Geometrien af en scroll-kompressor Fra et konkret problem til ...
Geometrien af en scroll-kompressor Fra et konkret problem til ...
Geometrien af en scroll-kompressor Fra et konkret problem til ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Geom<strong>et</strong>ri<strong>en</strong></strong> <strong>af</strong> <strong>en</strong> <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong><br />
<strong>Fra</strong> <strong>et</strong> konkr<strong>et</strong> <strong>problem</strong> <strong>til</strong> abstrakt matematik<br />
J<strong>en</strong>s Graves<strong>en</strong> and Christian H<strong>en</strong>riks<strong>en</strong><br />
10. februar 1999<br />
Abstract<br />
Med udgangspunkt i <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong>, <strong>en</strong> opfindelse fra 1905,<br />
g<strong>en</strong>nemgås <strong>en</strong> stor del <strong>af</strong> teori<strong>en</strong> for plane kurver. Begreberne <strong>af</strong>vikler,<br />
evolut, indhyllingskurve og især d<strong>en</strong> naturlige ligning viser sig at have<br />
<strong>af</strong>gør<strong>en</strong>de b<strong>et</strong>ydning for analys<strong>en</strong> <strong>af</strong> <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong>. Med d<strong>en</strong><br />
naturlige ligning som fundam<strong>en</strong>t kan alle geom<strong>et</strong>risk forhold vedrør<strong>en</strong>de<br />
<strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong> udregnes eksakt og ud<strong>en</strong> besvær.<br />
1 Indledning<br />
I dag<strong>en</strong>e 31. august – 4. september <strong>af</strong>holdtes d<strong>en</strong> succesrige ‘32nd European<br />
Study Group with Industry’ 1 på Institut for Matematik, Danmarks Tekniske<br />
Universit<strong>et</strong>. En ‘study group’ er <strong>en</strong> workshop, hvor grupper <strong>af</strong> matematikere<br />
samm<strong>en</strong> med repræs<strong>en</strong>tanter for virksomheder arbejder med <strong>en</strong> opgave fra<br />
virksomhed<strong>en</strong>. D<strong>en</strong>ne type møder stammer fra England, hvor nu <strong>af</strong>døde<br />
Alan Tayler i 1968 startede ‘Oxford Study Group with Industry’. I 1988<br />
<strong>af</strong>holdes de for første gang ud<strong>en</strong> for Oxford, og er sid<strong>en</strong> blev<strong>et</strong> holdt årligt<br />
ved forskellige universit<strong>et</strong>er i Storbritanni<strong>en</strong>. Sideløb<strong>en</strong>de hermed blev der<br />
i 80’erne start<strong>et</strong> ‘study groups’ i USA, Australi<strong>en</strong>, Mexico og Canada. De<br />
britiske møder skiftede i 1991 navn <strong>til</strong> ‘European Study Group with Industry’<br />
(ESGI); m<strong>en</strong> d<strong>et</strong> var først i 1998 <strong>en</strong> ESGI blev <strong>af</strong>holdt ud<strong>en</strong>for Storbritanni<strong>en</strong>,<br />
nemlig d<strong>en</strong> 32’te i Danmark og ug<strong>en</strong> efter d<strong>en</strong> 33’te i Holland på Leid<strong>en</strong><br />
Universit<strong>et</strong>.<br />
Ved ov<strong>en</strong>nævnte første danske ESGI deltog 6 virksomheder og ca. 45<br />
danske og ud<strong>en</strong>landske matematikere. Samtlige <strong>problem</strong>er og de <strong>til</strong>hør<strong>en</strong>de<br />
1 Mød<strong>et</strong> blev støtt<strong>et</strong> <strong>af</strong> COWI-fond<strong>en</strong> og Carlsberg Mindelegat. Nærmere oplysninger<br />
kan findes på n<strong>et</strong>-adress<strong>en</strong> http://www.mat.dtu.dk/ESGI32/<br />
1
løsningsforslag findes i rapport<strong>en</strong> fra mød<strong>et</strong> [4]. Nogle <strong>af</strong> de største danske<br />
virksomhederne deltog, deriblandt Danfoss, hvorfra Stig Helmer Jørg<strong>en</strong>s<strong>en</strong><br />
præs<strong>en</strong>terede <strong>et</strong> <strong>problem</strong> vedrør<strong>en</strong>de optimering <strong>af</strong> <strong>en</strong> <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong>.<br />
Figur 1: D<strong>en</strong> klassiske <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong>. Spiralerne er id<strong>en</strong>tiske cirkel<strong>af</strong>viklere,<br />
blot drej<strong>et</strong> 180 ◦ i forhold <strong>til</strong> hinand<strong>en</strong>. For at spiralerne kan ses, har vi ikke vist<br />
bund<strong>en</strong> og låg<strong>et</strong>, som er fastgjort <strong>til</strong> h<strong>en</strong>holdsvis d<strong>en</strong> lyse og d<strong>en</strong> mørke spiral.<br />
Scroll-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong> blev opfund<strong>et</strong> <strong>af</strong> Léon Creux i 1905, se [1] og figur 2,<br />
og består <strong>af</strong> to spiraler der bevæger sig ind<strong>en</strong> i hinand<strong>en</strong>, se figur 1. I d<strong>et</strong> klassiske<br />
design er spiralerne id<strong>en</strong>tiske cirkel<strong>af</strong>viklere, der er drej<strong>et</strong> 180 ◦ i forhold<br />
<strong>til</strong> hinand<strong>en</strong>. Principp<strong>et</strong> i virkemåd<strong>en</strong> kan ses i figur 3, hvor vi dog for overskuelighed<strong>en</strong>s<br />
skyld kun har to vindinger i modsætning <strong>til</strong> de sædvanlige tre.<br />
Uheldigvis kunne man i 1905 ikke frems<strong>til</strong>le spiralerne med <strong>til</strong>strækkelig stor<br />
præsision <strong>til</strong> at forhindre lækager, så opfindels<strong>en</strong> blev glemt. Sidst i 70’erne<br />
blev interess<strong>en</strong> g<strong>en</strong>opliv<strong>et</strong>, se [7], og i start<strong>en</strong> <strong>af</strong> 80’erne startede produktion<br />
i form <strong>af</strong> pilot-projekter. Industriel frems<strong>til</strong>ling i fuld skala påbegyndtes i<br />
start<strong>en</strong> <strong>af</strong> 90’erne, og nu gøres der udstrakt brug <strong>af</strong> dem i aircondition anlæg.<br />
Scroll-<strong>kompressor</strong>er har mange fordele, f.eks. er der ing<strong>en</strong> v<strong>en</strong><strong>til</strong>er og i<br />
d<strong>et</strong> hele tag<strong>et</strong> er der kun <strong>et</strong> minimum <strong>af</strong> bevægelige dele. Desud<strong>en</strong> er de<br />
mekaniske ubalancer langt mindre <strong>en</strong>d i <strong>en</strong> stempel-<strong>kompressor</strong>, og støjnivau<strong>et</strong><br />
er også mindre. Der er også ulemper. I modsætning <strong>til</strong> stempel-<strong>kompressor</strong>er<br />
kan man ikke bruge stempelringe <strong>til</strong> tætning, så for at undgå lækager er d<strong>et</strong><br />
nødv<strong>en</strong>digt med <strong>en</strong> langt større præcision ved frems<strong>til</strong>ling<strong>en</strong>. D<strong>en</strong> største<br />
ulempe er d<strong>en</strong> forholdvis lave kompression, der for øjeblikk<strong>et</strong> kan opnås<br />
med disse <strong>kompressor</strong>er. Nutid<strong>en</strong>s <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong> giver <strong>en</strong> kompression<br />
på omkring 2,5, hvilk<strong>et</strong> er <strong>til</strong>strækkelig <strong>til</strong> aircondition; m<strong>en</strong> for lavt <strong>til</strong> køleeller<br />
fryse-brug. Opgav<strong>en</strong> fra Danfoss gik ud på at undersøge, om <strong>en</strong> ændring<br />
<strong>af</strong> spiralernes form kan forbedre <strong>kompressor</strong><strong>en</strong>s virkning. D<strong>et</strong> <strong>en</strong>delige mål<br />
er selvsagt at finde d<strong>en</strong> bedste <strong>kompressor</strong>-spiral.<br />
2
Figur 2: Sider fra Léon Creux’s pat<strong>en</strong>t fra 1905.<br />
3
Figur 3: Scroll-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong>s virkemåde: M<strong>en</strong>s d<strong>en</strong> hvide spiral er holdt fast,<br />
bevæger d<strong>en</strong> grå spiral sig med ur<strong>et</strong> rundt i <strong>en</strong> cirkel, ud<strong>en</strong> selv at dreje. Derved<br />
tvinges luft<strong>en</strong>, der er fang<strong>et</strong> i lommerne mellem de to spiraler, ind mod c<strong>en</strong>trum,<br />
og da de inderste lommer er mindre <strong>en</strong>d de yderste, opnås <strong>en</strong> kompression. Luft<strong>en</strong><br />
bliver sug<strong>et</strong> ind fra kant<strong>en</strong> <strong>af</strong> <strong>kompressor</strong><strong>en</strong>, og d<strong>en</strong> komprimerede gas undslipper<br />
g<strong>en</strong>nem <strong>et</strong> hul i midt<strong>en</strong> <strong>af</strong> <strong>kompressor</strong><strong>en</strong>.<br />
4
Under arbejd<strong>et</strong> med at analysere <strong>kompressor</strong><strong>en</strong>s geom<strong>et</strong>ri fik vi brug for<br />
store dele <strong>af</strong> d<strong>en</strong> klassiske teori for plane kurver, og d<strong>et</strong> var især <strong>en</strong> overraskelse,<br />
at d<strong>en</strong> naturlige ligning viste sig at være nøgl<strong>en</strong> <strong>til</strong> forståels<strong>en</strong> <strong>af</strong><br />
<strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong>s geom<strong>et</strong>ri. Med udgangspunkt i d<strong>en</strong> naturlige ligning<br />
kan alle geom<strong>et</strong>riske størrelser udregnes eksakt og ud<strong>en</strong> besvær.<br />
D<strong>et</strong> er d<strong>en</strong>ne artikels formål at demonstrere d<strong>et</strong>te; m<strong>en</strong> vi tager dog d<strong>et</strong><br />
modsatte synspunkt – vi tager udgangspunkt i <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong>, og bruger<br />
analys<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong>ne <strong>til</strong> at g<strong>en</strong>nemgå de plane kurvers teori.<br />
Ind<strong>en</strong> vi starter bør vi nævne, at der også blev arbejd<strong>et</strong> med d<strong>en</strong> hydrodynamiske<br />
modellering <strong>af</strong> <strong>kompressor</strong><strong>en</strong>. D<strong>et</strong> aspekt vil vi ikke komme<br />
ind på her; m<strong>en</strong> blot h<strong>en</strong>vise <strong>til</strong> d<strong>en</strong> <strong>en</strong>delige rapport [3]. Vi vil her gerne<br />
takke Stig Helmer Jørg<strong>en</strong>s<strong>en</strong> for at vække vores interesse i <strong>problem</strong><strong>et</strong>. Vi vil<br />
også gerne takke de andre deltagere ved ESGI32, specielt P<strong>et</strong>er Howell, for<br />
mange nyttige diskussioner. Endelig vil vi gerne takke vores kollegaer Vagn<br />
Lundgaard Hans<strong>en</strong>, Poul Hjorth og Ste<strong>en</strong> Markvors<strong>en</strong> for kritisk g<strong>en</strong>nemlæsning<br />
<strong>af</strong> udkast <strong>til</strong> artikl<strong>en</strong> og mange nyttige komm<strong>en</strong>tarer.<br />
2 D<strong>en</strong> klassiske <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong> og cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong><br />
t x (θ)<br />
x(θ)<br />
s = θ<br />
Som allerede nævnt er spiralerne i d<strong>en</strong> klassiske <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong> cirkel<strong>af</strong>viklere.<br />
Vi skal først gøre os klart at vi ikke blot har to, m<strong>en</strong> fire kurver,<br />
nemlig de fire sider <strong>af</strong> de to spiraler. Hvordan <strong>en</strong> cirkel<strong>af</strong>vikler frems<strong>til</strong>les<br />
er illustrer<strong>et</strong> i figur 4. Tag <strong>en</strong> snor og vind d<strong>en</strong> stramt rundt om <strong>en</strong> konx(0)<br />
y(θ)<br />
Figur 4: Cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>. Til v<strong>en</strong>stre <strong>en</strong> skitse <strong>af</strong> hvordan <strong>en</strong> cirkel<strong>af</strong>vikler kan<br />
frems<strong>til</strong>les ved hjælp <strong>af</strong> <strong>en</strong> snor og <strong>en</strong> konservesdåse, <strong>til</strong> højre <strong>en</strong> illustration <strong>af</strong> d<strong>en</strong><br />
matematiske definition.<br />
servesdåse, id<strong>et</strong> d<strong>en</strong> <strong>en</strong>e <strong>en</strong>de <strong>af</strong> snor<strong>en</strong> holdes fast mod dås<strong>en</strong>. Bind d<strong>en</strong><br />
5
and<strong>en</strong> <strong>en</strong>de <strong>af</strong> snor<strong>en</strong> om <strong>en</strong> blyant og vikl snor<strong>en</strong> langsomt <strong>af</strong>, id<strong>et</strong> snor<strong>en</strong><br />
hele tid<strong>en</strong> holdes stramt. D<strong>en</strong> resulter<strong>en</strong>de kurve som derved tegnes <strong>af</strong> blyant<strong>en</strong><br />
er cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>. Hvis man binder to blyanter fast fås to cirkel<strong>af</strong>viklere<br />
og <strong>af</strong>stand<strong>en</strong> mellem de to kurver er konstant lig <strong>af</strong>stand<strong>en</strong> mellem de to<br />
blyanter, d.v.s. vi har to parallelle kurver. Punkt<strong>et</strong> hvor snor<strong>en</strong> slipper<br />
dås<strong>en</strong> bevæger sig rundt om dås<strong>en</strong>, og d<strong>en</strong> stramme snor tangerer dås<strong>en</strong>.<br />
Da d<strong>et</strong> lige stykke snor tidligere lå langs med cirkl<strong>en</strong> (dås<strong>en</strong>) er længd<strong>en</strong> <strong>af</strong><br />
d<strong>et</strong>te stykke lig med buelængd<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> <strong>til</strong>svar<strong>en</strong>de (stiplede) bue på cirkl<strong>en</strong>.<br />
D<strong>en</strong> grå <strong>af</strong>vikler i figur 4 fås ved at gå lidt længere ud langs snor<strong>en</strong>, d<strong>et</strong><br />
svarer <strong>til</strong> at vi starter <strong>af</strong>vikler<strong>en</strong> <strong>et</strong> and<strong>et</strong> sted på cirkl<strong>en</strong>, så ved <strong>en</strong> drejning<br />
omkring cirkl<strong>en</strong>s c<strong>en</strong>trum kan vi føre d<strong>en</strong> sorte <strong>af</strong>vikler over i d<strong>en</strong> grå.<br />
Matematisk s<strong>et</strong> har vi altså <strong>et</strong> punkt der bevæger sig rundt på <strong>en</strong> cirkel:<br />
x(θ) = (cosθ, sin θ).<br />
Da vi har valgt radius i cirkl<strong>en</strong> <strong>til</strong> 1 er param<strong>et</strong>er<strong>en</strong> θ lig med buelængd<strong>en</strong><br />
s på cirkl<strong>en</strong>. Vi g<strong>en</strong>nemløber altså cirkl<strong>en</strong> med konstant fart 1. (Hvis<br />
vi havde <strong>en</strong> cirkel med radius r kan vi bruge param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling<strong>en</strong> s ↦→<br />
(r coss/r, r sin s/r) for at få konstant fart 1). Når d<strong>en</strong> brugte param<strong>et</strong>er<br />
er buelængde siger vi, at vi har d<strong>en</strong> naturlige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling for d<strong>en</strong><br />
pågæld<strong>en</strong>de kurve. Ved differ<strong>en</strong>tiation fås tang<strong>en</strong>tvektor<strong>en</strong> x:<br />
t x (θ) = x ′ (θ) = (− sin θ, cosθ).<br />
Hvis vi starter <strong>af</strong>vikler<strong>en</strong> i punkt<strong>et</strong> x(0) ser vi <strong>af</strong> figur 4, at vi ved fra punkt<strong>et</strong><br />
x(θ) at gå stykk<strong>et</strong> s = θ bagud ad tang<strong>en</strong>t<strong>en</strong> kommer <strong>til</strong> punkt<strong>et</strong> y(θ) på<br />
cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>. Vi har altså at cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong> er giv<strong>et</strong> ved<br />
y(θ) = x(θ) − st x (θ) = (cosθ + θ sin θ, sin θ − θ cosθ)<br />
Som vi ser i figur 4, fås de forskellige <strong>af</strong>viklere ved at gå kortere eller længere<br />
ud <strong>af</strong> cirkl<strong>en</strong>s tang<strong>en</strong>t, <strong>en</strong> vilkårlig <strong>af</strong>vikler er altså giv<strong>et</strong> ved<br />
y c (θ) = x(θ) − (θ + c)t x (θ) = (cosθ + (θ + c) sin θ, sin θ − (θ + c) cosθ)<br />
hvor c er <strong>en</strong> reel konstant. Som bemærk<strong>et</strong> ov<strong>en</strong>for er y c1 og y c2 parallelle<br />
kurver og <strong>af</strong>stand<strong>en</strong> mellem dem er |c 1 − c 2 |. Hvis vi differ<strong>en</strong>tierer y c får vi<br />
y ′ c(θ) = ( (θ + c) cosθ, (θ + c) sin θ) ) .<br />
Vi ser at x ′ (θ) · y c ′ (θ) = 0, d.v.s., at cirkl<strong>en</strong>s tang<strong>en</strong>t skærer cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong><br />
under <strong>en</strong> r<strong>et</strong> vinkel.<br />
Vi vælger nu y 0 og y π/10 som de to sider <strong>af</strong> d<strong>en</strong> lyse spiral, se figur 5.<br />
D<strong>en</strong> mørke spiral fås ved at dreje 180 ◦ ; m<strong>en</strong> som før bemærk<strong>et</strong> svarer d<strong>et</strong> <strong>til</strong><br />
at vælge y π og y 11π/10 som de to sider <strong>af</strong> d<strong>en</strong> mørke spiral. Som s<strong>et</strong> før er<br />
alle disse fire kurver parallelle, og om deres ind<strong>en</strong>byrdes <strong>af</strong>stand gælder:<br />
6
e<br />
y π<br />
10<br />
y 0<br />
d > r<br />
re<br />
y π<br />
y11π<br />
10<br />
Figur 5: Til v<strong>en</strong>stre definition <strong>af</strong> de fire sider <strong>af</strong> spiralerne i d<strong>en</strong> klassiske <strong>scroll</strong><strong>kompressor</strong>.<br />
Bredd<strong>en</strong> <strong>af</strong> de to ‘kanaler’ er r = 9π/10, så hvis vi skubber <strong>et</strong> punkt<br />
på kant<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> mørke spiral stykk<strong>et</strong> r i r<strong>et</strong>ning<strong>en</strong> e, så rammer d<strong>et</strong>te punkt d<strong>en</strong><br />
hvide spiral, n<strong>et</strong>op hvis e er vinkelr<strong>et</strong> på spiral<strong>en</strong> i d<strong>et</strong> givne punkt. Til højre<br />
situation<strong>en</strong> efter at d<strong>en</strong> mørke spiral er translater<strong>et</strong> stykk<strong>et</strong> re. D<strong>en</strong> stiplede cirkel<br />
<strong>til</strong> v<strong>en</strong>stre indikerer, hvor meg<strong>et</strong> d<strong>et</strong> er nødv<strong>en</strong>digt at skære væk.<br />
• Afstand<strong>en</strong> mellem y 0 og y π<br />
10<br />
er π/10.<br />
• Afstand<strong>en</strong> mellem y π<br />
10 og y π er 9π/10.<br />
• Afstand<strong>en</strong> mellem y π og y11π<br />
10<br />
er π/10.<br />
• Afstand<strong>en</strong> mellem y11π<br />
10<br />
og y 0 er 9π/10.<br />
Vi b<strong>et</strong>ragter nu <strong>en</strong> <strong>til</strong>fældig <strong>en</strong>hedsvektor e, og prøver at parallelforskyde d<strong>en</strong><br />
mørke spiral i d<strong>en</strong>ne r<strong>et</strong>ning. D<strong>en</strong> mindste <strong>af</strong>stand fra <strong>et</strong> punkt på kant<strong>en</strong><br />
<strong>af</strong> d<strong>en</strong> mørke spiral <strong>til</strong> <strong>et</strong> punkt på kant<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> lyse spiral er r = 9π/10,<br />
borts<strong>et</strong> fra punkter inde ved midt<strong>en</strong> <strong>af</strong> spiralerne. Hvis vi er helt inde ved<br />
cirkl<strong>en</strong> er <strong>af</strong>stand<strong>en</strong> fra d<strong>en</strong> mørke <strong>til</strong> d<strong>en</strong> lyse spiral selvfølgelig lig med<br />
diam<strong>et</strong>er<strong>en</strong> i cirkl<strong>en</strong> som i d<strong>et</strong>te <strong>til</strong>fælde er 2; m<strong>en</strong> vi skal blot se bort fra<br />
punkter med <strong>af</strong>stand mindre <strong>en</strong>d r/2 fra cirkl<strong>en</strong>s c<strong>en</strong>trum. Hvis vi ser bort<br />
fra <strong>problem</strong>erne inde ved midt<strong>en</strong>, kan vi derfor bevæge d<strong>en</strong> mørke spiral<br />
stykk<strong>et</strong> r. Da minimums<strong>af</strong>stand<strong>en</strong> r opnås ved at gå langs d<strong>en</strong> fælles normal,<br />
der samtidig er tang<strong>en</strong>t <strong>til</strong> cirkl<strong>en</strong>, vil de to spiraler efter at d<strong>en</strong> mørke er<br />
skubb<strong>et</strong> stykk<strong>et</strong> re mødes i skæringspunkter mellem normal<strong>en</strong> og d<strong>en</strong> lyse<br />
spiral, se figur 5. Vi kan altså bevæge d<strong>en</strong> mørke spiral præcis <strong>af</strong>stand<strong>en</strong><br />
r i alle r<strong>et</strong>ninger, eller sagt på <strong>en</strong> and<strong>en</strong> måde: Hvis vi (ud<strong>en</strong> at dreje)<br />
bevæger d<strong>en</strong> mørke spiral rundt i <strong>en</strong> cirkel med radius r, da vil d<strong>en</strong> konstant<br />
røre d<strong>en</strong> lyse spiral i <strong>en</strong> række punkter på d<strong>en</strong> lyse spiral, der er giv<strong>et</strong> som<br />
skæringspunkter mellem tang<strong>en</strong>ter <strong>til</strong> cirkl<strong>en</strong> og d<strong>en</strong> lyse spiral. Vi kan nu<br />
7
se at cirkel<strong>af</strong>vikler spiraler giver <strong>en</strong> situation som i figur 3; m<strong>en</strong> vi kan også<br />
se, at der er <strong>problem</strong>er inde ved midt<strong>en</strong>. Vi kan blive nødt <strong>til</strong> at skære d<strong>en</strong><br />
inderste del <strong>af</strong> spiralerne væk.<br />
3 Afviklere og evolutter<br />
Konservesdås<strong>en</strong> som vi har brugt <strong>til</strong> at frems<strong>til</strong>le cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong> har <strong>et</strong><br />
cirkulært tværsnit; m<strong>en</strong> vi kan selvfølgelig lave <strong>en</strong> <strong>til</strong>svar<strong>en</strong>de konstruktion<br />
med <strong>en</strong> ikke-cirkulær konservesdåse. D<strong>et</strong> <strong>en</strong>este krav er at vi skal kunne<br />
lægge <strong>en</strong> snor stramt langs med dås<strong>en</strong>, d<strong>en</strong> må altså ikke bue indad, eller<br />
sagt med andre ord, d<strong>en</strong> skal være konveks. Hvis vi forlader d<strong>en</strong> fysiske<br />
verd<strong>en</strong> behøver ‘dås<strong>en</strong>’ ikke <strong>en</strong>gang at være lukk<strong>et</strong>, tværsnitt<strong>et</strong> kunne f.eks.<br />
være <strong>en</strong> spiral, se figur 9; m<strong>en</strong> vi vil stadigvæk kræve, at d<strong>en</strong> kun buer <strong>til</strong><br />
d<strong>en</strong> <strong>en</strong>e side. D<strong>et</strong> sidste krav sikrer at der ikke kommer spidser på <strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>;<br />
hvis d<strong>et</strong>te er ligegyldigt kan <strong>en</strong>hver kurve bruges. Før vi går videre vil vi<br />
præciserer visse begreber, se figur 6.<br />
tang<strong>en</strong>t<strong>en</strong><br />
normal<strong>en</strong>n(u)<br />
t(u)<br />
x(u)<br />
s(u)<br />
ϕ(u)<br />
x(0)<br />
Figur 6: Nogle grundlægg<strong>en</strong>de geom<strong>et</strong>riske begreber.<br />
En param<strong>et</strong>risering <strong>af</strong> <strong>en</strong> regulær plan kurve er <strong>en</strong> differ<strong>en</strong>tiabel <strong>af</strong>bildning<br />
x : I → R 2 , som opfylder at x ′ (u) ≠ 0 for alle u ∈ I. Kurv<strong>en</strong>s tang<strong>en</strong>t<br />
i punkt<strong>et</strong> x(u) er <strong>en</strong> linie g<strong>en</strong>nem punkt<strong>et</strong> i r<strong>et</strong>ning<strong>en</strong> x ′ (u), og kurv<strong>en</strong>s<br />
normal i punkt<strong>et</strong> er <strong>en</strong> linie g<strong>en</strong>nem punkt<strong>et</strong> som står vinkelr<strong>et</strong> på tang<strong>en</strong>t<strong>en</strong>.<br />
Kurv<strong>en</strong>s tang<strong>en</strong>tvektor t er <strong>en</strong>hedsvektor<strong>en</strong> i r<strong>et</strong>ning<strong>en</strong> x ′ (u), og kurv<strong>en</strong>s<br />
normalvektor n er tang<strong>en</strong>tvektor<strong>en</strong> drej<strong>et</strong> 90 ◦ mod ur<strong>et</strong>, altså<br />
t(u) = x′ (u)<br />
, n(u) = ̂t(u)<br />
|x ′ (u)|<br />
8
Kurv<strong>en</strong>s buelængde s fås ved at integrere fart<strong>en</strong> |x ′ (u)|, altså<br />
s(u) =<br />
∫ u<br />
0<br />
|x ′ (t)| dt.<br />
Da vi har forudsat x ′ (u) ≠ 0 for alle u, har vi specielt, at s ′ (u) = |x ′ (u)| ><br />
0. Dermed er s <strong>en</strong> str<strong>en</strong>gt voks<strong>en</strong>de funktion <strong>af</strong> u. Så findes d<strong>en</strong> inverse<br />
funktion u(s), og d<strong>en</strong> opfylder også, at u ′ (s) ≠ 0. Vi kan derfor bruge s som<br />
param<strong>et</strong>er på kurv<strong>en</strong> og opnår hermed d<strong>en</strong> naturlige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling. I<br />
d<strong>en</strong> naturlige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling er fart<strong>en</strong> konstant 1, og tang<strong>en</strong>tvektor<strong>en</strong><br />
fås så ved<br />
t = dx<br />
ds .<br />
Bemærk, at vi har brugt d<strong>et</strong> samme symbol ‘x’ for både d<strong>en</strong> gamle param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling<br />
og for d<strong>en</strong> naturlige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling. Vi har desud<strong>en</strong><br />
undladt at skrive param<strong>et</strong>er<strong>en</strong> eksplicit i ov<strong>en</strong>stå<strong>en</strong>de formel. D<strong>et</strong>te er<br />
selvfølgeligt lidt upræcist, m<strong>en</strong> da d<strong>et</strong> for<strong>en</strong>kler notation<strong>en</strong>, vil vi ofte gøre<br />
d<strong>et</strong>te i d<strong>et</strong> efterfølg<strong>en</strong>de. Bemærk også, at udtrykk<strong>et</strong> dx/ds <strong>til</strong>synelad<strong>en</strong>de<br />
kræver, at vi k<strong>en</strong>der <strong>et</strong> eksplicit udtryk for d<strong>en</strong> naturlige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling;<br />
m<strong>en</strong> d<strong>et</strong>te er ikke nødv<strong>en</strong>digt, hvis vi har param<strong>et</strong>er<strong>en</strong> u, skal vi blot<br />
b<strong>en</strong>ytte kæderegl<strong>en</strong> og at ds/du = ∣ ∣ dx/du∣:<br />
dx<br />
ds = dx du<br />
du ds = dx<br />
du<br />
/ ds<br />
du = dx<br />
du<br />
/ ∣ ∣∣∣ dx<br />
du∣ .<br />
Kurv<strong>en</strong>s tang<strong>en</strong>tdrejning ϕ er d<strong>en</strong> vinkel tang<strong>en</strong>t<strong>en</strong> danner med x-aks<strong>en</strong>. Vi<br />
har altså<br />
t = (cosϕ, sin ϕ) og n = (− sin ϕ, cosϕ), (1)<br />
hvor vi bemærker, at t, n og ϕ er funktioner <strong>af</strong> d<strong>en</strong> givne param<strong>et</strong>er. Kurv<strong>en</strong>s<br />
krumning κ er definer<strong>et</strong> som<br />
κ = dϕ<br />
ds ,<br />
og måler altså hvor hurtigt tang<strong>en</strong>t<strong>en</strong> drejer. Ved differ<strong>en</strong>tiation <strong>af</strong> (1) får vi<br />
formlerne<br />
dt dn<br />
= κn og<br />
ds ds = −κt,<br />
kald<strong>et</strong> Fr<strong>en</strong><strong>et</strong>s formler. Hvis vi v<strong>en</strong>der g<strong>en</strong>nemløbsr<strong>et</strong>ning<strong>en</strong> på kurv<strong>en</strong> skifter<br />
krumning<strong>en</strong> fortegn, så hvis κ ≠ 0 overalt på kurv<strong>en</strong>, kan vi altid opnå κ > 0.<br />
I så fald er tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong> ϕ <strong>en</strong> str<strong>en</strong>gt voks<strong>en</strong>de funktion <strong>af</strong> s, og som før<br />
ser vi, at vi kan bruge ϕ som param<strong>et</strong>er på kurv<strong>en</strong>. Kurv<strong>en</strong>s krumningsradius<br />
̺ er definer<strong>et</strong> ved<br />
̺ = 1 ( ) −1 dϕ<br />
κ = = ds<br />
ds dϕ .<br />
9
For cirkl<strong>en</strong>, x(θ) = (r cosθ, r sin θ), med radius r, har vi<br />
t = ( − sin θ, cosθ ) ( (<br />
= cos θ + π ) (<br />
, sin θ + π ))<br />
,<br />
2 2<br />
så ϕ = θ + π. Ydermere er buelængd<strong>en</strong> giv<strong>et</strong> ved s = rθ = r( ϕ − π 2 2)<br />
,<br />
så ̺ = ds = r. Krumningsradius for <strong>en</strong> cirkel er altså lig med radius for<br />
dϕ<br />
cirkl<strong>en</strong>, her<strong>af</strong> navn<strong>et</strong>. Hvis vi bruger d<strong>en</strong> naturlige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling er<br />
Taylor-rækk<strong>en</strong> <strong>til</strong> and<strong>en</strong> ord<strong>en</strong> giv<strong>et</strong> ved<br />
x(s) = x(s 0 ) + (s − s 0 )t(s 0 ) + 1 2 κ(s 0) (s − s 0 ) 2 n(s 0 ) + højere ord<strong>en</strong>s led.<br />
Cirkl<strong>en</strong> som tangerer d<strong>en</strong> givne kurve i punkt<strong>et</strong> x(s 0 ) og som har radius<br />
̺(s 0 ) kaldes for krumningscirkl<strong>en</strong> og har præcis d<strong>en</strong> samme Taylor-række <strong>til</strong><br />
and<strong>en</strong> ord<strong>en</strong>. D<strong>et</strong> er derfor d<strong>en</strong> cirkel som approksimerer kurv<strong>en</strong> bedst muligt<br />
i punkt<strong>et</strong> x(s 0 ). C<strong>en</strong>trum c for krumningscirkl<strong>en</strong> fås ved at gå stykk<strong>et</strong> ̺ ud<br />
ad normal<strong>en</strong>, altså:<br />
c = x + ̺xn x .<br />
Ig<strong>en</strong> har vi undladt refer<strong>en</strong>cer <strong>til</strong> param<strong>et</strong>er<strong>en</strong>, <strong>til</strong> g<strong>en</strong>gæld har vi angiv<strong>et</strong><br />
hvilk<strong>en</strong> kurve krumningsradius og normalvektor hører <strong>til</strong>. Når vi g<strong>en</strong>nemløber<br />
kurv<strong>en</strong> x, vil krumningsc<strong>en</strong>tr<strong>en</strong>e g<strong>en</strong>nemløbe <strong>en</strong> and<strong>en</strong> kurve kald<strong>et</strong> evolutt<strong>en</strong><br />
for x, se figur 7. Ved differ<strong>en</strong>tiation <strong>af</strong> c fås<br />
c<br />
̺x<br />
x<br />
x<br />
s x<br />
krumningscirkler<br />
y<br />
Figur 7: Til v<strong>en</strong>stre evolutt<strong>en</strong> for x og <strong>til</strong> højre <strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>.<br />
dc<br />
ds x<br />
= dx<br />
ds x<br />
+ d̺x<br />
ds x<br />
n x + ̺dn x<br />
ds x<br />
= t x + d̺x<br />
ds x<br />
n x − 1 κ x<br />
κ x t x = d̺x<br />
ds x<br />
n x .<br />
Her<strong>af</strong> ser vi, at t c = ±n x , og at |dc/ds x | = |d̺x/ds x |. For at have <strong>en</strong> regulær<br />
evolut bliver vi derfor nødt <strong>til</strong> at kræve at d̺x/ds x ≠ 0, eller ækvival<strong>en</strong>t<br />
10
hermed, at dκ x /ds x ≠ 0 overalt. I figur 8 ses hvad der sker, hvis d<strong>et</strong>te krav<br />
ikke er opfyldt.<br />
En kurves <strong>af</strong>vikler er definer<strong>et</strong> på præcis samme måde som for cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>:<br />
y = x − (s x + c)t x ,<br />
specielt er cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong> altså <strong>en</strong> <strong>af</strong>vikler for cirkl<strong>en</strong>. Ved differ<strong>en</strong>tiation<br />
fås<br />
dy<br />
= dx − t x − (s x + c) dt x<br />
= t x − t x − (s x + c)κn x = −(s x + c)κ x n x .<br />
ds x ds x ds x<br />
Her<strong>af</strong> ser vi, at<br />
t y = −n x<br />
og<br />
ds y<br />
ds x<br />
=<br />
∣ dy ∣∣∣<br />
∣ = (s x + c)κ x .<br />
ds x<br />
Specielt ser vi, at hvis κ x > 0 overalt, og s x > c, så er <strong>af</strong>vikler<strong>en</strong> y <strong>en</strong> regulær<br />
kurve. I figur 8 ses hvad der sker, hvis d<strong>et</strong>te krav ikke er opfyldt.<br />
Figur 8: D<strong>en</strong> første tegning viser evolut<strong>en</strong> for <strong>en</strong> kurve med <strong>et</strong> maximum for<br />
krumning<strong>en</strong>, d<strong>en</strong> næste viser evolutt<strong>en</strong> for <strong>en</strong> kurve med <strong>et</strong> minimum for krumning<strong>en</strong>,<br />
d<strong>en</strong> tredie viser evolutt<strong>en</strong> for <strong>en</strong> kurve med <strong>et</strong> nulpunkt for krumning<strong>en</strong>, samt<br />
to minima, og d<strong>en</strong> sidste viser <strong>af</strong>vikler<strong>en</strong> for <strong>en</strong> kurve med <strong>et</strong> nulpunkt for krumning<strong>en</strong>.<br />
Ved yderligere differ<strong>en</strong>tiation fås<br />
dt y<br />
ds y<br />
= − dn x<br />
ds x<br />
ds x<br />
ds y<br />
=<br />
κ x t x<br />
= 1<br />
(s x + c)κ x s x + c t x,<br />
hvor<strong>af</strong> ̺y = s x +c. Hvis vi nu udregner y’s evolut får vi klart x. Vi har altså<br />
I d<strong>et</strong>te <strong>til</strong>fælde gælder<br />
y er <strong>en</strong> <strong>af</strong>vikler <strong>af</strong> x ⇐⇒ x er evolutt<strong>en</strong> for y.<br />
t y = −n x , n y = t x , ̺y = s x + c, ϕ y = ϕ x − π 2 . (2)<br />
I figur 9 er tegn<strong>et</strong> <strong>en</strong> <strong>af</strong>vikler <strong>af</strong> cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>.<br />
11
sx = ̺y<br />
x<br />
y<br />
4 Indhyllingskurver<br />
Figur 9: En <strong>af</strong>vikler <strong>af</strong> cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>.<br />
Vi har i forrige <strong>af</strong>snit s<strong>et</strong>, hvordan der ‘ind<strong>en</strong> i’ <strong>en</strong> spiral i form <strong>af</strong> <strong>en</strong> cirkel<strong>af</strong>vikler<br />
er plads <strong>til</strong>, at <strong>en</strong> and<strong>en</strong> cirkel<strong>af</strong>vikler kan bevæge sig rundt i <strong>en</strong><br />
cirkel. Spørgsmål<strong>et</strong> er nu, hvad der sker, hvis vi prøver andre spiraler <strong>en</strong>d<br />
cirkel<strong>af</strong>vikler<strong>en</strong>.<br />
Hvis man tager <strong>en</strong> vilkårlig spiral, og ud<strong>en</strong> at dreje d<strong>en</strong> bevæger d<strong>en</strong><br />
cirkulært rundt i <strong>en</strong> kasse med sand, får man <strong>et</strong> billede som i figur 10, hvor<br />
Figur 10: Spor<strong>et</strong> fra <strong>en</strong> spiral bevæg<strong>et</strong> rundt i <strong>en</strong> cirkel.<br />
man tydeligt kan se, hvordan d<strong>en</strong> faste spiral skal se ud, for at der skal være<br />
plads <strong>til</strong> bevægels<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> første spiral. Vi kan også se, at d<strong>en</strong> bevægelige<br />
spiral <strong>til</strong> <strong>et</strong>hvert tidspunkt tangerer d<strong>en</strong> faste spiral i <strong>en</strong> række punkter. En<br />
ting er, at kunne ‘se’ hvordan spiral<strong>en</strong> skal se ud, <strong>en</strong> and<strong>en</strong> er, at finde <strong>en</strong><br />
param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling for d<strong>en</strong>. D<strong>et</strong> er <strong>problem</strong><strong>et</strong> vi vil behandle i d<strong>et</strong>te <strong>af</strong>snit.<br />
12
Hvis vi konc<strong>en</strong>trerer opmærksomhed<strong>en</strong> om n side <strong>af</strong> d<strong>en</strong> bevægelige spiral,<br />
har vi altså <strong>en</strong> kurve, som vi parallelforskyder rundt langs <strong>en</strong> cirkel. Hvis<br />
kurv<strong>en</strong> er giv<strong>et</strong> ved <strong>en</strong> param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling x, så kan bevægels<strong>en</strong> <strong>af</strong> spiral<strong>en</strong><br />
beskrives ved følg<strong>en</strong>de funktion <strong>af</strong> to variable:<br />
X(u, t) = x(u) + a(t), (3)<br />
hvor a(t) er <strong>en</strong> param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling for cirkelbevægels<strong>en</strong>. Vi vil nu b<strong>et</strong>ragte<br />
funktion<strong>en</strong> X(u, t), og kan glemme, at vi har <strong>en</strong> spiral, der deltager i <strong>en</strong> cirkelbevægelse.<br />
Vi kunne f.eks. lade spiral<strong>en</strong> for<strong>et</strong>age <strong>en</strong> and<strong>en</strong> type bevægelse<br />
<strong>en</strong>d d<strong>en</strong> cirkulære, eller mere drastisk, vi kunne fores<strong>til</strong>le os at kurv<strong>en</strong> forandrede<br />
form når t varierede; m<strong>en</strong> så forlader vi <strong>scroll</strong>-kompresser<strong>en</strong>.<br />
Synspunkt<strong>et</strong> er altså at vi har giv<strong>et</strong> <strong>en</strong> familie <strong>af</strong> kurver x t (u) = X(u, t)<br />
og vi søger <strong>en</strong> såkaldt indhyllingskurve for famili<strong>en</strong>. D<strong>et</strong> er <strong>en</strong> kurve y, som<br />
<strong>til</strong> tidspunkt<strong>et</strong> t tangerer kurv<strong>en</strong> x t i <strong>et</strong> punkt vi b<strong>en</strong>ævner y(t), (vi bruger<br />
altså t som param<strong>et</strong>er på indhyllingskurv<strong>en</strong>). D<strong>et</strong> <strong>til</strong>svar<strong>en</strong>de punkt på x t ,<br />
kan skrives som x t (u(t)). Vi har dermed, at<br />
y(t) = X ( u(t), t ) , (4)<br />
<strong>problem</strong><strong>et</strong> er at bestemme funktion<strong>en</strong> u(t). Hvis vi tager <strong>en</strong> vilkårlig funktion<br />
u(t), og definerer y(t) ved (4), så vil kurverne y og x skærer hinand<strong>en</strong>; m<strong>en</strong><br />
b<strong>et</strong>ingels<strong>en</strong> er som sagt, at de skal tangerer hinand<strong>en</strong>. Tang<strong>en</strong>tr<strong>et</strong>ningerne<br />
er giv<strong>et</strong> ved:<br />
x ′ t<br />
( ) ∂X( )<br />
u(t) = (u(t), t ,<br />
∂u<br />
y ′ (t) = u ′ (t) ∂X<br />
∂u<br />
( ) ∂X( )<br />
(u(t), t + (u(t), t ,<br />
∂t<br />
og de er parallelle, n<strong>et</strong>op hvis de partielle <strong>af</strong>ledede ∂X/∂u ( (u(t), t ) og ∂X/∂t ( (u(t), t )<br />
er d<strong>et</strong>. Hvis X(u, t) = ( X(u, t), Y (u, t) ) , så kan parallelit<strong>et</strong> udtrykkes ved<br />
ligning<strong>en</strong>:<br />
∂X ( )∂Y (u(t), t<br />
∂u ∂t<br />
( ) ∂X ( )∂Y ( )<br />
(u(t), t − (u(t), t (u(t), t = 0.<br />
∂t ∂u<br />
D<strong>en</strong>ne ligning skal opfattes som <strong>en</strong> ligning <strong>til</strong> bestemmelse <strong>af</strong> funktion<strong>en</strong> u(t);<br />
m<strong>en</strong> d<strong>et</strong> er normalt ikke muligt at løse d<strong>en</strong>ne ligning.<br />
Vi v<strong>en</strong>der nu <strong>til</strong>bage <strong>til</strong> spiral<strong>en</strong> der parallelforskydes rundt langs <strong>en</strong> cirkel.<br />
<strong>Fra</strong> (3) er de partielle <strong>af</strong>ledede giv<strong>et</strong> ved<br />
∂X<br />
∂u (u, t) = x′ (u),<br />
∂X<br />
∂t (u, t) = a′ (t).<br />
13
Hvis a(t) = (r sin t, −r cos t), så er a ′ (t) = re(t) = (r cost, r sin t) og t er<br />
tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong> for cirkelbevægels<strong>en</strong>. Vi fores<strong>til</strong>ler os nu at spiral<strong>en</strong> også<br />
er param<strong>et</strong>riser<strong>et</strong> med tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong>. Vi har altså u = ϕ x , og t = ϕ e .<br />
Parallelit<strong>et</strong>sb<strong>et</strong>ingels<strong>en</strong> kan formuleres, som ϕ x − ϕ e = nπ, n ∈ Z, d.v.s. vi<br />
har d<strong>en</strong> simple løsning<br />
u = t + nπ, n ∈ Z,<br />
og dermed har vi indhyllingskurverne giv<strong>et</strong> ved<br />
y n (t) = x(t + nπ) + a(t).<br />
Tilsynelad<strong>en</strong>de har vi u<strong>en</strong>delig mange indhyllingskurver; m<strong>en</strong> da a er periodisk<br />
med period<strong>en</strong> 2π, ser vi, at<br />
y n+2 (t) = x(t+(n+2)π)+a(t) = x((t+2π)+nπ)+a(t+2π) = y n (t+2π).<br />
Så y n+2 og y n er blot to forskellige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>linger for d<strong>en</strong> samme<br />
kurve. Vi har altså præcis to forskellige indhyllingskurver, som vi vælger at<br />
skrive som<br />
y + (t) = y 0 (t) = x(t) + a(t),<br />
(5)<br />
y − (t) = y 1 (t − π) = x(t) − a(t),<br />
hvor vi har udnytt<strong>et</strong>, at a(t − π) = −a(t). Da både x og a er param<strong>et</strong>riser<strong>et</strong><br />
ved tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong>, ser vi at y ± også er d<strong>et</strong>.<br />
Da d<strong>et</strong> normalt også er umuligt at bestemme tang<strong>en</strong>tdrejnings-param<strong>et</strong>risering<strong>en</strong>,<br />
har vi <strong>til</strong>synelad<strong>en</strong>de blot erstatt<strong>et</strong> t umuligt <strong>problem</strong> med <strong>et</strong> and<strong>et</strong>; m<strong>en</strong> vi<br />
skal i næste <strong>af</strong>snit se, hvordan vi kan definere kurver, så de automatisk er<br />
param<strong>et</strong>riser<strong>et</strong> med tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong>.<br />
Før vi gør d<strong>et</strong>, vil vi dog b<strong>et</strong>ragte d<strong>et</strong> <strong>til</strong>fælde, hvor kurv<strong>en</strong> ikke er giv<strong>et</strong><br />
ved <strong>en</strong> param<strong>et</strong>risering, m<strong>en</strong> i sted<strong>et</strong> ved <strong>en</strong> ligning. I d<strong>et</strong>te <strong>til</strong>fælde er<br />
mulighed<strong>en</strong> for at finde indhyllingskurv<strong>en</strong> langt mere gunstig, se f.eks. [2].<br />
Her vil vi blot se på d<strong>et</strong> <strong>til</strong>fælde, hvor vi har <strong>en</strong> familie <strong>af</strong> r<strong>et</strong>te linier giv<strong>et</strong><br />
ved <strong>en</strong> familie <strong>af</strong> ligninger i x og y:<br />
a(t)x + b(t)y = c(t).<br />
Hvis vi <strong>til</strong>føjer d<strong>en</strong> differ<strong>en</strong>tierede ligning:<br />
a ′ (t)x + b ′ (t)y = c ′ (t),<br />
har vi for hvert t to lineære ligninger med to ubek<strong>en</strong>dte og disse har i almindelighed<br />
<strong>en</strong> <strong>en</strong>tydig løsning ( x(t), y(t) ) , som præcis er <strong>en</strong> param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling<br />
for indhyllingskurv<strong>en</strong>.<br />
14
t<br />
t<br />
t<br />
Figur 11: Når sol<strong>en</strong>s stråler reflekteres i indersid<strong>en</strong> <strong>af</strong> <strong>et</strong> krus med k<strong>af</strong>fe, dannes<br />
<strong>en</strong> lys<strong>en</strong>de kurve (brændkurv<strong>en</strong>) på k<strong>af</strong>f<strong>en</strong>s overflade. D<strong>en</strong> and<strong>en</strong> tegning viser<br />
reflektion<strong>en</strong> <strong>af</strong> <strong>en</strong> <strong>en</strong>kelt stråle, d<strong>en</strong> tredie tegning viser reflektion<strong>en</strong> <strong>af</strong> 21 stråler,<br />
og i d<strong>en</strong> sidste tegning er d<strong>en</strong> beregnede brændkurve plott<strong>et</strong><br />
Hvis vi fores<strong>til</strong>ler os, at linierne er lysstråler, så er indhyllingskurv<strong>en</strong> d<strong>en</strong><br />
såkaldte brændkurve, altså d<strong>en</strong> kurve hvor lys<strong>et</strong> er konc<strong>en</strong>trer<strong>et</strong>. Hvis man<br />
<strong>en</strong> sommerdag sidder ud<strong>en</strong>for med <strong>et</strong> krus k<strong>af</strong>fe, vil sol<strong>en</strong>s stråler reflekteres<br />
i indersid<strong>en</strong> <strong>af</strong> krus<strong>et</strong>, og famili<strong>en</strong> <strong>af</strong> reflekterede stråler vil danne <strong>en</strong> brændkurve<br />
på k<strong>af</strong>f<strong>en</strong>s overflade, se figur 11. Vi fores<strong>til</strong>ler os nu sol<strong>en</strong>s stråler<br />
kommer ind langs med x-aks<strong>en</strong>, og b<strong>et</strong>ragter <strong>en</strong> <strong>en</strong>kelt stråle der reflekteres<br />
i punkt<strong>et</strong> (cost, sin t). Da indfaldsvinkel er lig med udfaldsvinkel har d<strong>en</strong> reflekterede<br />
stråle r<strong>et</strong>ningsvektor ( cos(2t+π), sin(2t+π) ) = (− cos 2t, − sin 2t)<br />
og normalvektor (sin 2t, − cos 2t), se figur 11. Dermed er ligning<strong>en</strong> for strål<strong>en</strong><br />
(x − cost) sin 2t − (y − sin t) cos 2t = 0.<br />
Da − cos t sin 2t + sin t cos 2t = − sin t, får vi efter differ<strong>en</strong>tiation de to<br />
ligninger:<br />
(sin 2t)x − (cos 2t)y = sin t,<br />
(2 cos2t)x + (2 sin2t)y = cost.<br />
15
Brændkurv<strong>en</strong> er løsning<strong>en</strong> <strong>til</strong> disse to lineære ligninger, som l<strong>et</strong> udregnes <strong>til</strong>:<br />
[ ] [ ] −1 [ ]<br />
x(t) sin 2t − cos 2t sin t<br />
=<br />
= 1 [ ] [ ]<br />
2 sin 2t cos 2t sin t<br />
y(t) 2 cos 2t 2 sin 2t cost 2 −2 cos 2t sin 2t cost<br />
= 1 [ ]<br />
−2 sin 2t sin t + cos 2t cost<br />
= 1 [ ]<br />
2 cost − cos t cos 2t<br />
2 2 cos 2t sin t + sin 2t cost 2 2 sint − cos t sin 2t<br />
[ ]<br />
cost<br />
= − cost [ ]<br />
cos 2t<br />
.<br />
sin t 2 sin 2t<br />
5 D<strong>en</strong> naturlige ligning<br />
Som lov<strong>et</strong> i forrige <strong>af</strong>snit vil vi nu specificere kurver på <strong>en</strong> måde, så de<br />
automatisk bliver param<strong>et</strong>riser<strong>et</strong> med tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong>. Hvis vi <strong>et</strong> øjeblik<br />
fores<strong>til</strong>ler os, at kurv<strong>en</strong> x er param<strong>et</strong>riser<strong>et</strong> med tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong> ϕ, så er<br />
tang<strong>en</strong>tvektor<strong>en</strong> pr. definition giv<strong>et</strong> ved t(ϕ) = e(ϕ) = (cosϕ, sin ϕ). På<br />
d<strong>en</strong> and<strong>en</strong> side fås tang<strong>en</strong>tvektor<strong>en</strong> ved normering <strong>af</strong> hastighedsvektor<strong>en</strong>, så<br />
vi må have, at<br />
∣ dx ∣∣∣<br />
dϕ = dx<br />
dϕ∣ t = ds<br />
dϕ t = ̺t.<br />
Vi kan komme <strong>til</strong>bage <strong>til</strong> x ved integration:<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
)<br />
x(ϕ) = ̺(ϕ)t(ϕ) dϕ = ̺(ϕ)e(ϕ) dϕ =<br />
(̺(ϕ) cosϕ, ̺(ϕ) sin ϕ dϕ.<br />
(6)<br />
Vi ser nu, at vi i sted<strong>et</strong> for at angive <strong>en</strong> eksplicit param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling for <strong>en</strong><br />
kurve, kan specificere kurv<strong>en</strong> ved at angive ̺(ϕ), d.v.s. krumningsradius som<br />
funktion <strong>af</strong> tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong>. Thi vi kan få <strong>en</strong> param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling ved <strong>en</strong><br />
simpel integration, og d<strong>en</strong>ne param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling er med tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong><br />
som param<strong>et</strong>er. Bemærk, at integrationskonstant<strong>en</strong> ikke har nog<strong>en</strong> geom<strong>et</strong>risk<br />
b<strong>et</strong>ydning, de forskellige valg svarer blot <strong>til</strong> parallelforskydninger <strong>af</strong><br />
kurv<strong>en</strong>.<br />
Hvis vi k<strong>en</strong>der ̺(ϕ), har vi <strong>en</strong> differ<strong>en</strong>tialligning ds/dϕ = ̺(ϕ), som samm<strong>en</strong>knytter<br />
buelængd<strong>en</strong> s, og tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong> ϕ. En ligning, eller som her<br />
<strong>en</strong> differ<strong>en</strong>tialligning, der gør d<strong>et</strong>, kaldes <strong>en</strong> naturlig ligning for kurv<strong>en</strong>. Et<br />
and<strong>et</strong> eksempel på <strong>en</strong> naturlig ligning er ϕ = ϕ(s), altså hvor tang<strong>en</strong>tdrejning<strong>en</strong><br />
er giv<strong>et</strong> som funktion <strong>af</strong> buelængd<strong>en</strong>. Så er t(s) = e(ϕ(s)), og vi kan<br />
bestemme d<strong>en</strong> naturlige param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling for kurv<strong>en</strong> ved integration:<br />
∫<br />
x(s) =<br />
∫<br />
t(s) ds =<br />
e ( ϕ(s) ) ds =<br />
∫ (cos<br />
ϕ(s), sinϕ(s)<br />
)<br />
ds (7)<br />
16
<strong>Fra</strong> <strong>et</strong> teor<strong>et</strong>isk synspunkt er der ikke d<strong>en</strong> store forskel på ligningerne (6) og<br />
(7), begge bestemmer <strong>en</strong> param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling ved integration, og i begge<br />
<strong>til</strong>fælde har param<strong>et</strong>er<strong>en</strong> geom<strong>et</strong>risk b<strong>et</strong>ydning. <strong>Fra</strong> <strong>et</strong> praktisk synspunkt<br />
er (6) derimod langt mere behagelig. Hvis funktion ̺(ϕ) er <strong>et</strong> polynomium<br />
i ϕ, så kan integration<strong>en</strong> i (6) udføres eksakt og ud<strong>en</strong> besvær. D<strong>et</strong>te er i<br />
modsætning <strong>til</strong> integral<strong>et</strong> i (7), der almindeligvis ikke kan udregnes, hvis<br />
ϕ(s) er <strong>et</strong> polynomium i s.<br />
Vi definerer nu <strong>en</strong> kurve x, ikke ved <strong>en</strong> param<strong>et</strong>erfrems<strong>til</strong>ling; m<strong>en</strong> ved<br />
d<strong>en</strong> naturlige ligning ̺ = ̺(ϕ). Da ̺ = ds/dϕ, kan vi bestemme buelængd<strong>en</strong><br />
direkte ved <strong>en</strong> simpel integration, s = ∫ ̺(ϕ) dϕ. Bemærk, at hvis ̺(ϕ) er <strong>et</strong><br />
polynomium, så kan s udregnes eksakt.<br />
Hvis x er giv<strong>et</strong> ved d<strong>en</strong> naturlige ligning ̺x = ̺x(ϕ), og y er <strong>en</strong> <strong>af</strong>vikler,<br />
så har vi fra (2), at ϕ y = ϕ x − π/2 og ̺y = s x + c. dermed er y giv<strong>et</strong> ved<br />
d<strong>en</strong> naturlige ligning<br />
∫<br />
̺y(ϕ) =<br />
(<br />
̺ ϕ − π )<br />
dϕ,<br />
2<br />
hvor de forskellig integrations konstanter svarer <strong>til</strong> de forskellige <strong>af</strong>viklere.<br />
Omv<strong>en</strong>dt er x’s evolut c giv<strong>et</strong> ved d<strong>en</strong> naturlige ligning<br />
Vi har med andre ord, at<br />
F.eks. har vi følg<strong>en</strong>de tabel:<br />
̺c(ϕ) = d̺x<br />
dϕ<br />
(<br />
ϕ − π )<br />
.<br />
2<br />
<strong>af</strong>vikler ←→ integration,<br />
evolut ←→ differ<strong>en</strong>tiation.<br />
̺(ϕ) s(ϕ) kurve<br />
1 ϕ cirkel<br />
1<br />
ϕ<br />
2 ϕ2 cirkel<strong>af</strong>vikler<br />
1<br />
2 ϕ2 1 6 ϕ3 <strong>af</strong>vikler <strong>af</strong> cirkel<strong>af</strong>vikler<br />
.<br />
.<br />
.<br />
I forbindelse med <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong> er vi specielt interesserede i spiraler,<br />
og d<strong>et</strong> er heldigvis l<strong>et</strong> at frems<strong>til</strong>le spiraler ved hjælp <strong>af</strong> d<strong>en</strong> naturlige ligning.<br />
Vi har nemlig følg<strong>en</strong>de resultat, se [5, side 48, Knesers sætning]<br />
17
x ′<br />
δ<br />
x<br />
c 2<br />
∆s c<br />
c 1<br />
̺2<br />
̺1<br />
O<br />
θ<br />
ϕ<br />
Figur 12: Til v<strong>en</strong>stre ser vi hvordan D 1 ⊂ D 2 , hvis |c 2 − c 1 | + ̺1 < ̺2. Til højre<br />
ser vi hvordan θ ′ > 0, hvis O ligger <strong>til</strong> v<strong>en</strong>stre for tang<strong>en</strong>t<strong>en</strong>, specielt hvis O ligger<br />
i krumningscirkl<strong>en</strong>.<br />
Spiral-lemma. Lad x være <strong>en</strong> kurve, giv<strong>et</strong> ved d<strong>en</strong> naturlige ligning ̺ =<br />
̺(ϕ). Lad c(ϕ) være evolutt<strong>en</strong> (d.v.s. krumningsc<strong>en</strong>trum) for x og lad D ϕ<br />
være d<strong>en</strong> åbne cirkelskive begræns<strong>et</strong> <strong>af</strong> krumningscirkl<strong>en</strong>:<br />
D ϕ = { p ∈ R 2 ∣ ∣ |p − c(ϕ)| < ̺(ϕ)<br />
}<br />
,<br />
og lad D ϕ være d<strong>en</strong> <strong>til</strong>svar<strong>en</strong>de <strong>af</strong>sluttede cirkelskive:<br />
D ϕ = { p ∈ R 2 ∣ ∣ |p − c(ϕ)| ≤ ̺(ϕ)<br />
}<br />
.<br />
Hvis ̺(ϕ) er <strong>en</strong> str<strong>en</strong>gt voks<strong>en</strong>de positiv funktion, så former cirkelskiverne<br />
D ϕ <strong>en</strong> str<strong>en</strong>gt voks<strong>en</strong>de følge:<br />
ϕ 1 < ϕ 2 ⇒ D ϕ1 ⊂ D ϕ2 , (8)<br />
og kurv<strong>en</strong>s fortid og fremtid er h<strong>en</strong>holdsvis ind<strong>en</strong>for og ud<strong>en</strong>for krumningscirkl<strong>en</strong>:<br />
ϕ 1 < ϕ 2 ⇒ x(ϕ 1 ) ∈ D ϕ2 ,<br />
(9)<br />
ϕ 1 < ϕ 2 ⇒ x(ϕ 2 ) /∈ D ϕ1 .<br />
Hvis vi ydermere vælger koordinatsystem<strong>et</strong>s begyndelsespunkt ind<strong>en</strong>for samtlige<br />
krumningscirkler: O ∈ ⋂ ϕ D ϕ, og lader (r, θ) være polære koordinater for<br />
kurv<strong>en</strong> x, så er vinkl<strong>en</strong> θ <strong>en</strong> str<strong>en</strong>gt voks<strong>en</strong>de funktion:<br />
θ ′ (ϕ) > 0. (10)<br />
Proof. Da x(ϕ) ligger på rand<strong>en</strong> <strong>af</strong> D ϕ , følger (9) <strong>af</strong> (8). Sæt c 1 = c(ϕ 1 ),<br />
̺1 = ̺(ϕ 1 ), osv. For at vise, at D 1 ⊂ D 2 er d<strong>et</strong> klart nok at vise, at<br />
18
|c 2 − c 1 | + ̺1 < ̺2, eller ækvival<strong>en</strong>t hermed, at |c 2 − c 1 | < ̺2 − ̺1. Da<br />
krumningsc<strong>en</strong>tr<strong>en</strong>e c 1 og c 2 er punkter på evolutt<strong>en</strong> for x, og da <strong>af</strong>stand<strong>en</strong><br />
langs med <strong>en</strong> kurve ikke kan være mindre <strong>en</strong>d <strong>af</strong>stand langs <strong>en</strong> r<strong>et</strong> linie, har<br />
vi nu, at<br />
|c 2 − c 1 | ≤ ∆s c = s c (ϕ 2 ) − s c (ϕ 1 ) = ̺2 − ̺1,<br />
hvor s c er buelængde på evolutt<strong>en</strong>. Vi har nu vist (8) og dermed også (9).<br />
B<strong>et</strong>ragt nu figur 12. Hvis vinkl<strong>en</strong> δ = ϕ − θ, mellem stedvektor<strong>en</strong> <strong>til</strong> x<br />
og hastighedsvektor<strong>en</strong> x ′ , ligger i intervall<strong>et</strong> ]0, π[, så er θ ′ > 0. Hvis blot<br />
O ligger <strong>til</strong> v<strong>en</strong>stre for tang<strong>en</strong>tvektor<strong>en</strong> har vi δ ∈]0, π[. Da ̺′ > 0 ligger<br />
krumningscirkl<strong>en</strong> <strong>til</strong> v<strong>en</strong>stre for tang<strong>en</strong>tvektor<strong>en</strong>, og da begyndelsespunkt<strong>et</strong><br />
O er valgt, så d<strong>et</strong> ligger ind<strong>en</strong>for <strong>en</strong>hver <strong>af</strong> krumningscirklerne, ligger O<br />
specielt <strong>til</strong> v<strong>en</strong>stre for <strong>en</strong>hver <strong>af</strong> tang<strong>en</strong>tvektorerne. Dermed har vi vist, at<br />
θ ′ > 0 overalt på kurv<strong>en</strong>.<br />
6 Scroll-<strong>kompressor</strong><strong>en</strong> II<br />
Vi b<strong>et</strong>ragter nu <strong>en</strong> spiral x giv<strong>et</strong> ved d<strong>en</strong> naturlige ligning ̺x = ̺x(ϕ), hvor<br />
̺x(ϕ) er <strong>en</strong> str<strong>en</strong>gt voks<strong>en</strong>de positiv funktion. Som i <strong>af</strong>snit 4 lader vi nu x<br />
udføre <strong>en</strong> cirkulær bevægelse param<strong>et</strong>riser<strong>et</strong> ved a(t) = (r sin t, −r cost). <strong>Fra</strong><br />
(5) har vi så de to indhyllingskurver y ± (t) = x(t) ± a(t). Ydermere er alle<br />
tre kurver param<strong>et</strong>riser<strong>et</strong> ved tang<strong>en</strong>tdrejning, d.v.s. ϕ y± = ϕ x = ϕ a = ϕ,<br />
og de har alle d<strong>en</strong> samme tang<strong>en</strong>tvektor t = e(ϕ) = (cosϕ, sin ϕ). Ved<br />
differ<strong>en</strong>tiation får vi<br />
og dermed<br />
y ′ ±(ϕ) = x ′ (ϕ) ± a ′ (ϕ) = (̺x ± r)e(ϕ),<br />
̺y = ̺x ± r.<br />
Bemærk, at ov<strong>en</strong>stå<strong>en</strong>de argum<strong>en</strong>t kun gælder for y − hvis r < ̺x(ϕ), thi<br />
hvis r > ̺x(ϕ) så er t y = −t x .<br />
Hvis vi vælger y + , som ligger på ‘ydersid<strong>en</strong>’ <strong>af</strong> x, har vi nu definer<strong>et</strong> ydersid<strong>en</strong><br />
<strong>af</strong> d<strong>en</strong> bevægelige spiral (x), og indersid<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> faste spiral (y + ). For<br />
at få de to mangl<strong>en</strong>de sider b<strong>et</strong>ragter vi ig<strong>en</strong> d<strong>en</strong> klassiske <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong>,<br />
og bemærker, at d<strong>en</strong> faste og d<strong>en</strong> bevægelige spiral føres over i hinand<strong>en</strong> ved<br />
spejling i <strong>et</strong> pass<strong>en</strong>de punkt, se figur 13. Ved d<strong>en</strong>ne spejling føres ydersid<strong>en</strong><br />
<strong>af</strong> d<strong>en</strong> bevægelige spiral over i ydersid<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> faste spiral og indersid<strong>en</strong><br />
<strong>af</strong> d<strong>en</strong> faste spiral føres over i indersid<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> bevægelige spiral. Vi kan<br />
altså få de to mangl<strong>en</strong>de sider ved spejling i <strong>et</strong> pass<strong>en</strong>de punkt. Der er <strong>en</strong><br />
vis frihed i valg<strong>et</strong> <strong>af</strong> spejlingspunkt C; m<strong>en</strong> bemærk, at id<strong>et</strong> C ligger midt<br />
19
y<br />
C<br />
x<br />
Figur 13: Til v<strong>en</strong>stre ses hvordan d<strong>en</strong> klassiske <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong> ligger symm<strong>et</strong>risk<br />
omkring <strong>et</strong> punkt. Til højre ses hvordan vi ved at kræve d<strong>en</strong> samme symm<strong>et</strong>ri <strong>af</strong><br />
andre <strong>scroll</strong>-<strong>kompressor</strong>er får definer<strong>et</strong> de to sidste sider.<br />
mellem <strong>et</strong> punkt og d<strong>et</strong>s spejlbillede, er C bestemt hvis vi blot specificerer<br />
spejlbilled<strong>et</strong> <strong>af</strong> <strong>et</strong> <strong>en</strong>kelt punkt.<br />
Man kan tænke sig andre måder at definere de to mangl<strong>en</strong>de sider på; m<strong>en</strong><br />
spejlingsm<strong>et</strong>od<strong>en</strong> har d<strong>en</strong> store fordel, at <strong>kompressor</strong><strong>en</strong> så bliver symm<strong>et</strong>risk,<br />
og d<strong>et</strong> er dermed garanter<strong>et</strong>, at de to ‘kanaler’ giver d<strong>en</strong> samme kompression.<br />
Hvis man ser bort fra lækager og andre fysiske fænom<strong>en</strong>er, så er kompression<strong>en</strong><br />
bestemt <strong>af</strong> kompressionskamr<strong>en</strong>es rumfang, og vi skal nu se, hvordan<br />
disse kan beregnes eksakt ud fra d<strong>en</strong> naturlige ligning. Grundflad<strong>en</strong> <strong>af</strong> <strong>et</strong><br />
kompressionskammer er begræns<strong>et</strong> <strong>af</strong> to kurvestykker, beligg<strong>en</strong>de mellem<br />
to konsekutive røringspunkter, <strong>et</strong> fra sid<strong>en</strong> <strong>af</strong> d<strong>en</strong> bevægelige spiral x og<br />
<strong>et</strong> fra indhyllingskurv<strong>en</strong> y + , som er d<strong>en</strong> <strong>til</strong>svar<strong>en</strong>de side <strong>af</strong> d<strong>en</strong> faste spiral.<br />
Hvis d<strong>et</strong> <strong>en</strong>e røringspunkt er y + (ϕ) = x(ϕ) + a(ϕ), så er d<strong>et</strong> næste<br />
røringspunkt y + (ϕ + 2π) = x(ϕ + 2π) +a(ϕ). Vi beregner ikke grundflad<strong>en</strong>s<br />
areal direkte; m<strong>en</strong> som differ<strong>en</strong>s<strong>en</strong> mellem de to arealer udspændt mellem<br />
begyndelsespunkt<strong>et</strong> O og de to kurvestykker, se figur 14.<br />
Areal<strong>et</strong> <strong>af</strong> parallelogramm<strong>et</strong> udspændt <strong>af</strong> to vektorer a og b er giv<strong>et</strong> ved<br />
planprodukt<strong>et</strong>, [a b] = â · b, se figur 15. Planprodukt<strong>et</strong> er lineært i hver<br />
variabel, og er desud<strong>en</strong> antisymm<strong>et</strong>risk.<br />
Arealerne i figur 14 er altså giv<strong>et</strong> ved<br />
A y (ϕ) = 1 2<br />
A x (ϕ) = 1 2<br />
∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
[<br />
y+ (u) y ′ +(u) ] du,<br />
[<br />
x(u) + a(ϕ) x ′ (u) ] du,<br />
∫ ϕ+2π<br />
( [y+<br />
(u) y ′ + (u)] − [ x(u) + a(ϕ) x ′ (u) ]) du,<br />
A(ϕ) = A y (ϕ) − A x (ϕ) = 1 2<br />
ϕ<br />
20
A<br />
y + (u)<br />
u = ϕ<br />
u =<br />
ϕ + 2π<br />
O<br />
x(u) + a(ϕ)<br />
= A y<br />
− A x<br />
Figur 14: Areal<strong>et</strong> <strong>af</strong> grundflad<strong>en</strong> i <strong>et</strong> kompressions kammer beregnes som differ<strong>en</strong>s<strong>en</strong><br />
mellem arealerne udspændt <strong>af</strong> O og de to kurvestykker.<br />
For at bestemme planprodukterne, indfører vi forud<strong>en</strong> vektor<strong>en</strong> e(t) =<br />
(cos t, sin t), d<strong>en</strong>s tværvektor f(t) = ê(t) = (− sin t, cost). De opfylder, at<br />
e ′ (t) = f(t),<br />
Vi har desud<strong>en</strong>, at<br />
f ′ (t) = −e(t),<br />
[<br />
e(t) f(t)<br />
]<br />
= −<br />
[<br />
f(t) e(t)<br />
]<br />
= 1.<br />
a(t) = −rf(t), a ′ (t) = re(t), x ′ (t) = ̺x(t)e(t).<br />
Hvis vi ganger planprodukterne i integrand<strong>en</strong> ud får vi<br />
[<br />
y+ (u) y ′ +(u) ] − [ x(u)+a(ϕ) x ′ (u) ] = [ x(u)+a(u) x ′ (u)+a ′ (u) ] − [ x(u)+a(ϕ) x ′ (u) ]<br />
= [ x(u) a ′ (u) ] + [ a(u) x ′ (u) ] + [ a(u) a ′ (u) ] − [ a(ϕ) x ′ (u) ] .<br />
Vi udregner nu integral<strong>et</strong> <strong>af</strong> hvert led:<br />
1<br />
2<br />
∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
∫ ϕ+2π<br />
[<br />
x(u) a ′ (u) ] du =<br />
2[ 1 [x(u) ] ] ϕ+2π<br />
a(u) − 1 [<br />
x ′ (u) a(u) ] du<br />
ϕ 2 ϕ<br />
= 1 ( [x(ϕ ] [ ] )<br />
+ 2π) − rf(ϕ + 2π) − x(ϕ) − rf(ϕ)<br />
2<br />
− 1 2<br />
∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
[̺xe(u) − rf(u) ] du<br />
= 1 2 r[ x(ϕ) − x(ϕ + 2π) f(ϕ) ] + 1 2 r ∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
̺x du<br />
= 1 ( [x(ϕ)<br />
2 r ] )<br />
− x(ϕ + 2π) f(ϕ) + sx (ϕ + 2π) − s x (ϕ) ,<br />
21
r(u 2 )<br />
r ′ (u)<br />
r(u)<br />
r(u 1 )<br />
â<br />
b<br />
a<br />
O<br />
Figur 15: Til v<strong>en</strong>stre areal<strong>et</strong> <strong>af</strong> <strong>et</strong> parallelogram udspændt <strong>af</strong> a og b. Grundlini<strong>en</strong><br />
er længd<strong>en</strong> <strong>af</strong> a og højd<strong>en</strong> er projektion<strong>en</strong> <strong>af</strong> b ind på â, så areal<strong>et</strong> er [a b] = â ·b.<br />
Til højre ses areal<strong>et</strong> udspændt <strong>af</strong> <strong>et</strong> punkt og <strong>et</strong> kurvestykke. Da d<strong>et</strong> infinitesimale<br />
areal er giv<strong>et</strong> ved 1 2 [r(u) r′ (u)]du, er d<strong>et</strong> totale areal giv<strong>et</strong> ved 1 ∫ u2<br />
2 u 1<br />
[r(u) r ′ (u)]du.<br />
d<strong>et</strong> næste led har vi allerede mødt ov<strong>en</strong>for, så vi har umiddelbart<br />
1<br />
2<br />
∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
D<strong>et</strong> tredie led giver<br />
1<br />
2<br />
∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
[<br />
a(u) x ′ (u) ] du = 1 2 r( s x (ϕ + 2π) − s x (ϕ) ) .<br />
[<br />
a(u) a ′ (u) ] du = 1 2<br />
∫ ϕ+2π<br />
ϕ<br />
∫<br />
[ ] 1 ϕ+2π<br />
−rf(u) re(u) du = r 2 du = πr 2 ,<br />
2 ϕ<br />
i over<strong>en</strong>sstemmelse med at a beskriver <strong>en</strong> cirkel med radius r. D<strong>et</strong> sidste led<br />
giver<br />
∫<br />
1 ϕ+2π<br />
− [ a(ϕ) x ′ (u) ] du = 1 [ [rf(ϕ) ] ] ϕ+2π<br />
x(u)<br />
2 ϕ<br />
2<br />
ϕ<br />
= 1 (<br />
2 r − [ x(ϕ + 2π) f(ϕ) ] + [ x(ϕ) f(ϕ) ])<br />
= 1 2 r[ x(ϕ) − x(ϕ + 2π) f(ϕ) ] .<br />
D<strong>et</strong> ønskede areal fås nu <strong>til</strong><br />
[x(ϕ) ] )<br />
A(ϕ) = πr 2 + r(<br />
− x(ϕ + 2π) f(ϕ) + sx (ϕ + 2π) − s x (ϕ) .<br />
Bemærk, at vi atter har, at hvis ̺x(ϕ) er <strong>et</strong> polynomium, så kan x(ϕ), s x (ϕ)<br />
og dermed areal<strong>et</strong> A(ϕ) udregnes eksakt.<br />
22
Arbejd<strong>et</strong> med at finde d<strong>en</strong> optimale spiral er ikke færdigt. D<strong>et</strong>te arbejde<br />
pågår i samarbejde med Danfoss; m<strong>en</strong> d<strong>et</strong> er klart, at mulighed for at<br />
opskrive eksakte udtryk for alle de vigtige geom<strong>et</strong>risk eg<strong>en</strong>skaber ved <strong>scroll</strong><strong>kompressor</strong><strong>en</strong><br />
l<strong>et</strong>ter arbejd<strong>et</strong> b<strong>et</strong>ydeligt. Vi bør her bemærke, at ikke al<strong>en</strong>e<br />
polynomielle udtryk for ̺(ϕ) giver eksakte udtryk; m<strong>en</strong> også stykkevis polynomielle<br />
udtryk fører <strong>til</strong> eksakte udtryk. Da <strong>en</strong>hver funktion meg<strong>et</strong> l<strong>et</strong> kan<br />
<strong>til</strong>nærmes med <strong>en</strong> stykkevis polynomiel funktion b<strong>et</strong>yder d<strong>et</strong>, at der i praksis<br />
ikke er nog<strong>en</strong> begrænsning på de spiraler, der kan analyseres eksakt.<br />
Refer<strong>en</strong>ces<br />
[1] L. Creux. Rotary Engine. US Pat<strong>en</strong>t 801182, 1905.<br />
[2] F. Fabricius-Bjerre. Lærebog i Geom<strong>et</strong>ri II. Differ<strong>en</strong>tialgeom<strong>et</strong>ri og kinematisk<br />
geom<strong>et</strong>ri. Polyteknisk Forlag, Lyngby, 6. udg., 1987.<br />
[3] J. Graves<strong>en</strong>, C. H<strong>en</strong>riks<strong>en</strong> og P. Howell. Danfoss: Scroll<br />
optimization. I Graves<strong>en</strong> og Hjorth [4], side 3–35. URL<br />
http://www.mat.dtu.dk/ESGI32/Report.<br />
[4] J. Graves<strong>en</strong> og P. Hjorth, redaktører. 32nd European Study Group with<br />
Industry, Final Report. Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universit<strong>et</strong>,<br />
1998. URL http://www.mat.dtu.dk/ESGI32/Report.<br />
[5] H. W. Gugg<strong>en</strong>heimer. Differ<strong>en</strong>tial Geom<strong>et</strong>ry. McGraw-Hill Book Company,<br />
Inc., New York, 1963.<br />
[6] B. Jess<strong>en</strong>. Lærebog i Geom<strong>et</strong>ri II. Differ<strong>en</strong>tialgeom<strong>et</strong>ri og nomogr<strong>af</strong>i. Jul.<br />
Gjellerups Forlag, Køb<strong>en</strong>havn, And<strong>en</strong> udg., 1945.<br />
[7] J. E. McCullough og F. Hirschfeld. The <strong>scroll</strong> machine — an old principle<br />
with a new twist. Mech. Eng., 101(12):46–51, 1979.<br />
23