Turneringsplanlægning. - Aarhus Universitet

Turneringsplanlægning
Rasmus Vinther Rasmussen
Afdelingen for Operations Analyse
Aarhus Universitet
Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Er der nogen, der har prøvet at planlægge
en turnering
• Er der nogen, som har hørt om en
turnering, der er blevet aflyst, fordi man
ikke har kunnet lave en turneringsplan
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Round robin turnering
– Alle møder alle lige mange gange
– Turneringen er opdelt i runder
– Alle hold spiller en kamp i hver runde
– Holdene spiller enten hjemme eller ude
Runde:
1
2
3
Hold 1:
+3
-2
+4
+ hjemmekamp
Hold 2:
Hold 3:
-4
-1
+1
+4
-3
+2
- udekamp
Hold 4:
+2
-3
-1
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Problemstillingen:
– Bestem hvem der mødes i hver runde
– Bestem hvem der spiller hjemme og ude
– Sørg for at holdene så vidt muligt spiller
skiftevis ude og hjemme (minimere breaks)
• Et break er 2 på hinanden følgende udekampe
eller 2 på hinanden følgende hjemmekampe
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Konstruktion af turnering med minimalt
antal breaks:
1
Runde:
1
2
3
4
5
5
2
Hold 1:
Hold 2:
6
Hold 3:
Hold 4:
4 3
Hold 5:
Hold 6:
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Konstruktion af turnering med minimalt
antal breaks:
1
Runde:
1
2
3
4
5
5
2
Hold 1:
Hold 2:
-6
+5
6
Hold 3:
-4
Hold 4:
+3
4 3
Hold 5:
Hold 6:
-2
+1
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Konstruktion af turnering med minimalt
antal breaks:
1
Runde:
1
2
3
4
5
5
2
Hold 1:
Hold 2:
-6
+5
6
Hold 3:
-4
Hold 4:
+3
4 3
Hold 5:
Hold 6:
-2
+1
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Konstruktion af turnering med minimalt
antal breaks:
5
Runde:
1
2
3
4
5
4
1
Hold 1:
Hold 2:
-6
+5
+4
-3
6
Hold 3:
-4
+2
Hold 4:
+3
-1
3 2
Hold 5:
Hold 6:
-2
+1
+6
-5
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Konstruktion af turnering med minimalt
antal breaks:
4
Runde:
1
2
3
4
5
3
5
Hold 1:
Hold 2:
-6
+5
+4
-3
-2
+1
6
Hold 3:
-4
+2
-5
Hold 4:
+3
-1
-6
2 1
Hold 5:
Hold 6:
-2
+1
+6
-5
+3
+4
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Konstruktion af turnering med minimalt
antal breaks:
3
Runde:
1
2
3
4
5
2
4
Hold 1:
Hold 2:
-6
+5
+4
-3
-2
+1
+5
-4
6
Hold 3:
-4
+2
-5
+6
Hold 4:
+3
-1
-6
+2
1 5
Hold 5:
Hold 6:
-2
+1
+6
-5
+3
+4
-1
-3
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Konstruktion af turnering med minimalt
antal breaks:
2
Runde:
1
2
3
4
5
1
3
Hold 1:
Hold 2:
-6
+5
+4
-3
-2
+1
+5
-4
-3
-6
6
Hold 3:
-4
+2
-5
+6
+1
Hold 4:
+3
-1
-6
+2
-5
5 4
Hold 5:
Hold 6:
-2
+1
+6
-5
+3
+4
-1
-3
+4
+2
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Er matematik nødvendig
• Svært når der skal tages specielle hensyn
• Stadions er ikke altid ledige
• Hold ønsker hjemmekampe på særlige datoer
• Kampene skal spredes over hele landet
• Bestemte hold skal have en ekstra hjemmekamp
• Alle hold vil gerne møde de ”store” hold hjemme
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• The Traveling Tournament Problem:
– n hold skal spille en turnering
– Alle møder alle en gang hjemme og en gang ude
– Højst 3 udekampe i træk
– Højst 3 hjemmekampe i træk
– Afstand mellem ens kampe
– Rejser direkte fra udekamp til udekamp
– Afstandene er kendte
– Den samlede rejseafstand skal minimeres
Problemet er endnu ikke løst for n = 8!!!
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Udregningstider for et simpelt problem:
– Minimer antal breaks
– Under bibetingelse:
• Alle møder alle en gang
• Alle møder en modstander i hver runde
• Halvdelen af holdene spiller hjemme i hver runde
• Når 2 hold mødes spiller det ene hold hjemme og
det andet spiller ude
• Break hvis et hold har 2 hjemmekampe i træk eller
2 udekampe i træk
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• SAS Ligaen:
– 12 hold og alle hold mødes 3 gange
– Antal breaks skal minimeres
– Stadions skal være ledige
– …
Umuligt at opfylde alle betingelser !!!
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Løsningsmetode i 3 trin:
1. Generer hjemme/ude sekvenser
2. Vælg en hjemme/ude sekvens for hvert hold
3. Check brugbarhed (kan det lade sig gøre at
tildele modstandere)
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
1. Generer hjemme/ude sekvenser
– Eksempel med 6 hold og 5 runder:
Nummer Sekvens Antal breaks
1
+
+
+
+
+
4
2
+
+
+
+
-
3
3
+
+
+
-
+
2
4
+
+
-
+
+
2
5
+
-
+
+
+
2
6
-
+
+
+
+
3
32
-
-
-
-
-
4
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
1. Generer hjemme/ude sekvenser
– Eksempel med 6 hold og 5 runder:
Nummer Sekvens Antal breaks
1
+
+
+
+
+
4
2
+
+
+
+
-
3
3
+
+
+
-
+
2
4
+
+
-
+
+
2
5
+
-
+
+
+
2
6
-
+
+
+
+
3
32
-
-
-
-
-
4
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
2. Vælg en hjemme/ude sekvens for hver hold
– Minimerer antal breaks
– Under bibetingelse:
• Der skal vælges en sekvens for hvert hold
• Præcis halvdelen af de valgte sekvenser skal have en
hjemmekamp i hver runde
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
3. Check brugbarhed
– Bruger matematisk problem til at bestemme hvem
der møder hvem så det passer med de valgte
sekvenser.
– 2 hold kan kun mødes i en runde hvor det ene
spiller ude og det andet spiller hjemme
– Hvis der ikke kan findes en brugbar turnering går vi
tilbage til Trin 2 og finder nye sekvenser
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Hele løsningsmetoden:
Trin 1 Trin 2 Trin 3
Færdig
Generer hjemme/
ude sekvenser
Vælg sekvenser
Check brugbarhed
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006

Turneringsplanlægning
• Hvorfor er den ene metode hurtigere:
– I den første model var der en variabel for
hver kombination af hold og runde:
• I alt 30 variabler for et eksempel med 6 hold
• I alt 2 30 muligheder ~ 1 milliard muligheder
– I den anden model var der 2 5 sekvenser og
der skulle vælges 6:
• I alt ~ 2 millioner muligheder
24-03-2006 Rasmus Vinther Rasmussen Matematiklærerdag 2006