Signaler og Line_re Systemer

Signaler og Lineære Systemer 

Preben Alsholm 

23. oktober 2006 

Preben Alsholm () 01037 23. oktober 2006 1 / 12

5.3 Generelle uendelige funktionsrækker 

Eksempel 5.21. Rækken 

∞ 

∑ x 1 

n=0 

x 2 n 

kan betragtes som en kvotientrække med kvotient 1 x 2 . Sum 

1 

x 

1 (1 x 2 ) = 1 x gældende for 1 x 

2 < 1, dvs. for 0 < jxj 




∞ 

∑ x 1 

n=0 

x 2 n 


1 

x 


2 < 1, dvs. for 0 < jxj 


∞ 

∑ B n cos (A n x) 

n=1 

er absolut konvergent, når blot jBj < 1. Desuden er sumfunktionen 

kontinuert. 




∞ 

∑ x 1 

n=0 

x 2 n 


1 

x 


2 < 1, dvs. for 0 < jxj 


∞ 


n=1 


kontinuert. 

Når AB 1 er sumfunktionen ikke di¤erentiabel i noget punkt! 




∞ 

∑ x 1 

n=0 

x 2 n 


1 

x 


2 < 1, dvs. for 0 < jxj 


∞ 


n=1 


kontinuert. 

Når AB 1 er sumfunktionen ikke di¤erentiabel i noget punkt! 

Begge eksempler i Maple. 


5.4 Uniform konvergens 

Rækken ∑n=1 ∞ f n (x) siges at være uniformt konvergent på intervallet 

I , hvis der …ndes en funktion f de…neret på I , så afsnitsfølgen 

(S n (x)) ∞ n=1 

konvergerer uniformt mod f (x) for x 2 I , dvs. at der for 

ethvert ε > 0 eksisterer et N 0 , så 

jf (x) S N (x)j < ε 

for alle x 2 I og alle N N 0 . 





(S n (x)) ∞ n=1 



jf (x) 

S N (x)j < ε 


Det bemærkelsesværdige her er, at N 0 forlanges at kunne bestemmes, 

så det er fælles for alle x 2 I . 





(S n (x)) ∞ n=1 



jf (x) 

S N (x)j < ε 




Sætning (Næsten 5.29). En potensrække ∑n=0 ∞ c n x n er uniformt 

konvergent på ethvert lukket og begrænset delinterval af ] ρ, ρ[. 





(S n (x)) ∞ n=1 



jf (x) 

S N (x)j < ε 






Mere generel sætning. En potensrække ∑n=0 ∞ c n x n er uniformt 

konvergent på ethvert lukket og begrænset delinterval af 

konvergensintervallet, som jo kan være ] ρ, ρ[ , ] ρ, ρ] , [ ρ, ρ[ eller 

[ ρ, ρ]. 





(S n (x)) ∞ n=1 



jf (x) 

S N (x)j < ε 






Mere generel sætning. En potensrække ∑n=0 ∞ c n x n er uniformt 

konvergent på ethvert lukket og begrænset delinterval af 

konvergensintervallet, som jo kan være ] ρ, ρ[ , ] ρ, ρ] , [ ρ, ρ[ eller 

[ ρ, ρ]. 

Eksempel 5.26 og 01-02 i Maple. 


5.4 Majorantrække 

∑ ∞ n=1 k n kaldes en majorantrække for ∑ ∞ n=1 f n (x) på intervallet I , hvis 

jf n (x)j k n for alle x 2 I og alle n 1 





Sætning (5.32 I). Hvis ∑ ∞ n=1 f n (x) har en konvergent majorantrække 

på intervallet I , så er den uniformt konvergent på I . 







Sætning (5.32 II). Hvis ∑ ∞ n=1 f n (x) er uniformt konvergent på 

intervallet I , så er sumfunktionen kontinuert på I . 









Eksempel. ∑ ∞ n=0 2 n cos (nx) er uniformt konvergent på R, 










da den har ∑ ∞ n=0 2 n som majorantrække: 

 

2 n cos (nx) 2 n for alle x 2 R og n 0 

og da majorantrækken er konvergent. 











 



Som summen af en uniform konvergent række er 

f (x) = ∑ ∞ n=0 2 n cos (nx) dermed kontinuert. 











 



Som summen af en uniform konvergent række er 

f (x) = ∑n=0 ∞ 2 n cos (nx) dermed kontinuert. 

Summen f (x) er i øvrigt 4 2 cos x . Maple Eksempel 03 og 5.31. 

5 4 cos x 


5.4 Uniform konvergens uden majorantrække 

Eksempel. Betragt rækken ∑n=1 ∞ f n (x), hvor f (x) 

f (x) for 2 

f n (x) = 

n < x 2 n+1 

0 ellers 

og hvor 

f (x) = 

ln 2 

ln 2 ln x 




f (x) for 2 

f n (x) = 

n < x 2 n+1 

0 ellers 


f (x) = 

ln 2 

ln 2 ln x 

Rækken ∑ ∞ n=1 f n (x) er konvergent på intervallet [0, 1] med sum f (x). 

Rækken består for ethvert x højst af ét led forskellig fra nul. 




f (x) for 2 

f n (x) = 

n < x 2 n+1 

0 ellers 


f (x) = 

ln 2 

ln 2 ln x 



Rækken ∑ ∞ n=1 f n (x) har ikke nogen konvergent majorantrække på 

[0, 1]. Den bedste majorantrække er den harmoniske. 




f (x) for 2 

f n (x) = 

n < x 2 n+1 

0 ellers 


f (x) = 

ln 2 

ln 2 ln x 





Rækken ∑ ∞ n=1 f n (x) er alligevel uniformt konvergent på [0, 1]. 




f (x) for 2 

f n (x) = 

n < x 2 n+1 

0 ellers 


f (x) = 

ln 2 

ln 2 ln x 





Rækken ∑ ∞ n=1 f n (x) er alligevel uniformt konvergent på [0, 1]. 

Se illustration i Maple. 


5.4 Integration og di¤erentiation 

Sætning (Næsten 5.33). Lad f n være kontinuert på intervallet 

I = [a, b] for alle n. Hvis rækken ∑ ∞ n=1 f n (x) er uniformt konvergent 

på I , så gælder, at 

Z b 

a 

∞ 

∞ Z b 

∑ f n (x) dx = ∑ f n (x) dx 

n=1 

n=1 a 


5.4 Integration og di¤erentiation 

Sætning (Næsten 5.33). Lad f n være kontinuert på intervallet 

I = [a, b] for alle n. Hvis rækken ∑ ∞ n=1 f n (x) er uniformt konvergent 

på I , så gælder, at 

Z b 

a 

∞ 

∞ Z b 

∑ f n (x) dx = ∑ f n (x) dx 

n=1 

n=1 a 

Sætning (Næsten 5.34). Lad f n være di¤erentiabel på intervallet 

I = [a, b] for alle n. Antag, at rækken ∑n=1 ∞ fn 0 (x) er uniformt 

konvergent på I , og at rækken ∑n=1 ∞ f n (x) er konvergent for et eller 

andet x 2 I . så gælder, at rækken ∑n=1 ∞ f n (x) er uniformt konvergent 

og at summen er di¤erentiabel med 

d 

dx 

∞ 

∑ f n (x) = 

n=1 

∞ 

∑ fn 0 (x) 

n=1 


5.4 Eksempel: Riemanns zeta-funktion I 

Rækken 

∞ 

∑ 

n=1 

er konvergent for x > 1. Summen betegnes med ζ (x) og kaldes 

Riemanns zeta-funktion. 

1 

n x 



Rækken 

∞ 

∑ 

n=1 



Lad δ > 0. For x 1 + δ og n 1 gælder 

1 

n x 

1 

n x 1 

n 1+δ 



Rækken 

∞ 

∑ 

n=1 




1 

n x 

1 

n x 1 

n 1+δ 

Rækken har dermed på intervallet [1 + δ, ∞[ den konvergente 

majorantrække 

1 

n 1+δ 

∞ 

∑ 

n=1 



Rækken 

∞ 

∑ 

n=1 




1 

n x 

1 

n x 1 

n 1+δ 



1 

n 1+δ 

∞ 

∑ 

n=1 

Rækken er altså uniformt konvergent på ethvert interval [1 + δ, ∞[ 

med δ > 0. 



Rækken 

∞ 

∑ 

n=1 




1 

n x 

1 

n x 1 

n 1+δ 



1 

n 1+δ 

∞ 

∑ 

n=1 

Rækken er altså uniformt konvergent på ethvert interval [1 + δ, ∞[ 

med δ > 0. 

Derfor er ζ kontinuert på intervallet ]1, ∞[. 


5.4 Eksempel: Riemanns zeta-funktion II 

Riemanns zetafunktion 

ζ (x) = 

∞ 

∑ 

n=1 

1 

n x 

er altså de…neret og kontinuert for x > 1. 




ζ (x) = 

∞ 

∑ 

n=1 

∞ 

∑ 

n=1 

1 

n x 


Den ledvist di¤erentierede række 

ln n 

n x 

har også en konvergent majorantrække. 




ζ (x) = 

∞ 

∑ 

n=1 

∞ 

∑ 

n=1 

1 

n x 



ln n 

n x 


Vi har nemlig med δ > 0, x 1 + 2δ og n 1: 

ln n 

n x ln n ln n 

= 

n1+2δ n δ 1 

n 1+δ = 1 ln n δ 1 

δ n δ 

n 1+δ 1 

δe 1 

n 1+δ 




ζ (x) = 

∞ 

∑ 

n=1 

∞ 

∑ 

n=1 

1 

n x 



ln n 

n x 



ln n 

n x ln n ln n 

= 

n1+2δ n δ 1 

n 1+δ = 1 ln n δ 1 

δ n δ 

n 1+δ 1 

δe 1 

n 1+δ 

Altså er 

n 

uniformt konvergent på ethvert interval 

x 

[1 + 2δ, ∞[ med δ > 0. 

∑ ∞ n=1 ln n 




ζ (x) = 

∞ 

∑ 

n=1 

∞ 

∑ 

n=1 

1 

n x 



ln n 

n x 



ln n 

n x ln n ln n 

= 

n1+2δ n δ 1 

n 1+δ = 1 ln n δ 1 

δ n δ 

n 1+δ 1 

δe 1 

n 1+δ 

Altså er 

n 

uniformt konvergent på ethvert interval 

x 

[1 + 2δ, ∞[ med δ > 0. 

Derfor er ζ di¤erentiabel på intervallet ]1, ∞[ og ζ 0 (x) er givet ved 

ledvis di¤erentiation. 

Preben Alsholm () 01037 23. oktober 2006 8 / 12 

∑ ∞ n=1 ln n

5.4 Eksempel: Riemanns zeta-funktion III 

Riemanns zetafunktion ζ (z) er altså de…neret og kontinuert for 

z > 1. De…nitionen kan umiddelbart udvides til Re z > 1. 





Ved analytisk fortsættelse kan ζ de…neres i hele den komplekse plan 

bortset fra i 1. Herved bliver 2, 4, 6, . . . trivielt til nulpunkter for 

ζ. 







ζ. 

Riemann-hypotesen (1859): De eneste ikke-trivielle nulpunkter for ζ 

ligger på den lodrette linie Re z = 1 2 . 







ζ. 



De første 29 nulpunkter med Im (z) > 0 er i‡g. Maple 

0.5 + 14.1i, 0.5 + 21.0i, 0.5 + 25.0i, 0.5 + 30.4i, 0.5 + 32.9i, 

0.5 + 37.6i, 0.5 + 40.9i, 0.5 + 43.3i, 0.5 + 48.0i, 0.5 + 49.8i, 

0.5 + 53.0i, 0.5 + 56.4i, 0.5 + 59.3i, 0.5 + 60.8i, 0.5 + 65.1i, 

0.5 + 67.1i, 0.5 + 69.5i, 0.5 + 72.1i, 0.5 + 75.7i, 0.5 + 77.1i, 

0.5 + 79.3i, 0.5 + 82.9i, 0.5 + 84.7i, 0.5 + 87.4i, 0.5 + 88.8i, 

0.5 + 92.5i, 0.5 + 94.7i, 0.5 + 95.9i, 0.5 + 98.8i 







ζ. 



De første 29 nulpunkter med Im (z) > 0 er i‡g. Maple 

0.5 + 14.1i, 0.5 + 21.0i, 0.5 + 25.0i, 0.5 + 30.4i, 0.5 + 32.9i, 

0.5 + 37.6i, 0.5 + 40.9i, 0.5 + 43.3i, 0.5 + 48.0i, 0.5 + 49.8i, 

0.5 + 53.0i, 0.5 + 56.4i, 0.5 + 59.3i, 0.5 + 60.8i, 0.5 + 65.1i, 

0.5 + 67.1i, 0.5 + 69.5i, 0.5 + 72.1i, 0.5 + 75.7i, 0.5 + 77.1i, 

0.5 + 79.3i, 0.5 + 82.9i, 0.5 + 84.7i, 0.5 + 87.4i, 0.5 + 88.8i, 

0.5 + 92.5i, 0.5 + 94.7i, 0.5 + 95.9i, 0.5 + 98.8i 

Formodningen passer i hvertfald for de første 10 13 nulpunkter (med 

imaginærdel > 0). 


5.4 Eksempel: Fourierrække 

Rækken 

∞ 

cos (nx) 

∑ 

n=1 

n 2 

er uniformt konvergent på R, da den har ∑n=1 ∞ 1 n 2 

majorantrække. 

som konvergent 



Rækken 

∞ 

cos (nx) 

∑ 

n=1 

n 2 

er uniformt konvergent på R, da den har ∑n=1 ∞ 1 som konvergent 

n 2 


Vi skal senere se, at summen er 1 4 x 2 π 2 x + π2 

6 

for x 2 [0, 2π]. 



Rækken 

∞ 

cos (nx) 

∑ 

n=1 

n 2 


n 2 



6 

for x 2 [0, 2π]. 


∞ 

sin (nx) 

∑ 

n=1 

n 

har ikke nogen konvergent majorantrække på noget interval. 



Rækken 

∞ 

cos (nx) 

∑ 

n=1 

n 2 


n 2 



6 

for x 2 [0, 2π]. 


∞ 

sin (nx) 

∑ 

n=1 

n 


Men det kan vises (ved Dirichlets kriterium), at rækken er uniformt 

konvergent på ethvert interval af formen [δ, 2π δ], hvor δ > 0. 



Rækken 

∞ 

cos (nx) 

∑ 

n=1 

n 2 


n 2 



6 

for x 2 [0, 2π]. 


∞ 

sin (nx) 

∑ 

n=1 

n 


Men det kan vises (ved Dirichlets kriterium), at rækken er uniformt 

konvergent på ethvert interval af formen [δ, 2π δ], hvor δ > 0. 

Derfor fås, at for x 2 ]0, 2π[ gælder 

∞ 

sin (nx) 

∑ = d 1 

n=1 

n dx 4 x 2 

 

π 

2 x + π2 

= π 6 2 

Preben Alsholm () 01037 23. oktober 2006 10 / 12 

1 

2 x

Bemærkning om cos(nx) og sin(nx) 

Der gælder, at talfølgen (cos nx) ∞ n=1 

kun er konvergent for x = p2π 

(p 2 Z), og at (sin nx) ∞ n=1 

kun er konvergent for x = pπ (p 2 Z). 







Bevis. Vi kan antage, at x 2 ]0, π[. Antag først, at cos nx ! 0 for 

n ! ∞. 








n ! ∞. 

Lad ε > 0. Så eksisterer et n 1 så n n 1 medfører jcos nxj < ε. 








n ! ∞. 


Til n 1 svarer da et p 2 Z så π n1 x 

2 + pπ < 2ε, når ε er lille. 








n ! ∞. 




Så fås j2n 1 x (2p + 1) πj < 4ε. 








n ! ∞. 




Så fås j2n 1 x (2p + 1) πj < 4ε. 

Men så cos (2n 1 x) 

n n 1 (når ε er lille). 

1 + 4ε i modstrid med at jcos nxj < ε for alle 








n ! ∞. 




Så fås j2n 1 x (2p + 1) πj < 4ε. 




Vi konkluderer, at cos nx ! 0 for n ! ∞ er umuligt. 








n ! ∞. 




Så fås j2n 1 x (2p + 1) πj < 4ε. 




Vi konkluderer, at cos nx ! 0 for n ! ∞ er umuligt. 

En umiddelbar konsekvens er, at rækken ∑ ∞ n=0 cos nx er divergent for 

ethvert x. 



Antag dernæst, at sin nx ! y for n ! ∞. 




Men så fås sin ((n + 1) x) sin ((n 1) x) = 2 sin x cos nx ! 0 for 

n ! ∞. 





n ! ∞. 

Heraf følger, at sin x = 0. 





n ! ∞. 


Vi konkluderer, at (sin nx) ∞ n=1 

kun kan konvergere for x = pπ 

(p 2 Z) (og så trivielt mod 0). 





n ! ∞. 





En umiddelbar konsekvens er, at rækken ∑n=0 ∞ sin nx kun er 

konvergent for x = pπ, p 2 Z. 





n ! ∞. 







Antag nu, at cos nx ! y for n ! ∞. 





n ! ∞. 








Så fås cos ((n 1) x) cos ((n + 1) x) = 2 sin x sin nx ! 0 for 

n ! ∞. 





n ! ∞. 









n ! ∞. 

Men så følger først, at x = pπ (p 2 Z) og dernæst, at p må være 

lige. 





n ! ∞. 









n ! ∞. 

Men så følger først, at x = pπ (p 2 Z) og dernæst, at p må være 

lige. 

Vi konkluderer, at (cos nx) ∞ n=1 

kun kan konvergere for x = p2π

Signaler og Line_re Systemer

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?