Slides fra session 1: En tur i Rædselskabinettet (PDF)
Slides fra session 1: En tur i Rædselskabinettet (PDF)
Slides fra session 1: En tur i Rædselskabinettet (PDF)
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Patologiske eksemplers betydning for<br />
funktionsbegrebets udvikling I:<br />
<strong>Rædselskabinettet</strong><br />
HENRIK KRAGH SØRENSEN<br />
Cand. scient., ph.d.<br />
Institut for Videnskabshistorie<br />
Aarhus Universitet<br />
ivhhks@ivh.au.dk<br />
www.henrikkragh.dk<br />
LMFK-kurset “Funktionsbegrebet mellem stringens og anvendelse” — Liselund, Slagelse, 11. til 13. november 2002.Q
Dagens program<br />
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger
Dagens program<br />
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger<br />
⋄ Patologisk eksempel, modeksempel og normal-eksempel<br />
⋄ Paradigmer og intuition<br />
⋄ Lakatos<br />
⋄ Rekonstruktion
Dagens program<br />
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger<br />
⋄ Patologisk eksempel, modeksempel og normal-eksempel<br />
⋄ Paradigmer og intuition<br />
⋄ Lakatos<br />
⋄ Rekonstruktion<br />
⋆ <strong>En</strong> <strong>tur</strong> i <strong>Rædselskabinettet</strong><br />
⋆ Opsummering
Dagens program<br />
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger<br />
⋄ Patologisk eksempel, modeksempel og normal-eksempel<br />
⋄ Paradigmer og intuition<br />
⋄ Lakatos<br />
⋄ Rekonstruktion<br />
⋆ <strong>En</strong> <strong>tur</strong> i <strong>Rædselskabinettet</strong><br />
⋆ Opsummering<br />
⋆ Frokost<br />
⋆ Legestue<br />
⋆ Sammenfatning, analyse og konklusion
<strong>En</strong> <strong>tur</strong> i <strong>Rædselskabinettet</strong><br />
⋆ “Jeg vender mig med afsky og rædsel <strong>fra</strong> denne sørgelige plage af<br />
kontinuerte funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)<br />
⋆ Leif Mejlbro: “Mit Rædselskabinet”
<strong>En</strong> <strong>tur</strong> i <strong>Rædselskabinettet</strong><br />
⋆ “Jeg vender mig med afsky og rædsel <strong>fra</strong> denne sørgelige plage af<br />
kontinuerte funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)<br />
⋆ Leif Mejlbro: “Mit Rædselskabinet”<br />
⋆ Ingen (moderne) sætning er forstået, før man forstår dens forudsætninger,<br />
dens argumentation og dens konklusion.
<strong>En</strong> <strong>tur</strong> i <strong>Rædselskabinettet</strong><br />
⋆ “Jeg vender mig med afsky og rædsel <strong>fra</strong> denne sørgelige plage af<br />
kontinuerte funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)<br />
⋆ Leif Mejlbro: “Mit Rædselskabinet”<br />
⋆ Ingen (moderne) sætning er forstået, før man forstår dens forudsætninger,<br />
dens argumentation og dens konklusion.<br />
⋆ Moderne (nutidig) model/ideal:<br />
⋄ DSB (definition–sætning–bevis)<br />
⋄ Sætning: Antagelse, antagelse, antagelse. Så gælder: . . .
Fire anvendte modeksempler i 1820erne<br />
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =<br />
{ (<br />
exp −x<br />
−2 ) , x ̸= 0<br />
0, x = 0
Fire anvendte modeksempler i 1820erne<br />
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =<br />
{ (<br />
exp −x<br />
−2 ) , x ̸= 0<br />
0, x = 0<br />
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset <strong>fra</strong> x = 0)<br />
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler
Fire anvendte modeksempler i 1820erne<br />
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =<br />
{ (<br />
exp −x<br />
−2 ) , x ̸= 0<br />
0, x = 0<br />
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset <strong>fra</strong> x = 0)<br />
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler<br />
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1<br />
(−1) n−1 sin nx<br />
n
Fire anvendte modeksempler i 1820erne<br />
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =<br />
{ (<br />
exp −x<br />
−2 ) , x ̸= 0<br />
0, x = 0<br />
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset <strong>fra</strong> x = 0)<br />
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler<br />
(−1) n−1 sin nx<br />
n<br />
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1<br />
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert<br />
⋆ f (x) =<br />
2 x for x ∈ (−π, π)<br />
⋆ <strong>En</strong> sætning med (mange) undtagelser
Fire anvendte modeksempler i 1820erne<br />
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =<br />
{ (<br />
exp −x<br />
−2 ) , x ̸= 0<br />
0, x = 0<br />
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset <strong>fra</strong> x = 0)<br />
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler<br />
(−1) n−1 sin nx<br />
n<br />
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1<br />
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert<br />
⋆ f (x) =<br />
2 x for x ∈ (−π, π)<br />
⋆ <strong>En</strong> sætning med (mange) undtagelser<br />
3. Abel 1828: ∑ ∞ n=2<br />
1<br />
n log n og ∑ ∞ n=1 a n<br />
s n
Fire anvendte modeksempler i 1820erne<br />
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =<br />
{ (<br />
exp −x<br />
−2 ) , x ̸= 0<br />
0, x = 0<br />
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset <strong>fra</strong> x = 0)<br />
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler<br />
(−1) n−1 sin nx<br />
n<br />
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1<br />
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert<br />
⋆ f (x) =<br />
2 x for x ∈ (−π, π)<br />
⋆ <strong>En</strong> sætning med (mange) undtagelser<br />
3. Abel 1828: ∑ ∞ 1<br />
n=2 n log n og ∑ ∞ n=1 a n<br />
s n<br />
⋆ Reaktion på Oliviers kriterium: ∑ a n konvergent ⇔ lim na n = 0.
Fire anvendte modeksempler i 1820erne<br />
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =<br />
{ (<br />
exp −x<br />
−2 ) , x ̸= 0<br />
0, x = 0<br />
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset <strong>fra</strong> x = 0)<br />
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler<br />
(−1) n−1 sin nx<br />
n<br />
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1<br />
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert<br />
⋆ f (x) =<br />
2 x for x ∈ (−π, π)<br />
⋆ <strong>En</strong> sætning med (mange) undtagelser<br />
3. Abel 1828: ∑ ∞ 1<br />
n=2 n log n og ∑ ∞ n=1 a n<br />
s n<br />
⋆ Reaktion på Oliviers kriterium: ∑ a n konvergent ⇔ lim na n = 0.<br />
{ c, x ∈ Q<br />
4. Dirichlet 1829: f (x) =<br />
d, x ∈ R Q
<strong>En</strong> naiv, underforstået definition<br />
⋆ Analyse går <strong>fra</strong> at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle<br />
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)
<strong>En</strong> naiv, underforstået definition<br />
⋆ Analyse går <strong>fra</strong> at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle<br />
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)<br />
⋆ Implicit forståelse: “Grafen for en kontinuert kurve kan opfattes som<br />
en uendeligt tynd streg, der tegnes uden at løfte blyanten <strong>fra</strong> papiret”
<strong>En</strong> naiv, underforstået definition<br />
⋆ Analyse går <strong>fra</strong> at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle<br />
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)<br />
⋆ Implicit forståelse: “Grafen for en kontinuert kurve kan opfattes som<br />
en uendeligt tynd streg, der tegnes uden at løfte blyanten <strong>fra</strong> papiret”<br />
⋆ Forbindelsen mellem funktioner og kurver
<strong>En</strong> naiv, underforstået definition<br />
⋆ Analyse går <strong>fra</strong> at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle<br />
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)<br />
⋆ Implicit forståelse: “Grafen for en kontinuert kurve kan opfattes som<br />
en uendeligt tynd streg, der tegnes uden at løfte blyanten <strong>fra</strong> papiret”<br />
⋆ Forbindelsen mellem funktioner og kurver<br />
⋆ Kontinuitet og differentiabilitet<br />
⋆ Fladeudfyldende kurver
Kontinuert — men ikke-differentiabel<br />
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800<br />
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt<br />
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829<br />
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”<br />
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”
Kontinuert — men ikke-differentiabel<br />
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800<br />
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt<br />
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829<br />
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”<br />
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”<br />
⋆ Et resultat tilskrevet Ampère (1806):<br />
⋄ “<strong>En</strong>hver kontinuert funktion er differentiabel (næsten overalt)”<br />
⋄ Hankel 1870: “Det mig bekendt eneste forsøg — af Ampère — på<br />
at bevise eksistensen af en differentialkvotient a priori for alle funktioner,<br />
er helt mislykket” (også Pringsheim 1899)
Kontinuert — men ikke-differentiabel<br />
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800<br />
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt<br />
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829<br />
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”<br />
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”<br />
⋆ Et resultat tilskrevet Ampère (1806):<br />
⋄ “<strong>En</strong>hver kontinuert funktion er differentiabel (næsten overalt)”<br />
⋄ Hankel 1870: “Det mig bekendt eneste forsøg — af Ampère — på<br />
at bevise eksistensen af en differentialkvotient a priori for alle funktioner,<br />
er helt mislykket” (også Pringsheim 1899)<br />
⋆ Fra “ikke-differentiabel” til “intetsteds differentiabel”
Kontinuert — men ikke-differentiabel<br />
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800<br />
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt<br />
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829<br />
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”<br />
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”<br />
⋆ Et resultat tilskrevet Ampère (1806):<br />
⋄ “<strong>En</strong>hver kontinuert funktion er differentiabel (næsten overalt)”<br />
⋄ Hankel 1870: “Det mig bekendt eneste forsøg — af Ampère — på<br />
at bevise eksistensen af en differentialkvotient a priori for alle funktioner,<br />
er helt mislykket” (også Pringsheim 1899)<br />
⋆ Fra “ikke-differentiabel” til “intetsteds differentiabel”<br />
⋆ Weierstrass’ Monster<br />
⋆ Reaktioner og patologi-begrebet
Riemanns Eksempel<br />
⋆ Riemann betragtede funktionen<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑<br />
n=1<br />
sin ( n 2 x )<br />
n 2
Riemanns Eksempel<br />
⋆ Riemann betragtede funktionen<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑<br />
n=1<br />
sin ( n 2 x )<br />
⋆ Denne er ikke-differentiabel på en tæt delmængde M ⊂ R.<br />
n 2
Riemanns Eksempel<br />
⋆ Riemann betragtede funktionen<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑<br />
n=1<br />
sin ( n 2 x )<br />
⋆ Denne er ikke-differentiabel på en tæt delmængde M ⊂ R.<br />
⋆ Hankel (1870) udviklede metode til at “kondensere singulariteter”. H-<br />
vis f.x. φ : [−1, 1] → [−1, 1] har en singularitet i x = 0, så har<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑<br />
n=1<br />
uendelig mange singulariteter (i Q).<br />
n 2<br />
φ (sin nxπ)<br />
n s
Weierstrass’ Monster<br />
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑ b n cos (a n xπ) .<br />
n=0
Weierstrass’ Monster<br />
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række<br />
⋆ Hvis betingelserne<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑ b n cos (a n xπ) .<br />
n=0<br />
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.<br />
(WM)<br />
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget<br />
punkt x ∈ R.
Weierstrass’ Monster<br />
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række<br />
⋆ Hvis betingelserne<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑ b n cos (a n xπ) .<br />
n=0<br />
(WM)<br />
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.<br />
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget<br />
punkt x ∈ R.<br />
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:<br />
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.
Weierstrass’ Monster<br />
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑ b n cos (a n xπ) .<br />
n=0<br />
(WM)<br />
⋆ Hvis betingelserne<br />
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.<br />
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget<br />
punkt x ∈ R.<br />
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:<br />
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.<br />
2. I ethvert punkt x 0 kan konstrueres følger (x ′ m) og (x ′′ m), således<br />
at 1) x ′ m < x 0 < x ′′ m,
Weierstrass’ Monster<br />
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑ b n cos (a n xπ) .<br />
n=0<br />
(WM)<br />
⋆ Hvis betingelserne<br />
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.<br />
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget<br />
punkt x ∈ R.<br />
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:<br />
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.<br />
2. I ethvert punkt x 0 kan konstrueres følger (x ′ m) og (x ′′ m), således<br />
at 1) x ′ m < x 0 < x ′′ m, 2) lim x ′ m = lim x ′′ m = x 0 ,
Weierstrass’ Monster<br />
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række<br />
⋆ Hvis betingelserne<br />
f (x) =<br />
∞<br />
∑ b n cos (a n xπ) .<br />
n=0<br />
(WM)<br />
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.<br />
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget<br />
punkt x ∈ R.<br />
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:<br />
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.<br />
2. I ethvert punkt x 0 kan konstrueres følger (x ′ m) og (x ′′ m), således<br />
at 1) x ′ m < x 0 < x ′′ m, 2) lim x ′ m = lim x ′′ m = x 0 , og 3) f (x′ m)− f (x 0 )<br />
x ′ m−x 0
Weierstrass’ Monster<br />
og f (x′′ m)− f (x 0 )<br />
x m−x ′′ 0<br />
m → ∞).<br />
har forskelligt fortegn og er begge ubegrænsede (for
du Bois-Reymond og Monstret<br />
⋆ Paul du Bois-Reymonds klassifikation af funktioner (funktionsklasser)<br />
1875:<br />
⋄ Forudsætningsløse funktioner<br />
⋄ Integrable funktioner<br />
⋄ Kontinuerte funktioner<br />
⋄ Differentiable funktioner (og almindelige [gewöhnliche] funktioner)
du Bois-Reymond og Monstret<br />
⋆ Paul du Bois-Reymonds klassifikation af funktioner (funktionsklasser)<br />
1875:<br />
⋄ Forudsætningsløse funktioner<br />
⋄ Integrable funktioner<br />
⋄ Kontinuerte funktioner<br />
⋄ Differentiable funktioner (og almindelige [gewöhnliche] funktioner)<br />
⋄ Funktioner, som opfylder Dirichlets betingelse (kun endelig mange<br />
ekstrema i et interval)
Geometriske reaktioner på Monstret<br />
⋆ Christian Wiener (1826–1896) publicerede i C-<br />
relles Journal en artikel, i hvilken han underkastede<br />
Weierstrass’ funktion en “geometrisk og a-<br />
nalytisk undersøgelse”.<br />
⋆ Wiener vidste godt (nåede selv frem til), at kurven<br />
ikke kunne tegnes, men man kunne angive<br />
et mere eller mindre trangt rum i hvilket den måtte<br />
forløbe.<br />
Wieners figur
Geometriske reaktioner på Monstret<br />
⋆ Christian Wiener (1826–1896) publicerede i C-<br />
relles Journal en artikel, i hvilken han underkastede<br />
Weierstrass’ funktion en “geometrisk og a-<br />
nalytisk undersøgelse”.<br />
⋆ Wiener vidste godt (nåede selv frem til), at kurven<br />
ikke kunne tegnes, men man kunne angive<br />
et mere eller mindre trangt rum i hvilket den måtte<br />
forløbe.<br />
⋆ Alligevel er Wiener ikke tilfreds med det sidste<br />
skridt i Weierstrass’ bevis (især følgerne (x ′ ) og<br />
(x ′′ )). Senere uddybede Weierstrass dette skridt<br />
‘i lyset af kritik’.<br />
Wieners figur
Geometriske reaktioner på Monstret<br />
⋆ Christian Wiener (1826–1896) publicerede i C-<br />
relles Journal en artikel, i hvilken han underkastede<br />
Weierstrass’ funktion en “geometrisk og a-<br />
nalytisk undersøgelse”.<br />
⋆ Wiener vidste godt (nåede selv frem til), at kurven<br />
ikke kunne tegnes, men man kunne angive<br />
et mere eller mindre trangt rum i hvilket den måtte<br />
forløbe.<br />
⋆ Alligevel er Wiener ikke tilfreds med det sidste<br />
skridt i Weierstrass’ bevis (især følgerne (x ′ ) og<br />
(x ′′ )). Senere uddybede Weierstrass dette skridt<br />
‘i lyset af kritik’.<br />
Wieners figur<br />
⋆ Bolzanos geometriske konstruktion.
Intuitionsbaserede reaktioner<br />
⋆ “Jeg bemærker udtrykkeligt at det ikke er på grund af en for stor sammensathed,<br />
at man ikke kan forestille sig den (WM), men i stedet af<br />
principielle grunde ligesom det uendelige, de uendeligt små størrelser<br />
og fjernvirkningen” (du Bois-Reymond, 1882)
Intuitionsbaserede reaktioner<br />
⋆ “Jeg bemærker udtrykkeligt at det ikke er på grund af en for stor sammensathed,<br />
at man ikke kan forestille sig den (WM), men i stedet af<br />
principielle grunde ligesom det uendelige, de uendeligt små størrelser<br />
og fjernvirkningen” (du Bois-Reymond, 1882)<br />
⋆ “Når man førhen indførte en ny funktion, så skete det med blikket rettet<br />
mod et eller andet praktisk formål; i dag indfører man dem eksplicit for<br />
at finde fejl i vore forfædres overvejelser, og det er den eneste gevinst<br />
man får <strong>fra</strong> dem” (Poincaré 1889)
Intuitionsbaserede reaktioner<br />
⋆ “Jeg bemærker udtrykkeligt at det ikke er på grund af en for stor sammensathed,<br />
at man ikke kan forestille sig den (WM), men i stedet af<br />
principielle grunde ligesom det uendelige, de uendeligt små størrelser<br />
og fjernvirkningen” (du Bois-Reymond, 1882)<br />
⋆ “Når man førhen indførte en ny funktion, så skete det med blikket rettet<br />
mod et eller andet praktisk formål; i dag indfører man dem eksplicit for<br />
at finde fejl i vore forfædres overvejelser, og det er den eneste gevinst<br />
man får <strong>fra</strong> dem” (Poincaré 1889)<br />
⋆ “Men denne elegante udledning/udvikling er pålagt en forbandelse.<br />
Analysen tager med den ene hånd hvad den anden giver. Jeg vender<br />
mig med afsky og rædsel <strong>fra</strong> denne sørgelige plage af kontinuerte<br />
funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)
Flade-udfyldende kurver<br />
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).
Flade-udfyldende kurver<br />
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).<br />
⋆ Netto (1879): Cantors bijektion er nødvendigvis diskontinuert.
Flade-udfyldende kurver<br />
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).<br />
⋆ Netto (1879): Cantors bijektion er nødvendigvis diskontinuert.<br />
⋆ Peano (1890) og Hilbert (1891): Der findes en kontinuert, surjektiv<br />
afbildning [0, 1] → [0, 1] 2
Flade-udfyldende kurver<br />
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).<br />
⋆ Netto (1879): Cantors bijektion er nødvendigvis diskontinuert.<br />
⋆ Peano (1890) og Hilbert (1891): Der findes en kontinuert, surjektiv<br />
afbildning [0, 1] → [0, 1] 2<br />
⋆ Peanos konstruktion involverede en operator k : {0, 1, 2} → {0, 1, 2}<br />
defineret ved k0 = 2, k1 = 1, k2 = 0. Peano lod endvidere k n betegne<br />
den n’te iteration af k. Han opskrev T ∈ [0, 1] i base-3 (ternært) T =<br />
0.a 1 a 2 a 3 . . . og definerede<br />
Φ p (T) = (0.a 1 (k a 2<br />
a 3 )(k a 2+a 4<br />
a 5 ) . . . , 0.(k a 1<br />
a 2 )(k a 1+a 3<br />
a 4 ) . . . )<br />
Med denne definition er Φ p både surjektiv og kontinuert (hvilket Peano<br />
beviste).
Sammenfatning<br />
⋆ Modeksempler i forskellige roller
Sammenfatning<br />
⋆ Modeksempler i forskellige roller<br />
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk
Sammenfatning<br />
⋆ Modeksempler i forskellige roller<br />
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk<br />
⋆ Forholdet mellem kurver og funktioner problematiseret (og klarlagt)
Sammenfatning<br />
⋆ Modeksempler i forskellige roller<br />
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk<br />
⋆ Forholdet mellem kurver og funktioner problematiseret (og klarlagt)<br />
⋆ Patologiske funktioner som afspejliger af og drivkræfter bag funktionsbegrebets<br />
(og afledte begrebers) udvikling.
Sammenfatning<br />
⋆ Modeksempler i forskellige roller<br />
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk<br />
⋆ Forholdet mellem kurver og funktioner problematiseret (og klarlagt)<br />
⋆ Patologiske funktioner som afspejliger af og drivkræfter bag funktionsbegrebets<br />
(og afledte begrebers) udvikling.<br />
⋆ Dini (1877): bevisanalyse (af WM) og nye begreber<br />
⋆ Brownske bevægelser og dimensionsbegreb (og <strong>fra</strong>ktaler)