Matematik 1 side 1 Hjemmeopgavesæt 3: Afleveres til ...

Matematik 1 side 1
Hjemmeopgavesæt 3:
Afleveres til klasselæreren på Lille Dag i semesteruge 8.
1. I vektorrummet R 2 er der givet vektorerne a 1 = (8,−3) og a 2 = (5,−2). Endvidere er en
lineær afbildning f : R 2 → R 2 fastlagt ved
f (a 1 ) = 2a 1 − 3a 2 og f (a 2 ) = −a 1 + 2a 2 .
(a) Gør rede for at (a 1 ,a 2 ) er en basis for R 2 .
(b) Angiv afbildningsmatricen for f mht. basis (a 1 ,a 2 ).
(c) Bestem afbildningsmatricen for f mht. den sædvanlige basis for R 2 .
(d) Bestem kernen for f .
(e) Skriv f (a 1 −2a 2 ) både som en linearkombination af a 1 og a 2 og som en linearkombination
af de sædvanlige basisvektorer i R 2 .
(f) Løs den lineære ligning f (x) = (−21,15).
2. Lad U ⊆ R 2×2 være mængden af symmetriske 2 × 2 matricer, dvs. at 2 × 2 matricen A
tilhører U hvis og kun hvis A = A T .
(a) Vis at U er et underrum af R 2×2 .
(b) Bestem en basis for U og angiv dimensionen af U .
(c) En lineær afbildning f : R 2×2 → R har afbildningsmatricen F = [1 1 1 0] mht. den
sædvanlige basis i R 2×2 og den sædvanlige basis i R. Bestem kernen for f .
(d) Angiv en lineær afbildning g : R 2×2 → R som har U som kerne.
3. En afbildning f : P 3 (R) → R 2 er givet ved at
(a) Vis at f er lineær.
f (P(x)) = (P(1),P(−2)).
(b) Find afbildningsmatricen for f med hensym til monomie-basis i P 3 (R) og den sædvanlige
basis i R 2 .
(c) Find dimensionen af kernen for f og dimensionen af billedrummet af f , og bestem
en basis for kernen for f og en basis for billedrummet af f .
(d) Vis at x − x 3 er en løsning til den lineære ligning f (P(x)) = (0,6), og bestem den
fuldstændige løsning til den lineære ligning.
(e) Bestem en løsning til den lineære ligning f (P(x)) = (0, a), hvor a er et vilkårligt
reelt tal.
(f) Find afbildningsmatricen for f med hensyn til monomie-basis i P 3 (R) og den i
opgave 1 benyttede basis (a 1 ,a 2 ).

side 2 Matematik 1
NB: I vurderingen af dette sæt vil der blive lagt særlig vægt på at du
• kan afgøre om en given mængde er et underrum af et vektorrum
• kan vise om en given mængde af vektorer er en basis for et givet rum
• kan opererere med koordinater, vektorer og afbildningsmatricer
• kan skifte koordinater
• kan bestemme kernen, rangen og billedet af en afbildningsmatrix
• skriver sammenhængende og præcist og kan udføre simple matematiske ræsonnementer