på à bent VUC Trin 2 Xtra opgaver - VUC Aarhus
på à bent VUC Trin 2 Xtra opgaver - VUC Aarhus
på à bent VUC Trin 2 Xtra opgaver - VUC Aarhus
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Matematik<br />
på Åbent <strong>VUC</strong><br />
<strong>Trin</strong> 2<br />
<strong>Xtra</strong> <strong>opgaver</strong><br />
Trigonometri, boksplot, potensfunktioner,<br />
to ligninger med to ubekendte
Trigonometri<br />
Opgaver<br />
1: Til højre er tegnet<br />
en kvart enhedscirkel<br />
i et koordinatsystem.<br />
1,00<br />
90º<br />
75º<br />
60º<br />
Der er indtegnet vinklerne<br />
0º, 15º, 30º osv.<br />
Cosinus og sinus<br />
til vinklerne er markeret.<br />
45º<br />
a: Aflæs så præcist som<br />
muligt cosinus- og<br />
sinus-værdierne.<br />
Kontroller også tallene<br />
på din regnemaskine..<br />
0,50<br />
30º<br />
b: Udfyld vha.<br />
koordinatsystemet<br />
tabellen herunder.<br />
15º<br />
c: Tabellen og tegningen<br />
viser, at der er en vis<br />
symetri. Der gælder:<br />
cos(v) = sin(90 – v)<br />
sin(v) = cos(90 – v)<br />
0º<br />
0,50 1,00<br />
Prøv at forklare hvorfor!<br />
Vinkel 0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º<br />
Cosinus<br />
Sinus<br />
2: Herunder er skitseret to retvinklede trekanter.<br />
Beregn størrelsen på de sider og vinkler, som ikke er angivet.<br />
c = 6 cm<br />
B<br />
a<br />
c = 6,8 cm<br />
50º<br />
B<br />
a<br />
A<br />
30º<br />
b<br />
C<br />
A<br />
b<br />
C<br />
Side 9<br />
2
Trigonometri<br />
3: Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC<br />
a: Beregn sin(∠A)<br />
b: Find ∠A (antal grader)<br />
c: Find ∠B (antal grader)<br />
d: Find længden af siden b<br />
A<br />
c = 13 cm<br />
b<br />
B<br />
a = 5 cm<br />
C<br />
4: Til højre er skitseret en retvinklet trekant ABC<br />
B<br />
a: Beregn tan(∠A)<br />
b: Find ∠A (antal grader)<br />
c<br />
a = 8 cm<br />
c: Find ∠B (antal grader)<br />
d: Find længden af siden c<br />
A<br />
b = 15 cm<br />
C<br />
5: Beregn de ukendte vinkler og sider<br />
i de fem retvinklede trekanter.<br />
A<br />
O<br />
n<br />
45º<br />
M<br />
b<br />
c = 100 mm<br />
E<br />
52º<br />
d<br />
F<br />
m<br />
o = 7,2 cm<br />
f = 25,0 m<br />
e<br />
N<br />
C<br />
a<br />
58º<br />
B<br />
A<br />
D<br />
B<br />
b = 63 mm<br />
c = 98 mm<br />
c<br />
a = 9,8 cm<br />
A<br />
b =15,1 cm<br />
C<br />
C<br />
a<br />
B<br />
Side 10<br />
3
Trigonometri<br />
6: Tegningerne viser et stykke af to trapper.<br />
Trappen til venstre stiger 25º, og trinene er 32 cm brede.<br />
På trappen til højre er trinene 25 cm brede og 18 cm høje.<br />
a: Hvor høje er trinene på trappen til venstre<br />
b: Hvor mange graden stiger trappen til højre<br />
c: En trappe skal have en trinbredde på 26 cm og en stigning på 30º.<br />
Find trinhøjden.<br />
d: En trappe skal have en stigning på 45º.<br />
Giv et forslag til trinbredde og trinhøjde.<br />
e: Mål trinene på en trappe<br />
på din skole og beregn,<br />
hvor mange graden<br />
trappen siger.<br />
25º<br />
32 cm<br />
25 cm<br />
18 cm<br />
7: Tegningen viser en stige, der står op ad en mur.<br />
Stiger skal helst stå med en hældning på 75º.<br />
a: En stige er 5 m lang. Hvor højt kan stigen nå op på muren,<br />
med en hældning på 75º<br />
b: Hvor højt kan stigen på 5 m nå op, hvis den hælder 60º<br />
c: Hvor lang skal en stige være, hvis den skal kunne nå 4 m op<br />
og have en hældning på 75º<br />
d: En stige er 420 cm lang, og den når 4 m op ad muren.<br />
Hvad er hældning<br />
e: En stige når 3,5 m op ad muren,<br />
og bunden af stigen står 95 cm fra muren.<br />
Hvad er hældningen<br />
f: En A-stige (en Wiener-stige) har de viste mål.<br />
Benenes længde er 2,25 m og afstanden mellem benene er 140 cm.<br />
Find benenes hældning og stigens højde.<br />
140 cm<br />
2,25 m<br />
8: Tegningen viser gavlen på et hus.<br />
a: Find husets højde<br />
b: Hvor meget lavere ville huset være,<br />
hvis tagets hældning var 25º<br />
c: Hvor meget højere ville huset være,<br />
hvis tagets hældning var 45º<br />
860 cm<br />
525 cm<br />
35º<br />
240 cm<br />
Side 11<br />
4
Trigonometri<br />
9: Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter.<br />
a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter.<br />
b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m 2 .<br />
Du kan fx gøre det således:<br />
- beregn så mange vinkler som muligt<br />
- beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter<br />
- beregn arealerne af de retvinklede trekanter<br />
7,50 dm<br />
- læg arealerne sammen<br />
70º<br />
65º<br />
125 cm<br />
110º<br />
3,60 m<br />
5,00 m<br />
146,3º<br />
67,4º<br />
6,50 m<br />
10: I har sikkert en tavlelineal på præcis 1 m i klasseværelset.<br />
Stil linealen på skrå op ad en væg.<br />
Mål vinklen med en vinkelmåler<br />
som vist på tegningerne.<br />
Mål også den vandrette afstand x<br />
og den lodrette afstand y.<br />
Stil linealen i en ny vinkel<br />
og mål igen vinklen, x og y.<br />
Fortsæt med flere vinkler.<br />
x<br />
Brug dine målinger til at lave at lave en cosinus- og sinus-tabel.<br />
y<br />
Side 12<br />
5
Trigonometri<br />
11: Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede.<br />
Taget på huset til venstre har en hældning på 25º.<br />
Taget på huset til højre har en hældning på 45º.<br />
Sammenlign arealet af tagene på de to huse.<br />
25º<br />
45º<br />
12: Tegningen viser en cyklist på vej<br />
op ad en bakke.<br />
Bakken er indtegnet som<br />
en retvinklet trekant ABC.<br />
Man kan angive en bakkes stigning<br />
på to måder: Som et antal grader<br />
c<br />
og som et antal procent.<br />
Antal grader er størrelsen af ∠A.<br />
A<br />
b<br />
Antal procent er den lodrette stigning<br />
som procent af den kørte strækning.<br />
Altså a som procent af c.<br />
a: Mål længden af a, b og c på tegningen<br />
b: Find stigningen på tegningen målt i procent.<br />
c: Find stigningen på tegningen målt i grader.<br />
Du må gerne måle vinklen på tegningen men prøv også at beregne tallet.<br />
d: Vurder om det er realistisk at cykle op ad en sådan stigning.<br />
e: Omregn en stigning på 10% til grader.<br />
f: Omregn en stigning på 8º til procent.<br />
B<br />
a<br />
C<br />
Side 13<br />
6
xxx xxx xxx<br />
Opgaver<br />
1: Ølpriser<br />
Tabellen viser prisen på en øl på de forskellige værtshuse i en by<br />
Den røde ko 25 Hønsehuset 27 Overhuset 38<br />
Guldkalven 35 Løveburet 30 Tronsalen 35<br />
Hos Hans 24 Mødestedet 20 Underhuset 18<br />
a: Hvor mange værtshuse er der<br />
b: Find medianen<br />
c: Find 1. kvartil og 3 kvartil.<br />
d: Find middelværdien<br />
Guldkalven, Overhuset og Tronsalen sætter alle deres pris ned til 30 kr.<br />
e: Hvad sker der med middelværdi og median<br />
2: Aldersfordeling<br />
Tabellerne viser alderen på kursisterne på to forskellige <strong>VUC</strong>-hold<br />
Allan 45 Ester 49 Mogens 41 Rania 24 Victor 21<br />
Conny 32 Henry 62 Olga 56 Svend 70 Yrsa 61<br />
Anton 21 Eskild 18 Jackie 18 Leon 42 Rami 18<br />
Brian 27 Fartun 17 Kasper 19 Lisa 35 Rikke 31<br />
Dagny 51 Goran 27 Kate 26 Matin 23 Sabrina 17<br />
Ditte 22 Halima 20<br />
a: Hvor mange kursister er der på hvert af de to hold<br />
b: Find median, 1. kvartil og 3. kvartil for det første hold<br />
c: Find median, 1. kvartil og 3. kvartil for det andet hold<br />
d: Tegn boksplot for begge hold.<br />
e: Sammenlign aldersfordelingen på de to hold<br />
3: Undersøg aldersfordelingen på dit eget hold. Find median, 1. kvartil og 3. kvartil.<br />
Lav evt. også et boksplot.<br />
Side 7<br />
7
xxx xxx xxx<br />
4: Højde-sammenligning<br />
De to boksplot viser<br />
Højdefordeling for basketball-spillere<br />
højde-fordeling i cm<br />
på to forskellige grupper<br />
af mandlige idrætsfolk.<br />
En gruppe basketball-spillere<br />
og en gruppe gymnaster.<br />
a: Prøv at beskrive<br />
de to grupper.<br />
140 150 160 170 180 190 200 210 220<br />
Hvorledes ville de se ud,<br />
Højdefordeling for gymnaster<br />
hvis de stod ved siden<br />
af hinanden<br />
b: Aflæs mindste-værdi,<br />
og største-værdi<br />
for basketball-spillerne.<br />
c: Aflæs mindste-værdi,<br />
og største-værdi<br />
for gymnasterne.<br />
d: Aflæs medianen,<br />
140 150 160 170 180 190 200 210 220<br />
1 kvartil og 3. kvartil for basketball-spillerne.<br />
e: Aflæs medianen, 1 kvartil og 3. kvartil gymnasterne.<br />
f: Hvor mange cm er den højeste basketball-spiller højere end den laveste gymnast<br />
5: SMS-er<br />
<strong>VUC</strong>-kursisterne fra opgave 2 har holdt øje med, hvor mange SMS-er de sendte på en dag.<br />
Tallene er vist i tabellen.<br />
Allan 1 Ester 1 Mogens 2 Rania 5 Victor 8<br />
Conny 2 Henry 0 Olga 2 Svend 0 Yrsa 0<br />
Anton 5 Eskild 19 Jackie 38 Leon 2 Rami 32<br />
Brian 12 Fartun 22 Kasper 25 Lisa 0 Rikke 3<br />
Dagny 1 Goran 7 Kate 41 Matin 6 Sabrina 10<br />
Ditte 15 Halima 5<br />
a: Beskriv tallene for det nederste hold vha. boksplot.<br />
b: Lav evt. også et boksplot for det øverste hold – men overvej først om det giver mening.<br />
Hvis det ikke giver mening, så overvej at lave et andet diagram for det øverste hold.<br />
Side 8<br />
8
xxx xxx xxx<br />
6: Fritidsaktiviteter<br />
En klasse med skolebørn er blevet spurgt om,<br />
hvor mange timer om ugen de bruger<br />
på fritids-aktiviteter (sport, spejder, musik mv.).<br />
Svarerne er vist i tabellen.<br />
Hvor mange<br />
timer bruger<br />
du om ugen<br />
Så mange<br />
a: Hvor mange børn er der Ahmed 0 Hans 0 Mads 1 Ronni 14<br />
b: Find medianen<br />
Asta 5 Hilda 6 Mette 2 Sidsel 4<br />
c: Find 1. kvartil og 3 kvartil Bent 3 Ismail 3 Mie 4 Søren 1<br />
d: Sammenlign median og Carl 0 Kirstin 2 Ninna 0 Tanja 0<br />
middelværdi<br />
e: Lav et boksplot<br />
Fatima 2 Lone 8 Peter 10 Torben 1<br />
7: Løn-sammenligning<br />
De to boksplot viser<br />
Timelønnen på Poulsen Pølsefabrik<br />
timelønnen på to<br />
forskellige virksomheder.<br />
a: Aflæs mindste-værdi,<br />
og største-værdi<br />
på pølsefabrikken.<br />
b: Aflæs mindste-værdi,<br />
og største-værdi<br />
0 50 100 150 200 250 300 350<br />
på isfabrikken.<br />
Timelønnen på Iversens Isfabrik<br />
c: Aflæs medianen,<br />
1 kvartil og 3. kvartil<br />
på pølsefabrikken.<br />
d: Aflæs medianen,<br />
1 kvartil og 3. kvartil<br />
på isfabrikken.<br />
e: Vurder hvilke<br />
0 50 100 150 200 250 300 350<br />
af disse udsagn der er rigtige:<br />
- 50% af medarbejderne på pølsefabrikken tjener over 150 kr.<br />
- 50% af medarbejderne på isfabrikken tjener mellem 140 kr. og 200 kr.<br />
- De dårligst lønnede 25% af medarbejderne på pølsefabrikken får under 95 kr.<br />
- De bedst lønnede 25% af medarbejderne på isfabrikken får over 250 kr.<br />
- 75% af medarbejderne på pølsefabrikken får mellem 95 kr. og 210 kr.<br />
- 75% af medarbejderne på isfabrikken får mellem 140 kr. og 250 kr.<br />
Skriv selv rigtige udsagn i stedet for de forkerte udsagn.<br />
Side 9<br />
9
xxx xxx xxx<br />
8: Leverpostej<br />
Der står 500 g på alle bakker med Lenes Leverpostej.<br />
Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle bakker:<br />
Lenes Leverpostej<br />
500 g KUN 16,95 kr.<br />
498 g 491 g 481 g 480 g 499 g<br />
472 g 486 g 487 g 504 g 512 g<br />
500 g 469 g 508 g 462 g 470 g<br />
492 g 485 g 475 g 479 g 496 g<br />
493 g 516 g 497 g 501 g 488 g<br />
0 4 9 8 g<br />
a: Hvor mange bakker er blevet vejet<br />
Vægt i gram Hyppighed Frekvens<br />
b: Find mindsteværdi, størsteværdi<br />
[460 ; 470[<br />
og variationsbredde.<br />
[470 ; 480[<br />
c: Find medianen, 1. kvartil og 3. kvartil.<br />
[480 ; 490[<br />
d: Lav et boksplot.<br />
[490 ; 500[<br />
e: Lav og udfyld en tabel med hyppighed<br />
[500 ; 510[<br />
og frekvens som den viste<br />
f: Lav et histogram.<br />
g: Sammenlign boksplot og histogram.<br />
[510 ; 520[<br />
I alt<br />
Hvad synes du giver det bedste billede<br />
h: Sammenlign kg-prisen for den letteste og den tungeste bakke.<br />
9: Hastigheds-kontrol<br />
Boksplottet viser resultatet<br />
Hastighed i km/time<br />
af en hastigheds-kontrol<br />
på bilerne en landevej.<br />
Hastigheds-grænsen er 80 km/t.<br />
a: Aflæs den laveste<br />
og den højeste hastighed.<br />
b: Aflæs median, 1. kvartil<br />
og 3. kvartil.<br />
70 80 90 100 110 120 130 140<br />
c: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har overholdt hastighedsgrænsen.<br />
d: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har kørt over 100 km/t.<br />
Ved en senere kontrol overholdt 50% af bilerne hastigheds-grænsen,<br />
og alle hastigheder lå mellem 70 km/t og 105 km/t.<br />
e: Hvilke oplysninger mangler du for at kunne lave et boksplot<br />
f: Prøv at skitsere et boksplot, selv om du mangler nogle oplysninger.<br />
Side 10<br />
10
xxx xxx xxx<br />
10: Histogram → tabel → sumkurve<br />
Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.<br />
30%<br />
20%<br />
10%<br />
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110<br />
a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de<br />
forskellige aldersintervaller og skriv tallene<br />
ind i tabellen til højre.<br />
b: Udregn de summerede frekvenser og skriv<br />
tallene ind i tabellen til højre.<br />
c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve<br />
i koordinatsystemet herunder.<br />
d: Aflæs (cirka-tal) median, 1. kvartil og 3. kvartil.<br />
e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen.<br />
Alder Frekvens Sum. Fre.<br />
[0 ; 15[<br />
[15 ; 30[<br />
[30 ; 45[<br />
[45 ; 60[<br />
[60 ; 75[<br />
[75 ; 90[<br />
[90 ; 105[<br />
100%<br />
90%<br />
80%<br />
70%<br />
60%<br />
50%<br />
40%<br />
30%<br />
20%<br />
10%<br />
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110<br />
Side 11<br />
11
xxx xxx xxx<br />
11: Sumkurve → tabel → histogram<br />
Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.<br />
100%<br />
90%<br />
80%<br />
70%<br />
60%<br />
50%<br />
40%<br />
30%<br />
20%<br />
10%<br />
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110<br />
a: Aflæs de summerede frekvenser (cirka-tal)<br />
for de forskellige aldersintervaller og skriv<br />
tallene ind i tabellen til højre.<br />
b: Udregn frekvenserne og skriv tallene ind.<br />
c: Lav ud fra tallene i tabellen et histogram i<br />
koordinatsystemet herunder.<br />
d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave<br />
med aldersfordelingen i sidste opgave.<br />
Brug evt. median, kvartiler og/eller gennemsnit.<br />
Alder Frekvens Sum. Fre.<br />
[0 ; 15[<br />
[15 ; 30[<br />
[30 ; 45[<br />
[45 ; 60[<br />
[60 ; 75[<br />
[75 ; 90[<br />
[90 ; 105[<br />
30%<br />
20%<br />
10%<br />
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110<br />
Side 12<br />
12
xxx xxx xxx<br />
Opgaver<br />
1: Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner:<br />
Start med at udfylde en tabel som denne:<br />
2<br />
f(x) = x og<br />
g(x)<br />
2<br />
= 2 ⋅ x .<br />
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder:<br />
På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 10.<br />
2: Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner:<br />
2<br />
3<br />
4<br />
f(x) = 4 ⋅ x og g(x) = x og h(x) = 0,25⋅<br />
x .<br />
Start med at udfylde en tabel som denne:<br />
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
h(x)<br />
Hvis du tegner graferne på papir, kan du buge et helt A4-ark og vælge disse enheder:<br />
På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 20.<br />
Noget af graferne for g og h vil dog ikke kunne være på papiret.<br />
OBS: De tre grafer skærer hinanden i samme punkt.<br />
Prøv at forklare hvorfor.<br />
3: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y<br />
Hvad er a og b i disse potensfunktioner<br />
a:<br />
y<br />
2<br />
= 117 ⋅ x b:<br />
6<br />
y = x<br />
c:<br />
y<br />
a<br />
= b ⋅ x .<br />
-2<br />
= 5⋅<br />
x<br />
d:<br />
y =<br />
1<br />
2<br />
3<br />
x<br />
a<br />
4: Potensfunktioner er funktioner, som kan skrives formen y = b ⋅ x .<br />
Skriv selv potensfunktioner med disse værdier af a og b:<br />
a: a = 0,5<br />
b = 3<br />
b: a = 10<br />
1<br />
b =<br />
3<br />
c: a = -1<br />
b = 1<br />
d: a = 1<br />
b = 2<br />
Side 8<br />
13
xxx xxx xxx<br />
5: Fliser<br />
Forestil dig at du lægger fliser. Fliserne er kvadratiske,<br />
og det område, som fliserne dækker, er også kvadratisk.<br />
a: Hvor mange fliser skal du bruge i alt,<br />
hvis du lægger 4 fliser på hver led<br />
b: Hvor mange fliser er der på hver led,<br />
hvis der i alt er lagt 100 fliser<br />
c: Udfyld en tabel som denne:<br />
Antal fliser på hver led (x) 0 1 2 3 4 5 o.s.v.<br />
Antal fliser i alt (y)<br />
Det er lidt fjollet at regne med 0 fliser, men tallet er med for ”systemets skyld”<br />
d: Tegn i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen.<br />
Grafen skal være en blød bue.<br />
Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser.<br />
e: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen:<br />
2<br />
y = 2 ⋅ x<br />
y = x<br />
y = x<br />
6: Fliser (fortsat)<br />
Fliserne er 50 cm på hvert led. Du skal stadig forestille dig,<br />
at du lægger fliserne på et kvadratisk område.<br />
a: Hvad er arealet ( i m 2 ) af en flise<br />
b: Hvor mange fliser skal der til en m 2 <br />
f: Hvad er arealet af hele området,<br />
hvis der er lagt 3 fliser på hver led<br />
g: Tegn og udfyld en tabel som denne:<br />
50 cm<br />
50 cm<br />
Antal fliser på hver led (x) 0 1 2 3 4 o.s.v. 10<br />
Antal m 2 med fliser (y)<br />
’<br />
h: Tegn i et koordinatsystem en graf ud fra tallene i tabellen.<br />
Bestem selv hvorledes du vil inddele dine akser.<br />
i: Hvilken af disse funktioner passer til tabellen og grafen:<br />
2<br />
2<br />
y = 4 ⋅ x<br />
y = 0,25⋅<br />
x<br />
y = x<br />
2 + 4<br />
Side 9<br />
14
xxx xxx xxx<br />
7: Rumfanget af terning.<br />
Rumfanget kan beregnes med formlen V = s 3 ,<br />
hvor V er rumfanget og s er terningens kant-længde.<br />
Hvis s måles i cm, får man V i cm 3 (eller ml).<br />
a: Udfyld en tabel som den viste:<br />
s (cm) 0 1 2 3 4 5 o.s.v. 10<br />
V (cm 3 )<br />
b: Tegn en graf ud fra tabellen.<br />
c: Rumfanget er en potensfunktion af kant-længden. Prøv at forklare hvorfor!<br />
d: Hvad skal kantlængden være for at terningens rumfang bliver:<br />
- 1 liter = 1.000 ml = 1.000 cm 3 - 1 dl = 100 ml = 100 cm 3 - 1 cl = 10 ml = 10 cm 3 <br />
8: Bremselængde<br />
Kik på teksten og tabellen til højre.<br />
a: Hvilken af disse funktioner kan beskrive<br />
sammenhængen mellem hastighed (x) og<br />
bremselængde (y):<br />
2 10<br />
y = 0,1 ⋅ x y = 0,004 ⋅ x y =<br />
x<br />
b: Når du har fundet den rigtige funktion, skal du<br />
tegne en graf i et koordinatsystem. Start med at<br />
lave og udfylde en tabel som denne:<br />
x 0 25 50 o.s.v. 150<br />
y<br />
Bremselængde<br />
Bremselængden for en bil vokser, når<br />
hastigheden vokser.<br />
De helt præcise tal afhænger også af<br />
bilen, vejen og vejret, men her er nogle<br />
typiske tal:<br />
Hastighed Bremselængde<br />
i km/time i meter<br />
25 2,5<br />
50 10<br />
100 40<br />
Hvis du tegner i hånden, skal du lave et<br />
koordinatsystem, hvor 1 cm på x-aksen<br />
svarer til 10 km/time, og 1 cm på y-aksen<br />
svarer til 10 m.<br />
c: Aflæs på din graf (cirka-tal):<br />
- bremselængden når hastigheden er 90 km/time.<br />
- hastigheden når bremselængden er 50 m.<br />
d: Kan du kontrol-beregne svarerne fra c<br />
Bremselængderne i tabellen er for kørsel i tør-vejr.<br />
Hvis det regner, kan bremselængderne godt være dobbelt så lange.<br />
e: Tegn i samme koordinatsystem som før en graf for bremselængden i regn-vejr.<br />
Side 10<br />
15
xxx xxx xxx<br />
9: Side-længde på kvadrat<br />
Side-længden (s)<br />
afhænger af arealet (A).<br />
Tegningerne viser<br />
et par eksempler.<br />
A = 4 cm 2<br />
s = 2 cm<br />
A = 9 cm 2<br />
s = 3 cm<br />
a: Udfyld en tabel som denne:<br />
A (cm 2 ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
s (cm) 2 3<br />
b: Tegn en graf ud fra tabellen.<br />
c: Opstil en funktion for s. Altså en funktion hvor arealet er x, og side-længden er y.<br />
d: Det er ikke sikkert, at din funktion ligner en potensfunktion, men det er den!<br />
Prøv at forklare hvorfor.<br />
Kik tilbage på opgave 7. Den med kant-længden og rumfanget for en terning<br />
e: Opstil en funktion, hvor rumfanget er x, og kantlængden er y.<br />
Prøv at forklare hvorfor det er en potensfunktion.<br />
10: Tegn i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner:<br />
Start med at udfylde en tabel som denne:<br />
0,5<br />
y = x og<br />
1<br />
y = x og<br />
1,5<br />
y = x .<br />
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
0,5<br />
y = x<br />
1<br />
y = x<br />
1,5<br />
y = x<br />
Hvis du tegner graferne på papir, kan du vælge disse enheder:<br />
På x-aksen er 1 cm = 1. På y-aksen er 1 cm = 1.<br />
Noget af graferne for den sidste funktion vil måske ikke kunne være i dit koordinatsystem.<br />
OBS: Funktionerne og graferne opfører sig lidt ”mystisk” for små x-værdier.<br />
Hvis du har godt tid eller bruger regneark, kan du også udfylde denne tabel:<br />
x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2<br />
0,5<br />
y = x<br />
1<br />
y = x<br />
1,5<br />
y = x<br />
Tegn også grafer ud fra tallene i den sidste tabel.<br />
Side 11<br />
16
xxx xxx xxx<br />
11: Hestefoder<br />
Man kan med god tilnærmelse beregne<br />
hestes behov for foder med denne funktion:<br />
0,75<br />
f(x) = 0,04 ⋅ x<br />
x er hestens vægt i kg,<br />
og f(x) er antal foderenheder pr. dag.<br />
a: Lav og udfyld en tabel som denne:<br />
Foderenheder<br />
Der er ikke lige meget næring<br />
i alle slags dyrefoder. Derfor<br />
bruger man foderenheder.<br />
En foderenhed svarer fx til<br />
ca. 1 kg korn eller ca. 2 kg hø<br />
eller ca. 4 kg halm.<br />
x 200 300 400 500 600<br />
f(x)<br />
b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.<br />
c: Hvor meget vejer en hest,<br />
som har brug for 4 foderenheder pr. dag<br />
d: En hest på 375 kg får 400 g korn om dagen.<br />
Resten af foderet er en blanding af hø og halm.<br />
Lav et forslag til hvor meget hø og hvor meget halm hesten skal have.<br />
e: En hest vejer 450 kg.<br />
Hestens ejer køber 20 kg korn, 150 kg hø og 200 kg halm.<br />
Hvor lang tid er der foder til<br />
For hunde gælder der en tilsvarende funktion. Den ser sådan ud:<br />
0,75<br />
h(x) = 523⋅<br />
x<br />
x er hundens vægt i kg,<br />
og h(x) er energi-behovet pr. dag målt i kilojoule (kj).<br />
f: Lav også en tabel og en graf for denne funktion.<br />
g: Der er sikkert nogle kursister på jeres hold, som har hund.<br />
Undersøg om funktionen passer på jeres hunde.<br />
I kan finde antal kj vha. varedeklarationerne på den hundemad, som I bruger.<br />
12: Buket-priser<br />
En dame sælger blomster-buketter.<br />
Hun tager normalt 60 kr. for en buket, og hun sælger normalt ca. 100 buketter pr. dag.<br />
Hun har prøvet at sætte prisen ned til 50 kr. Så solgte hun ca. 110 buketter pr. dag.<br />
Hun har også prøvet at sætte prisen op til 75 kr. Så solgte hun ca. 90 buketter pr. dag.<br />
Hendes mand, som er matematik-lærer (og derfor meget, meget klog), siger,<br />
-0,5<br />
at det tyder på, at prisen og antal buketter følger denne funktion y = 775⋅<br />
x .<br />
x er prisen, og y er antal solgte buketter pr. dag.<br />
Undersøg om hendes meget, meget kloge mand kan have ret. Lav evt. en graf for funktionen.<br />
Side 12<br />
17
xxx xxx xxx<br />
13: Dykning<br />
Den tid, som en dykker højst må være under vand,<br />
afhænger af vand-dybden.<br />
Man kan bruge denne funktion til at beregne tiden:<br />
-2,12<br />
y = 23.000 ⋅ x<br />
x er vand-dybden i meter,<br />
og y er tiden i minutter.<br />
a: I hvor lang tid må en dykker opholde sig<br />
i en vanddybde på 15 m<br />
b: Lav og udfyld en tabel som denne:<br />
x 10 20 30 40 50<br />
y<br />
c: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.<br />
d: Hvilken vand-dybde svarer til en tid på 25 min<br />
Hvis dykkere er for lang tid<br />
under vand, risikerer de at<br />
få dykkersyge.<br />
Der er også regler for, hvor<br />
lang tid dykkere skal bruge<br />
på at svømme ned og op.<br />
Den tid skal lægges til, hvis<br />
man vil finde den samlede<br />
neddykningstid.<br />
14: Vindmøller<br />
En vindmølle laver meget mere elektricitet, når det blæser kraftigt.<br />
For en bestemt type vindmølle gælder der denne funktion:<br />
3,3<br />
y = 0,6 ⋅ x<br />
x er vind-hastigheden i meter pr. sekund (m/s),<br />
y er elektricitets-mængden målt i kiloWatt (kW).<br />
y kaldes også effekten.<br />
a: Lav og udfyld en tabel som denne:<br />
x 0 2 4 6 osv. 20<br />
y<br />
b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.<br />
Du kan evt. nøjes med at medtage noget af grafen,<br />
da der sjældent blæser mere end 12-15 m/s.<br />
NB: Undersøg evt. selv hvad vindhastigheden typisk<br />
er i Danmark.<br />
c: Hvad er vindhastigheden, hvis effekten er 1.000 kW<br />
d: Forstil dig, at al elektriciteten fra vindmølleparken<br />
går til lavenergi-pærer.<br />
Hvor mange lavenergipærer er der elektricitet til,<br />
hvis vindhastigheden er 8 m/s<br />
Vindmøllen i denne<br />
opgave står i en<br />
vindmøllepark med<br />
i alt 20 vindmøller.<br />
Effekt kan måles i<br />
kW eller i W.<br />
1 kW = 1.000 W.<br />
En lavenergi-pære<br />
bruger typisk 9 W.<br />
Side 13<br />
18
xxx xxx xxx<br />
15: Vinglas<br />
Tegning til højre viser et kegleformet vinglas.<br />
Rumfanget af en kegle kan findes med denne formel:<br />
1 2<br />
V = ⋅ π⋅<br />
r ⋅ h<br />
3<br />
a: Vis at glasset kan rumme ca. 150 ml, når det er fyldt.<br />
Husk at 1 cm 3 = 1 ml (milliliter).<br />
Når glasset er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med<br />
denne funktion:<br />
3<br />
y = 0,207 ⋅ x<br />
hvor x er ”vinstanden” i cm og y er rumfanget i ml.<br />
b: Hvor meget vin er der i glasset, når x = 6 cm<br />
c: Udfyld en tabel som den viste:<br />
h = 9 cm<br />
r = 4 cm<br />
x<br />
Højde i cm (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
Vin i ml (y)<br />
d: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem.<br />
Hvis du tegner i hånden kan du vælge disse enheder.<br />
1 cm = 1 cm på x-aksen og 1 cm = 10 ml på y-aksen.<br />
e: Undersøg vha. grafen:<br />
- hvor højt står vinen, når glasset rummer 100 ml<br />
- hvor højt står vinen, når glasset rummer 50 ml<br />
- hvor højt står vinen, når glasset er halvt fyldt<br />
f: Overvej hvorledes du kunne have beregnet svarene fra e.<br />
g: Vurder om disse påstande er rigtige:<br />
- når man fordobler x, bliver y 8-doblet.<br />
- når man 3-dobler x, bliver y 27-doblet<br />
…og hvis ”ja” hvorfor<br />
Side 14<br />
19
xxx xxx xxx<br />
To lineære ligninger med to ubekendte<br />
1: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen<br />
a: − 10x + 5y = 20<br />
A: y = −x<br />
− 2<br />
b: 4x + 4y = −8<br />
B: y = −4x<br />
+ 2<br />
c: − 8x + 2y = −6<br />
C: y = 4x − 3<br />
d: 2 x + 0,5y = 1<br />
D: y = x − 2<br />
e: 2x − 6y = 12<br />
E: y = 0,5x −1,5<br />
f: x − 2y = 3<br />
F: y = 2x + 4<br />
1<br />
3<br />
2: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen<br />
a: 5y − 3x = x + 4y<br />
A: y = 0,5x − 3<br />
b: 3x − 6y + 8 = x − 5y + 5<br />
B: y = −2x<br />
− 2, 5<br />
c: y − 4x = 3y − 5x + 6<br />
C: y = 4x<br />
d: − x + 5y = x − y<br />
D: y = 2x + 3<br />
e: 2 x + 5 = 2y + 6x + 10<br />
E: y = x<br />
1<br />
3<br />
3: Hvilke ligninger og hvilke funktionsforskrifter passer sammen<br />
a: 4x<br />
+ 2y − 7 = 5(2x − 3)<br />
A: y = − x + 2<br />
1<br />
2<br />
6x + 12y<br />
b: = 8<br />
3<br />
B: y = 2x + 6<br />
c: 3(x + 2) = 2(y − 3) − x<br />
C: y = −3x<br />
5x + 3y<br />
d: = 2x + y<br />
4<br />
D: y = 3x − 4<br />
Side 5<br />
20
xxx xxx xxx<br />
4: Claus og Christina skal dele 100 kr. De behøver ikke at få lige mange penge.<br />
Claus’ beløb kaldes x. Christinas beløb kaldes y.<br />
a: Tegn og udfyld en tabel som denne:<br />
x 0 10 20 30 …. 100<br />
y<br />
….<br />
Sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved ligningen x + y = 100<br />
b: Omskriv ligningen til en lineær funktion.<br />
c: Tegn en graf for funktionen.<br />
Prøv også at forklare hvad de forskellige punkter på grafen betyder.<br />
5: Lars vil købe kager og minirugbrød for 50 kr.<br />
Antal kager kaldes x. Antal minirugbrød kaldes y.<br />
a: Hvor mange kager kan han højst få<br />
b: Hvor mange minirugbrød kan han højst få<br />
c: Tegn og udfyld en tabel som denne:<br />
x 0 1 2 3 4 5<br />
y<br />
Brødkiosken<br />
Kager............... 10 kr.<br />
Minirugbrød ....... 5 kr.<br />
d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion.<br />
e: Tegn en graf for funktionen.<br />
Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder.<br />
6: Mette skal købe æbler og pærer for 75 kr.<br />
Antal kg æbler kaldes x. Antal kg pærer kaldes y.<br />
a: Hvor mange kg æbler kan hun højst få<br />
b: Hvor mange kg pærer kan hun højst få<br />
c: Tegn og udfyld en tabel som denne:<br />
x 0 1 2 3 osv.<br />
y<br />
Frugt og grønt<br />
Æbler<br />
15 kr. pr. kg.<br />
Pærer<br />
20 kr. pr. kg.<br />
d: Beskriv sammenhængen mellem x og y med en ligning og en lineær funktion.<br />
e: Tegn en graf for funktionen.<br />
Forklar også hvad de forskellige punkter på grafen betyder.<br />
Side 6<br />
21
xxx xxx xxx<br />
7: Line skal købe 30 stykker frugt til en skoleklasse.<br />
Hun kan vælge mellem æbler og appelsiner.<br />
Hun må købe for 100 kr., og hun vil gerne have<br />
flest mulige appelsiner.<br />
Antal bananer kaldes x. Antal appelsiner kaldes y.<br />
Fredes Frugtbod<br />
Bananer Appelsiner<br />
3 kr. pr. stk. 4 kr. pr. stk.<br />
a: Sammenhængen mellem x og y kan beskrives<br />
ved to af disse ligninger.<br />
x + y = 30 x + y = 100 3x + 4y = 30 3x + 4y = 100<br />
Find de rigtige ligninger:<br />
b: Omskriv de rigtige ligninger til lineære funktioner<br />
c: Lav x-y-tabeller og tegn grafer for funktionerne<br />
d: Hvor mange appelsiner og hvor mange bananer kan Line købe<br />
8: Peter skal købe 40 flasker vin til en stor fest.<br />
Han kan vælge mellem to slags.<br />
Han må købe for 1.500 kr., og han vil gerne have<br />
flest mulige flasker af den dyre vin.<br />
a: Opstil to ligninger, der kan bruges til at finde ud af<br />
hvor mange flasker af hver slags, han kan købe.<br />
b: Find ud af hvor mange flasker af hver slags, han kan købe.<br />
Fine vine<br />
Château Henri<br />
Pr. flaske kun 30 kr.<br />
Château Superb<br />
Pr. flaske kun 50 kr.<br />
9: Mahmut er i byen. Det er blevet sent, den sidste bus er kørt, og han har meget langt hjem.<br />
Han ringer hjem til sin kone, som lover at hente ham i bil, hvis han går hende i møde.<br />
Konen begynder at køre samtidig med, at Mahmut begynder at gå.<br />
Du skal finde ud af, hvor på turen de mødes. Den strækning, Mahmut når at gå, kaldes x.<br />
Den strækning, Mahmuts kone når at køre, kaldes y.<br />
5 km/t 75 km/t<br />
20 km<br />
a: Hvor mange min. tager det Mahmut<br />
at gå en km<br />
c: Find x og y ved at løse disse to ligninger:<br />
x + y = 20<br />
b: Hvor lang tid tager det Mahmuts kone<br />
at køre en km<br />
Den tid det tager at gå x km = Den tid det tager at køre y km<br />
d: Hvor lang tid går der fra, at Mahmut begynder at gå, til at han er helt hjemme<br />
Side 7<br />
22
xxx xxx xxx<br />
10: Løs disse ligningssystemer<br />
a:<br />
− x + y = 1<br />
b:<br />
− x + 2y = 8<br />
2x − y = 0<br />
− x + y = 3<br />
c:<br />
3x + y = 7<br />
d:<br />
2x + y = 5<br />
− x + y = 2<br />
x + 5y = 10<br />
e:<br />
3x + 2y = 16<br />
f:<br />
− x + 4y = 4<br />
x − 4y = −20<br />
2x − y = 2<br />
g:<br />
− 2x + y = 3<br />
h:<br />
2x − y = −3<br />
− x + 2y = 4<br />
− x + 2y = 2<br />
i:<br />
2x − y = 3<br />
j:<br />
2x + y = 8<br />
2x + y = 7<br />
8x − 2y = 1<br />
11: Løs disse ligningssystemer<br />
a:<br />
x − 2y = 6<br />
b:<br />
2x + y = 2<br />
2x + y = 2<br />
x − 2y = −6<br />
c:<br />
2x −10y<br />
= −10<br />
d:<br />
3x + 5y = 35<br />
4x − 4y = 3<br />
x + 2y = 6<br />
e:<br />
x + 3y + 7 = 4x + y − 7<br />
f:<br />
2x + 5y + 1 = 3x + y + 3<br />
2x + 6y = 4x + y + 1<br />
2x + 2y + 3 = y + 10<br />
g:<br />
3x + 2y − 2 = 2(2x − 3)<br />
h:<br />
3x + 2y = −12<br />
− x + 8y = 2(2x − y) + 2<br />
5(x + 2y) = −2,5x<br />
+ 5y + 7<br />
12: Løs disse ligningssystemer<br />
a:<br />
3x − 2y = x − y − 5<br />
b:<br />
2x + 4y = 5y − 3<br />
x + 2y = 3x + y + 2<br />
2x − 3y = −2y<br />
− 2<br />
c: 3( 2x y)<br />
− = 5x − y + 1<br />
d:<br />
4x + 3y = 3x + 6<br />
4x − 2y + 1 =<br />
( 12x + 8) : 4<br />
12x + 30y<br />
6<br />
= x + 2y −12<br />
Side 8<br />
23