Slides fra session 1: En tur i Rædselskabinettet (PDF)

Patologiske eksemplers betydning for
funktionsbegrebets udvikling I:
Rædselskabinettet
HENRIK KRAGH SØRENSEN
Cand. scient., ph.d.
Institut for Videnskabshistorie
Aarhus Universitet
ivhhks@ivh.au.dk
www.henrikkragh.dk
LMFK-kurset “Funktionsbegrebet mellem stringens og anvendelse” — Liselund, Slagelse, 11. til 13. november 2002.Q

Dagens program
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger

Dagens program
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger
⋄ Patologisk eksempel, modeksempel og normal-eksempel
⋄ Paradigmer og intuition
⋄ Lakatos
⋄ Rekonstruktion

Dagens program
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger
⋄ Patologisk eksempel, modeksempel og normal-eksempel
⋄ Paradigmer og intuition
⋄ Lakatos
⋄ Rekonstruktion
⋆ En tur i Rædselskabinettet
⋆ Opsummering

Dagens program
⋆ Introduktion, terminologi, problemstillinger
⋄ Patologisk eksempel, modeksempel og normal-eksempel
⋄ Paradigmer og intuition
⋄ Lakatos
⋄ Rekonstruktion
⋆ En tur i Rædselskabinettet
⋆ Opsummering
⋆ Frokost
⋆ Legestue
⋆ Sammenfatning, analyse og konklusion

En tur i Rædselskabinettet
⋆ “Jeg vender mig med afsky og rædsel fra denne sørgelige plage af
kontinuerte funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)
⋆ Leif Mejlbro: “Mit Rædselskabinet”

En tur i Rædselskabinettet
⋆ “Jeg vender mig med afsky og rædsel fra denne sørgelige plage af
kontinuerte funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)
⋆ Leif Mejlbro: “Mit Rædselskabinet”
⋆ Ingen (moderne) sætning er forstået, før man forstår dens forudsætninger,
dens argumentation og dens konklusion.

En tur i Rædselskabinettet
⋆ “Jeg vender mig med afsky og rædsel fra denne sørgelige plage af
kontinuerte funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)
⋆ Leif Mejlbro: “Mit Rædselskabinet”
⋆ Ingen (moderne) sætning er forstået, før man forstår dens forudsætninger,
dens argumentation og dens konklusion.
⋆ Moderne (nutidig) model/ideal:
⋄ DSB (definition–sætning–bevis)
⋄ Sætning: Antagelse, antagelse, antagelse. Så gælder: . . .

Fire anvendte modeksempler i 1820erne
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =
{ (
exp −x
−2 ) , x ̸= 0
0, x = 0

Fire anvendte modeksempler i 1820erne
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =
{ (
exp −x
−2 ) , x ̸= 0
0, x = 0
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset fra x = 0)
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler

Fire anvendte modeksempler i 1820erne
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =
{ (
exp −x
−2 ) , x ̸= 0
0, x = 0
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset fra x = 0)
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1
(−1) n−1 sin nx
n

Fire anvendte modeksempler i 1820erne
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =
{ (
exp −x
−2 ) , x ̸= 0
0, x = 0
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset fra x = 0)
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler
(−1) n−1 sin nx
n
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert
⋆ f (x) =
2 x for x ∈ (−π, π)
⋆ En sætning med (mange) undtagelser

Fire anvendte modeksempler i 1820erne
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =
{ (
exp −x
−2 ) , x ̸= 0
0, x = 0
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset fra x = 0)
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler
(−1) n−1 sin nx
n
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert
⋆ f (x) =
2 x for x ∈ (−π, π)
⋆ En sætning med (mange) undtagelser
3. Abel 1828: ∑ ∞ n=2
1
n log n og ∑ ∞ n=1 a n
s n

Fire anvendte modeksempler i 1820erne
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =
{ (
exp −x
−2 ) , x ̸= 0
0, x = 0
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset fra x = 0)
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler
(−1) n−1 sin nx
n
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert
⋆ f (x) =
2 x for x ∈ (−π, π)
⋆ En sætning med (mange) undtagelser
3. Abel 1828: ∑ ∞ 1
n=2 n log n og ∑ ∞ n=1 a n
s n
⋆ Reaktion på Oliviers kriterium: ∑ a n konvergent ⇔ lim na n = 0.

Fire anvendte modeksempler i 1820erne
1. Cauchy 1822/1829: f (x) =
{ (
exp −x
−2 ) , x ̸= 0
0, x = 0
⋆ Maclaurin-række repræsenterer ikke funktionen (bortset fra x = 0)
⋆ Uendelig mange tilsvarende eksempler
(−1) n−1 sin nx
n
2. Abel 1826: f (x) = ∑ ∞ n=1
⋆ Cauchy: Konvergent sum af kontinuerte funktioner er kontinuert
⋆ f (x) =
2 x for x ∈ (−π, π)
⋆ En sætning med (mange) undtagelser
3. Abel 1828: ∑ ∞ 1
n=2 n log n og ∑ ∞ n=1 a n
s n
⋆ Reaktion på Oliviers kriterium: ∑ a n konvergent ⇔ lim na n = 0.
{ c, x ∈ Q
4. Dirichlet 1829: f (x) =
d, x ∈ R Q

En naiv, underforstået definition
⋆ Analyse går fra at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)

En naiv, underforstået definition
⋆ Analyse går fra at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)
⋆ Implicit forståelse: “Grafen for en kontinuert kurve kan opfattes som
en uendeligt tynd streg, der tegnes uden at løfte blyanten fra papiret”

En naiv, underforstået definition
⋆ Analyse går fra at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)
⋆ Implicit forståelse: “Grafen for en kontinuert kurve kan opfattes som
en uendeligt tynd streg, der tegnes uden at løfte blyanten fra papiret”
⋆ Forbindelsen mellem funktioner og kurver

En naiv, underforstået definition
⋆ Analyse går fra at handle om kurver (geometriske objekter) til at handle
om funktioner (algebraiske objekter) (Euler 1747)
⋆ Implicit forståelse: “Grafen for en kontinuert kurve kan opfattes som
en uendeligt tynd streg, der tegnes uden at løfte blyanten fra papiret”
⋆ Forbindelsen mellem funktioner og kurver
⋆ Kontinuitet og differentiabilitet
⋆ Fladeudfyldende kurver

Kontinuert — men ikke-differentiabel
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”

Kontinuert — men ikke-differentiabel
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”
⋆ Et resultat tilskrevet Ampère (1806):
⋄ “Enhver kontinuert funktion er differentiabel (næsten overalt)”
⋄ Hankel 1870: “Det mig bekendt eneste forsøg — af Ampère — på
at bevise eksistensen af en differentialkvotient a priori for alle funktioner,
er helt mislykket” (også Pringsheim 1899)

Kontinuert — men ikke-differentiabel
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”
⋆ Et resultat tilskrevet Ampère (1806):
⋄ “Enhver kontinuert funktion er differentiabel (næsten overalt)”
⋄ Hankel 1870: “Det mig bekendt eneste forsøg — af Ampère — på
at bevise eksistensen af en differentialkvotient a priori for alle funktioner,
er helt mislykket” (også Pringsheim 1899)
⋆ Fra “ikke-differentiabel” til “intetsteds differentiabel”

Kontinuert — men ikke-differentiabel
⋆ Begreberne “kontinuert” og “differentiabel” i starten 1800
⋄ Euler-kontinuitet: Samme analytiske udtryk overalt
⋄ Differentiabilitet ikke et begreb før Cauchy 1829
⋄ Selv Cauchy: “Lad f være kontinuert . . . Betragt f ′ . . . ”
⋄ Bevidst om “enkelte” singulariteter — argumenterede “generelt”
⋆ Et resultat tilskrevet Ampère (1806):
⋄ “Enhver kontinuert funktion er differentiabel (næsten overalt)”
⋄ Hankel 1870: “Det mig bekendt eneste forsøg — af Ampère — på
at bevise eksistensen af en differentialkvotient a priori for alle funktioner,
er helt mislykket” (også Pringsheim 1899)
⋆ Fra “ikke-differentiabel” til “intetsteds differentiabel”
⋆ Weierstrass’ Monster
⋆ Reaktioner og patologi-begrebet

Riemanns Eksempel
⋆ Riemann betragtede funktionen
f (x) =
∞
∑
n=1
sin ( n 2 x )
n 2

Riemanns Eksempel
⋆ Riemann betragtede funktionen
f (x) =
∞
∑
n=1
sin ( n 2 x )
⋆ Denne er ikke-differentiabel på en tæt delmængde M ⊂ R.
n 2

Riemanns Eksempel
⋆ Riemann betragtede funktionen
f (x) =
∞
∑
n=1
sin ( n 2 x )
⋆ Denne er ikke-differentiabel på en tæt delmængde M ⊂ R.
⋆ Hankel (1870) udviklede metode til at “kondensere singulariteter”. H-
vis f.x. φ : [−1, 1] → [−1, 1] har en singularitet i x = 0, så har
f (x) =
∞
∑
n=1
uendelig mange singulariteter (i Q).
n 2
φ (sin nxπ)
n s

Weierstrass’ Monster
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række
f (x) =
∞
∑ b n cos (a n xπ) .
n=0

Weierstrass’ Monster
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række
⋆ Hvis betingelserne
f (x) =
∞
∑ b n cos (a n xπ) .
n=0
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.
(WM)
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget
punkt x ∈ R.

Weierstrass’ Monster
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række
⋆ Hvis betingelserne
f (x) =
∞
∑ b n cos (a n xπ) .
n=0
(WM)
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget
punkt x ∈ R.
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.

Weierstrass’ Monster
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række
f (x) =
∞
∑ b n cos (a n xπ) .
n=0
(WM)
⋆ Hvis betingelserne
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget
punkt x ∈ R.
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.
2. I ethvert punkt x 0 kan konstrueres følger (x ′ m) og (x ′′ m), således
at 1) x ′ m < x 0 < x ′′ m,

Weierstrass’ Monster
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række
f (x) =
∞
∑ b n cos (a n xπ) .
n=0
(WM)
⋆ Hvis betingelserne
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget
punkt x ∈ R.
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.
2. I ethvert punkt x 0 kan konstrueres følger (x ′ m) og (x ′′ m), således
at 1) x ′ m < x 0 < x ′′ m, 2) lim x ′ m = lim x ′′ m = x 0 ,

Weierstrass’ Monster
⋆ Weierstrass’ Monster (1872) er en uendelig række
⋆ Hvis betingelserne
f (x) =
∞
∑ b n cos (a n xπ) .
n=0
(WM)
a ulige, b ∈ ]0, 1[ og ab > 1 + 3 2 π.
er opfyldte, er f kontinuerte overalt, men ikke differentiabel i noget
punkt x ∈ R.
⋆ Weierstrass’ bevis er forholdvist direkte:
1. Rækken er uniformt konvergent, så summen er kontinuert.
2. I ethvert punkt x 0 kan konstrueres følger (x ′ m) og (x ′′ m), således
at 1) x ′ m < x 0 < x ′′ m, 2) lim x ′ m = lim x ′′ m = x 0 , og 3) f (x′ m)− f (x 0 )
x ′ m−x 0

Weierstrass’ Monster
og f (x′′ m)− f (x 0 )
x m−x ′′ 0
m → ∞).
har forskelligt fortegn og er begge ubegrænsede (for

du Bois-Reymond og Monstret
⋆ Paul du Bois-Reymonds klassifikation af funktioner (funktionsklasser)
1875:
⋄ Forudsætningsløse funktioner
⋄ Integrable funktioner
⋄ Kontinuerte funktioner
⋄ Differentiable funktioner (og almindelige [gewöhnliche] funktioner)

du Bois-Reymond og Monstret
⋆ Paul du Bois-Reymonds klassifikation af funktioner (funktionsklasser)
1875:
⋄ Forudsætningsløse funktioner
⋄ Integrable funktioner
⋄ Kontinuerte funktioner
⋄ Differentiable funktioner (og almindelige [gewöhnliche] funktioner)
⋄ Funktioner, som opfylder Dirichlets betingelse (kun endelig mange
ekstrema i et interval)

Geometriske reaktioner på Monstret
⋆ Christian Wiener (1826–1896) publicerede i C-
relles Journal en artikel, i hvilken han underkastede
Weierstrass’ funktion en “geometrisk og a-
nalytisk undersøgelse”.
⋆ Wiener vidste godt (nåede selv frem til), at kurven
ikke kunne tegnes, men man kunne angive
et mere eller mindre trangt rum i hvilket den måtte
forløbe.
Wieners figur

Geometriske reaktioner på Monstret
⋆ Christian Wiener (1826–1896) publicerede i C-
relles Journal en artikel, i hvilken han underkastede
Weierstrass’ funktion en “geometrisk og a-
nalytisk undersøgelse”.
⋆ Wiener vidste godt (nåede selv frem til), at kurven
ikke kunne tegnes, men man kunne angive
et mere eller mindre trangt rum i hvilket den måtte
forløbe.
⋆ Alligevel er Wiener ikke tilfreds med det sidste
skridt i Weierstrass’ bevis (især følgerne (x ′ ) og
(x ′′ )). Senere uddybede Weierstrass dette skridt
‘i lyset af kritik’.
Wieners figur

Geometriske reaktioner på Monstret
⋆ Christian Wiener (1826–1896) publicerede i C-
relles Journal en artikel, i hvilken han underkastede
Weierstrass’ funktion en “geometrisk og a-
nalytisk undersøgelse”.
⋆ Wiener vidste godt (nåede selv frem til), at kurven
ikke kunne tegnes, men man kunne angive
et mere eller mindre trangt rum i hvilket den måtte
forløbe.
⋆ Alligevel er Wiener ikke tilfreds med det sidste
skridt i Weierstrass’ bevis (især følgerne (x ′ ) og
(x ′′ )). Senere uddybede Weierstrass dette skridt
‘i lyset af kritik’.
Wieners figur
⋆ Bolzanos geometriske konstruktion.

Intuitionsbaserede reaktioner
⋆ “Jeg bemærker udtrykkeligt at det ikke er på grund af en for stor sammensathed,
at man ikke kan forestille sig den (WM), men i stedet af
principielle grunde ligesom det uendelige, de uendeligt små størrelser
og fjernvirkningen” (du Bois-Reymond, 1882)

Intuitionsbaserede reaktioner
⋆ “Jeg bemærker udtrykkeligt at det ikke er på grund af en for stor sammensathed,
at man ikke kan forestille sig den (WM), men i stedet af
principielle grunde ligesom det uendelige, de uendeligt små størrelser
og fjernvirkningen” (du Bois-Reymond, 1882)
⋆ “Når man førhen indførte en ny funktion, så skete det med blikket rettet
mod et eller andet praktisk formål; i dag indfører man dem eksplicit for
at finde fejl i vore forfædres overvejelser, og det er den eneste gevinst
man får fra dem” (Poincaré 1889)

Intuitionsbaserede reaktioner
⋆ “Jeg bemærker udtrykkeligt at det ikke er på grund af en for stor sammensathed,
at man ikke kan forestille sig den (WM), men i stedet af
principielle grunde ligesom det uendelige, de uendeligt små størrelser
og fjernvirkningen” (du Bois-Reymond, 1882)
⋆ “Når man førhen indførte en ny funktion, så skete det med blikket rettet
mod et eller andet praktisk formål; i dag indfører man dem eksplicit for
at finde fejl i vore forfædres overvejelser, og det er den eneste gevinst
man får fra dem” (Poincaré 1889)
⋆ “Men denne elegante udledning/udvikling er pålagt en forbandelse.
Analysen tager med den ene hånd hvad den anden giver. Jeg vender
mig med afsky og rædsel fra denne sørgelige plage af kontinuerte
funktioner uden en afledet” (Hermite til Stieltjes 1893)

Flade-udfyldende kurver
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).

Flade-udfyldende kurver
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).
⋆ Netto (1879): Cantors bijektion er nødvendigvis diskontinuert.

Flade-udfyldende kurver
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).
⋆ Netto (1879): Cantors bijektion er nødvendigvis diskontinuert.
⋆ Peano (1890) og Hilbert (1891): Der findes en kontinuert, surjektiv
afbildning [0, 1] → [0, 1] 2

Flade-udfyldende kurver
⋆ Cantor (1878): [0, 1] og [0, 1] 2 har samme kardinalitet (bijektiv korrespondance).
⋆ Netto (1879): Cantors bijektion er nødvendigvis diskontinuert.
⋆ Peano (1890) og Hilbert (1891): Der findes en kontinuert, surjektiv
afbildning [0, 1] → [0, 1] 2
⋆ Peanos konstruktion involverede en operator k : {0, 1, 2} → {0, 1, 2}
defineret ved k0 = 2, k1 = 1, k2 = 0. Peano lod endvidere k n betegne
den n’te iteration af k. Han opskrev T ∈ [0, 1] i base-3 (ternært) T =
0.a 1 a 2 a 3 . . . og definerede
Φ p (T) = (0.a 1 (k a 2
a 3 )(k a 2+a 4
a 5 ) . . . , 0.(k a 1
a 2 )(k a 1+a 3
a 4 ) . . . )
Med denne definition er Φ p både surjektiv og kontinuert (hvilket Peano
beviste).

Sammenfatning
⋆ Modeksempler i forskellige roller

Sammenfatning
⋆ Modeksempler i forskellige roller
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk

Sammenfatning
⋆ Modeksempler i forskellige roller
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk
⋆ Forholdet mellem kurver og funktioner problematiseret (og klarlagt)

Sammenfatning
⋆ Modeksempler i forskellige roller
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk
⋆ Forholdet mellem kurver og funktioner problematiseret (og klarlagt)
⋆ Patologiske funktioner som afspejliger af og drivkræfter bag funktionsbegrebets
(og afledte begrebers) udvikling.

Sammenfatning
⋆ Modeksempler i forskellige roller
⋆ Intuitioner: algebraisk, numerisk og geometrisk
⋆ Forholdet mellem kurver og funktioner problematiseret (og klarlagt)
⋆ Patologiske funktioner som afspejliger af og drivkræfter bag funktionsbegrebets
(og afledte begrebers) udvikling.
⋆ Dini (1877): bevisanalyse (af WM) og nye begreber
⋆ Brownske bevægelser og dimensionsbegreb (og fraktaler)