Varmepumpen – et eksempel på brug af termodynamikkens ... - LMFK

2 k
T T
T k P
2 − ( 20 + +
cm t ) T 2 + k = 0 ⇔
20
2
T − qT + k = 0
2
2
k
q T
T k P
hvor = ( 20 + + t)
cm
20
samt en helt tilsvarende ligning for T 1
. Selv om løsningen er
helt ligetil, er den ikke særlig anvendelig. Det bedste er faktisk,
at løse differentialligningerne numerisk. Dette er vist på
den første figur nedenfor.
For begge beholdere med 2 liter vand og fælles begyndelsestemperatur
på 20 °C bliver kurverne som vist nederst.
Temperaturen i den ene beholder falder imidlertid hurtigt til
under frysepunktet, så kurverne er ikke realistiske. For at få
en mere realistisk beskrivelse, må vi antage, at det ene reservoir
er meget større end det andet. Principielt er det det samme
som før, men opstillingen af differentialligningerne kræver
lidt mere arbejde.
cm 1·dT 1
+ cm 2·dT 2
= Pdt =>
cm ⋅dT −cm
1 1 2
⎛ k ⎞
⎝⎜
T1
⎠⎟
bT k b 1
T T dT P
( 1− ( ) ) 1 =
cm dt
1
1
1
1
b
1
dT = Pdt ⇒
1
1
I dette tilfælde er en eventuel analytisk løsning ikke særlig meningsfuld,
så vi nøjes med en numerisk løsning. Sætter vi fx
β = 0,1 (m 1
= 10·m 2
), så fremkommer følgende kurver, hvor tiden
er afsat ud ad 1.aksen og Kelvin–temperaturen ad 2. aksen.
Kurverne er i overensstemmelse med de kurver, jeg nåede at
se på computergraferne fra forsøget.
dQ
T
1
1
dQ2
+ = 0 , dQ
T
1
= cm 1·dT 1
og dQ 2
= cm 2·dT 2
=>
2
m1dT1
m2dT2
+ = 0
T1
T2
b
m
som fører til
2
T1T
2 = k, hvor b = . Dette fører så til
ligningerne:
m1
T
1
k
k
= ⇒ dT1
= − dT
1 2
T
b b
+ b
T
og
2
2
T
b
2
k
b−1
k
= ⇒ bT2
dT2
= −
T
T
1
dT
2 1
1
, dvs.
dT
⇒
2
k
T T dT k
= −
T T T T dT
1 2 1 = −
b−
b −1
b
b( )
2
1
kT2
kT dT k(
kT1
)
= − 1 = −
b
bkT
2
1
1
−1
b
1
1
−1
b
( kT )
k
= − dT1
= −
bT1
bT
dT
⎛ k ⎞
⎝
⎜T1
⎠⎟
= −
bT
1
b
1
dT
1
1
1
b
2 1 2
dT
1
dT
1 1 1
+
b
1
1
1
Dette indsættes i 2. hovedsætning som tidligere:
cm 2·dT 2
+ cm 1·dT 1
= Pdt =>
Matematik
Fysik
bk
cm2 ⋅dT2 − cm1
dT Pdt
1 2 = ⇒
b+
T
k
P
( 1− ) bdT
T
cm dt
1 2 =
b+
2
2
1
28 LMFK-bladet 6/2011