DesignMat Uge 1 Introduktion til Maple, Nye elementære funktioner

DesignMat Uge 1
Introduktion til Maple, Nye elementære
funktioner
Preben Alsholm
Forår 2010
1 Om kursets form og indhold
Om kursets form og indhold
Kursets hjemmeside indeholder al information om kurset.
Adressen er http://www2.mat.dtu.dk/education/01007/
Præsentationer som denne vil blive lagt på hjemmesiden.
Maple-worksheets vil blive anbragt på hjemmesiden.
Meddelelser udsendes over CampusNet.
2 Introduktion til Maple
Introduktion til Maple
Introduktionen vil selvfølgelig foregå i Maple-programmet.
Programmet hentes på http://www.gbar.dtu.dk/software/
Efter installation indstil programmet til Maple Notation og Worksheet Mode.
Maple vil blive brugt i alle 26 uger både under forelæsninger og øvelser.
Maple bruges bl.a.:
til kontrol af håndregninger
til grafiske illustrationer
til længere udregninger, der ellers ville være umulige eller for tidskrævende
til eksperimenter
1

3 Hyperbolske funktioner
3.1 sinh og cosh
sinh og cosh
Sinus hyperbolsk defineres således for alle x 2 R
sinh x = 1 2 ex e x
Cosinus hyperbolsk defineres således for alle x 2 R
cosh x = 1 2
ex + e x
Begge er definerede og differentiable overalt med
d
d
sinh x = cosh x,
dx
cosh x = sinh x
dx
Hyperbolsk idiotformel: cosh 2 x
sinh 2 x = 1. Bevis:
3.2 tanh
tanh
(cosh x) 2 (sinh x) 2 =
= 1 4
= 1
1
2 ex + e x 2 1
2 ex e x 2
e 2x + 2 + e 2x 1
e 2x 2 + e 2x
4
Tangens hyperbolsk defineres således for alle x 2 R
Vi har åbenbart
tanh x = sinh x
cosh x
e x
e 2x
tanh x = ex
e x + e x = e2x 1
e 2x + 1 = 1
1 + e 2x
Derfor gælder tanh x ! 1 for x ! ∞ og tanh x ! 1 for x ! ∞.
For grafer se Maple.
2

4 Omvendt funktion
4.1 Omvendt funktion generelt
Omvendt funktion generelt
Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1 , x 2 :
x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 )
Lad f være enentydig. Den omvendte funktion f
1 til f er givet ved
f
1 (a) = b () f (b) = a
dvs. f
1 omgør, hvad f gør.
Lad f være enentydig. Vi har for alle x: f 1 f (x) = x og f f
1 (x) =
x.
Hvis f er differentiabel i x 0 med f 0 (x 0 ) 6= 0, så er f
y 0 = f (x 0 ) med
0
1
f (y0 ) = 1
f 0 (x 0 )
1 differentiabel i
Maple: arcsin, arccos og arctan, men se også nedenfor.
4.2 arcsin I
arcsin I
Betragt restriktionen af sinusfunktionen til π
2
, π
2 . Lad os kalde den
Sin. Vi har altså
sin x for x 2 π
Sin (x) =
2
, π
2
ikke defineret for x /2 π
2
, π
2
Sin er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes
arcussinus og betegnes med arcsin.
arcsin omgør, hvad Sin gør:
arcsin (a) = b () Sin (b) = a
h
() sin (b) = a ^ b 2
π
2 , π i
2
Definitionsmængden for arcsin er værdimængden for Sin, altså [ 1, 1].
arcsin 1 = π 2 da sin π
2 = 1 og
π
2
2 π
2
, π
2 .
arcsin 0 = 0 da sin (0) = 0 og 0 2 π
2
, π
2 .
arcsin 1 2 = π 6 da sin π
6 =
1
2
og π 6 2 π
2
, π
2 .
arcsin sin 3π 2
= arcsin ( 1) =
π
2
3

4.3 arcsin II
arcsin II
sin (arcsin x) = x for alle x 2 [ 1, 1].
arcsin (sin x) = x for alle x 2 π
2
, π
2 .
arcsin er differentiabel i ethvert x 2 ]
1, 1[ med
d
dx arcsin x = 1
p
1 x 2
Bevis. Lad x 0 2 π
2
, π
2 og lad f = sin i den generelle sætning om
differentiabilitet. f 0 (x 0 ) = cos x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = sin x 0 , så
gælder
4.4 arccos I
arccos I
f
1 0
(y0 ) =
1
=
()?
q1 (sin x 0 ) 2
1
f 0 (x 0 ) = 1 =
cos x 0
1
q
= 1
q
1 (sin x 0 ) 2 1 y 2 0
Betragt restriktionen af cosinusfunktionen til [0, π]. Lad os kalde den
Cos. Vi har altså
cos x for x 2 [0, π]
Cos (x) =
ikke defineret for x /2 [0, π]
Cos er aftagende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes
arcuscosinus og betegnes med arccos.
arccos omgør, hvad Cos gør:
arccos (a) = b () Cos (b) = a
() cos (b) = a ^ b 2 [0, π]
Definitionsmængden for arccos er værdimængden for Cos, altså [ 1, 1].
arccos 1 = 0 da cos 0 = 1 og 0 2 [0, π].
arccos 0 = π 2 da cos π
2 = 0 og
π
2
2 [0, π].
arccos 12
= π 3 da cos π
3 =
1
2
og π 3
2 [0, π].
arccos cos 3π 2
= arccos (0) =
π
2
4

4.5 arccos II
arccos II
cos (arccos x) = x for alle x 2 [ 1, 1].
arccos (cos x) = x for alle x 2 [0, π].
arccos er differentiabel i ethvert x 2 ]
1, 1[ med
d
dx arccos x = 1
p
1 x 2
Bevis. Lad x 0 2 ]0, π[ og lad f = cos i den generelle sætning om differentiabilitet.
f 0 (x 0 ) = sin x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = cos x 0 , så gælder
4.6 arctan I
f
1 0
(y0 ) =
1
=
()?
q1 (cos x 0 ) 2
1
f 0 (x 0 ) = 1
=
sin x 0
1
q
= 1
q
1 (sin x 0 ) 2 1 y 2 0
arctan I
Betragt restriktionen af tangensfunktionen til π
2
, π
2 . Lad os kalde den
Tan. Vi har altså
tan x for x 2 π
Tan (x) =
2
, π
2
ikke defineret for x /2 π
2
, π
2
Tan er voksende, og derfor enentydig. Den omvendte funktion kaldes
arcustangens og betegnes med arctan.
arctan omgør, hvad Tan gør:
arctan (a) = b () Tan (b) = a
i
() tan (b) = a ^ b 2
π
2 , π h
2
Definitionsmængden for arctan er værdimængden for Tan, altså R.
arctan 1 = π 4 da tan π 4 = 1 og π 4 2 π
2
, π
2 .
arctan 0 = 0 da tan 0 = 0 og 0 2 π
2
, π
2 .
arctan p 3 = π 3 da tan π p
3 = 3 og
π
3
2 π
2
, π
2 .
arctan tan 3π 4
= arctan ( 1) =
π
4
5

4.7 arctan II
arctan II
tan (arctan x) = x for alle x 2 R.
arctan (tan x) = x for alle x 2 π
2
, π
2 .
arctan er differentiabel i ethvert x 2 R med
d
dx arctan x = 1
1 + x 2
Bevis. Lad x 0 2 π
2
, π
2 og lad f = tan i den generelle sætning om
differentiabilitet. f 0 (x 0 ) = 1 + tan 2 x 0 6= 0. Sæt y 0 = f (x 0 ) = tan x 0 , så
gælder
Maple.
f
1 0
(y0 ) = 1
f 0 (x 0 ) = 1
1 + tan 2 x 0
= 1
1 + y 2 0
6