eksamensopgaver - Institut for Matematik og Datalogi - Syddansk ...

SYDDANSK UNIVERSITET—ODENSE UNIVERSITET
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI
Skriftlig eksamen
MATEMATIK B (MM02)
Torsdag d. 19. juni 2003 kl. 9.00–13.00
4 timer med alle sædvanlige skriftlige hjælpemidler, inklusiv brug af lommeregnere
og ikke støjende PC’er.
Opgavesættet består af 4 opgaver med henholdsvis 25, 15, 30 og 30 point.
I opgave 2 kan du vælge mellem 2 forskellige delopgaver, og du skal kun
aflevere én til besvarelse. Fuld besvarelse svarer således til 100 point.
Der lægges vægt på, at de benyttede metoder og sætninger fremgår af besvarelsen,
og at svarene begrundes. Opnås resultater ved hjælp af lommeregner
eller computer, bør dette oplyses i besvarelsen. I alle tilfælde skal alle
mellemregninger angives.
Bemærk, at senere delspørgsmål i en opgave nogle gange kan besvares uden
at alle de tidligere spørgsmål er besvaret. Det er tilladt at bruge resultater
fra tidligere delspørgsmål selvom disse ikke er besvaret.

Opgave 1 (25 point)
Lad A være 3 × 3 matricen
⎡ ⎤
1 −3 3
A = ⎣−2 5 −5⎦ ,
3 0 a
og betragt det lineære ligningssystem
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
−1
x 1
Ax = ⎣ 0 ⎦ , x = ⎣x 2
⎦ ∈ R 3
b
x 3
hvor a, b ∈ R.
(a) Vis at det(A) = −a.
(b) For hvilke værdier af a har ligningssystemet præcis én løsning?
(c) Bestem i tilfældet (b) ligningssystemets løsning.
(d) For hvilke værdier af a og b er ligningssystemet inkonsistent?
(e) For hvilke værdier af a og b har ligningssystemet uendelig mange løsninger?
Angiv i dette tilfælde den fuldstændige løsning til systemet.
2
Opgavesættet fortsættes . . .

Opgave 2 (15 point)
Der er valgfrihed mellem opgaverne 2a og 2b Du skal kun aflevere (og
får kun point for) én af opgaverne.
Opgave 2a
Betragt afbildningen, Tr : M 2,2 (R) → R givet ved
([ ])
a11 a
Tr
12
= a
a 21 a 11 + a 22 ,
22
for alle a ∈ M 2,2 (R). Tr er dermed afbildningen der summer diagonalindgangene
i matricen A.
(a) Vis at Tr : M 2,2 (R) → R er lineær, og at der for alle A, B ∈ M 2,2 (R)
gælder at Tr(AB) = Tr(BA).
(b) Vis at der ikke findes matricer A, B ∈ M 2,2 (R) som opfylder at
AB − BA = I,
[ ] 1 0
hvor I = betegner enhedsmatricen i M
0 1
2,2 (R).
Opgave 2b
Betragt følgende lineære programmeringsproblem:
Maksimer f(x 1 , x 2 , x 3 ) = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3
under forudsætning af at
2x 1 + 3x 2 + x 3 ≤ 5
4x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 11
3x 1 + 4x 2 + 2x 3 ≤ 8
x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.
(a) Opstil Simplexmetodens start-tableaux for LP-problemet.
(b) Løs LP-problemet ved hjælp af Simplex-algoritmen.
3
Opgavesættet fortsættes . . .

Opgave 3 (30 point)
Lad T : R 3 → R 3 være den lineære afbildning givet ved at
⎛⎡
⎤⎞
⎡ ⎤
x 1 4x 1 + 2x 3
T ⎝⎣x 2
⎦⎠ = ⎣ 3x 2
⎦
x 3 2x 1 + x 3
(a) Vis at matrix-repræsentationen, A, af T mht. standard-basen i R 3 er
givet ved
⎡ ⎤
4 0 2
A = ⎣0 3 0⎦ .
2 0 1
(b) Bestem det karakteristiske polynomium for A, og vis at egenværdierne
for A er 0, 3 og 5.
(c) Bestem de tilhørende egenrum for A.
(d) Bestem en orthogonal matrix, Q, der diagonaliserer A, dvs. Q T AQ = D
hvor D er en diagonal matrix. Angiv D.
(e) Bestem en matrix B som opfylder at B 3 = A.
(f) Bestem en lineær afbildning, S : R 3 → R 3 , som opfylder at S ◦S ◦S = T .
4
Opgavesættet fortsættes . . .

Opgave 4 (30 point)
Lad V være det reelle vektorrum, som består af polynomier af grad mindre
end eller lig med to. Altså,
V = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 |a 0 , a 1 , a 2 ∈ R}.
Definér 〈·, ·〉 : V × V → R ved for p, q ∈ V at sætte
〈p, q〉 = p(0)q(0) + p ′ (0)q ′ (0) + p ′′ (0)q ′′ (0). (1)
(a) Hvis p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ∈ V og q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 ∈ V for
a 0 , a 1 , a 2 , b 0 , b 1 , b 2 ∈ R bestem da en formel for 〈p, q〉.
(b) Vis at 〈·, ·〉 er et reelt indre produkt på V .
(c) Sæt S = {p ∈ P 2 |p(0) = p ′ (1)}. Vis at S er et underrum af V .
(d) Vis at {2 + x 2 , 1 + x} udgør en basis for S.
(e) Bestem en orthonormal basis for S med hensyn til det indre produkt på
P 2 givet ved (1).
(f) Find projektionen, p S (1), af funktionen 1 på underrrummet S.
5
Opgavesættet er hermed slut.