Variansanalyse (ANOVA)

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
3 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
2 / 46
4 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Faculty of Health Sciences
Indhold dag 2
Variansanalyse (ANOVA)
Ulla B Mogensen
Biostatistisk Afd., SUND, KU.
Mail: ulmo@sund.ku.dk
◮ T-testet – fra dag 1
◮ Ensidet variansanalyse.
◮ Modelkontrol.
◮ Tosidet variansanalyse.
◮ Additiv model
◮ Interaktions model
◮ Modelkontrol.
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
T-test fra dag 1
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
T-test antagelser
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Kontinuert normalfordelte variable fra en eller to stikprøver.
◮ One-sample t-test: En stikprøve hvor vi kan teste om
middelværdien har en bestemt værdi.
◮ Two-sample t-test: To stikprøver, hvor vi kan teste om
middelværdien i de to stikprøver er ens.
Hvis de to stikprøver er to samples for samme observationer (f.eks.
test af hæmoglobin niveau før og efter epo indtagelse) taler vi om
parret data og test.
Fælles for one-sample og two-sample:
◮ Observationerne indenfor en stikprøve skal være uafhængige.
◮ Responsvariablen skal være normalfordelt.
! Måske en log-transformation af variablen kan afhjælpe.
! Wilcoxon test har ingen normalfordelingsantagelser.
For two-sample t-test skal der yderligere gælde:
◮ Variansen i de to stikprøver skal være ens.
! Welch t-test kan benyttes.
◮ For brug af parret t-test skal observationerne i de to stikprøver
være parret.

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
5 / 46
7 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
6 / 46
8 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Kategoriske variable med 2 eller flere grupper
Eksempel I
I two-sample t-test sammenlignes to grupper fra en faktor variabel,
f.eks. sammenligningen af fødselsvægt for børn af rygere versus
ikke-rygere.
Hvis faktoren (den kategoriske variabel) har mere end to grupper,
f.eks. nuværende rygere, tidligere rygere, ikke-rygere, har vi tre
eller flere sammenligninger. Her er parvise t-test ikke godt pga
massesignifikans.
Festing and Weigler i Handbook of Laboratory Animal Science . . .
. . . betragter resultaterne af et ekseperiment med fuldstændig
randomiseret design hvor mus var randomiseret til en af fire
grupper med forskellig doser af et hormon.
Livmodervægten blev målt efter et passende tidsinterval.
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Eksempel 1
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Eksempel 1
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
9 / 46
11 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
10 / 46
12 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Eksempel 1
Eksempel 1
Konklusioner fra figurene
◮ Livmodervægten afhænger af dosis.
◮ Variationen af data øges når dosis øges.
Spørgsmål: Hvorfor kunne disse første konklusioner være forkerte?
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Ensidet variansanalyse (one-way anova)
Eksempel: Hæmoglobin niveau i seglcelleanæmi
Ensidet (one-way): Der opdeles kun efter en faktor, men som kan
have 2 eller flere grupper (levels).
f.eks. dosis er faktor variabel med 5 grupper
Den j’te observation i gruppe i beskrives ved
Yij = µi + εij, ε ∼ N (0, σ 2 )
hvor µi er gennemsnittet i den i’te gruppe og εij er den j’te
observations individuelle afvigelse fra µi.
Seglcelleanænemi er en gruppe af arvelig sygdomme som primært
forekommer hos personer med negroide gener. Sygdommene er
karakteriseret ved dominans af hæmoglobin S (Hb S) i de røde
blodlegemer.
Sammenligning af hæmoglobinniveau (g/dl) hos 41 patienter med
3 typer af seglcelleanæmi.
Gruppe Typer N Mean (µ) Sd
I Hb SS 16 8.71 0.84
II Hb S/β 10 10.63 1.28
III Hb SC 15 12.3 0.94

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
13 / 46
15 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
14 / 46
16 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Hypotese
H0 Nul hypotese Niveauet af hæmoglobin afhænger ikke
af sygdomstypen
H1 Alternativ
hypotese
Niveauet af hæmoglobin afhænger af
sygdomstypen
Det vil sige, vi tester
mod
H0 : µgruppe I = µgruppe II = µgruppe III
H1 : µgruppe I ≠ µgruppe II eller µgruppe III ≠ µgruppe II
eller
µgruppe I ≠ µgruppe III
Varians og kvadratsummer (sum-of-squares)
Definitionen på varians for en stikprøve med n observationer,
Y1, . . . , Yn med gennemsnit Ȳ er
Var =
=
=
1 ∑
(Yi −
n − 1 Ȳ )2
i
1
n − 1 {(Y1 − Ȳ )2 + · · · + (Yn − Ȳn)2 }
1
{(Y1 −
n − 1
Ȳ )2 + · · · + (Yn − Ȳ )2 }
} {{ }
} {{ }
sum of squares
degrees of freedom
hvor µ er middelværdi.
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Dekomposition af variationen
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Variansanalyse
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Afvigelsen fra det total gennemsnit (Yij − Ȳ ), kan dekomponeres i
to termer:
(Yij − Ȳ ) = (Yij − Ȳi) + (Ȳi − Ȳ )
Dermed kan variationen, ∑ (Yij − Ȳ )2 , dekomponeres
SStotal = ∑ (Yij − Ȳ )2
= ...teori om lineær normale modeller...
= ∑ ∑
(Yij − Ȳi)2 + (Ȳi − Ȳ )2
Sammenligning af variansen mellem grupper med variansen
indenfor grupper.
◮ Variansen indenfor gruppen er en biologisk varians.
◮ Variansen mellem grupperne er en tilfældig varians.
= SSwithin + SSbetween
SSwithin kaldes også residual variationen.

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
17 / 46
19 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
18 / 46
20 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
F-test
ANOVA tabel
F-test sammenligner variansen mellem grupper i forhold til
variansen indenfor grupperne.
SSbetween/(k − 1)
F = ∼ F(k − 1, n − k)
SSwithin/(n − k)
Hvis variationen mellem grupperne er stor relativ til indenfor
grupperne bidrager grupperings faktoren til en systematisk del af
variationen af responsvariablen.
Variation
Degrees Sum
of freedom
of
squares
Mean
squares
Mellem k − 1 SSb SSb/(k-1) MSb/MSw P(F(k-1,n-k)> F)
grupper
Indenfor n − k SSw SSw/(n-k)
grupper
Total n − 1 SStotal
hvor MSb = 1
k−1
SSbetween og MSw = 1
n−k SSwithin
F
P
Et F-test for 2 grupper er ækvivalent med et two-sample t-test.
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Eksempel 2: F-test
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Eksempel 2: Parameter estimater
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Model for hæmoglobin niveaus afhængighed af gruppe
> model ftest summary(ftest)
Df Sum Sq Mean Sq F val Pr(>F)
gruppe 2 99.89 49.94 50 model
Call:
lm(formula = haemoglobin ~ gruppe, data = haem.data)
Coefficients:
(Intercept) gruppeII gruppeIII
8.713 1.917 3.587
Middelværdi estimatet i gruppe I: 8.713.
Middelværdi estimatet i gruppe II: 8.713 + 1917
Middelværdi estimatet i gruppe III: 8.713 + 3.587

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
21 / 46
23 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
22 / 46
24 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Eksempel 2: Konfidensinterval
Eksempel 2: Sammenligning af alle tre grupper
Konfidensintervaller for parameter estimaterne fås ved
> confint(model)
2.5 % 97.5 %
(Intercept) 8.206678 9.218322
gruppeII 1.101886 2.733114
gruppeIII 2.860335 4.314665
Parvise sammenligninger justeret for multiple testning:
> TukeyHSD(ftest)
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = model)
$gruppe
diff lwr upr p adj
II-I 1.9175 0.9349148 2.900085 0.0000819
III-I 3.5875 2.7114704 4.463530 0.0000000
III-II 1.6700 0.6748973 2.665103 0.0006147
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Antagelser for ensidet variansanalyse
Modelkontrol for ensidet variansanalyse
For at anvende ensidet variansanalyse skal følgende kriterier være
opfyldt:
Tjek af varianshomogenitet:
◮ Residual plot: Plot af residualer mod predikterede værdier.
◮ De enkelte observationer skal være uafhængige.
◮ Residualerne skal være normalfordelte.
◮ Variansen i grupperne skal være ens (varianshomogenitet).
Husk: Residualerne er variationen inden for grupperne.
Tjek af normalitet for residualer:
◮ Histogram af residualerne.
? Er de normalfordelt. Hvis ikke, prøv evt transformation.
◮ Probability plot af residualerne (QQ-plot)
? Ligger de på den skrå linie.
Hvis data ikke er normalfordelt og en transformation ikke kan
afhjælpe: Brug Kruskal-Wallis test.

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
25 / 46
27 / 46
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●●●
●
●
●●●
●●●
●
● ●
●
●
●
●
●
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
26 / 46
28 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Test af varianshomogenitet: Residualer vs fittede værdier
Varianshomogenitet i hæmoglobin model.
> plot(model$residuals ~ model$fitted.values,
xlab = "Predikteret vaerdi af haemoglobin",
ylab = "Residual")
Test for normal fordelte residualer: Histogram
> hist(model$residuals,freq = FALSE,breaks=seq(-3,3,1),
main = "",xlab = "Residual")
> box()
> curve(dnorm(x,mean = mean(model$residuals),
sd = sd(model$residuals)),add = TRUE)
Residual
−2 −1 0 1
9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0
Density
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Predikteret vaerdi af haemoglobin
−3 −2 −1 0 1 2 3
Residual
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Test af normal fordelte residualer: Quantile-Quantile plot
> qqnorm(model$residuals,xlab = "Normal quantiles",
ylab = "Residual",main = "")
> abline(0, sqrt(var(model$residuals)), lty = "21")
Residuals
−2 −1 0 1
−2 −1 0 1 2
Kruskal-Wallis test
Kruskal-Wallis test er en ikke-parametrisk ensidet variansanalyse
baseret på rangsummer.
Test af nulhypotesen: Grupperne har samme median.
Mod alternativet: Mindst to af grupperne har ikke samme median.
> kruskal.test(haemoglobin ~ gruppe, data=haem.data)
Kruskal-Wallis rank sum test
data: haemoglobin by gruppe
Kruskal-Wallis chi-squared = 28.4982,
df = 2,
p-value = 0.0000006482
Normal quantiles

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
29 / 46
30 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
29 / 46
31 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Tosidet variansanalyse (two-way anova)
Tosidet variansanalyse (two-way anova)
Tosidet variansanalyse anvendes når der er 2 faktorer der påvirker
en respons.
Hvis både aldersgruppe og køn påvirker en repons.
Tosidet variansanalyse anvendes når der er 2 faktorer der påvirker
en respons.
Hvis både aldersgruppe og køn påvirker en repons.
Der er overordnet to typer:
◮ Ubalanceret design: Der er forskellig antal observationer i
(mindst to af) grupperne.
◮ Balanceret design: Alle grupper har samme antal
observationer.
Der er overordnet to typer:
◮ Ubalanceret design: Der er forskellig antal observationer i
(mindst to af) grupperne.
◮ Balanceret design: Alle grupper har samme antal
observationer.
◮ med replikationer: Der er flere observationer i en faktor.
◮ uden replikationer: Der kun er en observation i en faktor.
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Additiv model
To faktorer påvirker responsvariablen additivt. Dette er en model
med struktur...
Den k’te observation som er i gruppe i i faktor 1 og i gruppe j i
faktor 2 beskrives ved
Yijk = µ + αi + βj + εijk, εijk ∼ N (0, σ 2 )
Variationen kan igen dekomponeres - nu i 3 led:
SStotal = SSfaktor 1 + SSfaktor 2 + SSresidual
Eksempel III
Længden af graviditet målt i dage blev estimeret ved 5 forskellige
teknikker for 10 kvinder.
> gest.data
lmp ve doq us dao
woman.1 275 273 288 273 244
woman.2 292 283 284 285 329
woman.3 281 274 298 270 252
woman.4 284 275 271 272 258
woman.5 285 294 307 278 275
woman.6 283 279 301 276 279
woman.7 290 265 298 291 295
woman.8 294 277 295 290 271
woman.9 300 304 293 279 271
woman.10 284 297 352 292 284
lmp:
ve:
doq:
us:
dao:
Kvinderne udgør en faktor med 10 grupper/niveauer.
Sidste
menstruationsperiode
Vaginal eksamination
Dato for første
livstegn (quickening).
Ultralydsskanning
Diamin oxidase blodprøve

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
32 / 46
34 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
33 / 46
35 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Hypotese og F-test
Vi tester nu to hypoteser:
1. H0: Der er ingen forskel på kvinderne
2. H0: Der er ingen forskel på teknikkerne
Vi udfører derfor to F-test:
F1 =
SSkvinder/(k − 1)
∼ F(k − 1, n − k − m)
SSresidual/(n − k − m)
F2 =
SSteknik/(m − 1)
SSresidual/(n − k − m)
∼ F(m − 1, n − k − m)
Eksempel 3: F-test
Tosidet variansanalyse for balanceret design uden replikationer
(hver kvinde udgør en gruppe/niveau).
> model ftest ftest
Analysis of Variance Table
Response: days
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
woman 9 4437.6 493.07 2.4312 0.02831 *
tech 4 3031.4 757.85 3.7368 0.01211 *
Residuals 36 7301.0 202.81
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Eksempel 3: Parameter estimater
> summary(model)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 261.600 7.536 34.715 < 2e-16 ***
woman2 24.000 9.007 2.665 0.011461 *
woman3 4.400 9.007 0.489 0.628144
woman4 1.400 9.007 0.155 0.877344
woman5 17.200 9.007 1.910 0.064169 .
woman6 13.000 9.007 1.443 0.157566
woman7 17.200 9.007 1.910 0.064169 .
woman8 14.800 9.007 1.643 0.109048
woman9 18.800 9.007 2.087 0.044000 *
woman10 31.200 9.007 3.464 0.001392 **
techdoq 22.900 6.369 3.596 0.000963 ***
techlmp 11.000 6.369 1.727 0.092707 .
techus 4.800 6.369 0.754 0.455943
techve 6.300 6.369 0.989 0.329166
Referencegruppe: Kvinde 1 målt med teknik "dao"
– hvorfor nu "dao"?
Struktur i additiv to faktor model
For to faktorer, her f.eks kvinder W med parametrene α inddelt
efter teknik T der har parametrene β, har vi følgende tabel:
t1 t2 . . . t5
w1 µ µ + β1 . . . µ + β4
w2 µ + α1 µ + α1 + β1 . . . µ + α1 + β4
w3 µ + α2 µ + α2 + β1 . . . µ + α2 + β4
. . .
. .. .
w9 µ + α8 µ + α8 + β1 . . . µ + α8 + β4

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
35 / 46
36 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
37 / 46
●
●
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Struktur i additiv to faktor model
For to faktorer, her f.eks kvinder W med parametrene α inddelt
efter teknik T der har parametrene β, har vi følgende tabel:
t1 t2 . . . t5
w1 µ µ + β1 . . . µ + β4
w2 µ + α1 µ + α1 + β1 . . . µ + α1 + β4
w3 µ + α2 µ + α2 + β1 . . . µ + α2 + β4
. . .
. .. .
w9 µ + α8 µ + α8 + β1 . . . µ + α8 + β4
Forskellen mellem søjle t1 og søjle t2: β1.
Forskellen mellem søjle t1 og søjle t5: β4.
Forskellen mellem søjle t2 og søjle t5: β1 − β4.
Struktur i additiv to faktor model
For to faktorer, her f.eks kvinder W med parametrene α inddelt
efter teknik T der har parametrene β, har vi følgende tabel:
t1 t2 . . . t5
w1 µ µ + β1 . . . µ + β4
w2 µ + α1 µ + α1 + β1 . . . µ + α1 + β4
w3 µ + α2 µ + α2 + β1 . . . µ + α2 + β4
. . .
. .. .
w9 µ + α8 µ + α8 + β1 . . . µ + α8 + β4
Forskellen mellem søjle t1 og søjle t2: β1.
Forskellen mellem søjle t1 og søjle t5: β4.
Forskellen mellem søjle t2 og søjle t5: β1 − β4.
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Balanceret design med replikationer
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Tilsvarende for rækkerne. F.eks:
Forskellen mellem række w1 og række w2: α1.
35 / 46
Forskellen mellem række w3 og række w9: α2 − α8.
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
Interaktion
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
I et tosidet balanceret design med replikationer er der flere
observationer per celle i krydstabellen mellem to faktorer.
Ingen interaktion
De to faktorer kan her have en interaktion hvor forskellen i
respons mellem grupperne i en faktor ikke er den samme ved alle
grupper i den anden faktor.
– Interaktion kaldes også effekt modifikantion.
Response
0 1 2 3 4 5
●
Gruppe1−faktor1
●
Gruppe2−faktor1
0 1 2 3 4
Faktor 2

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
37 / 46
39 / 46
●
●
●
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
●
●
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
38 / 46
40 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Interaktion
Eksempel 4
12 rotter blev randomiseret på to måder: 6 rotter fik antibiotika og
3 ud af 6 rotter i hver antibiotikagruppe fik vitaminer.
Response: Vækst .
Response
0 1 2 3 4 5
●
Ingen interaktion
0 1 2 3 4
Faktor 2
Gruppe1−faktor1
●
Gruppe2−faktor1
Response
0 1 2 3 4 5
●
Interaktion
Gruppe1−faktor1
Gruppe2−faktor1
0 1 2 3 4
Faktor 2
> ratgrowth
ratid antibiotics vitamins growth
1 1 no no 1.30
2 2 no no 1.19
3 3 no no 1.08
4 4 no yes 1.26
5 5 no yes 1.21
6 6 no yes 1.19
7 7 yes no 1.05
8 8 yes no 1.00
9 9 yes no 1.05
10 10 yes yes 1.52
11 11 yes yes 1.56
12 12 yes yes 1.55
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Interaktionsmodel
Tosidet variansanalyse model med interaktion
Yijl = µ + αi + βj + γij + εijl, εijl ∼ N (0, σ 2 )
hvor γij er effekten af interaktionen (effekt modifikationen).
Variationen kan igen dekomponeres :
SStotal = SSfaktor 1 + SSfaktor 2 + SSinteraktion + SSresidual
↑ ↑ ↑ ↑
df=k-1 df=m-1 df=(k-1)(m-1) df=n-k-m-1
Residual variationen er i eksemplet forskellen mellem rotterne inden
for hver gruppe af antibiotika og vitamin.
Eksempel 4: Fit af interaktionsmodel
Interaktionsmodellen kan fittes på to ækvivalente måder
> model1 model ftest ftest
Analysis of Variance Table
Response: growth
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
antibiotics 1 0.020833 0.020833 5.6818 0.044292 *
vitamins 1 0.218700 0.218700 59.6455 0.00005622 ***
antibiotics:vitamins 1 0.172800 0.172800 47.1273 0.000129 ***
Residuals 8 0.029333 0.003667

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
41 / 46
42 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
41 / 46
43 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Eksempel 4: Parameter estimater
Eksempel 4: Parameter estimater
> summary(model)
> summary(model)
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.19000 0.03496 34.039 0.000000000606 ***
antibioticsyes -0.15667 0.04944 -3.169 0.013220 *
vitaminsyes 0.03000 0.04944 0.607 0.560818
antibioticsyes:vitaminsyes 0.48000 0.06992 6.865 0.000129 ***
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.19000 0.03496 34.039 0.000000000606 ***
antibioticsyes -0.15667 0.04944 -3.169 0.013220 *
vitaminsyes 0.03000 0.04944 0.607 0.560818
antibioticsyes:vitaminsyes 0.48000 0.06992 6.865 0.000129 ***
Referencegruppen: Rotter uden antibiotika og uden vitaminer.
Rotte antibiotics=no, vitamin=no: 1.19
Referencegruppen: Rotter uden antibiotika og uden vitaminer.
Rotte antibiotics=no, vitamin=no: 1.19
Rotte antibiotics=yes, vitamin=no: 1.19 + (-0.15667)
Rotte antibiotics=no, vitamin=yes: 1.19 + 0.03
Rotte antibiotics=yes, vitamin=yes: 1.19 + (-0.15667) + 0.03 +
0.48
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Parameter estimater i interaktionsmodel
Modelkontrol for tosidet variansanalyse
I en interaktionsmodel er der ikke en struktur som i den additive
model uden interaktion.
vitamin no vitamin yes
antib. no µ µ + β1
antib. yes µ + α1 µ + α1 + β1 + γ
Hvis interaktionsparameteren γ ikke er signifikant kan vi modficere
modellen ved at sætte γ = 0.
Yijl = µ + αi + βj + γij +εijl, εijl ∼ N (0, σ 2 )
}{{}
=0
Tilbage er en additiv model.
Tjek af varianshomogenitet:
◮ Residual plot: Plot af predikterede værdier mod residualerne.
◮ Residual plot: Plot af residualerne mod grupperne.
? Fordeler punkter sig ens om linien. Hvis ikke, prøv evt
transformation.
Tjek af normalitet for residualer:
◮ Histogram af residualerne.
? Er de normalfordelt. Hvis ikke, prøv evt transformation.
◮ Probability plot af residualerne (QQ-plot)
? Ligger de på den skrå linie.

u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
44 / 46
46 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
45 / 46
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Eksempel 4: Modelkontrol
Modelkontrol kan fås ved at plotte model-objektet i R.
> par(mfrow=c(2,1))
> plot(model,which=1:2)
Residuals
−0.10 0.00 0.10
●
●
Residuals vs Fitted
●1
●
4●
●3
●
●
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Fitted values
●
●
Standardized residuals
−2 0 1 2
●3
●
●
Normal Q−Q
●
●
●
●
●
●
●
4●
−1.5 −0.5 0.5 1.5
Theoretical Quantiles
1●
Anova metoder – oversigt
◮ Uafhængige observationer
◮ t-test for to grupper (dag 1)
◮ Ensidet variansanalyse for flere grupper (en faktor)
◮ Tosidet variansanalyse for to grupperings variable (to faktorer)
◮ Afhængige observationer
◮ Gentagne målinger (repeated measurements)
◮ Mixed effekt modeller
◮ Ikke-normalfordelte data
◮ Ikke-parametrisk anova (Kruskal-Wallis test)
◮ Mix af kategoriske og kontinuerte faktorer
◮ Varianskomponentmodeller (ancova)
◮ Model sammenligning og model selektion
u n i v e r s i t y o f c o p e n h a g e n
d e p a r t m e n t o f b i o s t a t i s t i c s
Et par afsluttende bemærkninger om anova
◮ Variationen af data kan dekomponeres i en systematisk og en
tilfældig del.
◮ For en faktor med 2 grupper er et F-test ækvivalent med et
two-sample t-test.
◮ For en faktor med 3 eller flere grupper fejler t-test og wilcoxon
test grundet masse-significans. Anova bliver derfor aktuelt.
◮ Anova viser sig at være et special tilfælde af lineær regression!
– men mere om det dag 3 og 4.