Varmepumpen – et eksempel på brug af termodynamikkens ... - LMFK

Varmepumpen
– et eksempel på brug af termodynamikkens 1. og 2. hovedsætning
Ole Witt–Hansen, Køge Gymnasium
I juni var jeg censor på et A–niveau hold i fysik. En af øvelser,
som jeg blev præsenteret for, var varmepumpen. Lidt
overraskende for mig, idet termodynamikken jo ikke er ganske
ukompliceret, og fordi fascinationen af varmepumper til
jordvarme toppede i kølvandet på halvfjerdsernes oliekriser.
Forsøget med varmepumpen krævede nu heller ikke andet end
1. hovedsætning, idet den varme Q 2
, som tilføres den ene beholder,
er lig med den varme Q 1
, som hentes fra den anden beholder,
plus det arbejde A, som varmepumpen udfører.
Q 2
= A + Q 1
Effektiviteten beregnes som
η = Q 2
/A
Effektiviteten er teoretisk klart altid større end 1. Formålet
med forsøget var at bestemme effektiviteten ud fra temperaturkurverne,
idet varmemængderne jo kan beregnes ud fra kalorimeterligningerne.
Q 1
= –m 1·c·ΔT 1
og Q 2
= m 2·c·ΔT 2
Temperaturerne i de to beholdere blev dataopsamlet og ført
ind i en computer, hvor de to kurver blev tegnet. Desværre
skete der et eller andet, så alle data blev mistet på et sent tidspunkt
af forsøget.
De temperaturkurver, som jeg nåede at se, så ud til at være lineære,
men fysiklæreren fastslog, at det var de ikke. Jeg længtes
nu efter en teoretisk begrundelse for de to temperaturkurver.
Da jeg tænkte over det senere, var det klart, at en teoretisk
udledning kun er mulig ved en differentiel anvendelse af
2. hovedsætning, og så har vi jo passeret gymnasieniveauet
med flere længder. På denne måde er det ellers meget simpelt:
1. hovedsætning: dQ 2
= dA + dQ 1
Vi kan uden egentlig indskrænkning antage at m 1
= m 2
= m,
og ved at forkorte med c·m, får man ligningen:
dQ1
dQ2
+ = 0
T1
T2
dT1
dT2
⇔ + = 0 ⇔ lnT1 + ln T2 = k1 ⇔ T1·
T2
= k
T T
1
2
Vi finder det simple resultat, som konsekvens af entropibevarelse,
at T 1
og T 2
er omvendt proportionale. For at anvende
dette i 1. hovedsætning, bliver vi nødt til at have en sammenhæng
mellem dT 1
og dT 2
.
Ud fra ligningen T 1·T 2
= k følger imidlertid
T
1
k
k
= ⇒ dT1
= −
T
T
2
og tilsvarende
dT
2 2
2
k
k
T2
= ⇒ dT2
= −
T
T
dT 2 1
1
1
Indsættes det ene (eller det andet) udtryk i 1. hovedsætning,
dQ 2
= dA + dQ 1
, og dA = Pdt, hvor P er den tilførte effekt, fås:
cm·dT 2
= Pdt – cm·dT 1
(minus fordi dT 1
er negativ) – og man finder, at
cm ⋅ dT cm k
T dT Pdt k P
2 − = ⇒ − dT
T
= cm dt
2 2
( 1 )
2 2
Og tilsvarende
2
cm ⋅ dT cm k
T dT Pdt k P
1 − = − ⇒ − dT
T
= cm dt
2 1
( 1 )
2 1
1
Tilsyneladende er der fuldstændig symmetri mellem de to ligninger,
men k = T 1
T 2
= T 02
, hvor T 0
er den fælles begyndelsestemperatur.
Hvis T 2
forøges blot en lille smule, vil T 1
formindskes
tilsvarende, så T 2
2
> k, mens T 1
2
< k i ligningerne ovenfor.
2
1
Matematik
Fysik
2. hovedsætning: dS = dS 1
+ dS 2
hvor S er entropien og dS
1
dQ1
dQ2
= og dS2
= .
T
T
Hvis processen er reversibel – og det bliver vi nødt til at antage,
hvis vi vil udlede noget som helst – vil der gælde:
dS = 0 Û dS 1
+ dS 2
= 0 Û dQ T
1
1
1
2
dQ2
+ = 0
T
hvor man kan indsættes udtrykkene ovenfor, som på differentiel
form bliver: dQ 1
= –m 1·c·ΔT 1
og dQ 2
= m 2·c·ΔT 2
.
2
De to faktorer i parenteserne vil derfor få forskelligt fortegn
så T 1
vil aftage mens T 2
vil vokse.
Idet T 10
og T 20
betegner de to begyndelsestemperaturer, lader
ligningerne sig nemt integrere til at give:
T
k k P
− T + − =
T T cm t
k k P
og T1 − T10
+ − =
T T cm t
2 20
2 20
1 10
Ganger man den første ligning igennem med T 2
T 20
fremkommer
en 2.gradsligning, som efter reduktion bliver:
26 LMFK-bladet 6/2011

2 k
T T
T k P
2 − ( 20 + +
cm t ) T 2 + k = 0 ⇔
20
2
T − qT + k = 0
2
2
k
q T
T k P
hvor = ( 20 + + t)
cm
20
samt en helt tilsvarende ligning for T 1
. Selv om løsningen er
helt ligetil, er den ikke særlig anvendelig. Det bedste er faktisk,
at løse differentialligningerne numerisk. Dette er vist på
den første figur nedenfor.
For begge beholdere med 2 liter vand og fælles begyndelsestemperatur
på 20 °C bliver kurverne som vist nederst.
Temperaturen i den ene beholder falder imidlertid hurtigt til
under frysepunktet, så kurverne er ikke realistiske. For at få
en mere realistisk beskrivelse, må vi antage, at det ene reservoir
er meget større end det andet. Principielt er det det samme
som før, men opstillingen af differentialligningerne kræver
lidt mere arbejde.
cm 1·dT 1
+ cm 2·dT 2
= Pdt =>
cm ⋅dT −cm
1 1 2
⎛ k ⎞
⎝⎜
T1
⎠⎟
bT k b 1
T T dT P
( 1− ( ) ) 1 =
cm dt
1
1
1
1
b
1
dT = Pdt ⇒
1
1
I dette tilfælde er en eventuel analytisk løsning ikke særlig meningsfuld,
så vi nøjes med en numerisk løsning. Sætter vi fx
β = 0,1 (m 1
= 10·m 2
), så fremkommer følgende kurver, hvor tiden
er afsat ud ad 1.aksen og Kelvin–temperaturen ad 2. aksen.
Kurverne er i overensstemmelse med de kurver, jeg nåede at
se på computergraferne fra forsøget.
dQ
T
1
1
dQ2
+ = 0 , dQ
T
1
= cm 1·dT 1
og dQ 2
= cm 2·dT 2
=>
2
m1dT1
m2dT2
+ = 0
T1
T2
b
m
som fører til
2
T1T
2 = k, hvor b = . Dette fører så til
ligningerne:
m1
T
1
k
k
= ⇒ dT1
= − dT
1 2
T
b b
+ b
T
og
2
2
T
b
2
k
b−1
k
= ⇒ bT2
dT2
= −
T
T
1
dT
2 1
1
, dvs.
dT
⇒
2
k
T T dT k
= −
T T T T dT
1 2 1 = −
b−
b −1
b
b( )
2
1
kT2
kT dT k(
kT1
)
= − 1 = −
b
bkT
2
1
1
−1
b
1
1
−1
b
( kT )
k
= − dT1
= −
bT1
bT
dT
⎛ k ⎞
⎝
⎜T1
⎠⎟
= −
bT
1
b
1
dT
1
1
1
b
2 1 2
dT
1
dT
1 1 1
+
b
1
1
1
Dette indsættes i 2. hovedsætning som tidligere:
cm 2·dT 2
+ cm 1·dT 1
= Pdt =>
Matematik
Fysik
bk
cm2 ⋅dT2 − cm1
dT Pdt
1 2 = ⇒
b+
T
k
P
( 1− ) bdT
T
cm dt
1 2 =
b+
2
2
1
28 LMFK-bladet 6/2011