Uge 9.pdf

SEKTION 9.1
EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER
9.1 Egenværdier og egenvektorer
Definition 9.1.1
1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V → V være en lineær transformation. λ ∈ F
er en egenværdi for T , hvis der findes v ∈ V \{0}, så
T (v) =λv.
v kaldes da en egenvektor for T associeret til, eller svarende til, λ.
2. Lad A ∈ Mat n,n (F). λ ∈ F er en egenværdi for A hvis der findes z ∈ F n \{0}, så
Az = λz.
z kaldes da en egenvektor for A associeret til, eller svarende til, λ.
Eksempler 9.1.2
1. Ethvert tal λ ∈ R er en egenværdi for differentiation D : C ∞ (R) → C ∞ (R); f(t) =e λt
er en tilsvarende egenvektor.
(En egenvektor i et funktionsrum kaldes ofte en egenfunktion.)
2. √ 2, − √ 2 er egenværdier for
[ ] 1 1
∈ Mat
1 −1
2,2 (R),
idet
[ ][ √ ]
1 1 1+ 2
1 −1 1
= √ [ √
1+ 2
2
1
]
,
[ ][ √ ]
1 1 1 − 2
1 −1 1
= − √ [ √
1 − 2
2
1
]
.
Lemma 9.1.3
Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V = {v 1 , . . . , v n }, og lad T : V → V være en
lineær transformation.
Så er λ en egenværdi for T ⇔ λ er en egenværdi for M(T ) V,V ,
og v ∈ V er en egenvektor for T associeret til λ ⇔ [v] V er en egenvektor for M(T ) V,V
associeret til λ.
Bevis
Da koordinatisering mht. V giver en isomorfi V → F n , gælder
T (v) =λv ⇔ [T (v)] V =[λv] V ⇔ M V,V (T )[v] V = λ[v] V .
Da v = 0 ⇔ [v] V = 0 følger udsagnet umiddelbart.
155

SEKTION 9.1
EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER
Pga. lemma 9.1.3 vil vores udregning af egenværdier og egenvektorer næsten altid foretages
for matricer – men det er oftest egenskaber af lineære transformationer, som vi dermed prøver at
afdække. Se f.eks. Application 1 og Application 2 i [L], 6.1.
Det er nemlig sådan, at vi kan udregne egenværdier og egenvektorer for en matrix på algoritmisk
vis:
Proposition 9.1.4 ([L], s. 302)
Lad A ∈ Mat n,n (F), λ ∈ F. Følgende er ækvivalente:
(a) λ er en egenværdi for A.
(b) Ligningssystemet (A − λI)x = 0 har en ikke-triviel løsning.
(c) N(A − λI) ≠ {0}.
(d) A − λI er singulær.
(e) det(A − λI) = 0.
Bevis
(a)⇒(b): Der findes z ∈ F n \{0} så Az = λz, så 0 = Az − λz =(A − λI)z, og z er en
ikke-triviel løsning til (A − λI)x = 0.
(b)⇒(c): En ikke-triviel løsning z til (A − λI)x = 0 ligger i N(A − λI), og er ikke 0.
(b)⇔(d): Sætning 1.4.8.
(d)⇔(e): Sætning 8.1.15.
(c)⇒(a): Lad z ∈ N(A − λI) \{0}, så 0 =(A − λI)z = Az − λz og Az = λz. Da z ≠ 0 er λ
en egenværdi for A.
Proposition 9.1.5
Hvis det(A − λI) beregnes for et ubestemt λ, så fås et polynomium af grad n i λ,
p A (λ) = det(A − λI);
vi har
p A (λ) =(−1) n λ n +(−1) n tr(A)λ n−1 + · · · + det(A)
hvor tr(A) =a 11 + · · · + a nn er summen af diagonalindgangene i A.
156

SEKTION 9.1
EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER
Bevis
Den (i,j)’te indgang i A − λI er {
a ij
a ii − λ
Korollar 8.2.5 foretæller, at
det(A) = ∑
hvis i ≠ j
hvis i = j
σ∈S n
a σ(1),1 . . . a σ(n),1 sgn(σ)
anvendt på A − λI ser vi, at det(A − λI) er en sum af produkter af n elementer, som er enten
en a ij ,i≠ j eller en a ii − λ.
p A (λ) = det(A − λI) er således et polynomium af grad højst n; det er dog af grad n, idet
leddet (a 11 − λ)(a 22 − λ) . . . (a nn − λ) er det eneste af de indgående produkter, hvor λ n
optræder. Vi ser, at den optræder med koefficient (−1) n .
Hvis σ ∈ S n ikke er identiteten, så er σ(i) ≠ i for mindst to i ∈{1, . . . , n}, (hvis σ afbilder
n − 1 af 1, . . . , n til sig selv, så må den også afbilde det sidste element til sig selv, idet den er
surjektiv), så λ n−1 optræder i p A (λ) også kun i produktet (a 11 − λ)(a 22 − λ) . . . (a nn − λ): vi
ser, at den optræder med koefficient
(−1) n−1 (a 11 + · · · + a nn ) = (−1) n−1 tr(A).
Endelig er konstant-leddet i p A (λ) det(A), idet dette konstante led er
p A (0) = det(A − 0I) = det(A).
Notation 9.1.6
p A kaldes det karakteristiske polynomium for A.
Korollar 9.1.7
Lad A ∈ Mat n,n (F). λ 0 er en rod for p A (dvs. p A (λ 0 )=0) ⇔ λ 0 er en egenværdi for A, og
hvis λ 0 er en egenværdi for A så er v en tilsvarende egenvektor ⇔ v ∈ N(A − λ 0 I) \{0}.
Vi kan således finde samtlige egenværdier og egenvektorer for A ∈ Mat n,n (F):
1. Find alle rødderne λ 1 , . . . , λ k for p A .
2. For i =1, . . . , k, find en basis {z i1 , . . . , z i,ni } for N(A − λ i I) (her n i = dim N(A − λ i I)).
Så er λ 1 , . . . , λ k de eneste egenværdier for A og for i =1, . . . , k er egenvektorerne for λ i givet som
ikke-trivielle lineære kombinationer af z i1 , . . . , z i,ni .
157

SEKTION 9.1
EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER
Notation 9.1.8
N(A − λ i I) kaldes egenrummet E A (λ i ) svarende til λ i : og dets dimension kaldes den geometriske
multiplicitet Geo A (λ i ) af λ i .
Den algebraiske multiplicitet Alg A (λ 0 ) af λ 0 er derimod det antal gange, λ−λ 0 går op i p A (λ):
hvis p A (λ) =(λ − λ 0 ) m0 q(λ), hvor q(λ 0 ) ≠0, så er m 0 = Alg A (λ 0 ).
Eksempel 9.1.9
Lad
⎡
9 0
⎤
7
A = ⎣−3 2 −3⎦ ∈ Mat 3,3 (R).
−8 0 −6
⎡
⎤
9 − λ 0 7
p A (λ) = det ⎣ −3 2− λ −3 ⎦
−8 0 −6 − λ
[ ]
=(−1) 2+2 9 − λ 7
(2 − λ)
−8 −6 − λ
= (2 − λ)((9 − λ)(−6 − λ) + 56) = (2 − λ)(λ 2 − 3λ + 2)
= (2 − λ) 2 (1 − λ).
Egenværdierne er derfor λ 1 =1, med algebraisk multiplicitet 1, og λ 2 =2med algebraisk
multiplicitet 2.
⎡
⎤ ⎡
⎤
8 0 7 R 3 →R 3 +R 1 8 0 7
R
A − = ⎣−3 1 −3⎦
2→8R
∼
2
⎣−24 8 −24⎦
−8 0 −7
0 0 0
R 2→R
∼
2+3R 1
⎡
⎣ 8 0 7
⎤
0 8 −3⎦
0 0 0
R 1 → 1 8 R 1
R 2→ 1 8 R2
∼
⎡
1 0
⎤
7/8
⎣0 1 −3/8⎦ ,
0 0 0
så
Geo(λ 1 ) = 1.
og
Geo(λ 2 )=2.
E A (λ 1 )=N(A −
⎛⎡
) = Span ⎝⎣ −7 ⎤⎞
3 ⎦⎠ ;
8
⎡
⎤ ⎡ ⎤
7 0 7 1 0 1
A − 2 = ⎣−3 0 −3⎦ ∼ ⎣0 0 0⎦
−8 0 −8 0 0 0
⎛⎡
⎤ ⎡ ⎤⎞
0 −1
E A (λ 2 )=N(A − 2 ) = Span ⎝⎣1⎦ , ⎣ 0 ⎦⎠ ;
0 1
158

SEKTION 9.1
EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER
Eksempel 9.1.10
Lad
[ ]
cos θ − sin θ
A =
∈ Mat
sin θ cos θ
2,2 (R).
A er SMR for rotationen R θ af planen gennem en vinkel θ, hvis θ ≠0,π, så er Av, v ikke
parallelle for v ∈ R 2 \{0}, så A har ingen egenværdi.
Hvis vi udregner
ser vi, at p A (λ) har rødder
p A (λ) = (cos θ − λ) 2 + sin 2 θ = λ 2 − 2λ cos θ +1
2 cos θ ± √ 4 cos 2 θ − 4
2
så rødderne er ikke reelle når sin θ ≠0, dvs. når θ ≠0,π.
= cos θ ± i sin θ,
Sætning 9.1.11 (Algebraens Fundamentalsætning)
Lad p være et ikke-konstant komplekst polynomium. Da har p en rod. Faktisk kan p skrives
på formen
p(x) =a(x − x 1 ) n1 . . . (x − x k ) n k
hvor a ∈ C \{0} og x 1 , . . . , x r ∈ C er p’s rødder.
Vi vil ikke vise denne sætning i dette kursus, der henvises i stedet for til bøger eller kurser i
kompleks analyse.
Notation 9.1.12
n i er multipliciteten af x i som rod af p; p har n = n 1 + · · · + n k rødder talt med multiplicitet.
Korollar 9.1.13
Lad A ∈ Mat n,n (C). Da har Anegenværdier, talt med algebraisk multiplicitet.
Når en matrix har reelle indgange, så kan den også opfattes som en kompleks matrix, fordi de
reelle tal er indlejrede i de komplekse. Så vi kan, og ofte vil, betragte komplekse egenværdier for en
reel kvadratisk matrix. Mange udredninger og udregninger bliver meget nemmere, når komplekse
egenværdier tages i betragtning, også selv om det er reel information, der søges.
159

SEKTION 9.1
EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER
Lemma 9.1.14
Lad A ∈ Mat n,n (R); lad λ ∈ C \ R være en egenværdi for A, med tilsvarende egenvektor v.
1. ¯λ er en egenværdi for A, med tilsvarende egenvektor ¯v.
2. λ, ¯λ har den samme geometriske multiplicitet som egenværdier for A.
Bevis
1. Vi har Av = λv. Konjuger: Av = λv; så A¯v = ¯λ¯v, idet A har reelle indgange.
2. Antag, at {v 1 , . . . , v k } er en basis for E λ (A). Så er ¯v 1 , . . . , ¯v k ∈ E¯λ(A). De er uafhængige,
for
Så dim E¯λ(A) ≥ dim E λ (A).
c 1 ¯v 1 + · · · + c k ¯v k =0⇒ ¯c 1 v 1 + · · · +¯c k v k =0
⇒ ¯c 1 =0, . . . , ¯c k =0
⇒ c 1 =0, . . . , c k =0,
Med λ erstattet med ¯λ i det ovenstående fås dim E¯λ(A) ≥ dim E¯λ(A);
da ¯λ = λ har vi vist
dim E λ (A) = dim E¯λ(A).
Lemma 9.1.15
Lad A ∈ Mat n,n (R); lad λ ∈ R være en egenværdi for A. Så har λ den samme geometrisk
multiplicitet, uanset om A betragtes som en reel eller en kompleks matrix.
Bevis
Lad
E R A(λ) ={x ∈ R | (A − λI)x = 0}, E C A(λ) ={z ∈ C | (A − λI)z = 0};
så dim EA R (λ) er den geometriske multiplicitet af λ som egenværdi af A betragtet som reel
matrix, mens dim EA C (λ) er den geometriske multiplicitet af λ som egenværdi af A betragtet
som kompleks matrix.
Lad A−λ ∼ H i RREF. Da A−λ har reelle indgange kan denne rækkeækvivalens fås ved
reelle rækkeoperationer, og i så fald gælder A − λ ∼ H uanset om A − λ og H betragtes
som reelle eller komplekse matricer.
Vi har da, ifølge Proposition 3.2.8, 1, at
som påstået.
dim E R A(λ) =Antal søjler uden pivot i H = dim E C A(λ),
160

SEKTION 9.1
EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER
Lemma 9.1.16 ([L], 6.1.1)
Lad A, B ∈ Mat n,n (F) være similære.
1. p A = p B .
2. Hvis λ 0 er en egenværdi for A og B, så er Geo A (λ 0 ) = Geo B (λ 0 ).
Bevis
1. Der gælder, at B = S −1 AS, hvor S ∈ Mat n,n (F) er invertibel.
Vi har for et ubestemt λ
Så
S −1 (A − λ )S = S −1 AS − S −1 (λ )S = B − λ .
p B (λ) = det(B − λ )
= det(S −1 (A − λ )S)
= det(S −1 ) det(A − λ ) det(S)
= det(A − λ )
= p A (λ).
(Vi har brugt, at det(S −1 ) det(S) = det(S −1 S) = det( ) = 1).
2. Lad {v 1 , . . . , v k } være en basis for N(B − λ 0 ). Vi har da for i =1, . . . , n
så Sv 1 , . . . , Sv k ∈ N(A − λ 0 ).
Sv 1 , . . . , Sv k er uafhængige: for antag, at
Så er
(A − λ 0 )Sv i = S(B − λ 0 )v i =0,
c 1 Sv 1 + · · · + c k Sv k = 0, så S(c 1 v 1 , . . . , c k v k )=0.
c 1 v 1 + · · · + c k v k = S −1 S(c 1 v 1 + · · · + c k v k )=S −1 0 = 0;
og c 1 =0, . . . , c k =0fordi v 1 , . . . , v k er uafhængige.
Så
dim N(A − λ 0 ) ≥ dim N(B − λ 0 ).
På samme måde ses, at hvis {w 1 , . . . , w l } er en basis for N(A − λ ), så er
S −1 w 1 , . . . , S −1 w l ∈ N(B − λ ), og uafhængige, så
dim N(A − λ 0 ) ≤ dim(B − λ 0 ).
Så
Geo A (λ 0 ) = dim N(A − λ 0 ) = dim N(B − λ 0 ) = Geo B (λ 0 ).
161

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
9.2 Diagonalisering
Definition 9.2.1
1. Lad L : V → V være en lineær transformation.
L er diagonaliserbar hvis der findes en basis V = {v 1 , . . . , v n } for V bestående af
egenvektorer for L.
Hvis egenværdien svarende til v i er λ i , for i =1, . . . , n, så er
M V,V (L) = [[L(v 1 )] V , . . . , [L(v n )] V ]
= [[λ 1 v 1 ] V , . . . , [λ n v n ] V ]
=[λ 1 e 1 , . . . , λ n e n ]
⎡
⎤
λ 1 0
⎢
= ⎣
. ..
⎥
⎦ ,
0 λ n
en diagonalmatrix.
Definition 9.2.2, fortsat
2. Lad A ∈ Mat n,n (F). A er diagonaliserbar, hvis der findes en basis V = {v 1 , . . . , v n } for
F n bestående af egenvektorer for A.
L A er således diagonaliserbar, og, som ovenfor, hvis egenværdien svarende til v i er λ i for
i =1, . . . , n, så er
⎡
⎤
λ 1
⎢
M V,V (L A )= ⎣
. ..
⎥
⎦ .
λ n
Ifølge Korollar 4.2.9 er
M V,V (L A )=K V,E M E,E (L A )K E,V ,
hvor K E,V er koordinatskiftematricen til E-koordinater (dvs. standard-koordinater) fra V-koordinater
(se slides 3.3).
Skriv V =[v 1 , . . . , v n ] i søjleform.
Ifølge Lemma 3.3.5 (se også [L], s. 158-9) er K E,V = V, K V,E = V −1 ; da M E,E(LA ) = A har vi
⎡
⎤
λ 1
. ..
λ n
⎢
⎣
⎥
⎦ = V −1 AV.
Leon ([L], s. 326) definerer A til at være diagonaliserbar vha. denne formel. Definitionerne er ensbetydende:
162

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Lemma 9.2.3 ([L], 6.3.2)
Lad A ∈ Mat n,n (F). Følgende er ækvivalente:
(1) Der findes en basis for F n bestående af egenvektorer for A.
(2) Der findes n lineært uafhængige egenvektorer for A.
(3) Der findes en invertibel matrix V ∈ Mat n,n (F) så V −1 AV er en diagonalmatrix.
Bevis
(1)⇒(2): er oplagt.
(2)⇒(1): 3.1.4, (eller [L], 3.4.3,I).
(2)⇒(3): Lad v 1 , . . . , v n være lineært uafhængige egenvektorer for A; lad λ 1 , . . . , λ n være
de tilsvarende egenværdier. Skriv V =[v 1 , . . . , v n ] i søjleform. Vi har
hvor
er diagonal.
AV = A[v 1 , . . . , v n ]=[Av 1 , . . . , Av n ]
⎡
⎤
λ 1 0
⎢
=[λ 1 v 1 , . . . , λ n v n ] = [v 1 , . . . , v n ] ⎣
. ..
⎥
⎦
0 λ n
= VD
⎡
⎤
λ 1 0
⎢
D = ⎣
. ..
⎥
⎦
0 λ n
Da V har uafhængige søjler er den invertibel. Vi har derfor V −1 AV = V −1 VD= D.
(3)⇒(2): Antag, at der findes invertibel X ∈ Mat n,n (F) så X −1 AX = D, hvor D er diagonal,
⎡
⎤
λ 1 0
⎢
D = ⎣
. ..
⎥
⎦ .
0 λ n
Skriv X =[x 1 , . . . , x n ] i søjleform. Da X er invertibel, er x 1 , . . . , x n uafhængige.
Vi har AX = X(X −1 AX) = XD, dvs. [Ax 1 , . . . , Ax n ] = [λ 1 x 1 , . . . , λ n x n ]. Men så er
Ax i = λ i x i for i =1, . . . , n; x 1 , . . . , x n er n uafhængige egenvektorer for A.
Lemmaet undgår behændigt at nævne koordinatskift; alligevel er det nyttigt at huske, specielt i
anvendelser, at et koordinatskift er involveret.
163

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Det er nemt at regne med potenser af en diagonaliserbar matrix:
Lemma 9.2.4
Lad A ∈ Mat n,n (F) være diagonaliserbar, og lad v 1 , . . . , v n være en basis af F n bestående
af egenvektorer for A med tilsvarende egenværdier λ 1 , . . . , λ n .
1. Der gælder, at
for alle c 1 , . . . , c n ∈ F og k ∈ N.
A k (c 1 v 1 + · · · + c n v n )=c 1 λ k 1v 1 + · · · + c n λ k nv n
(∗)
2. Lad V =[v 1 , . . . , v n ]. Der gælder, at
⎡
A k = V −1 ⎢
⎣
λ k 1
⎤
⎥
⎦ V
. ..
λ k n
for k ∈ N.
Bevis
1. For k ∈ N er
A k (c 1 v 1 + · · · + c n v n )=c 1 A k v 1 + · · · + c n A k b n
= c 1 λ k 1v 1 + · · · + c n λ k nv n
2. (∗) kan omskrives som
⎡ ⎤
1
A k ⎢
V ⎣c
.
c n
⎥
⎦ = V
⎡
⎢
⎣
λ k 1
⎤ ⎡ ⎤
1
. ..
⎥ ⎢
⎦ ⎣c
.
λ k n c n
⎥
⎦ for alle
⎡ ⎤
1
⎢
⎣c
.
c n
⎥
⎦ ∈ F n ,
så
A k V = V
⎡
⎢
⎣
λ k 1
. ..
λ k n
⎤
⎡
⎥
⎦ og A k ⎢
= V ⎣
λ k 1
. ..
λ k n
⎤
⎥
⎦ V −1 .
164

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Eksempel 9.2.5 ([L] 3.5, Application 1)
Vi har set på dette eksempel tidligere (i begyndelsen af sektion 3.3). Det handler om befolkningsændringer
i en storby: hvert år flytter 6% af befolkningen fra midtbyen til omegnskommuner,
mens 2% flytter den anden vej. Hvis 30% af befolkningen bor i midtbyen, 70% i omegnskommunerne
nu, hvad bliver fordelingen ad årene?
Vi skrev
[ ]
0, 94 0, 02
A =
, x
0, 06 0, 98 0 =
[ 0, 30
0, 70
så giver x n = Ax n−1 ,n=1, 2, . . . denne fordeling efter n år.
Vores løsningsmetode var egentlig at identificere egenvektorer
[ [ ]
1 −1
u 1 = , u
3]
2 =
1
for A; vi så, at Au 1 = u 1 , Au 2 =0, 92u 2 . (Vi kan naturligvis også finde egenværdierne fra
det karakteristiske polynomium
» –
0, 94 − λ 0, 02
p A(λ) =
= λ 2 − 1, 92λ +0, 92 = (λ − 1)(λ − 0, 92),
0, 06 0, 98 − λ
og egenvektorer ved en nulrums- (egenrums-)udregning
f.eks.
Vi har da
Da
E 1 = N A−I = N 2 −0.06
4
0.02
0.06 −0.02
3
5
]
;
[ 1
= R · )
3]
A n (au 1 + bu 2 )=aA n u 1 + bA n u 2 = au 1 + b(0, 92) n u 2 .
(det er her, der skiftes koordinater!) er
x 0 =0, 25u 1 − 0, 05u 2 (1)
x n = A n x 0 =0, 25u 1 − 0, 05(0, 92) n u 2 → 0, 25u 1 når n →∞. (2)
Da u 1 , u 2 er uafhængige, er A diagonaliserbar, og, hvis U =[u 1 , u 2 ], så er
[ ]
[ ]
A n 1 0
= U
0 (0, 92) n U −1 , så A n 1 0
x 0 = U
0 (0, 92) n U −1 x 0 .
og
Da U −1 = K U,E er U −1 x 0 =[x 0 ] U =
Da U =
[ ] 0, 25
−0, 05
[
]
A n 0, 25
x 0 = U
−(0, 92) n .
0, 05
[ ] 1 −1
udregnes A n x
3 1
0 =
men formuleringen i (2) er måske nemmere at overskue.
(fra (1))
[ 0, 25 + (0, 92) n 0, 05
0, 75 − (0, 92) n 0, 05
]
165

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Uafhængigheden af egenvektorer svarende til forskellige egenværdier gælder generelt:
Lemma 9.2.6 ([L], 6.3.1)
Lad A ∈ Mat n,n (F); antag, at λ 1 , . . . , λ k er forskellige egenværdier for A.
Lad v 1 , . . . , v k være tilsvarende egenvektorer. Så er v 1 , . . . , v k uafhængige.
Bevis
Lad S = Span(v 1 , . . . , v k ); og lad r = dim S. Vi må vise, at r = k. Antag, modsætningsvis, at
r < k. Efter omnummerering kan vi antage, at v 1 , . . . , v r udgør en basis for S, så der findes
Så er
dvs.
c 1 , . . . , c r ∈ F med v r+1 = c 1 v 1 + · · · + c r v r (1)
Av r+1 = A(c 1 v 1 + · · · + c r v r )=c 1 Av 1 + · · · + c r Av r ,
Træk λ r+1 gange ligning (1) fra ligning (2):
λ r+1 v r+1 = c 1 λ 1 v 1 + · · · + c r λ r v r (2)
0=c 1 (λ 1 − λ r+1 )v 1 + · · · + c r (λ r − λr + 1)v r .
Da v 1 , . . . , v r er uafhængige er koefficienterne c 1 (λ 1 − λ r+1 ), . . . , c r (λ r − λ r+1 ) i denne lineære
relation alle 0. Da λ i ≠ λ j for i ≠ j må dette betyde, at c 1 , . . . , c r alle er 0. Ligning (1)
giver så, at v r+1 =0. Modstrid – idet v r+1 er en egenvektor. Så vores antagelse var forkert,
og r = k; v 1 , . . . , v k er uafhængige.
Vi konkluderer, at mange matricer er diagonaliserbare:
Korollar 9.2.7
Lad A ∈ Mat n,n (F); antag, at A har n forskellige egenværdier.
Så er A diagonaliserbar.
166

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Vi kan vise mere omkring uafhængigheden af egenvektorer:
Korollar 9.2.8
Lad A ∈ Mat n,n (F); antag, at λ 1 , . . . , λ k er forskellige egenværdier for A. For i =1, . . . , k,
lad v ij ,j=1, . . . , m i være uafhængige egenvektorer for A svarende til λ i .
Så er {v ij :1≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ m i } uafhængige.
Bevis
Betragt en lineær relation
k∑ ∑m i
c ij v ij =0 (1)
i=1 j=1
med c ij ∈ F. Skriv x i = ∑ m i
j=1 c ijv ij ; så relationen bliver til
x 1 + · · · + x k =0. (2)
Vi påstår, at x i =0for i =1, . . . , k. Antag, modsætningsvis, at nogle af x i ’erne ikke er 0;
efter omnummerering kan vi antage, at x 1 , . . . , x r ≠0, x r+1 , . . . , x k =0.
Så (2) bliver til
x 1 + · · · + x r =0. (3)
For 1 ≤ i ≤ r er x i en egenvektor for A svarende til λ i , da den er ikke 0 og en lineær
kombination af elementer af E A (λ i ), så selv et element af E A (λ i ). Ifølge Lemma 9.2.6 er
x 1 , . . . , x r uafhængige. (3) giver en modstrid. Så vores antagelse var forkert, og x i = 0 for
i =1, . . . , k.
Altså
0 = x i = c i1 v i1 + · · · + c ini v ini for i =1, . . . , k.
Da v i1 , . . . , v ini er uafhængige fås, at
c i1 =0, . . . , c ini =0for i =1, . . . , k;
så
er uafhængige.
v ij , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n i ,
Korollar 9.2.9
Lad A ∈ Mat n,n (F); antag, at λ 1 , . . . , λ k er forskellige egenværdier for A. Så er
Geo(λ 1 )+· · · + Geo(λ k ) ≤ n.
Bevis
Ifølge Korollar 9.2.8 er foreningen af baser for E A (λ 1 ), . . . , E A (λ k ) en uafhængig mængde i
F n , så har højst n elementer.
167

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Vi får nu en karakterisering af diagonaliserbare matricer:
Proposition 9.2.10
Lad A ∈ Mat n,n (F), og lad λ 1 , . . . , λ k være de forskellige egenværdier for A.
A er diagonaliserbar ⇔ n = Geo(λ 1 )+· · · + Geo(λ k ).
Bevis
⇒: Lad {v 1 , . . . , v n } være en basis for F n bestående af egenvektorer. Antag, for i =1, . . . , k,
at n i af dem er indeholdt i egenrummet E A (λ i ). Da disse n i elementer er uafhængige,
er Geo(λ i ) = dim E A (λ i ) ≥ n i . Da alle egenvektorer må have én af λ 1 , . . . , λ k som
tilsvarende egenværdi, har vi
n = n 1 + · · · + n k ;
så n ≤ Geo(λ 1 )+· · · + Geo(λ k ). Vi har faktisk lighed, ifølge Korollar 9.2.9.
⇐: Lad V i være en basis for E A (λ i ) for i =1, . . . , k; lad V = V 1 ∪ · · · ∪ V k . Ifølge Korollar
9.2.8 består V af uafhængige elementer.
Da V i har Geo(λ i ) elementer har V Geo(λ i )+· · · + Geo(λ k )=n elementer. Så V er en
basis for F n , en basis bestående af egenvektorer for A.
Med tanke på beregningsteknikken for egenværdier og egenvektorer er det nærliggende at inddrage
de algebraiske multipliciteter.
Lemma 9.2.11
Lad A ∈ Mat n,n (F); og lad λ 0 være en egenværdi for A. Så er
Geo A (λ 0 ) ≤ Alg A (λ 0 ).
Bevis
Lad v 1 , . . . , v k være en basis for E A (λ 0 ); så Geo(λ 0 )=k. Udvid til en basis v 1 , . . . , v n for
F n . Lad V =[v 1 , . . . , v n ] i søjleform. V er invertibel. Vi har, for i =1, . . . , k.
(V −1 AV )e i = V −1 Av i = V −1 λ 0 v i = λ 0 V −1 V e i = λ 0 e i .
I blokform har vi da
V −1 AV =
k
n − k
k
[
λ0 I B
0 C
n− k
]
.
168

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Bevis, fortsat
Da A, V −1 AV er similære er
p A (λ) =p V −1 AV (λ)
[ (λ0 − λ)I B
= det
0 C − λI
Ved at udvikle determinanten og de efterfølgende minorer k gange efter første søjle fås
så Alg(λ 0 ) ≥ k = Geo(λ 0 ).
p A (λ) =(λ 0 − λ) k det(C − λI),
]
.
Det giver en alternativ karakterisering af diagonaliserbare matricer:
Sætning 9.2.12
Lad A ∈ Mat n,n (F); lad λ 1 , . . . λ k ∈ F være de forskellige egenværdier for A. Så er A diagonaliserbar
⇔
(1) Alg(λ 1 )+· · · + Alg(λ k )=n
(2) Alg(λ i ) = Geo(λ i ) for i =1, . . . , k.
Bemærkning
Hvis F = C gælder (1) altid.
Bevis
⇐: hvis (1) og (2) gælder, så er Geo(λ 1 )+· · · + Geo(λ n )=n og A er diagonaliserbar ifølge
Proposition 9.2.10.
⇒: hvis A er diagonaliserbar er Geo(λ 1 )+· · · + Geo(λ n )=n. Da p A er et polynomium af
grad n har det højst n rødder, talt med multiplicitet, så Alg(λ 1 )+· · · + Alg(λ k ) ≤ n.
Ifølge Lemma 9.2.12 er
Alg(λ i ) ≥ Geo(λ i ) for i =1, . . . , k
(∗)
så n ≥ Alg(λ 1 )+· · · + Alg(λ k ) ≥ Geo(λ 1 )+· · · + Geo(λ k )=n. Vi må altså have ligheder
hele vejen i denne kæde af uligheder; så n = Alg(λ 1 )+· · · + Alg(λ k ), mens ligheden
Alg(λ 1 )+· · · + Alg(λ n ) = Geo(λ 1 )+· · · + Geo(λ k )
sammen med (∗) implicerer, at Alg(λ i ) = Geo(λ i ) for i =1, . . . , k.
169

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Vi får en generel fremgangsmåde til at undersøge, om en kvadratisk matrix A ∈ Mat n,n (F) er
diagonaliserbar, og til i givet fald at udføre diagonaliseringen:
1. udregn det karakteristiske polynomium p A (λ) = det(A − λI) for A,
2. find de forskellige rødder λ 1 , . . . , λ k ∈ F for p A (λ),
3. Løs for hvert i ≤ k det homogene ligningssystem (A − λ i I)v = 0, og find derved en basis
{v i1 , . . . , v i,di }, bestående af d i vektorer, for N(A − λ i I)=E A (λ i ).
Lad n i være multipliciteten af λ i som rod af p A .
Hvis n 1 + · · · + n k

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Eksempel 9.2.14, fortsat
Vi har
⎡
⎤
16 − 20λ 2 1 1
p A (λ) = 1
20 4 det ⎢ 2 16 − 20λ 1 1
⎥
⎣ 1 1 16 − 20λ 2 ⎦ (R 4 → R 1 + R 2 + R 3 + R 4 )
20 − 20λ 20 − 20λ 20 − 20λ 20 − 20λ
⎡
⎤
16 − 20λ 2 1 1
= 1 − λ
20 3 det ⎢ 2 16 − 20λ 1 1
⎥
⎣ 1 1 16 − 20λ 2⎦
1 1 1 1
⎡
⎤
15 − 20λ 1 0 1
= 1 − λ
20 3 det ⎢ 1 15 − 20λ 0 1
⎥
⎣ −1 −1 14 − 20λ 2⎦ (S i → S i − S 4 ,i=1, 2, 3)
0 0 0 1
⎡
⎤
= 1 − λ 15 − 20λ 1 0
[ ]
20 3 det ⎣ 1 15 − 20λ 0 ⎦
(1 − λ)(14 − 20λ) 15 − 20λ 1
=
20
−1 −1 14 − 20λ
3 det
1 15 − 20λ
= 1
20 3 (1 − λ)(14 − 20λ)((15 − 20λ)2 − 1 2 ) = 1
20 3 (1 − λ)(14 − 20λ)2 (16 − 20λ)
= (1 − λ)( 7
10 − λ)2 ( 8
10 − λ).
Vi beregner E A ( 7
10 ): ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 2 1 1 1 1 2 2
A − 7
10 = 1 ⎢2 2 1 1
⎥
20 ⎣1 1 2 2⎦ ∼ ⎢2 2 1 1
⎥
⎣0 0 0 0⎦
1 1 2 2 0 0 0 0
⎡
⎤ ⎡ ⎤
1 1 2 2 1 1 0 0
∼ ⎢0 0 −3 −3
⎥
⎣0 0 0 0 ⎦ ∼ ⎢0 0 1 1
⎥
⎣0 0 0 0⎦
0 0 0 0 0 0 0 0
Så
På lignende vis fås
( ) ( 7
E A = N A − 7
10
10
⎛⎡
⎤ ⎡
)
−1
= Span ⎜⎢
1
⎥
⎝⎣
0 ⎦ , ⎢
⎣
0
0
0
−1
1
⎛⎡
⎤⎞
1
E A (1) = N(A − ) = Span ⎜⎢1
⎥⎟
⎝⎣1⎦⎠ ,
1
⎛⎡
⎤⎞
−1
E A ( 8
10 )=N(A − 8 10 ) = Span ⎜⎢−1
⎥⎟
⎝⎣
1 ⎦⎠ .
1
⎤⎞
⎥⎟
⎦⎠ .
171

SEKTION 9.2
DIAGONALISERING
Eksempel 9.2.14, fortsat
A er diagonaliserbar,
hvor
⎡
1
V −1 AV = ⎢
⎣
8/10
7/10
⎤
⎥
⎦
7/10
⎡
⎤
⎡
⎤
1 −1 −1 0
1 1 1 1
V = ⎢1 −1 1 0
⎥
⎣1 1 0 −1⎦ og V −1 = 1 ⎢−1 −1 1 1
⎥
4 ⎣−2 2 0 0⎦ .
1 1 0 1
0 0 −2 2
172