Deformasjonsmetoden

Pushover analysis of jacket
1
2
4
3
5
6
4 5 6

Knekking av rammer
Modell
Bølgeretning
Oppgave : Bestem effektiv knekklengde
P
KE
2
π
=
l
EI
2
K
=
π
2
EI
( Kl) 2

Quarter platform
frame model

Platforms on the Valhall field

-0.44P
P
-0.44P
0.62P
-0.79P
-0.05P
0.56P
Krefter i X-avstivet fagverk
0.715 P
-0.70P
~0
0.707P
-0.707P
C
-0.43P
D
P
0.61P -0.81P
-0.43P
0.57P
-4.5P
4.5P
A
P
0.57P 0.43P
B
P
-5.5P 5.5P
Forenklet analyse

Knutepunkt i fagverksplattformer

Eksempel 1: Ramme med punktlast
a
P
a
2 3
a
2a
4
1
Figur 2.22 Ramme med punktlast

Eks. Ramme med punktlast
1. Fastinnspenningsmomenter:
m
m
23
32
=
=
−
P
Pa
4
( 2a)
8
=
−
Pa
4
2. Ubalanserte knutepunktsmomenter.
M
M
o2
o3
= −m
= −m
23
32
=
=
Pa
4
Pa
−
4

Eks. Ramme med punktlast
M 32
3. Bjelkeendemoment fra deformasjoner
M 23 (rotasjoner) av rammen
M 21
M 34
M
M
M
M
M
M
12
22
23
32
34
43
= 0
(fri rotasjon)
4EI
⎛ 1 ⎞ 3EI
= θ
21
+ θ12
=
2a
⎜⎝ 2
⎟⎠ 2a
4EI
⎛ 1 ⎞
= θ
23
+ θ
32
2a
⎜⎝ 2
⎟⎠
4EI
⎛ 1 ⎞
= θ
32
+ θ
23
2a
⎜⎝ 2
⎟⎠
4EI
1 3EI
= ( θ
34
+ θ
43)
= θ
l 2 a
= 0 (fri rotasjon)
( θ )
34
21

Eks. Ramme med punktlast
4. Momentlikevekt i B og C
M
M
21
32
+
+
M
M
23
34
=
=
M
M
o2
o3
3EI
θ
2a
21
+
⇓
4EI
2a
( θ
23
+
1
θ
2
32
)
=
Pa
4
4EI
2a
( θ
32
+
1
θ
2
23
) +
3EI
θ
a
34
=
−
Pa
4
To ligninger - 4 ukjente vinkler.

Eks. Ramme med punktlast
5. Kontinuitet i b og c
θ
θ
21
32
= θ
= θ
23
34
= θ
= θ
2
3
⇓
3EI
θ
2
2a
4EI
⎛
θ
3
2a
⎜⎝
or
4EI
⎛
+ θ
2
2a
⎜⎝
1 ⎞
+ θ
3
=
2
⎟⎠
1 ⎞ 3EI
+ θ
2
+ θ
3
=
2
⎟⎠ a
Pa
4
Pa
−
4
EI
2a
EI
a
( 7θ
+ 2θ
)
( θ + 5θ
)
2
2
3
3
Pa
=
4
Pa
= −
4

Systemligning
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
4
4
5
2
7
3
2
Pa
Pa
a
EI
a
EI
a
EI
a
EI
θ
θ
Kr = R
6. Løsning
EI
Pa
EI
Pa
44
3
11
2
3
2
2 −
=
= θ
θ

Eks. Ramme med punktlast
7. Momenter fra bjelkeenderotasjoner
0.205
3
0.045
2
1
2
4
0.114
2
1
2
4
0.136
2
3
3
34
2
3
32
3
2
23
2
21
−
=
=
−
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
=
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
a
EI
M
Pa
a
EI
M
Pa
a
EI
M
Pa
a
EI
M

Eks. Ramme med punktlast
8. Momentdiagram
0.136
0.045
0.205 0.25 0.25
0.114
[ Pa ]
[Pa]
0.25
Momenter fra bjelkeenderotasjoner
Moment fra last på bjelke med
fast innspente ender

Resulterende momentdiagram
0.136 Pa
0.205 Pa
0.33 Pa

Eks. Ramme med punktlast
9. Skjærkraft-diagram
0.5
+
-
-0.5
-
+
-0.068
0.035
+
[P]
Skjærkrefter i fastinnspent
system, Q 0
[P]
Skjærkrefter fra
enderotasjoner
0.205

Resulterende skjærkraftdiagram
+
0.535
-0.465
-
0.205
[P]
-0.068

Skjær- og aksialkrefter i rammen
0.535P
P
0.465P
-0.205P
+0.068P
=-0.137P
2 3
1
-0.068P
4
0.205P

Skipsstøt mot oppjekkbar plattform
90 m
P
75 m
2 3
EI
l
4EI
l
2EI
l
l=120 m
P
1
4
( a ) ( b ) ( c )

Elementanalyse
Bjelke 12 :
M
M
12
21
= 0 (fritt opplagret)
EI
= 3 θ
21
+ m21
l
Bjelke 23
4EI
M
23
= 4
l
M
32
4EI
= 4
l
⎛
θ ⎜⎝
⎛
θ ⎜⎝
23
32
+
+
1
θ
2
1
θ
2
32
23
⎞
⎟⎠
⎞
⎟⎠
Bjelke 34:
2EI
M
34
= 3 θ
34
l
M 43 = 0 (fritt opplagt
ende)
90 m
P
75 m
2 3
EI
l
4EI
l
2EI
l
l=120 m
P
1
4

Kompatibilitet
3
34
32
2
23
21
θ
θ
θ
θ
θ
θ
=
=
=
=
0
0
34
32
23
21
=
+
=
+
M
M
M
M
Knutepunkt 2:
0
2
1
16
3
3
2
21
2 =
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
+
+ θ
θ
θ
l
l
EI
m
EI
Knutepunkt 3:
0
6
2
1
16
3
2
3 =
+
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+ θ
θ
θ
l
l
EI
EI
⇓
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎥⎥⎥⎥ ⎡
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
0
6
16
8
8
16
3
21
3
2 m
EI
EI
EI
EI
EI
EI
θ
θ
l
l
l
l
l
l
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
θ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
2
3
2
33
32
23
22
R
R
k
k
k
k
Likevekt

Fastinnspenningsmoment
Pl
m
128
21
21 =
Ligningssystem
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
0
128
21
22
8
8
19
3
2
l
l
P
EI
θ
θ
Løsning :
EI
P
EI
P
b
2
2
3
0.01
0.0037
l
l
= −
=
θ
θ
Elementkrefter:
( )
( )
34
2
32
2
34
21
2
23
2
21
0.022
0.01
2
1
0.0037
16
0.022
0.037
6
0.133
0.0037
2
1
0.01
16
0.133
128
21
0.01
3
M
P
EI
P
EI
M
P
EI
P
EI
M
M
P
EI
P
EI
M
P
P
EI
P
EI
M
−
=
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
−
=
=
=
−
=
=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+
−
=
=
+
−
=
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l

Moment- og skjærkraftdiagram
0.133
2
0.088
3
0.022
M : x Pl
Q : x P
1
2
0.883
← → ← →
0.248
↑
↓
3
← →
0.905
1
4 1
0.117
4
0.022
0.248
0.248

Stivhetsmatrise for bjelke med
tverrforskyvning
w
1
w
2
θ
1
l
EI,
θ
2
⎡ 12EI 6EI 12EI 6EI ⎤
⎢ − − −
3 2 3 2
l l l l
⎥
⎢
⎥
⎡ Q1 ⎤ ⎢ 6EI 4EI 6EI 2EI ⎥ ⎡w1
⎤ ⎡ q1
⎤
⎢
M
⎥ −
2 2
1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
1 m
⎥
⎢ ⎥ l l l l ⎢
θ
⎥ ⎢ 1
= ⎢
⎥ + ⎥
⎢ Q ⎥ ⎢ 12EI 6EI 12EI 6EI ⎥ ⎢w
⎥ ⎢ q ⎥
2 2 2
−
3 2 3 2
⎣⎢ M2 ⎦⎥ ⎢ l l l l ⎥
⎣⎢ θ2
⎦⎥ ⎢⎣ mb
⎥⎦
⎢
⎢
6EI 2EI 6EI 4EI
−
⎢
2 2
⎣ l l l l
⎥
⎥
⎥⎦

Stivhetsmatrise for bjelke med 6
frihetsgrader
w
1
w
2
u
1
u
2
1
a
l
EA, EI
θ
2
⎡ EA
EA
⎤
⎢
0 0 − 0 0
l
l
⎥
⎢
⎥
⎢ 12EI 6EI 12EI 6EI
0 0
⎥
⎡ N1 ⎤
− − −
⎢
3 2 3 2
l l l l ⎥ ⎡ u1
⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢
Q
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
1 6EI 4EI 6EI 2EI w
⎥ ⎢
⎢ ⎥ 1 q
⎥
⎢ 0 −
0
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥
⎢M 2 2
1
⎥ ⎢
⎥ θ
1
1
=
l l
l l ⎢ ⎥ ⎢m1
⎥
⎢ ⎥
N
⎢
2 EA
EA
⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥
⎢ ⎥ u
⎢ 2
− 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ Q ⎥
2 ⎢ l
l
⎥ ⎢w
⎥ ⎢
2 q ⎥
2
⎢ ⎥ ⎢
M 12EI 6EI 12EI 6EI ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢ 0 −
0
⎣ θ 2
3 2 3 2
⎥ ⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ m2
⎦⎥
⎢ l l l l ⎥
⎢ 6EI 2EI 6EI 4EI ⎥
0 −
0
⎢
2 2
⎣ l l
l l ⎥⎦

Skipsstøt mot oppjekkbar plattformsideveis
forskyvelig
30 m
90
m
90 m
P
75 m
θ 2B θ 3C w w 2B 3C
2 3
P
EI
EI l
l
4EI
4EI l
2EI
ll
120
m
P
1
4
75 75 m
( a ) ( b ) ( c )

Elementanalyse
30 m
90 m
P
θ 2
w 2
θ 3 w 3
EI
l
4EI
l
75 m
2EI
l
Bjelke 12 :
⎡ 1 1⎤ ⎡ 117 ⎤
− −
2
P
⎡ Q21 ⎤ 3EI ⎢ ⎥ ⎡w
2 ⎤ ⎢ 128 ⎥
=
l l
⎢
M
⎥ ⎢ ⎥ +
21 1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ l ⎢ θ2
21
− 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ Pl
⎥
⎢⎣
l ⎥⎦
⎢⎣ 128 ⎥⎦
Bjelke 23 Bjelke 34
M
M
23
32
4EI
= 4
l
4EI
= 4
l
⎛
θ ⎜⎝
⎛
θ ⎜⎝
23
32
+
+
1
θ
2
1
θ
2
32
23
⎞
⎟⎠
⎞
⎟⎠
⎡ Q
⎢⎣ M
34
23
⎤
⎥⎦
2EI
= 3
l
⎡ 1
2
l
1
⎢⎢⎢
−
⎣ l
1⎤
−
l w3
⎤
1 ⎥⎥⎥⎡
⎢⎣ θ
3
⎥⎦
⎦

Kompatibilitet Likevekt
θ = θ = θ
21 23 2
θ = θ = θ
32 34 3
M + M = 0
21 23
M + M = 0
32 34
w2 = w3
Q21 + Q34
= 0
Knutepunkt 2 og 3
3EI 3EI 21 16EI 8EI
∑ M2 = − w
2 2 + θ 2 + Pl
+ θ 2 + θ 3 = 0
l l 128 l l
8EI 16EI 6EI 6EI
∑ M3 = θ 2 + θ3 − w
2 3 + θ 3 = 0
l l l l
3EI 3EI 117 6EI 6EI
∑ Q = w
3 2 − θ
2 2 − P + w
3 3 − θ
2 3 = 0
l l 128 l l
⇓
⎡3EI 16EI 8EI 3EI ⎤
⎢
+ −
2 ⎡ 21 ⎤
l l l l ⎥ P
2 ⎢
− l
⎢ ⎥ ⎡ θ ⎤ 128 ⎥
⎢ 8EI 16EI 6EI 6EI ⎢ ⎥
+ − ⎥ ⎢
θ
⎥
2 3 = 0
⎢ l l l l ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎢w ⎢
2 ⎥ 117 ⎥
3EI 6EI 3EI 6EI
⎥ ⎣ ⎦
⎢ P
− − + ⎥
2 2 3 3 ⎣ 128 ⎦
⎢⎣
l l l l ⎥⎦
System-ligning
Kr = R

⎡3EI 16EI 8EI 3EI ⎤
+ − ⎡ 21 ⎤ P
⎢ 2
l l l l
⎥
2 ⎢
− l
⎢ ⎥ ⎡ θ ⎤ 128 ⎥
⎢ 8EI 16EI 6EI 6EI ⎢ ⎥
+ − ⎥ ⎢
θ
⎥
2 3 = ⎢ 0
⎢ l l l ⎥ ⎢ ⎥ ⎥
l
⎢ ⎥ ⎢⎣ w ⎢
2 ⎥⎦
117 ⎥
⎢
⎢⎣
Ligningssystem
3EI 6EI 3EI 6EI P
− − + ⎥ ⎢ ⎥
2 2 3 3 ⎣ 128 ⎦
l l l l ⎥⎦
Løsning
Pl
θ 3 = −0.0039 EI
Pl
θ b = −0.0351 EI
w
l
2
2
2
2
Pl
= 0.1237 EI
Elementkrefter:
3 2
3EI ⎛ 1 Pl
1 Pl
⎞ 117
Q21 = ⎜ 0.1237 −
2
( −0.0039)
⎟ − P = −0.53P
l ⎝ l EI l EI ⎠ 128
3 2
3EI ⎛ 1 Pl
Pl
⎞ 21
M21
= ⎜ − 0.1237 + ( − 0.0039)
⎟ + Pl
= −0.22Pl
l ⎝ l EI EI ⎠ 128
3 2
6EI ⎛ 1 Pl
1 Pl
⎞
Q34 = ⎜ 0.1237 −
2
( 0.0351)
⎟ = 0.53P
l ⎝ l EI l EI ⎠
3 2
6EI ⎛ 1 Pl
Pl
⎞
M34
= ⎜ − 0.1237 + ( 0.0351)
⎟ = −0.53Pl
l ⎝ l EI
EI ⎠

Moment- og skjærkraftdiagram
2
Momentdiagram
0.22
3
0.35
0.53
P
Skjærkraftdiagram
2 3
0.53
1.2P
1
[ x Pl]
4 1
0.47
1.2P
4
0.53
1.2P
P

Deformasjonsmetoden
oppbygging av systemligning Kr = R
θ 2
w 2
θ 3 w 3
Systemligning
30 m
90 m
P
EI
l
4EI
l
2EI
l
⎡3EI 16EI 8EI 3EI ⎤
+ − ⎡ 21 ⎤ P
⎢ 2
l l l l ⎥
2 ⎢
− l
⎢ ⎥⎡ θ ⎤ 128 ⎥
⎢ 8EI 16EI 6EI 6EI ⎢ ⎥
+ − ⎥⎢
θ
⎥
2 3 = ⎢ 0
⎢ l l l l ⎥⎢ ⎥ ⎥
⎢ ⎥⎣⎢
w ⎢
2⎥⎦
117 ⎥
⎢⎣
3EI 6EI 3EI 6EI P
− − + ⎢ ⎥
2 2 3 3 ⎣ 128 ⎦
l l l l ⎥⎦
75 m