ( x ) går mod a
for x gående mod x
0
1
x
lim = 0
x→∞
x+ 1→3 for x→
8
f ( x)
→ a
for x →∞
f ( x ) går mod a
for x gående mod ∞
− x
e →0 for
x →∞
Δ x x-tilvækst Δ x = x−
x0
Δy,
Δ f funktionstilvækst for
y f( x)
Δ y=Δ f = f( x) − f ( x )
=
0
Δy
Δf
,
Δx
Δx
differenskvotient for
y = f( x)
Δy Δf f( x) − f( x0)
= =
Δx Δx x−x
0
f ′( x ) differentialkvotienten for
0
y = f( x)
i x
0
f( x) − f( x0)
f′( x0) = lim
x→x0
x−
x
Δf
= lim =
Δx
Δ→ x 0 Δ→ x 0
0
Δy
lim
Δx
f ′ afledet funktion af y = f( x)
d
Betegnes f ′( x), y′
, f( x),
dx
d df dy 2
′
( f( x)), , ,( 3x
+ 1)
dx dx dx
29

Symbol Betydning Eksempler, bemærkninger m.v.
( n)
f den n’te afledede funktion af
y =
f( x)
f (2) ( x ) skrives ofte f ′′ ( x)
, y′′
eller
2
d y
dx
2
∫
∫
b
f ( x)
dx
f ( x ) dx
a
AB
| AB |
AB
| AB
|
en stamfunktion
(ubestemt integral) til f ( x )
det bestemte integral fra a til b
af f ( x )
linjestykket AB
længden af linjestykket AB
cirkelbuen AB
længden af cirkelbuen AB
a,
AB vektor
→
| a|,| AB|
længden af vektoren
→
a
tværvektor
betegnelsen a kan også anvendes
→
a →
→ →
⋅ b skalarprodukt, prikprodukt betegnelsen ab •
benyttes også
→
a × vektorprodukt, krydsprodukt
a
a
b →
b
1 1
b
2 2
determinanten for vektor-
→
parret ( ab , →
)
→
betegnelsen det( ab , →
)
også
benyttes
⊥
”er parallel med”
”er vinkelret på”
l ⊥ m læses også
”l og m er ortogonale”
∠ A vinkel A ∠ A = 110° eller A = 110°
∠ ABD vinkel B i trekant ABD
→
∠ ( ab , →
)
vinklen v mellem → a og → b ,
hvor 0°≤v
≤ 180°
30

vinklen fra a → til b →
retvinklet trekant
midtnormalen n
for linjestykket AB
h
b
højden fra B på siden b eller
dens forlængelse
m
b
medianen fra B på siden b
v
B
vinkelhalveringslinjen for
vinkel B
trekant ABC’s omskrevne
cirkel
trekant ABC’s indskrevne
cirkel
31