Længdebestemmelse for et andengradspolynomium - LMFK

Funktionen f (x) = ax 2 + bx + c er en parabel med
toppunkt i (x T
, y T
). Den fremkommer som en flytning
af f a
2
( x a
) = a x a
. Da
2a x α
= 2a x + b f (x) – y T
= f a
( x a
),
og da kurvelængden af en kurve ikke ændres
ved en flytning, kan vi nu samle resultatet på
følgende form:
______
L kurve
= [ q 4 – 1
16 a q 2 – _____ ln(q)
q
4 a ]
2
q 1
hvor
____________
q(x)=2ax + b + √(2ax + b) 2 + 1 .
Den praktiske form: parabellængden
Givet funktionen f(x) = ax 2 + bx + c bestemmes
kurvelængden, L, mellem x 1
< x 2
som
L = q 4
______ – 1
2
2
16 a q – q __
4
– 1 ln
______
( q 2
1
2
2
16 a q + _____ q 1
)
1
4 a ,
hvor q 1
= q 1
(x) og q 2
= q 2
(x) først udregnes vha.
funktionen
____________
q(x) = 2ax + b + √(2ax + b) 2 + 1 .
Et regneeksempel
På et cykelskur er taget beskrevet ved funktionen
f(x) = -3x 2 + 4x + 2,5
Skurets bredde er 3 m, døråbningen 1 m bred og
dybden 1,5 m. Skuret er konstrueret i gennemsigtige
plastikplader. Find arealet af skurets sider
og tag.
Vi regner i det følgende uden enheder, men
arealer kommer naturligvis ud i m 2 . Vi husker,
at kurvelængden beregnes med
__________
1,5
L = ∫ 0 √1 + (f '(x)) 2 dx .
For funktionen f(x) = ax 2 + bx + c har dette integral
følgende generelle løsningmetode, idet
kurvelængden af parablen fra x 1
til x 2
bestemmes
som følger:
a) Benyt først funktionen ____________
q(x)=2ax + b + √(2ax + b) 2 + 1
til at udregne q 1
= q(x 1
) og q 2
= q(x 2
).
b) Herefter indsættes q 1
og q 2
i
L = q 4
______ – 1
2
2
16 a q – q __
4
– 1 ln
______
( q 2
1
2
2
16 a q + _____ q 1
)
1
Opgaven beregnes
Forside og bagside fås af
A for
= 2 · f (0) = 5
A bag
= 3 · f (1,5) = 5,25
Sidearealet findes af integralet
A side
= ∫ 1,5 0 -3x 2 + 4x + 2,5 dx
= [-3∙ 1_ 3 x3 +4∙ 1_ 2 x2 1,5
+ 2,5x + k ] 0
= -1,5 3 + 2∙1,5 2 + 2,5 ∙ 1,5 – (0)
= 4,875
Så de to sider har altså arealet 9,75.
Til taget vil vi bruge formlen
__________
1,5
L = ∫ 0 √1 + (f '(x)) 2 dx
med den opgivne funktion ____________ og finder
q 1
(0) = -6∙0 + 4 + √(-6∙0 _____________
+ 4) 2 + 1 = 8,123
q 2
(1,5) = -6∙1,5 + 4 + √(-6∙1,5 + 4) 2 + 1 = 0,099
hvilket giver
____ 0,099
__________ 0,099
L =
4 – 1
16·(-3)· 0,099 – 8,123 4 – 1 ln
__________ ( ) ______ 8,123 2 2 +
16∙(-3)· 8,123 4·(-3) = 3,866
Tagarealet er da
A tag
= bredde ∙ kurvelængde = 3 ∙ 3,866 = 11,599.
Det samlede pladeareal bliver dermed A = 31,599.
Konklusion
Det viste sig således, at vi kunne finde en generel
løsningsformel til beregning af længden af et udsnit
af et andengradspolynomium. Formlen kan
udleveres til gymnasieelever på et relativt tidligt
tidspunkt og muliggør opgavetyper med lidt mere
spændende faconer.
4 a . ◊
LMFK-bladet, nr. 2, marts 2010 21
Matematik