eksamensopgaver - Institut for Matematik og Datalogi - Syddansk ...
eksamensopgaver - Institut for Matematik og Datalogi - Syddansk ...
eksamensopgaver - Institut for Matematik og Datalogi - Syddansk ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
SYDDANSK UNIVERSITET—ODENSE UNIVERSITET<br />
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI<br />
Skriftlig eksamen<br />
MATEMATIK B (MM02)<br />
Torsdag d. 19. juni 2003 kl. 9.00–13.00<br />
4 timer med alle sædvanlige skriftlige hjælpemidler, inklusiv brug af lommeregnere<br />
<strong>og</strong> ikke støjende PC’er.<br />
Opgavesættet består af 4 opgaver med henholdsvis 25, 15, 30 <strong>og</strong> 30 point.<br />
I opgave 2 kan du vælge mellem 2 <strong>for</strong>skellige delopgaver, <strong>og</strong> du skal kun<br />
aflevere én til besvarelse. Fuld besvarelse svarer således til 100 point.<br />
Der lægges vægt på, at de benyttede metoder <strong>og</strong> sætninger fremgår af besvarelsen,<br />
<strong>og</strong> at svarene begrundes. Opnås resultater ved hjælp af lommeregner<br />
eller computer, bør dette oplyses i besvarelsen. I alle tilfælde skal alle<br />
mellemregninger angives.<br />
Bemærk, at senere delspørgsmål i en opgave n<strong>og</strong>le gange kan besvares uden<br />
at alle de tidligere spørgsmål er besvaret. Det er tilladt at bruge resultater<br />
fra tidligere delspørgsmål selvom disse ikke er besvaret.
Opgave 1 (25 point)<br />
Lad A være 3 × 3 matricen<br />
⎡ ⎤<br />
1 −3 3<br />
A = ⎣−2 5 −5⎦ ,<br />
3 0 a<br />
<strong>og</strong> betragt det lineære ligningssystem<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤<br />
−1<br />
x 1<br />
Ax = ⎣ 0 ⎦ , x = ⎣x 2<br />
⎦ ∈ R 3<br />
b<br />
x 3<br />
hvor a, b ∈ R.<br />
(a) Vis at det(A) = −a.<br />
(b) For hvilke værdier af a har ligningssystemet præcis én løsning?<br />
(c) Bestem i tilfældet (b) ligningssystemets løsning.<br />
(d) For hvilke værdier af a <strong>og</strong> b er ligningssystemet inkonsistent?<br />
(e) For hvilke værdier af a <strong>og</strong> b har ligningssystemet uendelig mange løsninger?<br />
Angiv i dette tilfælde den fuldstændige løsning til systemet.<br />
2<br />
Opgavesættet <strong>for</strong>tsættes . . .
Opgave 2 (15 point)<br />
Der er valgfrihed mellem opgaverne 2a <strong>og</strong> 2b Du skal kun aflevere (<strong>og</strong><br />
får kun point <strong>for</strong>) én af opgaverne.<br />
Opgave 2a<br />
Betragt afbildningen, Tr : M 2,2 (R) → R givet ved<br />
([ ])<br />
a11 a<br />
Tr<br />
12<br />
= a<br />
a 21 a 11 + a 22 ,<br />
22<br />
<strong>for</strong> alle a ∈ M 2,2 (R). Tr er dermed afbildningen der summer diagonalindgangene<br />
i matricen A.<br />
(a) Vis at Tr : M 2,2 (R) → R er lineær, <strong>og</strong> at der <strong>for</strong> alle A, B ∈ M 2,2 (R)<br />
gælder at Tr(AB) = Tr(BA).<br />
(b) Vis at der ikke findes matricer A, B ∈ M 2,2 (R) som opfylder at<br />
AB − BA = I,<br />
[ ] 1 0<br />
hvor I = betegner enhedsmatricen i M<br />
0 1<br />
2,2 (R).<br />
Opgave 2b<br />
Betragt følgende lineære pr<strong>og</strong>rammeringsproblem:<br />
Maksimer f(x 1 , x 2 , x 3 ) = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3<br />
under <strong>for</strong>udsætning af at<br />
2x 1 + 3x 2 + x 3 ≤ 5<br />
4x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 11<br />
3x 1 + 4x 2 + 2x 3 ≤ 8<br />
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.<br />
(a) Opstil Simplexmetodens start-tableaux <strong>for</strong> LP-problemet.<br />
(b) Løs LP-problemet ved hjælp af Simplex-algoritmen.<br />
3<br />
Opgavesættet <strong>for</strong>tsættes . . .
Opgave 3 (30 point)<br />
Lad T : R 3 → R 3 være den lineære afbildning givet ved at<br />
⎛⎡<br />
⎤⎞<br />
⎡ ⎤<br />
x 1 4x 1 + 2x 3<br />
T ⎝⎣x 2<br />
⎦⎠ = ⎣ 3x 2<br />
⎦<br />
x 3 2x 1 + x 3<br />
(a) Vis at matrix-repræsentationen, A, af T mht. standard-basen i R 3 er<br />
givet ved<br />
⎡ ⎤<br />
4 0 2<br />
A = ⎣0 3 0⎦ .<br />
2 0 1<br />
(b) Bestem det karakteristiske polynomium <strong>for</strong> A, <strong>og</strong> vis at egenværdierne<br />
<strong>for</strong> A er 0, 3 <strong>og</strong> 5.<br />
(c) Bestem de tilhørende egenrum <strong>for</strong> A.<br />
(d) Bestem en orth<strong>og</strong>onal matrix, Q, der diagonaliserer A, dvs. Q T AQ = D<br />
hvor D er en diagonal matrix. Angiv D.<br />
(e) Bestem en matrix B som opfylder at B 3 = A.<br />
(f) Bestem en lineær afbildning, S : R 3 → R 3 , som opfylder at S ◦S ◦S = T .<br />
4<br />
Opgavesættet <strong>for</strong>tsættes . . .
Opgave 4 (30 point)<br />
Lad V være det reelle vektorrum, som består af polynomier af grad mindre<br />
end eller lig med to. Altså,<br />
V = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 |a 0 , a 1 , a 2 ∈ R}.<br />
Definér 〈·, ·〉 : V × V → R ved <strong>for</strong> p, q ∈ V at sætte<br />
〈p, q〉 = p(0)q(0) + p ′ (0)q ′ (0) + p ′′ (0)q ′′ (0). (1)<br />
(a) Hvis p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ∈ V <strong>og</strong> q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 ∈ V <strong>for</strong><br />
a 0 , a 1 , a 2 , b 0 , b 1 , b 2 ∈ R bestem da en <strong>for</strong>mel <strong>for</strong> 〈p, q〉.<br />
(b) Vis at 〈·, ·〉 er et reelt indre produkt på V .<br />
(c) Sæt S = {p ∈ P 2 |p(0) = p ′ (1)}. Vis at S er et underrum af V .<br />
(d) Vis at {2 + x 2 , 1 + x} udgør en basis <strong>for</strong> S.<br />
(e) Bestem en orthonormal basis <strong>for</strong> S med hensyn til det indre produkt på<br />
P 2 givet ved (1).<br />
(f) Find projektionen, p S (1), af funktionen 1 på underrrummet S.<br />
5<br />
Opgavesættet er hermed slut.