Varmepumpen â et eksempel pÃ¥ brug af termodynamikkens ... - LMFK
Varmepumpen â et eksempel pÃ¥ brug af termodynamikkens ... - LMFK
Varmepumpen â et eksempel pÃ¥ brug af termodynamikkens ... - LMFK
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2 k<br />
T T<br />
T k P<br />
2 − ( 20 + +<br />
cm t ) T 2 + k = 0 ⇔<br />
20<br />
2<br />
T − qT + k = 0<br />
2<br />
2<br />
k<br />
q T<br />
T k P<br />
hvor = ( 20 + + t)<br />
cm<br />
20<br />
samt en helt tilsvarende ligning for T 1<br />
. Selv om løsningen er<br />
helt lig<strong>et</strong>il, er den ikke særlig anvendelig. D<strong>et</strong> bedste er faktisk,<br />
at løse differentialligningerne numerisk. D<strong>et</strong>te er vist på<br />
den første figur nedenfor.<br />
For begge beholdere med 2 liter vand og fælles begyndelsestemperatur<br />
på 20 °C bliver kurverne som vist nederst.<br />
Temperaturen i den ene beholder falder imidlertid hurtigt til<br />
under frysepunkt<strong>et</strong>, så kurverne er ikke realistiske. For at få<br />
en mere realistisk beskrivelse, må vi antage, at d<strong>et</strong> ene reservoir<br />
er meg<strong>et</strong> større end d<strong>et</strong> and<strong>et</strong>. Principielt er d<strong>et</strong> d<strong>et</strong> samme<br />
som før, men opstillingen <strong>af</strong> differentialligningerne kræver<br />
lidt mere arbejde.<br />
cm 1·dT 1<br />
+ cm 2·dT 2<br />
= Pdt =><br />
cm ⋅dT −cm<br />
1 1 2<br />
⎛ k ⎞<br />
⎝⎜<br />
T1<br />
⎠⎟<br />
bT k b 1<br />
T T dT P<br />
( 1− ( ) ) 1 =<br />
cm dt<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
b<br />
1<br />
dT = Pdt ⇒<br />
1<br />
1<br />
I d<strong>et</strong>te tilfælde er en eventuel analytisk løsning ikke særlig meningsfuld,<br />
så vi nøjes med en numerisk løsning. Sætter vi fx<br />
β = 0,1 (m 1<br />
= 10·m 2<br />
), så fremkommer følgende kurver, hvor tiden<br />
er <strong>af</strong>sat ud ad 1.aksen og Kelvin–temperaturen ad 2. aksen.<br />
Kurverne er i overensstemmelse med de kurver, jeg nåede at<br />
se på computergr<strong>af</strong>erne fra forsøg<strong>et</strong>.<br />
dQ<br />
T<br />
1<br />
1<br />
dQ2<br />
+ = 0 , dQ<br />
T<br />
1<br />
= cm 1·dT 1<br />
og dQ 2<br />
= cm 2·dT 2<br />
=><br />
2<br />
m1dT1<br />
m2dT2<br />
+ = 0<br />
T1<br />
T2<br />
b<br />
m<br />
som fører til<br />
2<br />
T1T<br />
2 = k, hvor b = . D<strong>et</strong>te fører så til<br />
ligningerne:<br />
m1<br />
T<br />
1<br />
k<br />
k<br />
= ⇒ dT1<br />
= − dT<br />
1 2<br />
T<br />
b b<br />
+ b<br />
T<br />
og<br />
2<br />
2<br />
T<br />
b<br />
2<br />
k<br />
b−1<br />
k<br />
= ⇒ bT2<br />
dT2<br />
= −<br />
T<br />
T<br />
1<br />
dT<br />
2 1<br />
1<br />
, dvs.<br />
dT<br />
⇒<br />
2<br />
k<br />
T T dT k<br />
= −<br />
T T T T dT<br />
1 2 1 = −<br />
b−<br />
b −1<br />
b<br />
b( )<br />
2<br />
1<br />
kT2<br />
kT dT k(<br />
kT1<br />
)<br />
= − 1 = −<br />
b<br />
bkT<br />
2<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
b<br />
1<br />
1<br />
−1<br />
b<br />
( kT )<br />
k<br />
= − dT1<br />
= −<br />
bT1<br />
bT<br />
dT<br />
⎛ k ⎞<br />
⎝<br />
⎜T1<br />
⎠⎟<br />
= −<br />
bT<br />
1<br />
b<br />
1<br />
dT<br />
1<br />
1<br />
1<br />
b<br />
2 1 2<br />
dT<br />
1<br />
dT<br />
1 1 1<br />
+<br />
b<br />
1<br />
1<br />
1<br />
D<strong>et</strong>te indsættes i 2. hovedsætning som tidligere:<br />
cm 2·dT 2<br />
+ cm 1·dT 1<br />
= Pdt =><br />
Matematik<br />
Fysik<br />
bk<br />
cm2 ⋅dT2 − cm1<br />
dT Pdt<br />
1 2 = ⇒<br />
b+<br />
T<br />
k<br />
P<br />
( 1− ) bdT<br />
T<br />
cm dt<br />
1 2 =<br />
b+<br />
2<br />
2<br />
1<br />
28 <strong>LMFK</strong>-blad<strong>et</strong> 6/2011