et fra Århus - Institut for Matematik og Datalogi

Indledende Mål- og Integralteori 

Steen Thorbjørnsen 

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG 2009

Copyright ©2009 Steen Thorbjørnsen

Forord 

Nærværende notesæt er udarbejdet til kurset “Målteori” ved Institut for Matematiske Fag, Århus 

Universitet. Noterne bygger i høj grad på Svend Erik Graversens noter [Gr], der hidtil er 

blevet benyttet i nævnte kursus, men også på bogen [BM] af Christian Berg og Tage Gutmann 

Madsen samt bogen [Sc] af René L. Schilling. Hvad angår fagligt indhold og generalitet og 

styrke af de præsenterede resultater svarer noterne i høj grad til [Gr]. En væsentlig forskel i 

forhold til [Gr] er, at stoffet er omstruktureret med henblik på at komme så hurtigt frem til indførelsen 

af Lebesgue integralet, som det er praktisk muligt. I den henseende er noterne i høj 

grad struktureret som [BM]. Tanken med dette er, at de studerende dermed hurtigere får mulighed 

for at regne opgaver i Lebesgue-integralet, som naturligt udgør hovedfocus for kursets 

skriftlige eksamen. Kapitel 1 udgør således en “minimal” fremstilling af “målelighed og mål” 

med henblik på udviklingen af Lebesgue-integralet i Kapitel 2. Emner som entydighed af mål, 

produktmål og transformation af mål bliver følgelig først behandlet i hhv. Kapitel 3, 4 og 5. Endvidere 

bliver visse “videregående emner” fra [Gr] gennemgået i appendices. Med henblik på at 

imødekomme overgangen fra 1. års studier, indeholder noterne desuden appendices om elementær 

mængdeteori, den udvidede reelle tallinie samt om supremum, infimum, limes superior og 

limes inferior. Kurset “Målteori” efterfølges ved Århus Universitet enten af kurset “Sandsynlighedsteori 

1.1” eller af kurset “Reel Analyse”. Materiale om L p -rum og integral-uligheder, som 

naturligt hører hjemme i et kursus i mål- og integralteori, bliver behandlet i begge sidstnævnte 

kurser og er derfor ikke medtaget i disse noter. Det samme gør sig gældende for konstruktionen 

af Lebesgue-målet på de reelle tal. 

Det har fra starten været hensigten at give en fremstilling af Mål- og Integralteori, som er (relativt) 

let læselig også for studerende med kun et enkelt års universitetsstudier bag sig. Dette 

har afstedkommet et forholdsvis stort antal sider, hvilket naturligvis kan virke begrænsende på 

læserens overblik over det gennemgåede stof. Det sidste er forsøgt imødekommet med en ganske 

stram struktur af teksten, som i vid udstrækning er opdelt i definitioner, sætninger, beviser, 

bemærkninger, eksempler etc. 

Det er afslutningsvist en stor fornøjelse at takke Jan Pedersen for hans grundige gennemlæsning 

af en tidligere version af manuskriptet og hans indsigtsfulde kommentarer, der har forbedret dele 

af noterne betragteligt. 

Århus, August 2008 


I 2009 udgaven af noterne er der tilføjet opgaver efter hvert kapitel, ligesom der er tilføjet et 

appendix om tællelige mængder samt enkelte eksempler og figurer. Derudover er der foretaget 

nogle få justeringer af formuleringer og beviser, og der er rettet en række trykfejl. Jeg takker 

de studerende, der fulgte kurset i efteråret 2008, for deres nyttige kommentarer. Specielt er jeg 

taknemmelig for Jesper Bjørnholts grundige sproglige gennemgang af noterne. Det er endelig 

en fornøjelse at takke Svend Erik Graversen og Jørgen Hoffmann-Jørgensen for berigende 

diskussioner. 

Århus, August 2009 


3

Indhold 

1 Målelighed og mål. 6 

1.1 Målelige mængder – begrebet σ-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2 Borel-algebraen i R d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

1.3 Mål og deres grundlæggende egenskaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.4 Målelige afbildninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

1.5 Målelige funktioner med værdier i R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.6 Målelighed ved grænseovergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

1.7 Målelighed i delrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

1.8 Simple funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

1.9 Opgaver til Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2 Lebesgue-integralet 55 

2.1 Integralet af positive simple funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 

2.2 Integration af positive målelige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

2.3 Nulmængder og µ-næsten overalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

2.4 Integration af reelle funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

2.5 Konvergenssætninger for integralet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

2.6 Integration over delmængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

2.7 Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 


3 Entydighed af mål 94 

3.1 δ-systemer og Dynkins Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 

3.2 Entydighedsresultater for mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 


4 Produktmål 102 

4.1 Produktrummet af to målelige rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

4.2 Produktrum af flere end to målelige rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

4.3 Produktmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

4.4 Integration med hensyn til produktmål – Tonellis og Fubinis Sætninger . . . . . 117 


5 Nye mål fra gamle 128 

5.1 Transformation af mål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 

5.2 Mål med tæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 

5.3 Absolut kontinuitet og entydighed af tæthed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 


A Appendices 141 

A.1 Elementær mængdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 

A.2 Tællelige mængder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 

A.3 Den udvidede reelle tallinie R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 

A.4 Infimum, supremum, limes inferior og limes superior . . . . . . . . . . . . . . 153 

4

A.5 Generelle partitions σ-algebraer og kardinalitet af σ-algebraer . . . . . . . . . 160 

A.6 Borel-målelighed i generelle metriske rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

A.7 Translationsinvariante mål i R d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 

A.8 Affine, bijektive transformationer af Lebesgue-målet . . . . . . . . . . . . . . 173 

5

1 Målelighed og mål. 

For at illustrere de problemstillinger og begreber, vi skal studere i dette kapitel, betragter vi først 

den to-dimensionale euklidiske plan R 2 . Vi ønsker at give en stringent matematisk beskrivelse 

af begrebet “areal” af delmængder af R 2 . Lidt mere præcist ønsker vi at indføre en mængdefunktion 

λ 2 , som til en delmængde A af R 2 knytter et ikke-negativt tal λ 2 (A), der på rimelig vis 

stemmer overens med vores intuitive opfattelse af “arealet af A”. Med denne intuitive opfattelse 

i baghovedet er det rimeligt at forlange, at λ 2 bl.a. bør opfylde følgende betingelser: 

(i) λ 2 (/0) = 0. 

(ii) λ 2 

(⋃ ni=1 

A i 

) 

= ∑ 

n 

i=1 λ 2 (A i ), når A 1 ,...,A n er disjunkte delmængder af R 2 . 

(iii) λ 2 ’s værdi på et vilkårligt (åbent) rektangel (a 1 ,b 1 ) ×(a 2 ,b 2 ) i R 2 er lig med produktet 

af sidernes længder: 

λ 2 ((a 1 ,b 1 ) ×(a 2 ,b 2 )) = (b 1 − a 1 ) ·(b 2 − a 2 ). 

(iv) Hvis A er en delmængde af R 2 , og a er en fast vektor i R 2 , så gælder der, at λ 2 (A+a) = 

λ 2 (A). 

(v) Hvis A er en delmængde af R 2 , υ ∈ (−π,π], og R υ (A) betegner rotationen af A med 

vinkelen υ (omkring origo), så gælder der, at λ 2 (R υ (A)) = λ 2 (A). 

Betingelserne (ii) og (iii) sikrer, at λ 2 antager den “rigtige” værdi på vilkårlige (åbne) rektangler 

i R 2 og på mængder, der kan skrives som foreningsmængden af endeligt mange disjunkte 

rektangler. Men hvad med andre delmængder af R 2 , f.eks. en cirkelskive D? Her kan man let 

forestille sig, at man kan overdække D med (endeligt mange) små disjunkte rektangler, således 

at det samlede areal af disse rektangler tilnærmelsesvist er lig med arealet af D. Det er 

intuitivt klart, at approksimationen kan blive så god, som man måtte ønske, og intuitivt må en 

mængdefunktion λ 2 , der opfylder betingelserne (i)-(iii), således også forventes at antage den 

“rigtige” værdi på cirkelskiver og andre “pæne” delmængder af R 2 . Men hvad så, hvis man 

f.eks. betragter foreningsmængden af uendeligt mange disjunkte rektangler i R 2 , f.eks. 

⋃ 

R = ∞ (n − 1 n ,n) ×(n − n 1,n). 

n=1 

Her bør der intuitivt gælde (jvf. (ii)), at 

λ 2 (R) = lim 

N 

∑ 

N→∞ 

n=1 

λ 2 

( 

(n − 

1 

n 

,n) ×(n − 1 n ,n)) = lim 

N 

∑ 

N→∞ 

n=1 

∞ 

1 

n 2 = ∑ 

n=1 

1 

n 2 = π2 

6 , 

og overvejelser som denne leder til, at mængdefunktionen λ 2 rimeligvis bør opfylde følgende 

skærpelse af (ii): 

(II) λ 2 

(⋃ ∞i=1 

A i 

) 

= ∑ 

∞ 

i=1 λ 2 (A i ), når (A i ) i∈N er en følge af disjunkte delmængder af R 2 . 

Her kan man imidlertid vise (jvf. Appendix A.7), at der ikke findes en afbildning λ 2 defineret 

på hele potensmængden 1 P(R 2 ), som opfylder betingelserne (i),(II),(iii) og (iv) ovenfor, når 

1 Potensmængden P(R 2 ) er systemet af alle delmængder af R 2 ; jvf. Appendix A.1 

6

det forudsættes, at (II) og (iv) skal være opfyldt for vilkårlige følger (A i ) i∈N af disjunkte delmængder 

af R 2 hhv. vilkårlige delmængder A af planen 2 . For overhovedet at kunne indføre et 

rimeligt arealbegreb bliver man således nødt til at acceptere, at mængdefunktionen λ 2 kun er 

defineret på et passende delsystem B(R 2 ) af P(R 2 ). Med andre ord må man altså acceptere, at 

der findes delmængder af R 2 , som man ikke på fornuftig vis kan tilskrive et areal, og mængderne 

i B(R 2 ) omtales tilsvarende som “målelige mængder”. Systemet B(R 2 ), som man i første 

omgang 3 stiller sig tilfreds med at kunne definere λ 2 på, kan beskrives som det mindste system 

af delmængder af R 2 , der opfylder følgende betingelser: 

1. R 2 ∈ B(R 2 ). 

2. Hvis B ∈ B(R 2 ), gælder der også, at B c ∈ B(R 2 ). 

3. For enhver følge (B i ) i∈N af mængder fra B(R 2 ) gælder der også, at ⋃ i∈N B i ∈ B(R 2 ). 

4. B(R 2 ) indeholder ethvert rektangel i R 2 . 

Betingelserne 1-3 ovenfor sikrer, at man kan arbejde frit inden for systemet B(R 2 ) med hensyn 

til de sædvanlige mængdeoperationer (anvendt tælleligt mange gange), og de udtrykker, at 

B(R 2 ) er en såkaldt σ-algebra (se nedenfor). Som vi skal se i løbet af dette og de efterfølgende 

kurser, så findes der én og kun én afbildning 4 λ 2 : B(R 2 ) → [0,∞], der opfylder betingelserne 

(i),(II),(iii) for mængder i B(R 2 ). Denne afbildning opfylder endvidere betingelserne (iv) og (v) 

for alle mængder A i B(R 2 ) (se Appendix A.7 og Appendix A.8). 

Det viser sig heldigvis, at B(R 2 ) er stor nok til at omfatte alle “i praksis forekommende” delmængder 

af R 2 , og set i det lys skal det umulige i at definere λ 2 på hele P(R 2 ) måske mere end 

en praktisk begrænsning opfattes som et udtryk for, at der indenfor det sædvanligvis anvendte 

aksiomssystem for mængdelæren findes yderst komplicerede delmængder af R 2 . 

Når vi i næste kapitel skal indføre integralet af (i første omgang) ikke-negative funktioner med 

hensyn til λ 2 , er vi ligeledes nødt til at nøjes med at kunne integrere en delklasse af mængden 

af alle funktioner f : R 2 → [0,∞). Sådan som integralet konstrueres ud fra λ 2 , viser det sig, at 

den nødvendige betingelse på f f.eks. kan udtrykkes som betingelsen, at 

{x ∈ R 2 | f(x) ≤ b} ∈ B(R 2 ) for alle b i [0,∞), 

hvilket er et udtryk for, at man kan “måle størrelsen af f ” med målet λ 2 . Funktionerne som 

opfylder denne betingelse kaldes så for “målelige funktioner”. De målelige funktioner på R 2 

udgør en bred klasse af funktioner, som bl.a. omfatter alle kontinuerte funktioner på R 2 . 

Den ovenfor skitserede konstruktion kan uden yderligere komplikationer gennemføres i alle 

de endeligt dimensionale euklidiske rum R d , og en stor del af overvejelserne giver uden videre 

mening i langt større generalitet. Når vi i næste afsnit for alvor går i gang med at opbygge 

“målteorien”, skal vi således i stedet for R 2 (eller R d ) arbejde med en abstrakt (ikke-tom) 

grundmængde X og studere σ-algebraer i X, dvs. systemer E af delmængder af X, der opfylder 

følgende betingelser: 

2 Her forudsættes det sædvanlige ZFC-aksiomssystem for mængdelæren; specielt udvalgsaksiomet. 

3 Man kan udvide λ 2 til større klasser af delmængder af R 2 , men altså ikke til hele P(R 2 ). 

4 Entydigheden bevises i Afsnit 3.2 nedenfor, mens eksistensen bevises i de efterfølgende kurser: Reel Analyse 

eller Sandsynlighedsteori 1.1 

7

(σ1) X ∈ E, 

(σ2) For alle mængder A i E gælder der også, at A c ∈ E. 

(σ3) Hvis (A n ) er en følge af mængder fra E, så gælder der også, at ⋃ n∈N A n ∈ E. 

Vi skal endvidere studere generelle mængdefunktioner, kaldet mål, µ : E → [0,∞], som opfylder 

følgende to betingelser: 

(m1) µ(/0) = 0. 

(m2) µ ( ⋃ ∞n=1 

A n 

) 

= ∑ 

∞ 

n=1 µ(A n ), når (A n ) n∈N er en følge af disjunkte mængder fra E. 

Den abstrakte tilgang har den fordel, at overvejelserne bliver renset for irrelevante forhold, som 

kun er gyldige i R 2 (eller R d ). Vigtigere er det imidlertid, at den resulterende generelle teori 

omfatter en lang række matematiske situationer, hvor man naturligt ledes til at størrelsesangive 

mængder på en måde, der er analog til arealbegrebet. Det vigtigste eksempel herpå er nok 

sandsynlighedsteorien, hvor man i udgangspunktet ønsker at give en matematisk beskrivelse af 

eksperimenter med “tilfældige udfald”. Man har så brug for at bestemme sandsynligheden for, 

at udfaldet af det betragtede eksperiment havner i en bestemt delmængde A af mængden X af 

samtlige mulige udfald. I dette tilfælde skal µ(A) således opfattes som sandsynligheden for, at 

udfaldet af eksperimentet havner i mængden A, og vores intuitive opfattelse af sandsynligheder 

retfærdiggør, at mængdefunktionen µ skal opfylde betingelserne (m1) og (m2) ovenfor. Endvidere 

forudsættes µ i denne sammenhæng kun at antage værdier i [0,1], og µ omtales som et 

sandsynlighedsmål. 

Udviklingen af selve mål- og integralteorien skal tilskrives en lang række matematikere fra det 

20. århundrede, nogle af hvis navne vi vil støde på undervejs som teorien bliver gennemgået. 

Blandt de væsentligste er H. Lebesgue , E. Borel, P. Fatou, C. Carathéodory, J. Dynkin, L. Tonelli 

og G. Fubini, hvoraf de to førstnævnte allerede har optrådt implicit i den benyttede notation 

λ 2 hhv. B(R 2 ). Den skitserede tilgang til sandsynlighedsteori baseret på mål- og integralteori 

skyldes først og fremmest den russiske matematiker A.N. Kolmogorov. Den har været af helt 

afgørende betydning for udviklingen af den moderne sandsynlighedsteori. 

1.1 Målelige mængder – begrebet σ-algebra 

I dette afsnit betragter vi, på nær i eksemplerne, en (abstrakt) ikke tom-mængde X. Vi starter 

med at indføre forskellige systemer af delmængder af X. 

1.1.1 Definition. Et system E af delmængder af X kaldes for en σ-algebra i X, hvis det opfylder 

følgende tre betingelser: 

(σ1) X ∈ E, 

(σ2) For alle mængder A i E gælder der også, at A c ∈ E. 

(σ3) Hvis (A n ) n∈N er en følge af mængder fra E, så gælder der også, at ⋃ n∈N A n ∈ E. 

Mængderne i E kaldes for E-målelige mængder eller blot målelige mængder, når E er underforstået 

af sammenhængen. 

8

1.1.2 Bemærkning. Hvis E er en σ-algebra i X, så opfylder E specielt betingelsen: 

Hvis n ∈ N, og A 1 ,A 2 ,...,A n er mængder fra E, så gælder der også, at ⋃ n 

j=1 A j ∈ E. (1.1) 

Dette følger ved at benytte (σ3) på følgen (A n ) n∈N af mængder fra E, hvor A 1 ,...,A n er de 

givne mængder i (1.1), mens A j = A n , når j ≥ n + 1. Et system E af delmængder af X, som 

opfylder betingelserne (σ1), (σ2) og (1.1) kaldes en (mængde-)algebra i X. Som for en række 

andre begreber i matematikken benyttes sigmaet i terminologien “σ-algebra” til at udtrykke, 

at begrebet omhandler tælleligt mange operationer. Terminologien belyser således den faktiske 

forskel mellem en algebra og en σ-algebra. □ 

Det næste resultat viser specielt, at man indenfor en σ-algebra E kan arbejde frit med de sædvanlige 

mængdeoperationer uden at ryge ud af E, så længe man holder sig til tælleligt mange 

mængdeoperationer. 

1.1.3 Lemma. Hvis E er en (mængde-) algebra i X, så gælder der yderligere følgende regler: 

(i) /0 ∈ E, 

(ii) Hvis A,B ∈ E, så er også A ∩ B element i E, 

(iii) Hvis A,B ∈ E, så er også A \ B element i E. 

Hvis E er en σ-algebra i X, så gælder der endvidere 

(iv) Hvis (A n ) er en følge af mængder fra E, så er også ⋂ n∈N A n element i E. 

Bevis. Alle udsagnene følger ved anvendelse af de relevante aksiomer samt regneregler for 

mængder (jvf. Appendix A.1): 

(i) /0 = X c ∈ E ifølge (σ2) og (σ1). 

(ii) Da (A ∩ B) c = A c ∪ B c , følger det, at A ∩ B = (A c ∪ B c ) c ∈ E ved anvendelse af (σ2) og 

(1.1). 

(iii) A \ B = A ∩ B c ∈ E ifølge (σ2) og (ii). 

(iv) Da ( ⋂ ) c ⋃ 

n∈N A n = n∈N A c n, følger det, at ⋂ n∈N A n = ( ⋃n∈N A c c 

n) 

∈ E ifølge (σ2) og (σ3). 

Dermed er lemmaet vist. 

1.1.4 Eksempler. (A) Systemerne 

 

{/0,X} og P(X) = {A | A ⊆ X} 

er begge σ-algebraer i X; hhv. den mindste og den største af alle σ-algebraer i X. 

9

(B) For enhver delmængde A af X er systemet E = {/0,A,A c ,X} en σ-algebra i X (overvej!). 

Det er oplagt den mindste σ-algebra i X, der indeholder A, i den forstand at enhver σ- 

algebra i X, der indeholder A, også vil indeholde alle mængderne fra E. 

(C) Lad A 1 ,...,A n være disjunkte delmængder af X, således at ⋃ n 

j=1 A j = X. I denne situation 

gælder der, at systemet 

E := { ⋃ ∣ } 

A j I ⊆ {1,...,n} (1.2) 

er en σ-algebra i X: 

j∈I 

(σ1) At X ∈ E følger fra antagelsen: ⋃ n 

j=1 A j = X, ved at benytte I = {1,...,n} i (1.2). 

(σ2) For en delmængde I af {1,...,n} følger det ved anvendelse af begge antagelserne 

om A 1 ,...,A n , at ( ⋃ 

) c ⋃ 

A j = A j ∈ E, 

j∈I 

j∈{1,...,n}\I 

hvilket viser, at E er lukket overfor komplementærmængdedannelse. 

(σ3) Lad (I k ) k∈N være en følge af delmængder af {1,...,n}. Vi skal vise, at 

⋃ 

( ⋃ 

) 

A j ∈ E. 

j∈I k 

k∈N 

Da der kun er 2 n forskellige delmængder af {1,...,n}, kan der højst være 2 n forskellige 

blandt mængderne I k , k ∈ N, og dermed kan der også højst være 2 n forskellige 

blandt mængderne ⋃ j∈I k 

A j , k ∈ N. Derfor reducerer problemet til at vise, at 

N⋃ 

k=1 

( ⋃ 

j∈I k 

A j 

) 

∈ E, 

hvis I 1 ,...,I N er endeligt mange (forskellige) delmængder af {1,...,n}. Men i denne 

situation er det ikke svært at indse, at 

som ønsket. 

N⋃ 

k=1 

( ⋃ 

j∈I k 

A j 

) 

= 

⋃ 

j∈I 1 ∪···∪I N 

A j ∈ E 

Som i (B) følger det umiddelbart, at E er den mindste σ-algebra i X, der indeholder alle 

mængderne A 1 ,...,A n . 

(D) Systemet 

udgør en σ-algebra i R: 

E := {B ⊆ R | B eller B c er tællelig} 

(σ1) Da R c (= /0) er tællelig, følger det, at R ∈ E. 

(σ2) For enhver delmængde B af R følger det umiddelbart fra definitionen af E, at B ∈ E, 

hvis og kun hvis B c ∈ E. 

10

(σ3) Lad (B n ) være en følge af mængder fra E. Hvis B n er tællelig for alle n, så bliver 

⋃ 

n∈N B n igen tællelig (overvej!) og dermed igen et element i E. Vi kan derfor antage, 

at B c n 0 

er tællelig for (mindst) et n 0 i N. Idet 

( ⋃ 

n∈N 

B n 

) c ⊆ B 

c 

n0 

, 

følger det så, at ⋃ n∈N B n har tælleligt komplement, og dermed at ⋃ n∈N B n ∈ E, som 

ønsket. ⋄ 

1.1.5 Øvelse. Overvej om følgende systemer af delmængder af R udgør σ-algebraer: 

• Systemet G af åbne delmængder af R. 

• Systemet F af lukkede delmængder af R. 

• Systemet G ∪F af alle åbne eller lukkede delmængder af R. 

• Systemet af alle begrænsede delmængder af R. 

• Systemet af alle intervaller i R. 

Det næste resultat viser, at fællesmængder af σ-algebraer altid fører til nye σ-algebraer. Resultatet 

kan evt. sammenlignes med det fra lineær algebra velkendte resultat, at fællesmængden af 

en vilkårlig familie af underrum af et givet vektorrum V altid udgør et nyt underrum af V. 

1.1.6 Sætning. Lad (E i ) i∈I være en (vilkårlig) familie af σ-algebraer i X. Da er også systemet 

⋂ 

E i = {A ⊆ X | A ∈ E i for alle i ∈ I} 

i∈I 

en σ-algebra i X. 

Bevis. Vi viser, at ⋂ i∈I E i opfylder betingelserne (σ1), (σ2) og (σ3) fra Definition 1.1.1: 

(σ1) Da X ∈ E i for alle i, gælder der også, at X ∈ ⋂ i∈I E i . 

(σ2) Antag, at A ∈ ⋂ i∈I E i , dvs. A ∈ E i for alle i. Så gælder der også, at A c ∈ E i for alle i, idet 

hvert E i opfylder (σ2). Men dette betyder, at A c ∈ ⋂ i∈I E i . 

(σ3) Lad (A n ) n∈N være en følge af mængder fra ⋂ i∈I E i . For hvert i gælder der da, at (A n ) n∈N 

er en følge af mængder fra E i , og dermed at ⋃ n∈N A n ∈ E i , da E i opfylder (σ3). Men dette 

betyder, at ⋃ n∈N A n ∈ ⋂ i∈I E i . 

Dermed er sætningen vist. 

 

Selvom beviset for Sætning 1.1.6 næsten er trivielt (når man har indstillet sig på abstraktionsniveauet), 

så er selve resultatet afgørende for definitionen af “frembragte σ-algebraer”, som vi nu 

skal indføre. Som det fremgår af (løsningen til) Øvelse 1.1.5, så udgør f.eks. systemet G af åbne 

mængder i R ikke i sig selv en σ-algebra, og man kan naturligt spørge om, hvilke delmængder 

af R man skal supplere G med for at opnå en σ-algebra. I den sammenhæng er det nyttigt at vide, 

at der findes en σ-algebra i R, som indeholder G, og som er den mindste af alle σ-algebraer 

11

i R med denne egenskab. Dette er et specialtilfælde af Sætning 1.1.7 nedenfor. Resultatet kan 

ses som en analog til det fra lineær algebra velkendte resultat, at der for enhver delmængde 

M af et vektorrum V findes et mindste underrum span(M) af V , som indeholder M. I forhold 

til beviset for Sætning 1.1.7 er det endvidere værd at huske på, at span(M) kan defineres som 

fællesmængden af samtlige underrum af V, der indeholder M. 

1.1.7 Sætning. Lad D være en vilkårlig familie af delmængder af X. Så findes en mindste 

σ-algebra σ(D) i X, som indeholder D, dvs. σ(D) opfylder følgende to betingelser: 

(a) σ(D) er en σ-algebra i X og D ⊆ σ(D). 

(b) For enhver σ-algebra E i X, som indeholder D, gælder der også, at σ(D) ⊆ E. 

Bevis. Vi sætter 

Σ(D) := {E | E er en σ-algebra i X og D ⊆ E}, 

og bemærker at Σ(D) ikke er tom, idet P(X) ∈ Σ(D). Vi definerer så 

σ(D) := 

⋂ 

E∈Σ(D) 

Ifølge Sætning 1.1.6 er σ(D) en σ-algebra i X, og den opfylder betingelserne (a) og (b) som 

følge af definitionen af Σ(D). 

E. 

1.1.8 Definition. (a) Hvis D er et system af delmængder af X, så kaldes σ-algebraen σ(D) 

fra Sætning 1.1.7 for den af D frembragte σ-algebra , og D kaldes for et frembringersystem 

for σ(D). 

(b) En σ-algebra E i X siges at være tælleligt frembragt , hvis der findes en tællelig familie 

D af delmængder af X, således at E = σ(D). 

1.1.9 Bemærkninger. (1) Hvis E er en σ-algebra i X, og D er et system af delmængder af 

X, så svarer betingelse (b) i Sætning 1.1.7 til implikationen: 

D ⊆ E =⇒ σ(D) ⊆ E. (1.3) 

Specielt har vi for systemer D 1 og D 2 af delmængder af X implikationerne: 

D 1 ⊆ D 2 =⇒ D 1 ⊆ σ(D 2 ) =⇒ σ(D 1 ) ⊆ σ(D 2 ). (1.4) 

(2) Hvis D er et frembringersystem for en σ-algebra E i X, så er systemerne 

• {D c | D ∈ D} 

• {∪ n∈N A n | A n ∈ D for alle n i N} 

• {∩ n∈N A n | A n ∈ D for alle n i N} 

12

ligeledes frembringersystemer for E. Dette følger i alle tre tilfælde direkte ved anvendelse 

af implikationerne i (1.4) for passende valg af D 1 og D 2 (overvej!). □ 

1.1.10 Eksempler. (A) Systemerne 

og 

D 1 = {[a,b] | a,b ∈ R, a < b} 

D 2 = {(a,b) | a,b ∈ R, a < b} 

frembringer den samme σ-algebra i R. For a,b i R, så a < b, har vi nemlig, at 

[a,b] = ⋂ (a − 

n 1 ,b+ 1 n ) ∈ σ(D 2), 

og at 

n∈N 

(a,b) = ⋃ [a+ 

n 1 ,b − 1 n ] ∈ σ(D 1), 

n∈N 

hvor [a+ 

n 1,b − 1 n 

] opfattes som den tomme mængde for de (højst endeligt mange) n, for 

hvilke a+ 

n 1 > b − n 1. Det følger af ovenstående identiteter og (1.4), at σ(D 1) = σ(D 2 ). 

Analoge overvejelser viser, at σ(D 1 ) ligeledes er frembragt af systemerne 

{(a,b] | a,b ∈ R, a < b} og {(−∞,b] | b ∈ R}. 

Specielt noterer vi, at den samme σ-algebra kan have mange forskellige frembringersystemer. 

(B) Lad nu grundmængden X være mængden Q af rationale tal, og betragt systemet 

D = {{x} | x ∈ Q} 

af et-punktsmængder (singletoner) i Q. Da Q som bekendt er en tællelig mængde, gælder 

der, at 

σ(D) = P(Q), 

hvor venstresiden altså er σ-algebraen i Q frembragt af D. En vilkårlig delmængde A af 

Q kan nemlig oplagt skrives som foreningsmængden af etpunktsmængderne svarende til 

dens elementer: 

A = ⋃ {x}. (1.5) 

x∈A 

Da A er tællelig, er der tale om en tællelig foreningsmængde af mængder fra D, og derfor 

viser (1.5), at A ∈ σ(D). ⋄ 

Det næste resultat giver en nyttig metode til at påvise, at alle mængder i en forelagt σ-algebra 

har en bestemt egenskab. 

1.1.11 Sætning. Lad D være et system af delmængder af X, som alle besidder en vis egenskab 

P. Antag videre, at systemet 

E(P) := {A ⊆ X | A har egenskab P} 

udgør en σ-algebra i X. Da har alle mængder i σ(D) ligeledes egenskaben P. 

13

Bevis. At alle mængder fra D har egenskaben P betyder, at D ⊆ E(P), og da E(P) er en σ- 

algebra, medfører dette, at σ(D) ⊆ E(P) (jvf. Bemærkning 1.1.9(1)). 

1.1.12 Eksempel. Betragt systemet 

D = {{x} | x ∈ R}, 

af et-punktsmængder i R, og bemærk at alle mængder fra D besidder egenskaben 

Ifølge Eksempel 1.1.4(D) er systemet 

P: A eller A c er tællelig. 

E(P) = {A ⊆ R | A eller A c er tællelig} 

en σ-algebra i R. Derfor gælder ifølge Sætning 1.1.11, at enhver mængde fra σ(D) enten er 

tællelig eller har tælleligt komplement. Specielt fremgår det, at 

σ(D) ≠ P(R) og 

σ(D) ≠ σ({[a,b] | a,b ∈ R, a < b}). 

Faktisk kan vi let vise, at σ(D) = E(P). Vi har nemlig netop indset, at σ(D) ⊆ E(P), og for at 

vise den modsatte inklusion benytter vi, at der for alle delmængder A af R gælder identiteten 

A = ⋃ {x}, 

x∈A 

som analogt til Eksempel 1.1.10(B) medfører inklusionen: 

Ved anvendelse af (1.4) følger det derfor, at 

{A ⊆ R | A er tællelig} ⊆ σ(D). 

σ(D) ⊇ σ({A ⊆ R | A er tællelig}) ⊇ E(P), 

hvor sidste inklusion følger umiddelbart af definitionen af E(P). 

⋄ 

1.2 Borel-algebraen i R d . 

I dette afsnit skal vi udstyre det euklidiske rum R d med en kanonisk σ-algebra, kaldet Borelalgebraen. 

I forbindelse hermed skal vi studere to forskellige afstandsbegreber –også kaldet 

metrikker– på R d . Først og fremmest skal vi udstyre R d med det sædvanlige afstandsbegreb: 

ρ 2 ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = 

( d 

∑ (x i − y i ) 2) 1/2 

, (1.6) 

i=1 

for x = (x 1 ,...,x d ),y = (y 1 ,...,y d ) i R d . Vi skal imidlertid også benytte metrikken ρ ∞ på R d 

givet ved 

ρ ∞ ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = max |x i − y i |. (1.7) 

i=1,2,...,d 

Vi minder om, at ρ 2 og ρ ∞ begge opfylder følgende betingelser 5 for alle x,y,z i R d : 

5 Disse betingelser karakteriserer netop en metrik; se Appendix A.6. 

14

• ρ(x,y) ≥ 0, 

• ρ(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y, 

• ρ(x,y) = ρ(y,x), 

• ρ(x,z) ≤ ρ(x,y)+ρ(y,z), 

[Hausdorff egenskab] 

[Symmetri] 

[Trekantsuligheden] 

hvor ρ betegner enten ρ 2 eller ρ ∞ . For x i R d og r > 0 betegnes den åbne ρ 2 -kugle med centrum 

x og radius r med b 2 (x,r), dvs. 

b 2 (x,r) = {y ∈ R d | ρ 2 (x,y) < r}. 

Den tilsvarende ρ ∞ -kugle betegnes med b ∞ (x,r), dvs. 

b ∞ (x,r) = {y ∈ R d | ρ ∞ (x,y) < r} = (x 1 − r,x 1 + r) × ··· ×(x d − r,x d + r). (1.8) 

En delmængde G af R d siges som bekendt at være åben med hensyn til metrikken ρ 2 (hhv. 

ρ ∞ ), hvis der for ethvert punkt x i G findes et r > 0, således at b 2 (x,r) ⊆ G (hhv. b ∞ (x,r) ⊆ G). 

Systemet af åbne mængder med hensyn til ρ 2 (hhv. ρ ∞ ) betegnes med G(ρ 2 ) (hhv. G(ρ ∞ )). 

Selvom der er tale om to forskellige afstandsbegreber, er de to metrikker ρ 2 og ρ ∞ ækvivalente, 

i den forstand at G(ρ 2 ) = G(ρ ∞ ). Dette skyldes, at enhver åben kugle mht. ρ 2 indeholder en 

åben kugle mht. ρ ∞ med samme centrum og vice versa (detaljerne vises i Opgave 1.9.1). For at 

have en simpel notation sætter vi 

G = G(ρ 2 ) = G(ρ ∞ ). 

1.2.1 Definition. Borel-algebraen i R d er σ-algebraen i R d frembragt af systemet G af åbne 

mængder. Den betegnes med B(R d ), dvs. 

B(R d ) := σ(G) = σ ( {G ⊆ R d | G er åben mht. ρ 2 og/eller ρ ∞ } ) . 

Mængderne i B(R d ) kaldes for Borel-mængder. 

Det er ikke svært at eftervise, at ethvert interval i R (begrænset eller ubegrænset; åbent, halvåbent 

eller lukket) er en Borel-mængde (jvf. Opgave 1.9.3). Et tilsvarende resultat gælder i R d . 

Den næste sætning viser specielt, at Borel-algebraen B(R d ) også er frembragt af visse systemer 

af “rektangler” i R d . 

1.2.2 Sætning. For ethvert d i N gælder der, at 

B(R d ) = σ ( {b 2 (x,r) | x ∈ R d , r > 0} ) = σ ( {b 2 (x,r) | x ∈ Q d , r ∈ (0,∞) ∩Q} ) , (1.9) 


B(R d ) = σ ( {(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) | a i ,b i ∈ R, a i 

= σ ( {(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) | a i ,b i ∈ Q, a i 

(1.10) 

15

Specielt fremgår det, at B(R d ) er tælleligt frembragt. 

Beviset for Sætning 1.2.2 bygger på følgende hjælperesultat. 

1.2.3 Lemma. Betragt R d udstyret med metrikken ρ, hvor ρ betegner én af metrikkerne ρ 2 

eller ρ ∞ . Lad videre G betegne en ikke-tom åben mængde i R d med hensyn til ρ, og skriv den 

tællelige mængde Q d ∩ G på formen: 

Q d ∩ G = {x k | k ∈ N}. 

Da findes en følge (r k ) k∈N af positive rationale tal, således at 

G = ⋃ 

k∈N 

b(x k ,r k ), 

hvor b(x,r) betegner ρ-kuglen med centrum x og radius r. Specielt fremgår det, at enhver åben 

mængde i R d (med hensyn til ρ) kan skrives som en tællelig forening af åbne ρ-kugler med 

rationale centre og radier. 

Bevis for Lemma 1.2.3. 

For hvert n i N definerer vi 

s n = sup{r ∈ (0,1] | b(x n ,r) ⊆ G} ∈ (0,1], 

og vi vælger derefter et vilkårligt rationalt tal r n i [ s n 

2 

,s n ). Så følger det fra definitionen af s n , at 

og dermed at 

b(x n ,r n ) ⊆ G for alle n i N, 

⋃ 

n∈N 

b(x n ,r n ) ⊆ G. 

Lad omvendt et vilkårligt x i G være givet, og vælg r i (0,2], således at b(x,r) ⊆ G. Da Q d er 

tæt i R d mht. ρ (jvf. Opgave 1.9.2), kan vi derefter vælge n i N, således at x n ∈ b(x, 

4 r ) ⊆ G. Så 

gælder der, at 

b(x n , 

2 r ) ⊆ b(x,r) ⊆ G, 

for hvis y ∈ b(x n , 

2 r ), så giver trekantsuligheden, at 

ρ(y,x) ≤ ρ(y,x n )+ρ(x n ,x) < r 2 + r 4 < r. 

16

G 

x 

x_n 

r 

r/2 

Figur 1: Illustration af beviset for Lemma 1.2.3. 

Det følger derfor fra definitionen af s n og valget af r n , at 

Vi kan således slutte, at 


 

r 

2 ≤ s n, og dermed 

x ∈ b(x n , r 4 ) ⊆ b(x n ,r n) ⊆ ⋃ 

r 

4 ≤ s n 

2 

≤ r n . 

k∈N 

b(x k ,r k ), 

Bevis for (1.9) i Sætning 1.2.2. For ethvert x i R d og ethvert r > 0 er kuglen b 2 (x,r) en åben 

delmængde af R d , og derfor følger det umiddelbart ved anvendelse af (1.4), at 

σ ( {b 2 (x,r) | x ∈ Q d , r ∈ (0,∞) ∩Q} ) ⊆ σ ( {b 2 (x,r) | x ∈ R d , r > 0} ) 

Tilbage står derfor at vise, at 

⊆ σ(G) = B(R d ). 

σ(G) ⊆ σ ( {b 2 (x,r) | x ∈ Q d , r ∈ (0,∞) ∩Q} ) , (1.11) 

men ifølge Lemma 1.2.3 (med ρ = ρ 2 ) gælder der, at 

G ⊆ σ ( {b 2 (x,r) | x ∈ Q d , r ∈ (0,∞) ∩Q} ) , 

og dermed følger (1.11) ved anvendelse af (1.4). 

Bevis for (1.10) i Sætning 1.2.2. For alle a 1 ,b 1 ,...,a d ,b d fra R, således at a i 

er (a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) en åben delmængde af R d . Dermed følger det umiddelbart ved anvendelse 

af (1.4), at 

σ ( {(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) | a i ,b i ∈ Q, a i 

⊆ σ ( {(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) | a i ,b i ∈ R, a i 

⊆ σ(G) = B(R d ). 

17


σ(G) ⊆ σ ( {(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) | a i ,b i ∈ Q, a i 

men ifølge Lemma 1.2.3 (med ρ = ρ ∞ – jvf. (1.8)) gælder der, at 

G ⊆ σ ( {(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) | a i ,b i ∈ Q, a i 

og dermed følger (1.12) ved endnu en anvendelse af (1.4). 

 

1.2.4 Korollar. For ethvert d i N gælder der, at 

B(R d ) = σ ( {(−∞,b 1 ] × ···×(−∞,b d ] | b 1 ,...,b d ∈ R} ) (1.13) 

og endda at 

B(R d ) = σ ( {(−∞,q 1 ] × ··· ×(−∞,q d ] | q 1 ,...,q d ∈ Q} ) . (1.14) 

Specielt fremgår det (igen), at B(R d ) er tælleligt frembragt. 

Bevis. Betragt følgende systemer af delmængder af R d : 

Vi bemærker så, at 

I = {(−∞,b 1 ] × ···×(−∞,b d ] | b 1 ,...,b d ∈ R} 

J = {(−∞,q 1 ] × ···×(−∞,q d ] | q 1 ,...,q d ∈ Q}. 

σ(J) ⊆ σ(I) ⊆ B(R d ), (1.15) 

hvor første inklusion følger af, at J ⊆ I ved anvendelse af (1.4). Den anden inklusion i (1.15) 

følger ved anvendelse af (1.3) på inklusionen I ⊆ B(R d ), som f.eks. skyldes, at alle mængder 

fra I er lukkede og dermed specielt Borel-mængder. 

Vi mangler således blot at vise, at B(R d ) ⊆ σ(J), og hertil er det ifølge Sætning 1.2.2 og (1.4) 

nok at vise, at 

(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) ∈ σ(J) 

for alle a 1 ,b 1 ,...,a d ,b d i Q, således at a i for tung notation 

nøjes vi med at vise dette i tilfældet d = 3, idet det efterfølgende burde være klart, hvordan 

beviset skal gennemføres i andre dimensioner. Lad således for hvert i fra {1,2,3} a i og b i fra Q 

være givne, således at a i 

(a 1 ,b 1 )×(a 2 ,b 2 )×(a 3 ,b 3 ) = ( (−∞,b 1 )×(−∞,b 2 )×(−∞,b 3 ) ) ∩ ( (a 1 ,∞)×(a 2 ,∞)×(a 3 ,∞) ) , 

hvor 

(−∞,b 1 ) ×(−∞,b 2 ) ×(−∞,b 3 ) = ⋃ 

k∈N 

Det er herefter nok at vise, at 

( 

(a1 ,∞) ×(a 2 ,∞) ×(a 3 ,∞) ) c ∈ σ(J). 

( 

(−∞,b1 − 1 k ] ×(−∞,b 2 − 1 k ] ×(−∞,b 3 − 1 k ]) ∈ σ(J). 

18

Men her benyttes, at 

( 

(a1 ,∞)×(a 2 ,∞)×(a 3 ,∞) ) c = ((−∞,a1 ]×R×R)∪(R×(−∞,a 2 ]×R)∪(R×R×(−∞,a 3 ]), 

hvor f.eks. 

R ×(−∞,a 2 ] ×R = ⋃ 

k∈N 

( 

(−∞,k] ×(−∞,a2 ] ×(−∞,k] ) ∈ σ(J). 

Det indses tilsvarende, at (−∞,a 1 ]×R×R og R×R×(−∞,a 3 ] er elementer i σ(J), og dermed 

er korollaret vist. 

1.3 Mål og deres grundlæggende egenskaber 

Vi skal i dette afsnit indføre og studere begrebet “et mål”. Vi starter med at indføre noget bekvem 

terminologi: 

1.3.1 Definition. Et måleligt rum er et par (X,E), hvor X er en ikke-tom mængde og E er en 

σ-algebra i X. 

Vi kan herefter indføre generelle mål på målelige rum: 

1.3.2 Definition. Lad (X,E) være et måleligt rum. Et mål på (X,E) er en afbildning µ : E → 

[0,∞], som opfylder følgende to betingelser: 

(m1) µ(/0) = 0, 

(m2) µ er numerabelt additiv (eller σ-additiv), dvs. for enhver følge (A n ) n∈N af disjunkte 

mængder fra E gælder der, at 

Hvis µ er et mål på (X,E), kaldes triplet (X,E, µ) for et målrum. 

( ⋃ 

) ∞ 

µ A n = ∑ µ(A n ). (1.16) 

n∈N n=1 

Bemærk i forbindelse med betingelsen (m2) at begge sider af identiteten (1.16) umiddelbart er 

meningsfulde: ⋃ n∈N A n ∈ E, og højresiden er en sum af ikke-negative tal. 

1.3.3 Eksempler. (A) Lebesgue-målet på R d . Det er intuitivt klart, at operationen at tage 

volumen af en Borel-mængde i R 3 (eller areal i R 2 eller længde i R) må opfylde betingelserne 

(m1) og (m2) i definitionen ovenfor og således udgøre et mål på (R 3 ,B(R 3 )) (hhv. 

på (R 2 ,B(R 2 )) eller (R,B(R))). Dette mål kaldes for Lebesgue-målet på R 3 (hhv. på R 2 

eller R). Formelt indføres Lebesgue-målet på R d som det mål λ d på (R d ,B(R d )), hvis 

værdi på ethvert åbent interval i R d er produktet af kantlængderne: 

λ d 

( 

(a1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) ) = (b 1 − a 1 )···(b d − a d ) (1.17) 

19

for alle a 1 ,b 1 ,...,a d ,b d i R, hvor a j formelt bevise, at 

der findes netop et mål på (R d ,B(R d )), som opfylder (1.17). I tilfældet d = 1 skriver vi 

som regel λ i stedet for λ 1 . 

(B) Tællemål. Lad X være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyr X med σ-algebraen 

P(X). Tællemålet på X er da målet τ : P(X) → [0,∞] givet ved: 

{ 

antal elementer i A, hvis A har endeligt mange elementer 

τ(A) = 

∞, hvis A har uendeligt mange elementer. 

For at indse at τ er et mål på (X,P(X)), bemærker vi først, at betingelsen (m1) følger 

umiddelbart fra definitionen af τ. For at eftervise (m2) betragtes en følge (A n ) af disjunkte 

mængder fra P(X), og vi skal vise, at 

τ ( ⋃ ) ∞ 

n = 

n∈NA ∑ τ(A n ). (1.18) 

n=1 

Hvis τ( ⋃ n∈N A n ) < ∞, så er τ(A n ) også endelig for alle n, og da A n ’erne er disjunkte, er 

der kun endeligt mange n i N, for hvilke A n ≠ /0. Betegnes disse endeligt mange naturlige 

tal med n 1 ,n 2 ,...,n k , så følger det nu umiddelbart fra definitionen af τ, at 

τ ( ⋃ 

n∈N 

A n 

) 

= τ 

( k⋃ 

j=1 

idet vi igen benytter, at A n1 ,A n2 ,...,A nk er disjunkte. 

) k 

∞ 

A n j = ∑ τ(A n j 

) = ∑ τ(A n ), 

j=1 

n=1 

Hvis τ( ⋃ ∞ 

n=1 A n ) = ∞, er der to muligheder (som ikke udelukker hinanden): 

(a) Der findes et n 0 i N, således at τ(A n0 ) = ∞. 

(b) τ(A n ) ≥ 1 for uendeligt mange n. 

Men i begge tilfældene (a) og (b) følger det umiddelbart, at ∑ ∞ n=1 τ(A n) = ∞, som ønsket. 

(C) Dirac-mål. Lad X være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyr X med σ-algebraen 

P(X). For et vilkårligt element a i X defineres Dirac-målet δ a i a som målet på (X,P(X)) 

givet ved: 

{ 

0, hvis a /∈ A, 

δ a (A) = 

1, hvis a ∈ A. 

Det vises i Opgave 1.9.12, at δ a faktisk ér et mål på (X,E). 

(D) Koncentration af mål. Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad A være en udvalgt mængde 

fra E. Afbildningen µ 

A k : E → [0,∞] givet ved 

µ A k (B) = µ(B ∩ A), (B ∈ E), 

ses da let at være et mål på E (se Opgave 1.9.13). Målet µ 

A k omtales som koncentrationen 

af µ til mængden A. ⋄ 

20

Vi skal nu etablere en række fundamentale egenskaber ved mål. 

1.3.4 Sætning. Lad (X,E, µ) være et målrum. Da gælder følgende udsagn: 

(i) µ er endeligt additiv, dvs. hvis A 1 ,...,A N er endeligt mange disjunkte mængder fra E, så 

gælder der, at µ( ⋃ N 

n=1 A n ) = ∑ N n=1 µ(A n). 

(ii) Hvis A,B ∈ E, og A ⊆ B, så gælder der, at µ(A) ≤ µ(B). 

(iii) Hvis A,B ∈ E, A ⊆ B, og µ(A) < ∞, så gælder der, at µ(B \ A) = µ(B) − µ(A). 

(iv) For en vilkårlig følge (A n ) af mængder fra E gælder der, at 

( ⋃ 

) ∞ 

µ A n ≤ ∑ µ(A n ). 

n∈N n=1 

(v) Lad (A n ) være en voksende følge af mængder fra E, dvs. A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ ···. Så gælder 

der, at 

( ⋃ 

) 

µ A n = lim µ(A n ). 

n∈N n→∞ 

(vi) Lad (A n ) være en dalende følge af mængder fra E, dvs. A 1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ ···. Antag videre 

at µ(A 1 ) < ∞. Så gælder der, at 

( ⋂ 

) 

µ A n = lim µ(A n ). 

n∈N n→∞ 

Bevis. (i) Lad A 1 ,...,A N være disjunkte mængder fra E, og sæt endvidere A n = /0, når n ≥ N+1. 

Det følger så ved anvendelse af (m2), at 

µ ( N ⋃ 

n=1 

A n ) = µ ( ∞ ⋃ 

n=1 

A n ) = 

∞ 

N 

∑ µ(A n ) = ∑ µ(A n ). 

n=1 

n=1 

(ii) og (iii). Antag, at A,B ∈ E, og at A ⊆ B. Så gælder der, at B = A ∪(B \ A), hvor mængderne 

på højresiden oplagt er disjunkte. Det følger derfor ved anvendelse af (i), at 

µ(B) = µ(A)+µ(B \ A). 

Heraf følger det umiddelbart, at µ(B) ≥ µ(A), og hvis µ(A) < ∞, følger det yderligere, at også 

µ(B) − µ(A) = µ(B \ A). 

(iv) og (v). Lad (A n ) være en vilkårlig følge af mængder fra E, og definér så en ny følge (B n ) af 

delmængder af X ved 

B 1 = A 1 , og B n = A n \ ( n−1 ⋃ 

k=1 

A k 

) 

for n ≥ 2. 

Nu gælder der, at B n ∈ E for alle n, og B 1 ,B 2 ,B 3 ,... er disjunkte. Bemærk endvidere, at 

∞⋃ 

n=1 

A n = ∞ ⋃ 

n=1 

B n , 


N⋃ 

n=1 

A n = N ⋃ 

21 

n=1 

B n for alle N i N.

Ved anvendelse af (m2) og (ii) finder vi derfor, at 

µ ( ∞⋃ 

n=1 

) ( ∞⋃ ) ∞ ∞ 

A n = µ n = 

n=1B ∑ µ(B n ) ≤ ∑ µ(A n ), (1.19) 

n=1 

n=1 

hvilket viser (iv). Hvis vi nu yderligere antager, at A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ ···, så har vi, at 

A N = N ⋃ 

n=1 

A n = N ⋃ 

n=1 

B n for alle N i N, 

og genanvendes de to første lighedstegn i (1.19), finder vi, at 

µ ( ∞⋃ ) ∞ 

n = 

n=1A ∑ µ(B n ) = lim 

N→∞ 

n=1 

N 

∑ 

n=1 

hvor vi i 3. lighedstegn benyttede (i). Dette viser (v). 

µ(B n ) = lim µ( N⋃ ) 

B n = lim µ(A N), 

N→∞ n=1 N→∞ 

(vi) Antag, at A 1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ ···, og lad os i første omgang yderligere forudsætte, at µ(X) < ∞. 

Så medfører (ii), at også µ(A) < ∞ for alle A i E. Idet A c 1 ⊆ Ac 2 ⊆ Ac 3 

⊆ ···, følger det fra (v), at 

µ(A c n) −→ µ ( ∞⋃ 

A c ) ( ( ∞⋂ ) c 

n→∞ 

n = µ A n 

). 

n=1 

n=1 

Sammenholdes dette med (iii) (husk, at alle værdier af µ er endelige), finder vi, at 

( ( 

µ(A n ) = µ(X) − µ(A c ∞⋂ ) ) c 

n) −→ µ(X) − µ A n = µ ( ∞⋂ ) 

A n , 

n→∞ 


Hvis µ(X) = ∞, men µ(A 1 ) < ∞, kan vi betragte målet µ k A 1 

på (X,E), givet ved 

n=1 

µ k A 1 

(B) = µ(B ∩ A 1 ), (B ∈ E) 

(jvf. Eksempel 1.3.3(D)). Bemærk, at µ k A 1 

(X) = µ(A 1 ) < ∞, og idet der yderligere gælder, at 

µ k A 1 

(A n ) = µ(A n ) for alle n, og µ k A 1 

( ∞⋂ 

n=1 

A n 

) 

= µ 

( ∞⋂ 

n=1 

n=1 

A n 

) 

, 

følger det ønskede nu umiddelbart ved at benytte det ovenfor viste på målet µ k A 1 

. 

I nogle fremstillinger af målteorien omtales udsagn (iv) i Sætning 1.3.4 som Booles Ulighed. I 

forbindelse med udsagn (v) og (vi) i samme sætning er det bekvemt at indføre følgende notation: 

 

1.3.5 Notation. Lad (A n ) være en følge af delmængder af X, og lad A være endnu en delmængde 

af X. Vi skriver da 

• A n ↑ A, hvis A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ ···, og ⋃ ∞ 

n=1 A n = A. 

• A n ↓ A, hvis A 1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ ···, og ⋂ ∞ 

n=1 A n = A. 

I forlængelse af den netop indførte notation siger man ofte, at egenskaberne (v) og (vi) i Sætning 

1.3.4 udtrykker kontinuitet af målet µ. 

22

1.3.6 Bemærkninger. (1) Egenskab (iii) i Sætning 1.3.4 gælder ikke uden antagelsen µ(A) < 

∞. Betragt f.eks. tællemålet τ på N 0 . Så gælder der, at {0} = N 0 \ N, men det giver ikke 

mening at skrive: 

1 = τ({0}) = τ(N 0 \N) = τ(N 0 ) − τ(N) = ∞ − ∞. 

(2) Egenskab (vi) i Sætning 1.3.4 gælder heller ikke generelt uden antagelsen µ(A 1 ) < ∞. 

Betragt f.eks. igen tællemålet τ på N 0 , og sæt 

A n = {n,n+1,n+2,...}, 

(n ∈ N). 

Så gælder der, at 

( ⋂ 

τ 

n∈N 

A n 

) 

= τ(/0) = 0, og lim 

n→∞ 

τ(A n ) = lim 

n→∞ 

∞ = ∞. 

Betingelsen: µ(A 1 ) < ∞ kan dog naturligvis erstattes af betingelsen: µ(A n ) < ∞ for alle 

tilstrækkeligt store n (overvej!). □ 

Vi afslutter dette afsnit med at indføre en række vigtige klasser af mål. 

1.3.7 Definition. Betragt et målrum (X,E, µ). Vi siger da, at 

(a) µ er et sandsynlighedsmål, hvis µ(X) = 1. I dette tilfælde benyttes ofte betegnelsen P i 

stedet for µ. 

(b) µ er et endeligt mål, hvis µ(X) < ∞. 

(c) µ er et σ-endeligt mål, hvis der findes en følge (A n ) n∈N af mængder fra E, således at 

µ(A n ) < ∞ for alle n, 


⋃ 

n∈N 

A n = X. (1.20) 

(d) µ er et sum-endeligt mål, hvis der findes en følge (µ n ) n∈N af endelige mål på E, således 

at µ = ∑ ∞ n=1 µ n, eller mere præcist 

µ(A) = 

∞ 

∑ µ n (A), (A ∈ E), 

n=1 

idet man let indser, at højresiden definerer et nyt mål på E (se Opgave 1.9.14). 

1.3.8 Bemærkninger. (1) Ethvert endeligt mål er σ-endeligt. 

(2) Antag, at µ er et σ-endeligt mål på E, og lad (A n ) være en følge af mængder fra E, som 

opfylder (1.20). Man kan da altid efter forgodtbefindende antage, at (A n ) er en voksende 

følge (dvs. A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ ···) eller at A n ’erne er disjunkte. Vi kan nemlig erstatte (A n ) 

med 

A ′ n = ⋃ n A j , (n ∈ N), 

j=1 

23

eller med 

n = A n \ ( n−1 ⋃ ) 

A j , 

A ′′ 

j=1 

(n ∈ N), 

hvor følgerne (A ′ n ) og (A′′ n ) igen opfylder (1.20) pga. (iv) og (ii) i Sætning 1.3.4. 

(3) Ethvert σ-endeligt mål µ er sum-endeligt. Vælges nemlig A 1 ,A 2 ,A 3 ,... fra E som opfylder 

(1.20), og som er disjunkte, da har vi for B i E, at 

µ(B) = µ ( ⋃ 

(B ∩ A n ) ) = 

n∈N 

∞ 

∑ µ(B ∩ A n ) = 

n=1 

og her er µ k A n 

et endeligt mål for alle n (jvf. Eksempel 1.3.3(D)). 

∞ 

∑ µ A k n 

(B), 

n=1 

□ 

1.4 Målelige afbildninger 

Vi skal i dette afsnit studere de afbildninger mellem målelige rum, der på naturlig måde opfører 

sig i overenstemmelse med den indførte “måleligheds-struktur”. De målelige afbildninger spiller 

i den henseende den samme rolle for målteorien, som de kontinuerte afbildninger spiller i 

topologi. Vi starter med at indføre begrebet originalmængde (eller urbillede) for en afbildning 

(se også Appendix A.1). 

1.4.1 Definition. Lad X og Y være ikke-tomme mængder, og lad f : X → Y være en afbildning. 

For en delmængde B af Y defineres originalmængden (eller urbilledet) af B ved f som 

delmængden f −1 (B) af X givet ved: 

f −1 (B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B}. 

1.4.2 Eksempler. (A) Betragt funktionen f : R → R givet ved 

f(x) = x 2 , (x ∈ R). 

For x i R har vi da, at 

x ∈ f −1 ([ 1 4 ,4]) ⇐⇒ x2 ∈ [ 1 4 ,4] ⇐⇒ 4 1 ≤ x2 ≤ 4 ⇐⇒ x ∈ [−2,− 

2 1] ∪[ 1 2 ,2]. 

Vi slutter således, at f −1 ([ 

4 1,4]) = [−2,− 2 1] ∪[ 1 2 ,2]. 

(B) Betragt afbildningen g: R → R givet ved 

g(x) = sin(x), (x ∈ R). 

For x i R har vi da, at 

x ∈ g −1 ([− 

2 1, 1 2 ]) ⇐⇒ − 1 2 ≤ sin(x) ≤ 2 1 ⇐⇒ ∃p ∈ Z: x ∈ [− 6 π + pπ, 6 π + pπ]. 

Vi slutter således, at 

g −1 ([− 

2 1, 1 2 ]) = ⋃ [− 

6 π + pπ, 6 π + pπ]. 

p∈Z 

24

(C) Betragt afbildningen h: R 2 → R givet ved 

h(x,y) = exp(x 2 + y 2 ), ((x,y) ∈ R 2 ). 

Vi finder da for (x,y) i R 2 , at 

(x,y) ∈ h −1 ((−∞,e]) ⇐⇒ exp(x 2 + y 2 ) ≤ e ⇐⇒ x 2 + y 2 ≤ 1. 

Vi slutter således, at h −1 ((−∞,e]) er den lukkede enhedscirkelskive i R 2 : 

h −1 ((−∞,e]) = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1}. 

⋄ 

1.4.3 Definition. Lad (X,E) og (Y,F) være målelige rum, og betragt en afbildning f : X → Y . 

Vi siger da, at f er målelig (eller mere præcist E-F-målelig) , hvis 

f −1 (B) ∈ E for alle B fra F. 

1.4.4 Eksempel. Lad (X,E) være et måleligt rum. For enhver delmængde A af X definerer vi 

indikatorfunktionen 1 A : X → R for A ved: 

{ 

1, hvis x ∈ A 

1 A (x) = 

0, hvis x ∈ A c . 

For en vilkårlig delmængde B af R har vi da, at 

X, hvis 0,1 ∈ B 

⎧⎪ ⎨ 

A (B) = A, hvis 1 ∈ B, og 0 /∈ B 

⎪ 

A c , hvis 0 ∈ B, og 1 /∈ B 

⎩ 

1 −1 

/0, hvis 0,1 /∈ B. 

Hvis A ∈ E, følger det således, at 1 A er E-F-målelig, uanset hvilken σ-algebra F, man forsyner 

R med (f.eks. F = P(R)). Hvis omvendt F er en σ-algebra i R, der f.eks. indeholder alle étpunktmængder 

(f.eks. F = B(R)), da vil E-F-målelighed af 1 A medføre, at A ∈ E. Vi har nemlig 

i denne situation, at A = 1 −1 

A 

({1}) ∈ E. ⋄ 

1.4.5 Notation. Lad X og Y være ikke-tomme mængder, lad f : X → Y være en afbilding, og 

lad D være et system af delmængder af Y . Med f −1 (D) betegner vi da systemet af delmængder 

af X givet ved 

f −1 (D) := { f −1 (D) ∣ ∣ D ∈ D 

} 

. 

Vi skal herefter vise en række fundamentale egenskaber ved målelige afbildninger, hvoraf specielt 

egenskab (iv) og (v) er yderst nyttige, når man skal påvise målelighed af en givet afbildning. 

25

1.4.6 Sætning. Lad (X,E),(Y,F) og (Z,H) være målelige rum, og lad f : X → Y og g: Y → Z 

være afbildninger. 

(i) Systemet f −1 (F) er en σ-algebra i X; den mindst mulige for hvilken f er målelig, når Y 

er udstyret med σ-algebraen F. 

(ii) Systemet 

A = {B ⊆ Y | f −1 (B) ∈ E} 

er en σ-algebra i Y ; den størst mulige for hvilken f er målelig, når X er udstyret med 

σ-algebraen E. 

(iii) For ethvert system D af delmængder af Y gælder der, at 

f −1 (σ(D)) = σ( f −1 (D)). 

(iv) Lad D være et frembringersystem for F. Da er f E-F-målelig, hvis bare 

f −1 (D) ∈ E for alle D fra D. 

(v) Hvis f : X → Y er E-F-målelig, og g: Y → Z er F-H-målelig, da er den sammensatte 

afbildning g ◦ f : X → Z E-H-målelig. 

Bevis. (i) Vi viser, at f −1 (F) opfylder de tre betingelser (σ1)-(σ3) for σ-algebraer i X: 

(σ1) X = f −1 (Y) ∈ f −1 (F). 

(σ2) Antag, at A ∈ f −1 (F), altså at A = f −1 (B) for en passende mængde B fra F. Så følger 

det, at 

A c = ( f −1 (B)) c = f −1 (B c ) ∈ f −1 (F), 

idet B c ∈ F. 

(σ3) Lad (A n ) være en følge af mængder fra f −1 (F), dvs. for hvert n har vi, at A n = f −1 (B n ) 

for en passende mængde B n fra F. Det følger da, at 

idet ⋃ n∈N B n ∈ F. 

Dermed er (i) bevist. 

⋃ 

n∈N 

A n = ⋃ 

n∈N 

f −1 (B n ) = f −1( ⋃ 

n∈N 

B n 

) 

∈ f −1 (F), 

(ii) Vi viser, at A opfylder betingelserne (σ1)-(σ3) for σ-algebraer i Y : 

(σ1) Y ∈ A, idet f −1 (Y) = X ∈ E. 

(σ2) Antag, at B ∈ A, altså at f −1 (B) ∈ E. Så følger det også, at B c ∈ A, idet 

f −1 (B c ) = ( f −1 (B)) c ∈ E. 

26

(σ3) Antag, at (B n ) er en følge af mængder fra A, altså at f −1 (B n ) ∈ E for alle n. Så gælder 

der også, at ⋃ n∈N B n ∈ A, idet 

f −1( ⋃ ) ⋃ 

B n = f −1 (B n ) ∈ E. 

Dermed er (ii) bevist. 

n∈N 

(iii) Bemærk først, at f −1 (D) ⊆ f −1 (σ(D)), og da systemet f −1 (σ(D)) ifølge (i) er en σ- 

algebra i X, medfører dette ifølge (1.3), at 

n∈N 

σ ( f −1 (D) ) ⊆ f −1( σ(D) ) . 

For at vise den modsatte inklusion bemærker vi først, at det følger fra (ii) (med E erstattet af 

σ( f −1 (D))), at systemet 

A = { B ⊆ Y ∣ ∣ f −1 (B) ∈ σ( f −1 (D)) } 

er en σ-algebra i Y . Da oplagt D ⊆ A, har vi så også, at σ(D) ⊆ A, hvilket betyder, at 

eller med andre ord at 


f −1 (B) ∈ σ ( f −1 (D) ) for alle B i σ(D), 

f −1( σ(D) ) ⊆ σ ( f −1 (D) ) , 

(iv) Antag, at f −1 (D) ∈ E for alle mængder D fra D, altså at f −1 (D) ⊆ E. Ifølge (1.3) medfører 

dette, at også 

E ⊇ σ ( f −1 (D) ) = f −1( σ(D) ) = f −1 (F), 

hvor vi i første lighedstegn benytter (iii). Men inklusionen f −1 (F) ⊆ E udtrykker netop, at f er 

E-F-målelig. 

(v) Antag, at f : X → Y er E-F-målelig, og at g: Y → Z er E-H-målelig. For en vilkårlig 

mængde H fra H finder vi da, at 

(g ◦ f) −1 (H) = {x ∈ X | g( f(x)) ∈ H} = {x ∈ X | f(x) ∈ g −1 (H)} = f −1 (g −1 (H)) ∈ E, 

idet g −1 (H) ∈ F. Dermed er sætningen bevist. 

Vi skal som det næste bevise, at enhver kontinuert funktion på R d er Borel-målelig. Vi erindrer 

om, at en funktion f : R d → R m siges at være kontinuert, hvis 

∀x ∈ R d ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ R d : ρ 2 (x,y) < δ =⇒ ρ 2 ( f(y), f(x)) < ε, (1.21) 

hvor vi i både R d og R m benytter metrikken ρ 2 indført ved (1.6). Bemærk, at betingelsen (1.21) 

alternativt kan formuleres vha. originalmængder som følger: 

 

∀x ∈ R d ∀ε > 0 ∃δ > 0: b 2 (x,δ) ⊆ f −1 (b 2 ( f(x),ε)), (1.22) 

hvor f.eks. b 2 (x,δ) som tidligere betegner ρ 2 -kuglen i R d med centrum x og radius δ. 

Følgende resultat er formentlig velkendt fra tidligere kurser. For fuldstændighedens skyld inkluderes 

et bevis. 

27

1.4.7 Lemma. En afbildning f : R d → R m er kontinuert, hvis og kun hvis der for enhver delmængde 

G af R m gælder implikationen: 

G er åben i R m =⇒ f −1 (G) er åben i R d . (1.23) 

Bevis. Antag først, at f opfylder (1.23), og lad x fra R d og ε i (0,∞) være givne. Da er 

f −1 (b 2 ( f(x),ε)) en åben delmængde af R d , som indeholder x, og derfor findes et positivt δ, 

således at b 2 (x,δ) ⊆ f −1 (b 2 ( f(x),ε)). Dermed er (1.22) opfyldt. 

Antag omvendt, at f : R d → R m er kontinuert, lad G være en åben delmængde af R m , og lad x 

være et punkt fra f −1 (G) (som naturligvis kan antages at være ikke-tom). Vi kan da vælge et 

positivt ε, således at b 2 ( f(x),ε) ⊆ G, og til dette ε kan vi efterfølgende vælge et positivt δ i 

henhold til (1.22), dvs. således at 

b 2 (x,δ) ⊆ f −1 (b 2 ( f(x),ε)) ⊆ f −1 (G). 

Da x var et vilkårligt punkt i f −1 (G), er denne mængde således åben i R d . 

 

1.4.8 Sætning. Enhver kontinuert funktion f : R d → R m er B(R d )-B(R m )-målelig. 

Bevis. Antag, at f : R d → R m er kontinuert. Da systemet af åbne mængder i R m frembringer 

B(R m ), er det ifølge Sætning 1.4.6(iv) nok at vise, at 

f −1 (G) ∈ B(R d ) for alle åbne mængder G i R m . 

Men hvis G er en åben delmængde af R m , så er f −1 (G) en åben delmængde af R d ifølge 

Lemma 1.4.7, og specielt er f −1 (G) således en Borel-mængde. 

I forbindelse med det næste resultat indfører vi nu for ethvert d i N koordinat-projektionerne 

p 1 ,..., p d : R d → R givet ved 

p j (x 1 ,...,x d ) = x j , 

((x 1 ,...,x d ) ∈ R d , j = 1,...,d). 

Disse funktioner er oplagt kontinuerte og dermed ifølge Sætning 1.4.8 B(R d )-B(R)-målelige. 

Betragt i det følgende et måleligt rum (X,E). Bemærk så, at enhver funktion f : X → R d kan 

skrives (entydigt) på formen 

f = ( f 1 ,..., f d ), 

hvor f j = p j ◦ f : X → R for hvert j i {1,...,d}. 

1.4.9 Sætning. En funktion f : X → R d er E-B(R d )-målelig, hvis og kun hvis koordinatfunktionerne 

p 1 ◦ f,..., p d ◦ f : X → R alle er E-B(R)-målelige. 

28

Bevis. Hvis f er E-B(R d )-målelig, da følger det umiddelbart fra Sætning 1.4.6(v), at de sammensatte 

funktioner f j = p j ◦ f er E-B(R)-målelige. 

Antag omvendt, at p j ◦ f er E-B(R)-målelig for alle j. For at vise at f er E-B(R d )-målelig, er 

det ifølge Sætning 1.4.6(iv) og Korollar 1.2.4 nok at vise, at 

f −1( (−∞,b 1 ] × ···×(−∞,b d ] ) ∈ E, 

for ethvert valg af b 1 ,...,b d fra R. Men dette følger af omskrivningen: 

f −1( (−∞,b 1 ] × ··· ×(−∞,b d ] ) = f −1( d⋂ 

= d ⋂ 

j=1 

j=1 

p −1 

j ((−∞,b j ]) ) 

f −1( p −1 ( 

j (−∞,bj ] )) 

⋂ 

= d (p j ◦ f) −1( (−∞,b j ] ) , 

j=1 

hvor sidste udtryk pr. antagelse er fællesmængden af d mængder fra E og dermed en mængde i 

E. 

1.4.10 Terminologi. En B(R d )-B(R m )-målelig afbildning f : R d → R m kaldes ofte for en 

Borel-funktion. 

1.5 Målelige funktioner med værdier i R 

Den vigtigste klasse af målelige afbildninger på et givet måleligt rum (X,E) er –ikke overraskende– 

klassen af E-B(R)-målelige funktioner f : X → R. Vi skal i dette afsnit særskilt studere denne 

klasse af funktioner. 

1.5.1 Notation & Terminologi. Lad (X,E) være et måleligt rum. Vi benytter da følgende notation: 

• M(E) = { f : X → R | f er E-B(R)-målelig }. 

• bM(E) = { f ∈ M(E) ∣ ∣ supx∈X | f(x)| < ∞ } . 

• M(E) + = { f ∈ M(E) | f(x) ≥ 0 for alle x i X }. 

• bM(E) + = { f ∈ M(E) + ∣ ∣ sup x∈X f(x) < ∞ } . 

Funktionerne i M(E) + vil vi ofte betegne som værende “positive” fremfor det noget tungere 

(men mere korrekte) “ikke-negative”. 

29

1.5.2 Bemærkning. Ved anvendelse af Sætning 1.4.6(iv) og Sætning 1.2.2 fremgår det, at en 

funktion f : X → R tilhører M(E), hvis og kun hvis 

{x ∈ X | a < f(x) < b} = f −1 ((a,b)) ∈ E for alle a,b i R, således at a < b, 

eller alternativt (jvf. Korollar 1.2.4) hvis og kun hvis 

{x ∈ X | f(x) ≤ b} = f −1 ((−∞,b]) ∈ E for alle b i R. □ 

1.5.3 Eksempel. Det følger fra Bemærkning 1.5.2, at enhver monoton funktion f : R → R er 

element i M(B(R)). Antag nemlig f.eks., at f er voksende (dvs. f(t) ≥ f(s) når t ≥ s), og indfør 

så for hvert b i R tallet 

s( f,b) = sup{t ∈ R | f(t) ≤ b}, 

med konventionen sup /0 = −∞. For ethvert b i R gælder der nu, at 

⎧ 

/0, hvis s( f,b) = −∞, 

⎪⎨ 

f −1 (−∞,s( f,b)], hvis s( f,b) ∈ R og f(s( f,b)) ≤ b, 

((−∞,b]) = 

(−∞,s( f,b)), hvis s( f,b) ∈ R og f(s( f,b)) > b, 

⎪⎩ 

R, hvis s( f,b) = ∞. 

I alle tilfælde gælder der altså specielt, at f −1 ((−∞,b]) er en Borel-mængde, og dermed sikrer 

Bemærkning 1.5.2, at f er en Borel-funktion. 

Tilsvarende vises, at aftagende funktioner er Borel-funktioner. Alternativt kan man benytte, at 

hvis f er en aftagende funktion, så er − f en voksende funktion, hvorefter man kan appellere til 

Sætning 1.5.4(ii) nedenfor. ⋄ 

Vi skal nu vise, at klassen M(E) er stabil under de sædvanlige regneoperationer. 

1.5.4 Sætning. Lad (X,E) være et måleligt rum. 

(i) Hvis f 1 ,..., f d : X → R er funktioner fra M(E), og hvis ϕ : R d → R er B(R d )-B(R)- 

målelig, da er funktionen 

igen et element i M(E). 

ϕ( f 1 ,..., f d ): x ↦→ ϕ( f 1 (x),..., f d (x)): X → R 

(ii) Hvis f,g ∈ M(E) og c ∈ R, da er funktionerne 

c f, f + g, f · g, f ∧ g, f ∨ g 

igen elementer i M(E). Specielt er M(E) et vektorrum. 

Bevis. (i) Antag, at f 1 ,..., f d : X → R er funktioner fra M(E), og at ϕ : R d → R er en Borelfunktion. 

Betragt da afbildningen f : X → R d givet ved 

f(x) = ( f 1 (x),..., f d (x)), 

(x ∈ X), 

30

og bemærk, at f er E-B(R d )-målelig ifølge Sætning 1.4.9. Ved anvendelse af Sætning 1.4.6(v) 

kan vi derfor slutte, at den sammensatte afbildning 

er E-B(R)-målelig, som ønsket. 

(ii) Bemærk først, at 

ϕ( f 1 ,..., f d ) = ϕ ◦ f 

f + g = ϕ 1 ( f,g), f · g = ϕ 2 ( f,g), f ∧ g = ϕ 3 ( f,g), f ∨ g = ϕ 4 ( f,g), (1.24) 

hvor ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ,ϕ 4 : R 2 → R er funktionerne givet ved 

ϕ 1 (x,y) = x+y, ϕ 2 (x,y) = x · y, ϕ 3 (x,y) = x ∧ y, ϕ 4 (x,y) = x ∨ y, 

(x,y ∈ R). 

Idet funktionerne ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ,ϕ 4 alle er kontinuerte og dermed B(R 2 )-B(R)-målelige (jvf. Sætning 

1.4.8), følger det ved anvendelse af (i), at funktionerne i (1.24) alle er elementer i M(E). 

At også c f ∈ M(E), ses f.eks. ved at skrive c f = g · f , hvor g: X → R er funktionen givet ved 

g(x) = c, 

(x ∈ X), 

som oplagt tilhører M(E). Dermed er sætningen vist. 

 

1.5.5 Eksempel. Antag, at f,g er to funktioner fra M(E). Da er mængderne 

{x ∈ X | f(x) = g(x)}, {x ∈ X | f(x) ≥ g(x)} og {x ∈ X | f(x) > g(x)} 

alle elementer i E. Dette følger umiddelbart ved at skrive disse mængder som hhv. 

( f − g) −1 ({0}), ( f − g) −1 ([0,∞)) og ( f − g) −1 ((0,∞)), 

hvor f − g ∈ M(E) ifølge Sætning 1.5.4(ii). 

⋄ 

1.6 Målelighed ved grænseovergang 

Vi skal i dette afsnit undersøge spørgsmålet om målelighed af bl.a. sup n∈N f n samt lim n→∞ f n 

for en følge ( f n ) af funktioner fra M(E). I den forbindelse kommer vi uundgåeligt til at betragte 

funktioner, der antager værdier i den udvidede reelle akse R givet ved 

R = [−∞,∞] = R ∪ {−∞,∞}. 

Vi skal derfor først og fremmest tage stilling til, hvilken (kanonisk) σ-algebra, det er hensigtsmæssigt 

at forsyne R med. 

1.6.1 Definition. Vi udstyrer R med σ-algebraen B(R) frembragt af systemet 

af delmængder af R. 

{[−∞,a] | a ∈ R} 

31

1.6.2 Bemærkninger. (1) Hvis vi udstyrer R med metrikken 

ρ(x,y) = |Arctan(x) − Arctan(y)|, (x,y ∈ R) 

(med konventionerne Arctan(±∞) = ± 

2 π ), kan man vise, at B(R) netop er den tilhørende 

Borel-algebra, dvs. B(R) er frembragt af det til ρ svarende system af åbne delmængder af 

R. Udover at motivere notationen B(R) har dette resultat ingen anvendelse i indeværende 

kursus, og vi skal derfor ikke komme ind på beviset her. 

(2) Enhver delmængde A af R kan naturligvis også opfattes som en delmængde af R, som vi 

tentativt kan betegne med A ∧ . Tilsvarende kan vi for en delmængde B af R betragte fællesmængden 

B ∩R som en delmængde af (grundmængden) R, som vi tentativt betegner 

med (B ∩R) ∨ . Med denne notation har vi følgende konkrete beskrivelse af B(R): 

B(R) = { B ⊆ R ∣ ∣ (B ∩R) ∨ ∈ B(R) } = { A ∧ ∪ S ∣ ∣ A ∈ B(R), S ⊆ {−∞,∞} 

} 

. 

Vi beviser denne beskrivelse i Lemma 1.6.3 nedenfor. Det bliver imidlertid for tungt at 

slæbe rundt på operationerne “ ∧ ” og “ ∨ ”, og fremover vil vi derfor underforstå dem og 

altså blot skrive A (hhv. B∩R) i stedet for A ∧ (hhv. (B∩R) ∨ ). Det skulle så gerne fremgå 

af sammenhængen, om de betragtede mængder opfattes som delmængder af R eller af R. 

Vi benytter disse konventioner allerede i formuleringen af Lemma 1.6.3. □ 

1.6.3 Lemma. Med konventionerne fra Bemærkning 1.6.2(2) har vi følgende konkrete beskrivelse 

af B(R): 

B(R) = { B ⊆ R ∣ ∣ B ∩R ∈ B(R) 

} 

= 

{ 

A ∪ S 

∣ ∣ A ∈ B(R), S ⊆ {−∞,∞} 

} 

. (1.25) 

Bevis. Det andet lighedstegn i (1.25) følger umiddelbart af (overvej!), at der for enhver delmængde 

B af R gælder, at 

B = (B ∩R) ∪ S, hvor S = B \R ⊆ {−∞,∞}. 

For at vise første lighedstegn i (1.25) indfører vi indlejringen ι : R → R givet ved 

ι : R ∋ x ↦→ x ∈ R. 

For enhver delmængde B af R gælder der da, at ι −1 (B) = B ∩ R. Hvis vi definerer D := 

{[−∞,a] | a ∈ R}, så følger det fra Sætning 1.4.6(iii), at 

ι −1 (B(R)) = ι −1 (σ(D)) = σ(ι −1 (D)) = σ({(−∞,a] | a ∈ R}) = B(R), (1.26) 

hvor vi til sidst benytter Korollar 1.2.4. For enhver mængde B fra B(R) har vi således, at B∩R = 

ι −1 (B) ∈ B(R), hvilket viser inklusionen “⊆” i første lighedstegn i (1.25). 

For at vise den modsatte inklusion er det pga. andet lighedstegn i (1.25) nok at vise, at A ∈ B(R) 

for alle A i B(R), og at S ∈ B(R) for alle delmængder S af {−∞,∞}. Det sidste følger af, at 

{−∞} = ⋂ [−∞,−n] ∈ B(R), og {∞} = ⋂ [−∞,n] c ∈ B(R). 

n∈N 

32 

n∈N

For en givet mængde A fra B(R) kan vi ifølge (1.26) vælge en mængde B fra B(R), således at 

A = ι −1 (B) = B ∩R = B ∩(R \ {−∞,∞}), 

som sammenholdt med ovenstående viser, at A ∈ B(R). Dermed er lemmaet vist. 

 

1.6.4 Definition. Lad (X,E) være et måleligt rum. Systemet af E-B(R)-målelige funktioner 

f : X → R betegnes med M(E), altså 

M(E) = { f : X → R | f er E-B(R)-målelig}. 

1.6.5 Bemærkninger. (1) Det følger fra definitionen af B(R) og Sætning 1.4.6(iv), at en 

funktion f : X → R tilhører M(E), hvis og kun hvis 

{x ∈ X | f(x) ≤ a} ∈ E for alle a i R. 

Til senere brug bemærkes, at i bekræftende fald bliver også funktionen − f element i 

M(E) som følge af omskrivningen: 

{x ∈ X | − f(x) ≤ a} = {x ∈ X | f(x) ≥ −a} 

= X \ {x ∈ X | f(x) < −a} 

( ⋃ 

= X \ {x ∈ X | f(x) ≤ −a − 1 n 

). } 

(2) Da R ⊆ R kan vi naturligvis opfatte en funktion f : X → R som en funktion, der antager 

værdier i R. Formelt betragter vi da funktionen ι ◦ f , hvor ι : R ֒→ R er indlejringen givet 

ved 

ι : R ∋ x ↦→ x ∈ R, 

n∈N 

som vi også betragtede i beviset for Lemma 1.6.3. For alle a i R og x i X gælder der oplagt, 

at ι ◦ f(x) ≤ a, hvis og kun hvis f(x) ≤ a, og sammenholdes dette med (1) ovenfor samt 

Bemærkning 1.5.2, så fremgår det, at 

f ∈ M(E) ⇐⇒ ι ◦ f ∈ M(E). (1.27) 

I overensstemmelse med Bemærkning 1.6.2(2) vil vi normalt underforstå indlejringen ι 

og blot skrive f i stedet for ι ◦ f , selvom vi opfatter f som en funktion med værdier i 

R. Med disse konventioner indebærer (1.27), at vi har den uformelle inklusion: M(E) ⊆ 

M(E). □ 

For en følge ( f n ) af funktioner defineret på en mængde X og med værdier i R skal vi i det 

følgende f.eks. betragte funktionen inf n∈N f n : X → R defineret ved 

( ) 

inf f n (x) = inf f n(x), (x ∈ X). 

n∈N n∈N 

Funktionerne sup n∈N f n , liminf n∈N f n og limsup n∈N f n indføres analogt. 

33

1.6.6 Sætning. Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad ( f n ) n∈N være en følge af funktioner fra 

M(E). Da er funktionerne 

inf f n, 

n∈N 

sup f n , 

n∈N 

liminf f n og limsup f n 

n→∞ n→∞ 

igen elementer i M(E). 

Bevis. For at vise at sup n∈N f n ∈ M(E), er det ifølge Bemærkning 1.6.5(1) nok at vise, at 

{ 

} 

x ∈ X ∣ sup f n (x) ≤ b ∈ E 

n∈N 

for alle b i R. Og dette følger af omskrivningen 

{ 

} 

x ∈ X ∣ sup f n (x) ≤ b = ⋂ {x ∈ X | f n (x) ≤ b}, 

n∈N 

n∈N 

idet højresiden er en tællelig fællesmængde af mængder fra E. Det følger derefter ved anvendelse 

af Bemærkning 1.6.5(1), at også inf n∈N f n ∈ M(E), idet 

( ) 

inf f n = − (− f n ) . 

n∈N 

For hvert n i N gælder der derfor også, at funktionen g n := inf k≥n f k tilhører M(E), og dermed 

følger det videre, at også 

( ) 

liminf f n = sup inf f k = supg n ∈ M(E). 

n→∞ 

n∈N k≥n n∈N 

sup 

n∈N 

Endnu en anvendelse af Bemærkning 1.6.5(1) sikrer endelig, at også 

hvilket afslutter beviset. 

limsup 

n→∞ 

 

f n = −liminf 

n→∞ (− f n) ∈ M(E), 

1.6.7 Korollar. (i) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at ( f n ) er punktvis 

konvergent i R, altså at 

f(x) := lim 

n→∞ 

f n (x) eksisterer i R for alle x i X. 

Da er grænsefunktionen f igen element i M(E). 

(ii) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at ( f n ) er punktvis konvergent i 

R, altså at 

f(x) := lim n→∞ 

f n (x) eksisterer i R for alle x i X. 

Da er grænsefunktionen f igen element i M(E). 

34

Bevis. (i) Da ( f n ) er punktvist konvergent i R, gælder der, at 

f(x) = liminf 

n→∞ f n(x) for alle x i X, 

og det følger umiddelbart fra Sætning 1.6.6, at f er E-B(R)-målelig. 

(ii) Ifølge Bemærkning 1.6.5(2) kan vi for hvert n opfatte f n som en funktion i M(E), og det 

følger da fra (i), at f (opfattet som funktion med værdier i R) igen er E-B(R)-målelig. Pr. 

antagelse antager f imidlertid kun værdier i R, og det følger så igen fra Bemærkning 1.6.5(2), 

at f faktisk er E-B(R)-målelig. 

1.6.8 Sætning. Lad f,g være funktioner fra M(E), og lad c være en konstant i R. Da gælder 

der, at 

(i) Funktionerne c f , f ∧ g, f ∨ g og f g er igen elementer i M(E). 

(ii) Hvis 


{x ∈ X | f(x) = ∞} ∩ {x ∈ X | g(x) = −∞} = /0, 

{x ∈ X | f(x) = −∞} ∩ {x ∈ X | g(x) = ∞} = /0, 

da er funktionen f + g veldefineret og igen et element i M(E). 

Bevis. For hvert n i N definerer vi funktionerne f n ,g n : X → R ved 

⎧ 

⎧ 

⎪⎨ n, hvis f(x) > n 

⎪⎨ n, hvis g(x) > n 

f n (x) = f(x), hvis f(x) ∈ [−n,n] og g n (x) = g(x), hvis g(x) ∈ [−n,n] 

⎪⎩ 

⎪⎩ 

−n hvis f(x) < −n, 

−n hvis g(x) < −n, 

og vi bemærker, at f n ,g n ∈ M(E) for alle n. For a i R har vi nemlig, at 

⎧ 

⎪⎨ X, hvis a ≥ n 

{x ∈ X | f n (x) ≤ a} = {x ∈ X | f(x) ≤ a}, hvis a ∈ [−n,n) 

⎪⎩ 

/0, hvis a < −n, 

hvor alle mængderne på højresiden er elementer i E. Tilsvarende ses, at g n ∈M(E). Vi bemærker 

endvidere, at 

f(x) = lim f n (x), og g(x) = lim g n (x) for alle x i X, 

n→∞ n→∞ 

hvilket følger umiddelbart af definitionerne af f n og g n . 

(i) Vi nøjes med at vise, at f g ∈ M(E), idet argumenterne for, at de øvrige funktioner i (i) 

er E-B(R)-målelige, forløber ganske tilsvarende. Ifølge Sætning 1.5.4 har vi, at f n g n ∈ 

M(E), og dermed også at f n g n ∈M(E) for alle n (jvf. Bemærkning 1.6.5(2)). Vi bemærker 

nu, at 

f(x)g(x) = lim f n (x)g n (x) for alle x i X, (1.28) 

n→∞ 

35

hvor man specielt skal overveje tilfældene, hvor f(x) ∈ {±∞}, og g(x) = 0 (eller omvendt), 

samt tilfældene hvor f(x),g(x) ∈ {±∞}. Det følger herefter umiddelbart fra (1.28) 

og Korollar 1.6.7, at f g ∈ M(E). 

(ii) Antag, at begge mængderne i (ii) er tomme, således at summen f(x)+g(x) er veldefineret 

for alle x i X. Endvidere gælder der så, at 

f(x)+g(x) = lim n→∞ 

( f n (x)+g n (x)) for alle x i X. (1.29) 

For hvert n giver Sætning 1.5.4, at f n + g n ∈ M(E), og dermed at f n + g n ∈ M(E) (jvf. 

Bemærkning 1.6.5(2)). Derfor viser (1.29) sammen med Korollar 1.6.7, at f + g ∈ M(E), 

som ønsket. 

1.6.9 Bemærkning. I tilfældet, hvor g er den konstante funktion g ≡ 0, viser Sætning 1.6.8 

specielt, at funktionerne 

f + = f ∨ 0 og f − = −( f ∧ 0), 

er elementer i M(E) + for enhver funktion f fra M(E). Funktionerne f + og f − betegnes hhv. 

positiv-delen og negativ-delen af f , og de spiller en vigtig rolle i definitionen af Lebesgueintegralet 

i Kapitel 2 som følge af relationerne: 

f = f + − f − , og | f | = f + + f − , 

der specielt viser, at enhver funktion f fra M(E) kan skrives som differensen af to funktioner 

fra M(E) + , samt at | f | ∈ M(E) + for alle f i M(E). Bemærk her, at differensen f + − f − altid 

er veldefineret, eftersom f + (x) ∧ f − (x) = 0 for alle x i X. Vi noterer også de nyttige sammenhænge: 

(− f) + = (− f)∨0 = −( f ∧ 0) = f − , og (− f) − = (−(− f)) + = f + . □ 

1.6.10 Eksempel. Antag, at f,g ∈ M(E). Da er mængderne 

{x ∈ X | f(x) = g(x)}, {x ∈ X | f(x) ≥ g(x)} og {x ∈ X | f(x) > g(x)} 

alle elementer i E. Her kan vi imidlertid ikke som i Eksempel 1.5.5 uden videre betragte differensen 

f −g, da den ikke nødvendigvis er veldefineret. Men hvis vi indfører funktionerne f n og 

g n som i beviset for Sætning 1.6.8, da følger det umiddelbart, at 

{x ∈ X | f(x) = g(x)} = ⋂ {x ∈ X | f n (x) = g n (x)} = ⋂ ( f n − g n ) −1 ({0}) ∈ E, 

n∈N 

idet f n ,g n ∈ M(E) for alle n. Tilsvarende følger det, at {x ∈ X | f(x) ≥ g(x)} ∈ E, og mængden 

{x ∈ X | f(x) > g(x)} kan derefter klares ved mængdedifferens. ⋄ 

Selvom en følge ( f n ) af funktioner fra M(E) ikke er konvergent (i R) for alle x i X, kan 

det alligevel være nyttigt at indføre en slags grænsefunktion f ∞ , der stemmer overens med 

lim n→∞ f n (x), når denne grænseværdi eksisterer (i R), og som igen er en E-målelig funktion. 

n∈N 

36

1.6.11 Korollar. Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad ( f n ) n∈N være en følge af funktioner 

fra M(E). Da gælder der, at 

C := { x ∈ X ∣ ∣ lim n→∞ f n (x) eksisterer i R } ∈ E, 

og funktionen f ∞ : X → R defineret ved 

{ 

lim n→∞ f n (x), hvis x ∈ C, 

f ∞ (x) = 

0, hvis x ∈ X \C, 

er igen et element i M(E). 

Bevis. At C ∈ E følger af omskrivningen: 

C = { x ∈ X ∣ ∣ liminfn→∞ f n (x) = limsup n→∞ f n (x) } ∩ { x ∈ X ∣ ∣ liminfn→∞ f n (x) ∈ R } 

ved anvendelse af Eksempel 1.6.10 og Sætning 1.6.6. For at vise, at f ∞ er E-B(R)-målelig, 

definerer vi først en ny følge ( ˜f n ) af funktioner ved 

˜f n (x) = f n (x) · 1 C (x), 

(x ∈ X, n ∈ N). 

Vi bemærker så, at 

f ∞ (x) = lim ˜f n (x) for alle x i X. (1.30) 

n→∞ 

Da C ∈ E, følger det, at 1 C ∈ M(E) (jvf. Eksempel 1.4.4), og dermed sikrer Sætning 1.5.4, 

at ˜f n ∈ M(E) for alle n. Derfor viser (1.30) sammen med Korollar 1.6.7, at f ∞ ∈ M(E), som 

ønsket. 

1.7 Målelighed i delrum 

Lad (X,E) være et måleligt rum. Ofte er man i den situation, at man betragter en funktion f , 

der kun er defineret på en delmængde A af X, og det er nyttigt at kunne diskutere målelighed 

af sådanne funktioner. Dette forudsætter naturligvis, at man i første omgang har udstyret A med 

en passende σ-algebra. En del af overvejelserne er analoge til dem, vi gjorde os, i forbindelse 

med inklusionen R ⊆ R. 

1.7.1 Definition. Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad A være en vilkårlig ikke-tom delmængde 

af X. Betragt endvidere indlejringen ι A : A → X, givet ved 

ι A : A ∋ x ↦→ x ∈ X. 

Den af E nedarvede σ-algebra på A er da σ-algebraen E A i A defineret ved 

E A = ι −1 (E) = {ι−1(B) | B ∈ E}. 

A 

A 

37

Hvis man har fulgt i kursus i topologi, vil man naturligt betragte den nedarvede σ-algebra som 

en analog til begrebet “spor topologi”. 

1.7.2 Bemærkninger. (1) Det følger umiddelbart fra (i) i Sætning 1.4.6, at E A er en σ- 

algebra i A; den mindste som gør ι A målelig, når X er udstyret med E. For en delmængde 

B af X gælder der, at 

ιA −1 (B) = A ∩ B, 

hvis højresiden opfattes som en delmængde af grundmængden A. Med denne konvention 

kan man således skrive 

E A = {A ∩ B | B ∈ E}. 

Det fremgår specielt, at der gælder 

E A ⊆ E ⇐⇒ A ∈ E, 

hvis vi på venstresiden opfatter E A , som et system af delmængder af X. 

(2) Det følger umiddelbart fra Sætning 1.4.6(iii), at hvis D er et frembringersystem for E, da 

er systemet 

(D) = {ι−1 (B) | B ∈ D}, 

et frembringersystem for E A . 

ι −1 

A 

A 

(3) Hvis (Y,F) er endnu et måleligt rum, og f : X → Y er en E-F-målelig afbildning, kan vi 

betragte restriktionen f |A : A → Y givet ved 

f |A (x) = f(x), 

(x ∈ A). 

Idet f |A = f ◦ ι A , følger det umiddelbart fra Sætning 1.4.6(v), at f |A er E A -F-målelig. 

□ 

Følgende resultat er ofte anvendeligt til at påvise målelighed af en givet funktion. Resultatet 

omtales ofte som “Tuborg resultatet”. 

1.7.3 Sætning. Lad (X,E) og (Y,F) være målelige rum, og lad A 1 ,...,A k være disjunkte 

mængder fra E, således at X = ⋃ k 

j=1 A j . Betragt endvidere en funktion f : X → Y givet ved 

en “Tuborg-forskrift”: 

⎧ 

f 1 (x), hvis x ∈ A 1 

⎪⎨ f 2 (x), hvis x ∈ A 2 

f(x) = 

(1.31) 

... 

⎪⎩ 

f k (x), hvis x ∈ A k , 

for givne funktioner f j : A j → Y , j = 1,...,k. Hvis der for alle j gælder, at f j er E A j 

-F-målelig, 

da er afbildningen f E-F-målelig. 

38

Bevis. Antag, at f j : A j → Y er E A j 

-F-målelig for alle j. For en vilkårlig mængde B fra F finder 

vi så, at 

f −1 ⋃ 

(B) = k ⋃ 

{x ∈ A j | f j (x) ∈ B} = k f j −1 (B) ∈ E, 

j=1 

hvor vi til sidst benytter at f 

j −1 (B) ∈ E A j 

⊆ E for alle j, idet A j ∈ E (jvf. Bemærkning 1.7.2(1)). 

Dermed er sætningen vist. 

I tilfældet hvor (X,E) = (R d ,B(R d )) kommer man ofte ud for at betragte funktioner f : R d → 

R m givet på formen (1.31), hvor funktionerne f 1 ,..., f k enkeltvis vides at være kontinuerte. 

For at kunne udlede målelighed i dette tilfælde er vi nødt til først at indføre og studere Borelalgebraerne 

i A 1 ,...,A k . 

Hvis A er en delmængde af R d kan man på naturlig måde indføre et afstandsbegreb på A ved at 

definere afstanden ρ A (x,y) mellem to punkter x og y fra A som afstanden mellem x og y opfattet 

som punkter i R d . Formelt har vi altså: 

ρ A (x,y) = ρ 2 (ι A (x),ι A (y)), 

j=1 

(x,y ∈ A), 

hvor ρ 2 som i Afsnit 1.2 betegner den sædvanlige afstand på R d . De til ρ A svarende kugler er 

så givet ved 

b A (x,r) = {y ∈ A | ρ A (x,y) < r} = ι −1 

A (b 2(x,r)), (1.32) 

for x i A og r > 0, og hvor b 2 (x,r) betegner den sædvanlige kugle i R d mht. ρ 2 : 

b 2 (x,r) = {y ∈ R d | ρ 2 (x,y) < r}. 

1.7.4 Definition. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d . 

(a) En delmængde G af A siges da at være åben (mht. ρ A ), hvis den opfylder følgende betingelse: 

∀x ∈ G ∃r > 0: b A (x,r) ⊆ G. 

Systemet af åbne delmængder af A betegnes med G(A). 

(b) Borel-algebraen i A er σ-algebraen B(A) i A defineret ved 

B(A) = σ ( G(A) ) . 

Følgende lemma karakteriserer de åbne delmængder af A i termer af de åbne delmængder af 

R d . 

1.7.5 Lemma. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d . Da gælder der, at 

G(A) = {ι −1 (G) | G ∈ G} = {A ∩ G | G ∈ G}, 

A 

hvor G som i Afsnit 1.2 betegner systemet af åbne mængder i R d . 

39

Bevis. Lad først G være en åben delmængde af R d , lad x være et punkt i ιA 

−1 (G), og bemærk, 

at x = ι A (x) ∈ G. Da G er åben i R d , findes r > 0, således at b 2 (x,r) ⊆ G, og det følger så fra 

(1.32), at 

b A (x,r) = ιA 

−1 (b 2(x,r)) ⊆ ι −1 (G), 

hvilket viser, at ιA −1 (G) er åben i A. 

Lad omvendt D være en åben delmængde af A. For hvert x i D kan vi da vælge r x > 0, således 

at b A (x,r x ) ⊆ D. Betragt nu følgende delmængde G af R d : 

G = ⋃ 

x∈D 

b 2 (x,r x ), 

og bemærk, at G er en åben delmængde af R d (idet enhver foreningsmængde af åbne delmængder 

af R d igen er en åben delmængde af R d ). Vi finder derpå via (1.32), at 

ιA 

−1 (G) = ⋃ ιA 

−1 (b 2(x,r x )) = ⋃ b A (x,r x ) = D, 

x∈D 

x∈D 

og vi har dermed fremstillet D på den ønskede form. 

 

1.7.6 Sætning. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d . Da er Borel-algebraen på A identisk 

med den af B(R d ) nedarvede σ-algebra på A, dvs. 

B(A) = B(R d ) A . 

Bevis. Ved anvendelse af Bemærkning 1.7.2(2) samt Lemma 1.7.5 finder vi, at 


 

B(R d ) A = σ ( {ιA 

−1 (G) | G ∈ G}) = σ ( G(A) ) = B(A), 

Lad A være en ikke-tom delmængde af R d . En funktion f : A → R m siges at være kontinuert, 

hvis 

∀x ∈ A ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ A: ρ A (x,y) < δ =⇒ ρ 2 ( f(y), f(x)) < ε. (1.33) 

I analogi med Sætning 1.4.7 har vi følgende resultat: 

1.7.7 Lemma. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d . En funktion f : A → R m er kontinuert, 

hvis og kun hvis 

f −1 (G) ∈ G(A) for enhver åben mængde G i R m . (1.34) 

Bevis. Beviset følger ordret som beviset for Sætning 1.4.7, idet man blot skal erstatte R d med 

A som grundmængden samt metrikken ρ 2 på R d med ρ A . 

40

1.7.8 Korollar. (i) Lad A være en ikke-tom delmængde af R d . Da er enhver kontinuert funktion 

f : A → R m B(R d ) A -B(R m )-målelig. 

(ii) Lad A 1 ,...,A k være disjunkte Borel-mængder i R d , således at R d = ⋃ k 

j=1 A j , og betragt 

en funktion f : R d → R m givet ved en “Tuborg-forskrift”: 

⎧ 

f 1 (x), hvis x ∈ A 1 

⎪⎨ f 2 (x), hvis x ∈ A 2 

f(x) = . .. 

⎪⎩ 

f k (x), hvis x ∈ A k , 

hvor funktionerne f j : A j → R m , j = 1,...,k alle er kontinuerte. Da er f B(R d )-B(R m )- 

målelig. 

Bevis. (i) Antag, at f : A → R m er kontinuert. Ifølge Sætning 1.4.6(iv) er det nok at vise, at 

f −1 (G) ∈ B(R d ) A for enhver åben delmængde G af R m . Men for en sådan mængde G har vi 

ifølge Lemma 1.7.7 og Sætning 1.7.6, at 

f −1 (G) ∈ G(A) ⊆ σ(G(A)) = B(A) = B(R d ) A , 


(ii) Dette følger umiddelbart ved at sammenholde (i) med Sætning 1.7.3. 

 

1.8 Simple funktioner 

Vi skal i dette afsnit studere de såkaldte simple (og målelige) funktioner på et måleligt rum 

(X,E). Disse funktioner er ikke i sig selv specielt interessante, men ofte er det simpelt(!) at 

påvise bestemte egenskaber og identiteter for de simple funktioner. Samtidig kan man ifølge 

Sætning 1.8.3 nedenfor approksimere en vilkårlig målelig funktion med en følge af simple 

målelige funktioner, og ved anvendelse af dette er det ofte muligt at overføre gyldigheden af 

den betragtede egenskab eller identitet fra de simple funktioner til alle målelige funktioner. Den 

her beskrevne metode spiller en væsentlig rolle i konstruktionen af Lebesgue-integralet i næste 

kapitel, og den benyttes så tit indenfor mål- og integralteori, at den ofte betegnes som “standardbeviset”. 

I Opgave 1.9.30 etableres nogle meget konkrete formuleringer af “standard-beviset”. 

1.8.1 Definition. En funktion s: X → R siges at være en simpel funktion, hvis den kun antager 

endeligt mange forskellige værdier, dvs. hvis værdimængden er på formen {a 1 ,...,a n } for 

passende n i N og forskellige reelle tal a 1 ,...,a n . 

Med SM(E) betegnes klassen af simple E-B(R)-målelige funktioner s: X → R og med 

SM(E) + klassen af ikke-negative funktioner i SM(E). 

41

1.8.2 Bemærkninger. Lad (X,E) være et måleligt rum. 

(1) Det følger umiddelbart fra definitionen af simple funktioner samt Sætning 1.5.4, at SM(E) 

er et vektorrum (over R), altså at linearkombinationer af simple målelige funktioner fører 

til nye sådanne. 

(2) En simpel funktion s: X → R kan entydigt skrives på formen 

s(x) = 

n 

∑ a j 1 A j 

(x), 

j=1 

(x ∈ X), 

hvor n ∈ N, −∞ < a 1 < a 2 < ··· < a n < ∞, og A 1 ,...,A n er disjunkte, ikke-tomme delmængder 

af X, således at ⋃ n 

j=1 A j = X. I denne situation gælder der, at 

A j = {x ∈ X | s(x) = a j }, 

( j = 1,...,n), 

og specielt fremgår det, at s ∈ SM(E), hvis og kun hvis A j ∈ E for alle j i {1,...,n}. 

(3) Hvis A 1 ,...,A n er vilkårlige delmængder af X, og a 1 ,...,a n er vilkårlige reelle tal, da 

definerer udtrykket 

n 

s(x) = ∑ a j 1 A j 

(x), (1.35) 

j=1 

oplagt en funktion s, der kun antager endeligt mange værdier, dvs. en simpel funktion. 

Vi bemærker dog, at den samme funktion s kan have mange forskellige fremstillinger på 

formen (1.35). Eksempelvis kan vi i tilfældet X = R skrive 

0 · 1 R\[0,1] (x)+1 [0,1] (x) = 1 [0,1] (x) = 21 [−1,1] (x) − 1 [−1,2] (x)+1 (1,2] (x) − 1 [−1,0) (x), 

hvor venstresiden er formen fra (2). 

(4) Det vil vise sig nyttigt for os at betragte repræsentationer på formen (1.35) af en lidt mere 

generel type end den givet i (2). Lad s være en funktion i SM(E) skrevet på formen 

s(x) = 

n 

∑ a j 1 A j 

(x), (x ∈ X) (1.36) 

j=1 

som i (3). Vi siger da, at (1.36) er en standard-repræsentation af s, hvis A 1 ,...,A n er 

disjunkte mængder fra E, og ⋃ n 

j=1 A j = X. Bemærk, at den samme funktion s kan have 

mange forskellige standard-repræsentationer, idet det ikke forudsættes, at a 1 ,...,a n er 

forskellige, eller at A j ≠ /0. □ 

Vi skal som det næste vise, at enhver funktion f fra M(E) kan approksimeres punktvist med 

en følge (s n ) af funktioner fra SM(E). Resultatet gælder naturligvis også for funktioner f fra 

M(E) som følge af (den uformelle) inklusion: M(E) ⊆ M(E) (jvf. Bemærkning 1.6.5(2)). 

1.8.3 Sætning. Lad f være en funktion fra M(E). Så findes en følge (s n ) af funktioner fra 

SM(E), således at 

42

(i) f(x) = lim n→∞ s n (x) for alle x i X. 

(ii) |s n (x)| ≤ | f(x)| for alle n i N og alle x i X. 

Hvis f ≥ 0, så kan følgen (s n ) vælges således, at der yderligere gælder 

(iii) 0 ≤ s 1 (x) ≤ s 2 (x) ≤ s 3 (x) ≤ ··· for alle x i X. 

Bevis. Vi starter med at betragte tilfældet, hvor f ≥ 0. For hvert n i N definerer vi da funktionen 

s n : X → R ved 

{ j−1 

s n (x) = 

2 n , hvis f(x) ∈ [ j−1 

2 n , j 

2 n ) for et j i {1,2,...,n2 n }, 

n, hvis f(x) ≥ n. 

{ j−1 

= 

2 n , hvis x ∈ f −1 ([ j−1 

2 n , j 

2 n )) for et j i {1,2,...,n2 n }, 

n, hvis x ∈ f −1 ([n,∞]). 

f 

2 

s_2 

1 

Figur 2: Approksimationen s 2 af en ikke-negativ funktion f . 

Det følger fra Sætning 1.7.3, at s n ∈ SM(E) for alle n, og definitionen af s n sikrer umiddelbart, 

at 

0 ≤ s n ≤ f for alle n. 

Det fremgår endvidere fra definitionen, at 

| f(x) − s n (x)| ≤ 2 −n , hvis f(x) ∈ [0,n), 


s n (x) = n, hvis f(x) ≥ n. 

43

Dermed følger det umiddelbart, at 

lim s n(x) = f(x) for alle x i X. 

n→∞ 

For endelig at vise at s n (x) ≤ s n+1 (x), bemærker vi, at dette er oplagt fra definitionen af disse 

funktioner, hvis f(x) ≥ n+1. Og hvis f(x) ∈ [0,n), så har vi, at 

for et j i {1,2,...,n2 n }, og dermed at 

Hvis endelig 

har vi, at 

f(x) ∈ [ j−1 

2 n , j 

2 n ) 

= 

[ 2( j−1) 

2 n+1 , 2 j−1 

2 n+1 ) 

∪ 

[ 2 j−1 

2 n+1 , 

2 j 

) 

2 n+1 

s n (x) = j−1 

2 n , og s n+1 (x) ∈ { j−1 

2 n , 2 j−1 

2 n+1 } 

. 

f(x) ∈ [n,n+1) = (n+1)2n+1 ⋃ 

[ j−1 , 

j=n2 n+1 2 n+1 +1 

j 

2 n+1 ), 

s n (x) = n, og s n+1 (x) ≥ n2n+1 

= n. 

2n+1 Dermed har vi vist sætningen, i tilfældet hvor f ≥ 0. For en generel funktion f i M(E) benytter 

vi, at 

f = f + − f − , hvor f + , f − ∈ M(E) + 

(jvf. Bemærkning 1.6.9). Ifølge det ovenfor viste kan vi så vælge følger (t n ) og (u n ) af funktioner 

fra SM(E), således at 

for alle x i X, og således at 

lim t n(x) = f + (x), og lim u n (x) = f − (x) 

n→∞ n→∞ 

0 ≤ t n (x) ≤ t n+1 (x) ≤ f + (x), og 0 ≤ u n (x) ≤ u n+1 (x) ≤ f − (x) 

for alle n i N og x i X. For hvert n i N definerer vi nu 

og det følger så, at 

for alle x i X, samt at 

s n = t n − u n ∈ SM(E), 

f(x) = f + (x) − f − (x) = lim 

n→∞ 

t n (x) − lim 

n→∞ 

u n (x) = lim 

n→∞ 

s n (x) 

|s n (x)| ≤ t n (x)+u n (x) ≤ f + (x)+ f − (x) = | f(x)| 

for alle n i N og x i X. Hermed er sætningen vist. 

I forbindelse med udsagnene i Sætning 1.8.3 er det bekvemt at indføre følgende 

 

44

1.8.4 Notation & Terminologi. Betragt for hvert n i N en funktion f n : X → R, og lad f : X → 

R være endnu en sådan funktion. Vi siger da, at 

• f n konvergerer punktvist mod f for n → ∞, og vi skriver f n → f for n → ∞, hvis 

f n (x) −→ 

n→∞ 

f(x) for alle x i X. 

• f n vokser punktvist mod f for n → ∞, og vi skriver f n ↑ f for n → ∞, hvis 

f 1 (x) ≤ f 2 (x) ≤ f 3 (x) ≤ ··· , og f n (x) −→ 

n→∞ 

f(x) for alle x i X. 

1.9 Opgaver til Kapitel 1 

1.9.1 Opgave. Betragt metrikkerne ρ 2 og ρ ∞ på R d (jvf. formlerne (1.6) og (1.7)). 

(a) Vis, at ρ ∞ ér en metrik på R d (se evt. Appendix A.6 for definitionen). 

(b) Tegn i tilfældet d = 2 kuglerne 

b ρ2 (0,2) = {x ∈ R 2 | ρ 2 (0,x) < 2}, og b ρ∞ (0,2) = {x ∈ R 2 | ρ ∞ (0,x) < 2}. 

(c) Vis (for generelt d), at 

for alle x,y i R d . 

ρ ∞ (x,y) ≤ ρ 2 (x,y), og ρ 2 (x,y) ≤ √ dρ ∞ (x,y), 

(c) Vis, at der for vilkårlige x i R d og r i (0,∞) gælder, at 

b ρ2 (x,r) ⊆ b ∞ (x,r), og b ∞ (x,d −1/2 r) ⊆ b ρ2 (x,r). 

Tegn endvidere eksempler på disse inklusioner i tilfældet d = 2. 

(d) Vis, at ρ 2 og ρ ∞ er ækvivalente i den forstand, at en delmængde G af R d er åben med 

hensyn til ρ 2 , hvis og kun hvis den åben med hensyn til ρ ∞ . 

1.9.2 Opgave. Lad ρ betegne en metrik på R d . En delmængde T af R d siges at være tæt i R d 

med hensyn til ρ, hvis b ρ (x,r) ∩ T ≠ /0 for alle x i R d og alle r i (0,∞). 

(a) Vis, at Q er en tæt delmængde af R med hensyn til det sædvanlige afstandsbegreb på R. 

(b) Vis, at Q d er tæt i R d med hensyn til begge metrikkerne ρ ∞ og ρ 2 (jvf. formlerne (1.6) og 

(1.7)). 

1.9.3 Opgave. Redegør for, at ethvert interval i R (begrænset eller ubegrænset; åbent, halvåbent 

eller lukket) er en Borel-mængde i R. 

45

1.9.4 Opgave. Betragt følgende systemer af delmængder af R: 

F = {F ⊆ R | F er lukket}, 

K = {K ⊆ R | K er kompakt}, 

I = {(a,b] | a,b ∈ R, a < b}, 

J = {(a,b] | a,b ∈ Q, a < b}, 

og husk, at en delmængde af R er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og begrænset. 

Vis nu, at systemerne F, K, I og J hver især frembringer Borel-algebraen B(R). 

1.9.5 Opgave. Betragt følgende system af delmængder af R: 

A = {A ⊆ R | A eller A c er endelig}. 

Vis, at A er en (mængde-) algebra men ikke en σ-algebra. 

1.9.6 Opgave. Lad X være en ikke-tom mængde, og lad B være en delmængde af X. Vis da, at 

systemet 

E B := {A ⊆ X | B ⊆ A eller B ⊆ A c } 

er en σ-algebra i X. 

1.9.7 Opgave. Betragt mængden X = {1,2,3,4}, og delmængderne 

A 1 = {1,2}, A 2 = {3,4}, A 3 = {2,3,4}. 

(a) Vis, at σ({A 1 ,A 2 ,A 3 }) = σ({{1},{2},{3,4}}), og opskriv derefter eksplicit alle mængderne 

i denne σ-algebra. 

(b) Samme opgave som (a), idet A 1 ,A 2 ,A 3 nu opfattes som delmængder af grundmængden 

X = N. 

1.9.8 Opgave. Lad (A n ) n∈N være en følge af tællelige delmængder af R. 

(a) Redegør for, at mængden B := R \( ⋃ n∈N A n ) er overtællelig. 

(b) Vis, at σ({A n | n ∈ N}) ⊆ E B , hvor E B er σ-algebraen indført i Opgave 1.9.6. 

(c) Lad x være et element fra B. Vis da, at {x} /∈ σ({A n | n ∈ N}). 

(d) Betragt σ-algebraen E fra Eksempel 1.1.4(D), altså 

E = {A ⊆ R | A eller A c er tællelig}. 

Vis da, at hvis E er tælleligt frembragt (jvf. Definition 1.1.8(b)), så findes en følge (A n ) n∈N 

af tællelige delmængder af R, således at E = σ({A n | n ∈ N}). 

(e) Vis, at E ikke er tælleligt frembragt. 

(f) Vis, at E ⊆ B(R), og sammenhold dette med, at B(R) er tælleligt frembragt. 

46

1.9.9 Opgave. Lad X betegne en ikke-tom mængde og lad (A n ) n∈N være en følge af mængder 

fra X. Betragt endvidere mængderne 


(a) Vis, at 

(b) Vis, at 

liminf 

n→∞ A n := ∞ ⋃ 

∞⋂ 

n=1 k=n 

⋂ 

limsupA n := ∞ 

n→∞ 

∞⋃ 

n=1 k=n 

n=1 

A k = {x ∈ X | x ∈ A n for alle n fra et vist trin} 

A k = {x ∈ X | x ∈ A n for uendeligt mange n}. 

∞⋂ 

A n ⊆ liminf A ⋃ 

n ⊆ limsupA n ⊆ ∞ A n . 

n→∞ 

n→∞ 

n=1 

liminf A ⋃ 

n = ∞ A n = limsupA n , 

n→∞ n=1 n→∞ 

hvis (A n ) er en voksende følge, dvs. hvis A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ ···. 

(c) Vis, at 

liminf A ⋂ 

n = ∞ A n = limsupA n , 

n→∞ n=1 n→∞ 

hvis (A n ) er en dalende følge, dvs. hvis A 1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ ···. 

(d) Antag, at X = R, og at A n = [0,x n ] for alle n, hvor (x n ) er en begrænset følge af positive 

tal. Vis da, at [ ) [ 

0,limsupx n ⊆ limsupA n ⊆ 0,limsupx n 

]. 

n→∞ 

n→∞ 

n→∞ 

1.9.10 Opgave. Betragt en ikke-tom grundmængde X, og lad A og B være delmængder af X. 

Lad endvidere (A n ) være en følge af delmængder af X. 

(a) Angiv indikatorfunktionerne for mængderne A ∪ B, A ∩ B og A \ B ud fra indikatorfunktionerne 

for A og B. 

(b) Angiv indikatorfunktionerne for hver af mængderne ⋃ n∈N A n , ⋂ n∈N A n , limsup n→∞ A n og 

liminf n→∞ A n ud fra indikatorfunktionerne for A n , n ∈ N. 

1.9.11 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum, og antag, at µ er et endeligt mål, det vil sige, at 

µ(X) < ∞. 

(a) Vis, at µ(A ∪ B) = µ(A)+µ(B) − µ(A ∩ B) for vilkårlige mængder A,B fra E. 

(b) Overvej om resultatet i (a) også gælder, hvis µ ikke er et endeligt mål. 

(c) Find en betingelse på A og B (i forhold til µ), som sikrer, at formlen i (a) holder, uanset 

om µ er endeligt eller ej. 

1.9.12 Opgave. Lad X være en ikke-tom mængde, lad a være et element i X, og definér afbildningen 

δ a : P(X) → [0,∞] ved ligningen: 

{ 

0, hvis a /∈ A, 

δ a (A) = 

1, hvis a ∈ A 

47

for ethvert A i P(X). Vis, at δ a er et mål på P(X) (jvf. Eksempel 1.3.3(C)). 

1.9.13 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad A være en udvalgt mængde fra E. Vis da, 

at der ved ligningen 

µ A k (B) = µ(B ∩ A), (B ∈ E), 

defineres et mål µ 

A k på E (jvf. Eksempel 1.3.3(D)). 

1.9.14 Opgave. Lad (X,E) være et måleligt rum, lad (µ n ) være en følge af mål på (X,E), og 

lad (a n ) være en følge af tal fra [0,∞). Vis da, at der ved ligningen: 

defineres et mål µ på E. 

µ(A) = 

∞ 

∑ a n µ(A), 

n=1 

(A ∈ E), 

1.9.15 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad (B n ) være en følge af mængder fra E. 

(a) Vis, at der altid gælder ulighederne: 

( ⋂ 

µ 


n∈N 

B n 

) 

≤ inf 

n∈N µ(B n), 

( ⋃ 

) 

µ B n ≥ sup µ(B n ). 

n∈N n∈N 

(b) Vis, at hvis (B n ) er en aftagende følge af mængder, så gælder der altid uligheden: 

( ⋂ 

) 

µ B n ≤ lim µ(B n ) 

n→∞ 

(jvf. Sætning 1.3.4(vi)). 

n∈N 

1.9.16 Opgave. (Det første Borel-Cantelli Lemma) Lad (X,E, µ) være et målrum, og antag, 

at µ er et endeligt mål. Lad endvidere (A n ) være en følge af mængder fra E, og betragt mængden 

limsupA n = ⋂ 

n→∞ 

⋃ 

n∈N k≥n 

A k = {x ∈ X | x ∈ A n for uendeligt mange n}. 

(a) Vis, at 

og udled derpå, at 

( ) ( ⋃ 

µ limsupA n = lim µ A k 

), 

n→∞ n→∞ k≥n 

( ) ∞ 

µ limsupA n ≤ lim 

n→∞ n→∞ ∑ µ(A k ). 

k=n 

(b) Vis implikationen: 

∞ 

( ) 

∑ µ(A n ) < ∞ =⇒ µ limsupA n = 0. (1.37) 

n=1 

n→∞ 

Dette resultat omtales ofte som “det første Borel-Cantelli Lemma”. 

48

(c) Vis, f.eks. vha. Opgave 1.9.15, at implikationen (1.37) også gælder, selvom µ ikke er et 

endeligt mål. 

1.9.17 Opgave. Betragt målrummet (R,B(R),λ), hvor λ er Lebesgue målet på R. Lad videre 

B være en vilkårlig Borel mængde i R, og betragt så funktionen f : (0,∞) → [0,∞) givet ved 

f(x) = λ(B ∩(−x,x]), 

(a) Vis, at f er voksende og kontinuert. 

(x ∈ (0,∞)). 

(b) Bestem grænseværdierne lim x→∞ f(x) og lim x→0 f(x). 

(c) Vis, at for ethvert reelt tal a i [0,λ(B)] findes en Borel mængde A, således at A ⊆ B og 

λ(A) = a. 

1.9.18 Opgave. Betragt det målelige rum (R,E), hvor 

E = {A ⊆ R | A eller A c er tællelig} 

(jvf. Eksempel 1.1.4(D)). Vis da, at der ved ligningen 

{ 

0, hvis A er tællelig 

µ(A) = 

∞, hvis A c er tællelig 

defineres et mål µ på E. Vis derpå, at µ ikke er σ-endeligt. 

1.9.19 Opgave. Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad µ : E → [0,∞] være en ikke-negativ 

mængdefunktion. Vis da, at µ er et mål, hvis og kun hvis den opfylder følgende tre betingelser: 

(i) µ(/0) = 0. 

(ii) µ(A ∪ B) = µ(A)+µ(B) for alle disjunkte mængder A og B fra E. 

(iii) µ( ⋃ n∈N A n ) = lim n→∞ µ(A n ), for enhver voksende følge (A n ) af mængder fra E. 

Vis desuden, at hvis µ(X) < ∞, så er µ et mål, hvis og kun hvis den opfylder (i), (ii) og følgende 

betingelse: 

(iv) µ( ⋂ n∈N B n ) = lim n→∞ µ(B n ) for enhver aftagende følge (B n ) af mængder fra E. 

1.9.20 Opgave. Lad X være en ikke-tom mængde, og lad A være en delmængde af X. Bestem 

da klassen M(E) af E-B(R)-målelige funktioner f : X → R i hvert af følgende tilfælde: 

(a) E = P(X). 

(b) E = {/0,X}. 

(c) E = {/0,A,A c ,X}. 

1.9.21 Opgave. Lad (X,E) være et måleligt rum, lad f og g være funktioner fra M(E), og lad 

A være en mængde fra E. Vis da, at funktionen h: X → R givet ved 

{ 

f(x), hvis x ∈ A, 

h(x) = 

g(x), hvis x ∈ A c , 

igen er et element i M(E). 

49

1.9.22 Opgave. Lad (X,E) være et målrum, og betragt en funktion f : X → R. Vis da, at f ∈ 

M(E), hvis og kun hvis den kan skrives på formen: 

f = h+∞1 A +(−∞)1 B , 

hvor A og B er disjunkte mængder fra E, og h ∈ M(E). 

1.9.23 Opgave. (a) Betragt funktionerne f 1 , f 2 , f 3 , f 4 : R → R givet ved 

{ 

{ 

−1, hvis x ≥ 0 

1/x, hvis x ≠ 0 

f 1 (x) = |x|, f 2 (x) = sign(x) = 

f 3 (x) = 

1, hvis x < 0, 

0, hvis x = 0, 

⎧ 

⎪⎨ exp(cos(1/x)), hvis x ≥ 0 

f 4 (x) = 1, hvis x = 0, 

⎪⎩ √ 

|sin(1/x)|, hvis x < 0 

for alle x i R. Vis da, at disse funktioner alle er elementer i M(B(R)). 

(b) Lad (X,E) være et målrum, og lad f,g være funktioner fra M(E). Vis da, at hvis g(x) ≠ 0 

for alle x i X, da er funktionen f/g igen et element i M(E). [Vink: Benyt f.eks. funktionen 

f 3 fra (a)!] 

(c) Lad f : R → R være en funktion fra M(B(R)) + , og betragt området under grafen for f , 

dvs. mængden 

U f = {(x,y) ∈ R 2 | 0 ≤ y ≤ f(x)}. 

Vis da, at U f ∈ B(R 2 ). 

1.9.24 Opgave. Lad (X,E) være et måleligt rum, og betragt en funktion f : X → R. Vis, at der 

gælder implikationen: 

f ∈ M(E) =⇒ | f | ∈ M(E). 

Gælder den modsatte implikation? 

1.9.25 Opgave. Betragt det målelige rum (R,B(R)). 

En delmængde C af R kaldes (som bekendt?) konveks, hvis den opfylder betingelsen: 

λ ∈ [0,1], x,y ∈ C =⇒ λx+(1 − λ)y ∈ C. 

En funktion f : R → R kaldes (som bekendt?) konveks, hvis den opfylder uligheden: 

for alle x,y i R og λ i [0,1]. 

f(λx+(1 − λ)y) ≤ λ f(x)+(1 − λ) f(y), 

Vis nu, at enhver konveks funktion f : R → R er B(R)-B(R)-målelig. [Vink: Vis f.eks., at for 

ethvert t i R er f −1 ((−∞,t]) en konveks delmængde af R og dermed et interval.] 

50

1.9.26 Opgave. Lad f : R → R være en højrekontinuert funktion, dvs. 

f(t) = lim 

s↓t 

f(s) for alle t i R. 

Definér så for hvert n i N funktionen f n : R → R givet ved: 

f n (x) = 

n 2 

∑ f( k n 2 

n )1 [ k−1 

n 

k=1 

, n k )(t)+ 

∑ 

k=1 

(a) Vis, at f(x) = lim n→∞ f n (x) for alle x i R. 

(b) Vis, at f ∈ M(B(R)). 

f( −k+1 

n 

)1 [ 

−k 

n , −k+1 

n )(t), (t ∈ R). 

(c) Vis, at enhver venstrekontinuert funktion g: R → R ligeledes er B(R)-B(R)-målelig. 

1.9.27 Opgave. Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at der findes en positiv 

konstant K, således at 

sup| f n (x)| ≤ K, 

x∈R 

for alle n i N. Vis da, at der ved ligningen: 

f(x) = 

defineres en ny funktion f i M(E). 

∞ 

∑ 

n=1 

1 

n 2 f n(x), (x ∈ R) 

1.9.28 Opgave. Lad µ være et endeligt mål på (R,B(R)), og betragt funktionen F µ : R → 

[0,∞) givet ved: 

F µ (x) = µ((−∞,x]), (x ∈ R). 

(a) Vis, at F µ er voksende, og bestem grænseværdierne 

lim F µ(x) og lim F µ (x). 

x→−∞ x→∞ 

(b) Vis, at F µ er højrekontinuert, altså at lim y↓x F µ (y) = F µ (x) for alle x i R. 

(c) Vis, at for alle x i R eksisterer grænseværdien lim y↑x F µ (y), og udtryk den i termer af µ. 

1.9.29 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum, lad (Y,F) være et måleligt rum, og lad f : X →Y 

være en E-F-målelig afbildning. 

(a) Vis, at der ved ligningen: 

ν f (F) = µ ( f −1 (F)), 

(F ∈ F), 

defineres et mål ν f på (Y,F). 

Betragt nu tilfældet, hvor (X,E, µ) = (R,B(R),λ), (Y,F) = (R,B(R)), og 

f(t) = αt + β, (t ∈ R) 

for passende konstanter α i (0,∞) og β i R. 

51

(b) Vis, at f ∈ M(B(R)), og at 

ν f ((a,b)) = 1 (b − a), 

α 

for alle a,b i R, således at a < b. 

(c) Vi har tidligere postuleret (jvf. Eksempel 1.3.3(A)), at λ er det eneste mål på (R,B(R)), 

hvis værdi på ethvert åbent, begrænset interval (a,b) er lig med intervallængden b − a. 

Vis på grundlag af dette udsagn, at 

for alle B i B(R). 

ν f (B) = 1 α λ(B), 

1.9.30 Opgave. (Standardbeviset) Denne opgave går ud på at udlede eksplicitte formuleringer 

af det såkaldte “standard-bevis” (jvf. indledningen til Afsnit 1.8). Vi betragter som sædvanlig et 

måleligt rum (X,E). 

(a) Lad V være en delmængde af M(E) + , og antag, at V opfylder følgende tre betingelser: 

(i) 1 A ∈ V for alle A i E. 

(ii) Hvis f,g ∈ V, og α,β ∈ [0,∞), så gælder der også, at α f + βg ∈ V. 

(iii) Hvis ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra V , så gælder der også, at 

Vis da vha. Sætning 1.8.3, at V = M(E) + . 

lim f n = sup f n ∈ V. 

n→∞ 

n∈N 

(b) Lad W være en delmængde af M(E), og antag, at W opfylder følgende tre betingelser: 

(I) 1 A ∈ W for alle A i E. 

(II) W er et vektorrum (et underrum af vektorrummet af alle reelle funktioner defineret 

på X). 

(III) Hvis ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra W, således at sup n∈N f n (x) < ∞ for 

alle x i X, da gælder der også, at 

Vis da vha. Sætning 1.8.3, at W = M(E). 

lim f n = sup f n ∈ W. 

n→∞ 

n∈N 

1.9.31 Opgave. Lad X være en ikke-tom mængde, lad (Y,F) være et måleligt rum, og lad 

ϕ : X → Y være en afbildning. Som bekendt (jvf. Sætning 1.4.6) gælder der da, at mængdesystemet 

E := ϕ −1 (F) er en σ-algebra i X. 

Vis nu, at 


M(E) + = { f ◦ ϕ | f ∈ M(F) + }, 

M(E) = { f ◦ ϕ | f ∈ M(F)}. 

52

[Vink: Benyt passende versioner af “standard-beviset” (jvf. Opgave 1.9.30). Det kan desuden 

være nyttigt at bemærke, at 1 B ◦ ϕ = 1 ϕ −1 (B) for enhver delmængde B af Y .] 

1.9.32 Opgave. I denne opgave skal vi bl.a. betragte σ-algebraen σ( f) frembragt af en funktion 

f : R → R. Husk, at 

σ( f) = { f −1 (B) | B ∈ B(R)}. 

(a) Lad α og β være reelle tal, således at α > 0, og betragt funktionen f α,β : R → R givet 

ved 

f α,β (x) = αx+β, (x ∈ R). 

Bestem for ethvert interval (a,b] i R originalmængden/urbilledet f −1 ((a,b]), og udled, at 

σ( f α,β ) = B(R). 

(b) Bestem σ-algebraen σ(exp) frembragt af exponentialfunktionen: 

exp(x) = e x , 

(x ∈ R). 

For en funktion g: R → R indfører vi nu yderligere mængdesystemet 

I(g) = {B ⊆ R | g −1 (B) = B}. 

(c) Vis, at I(g) er en σ-algebra i R for enhver funktion g: R → R. 

En funktion h: R → R siges som bekendt at være periodisk med periode 2π, hvis 

h(x+2π) = h(x), for alle x i R. 

(d) Betragt nu specielt funktionen g: R → R givet ved 

g(x) = x+2π, 

(x ∈ R). 

Vis, at en funktion h: R → R er periodisk med periode 2π, hvis og kun hvis den er I(g)- 

B(R)-målelig. 

1.9.33 Opgave. Denne opgave går ud på at bestemme σ-algebraen σ( f) frembragt af funktionen 

f : R → [−1,1] givet ved 

f(x) = cos(x), 

(x ∈ R). 

Vi skal dog i første omgang betragte restriktionerne f 1 og f 2 af f til hhv. [0,π] og [0,2π], dvs. 

funktionerne f 1 : [0,π] → [−1,1] og f 2 : [0,2π] → [−1,1] givet ved 

f 1 (x) = cos(x), 

(x ∈ [0,π]). 


f 2 (x) = cos(x), 

(x ∈ [0,2π]). 

Vi får undervejs brug for at betragte Borel-algebraen B([0,π]) i [0,π], og det kan uden yderligere 

argumentation benyttes at 

B([0,π]) = {B ∈ B(R) | B ⊆ [0,π]} = σ ( {I ⊆ [0,π] | I er et lukket interval} ) . 

53

(a) Antag at a,b ∈ [−1,1], og at a < b. Bestem da originalmængden f −1 

1 ([a,b]). 

Betragt nu σ-algebraerne σ( f 1 ) og σ( f 2 ) frembragt af hhv. f 1 og f 2 , altså 

σ( f 1 ) = { f1 −1 (B) ⊆ [0,π] | B ∈ B(R)} og σ( f 2) = { f2 −1 (B) ⊆ [0,2π] | B ∈ B(R)}. 

(b) Vis, at σ( f 1 ) = B([0,π]). 

Betragt nu yderligere funktionen g: [π,2π] → [0,π] givet ved 

g(x) = 2π − x, 

(x ∈ [π,2π]). 

(c) Vis, at 

f 2 (x) = 

{ 

f 1 (x), 

hvis x ∈ [0,π] 

f 1 (g(x)), hvis x ∈ [π,2π], 

og udled at 

f2 −1 −1 

(B) = f1 (B) ∪ g−1 ( f1 −1 (B)), 

for enhver mængde B fra B(R). Konkludér, at 

σ( f 2 ) = {A ∪ g −1 (A) | A ∈ B([0,π])}. 

For en delmængde B af R og en konstant c i R benytter vi som bekendt notationen 

c+B = {c+x | x ∈ B}. 

(d) Vis, at der for enhver mængde B fra B(R) og ethvert helt tal p gælder, at 

{ 

x ∈ [p2π,(p+1)2π] 

∣ ∣ f(x) ∈ B 

} 

= p2π + f 

−1 

2 (B), 

og udled at 

{ ⋃ 

σ( f) = 

p∈Z 

( 

p2π +(A ∪ g −1 (A)) ) ∣ ∣ ∣ A ∈ B([0,π]) 

} 

. 

(e) Skitsér på en tegning en typisk mængde fra σ( f); f.eks. f −1 (I), hvor I er et interval. 

54

2 Lebesgue-integralet 

Til ethvert målrum (X,E, µ) skal vi i dette kapitel knytte et integral, dvs. en afbildning defineret 

på en passende bred klasse af funktioner på X, som til enhver sådan funktion f knytter et 

tal betegnet ∫ f dµ. I hovedtilfældet (X,E, µ) = (R,B(R),λ) er Lebesgue-integralet ∫ b 

a f dλ 

identisk med det velkendte Riemann-integral ∫ b 

a f(x)dx, i hvert fald når f : [a,b] → R er en 

kontinuert funktion på et kompakt interval [a,b]. Men Lebesgue-integralet er defineret for en 

langt bredere klasse af funktioner end de kontinuerte, ligesom det er væsentligt mere robust 

under grænseovergang med en punktvis konvergent følge ( f n ) af funktioner, i den forstand 

at man i langt større generalitet har mulighed for at ombytte integration og grænseovergang. 

Forskellen mellem Riemann-integralet og Lebesgue-integralet kan løst sagt udtrykkes ved, at 

hvor Riemann-integralet opnås ved at betragte små inddelinger af 1.-aksen, så opnås Lebesgueintegralet 

ved at betragte inddelinger af 2.-aksen. Mere præcist så opnås Riemann-integralet 

∫ ba 

f(x)dx af en kontinuert funktion f : [a,b] → R som bekendt ved at approksimere f med 

stykkevis konstante funktioner 

svarende til inddelinger 

g n = 

n 

∑ f(t j−1 )1 [t j−1 ,t j )(t), (n ∈ N) 

j=1 

a = t 0 < t 1 < t 2 < ··· < t n = b 

af [a,b], og Riemann-integralet bestemmes da som grænseværdien af de tilsvarende Riemannsummer 

n 

f(t j−1 )(t j −t j−1 ) 

∑ 

j=1 

under betingelsen max j=1,2,...,n (t j −t j−1 ) → 0 for n → ∞. Hvis man fortolker Riemann-integralet 

∫ b 

a f(x)dx som arealet under grafen for f (når f ≥ 0), så bestemmes dette areal altså ved 

Riemann-tilgangen som grænseværdien for n → ∞ af arealerne under graferne for g n . 

00 11 

00 11 

01 

01 

100 11 

01 

00 11 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

g_n 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

f 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

000000000000000000000000000000000000000000000 

111111111111111111111111111111111111111111111 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

01 

a s_1 s_2 s_3 

s_i s_{i+1} 

b 

55

Figur 3: Approksimation af arealet under grafen for en ikke-negativ funktion f ved Riemann-tilgangen. 

Lebesgue-integralet ∫ b 

a f dλ kan ligeledes opfattes som arealet under grafen for f , men her 

bestemmes dette areal ved som i beviset for Sætning 1.8.3 at approksimere f med funktioner af 

formen 6 n 

h n = u j−1 1 {u j−1 ≤ f

kan være yderst komplicerede for generelle Borel-funktioner f , og vores anstrengelser i det 

foregående kapitel med generel målelighed vil derfor vise sig yderst værdifulde undervejs i 

konstruktionen af Lebesgue-integralet. 

Lebesgue selv beskrev i et foredrag i dansk matematisk forening anno 1926 (se [BM]) forskellen 

mellem de to integraler som forskellen mellem to forskellige metoder til at optælle indholdet 

af en pose mønter: Riemann-integralet svarer til, at man simpelthen tæller pengene i den rækkefølge, 

de trækkes op af posen. Lebesgue-integralet svarer derimod til, at man tæller pengene 

ved først at opdele posens indhold efter de forskellige mønttyper og derefter optæller antallet 

af 1-kroner, antallet af 2-kroner, antallet af fem-kroner osv. 

En anden rammende beskrivelse af forholdet mellem Riemann- og Lebesgue-integralet fra [BM] 

består i at sammenligne med forskellen mellem mængden Q af rationale tal og mængden R 

af reelle tal: I hverdagen møder man i praksis kun rationale tal, men det er (ikke mindst fra 

et teoretisk synspunkt) af stor betydning, at man f.eks. kan tale om grænseværdien af følgen 7 

(1+ 1 n )n for n → ∞, der som bekendt er lig med det ikke-rationale tal e. På samme måde vil langt 

de fleste funktioner, man kommer ud for i forbindelse med anvendelser af matematik indenfor 

fysik, kemi, statistik og økonomi, være kontinuerte eller i hvert fald stykkevis kontinuerte, og 

til håndtering af sådanne funktioner er Riemann-integralet tilstrækkeligt. Men ved punktvis 

grænseovergang med en følge af kontinuerte funktioner kan man risikere at ryge ud af klassen 

af sådanne 8 , og det er derfor (ikke mindst fra et teoretisk synspunkt) af væsentlig betydning, 

at man alligevel –under passende betingelser– kan arbejde med integralet af grænsefunktionen. 

Og hertil får man altså brug for Lebesgue-integralet. 

Lad os endelig gentage, at Lebesgue-konstruktionen kan gennemføres for et vilkårligt målrum 

(X,E, µ). Hver gang man befinder sig i en situation, hvor man naturligt kan størrelsesangive 

mængder via et mål µ, får man altså i tilgift via µ-integralet tilsvarende mulighed for at størrelsesangive 

en bred klasse af funktioner på X. Et af de væsentligste eksempler herpå kommer igen 

fra sandsynlighedsteorien, hvor integralet ∫ f dµ kaldes for middelværdien eller den forventede 

værdi af f , når µ er et sandsynlighedsmål. 

2.1 Integralet af positive simple funktioner 

I det følgende betrages et fast målrum (X,E, µ). Lad s være en ikke-negativ simpel funktion 

skrevet på formen: 

n 

s = ∑ a j 1 A j 

j=1 

hvor a 1 ,...,a n ≥ 0, og hvor A 1 ,...,A n er disjunkte mængder fra E, således at foreningmængden 

A 1 ∪···∪A n = X (dvs. der er tale om en standard-repræsentation af s – jvf. Bemærkning 1.8.2). 

Med tanke på tilfældet, hvor µ er Lebesgue-målet på R, og på at integralet af en (ikke-negativ) 

7 Den her omtalte grænseovergang har ovenikøbet også stor praktisk betydning i “den virkelige verden” i forbindelse 

med kontinuert tilskrivning af rente. 

8 Man kan faktisk vise (se Opgave 3.3.3), at M(B(R)) er det mindste vektorrum af reelle funktioner på R (jvf. 

Sætning 1.5.4), der er lukket overfor punktvis grænseovergang (jvf. Korollar 1.6.7) og omfatter alle de kontinuerte 

funktioner (jvf. Sætning 1.4.8). 

57

funktion på R skal angive arealet af området mellem grafen og første-aksen, ledes vi naturligt 

til at definere integralet af s som tallet 

n 

∑ a j µ(A j ). (2.2) 

j=1 

Som nævnt i Bemærkning 1.8.2 har s dog mange forskellige standard-repræsentationer, og for 

at kunne benytte tallet (2.2) som definition af integralet, må vi derfor sikre os, at dette tal ikke 

afhænger af, hvilken standard-repræsentation af s der benyttes. 

2.1.1 Lemma. Lad s være en funktion fra SM(E) med to standard-repræsentationer (jvf. Bemærkning 

1.8.2(4)): 

n 

m 

∑ a j 1 A j 

= s = ∑ b k 1 Bk . 

j=1 

k=1 

Da gælder der, at 

n 

m 

∑ a j µ(A j ) = ∑ b k µ(B k ). 

j=1 

k=1 

Bevis. Da der er tale om standard-repræsentationer, har vi de disjunkte opspaltninger: 

og det følger derfor, at 

ligesom 

Vi finder nu, at 

ligesom 

n⋃ 

j=1 

A j = X = m ⋃ 

⋃ 

A j = m m 

(A j ∩ B k ), og µ(A j ) = ∑ µ(A j ∩ B k ) for alle j = 1,...,n, 

k=1 

k=1 

⋃ 

B k = n n 

(A j ∩ B k ), og µ(B k ) = ∑ µ(A j ∩ B k ) for alle k = 1,...,m. 

j=1 

j=1 

n 

∑ a j µ(A j ) = 

j=1 

m 

∑ b k µ(B k ) = 

k=1 

n 

∑ 

j=1 

m 

∑ 

k=1 

m 

∑ 

k=1 

k=1 

B k , 

a j µ(A j ∩ B k ), 

n 

∑ b k µ(A j ∩ B k ). 

j=1 

Idet vi kan ombytte summations-ordenen i disse endelige summer, er vi færdige, hvis vi kan 

vise, at 

a j µ(A j ∩ B k ) = b k µ(A j ∩ B k ) (2.3) 

58

for alle j i {1,...,n} og k i {1,...,m}. Lad derfor sådanne j og k være givne. Hvis A j ∩B k = /0, 

er (2.3) oplagt opfyldt, og ellers kan vi vælge et element x i A j ∩ B k . Da A j ’erne og B k ’erne er 

disjunkte, følger det, at 

a j = s(x) = b k , 

som implicerer gyldigheden af (2.3). 

Med Lemma 2.1.1 i bagagen kan vi nu give følgende 

 

2.1.2 Definition. Lad s være en ikke-negativ funktion fra SM(E) med standard-repræsentation 

s = 

n 

∑ a j 1 A j 

, 

j=1 

hvor a 1 ,...,a n ≥ 0. Vi definerer da µ-integralet I µ (s) af s ved 

I µ (s) = 

n 

∑ a j µ(A j ) ∈ [0,∞]. 

j=1 

Med ovenstående definition har vi indført en afbildning I µ : SM(E) + → [0,∞]. Følgende sætning 

anfører en række nyttige egenskaber ved denne afbildning. 

2.1.3 Sætning. Afbildningen I µ : SM(E) + → [0,∞] har følgende egenskaber: 

(i) I µ (1 A ) = µ(A) for enhver mængde A fra E. 

(ii) I µ (as) = aI µ (s) for alle s i SM(E) + og a i [0,∞). 

(iii) I µ (s+t) = I µ (s)+I µ (t) for alle s,t fra SM(E) + . 

(iv) I µ (s) ≤ I µ (t) for alle s,t fra SM(E) + , således at s ≤ t. 

Bevis. (i) og (ii) følger umiddelbart af Definition 2.1.2 og overlades til læseren. 

(iii) Lad s og t være funktioner fra SM(E) + med standard-repræsentationer: 

s = 

n 

m 

∑ a j 1 A j 

, og t = ∑ b k 1 Bk , 

j=1 

k=1 

hvor a 1 ,...,a n ,b 1 ,...,b m ≥ 0. Idet A 1 ,...,A n og B 1 ,...,B m udgør disjunkte opspaltninger af X, 

har vi, at 

m 

n 

1 A j 

= ∑ 1 A j ∩B k 

, og 1 Bk = ∑ 1 A j ∩B k 

, 

k=1 

j=1 

og vi finder derfor, at 

s+t = 

n m 

∑ ∑ 

j=1 k=1 

a j 1 A j ∩B k 

+ 

m 

∑ 

k=1 

n 

∑ b k 1 A j ∩B k 

= 

j=1 

59 

n 

∑ 

j=1 

m 

∑ 

k=1 

(a j + b k )1 A j ∩B k 

. (2.4)

Ved en passende identifikation af mængden {( j,k) | j = 1,...,n, k = 1,...,m} med {1,2,...,mn} 

kan vi opfatte det sidste udtryk i (2.4) som en standard-repræsentation af s+t, og det følger derfor, 

at 

I µ (s+t) = 

= 

= 

n m 

∑ ∑ 

j=1 k=1 

n 

∑ 

j=1a j 

m 

∑ 

k=1 

n 

∑ 

j=1 

(a j + b k )µ(A j ∩ B k ) 

a j µ(A j )+ 

= I µ (s)+I µ (t). 

µ(A j ∩ B k )+ 

m 

∑ 

k=1 

b k µ(B k ) 

m n 

∑ k ∑ 

k=1b 

j=1 

µ(A j ∩ B k ) 

(iv) Antag, at s,t ∈ SM(E) + , og at s ≤ t. Så er t − s igen en funktion fra SM(E) + , og ved 

anvendelse af (iii) finder vi derfor, at 

I µ (t) = I µ (s+(t − s)) = I µ (s)+I µ (t − s) ≥ I µ (s), 


 

2.2 Integration af positive målelige funktioner 

I dette afsnit betragter vi igen et fast målrum (X,E, µ). Vi skal i det følgende indføre µ-integralet 

∫ f dµ af en generel funktion f : X → [0,∞] fra M(E) + . Hvis man igen tager udgangspunkt i 

areal-fortolkningen af integralet (når µ er Lebesgue-målet), er følgende definition naturlig: 

2.2.1 Definition. Lad f være en funktion fra M(E) + . Vi definerer da µ-integralet ∫ f dµ af f 

ved ∫ 

f dµ = sup ({ I µ (s) ∣ s ∈ SM(E) + , og s ≤ f }) ∈ [0,∞]. 

2.2.2 Bemærkning. Hvis f,g er to funktioner fra M(E) + , således at f ≤ g, da gælder der 

oplagt, at 

{ 

Iµ (s) ∣ ∣ s ∈ SM(E) + og s ≤ f } ⊆ { I µ (s) ∣ ∣ s ∈ SM(E) + og s ≤ g } , 

og det følger derfor umiddelbart fra Definition 2.2.1, at 

∫ ∫ 

f dµ ≤ gdµ. 

□ 

I øjeblikket giver Definition 2.1.2 og Definition 2.2.1 to umiddelbart forskellige definitioner af 

µ-integralet af en funktion fra SM(E) + ⊆ M(E) + . Sprogbrugen retfærdiggøres af følgende 

60

2.2.3 Lemma. For enhver funktion s fra SM(E) + gælder der, at 

∫ 

sdµ = I µ (s). 

Bevis. Lad s være en givet funktion fra SM(E) + . Da er I µ (s) selv et element i den mængde, der 

tages supremum over i definition af ∫ sdµ, og det følger derfor umiddelbart, at 

∫ 

I µ (s) ≤ sdµ. 

Hvis omvendt t er en funktion fra SM(E) + , således at t ≤ s, da giver Sætning 2.1.3(iv), at 

I µ (t) ≤ I µ (s), og dermed følger det umiddelbart fra definitionen af ∫ sdµ, at også 

∫ 

sdµ ≤ I µ (s), 


 

Det næste resultat er af fundamental betydning for integralet og dets anvendelser. Det omtales 

ofte som Lebesgues Sætning om monoton konvergens eller Lebesgues Monotonisætning eller 

simpelthen monoton konvergens 9 . Resultatet er et eksempel på, hvordan man under passende 

betingelser kan bytte om på integration og grænseovergang for en følge ( f n ) af målelige 

funktioner. Vi skal senere se andre eksempler på dette fænomen, idet vi dog med det samme understreger, 

at der ikke er tale om et generelt gældende fænomen (jvf. Eksempel 2.2.6 nedenfor). 

2.2.4 Hovedsætning. (Monoton Konvergens) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra 

M(E) + , således at 

f 1 ≤ f 2 ≤ f 3 ≤ ··· . 

Da er funktionen f = sup n∈N f n = lim n→∞ f n igen et element i M(E) + , og der gælder, at 

∫ 

∫ 

f dµ = 

∫ 

lim f n dµ = lim 

n→∞ n→∞ 

∫ 

f n dµ = sup 

n∈N 

f n dµ. 

Bevis. Da ( f n ) er voksende, følger det umiddelbart, at sup n∈N f n = lim n∈N f n , og Sætning 1.6.6 

fortæller, at denne funktion, som vi altså kalder for f , igen er et element i M(E) + . Ifølge Bemærkning 

2.2.2 er ∫ f n dµ voksende i n, ligesom ∫ f n dµ ≤ ∫ f dµ for alle n. Dermed følger det 

også umiddelbart, at 


∫ 

lim 

n→∞ 

∫ 

f n dµ = sup 

n∈N 

∫ 

∫ 

f dµ ≤ sup 

n∈N 

∫ 

f n dµ ≤ 

9 I [Sc] omtales Hovedsætning 2.2.4 som Beppo-Levis Sætning. 

f n dµ, 

f dµ. 

61

hvilket ifølge Definition 2.2.1 kommer ud på, at 

∫ 

I µ (s) ≤ sup 

n∈N 

f n dµ for alle s i SM(E) + således at s ≤ f. 

Lad derfor en sådan funktion s være givet, og bemærk så, at det er nok at vise, at 

∫ 

αI µ (s) ≤ sup 

n∈N 

f n dµ, for ethvert α i (0,1). 

Lad derfor også α fra (0,1) være givet. Hvis nu x ∈ X, således at f(x) > 0, så gælder der, at 

αs(x) < f(x), og ifølge definitionen af f findes derfor et m x i N, således at 

αs(x) ≤ f n (x) for alle n i N for hvilke n ≥ m x . (2.5) 

Hvis derimod f(x) = 0, så har vi, at s(x) = 0 = f n (x) for alle n, og derfor er (2.5) opfyldt med 

m x = 1. Ovenstående viser, at hvis vi for hvert m i N definerer 

så gælder der, at 

B m := {x ∈ X | αs(x) ≤ f m (x)}, 

⋃ 

m∈N 

Da ( f n ) er voksende, gælder der yderligere, at 

Bemærk endvidere, at definitionen af B m medfører uligheden: 

B m = X. (2.6) 

B 1 ⊆ B 2 ⊆ B 3 ⊆ ··· . (2.7) 

αs1 Bm ≤ f m for alle m i N, 

hvor αs1 Bm ∈ SM(E) + . Det følger derfor fra Sætning 2.1.3(ii) og Definitionen af ∫ f m dµ, at 

∫ ∫ 

αI µ (s1 Bm ) = I µ (αs1 Bm ) ≤ f m dµ ≤ sup 

n∈N 

f n dµ 

for ethvert m i N. Vi kan dermed også slutte, at 

α limsup 

m→∞ 

I µ (s1 Bm ) ≤ sup 

n∈N 

∫ 

f n dµ. (2.8) 

For at bestemme venstresiden i (2.8) indfører vi nu en standard-repræsentation 

s = 

N 

∑ a j 1 A j 

j=1 

af s, hvor a 1 ,...,a N ≥ 0. Det følger da, at s1 Bm har standard-repræsentationen 

s1 Bm = 

N 

∑ a j 1 A j ∩B m 

+ 0 · 1 B c m 

, 

j=1 

62

således at 

I µ (s1 Bm ) = 

N 

∑ a j µ(A j ∩ B m ). 

j=1 

For hvert j i {1,...,N} gælder der ifølge (2.6) og (2.7), at A j ∩ B m ↑ A j for m → ∞, og ved 

anvendelse af Sætning 1.3.4(v) finder vi derfor, at 

limsup 

m→∞ 

I µ (s1 Bm ) = limsup 

m→∞ 

N 

∑ 

j=1 

a j µ(A j ∩ B m ) = 

N 

∑ a j µ(A j ) = I µ (s). 

j=1 

∫ 

Indsættes dette i vurderingen (2.8), fremgår det, at αI µ (s) ≤ sup n∈N fn dµ, som er den ønskede 

ulighed. 

Som en umiddelbar konsekvens af Hovedsætning 2.2.4 noterer vi, at integralet ∫ f dµ af en 

generel funktion fra M(E) + alternativt kunne defineres som grænsen af integralerne af en voksende 

følge af simple funktioner, der approksimerer f : 

2.2.5 Korollar. Lad f være en funktion fra M(E) + , og lad (s n ) være en voksende følge af 

funktioner fra SM(E) + , som opfylder, at 

s n (x) ↑ f(x) for n → ∞ 

for alle x i X (jvf. Sætning 1.8.3). Da gælder der, at 

∫ 

∫ 

f dµ = lim 

n→∞ 

s n dµ = lim 

n→∞ 

I µ (s n ). 

Bevis. Det første lighedstegn følger af Hovedsætning 2.2.4; det andet af Lemma 2.2.3. 

 

2.2.6 Eksempler. (A) Det er ikke svært at give eksempler på, at man ikke generelt kan bytte 

om på integration og grænseovergang for følger af positive funktioner. Vi kan f.eks. 

genbruge eksemplet fra Bemærkning 1.3.6(2): Betragt målrummet (N,P(N),τ), hvor τ 

er tællemålet, og definér herpå følgen ( f n ) af funktioner ved 

f n = 1 {n,n+1,n+2,...} , 

(n ∈ N). 

Det følger så, at 

men samtidig har vi, at 

for alle n i N. 

∫ 

lim f n(x) = 0 for alle x i N, 

n→∞ 

f n dτ = τ({n,n+1,n+2,...}) = ∞ 

63

(B) Antag, at µ er et mål på (R,B(R)), og lad f være en funktion fra M(B(R)) + . Så gælder 

der oplagt, at f 1 [−n,n] ↑ f for n → ∞, og Hovedsætning 2.2.4 fortæller derfor, at 

∫ ∫ 

f 1 [−n,n] dµ ↑ f dµ for n → ∞. 

I tilfældet hvor µ er Lebesgue-målet λ, og hvor f yderligere er en kontinuert funktion, da 

kan man, som vi skal se i Afsnit 2.7, identificere integralet ∫ f 1 [−n,n] dλ med Riemannintegralet 

R ∫ n 

−n f(x)dx. Dermed kan man altså i denne situation bestemme integralet 

∫ f dλ som en grænseværdi af sædvanlige Riemann-integraler. Og Riemann-integraler 

kan jo (i princippet) udregnes ved stamfunktionsbestemmelse (se f.eks. opgaverne 2.8.5 

og 2.8.7). ⋄ 

Ved hjælp af Korollar 2.2.5 kan vi nu let vise en række andre vigtige egenskaber ved det generelle 

integral ud fra de tilsvarende egenskaber for I µ i Sætning 2.1.3. 

2.2.7 Sætning. Lad f,g være funktioner i M(E) + . Da gælder følgende udsagn: 

(i) ∫ 1 A dµ = µ(A) for enhver mængde A fra E. 

(ii) ∫ α f dµ = α ∫ f dµ for alle α i [0,∞). 

(iii) ∫ ( f + g)dµ = ∫ f dµ + ∫ gdµ. 

(iv) ∫ f dµ ≤ ∫ gdµ, hvis f ≤ g. 

Bevis. Vi har allerede etableret (i) og (iv) (jvf. Lemma 2.2.3 og Bemærkning 2.2.2). 

(ii) Lad α fra [0,∞) være givet, og vælg en følge (s n ) af funktioner fra SM(E) + , således at 

s n ↑ f for n → ∞ (jvf. Sætning 1.8.3). Så gælder der for hvert n, at αs n ∈ SM(E) + , ligesom 

αs n ↑ α f for n → ∞. Ved anvendelse af Korollar 2.2.5 og Sætning 2.1.3 finder vi derfor, at 

∫ 

∫ 

α f dµ = lim I µ (αs n ) = α lim I µ (s n ) = α f dµ, 

n→∞ n→∞ 


(iii) Vælg følger (s n ) og (t n ) fra SM(E) + , således at s n ↑ f og t n ↑ g for n → ∞. Så gælder der for 

hvert n, at s n +t n ∈ SM(E) + , ligesom s n +t n ↑ f +g for n → ∞. Ved anvendelse af Korollar 2.2.5 

og Sætning 2.1.3 finder vi så, at 

∫ 

( 

( f + g)dµ = lim I µ (s n +t n ) = lim Iµ (s n )+I µ (t n ) ) ∫ 

= 

n→∞ n→∞ 


 

∫ 

f dµ + 

gdµ. 

2.2.8 Bemærkning. Udsagn (ii) i Sætning 2.2.7 gælder faktisk også i tilfældet, hvor α = ∞. For 

en funktion f fra M(E) + har vi nemlig, at n · f ↑ ∞ · f for n → ∞, hvilket ifølge Sætning 1.6.7 

sikrer, at ∞ · f ∈ M(E) + . Endvidere giver Hovedsætning 2.2.4 sammen med Sætning 2.2.7(ii), 

at 

∫ 

∫ 

∞ · f dµ = lim 

n→∞ 

∫ 

n · f dµ = lim n 

n→∞ 

64 

∫ 

f dµ = ∞ 

f dµ,

som påstået. 

□ 

Med Sætning 2.2.7 har vi foreløbig afsluttet konstruktionen af integralet (af positive, målelige 

funktioner). Vi skal herefter anføre endnu et par nyttige konsekvenser af Hovedsætning 2.2.4. 

2.2.9 Sætning. Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E) + , og betragt sumfunktionen 

u(x) = 

∞ 

∑ f n (x), 

n=1 

(x ∈ X). 

Så er u igen en funktion fra M(E) + , og 

∫ 

∫ ( ∞ ∞ ∫ 

udµ = ∑ f n 

)dµ = ∑ 

n=1 

n=1 

f n dµ. 

Bevis. For hvert n i N betragter vi funktionen u n givet ved 

u n = 

n 

∑ f j ∈ M(E) + , 

j=1 

og da alle led er positive funktioner, bemærker vi, at u n ↑ u for n → ∞. Dermed sikrer Sætning 

1.6.6, at u ∈ M(E) + , og Hovedsætning 2.2.4 giver derefter sammen med Sætning 2.2.7(iii), 

at ∫ ∫ 

udµ = lim 

f j dµ = f j dµ, 

n→∞ 


 

∫ ( n n ∫ 

u n dµ = lim n→∞ ∑ f j 

)dµ = lim n→∞ ∑ 

j=1 

j=1 

∞ ∫ 

∑ 

j=1 

2.2.10 Sætning. (Fatous Lemma) For enhver følge ( f n ) af funktioner fra M(E) + gælder der, 

at liminf n→∞ f n ∈ M(E) + , og at 

∫ ( ) ∫ 

liminf n dµ ≤ liminf 

n→∞ 

n→∞ 

f n dµ. 

Bevis. Vi har set i Sætning 1.6.6, at liminf n→∞ f n ∈ M(E) + . For hvert k i N betragter vi herefter 

funktionen u k givet ved 

u k = inf 

n≥k f n ∈ M(E) + , 

og vi husker, at u k ↑ liminf n→∞ f n for k → ∞. Ved anvendelse af Hovedsætning 2.2.4 finder vi 

derfor, at 

∫ ( ) ∫ ∫ ( ) ∫ 

liminf f n dµ = lim u k dµ = lim inf f n dµ ≤ liminf f k dµ, (2.9) 

n→∞ 

k→∞ k→∞ n≥k k→∞ 

65

hvor vi til sidst benytter, at for hvert k er inf n≥k f n ≤ f k , og dermed 

∫ ( ) ∫ 

inf f n dµ ≤ f k dµ, 

n≥k 

ved anvendelse af Bemærkning 2.2.2. Bemærk også, at da vi ikke kan vide, om ∫ f k dµ konvergerer 

for k → ∞, må vi erstatte lim med liminf i den sidste vurdering i (2.9). 

Vi skal afslutningsvist i dette afsnit vise, at µ-integralet for positive målelige funktioner kan karakteriseres 

som en afbildning E µ : M(E) + → [0,∞] opfyldende tre grundlæggende egenskaber. 

Som vi skal se en række eksempler på, er dette specielt nyttigt, når man ønsker at fastlægge, 

hvordan man integrerer mht. et konkret mål µ. 

2.2.11 Hovedsætning. Lad (X,E, µ) være et målrum. Der findes da én og kun én afbildning 

E µ : M(E) + → [0,∞] med følgende egenskaber: 

(i1) E µ (1 A ) = µ(A) for enhver mængde A fra E. 

(i2) E µ ( f + g) = E µ ( f)+E µ (g) for alle f,g i M(E) + . 

(i3) for enhver voksende følge ( f n ) af funktioner fra M(E) + gælder der, at 

( ) 

E µ lim f n = lim E µ ( f n ). 

n→∞ n→∞ 

Afbildningen E µ er specifikt givet ved 

∫ 

E µ ( f) = 

f dµ ( f ∈ M(E) + ). (2.10) 

Bevis. Eksistens-delen følger umiddelbart af, at afbildningen E µ givet ved (2.10) har egenskaberne 

(i1)-(i3) ifølge Hovedsætning 2.2.4 og Sætning 2.2.7. 

Med hensyn til entydighedsdelen antager vi, at E µ : M(E) + → [0,∞] er en afbildning, der opfylder 

(i1)-(i3), og vi vil vise, at E µ nødvendigvis må være givet ved (2.10). Vi viser først, at 

E µ som konsekvens af (i1)-(i3) også opfylder følgende betingelse: 

(i4) E µ (α f) = αE µ ( f) for alle f i M(E) + og α i [0,∞). 

I tilfældet α = 0 finder vi ved anvendelse af (i1), at 

E µ (0 · f) = E µ (0) = E µ (1 /0 ) = µ(/0) = 0 = 0 · E µ ( f). 

Hvis α = n ∈ N, finder vi derpå ved hjælp af (i2), at 

E µ (n f) = E µ ( f + f + ···+ f) = E µ ( f)+E µ ( f)+···+ E µ ( f) = nE µ ( f). (2.11) 

Hvis så α = r ∈ Q ∩(0,∞), skriver vi r på formen r = p/q, hvor p,q ∈ N. Det følger så ved 

anvendelse af (2.11), at 

pE µ ( f) = E µ (p f) = E µ (qr f) = qE µ (r f), 

66

som ved division med q giver, at rE µ ( f) = E µ (r f). For et generelt α i (0,∞) kan vi vælge en 

voksende følge (r n ) fra (0,α) ∩Q, således at r n ↑ α for n → ∞. Så gælder der også, at r n f ↑ α f 

for n → ∞, og ved anvendelse af (i3) følger det så endelig, at 


E µ (α f) = lim 

n→∞ 

E µ (r n f) = lim 

n→∞ 

r n E µ ( f) = αE µ ( f), 

Efter at have etableret (i4) viser vi, at E µ opfylder (2.10) ved anvendelse af “standard-beviset” 

(jvf. indledningen til Afsnit 1.8). Vi betragter således først en funktion s fra SM(E) + skrevet på 

formen: 

N 

s = ∑ a j 1 A j 

, 

j=1 

hvor a 1 ,...,a N ≥ 0. Ved anvendelse af (i2),(i4) og (i1) følger det så, at 

( N ) 

E µ (s) = E µ ∑ a j 1 A j 

= 

j=1 

N 

∑ a j E µ (1 A j 

) = 

j=1 

N ∫ 

∑ a j µ(A j ) = 

j=1 

sdµ. 

Betragt derefter en vilkårlig funktion f i M(E) + . Ifølge Sætning 1.8.3 kan vi vælge en følge 

(s n ) af funktioner fra SM(E) + , således at s n ↑ f for n → ∞. Det følger da fra (i3), det netop viste 

og Hovedsætning 2.2.4, at 

∫ ∫ 

E µ ( f) = lim E µ (s n ) = lim s n dµ = f dµ, 

n→∞ n→∞ 

som ønsket. Dermed er også entydigheden vist. 

2.2.12 Bemærkninger. (1) Sætning 2.2.11 ovenfor kan som nævnt bl.a. benyttes til at fastlægge 

virkningen af integralet med hensyn til et givet mål. For et punkt a i X gælder der 

f.eks., at 

∫ 

f dδ a = f(a) for alle f i M(E) + , 

hvilket kan ses som en konsekvens af, at afbildningen E a : M(E) + → [0,∞] givet ved 

E a ( f) := f(a), ( f ∈ M(E) + ) 

let ses at have egenskaberne (i1)-(i3) i tilfældet µ = δ a (se Opgave 2.8.3). 

(2) En anden konsekvens af Sætning 2.2.11 er, at enhver afbildning E µ : M(E) + → [0,∞], der 

besidder egenskaberne (i1)-(i3), automatisk også besidder samtlige øvrige egenskaber, 

som vi har udledt for integralet (f.eks. Fatous Lemma), og samtlige egenskaber som vi 

skal udlede i de efterfølgende afsnit. □ 

2.2.13 Eksempel. (Integration med hensyn til tællemålet på N) Vi betragter i dette eksempel 

målrummet (N,P(N),τ), hvor τ betegner tællemålet på N. Da N er udstyret med σ-algebraen 

P(N) bestående af alle delmængder af N, er alle funktioner f : N → R målelige. Vi ønsker at 

vise, at der for enhver funktion f : N → [0,∞] gælder, at 

∫ 

∞ 

f dτ = ∑ f(n). (2.12) 

n=1 

67

Hertil kunne vi benytte Sætning 2.2.11 og bevise, at højresiden af (2.12) (som funktion af f ) 

opfylder betingelserne (i1)–(i3). Det er imidlertid nemmere at bemærke 10 , at enhver funktion 

f : N → [0,∞] kan skrives som en rækkesum: 

f(n) = 

∞ 

∑ f(k)1 {k} (n), 

k=1 

Ved anvendelse Sætning 2.2.9 følger det derfor, at 

∫ ∫ ( ∞ ∫ 

f dτ = ∑ f(k)1 {k} 

)dτ = 

k=1 


⋄ 

= 

∞ 

∑ 

k=1 

∞ 

∞ 

∑ f(k)τ({k}) = ∑ f(k), 

k=1 

k=1 

(n ∈ N). 

f(k)1 {k} dτ = 

∞ ∫ 

∑ f(k) 

k=1 

1 {k} dτ 

2.3 Nulmængder og µ-næsten overalt 

I det følgende betragtes et fast målrum (X,E, µ). I forbindelse med overvejelser omkring µ- 

integralet er det praktisk at indføre terminologien “µ-næsten overalt” for egenskaber, der måske 

ikke gælder for alle x i X, men hvor målet µ “ikke kan registrere” de x’er i X, for hvilke 

egenskaben ikke gælder. Hvis f.eks. f ∈ M(E) + , og ∫ f dµ = 0, så kan man ikke slutte, at 

f(x) = 0 for alle x i X, men dog at µ({x ∈ X | f(x) > 0}) = 0 (jvf. Sætning 2.3.6 nedenfor). 

Vi siger i denne situation, at f(x) = 0 µ-næsten overalt. Vi skal nedenfor indføre terminologien 

generelt, men vi starter med at indføre de såkaldte µ-nulmængder. 

2.3.1 Definition. En delmængde N af X kaldes en µ-nulmængde, hvis der findes en mængde A 

fra E, således at 

N ⊆ A, og µ(A) = 0. 

Systemet af nulmængder i X betegnes med N µ . 

2.3.2 Bemærkninger. (1) En mængde A fra E er en µ-nulmængde, hvis og kun hvis µ(A) = 

0. Specielt ses, at /0 ∈ N µ . 

(2) Hvis (N n ) n∈N er en følge af µ-nulmængder, så er ⋃ n∈N N n igen en µ-nulmængde. For 

hvert n kan vi nemlig vælge en mængde A n fra E, således at N n ⊆ A n , og så µ(A n ) = 0. 

Det følger så, at 

⋃ 

n∈N 

N n ⊆ ⋃ 

n∈N 

ved anvendelse af Sætning 1.3.4(iv). 

A n ∈ E, og µ ( ∞⋃ ) ∞ 

n ≤ 

n=1A ∑ µ(A n ) = 0, 

n=1 

10 Denne metode virker ikke, hvis τ er tællemålet på en overtællelig mængde X (f.eks. X = R), og i den situation 

må man derfor gå frem via Hovedsætning 2.2.11 (eller lignende) for at etablere et resultat svarende til (2.12). 

□ 

68

2.3.3 Eksempel. Betragt målrummet (R d ,B(R d ),λ d ). Det er ikke svært at indse, at for ethvert 

punkt x i R d er den tilhørende et-punktsmængde (eller singleton) {x} en (målelig) λ d - 

nulmængde (overvej!). Enhver tællelig delmængde M = {x n | n ∈ N} af R d kan vi skrive som 

(den tællelige) foreningsmængde af et-punktsmængderne svarende til dens elementer: 

M = ⋃ {x n }. 

n∈N 

Det følger derfor fra Bemærkning 2.3.2(2), at enhver tællelig delmængde af R d er en (målelig) 

λ d -nulmængde. Specielt noterer vi, at Q d er en λ d -nulmængde. Da Q d er tæt i R d (jvf. 

Opgave 1.9.2), ser vi, at λ d -nulmængder godt kan “fylde meget” (i topologisk forstand). ⋄ 

Som nævnt skal vi herefter indføre egenskaber blandt elementerne i X, der gælder “µ-næsten 

overalt”. Formelt kan vi betragte en egenskab blandt elementerne i X som en afbildning p: X → 

{sand,falsk}, hvor fortolkningen naturligvis er, at x fra X har egenskaben p, hvis og kun hvis 

p(x) = sand. Men disse konventioner kan vi nu indføre følgende: 

2.3.4 Terminologi. Lad p være en egenskab blandt elementerne i X. Egenskaben p siges da at 

gælde 

µ-næsten overalt eller for µ-næsten alle x, 

hvis mængden 

er en µ-nulmængde. 

{x ∈ X | p(x) = sand} c = {x ∈ X | p(x) = falsk} 

Ofte benytter man forkortelserne “n.o.” og “n.a.” for “næsten overalt” og “næsten alle”. I sandsynlighedsteori 

siges ofte “næsten sikkert”, forkortet “n.s.”, i stedet for næsten overalt. 

2.3.5 Eksempler. (A) Betragt en reel funktion f : X → R. Vi siger da, at 

f > 0 µ-næsten overalt, eller at f(x) > 0 for µ-næsten alle x, 

hvis {x ∈ X | f(x) ≤ 0} er en µ-nulmængde. 

(B) Lad f, f 1 , f 2 , f 3 ,... være funktioner fra X ind i R. Vi siger da, at 

f n −→ n→∞ 

f µ-næsten overalt, eller at f n (x) −→ n→∞ 

f(x) for µ-næsten alle x, 

hvis {x ∈ X | f n (x) ↛ f(x)} er en µ-nulmængde. 

⋄ 

Udover det i indledningen til dette afsnit postulerede resultat (jvf. (i) nedenfor) viser nedenstående 

sætning bl.a., at µ-integralet “ikke kan mærke” µ-nulmængder (se punkt (ii) og (iv)). 

2.3.6 Sætning. Lad f,g være funktioner fra M(E) + . Da gælder der, at 

(i) ∫ f dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-n.o. 

69

(ii) ∫ f 1 N dµ = 0 for enhver mængde N i N µ ∩E. 

(iii) Hvis ∫ f dµ < ∞, så gælder der, at f < ∞ µ-n.o. 

(iv) Hvis f = g µ-n.o., så gælder der, at ∫ f dµ = ∫ gdµ. 

Før beviset indfører vi lidt mere bekvem notation: 

2.3.7 Notation. Betragt reelle funktioner f,g: X → R defineret på X. Vi benytter da symbolet 

“{ f > g}” som kort notation for mængden {x ∈ X | f(x) > g(x)}. Notationen generaliserer 

umiddelbart til en lang række af mængder, f.eks. 

{ f = g} := {x ∈ X | f(x) = g(x)} 

{ f ≠ g} := {x ∈ X | f(x) ≠ g(x)} 

{exp( f) ≤ g 2 } := {x ∈ X | exp( f(x)) ≤ g(x) 2 }. 

Den beskrevne notation vil blive benyttet frit i det følgende. 

Bevis for Sætning 2.3.6. (i) Ved anvendelse af Bemærkning 2.2.8 noterer vi først, at 

∫ ∫ ∫ 

∫ 

∞ f dµ = ∞ · f dµ = ∞ · 1 { f>0} dµ = ∞ 1 { f>0} dµ = ∞ · µ({ f > 0}), 

hvor 2. lighedstegn benytter, at ∞·0 = 0 (jvf. Appendix A.3). Det følger fra ovenstående udregning, 

at 

∫ 

∫ 

f dµ = 0 ⇐⇒ ∞ f dµ = 0 ⇐⇒ ∞ · µ({ f > 0}) = 0 

⇐⇒ µ({ f > 0}) = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-næsten overalt. 

(ii) Dette følger umiddelbart fra (i), idet f 1 N = 0 µ-næsten overalt. 

(iii) Antag, at ∫ f dµ < ∞. Idet f ≥ ∞ · 1 { f=∞} , følger det ved anvendelse af Bemærkningerne 

2.2.2 og 2.2.8, at 

∫ ∫ 

∫ 

∞ > f dµ ≥ ∞ · 1 { f=∞} dµ = ∞ 1 { f=∞} dµ = ∞ · µ({ f = ∞}), 

hvilket medfører, at µ({ f = ∞}) = 0. 

(iv) Antag, at f = g µ-n.o., altså at µ({ f ≠ g}) = 0 (jvf. Eksempel 1.6.10). Det følger så fra 

(ii), at 

∫ ∫ 

∫ 

∫ 

f dµ = f 1 { f=g} dµ + f 1 { f≠g} dµ = f 1 { f=g} dµ 

∫ 

∫ 

= g1 { f=g} dµ = 

∫ 

g1 { f=g} dµ + 

70 

∫ 

g1 { f≠g} dµ = gdµ,

hvor vi i tredje lighedstegn benytter, at funktionerne f 1 { f=g} og g1 { f=g} er identiske. 

 

2.4 Integration af reelle funktioner 

Vi skal i dette afsnit udvide integralet til klasser af funktioner med værdier i R = [−∞,∞], idet 

den væsentligste interesse naturligvis påkaldes af funktioner med værdier i R. Vi vil i dette 

afsnit benytte notationen: 

∫ 

E µ ( f) = 

f dµ for enhver funktion f fra M(E) + . 

Dette er til dels for at kunne gøre brug af en kort notation men også for igennem notationen at 

kunne tydeliggøre, hvordan de integraler, der indføres i dette afsnit, og deres egenskaber etableres 

udfra integralerne af ikke-negative funktioner, som blev indført i foregående afsnit. I de 

efterfølgende afsnit vil vi vende tilbage til notationen ∫ f dµ også for ikke-negative funktioner 

f . Vi minder om (jvf. Bemærkning 1.6.9), at for en funktion f : X → R betegner f + og f − hhv. 

positiv- og negativdelen af f , og der gælder, at 

f = f + − f − , og | f | = f + + f − . 

Endvidere har vi set, at f + , f − ∈ M(E) + , hvis og kun hvis f ∈ M(E). 

2.4.1 Definition. For et målrum (X,E, µ) definerer vi klasserne L(µ) og L 1 (µ) af målelige 

funktioner fra X ind i R ved: 

L(µ) = { f ∈ M(E) | E µ ( f + ) ∧ E µ ( f − ) < ∞} 


L 1 (µ) = { f ∈ M(E) | E µ ( f + ) ∨ E µ ( f − ) < ∞}. 

2.4.2 Bemærkninger. (1) En funktion f fra L 1 (µ) kan kun antage reelle værdier; værdierne 

±∞ er pr. definition udelukkede. 

(2) Det følger umiddelbart fra definitionerne af L(µ) og L 1 (µ), at 

M(E) + ⊆ L(µ), og L 1 (µ) ⊆ L(µ). 

(3) For alle a i R og f i L(µ) har vi også, at a f ∈ L(µ). Der gælder nemlig, at 

{ 

(a f) ± a f ± , hvis a ≥ 0 

= 

|a| f ∓ , hvis a < 0, 

og dermed i alle tilfælde at 

E µ ((a f) + ) ∧ E µ ((a f) − ) = E µ (|a| f + ) ∧ E µ (|a| f − ) = |a|(E µ ( f + ) ∧ E µ ( f − )). 

71

(4) For f i M(E) gælder der, at 

E µ (| f |) = E µ ( f + + f − ) = E µ ( f + )+E µ ( f − ), 

og dermed fremgår det, at 

E µ ( f + ) ∨ E µ ( f − ) ≤ E µ (| f |) ≤ 2 ( E µ ( f + ) ∨ E µ ( f − ) ) , 

hvilket medfører følgende alternative karakterisering af L 1 (µ): 

L 1 (µ) = { f ∈ M(E) | E µ (| f |) < ∞}. (2.13) 

For f,g i M(E) og a i R har vi endvidere ifølge (ii)–(iv) i Sætning 2.2.7, at 

E µ (|a f |) = |a|E µ (| f |), og E µ (| f + g|) ≤ E µ (| f |+|g|) = E µ (| f |)+E µ (|g|), 

og sammen med (2.13) viser dette, at L 1 (µ) er et vektorrum. 

(5) Hvis f ∈ L(µ), og g ∈ L 1 (µ), så gælder der også, at f + g ∈ L(µ). Vi har nemlig, at 

( f + g) + = ( f + g) ∨ 0 ≤ f ∨ 0+g∨0 = f + + g + , (2.14) 


( f + g) − = − ( ( f + g) ∧ 0 ) ≤ −( f ∧ 0+g∧0) = f − + g − , (2.15) 

og dermed følger det vha. (ii)–(iv) i Sætning 2.2.7, at 

E µ (( f + g) + ) ∧ E µ (( f + g) − ) ≤ (E µ ( f + )+E µ (g + )) ∧(E µ ( f − )+E µ (g − )), 

hvor højresiden er endelig, hvis f ∈ L(µ) og g ∈ L 1 (µ). 

□ 

2.4.3 Definition. For en funktion f i L(µ) defineres integralet ∫ f dµ af f med hensyn til µ 

ved 

∫ 

f dµ = E µ ( f + ) − E µ ( f − ). (2.16) 

2.4.4 Bemærkninger. (1) Definitionen af L(µ) sikrer, at vi ikke kommer til at “trække ∞ fra 

∞” i formel (2.16). 

(2) Hvis f ∈ L(µ) \L 1 (µ), så gælder der, at 

{ 

∫ 

∞, hvis E µ ( f + ) = ∞ 

f dµ = 

−∞, hvis E µ ( f − ) = ∞. 

(3) For en funktion f fra M(E) + har vi, at f − = 0, og dermed at 

∫ 

f dµ = E µ ( f + ) − E µ ( f − ) = E µ ( f + ) = E µ ( f). 

For en generel funktion f fra L(µ) kan vi derfor også skrive 

∫ ∫ ∫ 

f dµ = f + dµ − f − dµ. 

72

(4) Antag, at f,g ∈ M(E), og at f = g µ-n.o. Så gælder der, at f ∈ L(µ) ⇐⇒ g ∈ L(µ), og 

at f ∈ L 1 (µ) ⇐⇒ g ∈ L 1 (µ). Hvis f ∈ L(µ), gælder der endvidere, at ∫ f dµ = ∫ gdµ. 

Samtlige disse påstande følger umiddelbart af, at f ± = g ± µ-n.o., således at E µ ( f ± ) = 

E µ (g ± ) ifølge Sætning 2.3.6(iv). 

(5) I litteraturen benyttes mange alternative notationer for integralet ∫ f dµ, bl.a. 

∫ 

X 

∫ 

f dµ, 

∫ 

f(x) µ(dx), 

f(x)dµ(x). 

Vi vil også i disse noter fremover gøre brug af de to førstnævnte. 

□ 

2.4.5 Sætning. Lad (X,E, µ) være et målrum, og antag at f,g ∈ L(µ), og at a ∈ R. Da gælder 

følgende udsagn: 

(i) ∫ a f dµ = a ∫ f dµ. 

(ii) Hvis f,g ∈ L 1 (µ), har vi, at ∫ ( f + g)dµ = ∫ f dµ + ∫ gdµ. 

(iii) Hvis f ≤ g µ-n.o., gælder der, at ∫ f dµ ≤ ∫ gdµ, og hvis yderligere f,g ∈ L 1 (µ), gælder 

bi-implikationen: ∫ ∫ 

f dµ = gdµ ⇐⇒ f = g µ-n.o. 

(iv) ∣ ∣ ∫ f dµ ∣ ∣ ≤ 

∫ | f |dµ. 

Bevis. (i) Hvis a ≥ 0, finder vi ved anvendelse af Sætning 2.2.7(ii), at 

∫ 

(a f)dµ = E µ ((a f) + ) − E µ ((a f) − ) = E µ (a f + ) − E µ (a f − ) 

∫ 

= aE µ ( f + ) − aE µ ( f − ) = a 

f dµ, 

og hvis a < 0, har vi tilsvarende 

∫ 

(a f)dµ = E µ ((a f) + ) − E µ ((a f) − ) = E µ (|a| f − ) − E µ (|a| f + ) 

∫ 

= −aE µ ( f − )+aE µ ( f + ) = a 

f dµ. 

(ii) Antag, at f,g ∈ L 1 (µ). Vi bemærker først, at 

( f + g) + −( f + g) − = f + g = f + − f − + g + − g − , 

og dermed at (husk, at alle funktionsværdier er endelige) 

( f + g) + + f − + g − = ( f + g) − + f + + g + . 

73

Ved anvendelse af Sætning 2.2.7(iii) følger det derfor, at 

E µ (( f + g) + )+E µ ( f − )+E µ (g − ) = E µ (( f + g) − )+E µ ( f + )+E µ (g + ). 

Da alle indgående integraler er endelige (jvf. Bemærkning 2.4.2(4)), kan vi herfra slutte, at 

∫ 

( f + g)dµ = E µ (( f + g) + ) − E µ (( f + g) − ) 


∫ 

= E µ ( f + ) − E µ ( f − )+E µ (g + ) − E µ (g − ) = 

∫ 

f dµ + 

gdµ, 

(iii) Vi bemærker først, at vi uden tab af generalitet kan antage, at f ≤ g overalt (dvs. for alle x 

i X) og ikke bare µ-n.o. I modsat fald kan vi nemlig erstatte f og g med funktionerne f 1 { f ≤g} 

og g1 { f ≤g} uden at ændre på integralerne ∫ f dµ, ∫ gdµ (jvf. Bemærkning 2.4.4(4)) eller på om 

f = g µ-n.o. Vi antager således, at f ≤ g, eller ækvivalent at 

f + ≤ g + , og f − ≥ g − . 

Ved anvendelse af Sætning 2.2.7(iv) finder vi så, at 

∫ 

∫ 

f dµ = E µ ( f + ) − E µ ( f − ) ≤ E µ (g + ) − E µ (g − ) = 

gdµ. 

Antages nu yderligere, at f,g ∈ L 1 (µ), kan vi betragte funktionen g− f ∈ L 1 (µ) + , og det følger 

da fra (i) og (ii), at 

∫ ∫ ∫ 

gdµ = f dµ ⇐⇒ (g − f)dµ = 0 ⇐⇒ g − f = 0 µ-n.o., 

hvor vi til sidst benytter Sætning 2.3.6(i). 

(iv) Vi finder ved anvendelse af trekantsuligheden (for | · |), at 

∫ 

∣ f dµ ∣ = ∣ Eµ ( f + ) − E µ ( f − ) ∣ ≤ Eµ ( f + )+E µ ( f − ) 

∫ 

= E µ ( f + + f − ) = E µ (| f |) = | f |dµ. 


 

2.4.6 Bemærkninger. (1) I forbindelse med (iii) i Sætning 2.4.5 bemærkes, at hvis f,g ∈ 

L(µ), f ≤ g, og ∫ f dµ = ∫ gdµ = ∞, så kan man ikke generelt slutte, at f = g µ-n.o. 

Betragt f.eks. funktionerne 1 X og 21 X , i tilfældet hvor µ(X) = ∞. 

(2) Formlen i Sætning 2.4.5(ii) gælder faktisk mere generelt i tilfældet, hvor f ∈ L(µ), og 

g ∈ L 1 (µ). Husk nemlig først fra Bemærkning 2.4.2(5), at under disse antagelser har vi, 

at f + g ∈ L(µ). Hvis så E µ ( f + ) og E µ ( f − ) begge er endelige, så er mængden N = 

{| f | = ∞} en µ-nulmængde, idet E µ (| f |) < ∞ (jvf. Sætning 2.3.6(iii)). Dermed følger 

74

det, at f 1 N c ∈ L 1 (µ), og ved anvendelse af Bemærkning 2.4.4(4) samt Sætning 2.4.5(ii) 

finder vi derfor, at 

∫ ∫ 

∫ ∫ ∫ ∫ 

( f + g)dµ = ( f 1 N c + g)dµ = f 1 N c dµ + gdµ = f dµ + gdµ. 

Vi mangler således kun at betragte tilfældene, hvor enten E µ ( f + ) = ∞ eller E µ ( f − ) = ∞. 

Antages f.eks., at E µ ( f − ) = ∞, så finder vi ved anvendelse af (2.15), at 

således at 

f − = ( ( f + g)+(−g) ) − ≤ ( f + g) − +(−g) − = ( f + g) − + g + , 

∞ = E µ ( f − ) ≤ E µ (( f + g) − )+E µ (g + ). 

Da E µ (g + ) < ∞, kan vi altså slutte, at E µ (( f + g) − ) = ∞, og dermed at 

∫ 

( f + g)dµ = E µ (( f + g) + ) − E µ (( f + g) − ) = −∞ 

∫ 

= E µ ( f + ) − E µ ( f − )+ 

∫ 

gdµ = 

∫ 

f dµ + 

gdµ. 

Tilfældet, hvor E µ ( f + ) = ∞, klares tilsvarende. 

□ 

En ofte benyttet metode til at påvise, at en forelagt funktion f tilhører L(µ), består i at sammenligne 

f med en funktion g, som man ved tilhører L(µ): 

2.4.7 Korollar. Lad f være en funktion i M(E). 

(i) Antag, at der findes en funktion g fra L(µ), således at 

f ≤ g µ-n.o. , og E µ (g + ) < ∞. 

Da gælder der også, at f ∈ L(µ), og at ∫ f dµ < ∞. 

(ii) Antag, at der findes en funktion g fra L(µ), således at 

f ≥ g µ-n.o. , og E µ (g − ) < ∞. 

Da gælder der også, at f ∈ L(µ), og at ∫ f dµ > −∞. 

(iii) Antag, at f kun antager reelle værdier, og at der findes en funktion g fra M(E) + , således 

at 

| f | ≤ g µ-n.o. , og E µ (g) < ∞. 

Da gælder der, at f ∈ L 1 (µ). 

Bevis. (i) Da f ≤ g µ-n.o., har vi specielt, at f + ≤ g + µ-n.o., og dermed giver Sætning 2.4.5(iii), 

at E µ ( f + ) ≤ E µ (g + ) < ∞. Dette sikrer, at f ∈ L(µ), og at 

∫ 

f dµ = E µ ( f + ) − E µ ( f − ) < ∞. 

75

(ii) Da f ≥ g µ-n.o., har vi specielt, at f − ≤ g − µ-n.o., og udsagnet følger herefter ganske som 

i beviset for (i). 

(iii) Da | f | ≤ g µ-n.o., giver Sætning 2.4.5(iii), at E µ (| f |) ≤ E µ (g) < ∞, og dermed at f ∈ 

L 1 (µ) ifølge (2.13). 

Lad os afslutningsvist i dette afsnit bemærke, at der mellem klasserne L 1 (µ) og L(µ) ligger 

klassen 

L 1 (µ) = { f ∈ M(E) | E µ (| f |) < ∞}, 

der kun adskiller sig fra L 1 (µ) derved, at funktionerne gerne må antage værdier i {−∞,∞}. 

Betingelsen E µ (| f |) < ∞ medfører dog ifølge Sætning 2.3.6(iii), at mængden 

N = {| f | = ∞} = {x ∈ X | f(x) ∈ {−∞,∞}} 

er en µ-nulmængde, og funktionen f 1 N c er så et element i L 1 (µ), der opfylder, at f = f 1 N c 

µ-n.o. Generelt vil de resultater, som vi ovenfor og i det følgende beviser for L 1 (µ), således 

også være gyldige for L 1 (µ) (evt. i en passende modificeret form), hvilket i alle tilfælde indses 

ved at indføre en passende µ-nulmængde 11 . Vi vil derfor ikke i det følgende arbejde specifikt 

med klassen L 1 (µ). 

2.5 Konvergenssætninger for integralet 

I dette afsnit betragtes et fast målrum (X,E, µ). Vi skal vise en række vigtige og nyttige resultater 

om, hvornår man for en følge af funktioner fra M(E), der konvergerer µ-næsten overalt, kan 

bytte om på rækkefølgen af grænseværdi og integration. Hovedsætning 2.2.4 er som tidligere 

nævnt et resultat af denne type, og vi starter med at vise en stærkere version af dette resultat. 

2.5.1 Sætning. (Generaliseret Monoton Konvergens) (i) Lad f, f 1 , f 2 , f 3 ,... være funktioner 

fra M(E), som opfylder følgende tre betingelser: 

(a) f 1 ≤ f 2 ≤ f 3 ≤ ··· µ-n.o. 

(b) ∫ f − 1 

dµ < ∞. 

(c) f = lim n→∞ f n µ-n.o. 

Da gælder der, at f n ∈ L(µ) for alle n, f ∈ L(µ), og at ∫ f n dµ ↑ ∫ f dµ for n → ∞. 

(ii) Antag, at f, f 1 , f 2 , f 3 ,... er funktioner fra M(E), således at følgende tre betingelser er 

opfyldte: 

(d) f 1 ≥ f 2 ≥ f 3 ≥ ··· µ-n.o. 

(e) ∫ f + 1 

dµ < ∞. 

(f) f = lim n→∞ f n µ-n.o. 

Da gælder der, at f n ∈ L(µ) for alle n, f ∈ L(µ), og at ∫ f n dµ ↓ ∫ f dµ for n → ∞. 

11 Vi har allerede gennemført et argument af denne type i Bemærkning 2.4.6(2). 

76

Bevis. (i) Da f n ≥ f 1 µ-n.o. for alle n, og dermed også f = lim n→∞ f n ≥ f 1 µ-n.o., så følger det 

umiddelbart fra Korollar 2.4.7(ii), at f n ∈ L(µ) for alle n, og at f ∈ L(µ). 

For at vise konvergensudsagnet antager vi først, at (a) og (c) gælder overalt (og ikke bare næsten 

overalt), samt at f1 − (x) < ∞ for alle x i X. Bemærk så, at 

− f − 1 ≤ f 1 ≤ f n , og dermed at 0 ≤ f − 1 + f n for alle n. 

Ved anvendelse af Bemærkning 2.4.6(2) sammen med Hovedsætning 2.2.4 på den voksende 

følge ( f − 1 + f n) n∈N fra M(E) + finder vi så, at 

∫ 

f − 1 dµ + ∫ 

∫ 

f dµ = ( f1 − 

(∫ 

= lim 

n→∞ 

∫ 

+ f)dµ = lim 

n→∞ 

∫ 

f1 − dµ + 

( f − 1 + f n)dµ 

) ∫ 

f n dµ = 

f − 1 

∫ 

dµ + lim 

n→∞ 

og dermed fremgår det ønskede ved subtraktion af det endelige tal ∫ f − 1 dµ. 

f n dµ, 

Under de generelle antagelser i (i) bemærker vi først, at antagelse (b) ifølge Sætning 2.3.6(iii) 

medfører, at µ({ f1 

− = ∞}) = 0. Sammen med antagelserne (a) og (c) kan vi dermed slutte, at 

mængden 

( 

N = {x ∈ X | f n (x) ↛ f(x)} ∪ { f1 

− ⋃ 

) 

= ∞} ∪ { f n > f n+1 } 

er en (målelig) µ-nulmængde. Funktionerne f n 1 N c og f 1 N c opfylder nu de skærpede forudsætninger, 

under hvilke vi beviste konvergensudsagnet ovenfor, og vi kan derfor slutte, at ∫ f n 1 N c dµ ↑ 

∫ f 1N c dµ for n → ∞. Men da f n = f n 1 N c µ-n.o., ligesom f = f 1 N c µ-n.o., følger det herefter 

ved anvendelse af Bemærkning 2.4.4(4), at også ∫ f n dµ ↑ ∫ f dµ for n → ∞. 

(ii) Funktionerne − f,− f 1 ,− f 2 ,− f 3 ,... opfylder betingelserne: 

• − f 1 ≤ − f 2 ≤ − f 3 ≤ ··· µ-n.o. 

• ∫ (− f 1 ) − dµ = ∫ f 

1 + dµ < ∞. 

• − f = lim n→∞ (− f n ) µ-n.o. 

Ved anvendelse af (i), Bemærkning 2.4.2(3) og Sætning 2.4.5(i) følger det derfor, at f n ∈ L(µ) 

for alle n, at f ∈ L(µ), samt at 

∫ 

− 

∫ ∫ 

f n dµ = (− f n )dµ ↑ 

∫ 

(− f)dµ = − 

n∈N 

f dµ for n → ∞, 

hvoraf det ønskede fremgår ved multiplikation med −1. 

 

2.5.2 Sætning. (Generaliseret Fatous Lemma) (i) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra 

M(E), og antag, at der findes en funktion g fra L(µ), således at 

(a) f n ≥ g µ-n.o. for alle n i N 

(b) ∫ g − dµ < ∞. 

77

Da gælder der, at f n ∈ L(µ) for alle n, liminf n→∞ f n ∈ L(µ), og at 

∫ ( ) ∫ 

liminf n dµ ≤ liminf 

n→∞ 

n→∞ 

f n dµ. 

(ii) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at der findes en funktion g fra 

L(µ), således at 

(c) f n ≤ g µ-n.o. for alle n i N. 

(d) ∫ g + dµ < ∞. 

Da gælder der, at f n ∈ L(µ) for alle n, limsup n→∞ f n ∈ L(µ), og at 

∫ ( 

limsup 

n→∞ 

∫ 

f n 

)dµ ≥ limsup 

n→∞ 

f n dµ. 

Bevis. (i) Da f n ≥ g µ-n.o. for alle n, og dermed også liminf n→∞ f n ≥ g µ-n.o., følger det 

umiddelbart fra Korollar 2.4.7(ii), at f n ∈ L(µ) for alle n, og at liminf n→∞ f n ∈ L(µ). 

For hvert k i N betragter vi herefter funktionen u k givet ved 

u k = inf 

n≥k f n ∈ M(E), 

og vi husker, at u k ↑ liminf n→∞ f n for k → ∞. Da g ≤ inf n∈N f n = u 1 µ-n.o., følger det videre 

fra Sætning 2.4.5(iii), at ∫ u − 1 dµ ≤ ∫ g − dµ < ∞. Alle forudsætninger for anvendelse af 

Sætning 2.5.1 på følgen (u n ) er dermed opfyldte. Vi finder således ganske som i beviset for 

Sætning 2.2.10, at 

∫ ( ) ∫ 

liminf f n dµ = lim 

n→∞ 

k→∞ 


∫ ( 

u k dµ = lim inf 

k→∞ 

n≥k f n 

(ii) Funktionerne −g,− f 1 ,− f 2 ,− f 3 ,... opfylder betingelserne: 

• − f n ≥ −g µ-n.o. for alle n i N. 

• ∫ (−g) − dµ = ∫ g + dµ < ∞. 

Ved anvendelse af (i) følger det derfor, at f n ∈ L(µ) for alle n, og at 

limsup 

n→∞ 

) 

f n = −liminf 

n→∞ (− f n) ∈ L(µ), 

og endelig at 

∫ ( 

∫ ( 

− limsup f n 

)dµ = − limsup f n 

)dµ = 

n→∞ 

n→∞ 

∫ 

≤ liminf (− f n )dµ = liminf 

n→∞ 

n→∞ 

∫ 

= −limsup f n dµ, 

n→∞ 

78 

∫ 

dµ ≤ liminf 

k→∞ 

f k dµ, 

∫ ( ) 

liminf (− f n) dµ 

n→∞ 

( 

− 

∫ 

) 

f n dµ

hvoraf det ønskede fremgår ved multiplikation med −1. 

Nedenstående hovedresultat er yderst anvendeligt, og det er dermed et af de vigtigste resultater 

om Lebesgue-integralet. 

 

2.5.3 Hovedsætning. (Domineret Konvergens) Lad f, f 1 , f 2 , f 3 ,... være funktioner fra M(E), 

og antag, at 

(a) f = lim n→∞ f n µ-n.o. 

Antag endvidere, at der findes en funktion g fra M(E) + , således at følgende to betingelser er 

opfyldte: 

(b) | f n | ≤ g µ-n.o. for alle n i N. 

(c) ∫ gdµ < ∞. 

Da gælder der, at f n ∈ L 1 (µ) for alle n, f ∈ L 1 (µ), og 

∫ 

∫ 

f dµ = lim n→∞ 

∫ 

f n dµ, ligesom lim n→∞ 

| f n − f |dµ = 0. 

Bevis. Da | f n | ≤ g µ-n.o. for alle n, og dermed også | f | = lim n→∞ | f n | ≤ g µ-n.o., følger det 

umiddelbart fra Korollar 2.4.7(iii), at f n ∈ L 1 (µ) for alle n, og at f ∈ L 1 (µ). 

Bemærk derpå, at 

∫ 

∣ 

∫ 

f n dµ − 

∫ 

∫ 

f dµ ∣ = ∣ ( f n − f)dµ ∣ ≤ | f n − f |dµ, 

ved anvendelse af (i), (ii) og (iv) i Sætning 2.4.5. Det er derfor nok at vise, at 

∫ 

| f n − f |dµ = 0. 

lim 

n→∞ 

Bemærk hertil, at | f n − f | ≤ | f n |+| f | ≤ 2g µ-n.o. for alle n. Ved anvendelse af Sætning 2.5.2(ii) 

finder vi derfor, at 

∫ 

∫ ( ) ∫ 

limsup 

n→∞ 

| f n − f |dµ ≤ limsup| f n − f | 

n→∞ 

dµ = 0dµ = 0, 


 

2.5.4 Bemærkninger. (1) En funktion g fra M(E) + , der opfylder betingelserne (b) og (c) 

i Hovedsætning 2.5.3, omtales ofte som en integrabel majorent for følgen ( f n ). Hovedsætningen 

omtales derfor ofte som Lebesgues Sætning om domineret konvergens eller 

Lebesgues majorentsætning eller blot domineret konvergens. 

(2) Konvergensudsagnene i Hovedsætning 2.5.3 gælder faktisk også, hvis man kun forudsætter, 

at f, f 1 , f 2 , f 3 ... er elementer i M(E) og ikke M(E). Argumentet er naturligvis, at betingelse 

(c) sikrer, at g < ∞ µ-n.o., og dermed at | f n | ≤ g < ∞ µ-n.o., ligesom | f | ≤ g < ∞ 

µ-n.o. Ved at indføre en passende µ-nulmængde som i beviset for Sætning 2.5.1 opnås 

79

konvergensudsagnene dermed også i den mere generelle situation. Dog skal man i forbindelse 

med udsagnet 

∫ 

lim | f n − f |dµ = 0, (2.17) 

n→∞ 

være opmærksom på, at differensen f n − f kan være udefineret i nogle punkter. Men 

da f n , f ∈ R µ-n.o., udgør disse punkter højst en µ-nulmængde, og de har derfor ingen 

betydning for værdien af integralet ∫ | f n − f |dµ, hvorfor (2.17) alligevel giver mening i 

den mere generelle situation. □ 

2.5.5 Eksempel. Lad µ være et mål på (R,B(R)), og lad f være en funktion i L 1 (µ). Da 


f 1 [−n,n] −→ f, og | f 1 [−n,n] | ≤ | f | for alle n. 

n→∞ 

Det følger derfor ved anvendelse af Sætning 2.5.3 (med g = | f |), at 

∫ ∫ 

f dµ = lim f 1 [−n,n] dµ. 

n→∞ 

I tilfældet, hvor µ er Lebesgue-målet λ, og f yderligere er kontinuert, kan man, som vi skal 

se i Afsnit 2.7, identificere ∫ f 1 [−n,n] dλ med Riemann-integralet R ∫ n 

−n f(x)dx. Dermed kan 

man altså analogt til Eksempel 2.2.6(B) bestemme ∫ f dλ som en grænseværdi af Riemannintegraler. 

⋄ 

2.6 Integration over delmængde 

Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad A være en ikke-tom mængde fra E. Vi skal i dette afsnit 

kort diskutere integraler over A med hensyn til µ både for funktioner, der er defineret på hele 

X, og for funktioner der kun er defineret på A. Vi minder om (jvf. Bemærkning 1.7.2(1)), at vi 

kan udstyre A med σ-algebraen 

E A = {A ∩ B | B ∈ E} = {B ∈ E | B ⊆ A}. 

For en funktion g: A → R skal vi endvidere betragte funktionen ˜g: X → R givet ved: 

{ 

g(x), hvis x ∈ A 

˜g(x) = 

0, hvis x ∈ A c . 

(2.18) 

Vi vil omtale ˜g som standard-udvidelsen af g. Det følger umiddelbart ved anvendelse af Sætning 

1.7.3, at ˜g ∈ M(E), hvis g ∈ M(E A ). 

2.6.1 Definition. (a) Lad f : X → R være en funktion i M(E), og antag, at f 1 A ∈ L(µ). Vi 

definerer da µ-integralet ∫ A f dµ af f over A ved formlen: 

∫ ∫ 

f dµ = f 1 A dµ. 

A 

Hvis værdien af integralet er et reelt tal, siges f at være µ-integrabel over A. 

X 

80

(b) Lad g: A → R være en funktion i M(E A ), og betragt funktionen ˜g givet ved (2.18). Hvis 

˜g ∈ L(µ), definerer vi µ-integralet ∫ A gdµ af g over A ved: 

∫ ∫ 

gdµ = ˜gdµ. 

A 

Hvis værdien af integralet er et reelt tal, siges g at være µ-integrabel over A. 

X 

2.6.2 Bemærkninger. (1) Lad A og B være disjunkte mængder fra E. For enhver funktion f 

fra L(µ) har vi da, at f 1 A∪B = f 1 A + f 1 B , og at 

∫ 

A∪B 

∫ 

f dµ = 

A 

∫ 

f dµ + f dµ. (2.19) 

B 

Dette følger umiddelbart fra Sætning 2.2.7(iii), hvis f ≥ 0, og fra Sætning 2.4.5(ii) hvis 

f ∈ L 1 (µ). For generelt f i L(µ) følger (2.19) f.eks. ved at splitte f som f + − f − , idet 

man kan være sikker på, at 

∫ 

A∪B 

∫ ∫ 

f + dµ, f + dµ, f + dµ < ∞, 

A B 

eller 

∫ 

A∪B 

hvorfor (2.19) kan opnås ved at subtrahere de to ligninger: 

∫ ∫ ∫ 

∫ ∫ 

f + dµ = f + dµ + f + dµ, og f − dµ = 

A 

B 

A∪B 

A∪B 

Som specialtilfælde af (2.19) har vi, at 

∫ 

f dµ = 

for enhver mængde A fra E. 

X 

∫ 

A 

∫ 

f dµ + f dµ, 

A c 

∫ ∫ 

f − dµ, f − dµ, f − dµ < ∞, 

A B 

A 

∫ 

f − dµ + f − dµ. 

B 

(2) For en funktion g fra M(E A ) kan det være bekvemt at skrive standard-udvidelsen ˜g på 

formen g · 1 A , idet vi naturligt opfatter sidstnævnte udtryk som 0 udenfor A, selvom udtrykket 

strengt taget kun giver mening indenfor A. Med denne konvention udtrykker Definition 

2.6.1(b) gyldigheden af formlen: 

∫ ∫ 

gdµ = g1 A dµ, 

A 

også for funktioner, der kun er defineret på A (jvf. Definition 2.6.1(a)). 

X 

□ 

2.6.3 Notation. Lad I være et interval i R, og lad a,b være tal fra I, således at a < b. Lad 

endvidere µ være et mål på det målelige rum (I,B(I)) (jvf. Afsnit 1.7), og lad f : I → R være 

81

en funktion fra L(µ). Vi benytter da notationen: 

∫ b 

a 

∫ ∞ 

a 

∫ b 

−∞ 

∫ 

f dµ = 

f dµ = 

f dµ = 

(a,b] 

∫ 

(a,∞) 

∫ 

(−∞,b] 

∫ 

f dµ = 

f dµ = 

I 

∫ 

f dµ = 

I 

∫ 

f 1 (a,b] dµ 

f 1 (a,∞) dµ, 

I 

hvis sup(I) = ∞ 

f 1 (−∞,b] dµ, hvis inf(I) = −∞. 

2.6.4 Bemærkninger. (1) Med den netop indførte notation gælder indskudsreglen: 

∫ c 

a 

f dµ = 

∫ b 

a 

∫ c 

f dµ + f dµ 

b 

for alle f fra L(µ) og alle reelle tal a,b,c fra I, således at a 

over [min{a,b,c},max{a,b,c}], gælder formlen faktisk også uanset det indbyrdes 

størrelsesforhold mellem a, b og c, hvis man benytter konventionen: 

∫ b 

a 

∫ a 

f dµ = − f dµ. 

b 

(2) I situationen fra Notation 2.6.3 gælder der f.eks., at 

∫ ∫ 

f dµ = f dµ, 

[a,b] 

(a,b] 

hvis µ({a}) = 0. Vi har nemlig (jvf. Bemærkning 2.6.2), at 

∫ 

[a,b] 

∫ 

f dµ = 

{a} 

∫ 

f dµ + f dµ, 

(a,b] 

hvor ∫ {a} f dµ = 0 ifølge Sætning 2.3.6(ii) (anvendt på f + og f − ). 

□ 

Betragt igen målrummet (X,E, µ), en ikke-tom mængde A fra E samt det målelige rum (A,E A ). 

Det følger umiddelbart, at der ved definitionen 

µ r A (B) := µ(B), (B ∈ E A) 

fastlægges et mål µ 

A r på E A. Vi omtaler µ 

A r som restriktionen af µ til A. Som alternativ til 

Definition 2.6.1(b) kunne man for en funktion g fra M(E A ) vælge at definere µ-integralet over 

A som integralet af g mht. målet µ 

A r (når dette integral eksisterer). Det viser sig heldigvis (og 

ikke overraskende), at denne tilgang giver samme resultat som Definition 2.6.1(b). 

82

2.6.5 Sætning. Lad g: A → R være en funktion fra M(E A ), og betragt standard-udvidelsen 

˜g: X → R givet ved (2.18). Så gælder der, at 

g ∈ L(µ A r ) ⇐⇒ ˜g ∈ L(µ), 

og i bekræftende fald gælder der videre, at 

∫ ∫ 

gdµ A r = 

A 

X 

∫ 

˜gdµ = 

A 

gdµ. 

Bevis. Vi viser først, at afbildningen E A : M(E A ) + → [0,∞] givet ved 

∫ 

E A (g) = ˜gdµ, (g ∈ M(E A ) + ) 

opfylder betingelserne (i1)-(i3) i Hovedsætning 2.2.11 for µ r A -integralet: 

X 

(i1) Lad B være en mængde fra E A , dvs. B ⊆ A og B ∈ E. Så gælder der 12 , at 1˜ 

B = 1 B , og det 

følger, at 

∫ 

E A (1 B ) = 1 B dµ = µ(B) = µ A r (B). 

X 

(i2) For to funktioner f,g fra M(E A ) + bemærker vi først, at ( f + g) ∼ = ˜f + ˜g, og det følger 

derfor vha. Sætning 2.2.7(iii), at 

∫ 

∫ ∫ ∫ 

E A ( f + g) = ( f + g) ∼ dµ = ˜f + ˜gdµ = ˜f dµ + ˜gdµ = E A ( f)+E A (g). 

X 

X 

X X 

(i3) Lad (g n ) være en voksende følge af funktioner fra M(E A ) + , og sæt g = lim n→∞ g n . Vi 

bemærker så, at ˜g n ↑ ˜g for n → ∞, og ved anvendelse af Hovedsætning 2.2.4 følger det 

derfor, at 

∫ 

E A (g) = 

X 

˜gdµ = lim 

n→∞ 

∫X 

Det følger nu fra Hovedsætning 2.2.11, at 

∫ 

gdµ A r = E A(g) = 

A 

∫ 

X 

˜g n dµ = lim 

n→∞ 

E A (g n ). 

∫ 

˜gdµ = 

for alle funktioner g i M(E) + . For en vilkårlig funktion g fra M(E A ) bemærker vi dernæst, at 

(g ± ) ∼ = ( ˜g) ± , og derfor følger det umiddelbart, at 

(∫ ) (∫ ) 

g ∈ L(µ A r ) ⇐⇒ g + dµ A 

r ∧ g − dµ A 

r < ∞ 

X. 

⇐⇒ 

A 

(∫ 

X 

) 

( ˜g) + dµ ∧ 

A 

(∫ 

X 

A 

gdµ 

) 

( ˜g) − dµ < ∞ ⇐⇒ ˜g ∈ L(µ), 

12 På venstresiden opfattes 1 B som en funktion defineret på A, og på højresiden som en funktion defineret på hele 

83

og i bekræftende fald gælder der, at 

∫ ∫ ∫ ∫ 

gdµ A r = g + dµ A r − g − dµ A r = 

A 


A 

A 

 

X 

∫ ∫ ∫ 

( ˜g) + dµ − ( ˜g) − dµ = ˜gdµ = gdµ. 

X 

X A 

2.7 Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet 

Vi starter med kort at minde om konstruktionen af Riemann-integralet: Lad a og b være reelle 

tal, således at a < b. En inddeling af [a,b] er en endelig delmængde π = {t 0 ,t 1 ,...,t n } af [a,b], 

således at 

a = t 0 < t 1 < ··· < t n = b. 

Med Π([a,b]) betegner vi systemet af alle inddelinger af [a,b]. Betragt nu yderligere en funktion 

f : [a,b] → R. For en inddeling π = {t 0 ,t 1 ,...,t n } af [a,b] defineres den tilsvarende Riemannundersum 

R( f,π) og Riemann-oversum R( f,π) ved formlerne 

hvor 

R( f,π) = 

n 

∑ 

i=1 

m i (t i −t i−1 ), og R( f,π) = 

m i = inf f(t), og M i = sup 

t∈[t i−1 ,t i ] 

n 

∑ 

i=1 

t∈[t i−1 ,t i ] 

M i (t i −t i−1 ), 

f(t). 

2.7.1 Definition. En funktion f : [a,b] → R siges at være Riemann-integrabel over [a,b], hvis 

−∞ < 

sup R( f,π) = inf R( f,π) < ∞. 

π∈Π([a,b]) 

π∈Π([a,b]) 

I bekræftende fald defineres Riemann-integralet R ∫ b 

a f(x)dx af f over [a,b] ved 

∫ b 

R f(x)dx = sup R( f,π) = inf R( f,π). 

a 

π∈Π([a,b]) 

π∈Π([a,b]) 

2.7.2 Bemærkninger. (1) Hvis f : [a,b] → R er en kontinuert funktion, gælder der som bekendt, 

at f er Riemann-integrabel over [a,b], og at 

R 

∫ b 

hvor F er en (vilkårlig) stamfunktion til f . 

a 

f(x)dx = F(b) − F(a), 

(2) Hvis f : [a,b] → R er Riemann-integrabel over [a,b], så er f nødvendigvis begrænset. Vi 

kan nemlig vælge en inddeling π = {t 0 ,t 1 ,...,t n } af [a,b], således at 

−∞ < R( f,π) = 

84 

n 

∑ 

i=1 

m i (t i −t i−1 ),

og dette medfører, at 


−∞ < m i = 

inf 

t∈[t i−1 ,t i ] 

f(t) for alle i fra {1,2,...,n}, 

inf f(t) = min m i > −∞, 

t∈[a,b] i=1,...,n 

således at f er nedadtil begrænset. Tilsvarende ses, at f er opadtil begrænset ved at betragte 

Riemann-oversummer. □ 

2.7.3 Sætning. Lad a og b være reelle tal, således at a < b, og lad f : [a,b] → R være en 

B([a,b])–B(R)-målelig funktion. Hvis f er Riemann-integrabel over [a,b], da er f også element 

i L 1 (λ[a,b] r ), og 

∫ b ∫ b 

f dλ = R f(x)dx. 

a 

a 

Bevis. Antag, at f : [a,b] → R er Riemann-integrabel. Ifølge Bemærkning 2.7.2(2) er f dermed 

begrænset, og vi sætter 

S = sup | f(t)| < ∞. 

t∈[a,b] 

Betragt endvidere standard-udvidelsen af f : 

{ 

f(t), hvis t ∈ [a,b] 

˜f(t) = 

0, hvis t ∈ R \[a,b], 

og bemærk, at | ˜f | ≤ S1 [a,b] . Det følger så (jvf. Sætning 2.6.5), at 

∫ 

∫ ∫ 

| f |dλ[a,b] r = | ˜f |dλ ≤ S1 [a,b] dλ = Sλ([a,b]) = S(b − a) < ∞, 

[a,b] 

hvilket viser, at f ∈ L 1 (λ r 

[a,b] ). Betragt derpå en vilkårlig inddeling π = {t 0,t 1 ,...,t n } af [a,b], 

og bemærk, at udenfor λ-nulmængden {b} gælder vurderingen: 

hvor som ovenfor 

n 

∑ 

i=1 

m i 1 [ti−1 ,t i ) ≤ ˜f ≤ 

n 

∑ 

i=1 

M i 1 [ti−1 ,t i ), 

m i = inf f(t), og M i = sup 

t∈[t i−1 ,t i ] 

t∈[t i−1 ,t i ] 

f(t). 

Ved anvendelse af (i)-(iii) i Sætning 2.4.5 følger det så, at 

n 

∫ ( n ) ∫ 

R(π, f) = ∑ m i (t i −t i−1 ) = ∑ m i 1 [ti−1 ,t i ) dλ ≤ ˜f dλ 

i=1 

i=1 

∫ ( n ) n 

≤ ∑ M i 1 [ti−1 ,t i ) dλ = M i (t i −t i−1 ) = R(π, f). 

i=1 

85 

∑ 

i=1

Idet ∫ ˜f dλ = ∫ b 

a f dλ (jvf. Definition 2.6.1), har vi altså for enhver inddeling π af [a,b], at 

og derfor også at 

R(π, f) ≤ 

Da f er Riemann-integrabel ved vi, at 

∫ b 

a 

f dλ ≤ R(π, f), 

∫ b 

sup R(π, f) ≤ 

π∈Π([a,b]) 

a 

f dλ ≤ inf R(π, f). 

π∈Π([a,b]) 

(2.20) 

∫ b 

sup R(π, f) = inf R(π, f) = R f(x)dx, 

π∈Π([a,b]) 

π∈Π([a,b]) a 

og sammenholdes dette med (2.20), fremgår det ønskede umiddelbart. 

 

2.7.4 Bemærkninger. (1) Hvis f : [a,b] → R er en funktion i L(λ[a,b] r ), skriver man som en 

konsekvens af ovenstående sætning ofte ∫ b 

a f(x)dx i stedet for ∫ b 

a f dλ. 

(2) Hvis f : [a,b] → R er kontinuert på [a,b], så medfører ovenstående sætning, at integralet 

over [a,b] med hensyn til λ kan udregnes ved hjælp af stamfunktionsbestemmelse: 

∫ b 

hvor F er en stamfunktion til f . 

a 

∫ b 

f dλ = R f(x)dx = F(b) − F(a), 

a 

□ 

2.7.5 Eksempler. (A) Lad os som et konkret eksempel benytte resultaterne ovenfor til at udregne 

integralet ∫ [0,∞) xe−x λ(dx). Vi bemærker først, at 

xe −x 1 [0,∞) (x) = lim 

n→∞ 

xe −x 1 [0,n] (x) for alle x i R, 

og at xe −x 1 [0,n] (x) er ikke-negativ og voksende i n. Ved anvendelse af Hovedsætning 2.2.4 

og Sætning 2.7.3 følger det derfor, at 

∫ ∞ ∫ 

xe −x λ(dx) = xe −x 1 [0,∞) (x)λ(dx) 

0 

∫ 

= lim 

n→∞ 

For fast n i N finder vi dernæst ved partiel integration, at 

∫ n 

R xe −x dx = [ − xe −x] n 

0 

0 + R ∫ n 

0 

∫ n 

xe −x 1 [0,n] (x)λ(dx) = lim R xe −x dx. 

n→∞ 0 

(2.21) 

e −x dx = −ne −n + [ − e −x] n 

0 = −(n+1)e−n + 1. 

Sammenholdes dette med (2.21), kan vi konkludere, at 

∫ ∞ 

xe −x ( 

λ(dx) = lim −(n+1)e −n + 1 ) = 1. 

n→∞ 

0 

86

(B) Funktionen D = 1 Q∩[0,1] omtales ofte som Dirichlets funktion. Der gælder oplagt, at D ∈ 

L 1 (λ), og at ∫ 1 

0 D(x)λ(dx) = λ(Q ∩[0,1]) = 0. Men D er ikke Riemann-integrabel over 

[0,1]! For en vilkårlig inddeling π = {t 0 ,t 1 ,...,t n } af [0,1], gælder der nemlig, at 

m i = inf D(t) = 0, og M i = sup 

t∈[t i−1 ,t i ] 

t∈[t i−1 ,t i ] 

D(t) = 1, 

eftersom både Q og R \Q er tætte i R. Det følger derfor umiddelbart, at R(D,π) = 0, og 

at R(D,π) = 1 for enhver inddeling π af [0,1], og dermed gælder der også, at 

sup R(D,π) = 0 < 1 = inf R(D,π). 

π∈Π([0,1]) 

π∈Π([0,1]) 

Da Q∩[0,1] er en tællelig mængde, kan vi skrive den på formen: Q∩[0,1] = {x n | n ∈ N}. 

For hvert n i N kan vi da betragte funktionen f n : [0,1] → R givet ved: 

f n (x) = 

n 

∑ 1 {x j }(x), (x ∈ [0,1]). 

j=1 

Det følger da umiddelbart, at f n ↑ D for n → ∞. Endvidere er det ikke svært at indse, at 

for hvert n er f n Riemann-integrabel, og R ∫ 1 

0 f n (x)dx = 0. Men da D ikke er Riemannintegrabel, 

overføres denne egenskab altså ikke fra f n ’erne til D ved grænseovergangen 

n → ∞, og det giver ikke mening at skrive: 

∫ 1 ∫ 1 

lim R f n (x)dx = R D(x)dx. (2.22) 

n→∞ 0 

0 

Erstatter vi imidlertid ovenstående Riemann-integraler med de tilsvarende integraler mht. 

Lebesgue-målet λ, da bliver (2.22) meningsfuld og korrekt i overensstemmelse med bl.a. 

Hovedsætningerne 2.5.3 og 2.2.4. 

2.7.6 Bemærkning. Lad os som afslutning på dette afsnit notere, at en funktion, der er Riemannintegrabel, 

ikke kan være “alt for diskontinuert”. Mere præcist gælder der (se f.eks. [Sc, Theorem 

11.8]), at en begrænset funktion f : [a,b] → R er Riemann-integrabel, hvis og kun hvis 

mængden af diskontinuitetspunkter for f udgør en λ-nulmængde (jvf. Eksempel 2.7.5(B)). Specielt 

vil enhver begrænset funktion med kun tælleligt mange diskontinuitetspunkter altså være 

Riemann-integrabel (jvf. Eksempel 2.3.3). □ 


2.8.1 Opgave. Vis udsagnene (i) og (ii) i Sætning 2.1.3. 

2.8.2 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum. 

(a) Lad s være en funktion fra SM(E) + skrevet på formen 

s = 

87 

n 

∑ a j 1 A j 

, (2.23) 

j=1

hvor a 1 ,...,a n ≥ 0, og A 1 ,...,A n ∈ E. Vis da, at 

∫ 

n 

sdµ = ∑ a j µ(A j ), 

j=1 

uanset om (2.23) er en standard-repræsentation eller ej (jvf. Definition 2.1.2). 

(b) Lad (A n ) være en følge af disjunkte mængder fra E, lad (a n ) være en følge af tal fra [0,∞), 

og betragt funktionen s: X → [0,∞) givet ved 

Vis da, at s ∈ M(E) + , og at 

s n (x) = 

∫ 

∞ 

∑ a j 1 A j 

(x), 

j=1 

sdµ = 

∞ 

∑ a j µ(A j ). 

j=1 

(x ∈ X). 

Gælder ovenstående også, hvis A j ’erne ikke er disjunkte? 

(c) Betragt funktionen s: R → [0,∞) givet ved udtrykket: 

{ 

n −2 , hvis x ∈ (n − 1,n], og n ∈ N, 

s(x) = 

0, hvis x ∈ (−∞,0]. 

Vis da, at s ∈ M(B(R)) + , og udregn derefter integralet ∫ sdλ. 

2.8.3 Opgave. Lad X være en ikke-tom mængde, lad a være et udvalgt element i X, og betragt 

målrummet (X,P(X),δ a ) (jvf. Eksempel 1.3.3(C)). Vis da, at 

∫ 

f dδ a = f(a) for alle funktioner f : X → [0,∞]. 

[Vink: Benyt en passende udgave af “standard-beviset” (jvf. Opgave 1.9.30). Alternativt kan 

man benytte Hovedsætning 2.2.11]. 

2.8.4 Opgave. Lad (α n ) være en følge af tal fra [0,∞), og betragt da målrummet (N,P(N), µ), 

hvor µ er målet givet ved: 

∞ 

µ = ∑ α n δ n 

n=1 

(jvf. Opgave 1.9.14). Vis da, at der for enhver funktion f : N → [0,∞] gælder, at 

∫ 

∞ 

f dµ = ∑ α n f(n). 

n=1 

2.8.5 Opgave. (a) Lad f : R → [0,∞) være en funktion fra M(B(R)) + , og antag, at f er 

kontinuert på (0,∞). Vis da, at 

∫ 

∫ n 

f 1 [1,∞) dλ = lim R 

n→∞ 1 

f(x)dx, 


∫ 

∫ 1 

f 1 (0,1] dλ = lim R f(x)dx. 

n→∞ 1/n 

88

(b) Betragt funktionen f : R → [0,∞) givet ved 

{ 

x −2 , hvis x ∈ (0,∞) 

f(x) = 

0, hvis x ∈ (−∞,0]. 

Vis, at f ∈ M(B(R)) + , og udregn derefter integralerne ∫ f 1 [1,∞) dλ og ∫ f 1 (0,1] dλ ved 

at benytte sammenhængen mellem Lebesgue integraler og Riemann integraler (jvf. Bemærkning 

2.2.6(B)). 

2.8.6 Opgave. Udregn for hvert α i R værdierne af integralerne ∫ 1 

0 x α λ(dx) og ∫ ∞ 

1 x α λ(dx). 

[Vink: Benyt Opgave 2.8.5.] 

2.8.7 Opgave. Betragt funktionerne f 1 , f 2 , f 3 : R → [0,∞) givet ved: 

f 1 (x) = x 2 , f 2 (x) = 1 

1+x 2, f 3(x) = e −|x| , 

for alle x i R. Udregn da integralet ∫ f j dλ for hvert j fra {1,2,3}. 

[Vink: Benyt Bemærkning 2.2.6(B)] 

2.8.8 Opgave. Fatous Lemma er, som det fremgår af dets bevis, en konsekvens af Lebesgues 

Sætning om Monoton Konvergens (kort: Monoton Konvergens). Giv omvendt et bevis for Monoton 

Konvergens baseret på Fatous Lemma (dvs. antag, at vi ved, at Fatous Lemma gælder). 

Giv tilsvarende et bevis for Monoton Konvergens baseret på Sætning 2.2.9. 

2.8.9 Opgave. Betragt målrummet (R,B(R),λ). 

(a) Vis, at enhver tællelig delmængde af R er en (målelig) λ-nulmængde. 

Vi minder om, at en delmængde T af R d siges at være tæt i R d , hvis b(x,r) ∩ T ≠ /0 for alle x i 

R d og alle r i (0,∞). 

(b) Vis, at der for enhver delmængde N af R gælder implikationen: 

Gælder den modsatte implikation? 

N er en λ-nulmængde =⇒ R \ N er tæt i R. 

(c) Vis, at hvis f,g: R → R er to kontinuerte funktioner, så gælder der, at 

f = g λ-n.o. ⇐⇒ f(x) = g(x) for alle x i R. 

(d) Vis, at der ikke findes en kontinuert funktion f : R → R, således at f = 1 (0,∞) λ-n.o. 

2.8.10 Opgave. Betragt målrummet (N,P(N),τ), hvor τ er tællemålet. 

(a) Bestem systemet N τ af τ-nulmængder. 

(b) Beskriv mængderne L(τ) og L 1 (τ). 

89

(c) Vis, at der for enhver funktion f fra L 1 (τ) gælder, at 

∫ 

N 

f(n)τ(dn) = 

∞ 

∑ f(n). 

n=1 

(d) Vis, at hvis f ∈ L(τ), så eksisterer grænseværdien lim N→∞ ∑ N n=1 f(n) i [−∞,∞], og der 

gælder, at 

∫ 

f(n)τ(dn) = lim f(n). 

N 

N 

∑ 

N→∞ 

n=1 

(e) Formulér Lebesgues sætninger om monoton og domineret konvergens (Hovedsætningerne 

2.2.4 og 2.5.3) for målrummet (N,P(N),τ) som resultater om rækker af hhv. ikkenegative 

og reelle tal. 

2.8.11 Opgave. Betragt målrummet (R,B(R),λ). 

(a) Betragt desuden følgen ( f n ) af funktioner givet ved: 

f n = n1 (0,1/n] , 

(n ∈ N). 

Bestem da lim n→∞ f n (x) for alle x i R og lim n→∞ 

∫ 

fn dλ. Sammenhold med Hovedsætningerne 

2.2.4 og 2.5.3. 

(b) Lad g: R → R være en kontinuert funktion, og betragt følgen (g n ) af funktioner givet 

ved: 

g n (x) = g(x n )1 [0,1] (x), (x ∈ R, n ∈ N). 

Bestem lim n→∞ g n (x) for alle x i R og lim n→∞ 

∫ 

gn dλ. [Vink: Benyt, at g er begrænset på 

[0,1] samt Hovedsætning 2.5.3.] 

2.8.12 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad f,g,h være funktioner fra M(E). 

(a) Antag, at f,h ∈ L 1 (µ), og at f ≤ g ≤ h µ-n.o. Vis da, at g ∈ L 1 (µ). 

(b) Antag, at µ er et endeligt mål, og at der findes reelle konstanter a,b, således at a ≤ g(x) ≤ 

b for µ-næsten alle x i X. Vis da, at g ∈ L 1 (µ), og at 

∫ 

aµ(X) ≤ g(x) µ(dx) ≤ bµ(X). 

X 

(c) Antag, at h ∈ L 1 (µ), og at der findes en positiv konstant K, således at | f | ≤ K µ-n.o. Vis 

da, at produktet f h igen ligger i L 1 (µ). 

(d) Antag at f,h ∈ L 1 (µ). Undersøg om det generelt kan sluttes, at også f h ∈ L 1 (µ). 

2.8.13 Opgave. Bevis at 

[Vink: Vis og benyt, at 

∫ 1 

0 

n √ x 

1+n 2 λ(dx) −→ 0, for n → ∞. 

x2 n √ x 

≤ 1 

1+n 2 x 2 2 √ for alle x i (0,1] samt Opgave 2.8.6.] 

x 

90

2.8.14 Opgave. Betragt funktionen f : R → R givet ved: 

⎧ 

⎪⎨ ln(x), hvis x > 0. 

f(x) = 0, hvis x = 0. 

⎪⎩ 

ln(−x), hvis x < 0. 

(a) Vis, at f /∈ L 1 (λ). 

(b) Vis, at f 1 [−2,2] ∈ L 1 (λ), og bestem derefter værdien af integralet ∫ 2 

−2 f(x)λ(dx). 

2.8.15 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum, og antag, at µ(X) < ∞. Lad endvidere ( f n ) være 

en følge af funktioner fra L 1 (µ), og antag, at der findes en funktion f : X → R, således at 

f n → f uniformt på X for n → ∞. 

(a) Vis, at f ∈ L 1 (µ), og at ∫ f dµ = lim n→∞ 

∫ 

fn dµ. 

(b) Gælder (a) også uden antagelsen om, at µ(X) < ∞? 

2.8.16 Opgave. Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad µ 1 , µ 2 : E → [0,∞] være to mål herpå. 

Det følger specielt af Opgave 1.9.14, at der ved formlen: 

defineres et nyt mål ν på (X,E). 

ν(A) = µ 1 (A)+µ 2 (A), (A ∈ E) 

(a) Vis, at der for enhver funktion f fra M(E) + gælder, at 

∫ ∫ ∫ 

f dν = f dµ 1 + f dµ 2 . (2.24) 

(b) Vis, at (2.24) også gælder for alle f i L(ν). 

(c) Vis, at L 1 (ν) = L 1 (µ 1 ) ∩L 1 (µ 2 ). 

(d) Undersøg, om der generelt gælder, at L(µ) = L(µ 1 ) ∩L(µ 2 ). 

2.8.17 Opgave. Lad µ være et mål på (R,B(R)), og lad f være en funktion fra L 1 (µ). 

(a) Vis, at der ved udtrykket 

F(x) = 

∫ x 

−∞ 

f(t) µ(dt), (x ∈ R) 

defineres en funktion, som er højrekontinuert i ethvert x i R. 

(b) Vis, at for ethvert x i R eksisterer grænseværdien fra venstre lim y↑x F(y) i R. Undersøg 

endvidere, hvornår F er kontinuert i x. 

2.8.18 Opgave. Lad (X,E, µ) være et målrum, lad I være et interval i R, og lad f : X × I → R 

være en funktion. For faste x i X og t i R betragter vi snitfunktionerne f x : I → R og f t : X → R 


f x (s) = f(x,s), (s ∈ I), 

91


f t (y) = f(y,t), 

(y ∈ X). 

Vi antager, at f t ∈ L 1 (µ) for alle t i I, og vi kan da betragte funktionen F : I → R givet ved 

∫ 

F(t) = 

X 

∫ 

f t (x) µ(dx) = 

X 

f(x,t) µ(dx), 

(t ∈ I). 

Antag yderligere, at alle snitfunktionerne f x er kontinuerte i et punkt t 0 fra I, og at der findes en 

funktion g fra M(E) + , således at 

∀x ∈ X ∀t ∈ I : | f(x,t)| ≤ g(x), 

Vis da, at F ligeledes er kontinuert i t 0 . 


∫ 

X 

g(x) µ(dx) < ∞. 

2.8.19 Opgave. Betragt en kontinuert funktion f : R → R, og definér for ethvert n i N funktionen 

∆ n f : R → R ved 

∆ n f(x) = n( f(x+ 1 n ) − f(x)), 

(x ∈ R). 

(a) Vis, at hvis a,b ∈ R, og a < b, så gælder der, at 

∫ b 

lim ∆ n f(x)λ(dx) = f(b) − f(a). 

n→∞ a 

(b) Antag, at f er differentiabel på hele R, og at den afledede f ′ er begrænset på ethvert 

begrænset interval. Vis da, at 

∫ b 

f(b) = f(a)+ f ′ (t)λ(dt) 

a 

for alle a,b i R, således at a < b. [Vink: Benyt (a), Middelværdisætningen samt Lebesgues 

Sætning om Domineret Konvergens]. 

2.8.20 Opgave. (Differentiation under integraltegnet) Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad 

I være et åbent interval i R. Lad endvidere f : X × I → R være en funktion, og betragt for 

fastholdte t i I og x i X snitfunktionerne 

f t (y) = f(y,t) (y ∈ X) 


f x (s) = f(x,s), 

(s ∈ I). 

Vi antager, at f t ∈ L 1 (µ) for alle t i I og kan dermed betragte funktionen F : I → R givet ved 

Vi antager yderligere, at 

∫ 

F(t) = 

X 

∫ 

f t (x) µ(dx) = 

X 

f(x,t) µ(dx), (t ∈ I). 

92

• For hvert fast x i X er snitfuntionen f x : I → R differentiabel i I, dvs. for hvert t i I 

eksisterer den partielle afledede 

f ′ x (t) = ∂ ∂t f(t,x). 

• Der findes en funktion g i M(E) + , således at 

∫ 

∂ 

gdµ < ∞, og f(t,x) ≤ g(x) for alle x i X og alle t i I. 

∂t 

X 

Opgaven går ud på at vise, at F er differentiabel i I samt at bestemme differential-kvotienten. 

Lad således t være en punkt fra I, og lad (t n ) være en følge af punkter fra I \ {t}, således at 

t n → t for n → ∞. 

(a) Vis, at 

F(t n ) − F(t) 

t n −t 

∫ 

= 

X 

f(x,t n ) − f(x,t) 

t n −t 

µ(dx), for alle n i N. 

(b) Vis, at for ethvert n i N og ethvert x i X findes et punkt ξ n,x mellem t n og t, således at 

og udled, at 

f(x,t n ) − f(x,t) 

t n −t 

= ∂ ∂t f(x,ξ n,x), 

∣ f(x,t n) − f(x,t) 

∣ ≤ g(x) for alle n i N og alle x i X. 

t n −t 

(c) Vis, at funktionen x ↦→ ∂ ∂t f(x,t) er et element i L1 (µ), og at 

∫ 

F(t n ) − F(t) ∂ 

−→ f(x,t) µ(dx). 

t n −t n→∞ ∂t 

(d) Konkludér, at F er differentiabel i I med afledet 

∫ 

F ′ ∂ 

(t) = f(x,t) µ(dx), 

∂t 

(e) Vis, at der ved udtrykket 

F(t) = 

∫ ∞ 

0 

X 

X 

cos(t 2 x)e −x λ(dx), 

(t ∈ I). 

(t ∈ R), 

fastlægges en veldefineret funktion F : R → R, som er differentiabel i R. Bestem endvidere 

den afledede. 

2.8.21 Opgave. Lad µ være et sandsynlighedsmål på (R,B(R)). 

(a) Vis, at der ved ligningen 

∫ 

G(t) = 

defineres en kontinuert funktion G: R → R. 

R 

cos(xt) µ(dx), (t ∈ R) 

(b) Antag, at ∫ R x2 µ(dx) < ∞. Vis da, at G er to gange kontinuert differentiabel, og bestem 

G ′ (0) samt G ′′ (0). 

93

3 Entydighed af mål 

Lad X være en ikke-tom mængde. I de foregående kapitler har vi studeret mange aspekter 

af klassen af σ-algebraer i X. I Afsnit 3.1 nedenfor skal vi introducere en bredere klasse af 

systemer af delmængder af X, nemlig de såkaldte δ-systemer (hvor δ’et står for J. Dynkin). 

Ofte står man i den situation, at man ønsker at påvise en bestemt egenskab P for alle mængder i 

σ(D), hvor D er et passende system af delmængder af X, og hvor man ved, at P er gyldig for alle 

mængder i D. Som bekendt (jvf. Sætning 1.1.11) er man færdig, hvis man kan vise, at systemet 

E(P) af alle delmængder af X, der besidder P, udgør en σ-algebra, men dette kan være yderst 

vanskeligt (eller forkert). I en række sammenhænge viser det sig imidlertid væsentligt nemmere 

at påvise, at E(P) er et δ-system, og man har så brug for at vide, hvornår et δ-system, der 

indeholder D, også vil indeholde σ(D). Svaret på sidstnævnte spørgsmål leveres af Dynkins 

Lemma (Sætning 3.1.7 nedenfor). Præmie-eksemplet på anvendelse af den ovennævnte strategi 

præsenteres i Afsnit 3.2, hvor vi skal etablere entydighedssætninger for mål, men vi skal også 

i senere afsnit gøre brug af metoden. Entydighedssætningerne for mål udtaler sig om, hvornår 

man for to mål µ og ν på et måleligt rum (X,E) kan slutte, at µ = ν, hvis man ved, at µ og ν 

stemmer overens på et frembringersystem for E. 

3.1 δ-systemer og Dynkins Lemma 

I dette afsnit betragtes en fast ikke-tom mængde X. Som nævnt ovenfor skal vi i det følgende 

indføre og studere en mere generel type af systemer af delmængder af X end σ-algebraer nemlig 

de såkaldte δ-systemer (eller Dynkin-systemer). 

3.1.1 Definition. Et system D af delmængder af X siges at udgøre et δ-system i X, hvis det 

opfylder følgende betingelser: 

(δ1) X ∈ D. 

(δ2) B \ A ∈ D, hvis A,B ∈ D og A ⊆ B [D er \-stabilt]. 

(δ3) Hvis (A n ) n∈N er en voksende følge af mængder fra D, så gælder der også, at ⋃ n∈N A n ∈ D 

[D er ↑-stabilt]. 

3.1.2 Bemærkninger. (1) Det følger umiddelbart fra Definition 1.1.1 og Lemma 1.1.3, at 

enhver σ-algebra i X specielt er et δ-system i X. 

(2) Antag, at D er et δ-system i X. Så gælder der også, at 

(2a) A c = X \ A ∈ D for alle A fra D pga. (δ1) og (δ2). 

(2b) ⋂ n∈N A n ∈ D for enhver dalende følge (A n ) af mængder fra D, idet 

⋂ 

n∈N 

A n = ( ⋃ 

n∈N 

A c n) c, 

hvor (A c n ) n∈N er en voksende følge af mængder fra D. 

□ 

94

Ganske som for σ-algebraer har vi følgende resultat. 

3.1.3 Sætning. (i) For en vilkårlig familie (D i ) i∈I af δ-systemer i X er systemet 

igen et δ-system i X. 

⋂ 

D i = {A ⊆ X | A ∈ D i for alle i ∈ I} 

i∈I 

(ii) For ethvert system S af delmængder af X findes et mindste δ-system δ(S) i X, som 

indeholder S, nemlig 

⋂ 

δ(S) = D. 

D δ -system i X 

S⊆D 

Bevis. Præcis som for σ-algebraer (jvf. Sætningerne 1.1.6 og 1.1.7). 

 

3.1.4 Bemærkning. (1) Lad D være et δ-system i X, og lad S,S 1 ,S 2 være vilkårlige systemer 

af delmængder af X. Ganske som for σ-algebraer (jvf. Bemærkning 1.1.9(1)) har vi 

da implikationerne: 

S ⊆ D =⇒ δ(S) ⊆ D. 

S 1 ⊆ S 2 =⇒ δ(S 1 ) ⊆ δ(S 2 ). 

(2) I situationen fra Sætning 3.1.3 kunne man fristes til at omtale D som et δ-frembringersystem 

for δ(S). For at undgå mulig forvirring vil vi dog undlade at benytte den terminologi, således 

at vi kan forbeholde ordet “frembringersystem” til σ-algebraer. □ 

Som nævnt er enhver σ-algebra specielt et δ-system. Det omvendte udsagn er ikke korrekt (et 

modeksempel gives i Opgave 3.3.1), hvilket, som Lemma 3.1.6 nedenfor viser, skyldes, at et 

δ-system ikke nødvendigvis er ∩-stabilt. 

3.1.5 Notation & Terminologi. Et system S af delmængder af X siges at være fællesmængde 

stabilt (kort: ∩-stabilt), hvis 

A ∩ B ∈ S for alle A,B fra S. 

Hvis S er et ∩-stabilt system af delmængder af X, følger det umiddelbart ved iteration, at 

⋂ nj=1 

A j ∈ S for alle n i N og alle mængder A 1 ,...,A n fra S. Egenskaben kan dog ikke generelt 

udvides til uendelige følger af mængder fra S. 

3.1.6 Lemma. Lad D være et system af delmængder af X. Da er følgende betingelser ækvivalente: 

95

(a) D er en σ-algebra. 

(b) D er et ∩-stabilt δ-system. 

Bevis. Som nævnt er det oplagt, at (a) medfører (b). For at vise den modsatte implikation antager 

vi, at D er et ∩-stabilt δ-system, og vi viser så, at D opfylder betingelserne (σ1)-(σ3) i 

Definition 1.1.1. Her er (σ1) identisk med (δ1), og (σ2) følger af (δ1) og (δ2) (jvf. Bemærkning 

3.1.2(2)). For endelig at påvise (σ3) antager vi, at (A n ) er en vilkårlig følge af mængder 

fra D, og vi definerer så en ny følge (B n ) af mængder ved: 

B n = n ⋃ 

j=1 

A j , 

(n ∈ N). 

Da gælder der oplagt, at B 1 ⊆ B 2 ⊆ B 3 ⊆ ···, så hvis vi kan vise, at B n ∈ D for alle n, vil (δ3) 

sikre, at 

⋃ 

A n = ⋃ B n ∈ D. 

n∈N 

j=1 

n∈N 

Bemærk hertil, at 

B c n = ( n⋃ ) c n⋂ 

A j = A c n ∈ D, 

da D er ∩-stabilt, og da A c n ∈ D for alle n. Men så følger det også, at B n = (B c n) c ∈ D. 

j=1 

 

3.1.7 Sætning. (Dynkins Lemma) . Antag, at S er et ∩-stabilt system af delmængder af X. Så 


δ(S) = σ(S). 

Bevis. Da σ(S) er et δ-system, som indeholder S, gælder der oplagt, at δ(S) ⊆ σ(S). For at 

vise den modsatte inklusion er det tilsvarende nok at vise, at δ(S) er en σ-algebra, hvilket 

ifølge Lemma 3.1.6 kommer ud på at vise, at δ(S) er ∩-stabilt. For en vilkårlig mængde A fra 

δ(S) betragter vi hertil systemet 

Bemærk, at vi er færdige, hvis vi kan vise, at 

D A = {B ∈ δ(S) | A ∩ B ∈ δ(S)}. 

Vi viser først, at D A er et δ-system for ethvert fast A i δ(S): 

(δ1) X ∈ D A , idet X ∈ δ(S), og A ∩ X = A ∈ δ(S). 

D A = δ(S) for alle A i δ(S). (3.1) 

(δ2) Antag, at B 1 ,B 2 ∈ D A , og at B 1 ⊆ B 2 . Så følger det, at B 2 \ B 1 ∈ δ(S), og at 

A ∩(B 2 \ B 1 ) = (A ∩ B 2 ) \ B 1 = (A ∩ B 2 ) \(A ∩ B 1 ) ∈ δ(S), 

idet δ(S) er \-stabil, ligesom A ∩ B 1 ,A ∩ B 2 ∈ δ(S), og A ∩ B 1 ⊆ A ∩ B 2 . 

96

(δ3) Antag, at (B n ) er en følge af mængder fra D A , således at B 1 ⊆ B 2 ⊆ B 3 ⊆ ···. Så gælder 

der, at ⋃ n∈N B n ∈ δ(S), og at 

A ∩ ( ⋃ ) ⋃ 

B n = (A ∩ B n ) ∈ δ(S), 

n∈N 

idet δ(S) er ↑-stabilt, ligesom A ∩ B n ∈ δ(S) for alle n, og A ∩ B 1 ⊆ A ∩ B 2 ⊆ ···. 

Efter at have etableret at D A er et δ-system, viser vi nu, at identiteten i (3.1) er opfyldt, når 

A ∈ S. Da S er ∩-stabilt, har vi nemlig i dette tilfælde, at S ⊆ D A , og dermed at δ(S) ⊆ D A , 

hvilket er ækvivalent med lighedstegnet i (3.1). Vi har således vist, at 

n∈N 

A ∩ B ∈ δ(S) for alle A i S og alle B i δ(S). (3.2) 

Ved nu at lade A og B bytte rolle i forhold til det netop anførte argument følger gyldigheden 

af (3.1) generelt: For fast B i δ(S) viser (3.2), at S ⊆ D B , og da D B er et δ-system, følger det 

derfor, at δ(S) ⊆ D B , altså δ(S) = D B , som ønsket. 

3.2 Entydighedsresultater for mål 

Ved hjælp af Dynkins Lemma kan vi nu let vise et vigtigt entydighedsresultat for mål, der blandt 

sine konsekvenser tæller entydigheden af Lebesgue-mål. Vi deler resultatet op i to dele, hvoraf 

det første omhandler endelige mål og det sidste mere generelle mål. 

3.2.1 Sætning. Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad µ og ν være to mål herpå, som opfylder, 

at 

µ(X) = ν(X) < ∞. 

Antag videre, at der findes et system S af delmængder af X, således at 

S er ∩-stabilt, σ(S) = E, og µ(A) = ν(A) for alle A i S. 

Da er µ = ν, dvs. µ(A) = ν(A) for alle A i E. 

Bevis. Vi betragter systemet 

D = {A ∈ E | µ(A) = ν(A)}, 

og vi skal vise, at D ⊇ E. Vi bemærker først, at S ⊆ D ifølge antagelserne. Hvis vi kan vise, 

at D er et δ-system, så vil det derfor følge, at δ(S) ⊆ D, og da S er ∩-stabilt gælder her ifølge 

Sætning 3.1.7, at δ(S) = σ(S) = E. Vi er derfor færdige, hvis vi kan vise, at D er et δ-system: 

(δ1) X ∈ D, idet µ(X) = ν(X) pr. antagelse. 

(δ2) Antag, at A 1 ,A 2 ∈ D, og at A 1 ⊆ A 2 . Da µ og ν er endelige mål, følger det fra Sætning 

1.3.4(iii), at 

således at A 2 \ A 1 ∈ D. 

µ(A 2 \ A 1 ) = µ(A 2 ) − µ(A 1 ) = ν(A 2 ) − ν(A 1 ) = ν(A 2 \ A 1 ), 

97

(δ3) Antag, at (A n ) er en følge af mængder fra D, således at A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ ···. Ved anvendelse 

af Sætning 1.3.4(v) finder vi da, at 

µ ( ⋃ 

n∈N 

således at ⋃ n∈N A n ∈ D. 


) 

A n = lim µ(A n ) = lim ν(A n ) = ν ( ⋃ ) 

A n , 

n→∞ n→∞ n∈N 

 

3.2.2 Hovedsætning. Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad µ og ν være to mål herpå. Antag, 

at der findes et system S af delmængder af X med følgende egenskaber: 

(a) S er ∩-stabilt. 

(b) σ(S) = E. 

(c) Der findes en voksende følge (A n ) af mængder fra S, således at 

⋃ 

n∈N 

(d) µ(A) = ν(A) for alle A fra S. 

A n = X, og µ(A n ) = ν(A n ) < ∞ for alle n. 

Da gælder der, at µ = ν, dvs. µ(A) = ν(A) for alle A fra E. 

Bevis. Betragt for hvert fast n i N målene µ 

A k n 

og νA k n 

på (X,E) givet ved 

µ A k n 

(B) = µ(B ∩ A n ), og νA k n 

(B) = ν(B ∩ A n ), (B ∈ E) 

(jvf. Eksempel 1.3.3(D)). Det følger fra antagelse (c), at 

µ A k n 

(X) = µ(A n ) = ν(A n ) = νA k n 

(X) < ∞, 

og antagelserne (a) og (d) sikrer videre, at 

µ A k n 

(B) = µ(B ∩ A n ) = ν(B ∩ A n ) = νA k n 

(B) for alle B fra S. 

Ved anvendelse af Sætning 3.2.1 kan vi derfor slutte, at µ 

A k n 

= νA k n 

, altså at 

µ(B ∩ A n ) = ν(B ∩ A n ) for alle B i E og n i N. (3.3) 

Lad nu B være en vilkårlig mængde fra E, og bemærk, at ifølge antagelse (c) har vi 

⋃ 

( ⋃ 

) 

B ∩ A 1 ⊆ B ∩ A 2 ⊆ B ∩ A 3 ⊆ ··· , og (B ∩ A n ) = B ∩ A n = B ∩ X = B. 

Ved anvendelse af Sætning 1.3.4(v) samt (3.3) ovenfor følger det derfor, at 

n∈N 

n∈N 


 

µ(B) = lim n→∞ 

µ(B ∩ A n ) = lim n→∞ 

ν(B ∩ A n ) = ν(B), 

98

3.2.3 Eksempel. (Entydighed af Lebesgue-mål) Det følger fra Hovedsætning 3.2.2, at der højst 

kan findes et mål λ på (R,B(R)), som opfylder, at 

λ((a,b)) = b − a for alle a,b i R, så at a < b. (3.4) 

Antages nemlig, at λ ′ er endnu et mål på (R,B(R)) med denne egenskab, så stemmer λ og λ ′ 

altså overens på systemet 

S = {(a,b) | a,b ∈ R, a < b} ∪ {/0}, 

som udgør et ∩-stabilt frembringersystem for B(R) (jvf. Sætning 1.2.2). Sættes f.eks. A n = 

(−n,n), fremgår det videre, at 

⋃ 

A n = R, og λ(A n ) = 2n = λ ′ (A n ) < ∞ for alle n. 

n∈N 

Alle antagelserne i Hovedsætning 3.2.2 er således opfyldte, og vi kan slutte, at λ = λ ′ . 

Helt tilsvarende indses, ved at betragte systemet 

S d = {(a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) | a i ,b i ∈ R, a i 

at der højst findes et mål λ d på (R d ,B(R d )), som opfylder, at 

λ d ((a 1 ,b 1 ) × ···×(a d ,b d )) = (b 1 − a 1 )···(b d − a d ). (3.5) 

Vi skal i de efterfølgende kurser vise, at der faktisk eksisterer mål λ på (R,B(R)) og λ d på 

(R d ,B(R d )), som opfylder hhv. (3.4) og (3.5). Disse mål kaldes som bekendt for Lebesguemålene 

på hhv. R og R d . ⋄ 

3.2.4 Eksempel. (Fordelingsfunktioner) Lad µ være et endeligt mål på (R,B(R)), og betragt 

det ∩-stabile frembringersystem 

S = {(−∞,b] | b ∈ R} 

for B(R) (jvf. Korollar 1.2.4). Det følger så umiddelbart fra Sætning 3.2.1, at µ er entydigt 

bestemt af funktionen F µ : R → [0,∞) givet ved 

For hvis µ ′ er endnu et mål på (R,B(R)), således at 

F µ (x) = µ((−∞,x]), (x ∈ R). (3.6) 

F µ ′(x) = F µ (x) for alle x i R, 

så stemmer µ og µ ′ overens på S, og dermed følger det også, at 

µ ′ (R) = lim n→∞ 

µ ′ ((−∞,n]) = lim n→∞ 

F µ ′(n) = lim n→∞ 

F µ (n) = µ(R) 

(jvf. Sætning 1.3.4(v)). Sætning 3.2.1 viser derfor, at µ = µ ′ . 

Tilsvarende følger det, at ethvert endeligt mål ν på (R d ,B(R d )) er entydigt bestemt af funktionen 

F ν : R d → [0,∞) givet ved 

F ν ((x 1 ,...,x d )) = ν((−∞,x 1 ] × ··· ×(−∞,x d ]), 

(x 1 ,...,x d ∈ R). 

Hvis µ og ν specielt er sandsynlighedsmål på hhv. (R,B(R)) og (R d ,B(R d )), så kaldes funktionerne 

F µ og F ν for fordelingsfunktionerne for hhv. µ og ν. Et sandsynlighedsmål på (R d ,B(R d )) 

er altså entydigt bestemt af sin fordelingsfunktion. ⋄ 

99


3.3.1 Opgave. I denne opgave betragtes et målrum (X,E, µ), således at µ(X) = 1. Vi betragter 

endvidere et vilkårligt system G af mængder fra E (dvs. G ⊆ E), og vi indfører så mængdesystemet: 

U G := { A ∈ E ∣ ∣ µ(A ∩ B) = µ(A)µ(B) for alle B i G } . 

(a) Vis, at U G er et δ-system i X. 

(b) Vis ved at give et eksempel, at U G ikke generelt er en σ-algebra. [Vink: Betragt f.eks. 

situationen: X = {1,2,3,4}, E = P(X), og µ({ j}) = 

4 1 for alle j i X. Betragt endvidere 

mængderne A 1 = {1,3}, A 2 = {1,4}, og B = {1,2}.] 

(c) Er U G generelt en σ-algebra, hvis G er en del-σ-algebra af E? 

3.3.2 Opgave. Lad (X,E, µ), G og U G være som i Opgave 3.3.1, men antag nu yderligere, at G 

er en del-σ-algebra af E. Vi betragter desuden en funktion f : X → R fra M(E), og vi antager, 

at 

f −1 ([a,b]) ∈ U G for alle a,b i R, således at a ≤ b. 

(b) Vis, f.eks. vha. Dynkins Lemma, at 

f −1 (B) ∈ U G for enhver Borelmængde B i R. 

[Vink: Betragt systemet I = {[a,b] | a,b ∈ R, a ≤ b} ∪ {/0}, og redegør for, at systemet 

f −1 (I) er et ∩-stabilt frembringersystem for f −1 (B(R)).] 

(c) Vis, at hvis ψ ∈ SM(B(R)) + , og s ∈ SM(G) + , så gælder formlen: 

∫ 

∫ 

∫ 

ψ( f(x)) · s(x) µ(dx) = ψ( f(x)) µ(dx) · s(x) µ(dx). 

X 

[Vink: Antag evt. først, at ψ og s er indikatorfunktioner.] 

(d) Vis mere generelt, at hvis ϕ ∈ M(B(R)) + , og g ∈ M(G) + , så gælder formlen: 

∫ 

∫ 

∫ 

ϕ( f(x)) · g(x) µ(dx) = ϕ( f(x)) µ(dx) · g(x) µ(dx). 

X 

3.3.3 Opgave. Ved at kombinere Sætning 1.5.4(ii), Sætning 1.4.8 og Korollar 1.6.7(ii) følger 

det, at klassen M(B(R d )) af Borel-funktioner på R d har følgende egenskaber: 

(i) M(B(R d )) er et vektorrum. 

(ii) M(B(R d )) indeholder enhver kontinuert funktion f : R d → R. 

(iii) Hvis ( f n ) er en punktvis konvergent følge af funktioner fra M(B(R d )), så gælder der 

også, at lim n→∞ f n ∈ M(B(R d )). 

Denne opgave går ud på at vise, at M(B(R d )) er den mindste klasse af reelle funktioner på 

R d , som har egenskaberne (i)-(iii). Hvis C er en klasse af reelle funktioner på R d , som har 

egenskaberne (i)-(iii), skal det således nedenfor vises, at C ⊇ M(B(R d )). 

For en vilkårlig ikke-tom delmængde A af R d og et vilkårligt x i R d sætter vi 

d(x,A) = inf{ρ 2 (x,y) | y ∈ A}, 

X 

X 

100 

X 

X

hvor ρ 2 (x,y) er den sædvanlige afstand mellem x og y i R d (jvf. formel (1.6)). Det kan i det 

følgende uden yderligere argumentation benyttes, at funktionen x ↦→ d(x,A) er kontinuert på 

hele R d . Det kan tilsvarende benyttes 13 , at hvis F er en lukket (=afsluttet), ikke-tom delmængde 

af R d , så gælder der for alle x i R d , at 

x ∈ F ⇐⇒ d(x,F) = 0. 

(a) Lad F være en ikke-tom lukket delmængde af R d , og definér derefter for hvert n i N: 

H n = {x ∈ R d | d(x,F) ≥ 1 n }. 

Vis da, at H n er en lukket delmængde af R d for alle n i N, og at ⋃ n∈N H n = F c . 

(b) Antag, at F er en lukket delmængde af R d , og at /0 ≠ F ≠ R d . Vis da, at der findes et N i 

N, således at H n ≠ /0, når n ≥ N. Vis derefter, at hvis n ≥ N, så fastlægges ved udtrykket: 

f n (x) = 

en veldefineret funktion f n på R d . 

Vis endelig, at 

d(x,H n ) 

d(x,F)+d(x,H n ) , (x ∈ Rd ) 

lim f n+N(x) = 1 F (x) for alle x i R d . 

n→∞ 

Lad nu C være en klasse af reelle funktioner defineret på R d , og antag, at C opfylder betingelserne: 

(i) C er et vektorrum. 

(ii) C indeholder enhver kontinuert funktion f : R d → R. 

(iii) Hvis ( f n ) er en punktvis konvergent følge af funktioner fra C, så gælder der også, at 

lim n→∞ f n ∈ C. 

(c) Vis, at {1 F | F ⊆ R d , og F er lukket} ⊆ C. 

(d) Vis, at systemet 

er et δ-system i R d . 

D = {B ⊆ R d | 1 B ∈ C} 

(e) Udled vha. Dynkins Lemma, at D ⊇ B(R d ). 

(f) Vis, f.eks. ved at benytte “standard-beviset”, at C ⊇ M(B(R d )). 

13 Den ambitiøse studerende bør naturligvis overveje disse påstande! 

101

4 Produktmål 

Betragt to målrum (X,E, µ) og (Y,F,ν). Vi skal i dette kapitel organisere det kartesiske produkt 

X ×Y til et målrum (X ×Y,E ⊗F, µ ⊗ ν), således at E ⊗F indeholder alle produktmængder 

A × B, hvor A ∈ E og B ∈ F, og således at 

µ ⊗ ν(A × B) = µ(A)ν(B), (4.1) 

for sådanne A og B. Konstruktionen af µ ⊗ ν viser sig imidlertid kun at være mulig under antagelse 

af, at µ og ν er σ-endelige (jvf. Definition 1.3.7), og den bygger på µ- og ν-integralerne, 

som vi har indført i Kapitel 2. Under forudsætningen om σ-endelighed gælder der også, at 

målet µ ⊗ ν er entydigt bestemt af betingelsen (4.1), og µ ⊗ ν omtales derfor som produktmålet 

af µ og ν. I tilfældet (X,E, µ) = (Y,F,ν) = (R,B(R),λ) ses specielt, at produktmålet 

λ ⊗ λ har den egenskab, der karakteriserer Lebesgue-målet λ 2 (jvf. Eksempel 3.2.3). Dermed 

følger eksistensen af Lebesgue-målet i to dimensioner (og –ved iteration– i højere dimensioner) 

fra eksistensen af det én-dimensionale Lebesgue-mål og konstruktionen af produktmål, som vi 

skal give nedenfor. Vores udestående, hvad angår Lebesgue-mål, er efter dette kapitel således 

reduceret til at etablere eksistensen af det én-dimensionale Lebesgue-mål λ. 

I afsnit 4.4 skal vi undersøge, hvordan man integrerer med hensyn til produktmålet µ ⊗ ν. Vi 

skal således vise to resultater (Tonellis og Fubinis sætninger), der udtrykker, hvordan integraler 

mht. µ ⊗ ν kan udregnes som dobbelt-integraler, idet man først integrerer mht. µ og dernæst 

mht. ν (eller omvendt). 

4.1 Produktrummet af to målelige rum 

I dette afsnit betragtes to målelige rum (X,E) og (Y,F). Vi skal udstyre det kartesiske produkt 

X × Y med en naturlig σ-algebra E ⊗ F, ligesom vi skal studere målelighed med hensyn til 

E ⊗F både af afbildinger defineret på X ×Y og af afbildninger med værdier i X ×Y . 

4.1.1 Definition. Vi udstyrer det kartesiske produkt X × Y med produkt-σ-algebraen E ⊗ F, 

defineret ved 

E ⊗F = σ ( {A × B | A ∈ E, B ∈ F} ) . 

I forbindelse med produktrummet X × Y er det naturligt at betragte koordinat-projektionerne 

ned på hhv. X og Y samt indlejringerne af X og Y i X ×Y . 

4.1.2 Definition. (a) Koordinat-projektionerne p 1 : X ×Y → X og p 2 : X ×Y → Y defineres 

ved: 

p 1 (x,y) = x og p 2 (x,y) = y for alle (x,y) i X ×Y . 

102

(b) Lad x 0 og y 0 være faste elementer i hhv. X og Y . Vi definerer da de tilhørende indlejringsafbildninger 

ι x0 : Y → X ×Y og ι y 0 

: X → X ×Y ved 

ι x0 (y) = (x 0 ,y), og ι y 0 

(x) = (x,y 0 ), (x ∈ X, y ∈ Y). 

Det næste resultat viser specielt, at produkt-σ-algebraen E ⊗F er nært knyttet til projektionsafbildningerne. 

4.1.3 Sætning. (i) Projektionsafbildningerne p 1 og p 2 er hhv. (E ⊗ F)-E- og (E ⊗ F)-Fmålelige. 

Endvidere kan E ⊗F karakteriseres som den mindste σ-algebra i X ×Y med 

denne egenskab: Hvis H er en σ-algebra i X ×Y , som opfylder, at p 1 og p 2 er hhv. H-Eog 

H-F-målelige, så gælder der, at H ⊇ E ⊗F. 

(ii) For vilkårlige x 0 i X og y 0 i Y er indlejringsafbildningerne ι x0 : Y → X ×Y og ι y 0 : X → 

X ×Y hhv. F-(E ⊗F)- og E-(E ⊗F)-målelige. 

Bevis. (i) For vilkårlige mængder A fra E og B fra F har vi, at 

p −1 

1 

(A) = A ×Y ∈ E ⊗F og p−1(B) = X × B ∈ E ⊗F, 

hvilket viser, at p 1 og p 2 er målelige som foreskrevet. Antag derpå, at H er en σ-algebra i X ×Y 

som beskrevet i (i). Det følger da, at 

A × B = (A ×Y) ∩(X × B) = p −1 

1 

og dette medfører (jvf. (1.3)), at 


2 

(A) ∩ p−1 

2 

(B) ∈ H for alle A i E og B i F, 

H ⊇ σ ( {A × B | A ∈ E, B ∈ F} ) = E ⊗F, 

(ii) For at vise at ι x0 er F-(E ⊗ F)-målelig, er det ifølge Sætning 1.4.6(iv) nok at vise, at 

ιx −1 

0 

(D) ∈ F for alle mængder D fra frembringersystemet {A × B | A ∈ E, B ∈ F} for E ⊗F. 

Men hvis A ∈ E og B ∈ F, ses det umiddelbart, at 

{ 

ιx −1 

B ∈ F, hvis x 0 ∈ A 

0 

(A × B) = {y ∈ Y | (x 0 ,y) ∈ A × B} = 

/0 ∈ F, hvis x 0 /∈ A, 

som ønsket. Helt tilsvarende vises det, at ι y 0 er E-(E ⊗F)-målelig. 

 

4.1.4 Sætning. Lad (X,E), (Y,F) og (Z,H) være målelige rum. 

(i) En funktion f : Z → X ×Y er H-(E ⊗F)-målelig, hvis og kun hvis koordinatafbildningerne 

p 1 ◦ f : Z → X og p 2 ◦ f : Z → Y er hhv. H-E- og H-F-målelige. 

103

(ii) Lad g: X × Y → Z være en (E ⊗ F)-H-målelig afbildning, og lad x 0 og y 0 være faste 

elementer i hhv. X og Y . Da er “snit-afbildningerne” 

g(·,y 0 ): x ↦→ g(x,y 0 ): X → Z og g(x 0 ,·): y ↦→ g(x 0 ,y): Y → Z 

hhv. E-H- og F-H-målelige. 

Bevis. (i) Antag først, at f er H-E ⊗F målelig. Idet p 1 og p 2 er hhv. (E ⊗F)-E- og (E ⊗F)-Fmålelige, 

følger det fra Sætning 1.4.6(v), at p 1 ◦ f og p 2 ◦ f er hhv. H-E- og H-F-målelige. 

Antag omvendt, at p 1 ◦ f og p 2 ◦ f er hhv. H-E- og H-F-målelige. Ifølge Sætning 1.4.6(iv) er 

det nok at vise, at f −1 (A × B) ∈ H for alle A i E og B i F. Men for sådanne A og B finder vi, at 

f −1 (A × B) = (p 1 ◦ f) −1 (A) ∩(p 2 ◦ f) −1 (B) ∈ H, 

idet mængderne (p 1 ◦ f) −1 (A) og (p 2 ◦ f) −1 (B) begge er elementer i H. 

(ii) Bemærk, at g(·,y 0 ) = g ◦ ι y 0, og g(x 0 ,·) = g ◦ ι x0 , hvor afbildningerne ι y 0 og ι x0 er hhv. 

E-(E ⊗F)- og F-(E ⊗F)-målelige ifølge Sætning 4.1.3. Dermed følger påstanden umiddelbart 

af Sætning 1.4.6(v). 

4.1.5 Bemærkning. Lad U være en delmængde af X ×Y , og lad x 0 og y 0 være udvalgte elementer 

i hhv. X og Y . Vi benytter da notationen 


U x0 = {y ∈ Y | (x 0 ,y) ∈ U} = ιx −1 

0 

(U) 

U y 0 

= {x ∈ X | (x,y 0 ) ∈ U} = (ι y 0 

) −1 (U), 

og disse mængder kaldes for snitmængderne af U i hhv. x 0 og y 0 . 

y_0 

U 

x_0 

Figur 5: Snitmængder i en delmængde U af R 2 . De med fedt markerede intervaller på 2.-aksen udgør tilsammen 

snitmængden U x0 , mens de med fedt markerede intervaller på 1.-aksen tilsammen udgør snitmængden U y 0. 

104

Som følge af Sætning 4.1.3 noterer vi, at 

U x0 ∈ F, og U y 0 

∈ E for alle U i E ⊗F. 

Snitmængderne spiller en væsentlig rolle i konstruktionen af produktmålet i Afsnit 4.3. 

□ 

Det næste resultat er nyttigt med henblik på at identificere (små) frembringersystemer for E⊗F. 

4.1.6 Sætning. Lad C og D være frembringersystemer for hhv. E og F, og antag, at der findes 

følger (C n ) og (D n ) af mængder fra hhv. C og D, således at 

⋃ 

n∈N 

C n = X, 


⋃ 

n∈N 

D n = Y. 


E ⊗F = σ ( {A × B | A ∈ C, B ∈ D} ) . 

Bevis. Vi sætter H = σ({A × B | A ∈ C, B ∈ D}). Det følger umiddelbart fra definitionen af 

E ⊗F, at H ⊆ E ⊗F. For at vise den omvendte inklusion er det ifølge Sætning 4.1.3(i) nok at 

vise, at p 1 og p 2 er hhv. H-E- og H-F-målelige. For at vise denne målelighed af p 1 er det ifølge 

Sætning 1.4.6(iv) nok at vise, at p −1 

1 

(A) ∈ H for alle A i C, og for et sådant A finder vi, at 

p −1 

1 (A) = A ×Y = A ×( ⋃ 

n∈N 

D n 

) 

= 

⋃ 

n∈N 

A × D n ∈ H, 

eftersom A × D n ∈ H for alle n. Tilsvarende vises det, at p 2 er målelig som foreskrevet. 

I forbindelse med Sætning 4.1.6 ovenfor noterer vi, at betingelsen om eksistens af følger (C n ) 

og (D n ) med de i sætningen beskrevne egenskaber specielt er opfyldt, hvis X ∈ C og Y ∈ D. 

 

4.1.7 Korollar. I tilfældet (X,E) = (Y,F) = (R,B(R)) gælder der, at 

B(R) ⊗B(R) = B(R 2 ). 

Bevis. Ved anvendelse af Sætning 1.2.2 følger det, at 


B(R) = σ ( {(a,b) | −∞ < a 

B(R 2 ) = σ ( {(a 1 ,b 1 ) ×(a 2 ,b 2 ) | −∞ < a i 

Idet vi kan skrive: R = ⋃ n∈N(−n,n), følger det endvidere fra Sætning 4.1.6, at højresiden af 

(4.2) er lig med B(R) ⊗B(R). 

105

4.2 Produktrum af flere end to målelige rum 

Vi skal i dette afsnit kort gennemgå, hvordan resultaterne fra det foregående afsnit kommer til 

at se ud, hvis man betragter produktrummet af flere end to målelige rum. Vi betragter således i 

det følgende d målelige rum (X 1 ,E 1 ),...,(X d ,E d ), hvor d er et naturligt tal større end 2. 

4.2.1 Definition. Vi udstyrer det kartesiske produkt X 1 × ··· × X d med produkt-σ-algebraen 

E 1 ⊗ ··· ⊗E d defineret ved 

E 1 ⊗ ··· ⊗E d = σ ( {A 1 × ··· × A d | A i ∈ E i , i = 1,...,d} ) . 

For hvert i fra {1,2,...,d} kan vi betragte projektions-afbildningen 

p i : (x 1 ,...,x d ) ↦→ x i : X 1 × ··· × X d → X i , (4.3) 

og for fastholdte ξ j fra X j , j ∈ {1,2,...,d} \ {i}, kan vi betragte indlejringsafbildningen 

x i ↦→ (ξ 1 ,...,ξ i−1 ,x i ,ξ i+1 ,...,ξ d ): X i → X 1 × ··· × X d . (4.4) 

I analogi med Sætning 4.1.3 har vi da 

4.2.2 Sætning. (i) For hvert i fra {1,2,...,d} er projektionsafbildningen p i givet ved (4.3) 

(E 1 ⊗ ··· ⊗E d )-E i -målelig. Endvidere kan E 1 ⊗ ··· ⊗E d karakteriseres som den mindste 

σ-algebra i X × ··· × X d med denne egenskab: Hvis H er en σ-algebra i X 1 × ··· × X d , 

som opfylder, at p i er H-E i -målelig for alle i, så gælder der, at H ⊇ E 1 ⊗ ··· ⊗E d . 

(ii) Lad i fra {1,2,...,d} og ξ j fra X j , j ∈ {1,2,...,d} \ {i}, være givne. Da er indlejringsafbildningen 

givet ved (4.4) E i -(E 1 ⊗ ··· ⊗E d )-målelig. 

Bevis. (i) Dette følger ganske som i beviset for Sætning 4.1.3 ved anvendelse af identiteterne: 

p −1 

i 

(A i ) = X 1 × ··· × X i−1 × A i × X i+1 × ··· × X d , (A i ∈ E i , i = 1,2,...,d), 


A 1 × ··· × A d = d ⋂ 

i=1 

p −1 

i (A i ), (A i ∈ E i , i = 1,2,...,d). 

(ii) Lad ι betegne indlejringsafbildningen givet ved (4.4). Ifølge Sætning 1.4.6(iv) er det nok at 

vise, at ι −1 (A 1 × ··· × A d ) ∈ E i for vilkårlige A j fra E j , j = 1,2,...,d. Men dette følger af, at 

{ 

ι −1 A i , hvis ξ j ∈ A j for alle j fra {1,...,d} \ {i} 

(A 1 × ··· × A d ) = 

/0, hvis ξ j /∈ A j for mindst ét j fra {1,...,d} \ {i}. 


 

106

4.2.3 Sætning. Lad (X 1 ,E 1 ),...,(X d ,E d ) og (Z,H) være målelige rum. 

(i) En funktion f : Z → X 1 × ···×X d er H-(E 1 ⊗ ···⊗E d )-målelig, hvis og kun hvis koordinatafbildningen 

p i ◦ f : Z → X i er H-E i -målelig for alle i = 1,2,...,d. 

(ii) Lad g: X 1 × ··· × X d → Z være en (E 1 ⊗ ··· ⊗E d )-H-målelig afbildning. For vilkårlige i 

fra {1,2,...,d} og ξ 1 ,...,ξ i−1 ,ξ i+1 ,...,ξ d fra hhv. X 1 ,...,X i−1 ,X i+1 ,...,X d gælder der 

da, at “snit-afbildningen” 

g(ξ 1 ,...,ξ i−1 ,·,ξ i+1 ,...,ξ d ): x i ↦→ g(ξ 1 ,...,ξ i−1 ,x i ,ξ i+1 ,...,ξ d ): X i → Z 

er E i -H-målelig. 

Bevis. Beviset er helt analogt til beviset for Sætning 4.1.4: 

(i) Hvis f er målelig som foreskrevet, da gælder der for hvert i, at p i ◦ f er H-E i -målelig ifølge 

Sætning 4.2.2 og Sætning 1.4.6(v). Hvis omvendt p i ◦ f er H-E i -målelig for alle i, så gælder 

der, at 

f −1 ⋂ 

(A 1 × ··· × A d ) = d (p i ◦ f) −1 (A i ) ∈ H, 

i=1 

for alle A i fra E i , i = 1,,...,d, hvilket viser, at f er H-(E 1 ⊗ ··· ⊗E d )-målelig ved anvendelse 

af Sætning 1.4.6(iv). 

(ii) Dette følger af Sætning 1.4.6(v) og identiteten: 

g(ξ 1 ,...,ξ i−1 ,·,ξ i+1 ,...,ξ d ) = g ◦ ι, 

hvor ι er indlejringsafbildningen givet ved (4.4), som er E i -(E 1 ⊗ ··· ⊗E d )-målelig ifølge Sætning 

4.2.2(ii). 

Vi bemærker i forbindelse med Sætning 4.2.3, at udsagn (i) generaliserer Sætning 1.4.9, eftersom 

B(R d ) = B(R) ⊗d . 

4.2.4 Sætning. Antag for hvert i fra {1,...,d} at D i er et frembringersystem for E i , og at der 

findes en følge (D (i) 

n ) n∈N af mængder fra D i , således at ⋃ n∈N D (i) 

n = X i . Da gælder der, at 

E 1 ⊗ ··· ⊗E d = σ ( {A 1 × ··· × A d | A i ∈ D i , i = 1,2,...,d} ) . 

Bevis. Vi sætter H = σ ( {A 1 × ··· ×A d | A i ∈ D i , i = 1,2,...,d} ) . Inklusionen H ⊆ E 1 ⊗ ··· ⊗ 

E d er da oplagt fra definitionen af E 1 ⊗ ··· ⊗ E d . For at vise den modsatte inklusion er det 

ifølge Sætning 4.2.2(i) og Sætning 1.4.6(iv) nok at vise, at p −1 

j 

(B j ) ∈ H, for vilkårlige j fra 

107

{1,2,...,d} og B j fra D j . Men dette følger af, at 

p −1 

j (B j ) = X 1 × ··· × X j−1 × B j × X j+1 × ··· × X d 

= 

⋃ 

n 1 ,...,n j−1 ,n j+1 ,...,n d ∈N 

D (1) 

n 1 

× ··· × D ( j−1) 

n j−1 

× B j × D n ( j+1) 

j+1 

× ··· × D (d) 

n d 

, 

hvor det sidste udtryk er en tællelig foreningsmængde af mængder fra H. 

Notationen antyder, at E 1 ⊗ ··· ⊗E d kan opnås ved at anvende operationen “⊗” successivt d 

gange. At dette er tilfældet, bekræftes af følgende resultat (i tilfældet m = 1). 

 

4.2.5 Korollar. Lad d og m være naturlige tal, og lad (X 1 ,E 1 ),...,(X d+m ,E d+m ) være målelige 

rum. Under den naturlige identifikation: 

gælder der da, at 

X 1 × ··· × X d+m ≃ (X 1 × ··· × X d ) ×(X d+1 × ··· × X d+m ), (4.5) 

E 1 ⊗ ··· ⊗E d+m = (E 1 ⊗ ··· ⊗E d ) ⊗(E d+1 ⊗ ··· ⊗E d+m ). 

Bevis. Pr. definition af produkt-σ-algebra har vi 

E 1 ⊗ ··· ⊗E d+m = σ ( {D 1 × ··· × D d+m | D j ∈ E j , j = 1,...,d + m} ) , 

ligesom 

E 1 ⊗ ··· ⊗E d = σ ( {D 1 × ··· × D d | D j ∈ E j , j = 1,...,d} ) , 


E d+1 ⊗ ··· ⊗E d+m = σ ( {D d+1 × ··· × D d+m | D j ∈ E j , j = d + 1,...,d + m} ) . 

Ifølge Sætning 4.2.4 gælder der derfor, at 

(E 1 ⊗··· ⊗E d ) ⊗(E d+1 ⊗ ··· ⊗E d+m ) 

= σ ( {(D 1 × ··· × D d ) ×(D d+1 × ··· × D d+m ) | D j ∈ E j , j = 1,...,d + m} ) , 

og korollaret følger nu af, at der for vilkårlige D j fra E j , j = 1,...,d + m, gælder, at 

(D 1 × ··· × D d ) ×(D d+1 × ··· × D d+m ) = D 1 × ··· × D d+m 

under den naturlige identifikation (4.5). 

 

4.2.6 Korollar. For vilkårlige naturlige tal d og m gælder følgende udsagn: 

(i) B(R) ⊗d := B(R) ⊗ ···⊗B(R) = B(R 

} {{ } 

d ). 

d faktorer 

(ii) B(R d ) ⊗B(R m ) = B(R d+m ), under den naturlige identifikation R d ×R m ≃ R d+m . 

108

Bevis. (i) Dette følger ganske som i beviset for Korollar 4.1.7 ved anvendelse af Sætning 4.2.4 

samt identiteterne (jvf. Sætning 1.2.2): 

B(R) = σ ( {(a,b) | −∞ < a 


B(R d ) = σ ( {(a 1 ,b 1 ) × ···×(a d ,b d ) | −∞ < a i 

(ii) Ved anvendelse af (i) og Korollar 4.2.5 finder vi, at 


B(R d ) ⊗B(R m ) = B(R) ⊗d ⊗B(R) ⊗m = B(R) ⊗(d+m) = B(R d+m ), 

 

Vi noterer afslutningsvist, at for et generelt metrisk rum (S,ρ) kan man udstyre produktrummet 

S d med f.eks. metrikken 

ρ ∞ ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = max 

i=1,...,d ρ(x i,y i ), ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d ) ∈ S d ), 

og derefter indføre Borel-algebraen B(S d ) i S d som σ-algebraen frembragt af systemet af åbne 

mængder mht. ρ ∞ . Der gælder da generelt, at B(S) ⊗d ⊆ B(S d ), med lighedstegn hvis (S,ρ) er 

separabelt. Vi refererer til Appendix A.6 for detaljer. 

4.3 Produktmål 

I dette afsnit skal vi for σ-endelige målrum (X,E, µ) og (Y,F,ν) bevise eksistens og entydighed 

af et mål µ ⊗ ν på (X × Y,E ⊗ F), der opfylder formlen (4.1). I specialtilfældet (X,E, µ) = 

(Y,F,ν) = (R,B(R),λ), gælder der som tidligere nævnt, at λ ⊗ λ = λ 2 . For at motivere den 

generelle konstruktion af produktmål, starter vi med en heuristisk udledning i dette tilfælde, 

idet vi som bekendt opfatter λ 2 (U) som arealet af U for enhver Borel-mængde U i R 2 . Lad os 

for simpelhedskyld antage, at U er en “pæn” delmængde af R 2 , som er indeholdt i et rektangel 

[0,b] ×[0,c] for passende positive tal b og c. For at approksimere arealet af U er det naturligt 

at gå frem som ved konstruktionen af Riemann-integralet. Vi betragter således som i Afsnit 2.7 

inddelinger 

0 = t 0 < t 1 < t 2 < ··· < t n = b, 

af [0,b] på 1.-aksen, hvor 

max (t i −t i−1 ) −→ 0 for n → ∞. 

i=1,2,...,n 

For hvert i kan vi så betragte rektanglet (t i−1 ,t i ] ×[0,c] over del-intervallet (t i−1 ,t i ], og vi kan 

opspalte U i sine fællesmængder med disse rektangler. For arealet af U svarer dette til formlen: 

λ 2 (U) = 

n 

∑ 

i=1 

λ 2 (U ∩(t i−1 ,t i ] ×[0,c]). 

109

For hvert i kan vi derefter approksimere arealet λ 2 (U ∩(t i−1 ,t i ] ×[0,c]) med summen af arealerne 

af akseparallelle rektangler, hvis lodrette sider er stykker af linierne x = t i−1 og x = t i , og 

hvis vandrette sider er bestemt af skæringspunkterne mellem linien x = t i−1 og randen af U. 

c 

U 

t_{i−1} t_i 

b 

Figur 6: Approksimation af arealet af mængden U med en Riemann-venstresum. De med fed markerede 

intervaller på 2.-aksen udgør tilsammen snit-mængden U ti−1 . 

Bemærk her, at rektanglernes venstre lodrette sider tilsammen udgør mængden {t i−1 } ×U ti−1 , 

hvor U ti−1 betegner snitmængden af U i t i−1 (jvf. Bemærkning 4.1.5). Den samlede længde af 

rektanglernes lodrette sider bliver dermed λ(U ti−1 ), og det samlede areal af rektanglerne bliver 

λ(U ti−1 )(t i −t i−1 ). Vi opnår således approksimationen 

og dermed også 

λ 2 (U ∩(t i−1 ,t i ] ×[0,c]) ≈ λ(U ti−1 )(t i −t i−1 ), 

λ 2 (U) ≈ 

n 

∑ 

i=1 

λ(U ti−1 )(t i −t i−1 ). 

Her genkender vi højresiden som en Riemann-venstresum for funktionen 

ϕ U (t) = λ(U t ), 

(t ∈ [0,b]), 

og hvis denne funktion er Riemann-integrabel, kan vi dermed slutte, at 

n 

λ 2 (U) = lim 

n→∞ 

∑ λ(U ti−1 )(t i −t i−1 ) = R 

i=1 

∫ b 

0 

λ(U t )dt, 

hvor første lighedstegn i hvert fald er intuitivt klart. Da Riemann-integralet stemmer overens 

med Lebesgue-integralet for alle Borel-målelige, Riemann-integrable funktioner (jvf. Sætning 2.7.3), 

ledes vi til at benytte formlen: 

λ 2 (U) = 

∫ b 

0 

110 

λ(U t )λ(dt), (4.6)

som er meningsfuld, hvis bare funktionen ϕ U er Borel-målelig. Spørgsmålet er så bare, for 

hvilke mængder U funktionen ϕ U ér Borel-målelig. For at kunne benytte (4.6) til at konstruere 

λ 2 udfra λ skulle formlen jo gerne gælde for alle U i B(R 2 ). Det viser sig heldigvis også, at ϕ U 

er en Borel-funktion for alle U i B(R 2 ), men det kræver en del arbejde at få etableret, og dette 

viser sig faktisk at være den vanskeligste del af hele konstruktionen. Lad os som en hyldest 

til Lebesgue-integralet afslutningsvist bemærke, at hvis vi kun havde Riemann-integralet til 

rådighed, så ville formel (4.6) kun være meningsfuld for en stærkt begrænset klasse af mængder 

U. 

Da vores ambition er at konstruere produktmålet µ ⊗ ν for generelle σ-endelige mål µ og ν, 

vender vi i det følgende tilbage til dette mere generelle setup. Vi skal således som det næste 

bevise måleligheden af ϕ U i denne generelle ramme, idet vi dog starter med at antage, at µ og 

ν er endelige mål. 

4.3.1 Lemma. Betragt målrummene (X,E, µ) og (Y,F,ν), og antag, at µ(X),ν(Y) < ∞. Lad 

videre U være en (E ⊗F)-målelig delmængde af X ×Y, og betragt afbildningerne ϕ U : X → 

[0,∞) og ψ U : Y → [0,∞) givet ved 

ϕ U (x) = ν(U x ), og ψ U (y) = µ(U y ), (x ∈ X, y ∈ Y), 

hvor U x og U y er snitmængderne indført i Bemærkning 4.1.5. Da er ϕ U E-B(R)-målelig og ψ U 

er F-B(R)-målelig. 

Bevis. Bemærk først, at ϕ U og ψ U er veldefinerede, idet U x ∈ F, og U y ∈ E for alle x i X og 

y i Y ifølge Bemærkning 4.1.5. Vi viser kun, at ϕ U er E-målelig, idet argumentet for at ψ U er 

F-målelig forløber helt analogt. Betragt systemet 

D := {U ∈ E ⊗F | ϕ U er E-målelig}. 

Vi skal vise, at D = E ⊗F. Hertil er det nok at vise, at D er et δ-system, som indeholder det 

∩-stabile frembringersystem 

K = {A × B | A ∈ E, B ∈ F} 

for E ⊗F. For så medfører Dynkins lemma (Sætning 3.1.7), at 

D ⊇ δ(K) = σ(K) = E ⊗F. 

Trin 1. Vi viser først, at K ⊆ D. Betragt således mængden A×B, hvor A ∈ E og B ∈ F. Vi finder 

så for x i X, at 

{ 

/0, hvis x /∈ A, 

(A × B) x = {y ∈ Y | (x,y) ∈ A × B} = 

B, hvis x ∈ A, 

således at 

ϕ A×B (x) = ν((A × B) x ) = ν(B) · 1 A (x). (4.7) 

Da A ∈ E fremgår det heraf, at ϕ A×B er E-målelig, således at A × B ∈ D. 

Trin 2. Vi viser dernæst, at D er et δ-system: 

111

(δ1) X ×Y ∈ D, idet X ×Y ∈ K ⊆ D (ifølge Trin 1). 

(δ2) Antag, at U 1 ,U 2 ∈ D, og at U 1 ⊆ U 2 . For x i X finder vi så, at 

(U 2 \U 1 ) x = ι −1 

x 

(U 2 \U 1 ) = ιx 

−1 (U 2 ) \ ιx −1 (U 1 ) = (U 2 ) x \(U 1 ) x , 

hvor (U 1 ) x ⊆ (U 2 ) x . Idet ν((U 1 ) x ) ≤ ν(Y) < ∞, følger det af Sætning 1.3.4(iii), at 

ϕ U2 \U 1 

(x) = ν((U 2 \U 1 ) x ) = ν((U 2 ) x \(U 1 ) x ) 

= ν((U 2 ) x ) − ν((U 1 ) x ) = ϕ U2 (x) − ϕ U1 (x), 

for alle x i X. Da ϕ U1 ,ϕ U2 begge er E-målelige, følger det dermed fra Sætning 1.5.4(ii), at 

også ϕ U2 \U 1 

er E-målelig, dvs. U 2 \U 1 ∈ D. 

(δ3) Lad (U n ) være en voksende følge af mængder fra D, og sæt U = ⋃ n∈NU n . For x i X har 

vi så, at 

(U 1 ) x ⊆ (U 2 ) x ⊆ (U 3 ) x ⊆ ··· , 


⋃ 

(U n ) x = ⋃ ιx 

−1 

n∈N n∈N 

Det følger da fra Sætning 1.3.4(v), at 

( 

(U n ) = ι −1 ⋃ 

) 

U n 

x 

n∈N 

= ι −1 

x (U) = U x . 

ϕ U (x) = ν(U x ) = lim 

n→∞ 

ν((U n ) x ) = lim 

n→∞ 

ϕ Un (x), 

(x ∈ X). 

Da ϕ Un er E-målelig for alle n, følger det dermed, at også ϕ U er E-målelig (jvf. Korollar 

1.6.7(ii)), dvs. U ∈ D. 

Dermed er det godtgjort, at D er et δ-system, hvilket afslutter beviset. 

 

4.3.2 Lemma. Betragt målrummene (X,E, µ) og (Y,F,ν), og antag, at µ og ν er σ-endelige. 

Lad videre U være en mængde fra E⊗F, og betragt afbildningerne ϕ U : X → [0,∞] og ψ U : Y → 

[0,∞] givet ved 

ϕ U (x) = ν(U x ), og ψ U (y) = µ(U y ), (x ∈ X, y ∈ Y). 

Da er ϕ U E-B(R)-målelig, og ψ U er F-B(R)-målelig. 

Bevis. Som i beviset for Lemma 4.3.1 er ϕ U og ψ U veldefinerede ifølge Bemærkning 4.1.5, og 

vi viser kun, at ϕ U er E-målelig. Da ν er σ-endeligt, kan vi vælge en følge (B n ) af mængder fra 

F, således at 

B 1 ⊆ B 2 ⊆ B 3 ⊆ ··· , 

⋃ 

n∈N 

B n = Y, og ν(B n ) < ∞ for alle n. 

For hvert n i N definerer vi derpå det endelige mål ν n på (Y,F), givet ved 

ν n (B) := ν k B n 

(B) = ν(B ∩ B n ), (B ∈ F) 

112

(jvf. Eksempel 1.3.3(D)). Betragt nu en vilkårlig mængde U fra E ⊗F, og betragt for hvert n 

funktionen ϕ (n) 

U 

: X → [0,∞) givet ved 

ϕ (n) 

U (x) = ν n(U x ) = ν(U x ∩ B n ), (x ∈ X). 

Da ν n er et endeligt mål, fortæller Lemma 4.3.1, at ϕ (n) 

U 

er E-målelig for alle n. Bemærk videre, 

at 

⋃ 

U x ∩ B 1 ⊆ U x ∩ B 2 ⊆ U x ∩ B 3 ⊆ ··· , og (U x ∩ B n ) = U x ∩Y = U x , 

n∈N 

for hvert x i X, og vha. Sætning 1.3.4(v) følger det derfor, at 

ϕ U (x) = ν(U x ) = lim 

n→∞ 

ν(U x ∩ B n ) = lim 

ϕ (n) 

n→∞ 

U 

(x), 

for alle x i X. Vha. Korollar 1.6.7(i) kan vi derfor slutte, at også ϕ U er E-målelig. 

Vi er nu parate til at bevise eksistens og entydighed af produktmål. 

 

4.3.3 Hovedsætning. Lad (X,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum. Da findes ét og kun 

ét mål π på (X ×Y,E ⊗F), således at 

Målet π er givet eksplicit ved 

∫ 

∫ 

π(U) = ν(U x ) µ(dx) = 

π(A × B) = µ(A)ν(B) for alle A i E og B i F. (4.8) 

X 

Y 

µ(U y )ν(dy) for alle U i E ⊗F. (4.9) 

Bevis for entydigheds-delen af Hovedsætning 4.3.3. Antag, at π og π ′ er to mål på produktrummet 

(X × Y,E ⊗ F), der begge opfylder (4.8). Med andre ord gælder der, at π(D) = 

π ′ (D) for alle D i det ∩-stabile frembringersystem 

K = {A × B | A ∈ E, B ∈ F}, 

for E ⊗F. Da (X,E, µ) og (Y,F,ν) er σ-endelige, kan vi vælge voksende følger (A n ) og (B n ) 

fra hhv. E og F, således at 

⋃ 

n∈N 

A n = X, 

⋃ 

n∈N 

B n = Y, og µ(A n ),ν(B n ) < ∞ for alle n. 

Sættes nu H n = A n ×B n for alle n, så er (H n ) en voksende følge af mængder fra K, der opfylder, 

at 

⋃ 

H n = X ×Y, og π(H n ) = µ(A n )ν(B n ) = π ′ (H n ) < ∞ for alle n. 

n∈N 

En anvendelse af Hovedsætning 3.2.2 viser dermed, at π = π ′ . 

113

Ifølge Lemma 4.3.2 kan vi definere afbild- 

Bevis for eksistens-delen af Hovedsætning 4.3.3. 

ningen π : E ⊗F → [0,∞] ved 

∫ 

π(U) = ν(U x ) µ(dx), 

X 

(U ∈ E ⊗F). 

Vi viser først, at π faktisk er et mål på E ⊗F. Det følger umiddelbart, at 

∫ 

∫ 

π(/0) = ν(/0 x ) µ(dx) = 0 µ(dx) = 0. 

X 

For en følge (U n ) af disjunkte mængder fra E ⊗F bemærker vi dernæst, at ((U n ) x ) n∈N er en 

følge af disjunkte mængder fra F for hvert x i X. Dermed følger det, at 

π ( ) 

∫ 

∪ n∈N U n = ν (( ) 

∫ 

∪ n∈N U n 

)x µ(dx) = ν ( ) 

∪ n∈N (U n ) x µ(dx) 

= 

= 

X 

∫ 

( ∞ 

X ∑ ν ( ) ) 

(U n ) x µ(dx) = 

n=1 

∞ 

∑ π(U n ), 

n=1 

hvor vi bl.a. har benyttet Sætning 2.2.9. 

X 

X 

∞ 

∑ 

n=1 

(∫ 

X 

ν ( (U n ) x 

) 

µ(dx) 

) 

Vi viser dernæst, at målet π opfylder identiteten (4.8). Lad A fra E og B fra F være givne. Vi 

har tidligere bemærket (se formel (4.7)), at 

ν((A × B) x ) = ν(B) · 1 A (x), 

(x ∈ X). 

Det følger derfor, at 

∫ 

π(A × B) = 


X 

∫ 

= ν(B) 

∫ 

ν((A × B) x ) µ(dx) = 

X 

1 A (x) µ(dx) = ν(B)µ(A), 

X 

ν(B)1 A (x) µ(dx) 

På samme måde som ovenfor følger det, at der ved ligningen 

∫ 

π ′ (U) = µ(U y )ν(dy), (U ∈ E ⊗F), 

Y 

defineres et mål π ′ på E ⊗F, som ligeledes opfylder (4.8). Ifølge entydighedsdelen (etableret 

ovenfor) gælder der derfor, at π = π ′ , hvilket beviser det andet lighedstegn i (4.9). 

4.3.4 Definition. Lad (X,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum. Målet π beskrevet i Hovedsætning 

4.3.3 kaldes for produktmålet af µ og ν, og det betegnes med µ ⊗ ν. 

114

4.3.5 Bemærkning. Vi har ovenfor indført produktmålet af to σ-endelige mål. Hvis man mere 

generelt betragter d σ-endelige målrum (X 1 ,E 1 , µ 1 ),. . . ,(X d ,E d , µ d ), da følger det helt analogt 

til beviset for entydighedsdelen af Sætning 4.3.3, at der højst findes ét mål π på produkt-σalgebraen 

E 1 ⊗ ··· ⊗E d , som opfylder, at 

π(A 1 × ··· × A d ) = 

d 

∏ 

j=1 

µ j (A j ), (A j ∈ E j , j = 1,...,d). (4.10) 

Eksistensen af et mål π på (X 1 × ··· × X d ,E 1 ⊗ ··· ⊗E d ), der opfylder (4.10), kan f.eks. etableres 

ved successiv anvendelse af Sætning 4.3.3: Hvis d = 3, kan vi indføre π som produktmålet 

(µ 1 ⊗ µ 2 ) ⊗ µ 3 , som er veldefineret, idet µ 1 ⊗ µ 2 automatisk er σ-endeligt. Bemærk også, at 

(E 1 ⊗E 2 ) ⊗E 3 = E 1 ⊗E 2 ⊗E 3 ifølge Bemærkning 4.2.5. Hvis d = 4, kan man efterfølgende 

indføre π som produktmålet ((µ 1 ⊗ µ 2 ) ⊗ µ 3 ) ⊗ µ 4 , og således fortsættes (induktion!). Det entydigt 

bestemte mål π på E 1 ⊗···⊗E d , der opfylder (4.10), kaldes naturligt for produktmålet af 

µ 1 ,..., µ d , og det betegnes med µ 1 ⊗ ··· ⊗ µ d . □ 

Følgende resultat viser sammenhængen mellem Lebesgue-målene i forskellige dimensioner via 

produktmålskonstruktionen. 

4.3.6 Sætning. For vilkårlige naturlige tal d og m gælder følgende udsagn: 

(i) λ ⊗d := 

} 

λ ⊗ ··· 

{{ 

⊗ λ 

} 

= λ d . 

d faktorer 

(ii) λ d ⊗ λ m = λ d+m , under den naturlige identifikation: R d ×R m ≃ R d+m . 

Bevis. (i) Ifølge Korollar 4.2.6(i) er λ ⊗d et mål på (R d ,B(R d )). Påstanden følger derefter af, 

at λ ⊗d ifølge definitionen af produktmål har egenskaben: 

λ ⊗d ((a 1 ,b 1 ) × ···×(a d ,b d )) = 

d 

∏ 

i=1 

λ((a i ,b i )) = 

d 

∏ 

i=1 

(b i − a i ) 

for alle a i ,b i i R, således at a i 

egenskab λ d , og vi kan derfor slutte, at λ ⊗d = λ d . 

(ii) Ifølge Korollar 4.2.6(ii) kan vi under den nævnte identifikation betragte λ d ⊗ λ m som et 

mål på (R d+m ,B(R d+m )), og påstanden følger så igen af, at λ d ⊗ λ m har den egenskab, der 

karakteriserer λ d+m ifølge Eksempel 3.2.3. 

4.3.7 Korollar. Lad d og m være naturlige tal. For enhver mængde B fra B(R d+m ) gælder der 

da, at 

∫ 

∫ 

λ d+m (B) = λ m(B x )λ d (dx) = λ d(B y )λ m (dy). 

R d R m 

Bevis. Dette resultat følger umiddelbart ved at kombinere Sætning 4.3.6(ii) med Hovedsætning 

4.3.3. 

115

Den næste sætning viser, at den intuitive opfattelse af integralet af en positiv funktion som 

arealet under dens graf er i fuld overensstemmelse med den udviklede teori. 

4.3.8 Sætning. Lad (X,E, µ) være et σ-endeligt målrum, og betragt produktrummet: 

(X ×R,E ⊗B(R), µ ⊗ λ). 

Lad videre f være en funktion i M(E) + , og betragt “området under grafen for f ”, dvs. mængden 

H = {(x,t) ∈ X ×R | 0 ≤ t ≤ f(x)}. 

Da gælder der, at H ∈ E ⊗B(R), og at 

∫ 

∫ ∞ 

f dµ = (µ ⊗ λ)(H) = µ({ f ≥ t})λ(dt). 

X 

0 

Bevis. For at vise at H ∈ E ⊗B(R), betragter vi koordinat-projektionerne p 1 : X × R → X og 

p 2 : X ×R → R (jvf. Definition 4.1.2). Vi finder da, at 

H = {(x,t) ∈ X ×R | p 2 (x,t) ≥ 0} ∩ {(x,t) ∈ X ×R | f ◦ p 1 (x,t) − p 2 (x,t) ≥ 0} 

= p −1 

2 ([0,∞)) ∩( f ◦ p 1 − p 2 ) −1 ([0,∞)) ∈ E ⊗B(R), 

idet afbildningerne p 2 og ( f ◦ p 1 − p 2 ) begge er E ⊗B(R)-målelige. Vi bestemmer derpå snitmængderne 

H x og H t for x i X og t i R: 


H x = {t ∈ R | (x,t) ∈ H} = {t ∈ R | 0 ≤ t ≤ f(x)} = [0, f(x)], 

H t = {x ∈ X | (x,t) ∈ H} = 

{ 

/0, hvis t < 0 

{ f ≥ t}, hvis t ≥ 0. 

Ved anvendelse af (4.9) i Hovedsætning 4.3.3 finder vi derefter, at 

∫ 

∫ 

∫ 

µ ⊗ λ(H) = λ(H x ) µ(dx) = λ([0, f(x)]) µ(dx) = 


∫ 

µ ⊗ λ(H) = 

R 


X 

∫ 

µ(H t )λ(dt) = 

 

R 

X 

µ({ f ≥ t})1 [0,∞) (t)λ(dt) = 

X 

∫ ∞ 

0 

f(x) µ(dx), 

µ({ f ≥ t})λ(dt). 

4.3.9 Korollar. Lad (X,E, µ) være et σ-endeligt målrum, og lad f være en funktion i M(E) + . 


∞ 

∫ 

∞ 

∑ µ({ f ≥ k}) ≤ f dµ ≤ ∑ µ({ f ≥ k}). (4.11) 

k=1 

X k=0 

116

Hvis µ er et endeligt mål, gælder der specielt, at 

∫ 

X 

f dµ < ∞ ⇐⇒ 

∞ 

∑ µ({ f ≥ k}) < ∞. (4.12) 

k=1 

Bevis. Da funktionen t ↦→ µ({ f ≥ t}) er aftagende (og dermed Borel-målelig), finder vi for t i 

(0,∞), at 

∞ 

∞ 

∑ µ({ f ≥ k − 1})1 (k−1,k] (t) ≥ µ({ f ≥ t}) ≥ ∑ µ({ f ≥ k})1 (k−1,k] (t). 

k=1 

k=1 

Ved integration mht. λ og anvendelse af Sætning 2.2.9 følger det derfor, at 

∫ ∞ 

og helt tilsvarende fås, at 

0 

∫ ∞ 

0 

µ({ f ≥ t})λ(dt) ≥ 

= 

= 

µ({ f ≥ t})λ(dt) ≤ 

∫ ∞ 

0 

∞ 

∑ 

k=1 

( ∞ ) 

∑ µ({ f ≥ k})1 (k−1,k] (t) λ(dt) 

k=1 

(∫ ∞ 

0 

∞ 

∑ µ({ f ≥ k}), 

k=1 

) 

µ({ f ≥ k})1 (k−1,k] (t)λ(dt) 

∞ 

∞ 

∑ µ({ f ≥ k − 1}) = ∑ µ({ f ≥ k}). 

k=1 

k=0 

Sammenholdes disse uligheder med Sætning 4.3.8, fremgår (4.11). 

Bemærk dernæst, at forskellen på højre- og venstreside af (4.11) er leddet µ({ f ≥ 0}), og hvis 

µ er endeligt, er dette et endeligt tal. Derfor gælder der i dette tilfælde, at 

∞ 

∑ µ({ f ≥ k}) < ∞ ⇐⇒ 

k=1 

∞ 

∑ µ({ f ≥ k}) < ∞, 

k=0 

som sammen med (4.11) viser (4.12). 

 

4.4 Integration med hensyn til produktmål – Tonellis og Fubinis Sætninger 

I dette afsnit betragtes to σ-endelige målrum (X,E, µ) og (Y,F,ν), og vi skal undersøge, hvordan 

man integrerer (E⊗F)-målelige funktioner defineret på X ×Y med hensyn til produktmålet 

µ ⊗ ν. 

117

For en funktion f fra M(E⊗F) og for x i X og y i Y betragter vi “snit-funktionerne” f(x,·): Y → 

R og f(·,y): X → R givet ved: 

f(x,·)(t) = f ◦ ι x (t) = f(x,t), og f(·,y)(s) = f ◦ ι y (s) = f(s,y), (s ∈ X, t ∈ Y). 

Vi erindrer fra Sætning 4.1.4(ii), at f(x,·) ∈ M(F), og f(·,y) ∈ M(E). 

4.4.1 Sætning. (Tonellis Sætning) Lad (X,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum og 

betragt produktrummet (X × Y,E ⊗ F, µ ⊗ ν). For enhver funktion f : X × Y → [0,∞] fra 

M(E ⊗F) + gælder der da, at 

(i) Funktionen x ↦→ ∫ Y f(x,·)dν = ∫ Y f(x,y)ν(dy) er positiv og E-målelig. 

∫ (∫ ) ∫ 

(ii) f(x,y)ν(dy) µ(dx) = f(x,y)(µ ⊗ ν)(dx,dy). 

X 

Y 

X×Y 

4.4.2 Bemærkning. Lad (X,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum. Der gælder naturligvis 

et resultat analogt til Tonellis Sætning, hvis man lader x og y bytte rolle og først integrerer 

mht. x og dernæst mht. y. For enhver funktion f fra M(E ⊗F) + har vi således ialt, at 

∫ (∫ ) ∫ 

f(x,y)ν(dy) µ(dx) = f(x,y)(µ ⊗ ν)(dx,dy) 

X 

Y 

= 

X×Y 

∫ (∫ 

Specielt fremgår det, at integrations-ordenen er ligegyldig. 

Y 

X 

) 

f(x,y) µ(dx) ν(dy). 

□ 

Bevis for Tonellis Sætning. Beviset er (endnu) et eksempel på anvendelse af “standardbeviset” 

(jvf. indledningen til Afsnit 1.8). Vi viser således først sætningen for en simpel funktion 

s i M(E ⊗F) + . Vi skriver s på formen: 

s = 

n 

∑ 

i=1 

a j 1 Uj , 

hvor n ∈ N, og a j ∈ [0,∞), U j ∈ E ⊗F for alle j i {1,...,n}. For x i X bemærker vi da, at 

s(x,·) = 

n 

n 

∑ a j 1 Uj (x,·) = ∑ a j 1 (Uj ) x 

, 

j=1 

j=1 

hvor (U j ) x betegner snitmængden af U j i x (jvf. Bemærkning 4.1.5). Det følger derfor, at 

∫ 

Y 

∫ ( n n 

s(x,·)dν = 

Y ∑ a j 1 (Uj ) x 

)dν = ∑ a j ν((U j ) x ), (4.13) 

j=1 

j=1 

som sammen med Lemma 4.3.2 viser, at x ↦→ ∫ Y s(x,·)dν er en linear-kombination af E-målelige 

funktioner, hvilket sikrer, at (i) er opfyldt. 

118

Med hensyn til (ii) finder vi ved integration med hensyn til µ i (4.13), at 

∫ 

X 

(∫ 

Y 

) ∫ ( n ) 

n ∫ 

s(x,·)dν µ(dx) = 

X ∑ a j ν((U j ) x ) µ(dx) = ∑ a j ν((U j ) x ) µ(dx) 

j=1 

j=1 X 

= 

n 

∫ 

∑ a j (µ ⊗ ν)(U j ) = s d(µ ⊗ ν), 

j=1 

X×Y 

hvor vi i tredje lighedstegn har benyttet Hovedsætning 4.3.3. Dermed er også (ii) opfyldt. 

For en generel funktion f fra M(E ⊗F) + benytter vi Sætning 1.8.3 til at vælge en følge (s n ) af 

simple funktioner fra M(E ⊗F) + , således at s n ↑ f for n → ∞. For hvert x i X har vi da, at også 

s n (x,·) ↑ f(x,·) for n → ∞, og dermed ved Hovedsætning 2.2.4 at 

∫ 

Y 

∫ 

s n (x,·)dν ↑ 

Y 

f(x,·)dν for n → ∞. (4.14) 

For hvert n ved vi fra første del af beviset, at funktionen x ↦→ ∫ Y s n(x,·)dν er E-målelig, og 

dermed viser (4.14), at x ↦→ ∫ Y f(x,·)dν er punktvis grænse af E-målelige funktioner, hvilket 

sikrer, at (i) er opfyldt (jvf. Korollar 1.6.7). Med hensyn til (ii) finder vi ved anvendelse af (4.14), 

første del af beviset og (yderligere) to anvendelser af Hovedsætning 2.2.4, at 

∫ (∫ ) 

(∫ ) 

f(x,·)dν µ(dx) = lim s n (x,·)dν µ(dx) 

X Y 

n→∞ 

∫X Y 

∫ 

= lim s n d(µ ⊗ ν) = f d(µ ⊗ ν). 

n→∞ 

∫X×Y 

X×Y 

Dermed er sætningen bevist. 

 

4.4.3 Eksempel. Betragt mængden 

E = {(x,y) ∈ R 2 | 0 < x < y < 1}. 

Vi ønsker for ethvert α i R at udregne integralet: ∫ E (y − x)α λ 2 (dx,dy). Bemærk, at integralet 

er veldefineret, eftersom E er en åben mængde og dermed en Borel-mængde, ligesom den 

ikke-negative funktion (x,y) ↦→ (y − x) α er kontinuert på E og dermed Borel-målelig (jvf. Korollar 

1.7.8(i)). Ved anvendelse af Bemærkning 2.6.2(2) og Tonellis Sætning finder vi nu, at 

∫ 

∫ 

(y − x) α λ 2 (dx,dy) = 

E 

R 2(y − x)α 1 E (x,y)λ 2 (dx,dy) 

∫ (∫ 

) 

= (y − x) α 1 Ex (y)λ(dy) λ(dx). 

Bemærk her, at 

E x = 

R 

R 

{ 

/0, hvis x /∈ (0,1) 

(x,1), hvis x ∈ (0,1). 

119

1 

E 

E_x 

x 

x 

1 

Figur 7: Illustration af snitmængden E x fra Eksempel 4.4.3. 

Indsættes dette i ovenstående udregning, finder vi, at 

∫ 

E 

(y − x) α λ 2 (dx,dy) = 

∫ 1 (∫ 1 

0 

x 

) 

(y − x) α λ(dy) λ(dx). (4.15) 

For at udregne det inderste integral på højresiden af (4.15) betragter vi et fast x i (0,1). Hvis 

α ≥ 0, er funktionen y ↦→ (y − x) α kontinuert på [x,1], og ∫ 1 

x (y − x) α λ(dy) kan umiddelbart 

udregnes som et Riemann-integral ved stamfunktionsbestemmelse. Hvis α < 0 gælder der, at 

(y − x) α → ∞ for y ↓ x, og derfor kan samme fremgangsmåde ikke umiddelbart benyttes. Ved 

hjælp af Hovedsætning 2.2.4 kan vi imidlertid i alle tilfælde udregne ∫ 1 

x (y − x) α λ(dy) som en 

grænseværdi: 

∫ 1 

∫ 1 

(y − x) α λ(dy) = lim (y − x) α λ(dy), 

x 

n→∞ x+ n 

1 

og her kan ∫ 1 

x+ 1 n(y − x) α λ(dy) i alle tilfælde udregnes ved stamfunktionsbestemmelse: 

∫ 1 

x+ 1 n 

Vi slutter derfor, at 

⎧[ ⎨ (α + 1) −1 (y − x) α+1] y=1 

(y − x) α y=x+ 

λ(dy) = 

1 , hvis α ≠ −1, 

[ ] 

n 

⎩ 

y=1 

ln(y − x) , hvis α = −1, 

∫ 1 

x 

= 

(y − x) α λ(dy) = 

y=x+ 1 n 

{ 

(α + 1) −1( (1 − x) α+1 −( 1 n )α+1) , hvis α ≠ −1, 

ln(1 − x) − ln( 1 n 

), hvis α = −1. 

{ 

(α + 1) −1 (1 − x) α+1 , hvis α > −1, 

∞, hvis α ≤ −1. 

Dermed kan vi endelig slutte (jvf. (4.15)), at hvis α ≤ −1, så er 

∫ 

E 

(y − x) α λ 2 (dx,dy) = 

∫ 1 

0 

∞λ(dx) = ∞, 

120

mens vi for α i (−1,∞) finder, at 

∫ 

E 

∫ 1 

(y − x) α λ 2 (dx,dy) = (α + 1) −1 (1 − x) α+1 λ(dx) 

0 

= (α + 1) −1 (α + 2) −1[ −(1 − x) α+2] x=1 

x=0 

= 

1 

(α + 1)(α + 2) . ⋄ 

Vi skal herefter vise en analog til Tonellis Sætning for funktioner med generelle reelle værdier. 

4.4.4 Sætning. (Fubinis Sætning) Lad (X,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum, og betragt 

produktrummet (X ×Y,E ⊗F, µ ⊗ ν). Lad yderligere f : X ×Y → R være en funktion i 

L 1 (µ ⊗ ν). Da gælder der, at 

(i) Mængden 

N = { x ∈ X ∣ f(x,·) /∈ L 1 (ν) } = { x ∈ X ∣ ∫ Y | f(x,y)|ν(dy) = ∞} 

tilhører E, og µ(N) = 0. 

(ii) Funktionen u: X → R, defineret ved 

{ ∫ 

Y f(x,y)ν(dy), hvis x ∈ Nc 

u(x) = 

0, hvis x ∈ N, 

(iii) 

er element i L 1 (µ). 

∫ 

∫ 

f d(µ ⊗ ν) = 

X×Y 

X 

u(x) µ(dx) = 

(∫ ∫N c Y 

) 

f(x,y)ν(dy) µ(dx). 

4.4.5 Bemærkninger. Lad (X,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum. 

(1) Der gælder naturligvis et resultat svarende til Fubinis Sætning, hvis man lader x og y bytte 

rolle. For f i L 1 (µ ⊗ ν) har man således formlen: 

∫ 

(∫ ) 

f d(µ ⊗ ν) = f(x,y) µ(dx) ν(dy), (4.16) 

∫M c 

hvor mængden 

X×Y 

M := {y ∈ Y | f(·,y) /∈ L 1 (µ)} = { y ∈ Y ∣ ∫ X | f(x,y)| µ(dx) = ∞} 

X 

er F-målelig, og ν(M) = 0. 

(2) Formlen i (iii) af Fubinis Sætning skrives ofte 

∫ (∫ ) ∫ 

f(x,y)ν(dy) µ(dx) = 

X 

Y 

X×Y 

f d(µ ⊗ ν), (4.17) 

121

selvom ∫ Y f(x,y)ν(dy) kun giver mening for x i Nc . Man benytter således underforstået 

konventionen ∫ Y f(x,y)ν(dy) = 0 for x i N, hvilket præcis svarer til definitionen af funktionen 

u. Tilsvarende overvejelser gælder naturligvis for formlen (4.16), og derfor skrives 

ofte under antagelserne i Fubinis Sætning: 

∫ (∫ ) ∫ 

∫ (∫ ) 

f(x,y)ν(dy) µ(dx) = f d(µ ⊗ ν) = f(x,y) µ(dx) ν(dy), 

X 

Y 

X×Y 

som specielt udtrykker, at integrationsordenen er ligegyldig. 

(3) En væsentlig forudsætning i Fubinis Sætning er, at f ∈ L 1 (µ ⊗ ν). For at checke at dette 

er opfyldt for en givet funktion f i M(E ⊗F), skal man undersøge, om 

∫ 

| f |d(µ ⊗ ν) < ∞. 

X×Y 

Hertil kan man ofte med fordel benytte Tonellis Sætning og således undersøge, om 

∫ (∫ ) 

∫ (∫ ) 

| f(x,y)| µ(dx) ν(dy) < ∞, eller om | f(x,y)|ν(dy) µ(dx) < ∞, 

Y 

X 

alt efter hvad der er nemmest i den konkrete situation. 

X 

Y 

Y 

□ 

X 

Bevis for Fubinis Sætning. (i) For ethvert x i X er funktionen f(x,·) F-målelig ifølge Sætning 

4.1.4(ii). Dermed er funktionen 

∫ 

w(x) = | f(x,y)|ν(dy), (x ∈ X), 

Y 

veldefineret, og ifølge (i) i Tonellis Sætning er den E-B(R)-målelig. Specielt følger det, at 

N = {w = ∞} = w −1 ({∞}) ∈ E. 

Ved anvendelse af (ii) i Tonellis Sætning finder vi videre, at 

∫ 

∫ (∫ ) ∫ 

w(x) µ(dx) = | f(x,y)|ν(dy) µ(dx) = 

X 

X 

Y 

X×Y 

| f |d(µ ⊗ ν) < ∞, 

og ifølge Sætning 2.3.6(iii) medfører dette, at w < ∞ µ-n.o., dvs. µ(N) = 0. 

(ii) For at vise, at u er E-målelig, er det ifølge Sætning 1.7.3 nok at vise, at funktionen 

∫ 

x ↦→ f(x,y)ν(dy), (x ∈ N c ) (4.18) 

Y 

er E N c-målelig. Hertil bemærker vi, at for ethvert x i N c kan vi skrive 

∫ 

∫ 

∫ 

f(x,y)ν(dy) = f + (x,y)ν(dy) − f − (x,y)ν(dy), (4.19) 

Y 

Y 

hvor funktionerne x ↦→ ∫ Y f ± (x,y)ν(dy) er definerede på hele X, og ifølge (i) i Tonellis Sætning 

er de E-målelige. Dermed er deres restriktioner til N c E N c-målelige (jvf. Bemærkning 1.7.2(3)), 

122 

Y

og dermed viser (4.19), at funktionen givet i (4.18) ligeledes er E N c-målelig (jvf. Sætning 1.5.4) 

som ønsket. Ved anvendelse af Sætning 2.4.5(iv) og (ii) i Tonellis Sætning finder vi endvidere, 

at 

∫ 

∣∫ 

(∫ ) 

∣∣ |u(x)| µ(dx) = f(x,y)ν(dy) ∣ µ(dx) ≤ | f(x,y)|ν(dy) µ(dx) 

∫N 

∫N c c 

X 

∫ 

≤ 

hvilket viser, at u ∈ L 1 (µ). 

X 

Y 

(∫ 

Y 

) ∫ 

| f(x,y)|ν(dy) µ(dx) = | f |d(µ ⊗ ν) < ∞, 

X×Y 

(iii) Formlen udledes overordnet set ved at anvende (ii) i Tonellis Sætning på f + og f − . Vi 

bemærker først, at 

∫ 

∫ (∫ ) 

u(x) µ(dx) = f(x,y)ν(dy) 1 N c(x) µ(dx) 

X 

= 

X 

∫ 

X 

Y 

[(∫ 

Her gælder der, at funktionerne 

(∫ 

x ↦→ 

Y 

) (∫ 

f + (x,y)ν(dy) 1 N c(x) − 

Y 

Y 

) 

f ± (x,y)ν(dy) 1 N c(x), (x ∈ X) 

Y 

) ] 

f − (x,y)ν(dy) 1 N c(x) µ(dx). 

er elementer i L 1 (µ), eftersom (ii) i Tonellis Sætning giver, at 

∫ (∫ ) 

∫ (∫ ) ∫ 

f ± (x,y)ν(dy) 1 N c(x) µ(dx) ≤ | f(x,y)|ν(dy) µ(dx) = 

X 

Y 

X 

Y 

X×Y 

(4.20) 

| f |d(µ ⊗ ν) < ∞. 

Ved anvendelse af Sætning 2.4.5(ii) kan vi derfor fortsætte udregningen (4.20) som følger: 

∫ 

∫ (∫ ) 

∫ (∫ ) 

u(x) µ(dx) = f + (x,y)ν(dy) 1 N c(x) µ(dx) − f − (x,y)ν(dy) 1 N c(x) µ(dx) 

X 

= 

= 

= 

X Y 

∫ (∫ 

X 

∫ 

X×Y 

∫ 

X×Y 

Y 

) ∫ 

f + (x,y)ν(dy) µ(dx) − 

∫ 

f + d(µ ⊗ ν) − 

f d(µ ⊗ ν), 

X×Y 

X 

(∫ 

f − d(µ ⊗ ν) 

Y 

X 

Y 

) 

f − (x,y)ν(dy) µ(dx) 

hvor vi i 2. og 3. lighedstegn har benyttet hhv. Sætning 2.3.6(ii) og (ii) i Tonellis Sætning. 

Dermed er sætningen vist. 

4.4.6 Eksempel. Sæt A = [0,4] ×[0,∞), og betragt funktionen f : A → R givet ved: 

f(x,y) = ln ( 1 

4 

+ √ x ) e −√ xy , 

((x,y) ∈ A). 

Vi ønsker at udregne integralet 

∫ 

f(x,y)λ 2 (dx,dy) = 

A 

∫ 

R 2 f(x,y)1 A(x,y)λ 2 (dx,dy) 

123

(jvf. Bemærkning 2.6.2(2)). Med henblik på at benytte Fubinis Sætning viser vi først, at f 1 A ∈ 

L 1 (λ 2 ). Da f er kontinuert på A, viser Korollar 1.7.8, at f 1 A er en Borel-funktion. Da ln er 

voksende, bemærker vi endvidere, at 

|ln( 1 4 + √ x)| ≤ max{−ln( 

4 1 ),ln( 9 4 

)} = ln(4) 

for alle x i [0,4]. Ifølge Tonellis Sætning har vi (idet λ 2 = λ ⊗ λ), at 

∫ 

∫ (∫ 

) 

| f(x,y)|1 A(x,y)λ 2 (dx,dy) = 

| f(x,y)|λ(dy) λ(dx). (4.21) 

R 2 

For fast x i (0,4] finder vi her ved anvendelse af Hovedsætning 2.2.4 og Sætning 2.7.3, at 

∫ 

[0,∞) 

[0,4] 

[0,∞) 

∫ ∞ 

| f(x,y)|λ(dy) ≤ ln(4) e −√xy λ(dy) = ln(4) lim 

0 

n→∞ 

∫ n 

[ 

= ln(4) lim − √x 1 

e −√ xy ] y=n 

n→∞ y=0 = ln(4) √ , x 

0 

e −√ xy λ(dy) 

(4.22) 

mens vi for x = 0 finder, at 

∫ 

∫ 

∫ 

| f(x,y)|λ(dy) = ln(4) e −√xy λ(dy) = ln(4) 1λ(dy) = ∞. (4.23) 

[0,∞) 

[0,∞) 

[0,∞) 

Idet vi kan se bort fra λ-nulmængden {0} i integrationen mht. x i (4.21) (jvf. Sætning 2.3.6(iv)), 

kan vi nu konkludere, at 

∫ 

R 2 | f(x,y)|1 A(x,y)λ 2 (dx,dy) ≤ ln(4) 

∫ 4 

0 

1 

√ x 

λ(dx) < ∞, 

idet det forudsættes kendt (jvf. Opgave 2.8.6), at ∫ 4 √x 1 

0 λ(dx) < ∞. Da vi nu har etableret, at 

f 1 A ∈L 1 (λ 2 ), kan vi benytte Fubinis Sætning til at udregne integralet ∫ f(x,y)1 A (x,y)λ 2 (dx,dy): 

Det følger fra (4.22) og (4.23), at 

N = {x ∈ R | f(x,·)1 A (x,·) /∈ L 1 (λ)} = {0}, 

der specielt er en λ-nulmængde, som forudsagt af del (i) i Fubinis Sætning. Det følger endvidere 

fra del (iii) af denne sætning, at 

∫ 

∫ (∫ 

f(x,y)1 A(x,y)λ 2 (dx,dy) = 

ln( 1 

R 2 4 + √ ) 

x)e −√xy λ(dy) λ(dx) 

= 

= 

(0,4] 

∫ 4 

0 

∫ 4 

0 

[0,∞) 

ln( 1 4 + √ (∫ ∞ 

x) 

ln( 1 4 + √ x) 1 √ x 

λ(dx) 

0 

) 

e −√xy λ(dy) λ(dx) 

∫ 4 

= lim ln( 

n→∞ 4 1 + √ x) √ 1 λ(dx), 

1/n 

x 

124

hvor vi til sidst benytter Hovedsætning 2.5.3 med g(x) = ln(4) 1 √ x 

som majorent. For hvert n 

kan vi udregne integralet ∫ 4 

1/n ln( 1 4 + √ x) 1 √ x 

λ(dx) som et Riemann-integral og dermed benytte 

substitutionen: t = 1 4 + √ x. Vi finder således, at 

∫ 4 

1/n 

og vi kan dermed konkludere, at 

∫ 

ln( 1 4 + √ x) √ 1 ∫ 9 

4 

λ(dx) = 2 ln(t)λ(dt) = 2 [ t ln(t) −t ] 9 

41√n 

, 

x 1√ n 

+ 1 + 1 

4 

4 

f(x,y)1 

[ ] 9 

A(x,y)λ 2 (dx,dy) = 2 lim t ln(t) −t 41√n 

= 

R 2 n→∞ + 1 4 9 ln( 4 9) − 9 4 −( 1 

4 

ln( 

4 1) − 1 ) 

4 

4 

= 1 4( 

9ln(9) − 8ln(4) 

) 

− 2 ≈ 0.1712. ⋄ 


4.5.1 Opgave. Identificér og gennemfør de udeladte detaljer i Bemærkning 4.3.5. 

4.5.2 Opgave. Lad (X,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum, og lad f : X → R og g: Y → 

R være funktioner fra hhv. L 1 (µ) og L 1 (ν). Betragt så funktionen h: X ×Y → R givet ved: 

h(x,y) = f(x)g(y), 

((x,y) ∈ X ×Y). 

(a) Vis, at h ∈ L 1 (µ ⊗ ν), og at 

∫ 

∫ 

h(x,y)(µ ⊗ ν)(dx,dy) = 

X×Y 

X 

∫ 

f(x) µ(dx) g(y)ν(dy). 

Y 

(b) Udregn værdien af integralet ∫ [0,∞)×[0,∞) xe−x−y λ 2 (dx,dy). [Vink: Husk at λ 2 = λ ⊗ λ.] 

4.5.3 Opgave. Betragt mængden 

S = {(x,y) ∈ R 2 | x ∈ [0,1], 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 }. 

(a) Skitsér mængden S, og redegør for, at S ∈ B(R 2 ). 

(b) Bestem arealet af S, dvs. λ 2 (S). 

(c) Udregn værdien af integralet ∫ S xyλ 2(dx,dy). 

4.5.4 Opgave. Betragt mængden 

△ = {(x,y) ∈ R 2 | x ∈ [0, 

2 π ], 0 ≤ y < x}. 

(a) Skitsér mængden △, og redegør for, at △ ∈ B(R 2 ). 

(b) Udregn værdien af integralet ∫ △ x2 cos(xy)λ 2 (dx,dy). 

125

4.5.5 Opgave. Betragt i R 2 mængden 

∆ = {(x,y) ∈ R 2 | x = y}. 

(a) Redegør for at ∆ ∈ B(R 2 ), og bestem λ 2 (∆). 

Betragt nu endvidere Lebesgue målet λ på R, og lad τ betegne restriktionen af tællemålet på R 

til B(R). 

(b) Vis, at ∫ (∫ ) ∫ (∫ ) 

1 ∆ (x,y)λ(dy) τ(dx) ≠ 1 ∆ (x,y)τ(dx) λ(dy). 

R R 

R R 

Sammenhold med Tonellis Sætning. 

4.5.6 Opgave. Betragt den lukkede enhedscirkelskive 

D = {(x,y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≤ 1} 

i R 2 . Udregn arealet af D vha. resultaterne i Afsnit 4.3. 

4.5.7 Opgave. For ethvert positivt tal a og ethvert d i N defineres simplekset S d (a) i R d ved: 

S d (a) = { (x 1 ,...,x d ) ∈ R d ∣ ∣ x1 ,...,x d ≥ 0, ∑ d j=1 x j ≤ a } . 

(a) Tegn S d (1) for hvert d i {1,2,3}. 

(b) Vis ved induktion efter d, at 

λ d (S d (a)) = ad 

d! 

for ethvert positivt a og ethvert d i N. 

4.5.8 Opgave. Betragt tællemålet τ 2 på (N 2 ,P(N 2 )). 

(a) Vis, at τ 2 = τ 1 ⊗ τ 1 , hvor τ 1 betegner tællemålet på (N,P(N)). 

(b) Oversæt Tonellis og Fubinis sætninger til resultater omkring ombytning af summationsordenen 

for dobbeltsummer på formen: 

∞ ∞ 

∑ ∑ 

n=1 m=1 

a m,n , 

hvor (a m,n ) (m,n)∈N 2 er en dobbeltindiceret familie af positive eller reelle tal. 

4.5.9 Opgave. Betragt funktionen f : R 2 → R givet ved 

⎧ 

⎪⎨ y −2 , hvis 0 < x < y ≤ 1, 

f(x,y) = −x 

⎪⎩ 

−2 , hvis 0 < y < x ≤ 1, 

0, ellers. 

126

(a) Udregn dobbeltintegralerne 

∫ 1 (∫ 1 ) 

f(x,y)λ(dx) λ(dy) og 

0 

0 

∫ 1 (∫ 1 

0 

0 

) 

f(x,y)λ(dy) λ(dx). 

(b) Gælder der, at f ∈ L 1 (λ 2 )? 

4.5.10 Opgave. Lad µ være et endeligt mål på (R 2 ,B(R 2 )), og antag, at µ har en tæthed h fra 

M(B(R 2 )) + med hensyn til Lebesgue-målet λ 2 . Vis da, at følgende betingelser er ækvivalente: 

(a) Der findes endelige mål µ 1 og µ 2 på (R,B(R)), således at µ = µ 1 ⊗ µ 2 . 

(b) Der findes funktioner f,g fra L 1 (λ) + , således at 

h(x,y) = f(x)g(y), ((x,y) ∈ R 2 ). 

4.5.11 Opgave. (Generaliseret partiel integration) I denne opgave betragtes målrummet (R,B(R),λ), 

hvor λ betegner Lebesgue-målet. Endvidere betragtes en funktion g fra L 1 (λ). 

(a) Vis, at der ved udtrykket 

G(x) = 

∫ x 

−∞ 

g(t)λ(dt), 

defineres en kontinuert funktion G: R → R. 

(x ∈ R), 

(b) Vis, at hvis a,b ∈ R, således at a < b, da gælder formlen 

∫ b 

g(t)λ(dt) = G(b) − G(a). 

a 

I det følgende betragtes endnu et mål µ på (R,B(R)), og vi antager, at µ(R) < ∞. Vi betragter 

endvidere funktionen F µ : R → R givet ved 

F µ (t) = µ((−∞,t]), 

(t ∈ R). 

Endelig betragtes som i (b) reelle tal a og b, således at a < b. 

(c) Vis vha. Fubinis Sætning, at 

∫ b 

g(t)F µ (t)λ(dt) = 

a 

∫ 

R 

(∫ b 

a 

) 

1 [s,∞) (t)g(t)λ(dt) µ(ds). 

(d) Vis, at der for ethvert s i R gælder, at 

∫ b 

1 [s,∞) (t)g(t)λ(dt) = (G(b) − G(s))1 (a,b] (s)+(G(b) − G(a))1 (−∞,a] (s). 

a 

(e) Udled formlen: 

∫ b 

∫ 

g(t)F µ (t)λ(dt) = G(b)F µ (b) − G(a)F µ (a) − G(t) µ(dt). 

a 

(a,b] 

Formlen, der udledes i spørgsmål (e), kan betragtes som en generalisering af den velkendte 

formel for partiel integration (se Opgave 5.4.5). 

127

5 Nye mål fra gamle 

Vi skal i dette kapitel studere to fundamentale konstruktioner, der ud fra et givet mål µ fører til 

et nyt ν; nemlig transformation af mål og mål med tæthed. Transformation af mål behandles 

i Afsnit 5.1, og begrebet har bl.a. stor betydning i forbindelse med eksperimenter, hvor man 

studerer en størrelse ξ , men hvor man f.eks. kun er i stand til at observere ϕ(ξ) for en passende 

transformation ϕ. Hvis opførslen af ξ er beskrevet af et mål µ, da vil opførslen af ϕ(ξ) være 

beskrevet af transformationen af µ ved afbildningen ϕ (jvf. Definition 5.1 nedenfor). 

Hvis µ er et mål på et måleligt rum (X,E), og g ∈M(E) + , da er det let at indse (jvf. Lemma 5.2.1 

nedenfor), at der ved udtrykket 

∫ 

ν(A) = gdµ, (A ∈ E), 

A 

defineres et nyt mål ν på (X,E), som siges at have tæthed g mht. µ. Betydningen af denne konstruktion, 

der behandles i Afsnit 5.2, illustreres bl.a. af, at alle de vigtigste (sandsynligheds-) 

mål på R enten har en tæthed med hensyn til Lebesgue-målet λ (de kontinuerte fordelinger) 

eller med hensyn til tællemålet på (N 0 ,P(N 0 )) (de diskrete fordelinger). I forlængelse af gennemgangen 

af mål med tæthed skal vi i Afsnit 5.3 kort diskutere begrebet absolut kontinuitet 

samt entydighed af tætheden. 

5.1 Transformation af mål 

Lad (X,E, µ) være et målrum, lad (Y,F) være et måleligt rum og lad ϕ : X → Y være en E- 

F-målelig afbildning. Ved hjælp af ϕ kan vi transformere målet µ på (X,E) til et mål ν på 

(Y,F). 

5.1.1 Lemma. Lad situationen være som beskrevet ovenfor. Da fastlægges ved udtrykket 

ν(B) := µ(ϕ −1 (B)), 

(B ∈ F), 

et mål ν på F. 

Bevis. Det følger umiddelbart, at ν(/0) = µ(ϕ −1 (/0)) = µ(/0) = 0, og hvis (B n ) n∈N er en følge 

af disjunkte mængder fra F, så finder vi, at 

ν ( ⋃ 

n∈N 

B n 

) 

= µ 

( ϕ 

−1 ( ⋃ 

n∈N 

B n 

)) 

= µ 

( ⋃ 

n∈N 

ϕ −1 (B n ) ) = 

∞ 

∑ µ ( ϕ −1 (B n ) ) ∞ 

= ∑ ν(B n ), 

n=1 

n=1 

idet vi har benyttet at original-mængderne ϕ −1 (B 1 ),ϕ −1 (B 2 ),ϕ −1 (B 3 ),... ligeledes er disjunkte. 

 

128

5.1.2 Definition. Målet ν introduceret i Lemma 5.1.1 ovenfor kaldes for transformationen af 

µ ved ϕ eller billedmålet af µ ved ϕ. Det betegnes ofte med µ ◦ ϕ −1 , µ ϕ eller ϕ(µ). 

5.1.3 Eksempel. (Translationer I) Lad x = (x 1 ,...,x d ) være en fast vektor i R d , og betragt 

afbildningen τ x : R d → R d givet ved: 

τ x (y) = y+x = (y 1 + x 1 ,...,y d + x d ), (y = (y 1 ,...,y d ) ∈ R d ). 

For et vilkårligt åbent interval (a 1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) i R d bemærker vi, at 

( 

(a1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) ) = (a 1 − x 1 ,b 1 − x 1 ) × ··· ×(a d − x d ,b d − x d ), 

τ −1 

x 

og det følger derfor fra Sætning 1.4.6(iv), at τ x er B(R d )-B(R d )-målelig. Vi kan således betragte 

transformationen λ d ◦ τx 

−1 af Lebesgue-målet λ d med τ x . Vi bemærker specielt, at 

λ d ◦ τx 

−1 ( 

(a1 ,b 1 ) × ··· ×(a d ,b d ) ) ( 

= λ d (a1 − x 1 ,b 1 − x 1 ) × ···×(a d − x d ,b d − x d ) ) 

= 

d 

∏ 

i=1 

(b i − a i ). 

Ifølge Eksempel 3.2.3 findes der kun ét mål på (R d ,B(R d )) med denne egenskab, nemlig λ d 

selv. Vi kan derfor slutte, at 

λ d ◦ τ −1 

x = λ d for alle x i R d , 

hvilket udtrykkes ved at sige, at Lebesgue-målet på R d er translationsinvariant. I Appendix A.7 

vises det, at der ikke findes andre interessante translationsinvariante mål på (R d ,B(R d )) end 

dem på formen cλ d , hvor c ∈ (0,∞). ⋄ 

Den næste sætning viser, hvordan man integrerer med hensyn til billedmål. 

5.1.4 Sætning. (Den lille transformationssætning) Lad (X,E, µ), (Y,F) og ϕ være som 

ovenfor, og betragt transformationen µ ϕ af µ ved ϕ. Da gælder der, at 

L(µ ϕ ) = { f ∈ M(F) | f ◦ ϕ ∈ L(µ)}, og L 1 (µ ϕ ) = { f ∈ M(F) | f ◦ ϕ ∈ L 1 (µ)}, (5.1) 

ligesom 

∫ 

Y 

∫ 

f dµ ϕ = 

X 

f ◦ ϕ dµ for alle f i L(µ ϕ ). (5.2) 

Bevis. Vi viser først, at (5.2) er opfyldt for alle funktioner f fra M(F) + . Ifølge Hovedsætning 

2.2.11 vil dette følge, hvis vi viser, at afbildningen E ϕ : M(F) + → [0,∞] givet ved 

∫ 

E ϕ ( f) = f ◦ ϕ dµ, ( f ∈ M(F) + ), 

X 

opfylder betingelserne (i1)-(i3) i denne sætning (med µ erstattet af µ ϕ ). Bemærk først, at afbildningen 

er veldefineret, eftersom f ◦ ϕ ∈ M(E) + for alle f i M(F) + . Vi finder så 

129

(i1) For enhver mængde B fra F gælder der, at 

∫ ∫ 

E ϕ (1 B ) = 1 B ◦ ϕ dµ = 1 ϕ −1 (B) dµ = µ(ϕ−1 (B)) = µ ϕ (B). 

(i2) For f,g i M(F) + har vi, at 

X 

∫ 

E ϕ ( f + g) = 

= 

X 

∫ 

X 

X 

∫ 

( f + g) ◦ ϕ dµ = 

X 

( f ◦ ϕ + g ◦ ϕ)dµ 

∫ 

f ◦ ϕ dµ + g ◦ ϕ dµ = E ϕ ( f)+E ϕ (g). 

X 

(i3) Antag, at ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra M(F) + , og sæt f = lim n→∞ f n . Da 

er ( f n ◦ ϕ) en voksende følge af funktioner fra M(E) + , og f ◦ ϕ = lim n→∞ f n ◦ ϕ. Ved 

anvendelse af Hovedsætning 2.2.4 for µ-integralet fremgår det da, at 

∫ 

E ϕ ( f) = 

X 

f ◦ ϕ dµ = lim f n ◦ ϕ dµ = lim E ϕ ( f n ). 

n→∞ 

∫X 

n→∞ 

Dermed er (5.2) eftervist for alle f fra M(F) + . For en generel funktion f fra M(F) fremgår det 

derefter, at 

(∫ ) (∫ ) 

f ∈ L(µ ϕ ) ⇐⇒ f + dµ ϕ ∧ f − dµ ϕ < ∞ 

⇐⇒ 

⇐⇒ 

Y 

(∫ 

X 

(∫ 

X 

) 

f + ◦ ϕ dµ ∧ 

Y 

(∫ 

) 

( f ◦ ϕ) + dµ ∧ 

X 

(∫ 

) 

f − ◦ ϕ dµ < ∞ 

X 

) 

( f ◦ ϕ) − dµ < ∞ ⇐⇒ f ◦ ϕ ∈ L(µ). 

Helt tilsvarende vises det (erstat “∧” med “∨”), at der for enhver funktion f i M(F) gælder, at 

f ∈ L 1 (µ ϕ ) ⇐⇒ f ◦ ϕ ∈ L 1 (µ), 

og dermed har vi eftervist (5.1). For en funktion f fra L(µ ϕ ) finder vi endelig, at 

∫ 

Y 

∫ 

f dµ ϕ = 

= 

Y 

∫ 

hvilket etablerer (5.2) generelt. 

X 

∫ 

f + dµ ϕ − 

Y 

∫ 

( f ◦ ϕ) + dµ − 

 

∫ 

f − dµ ϕ = 

X 

X 

∫ 

( f ◦ ϕ) − dµ = 

∫ 

f + ◦ ϕ dµ − 

X 

X 

f ◦ ϕ dµ, 

f − ◦ ϕ dµ 

5.1.5 Eksempel. (Translationer II) Betragt som i Eksempel 5.1.3 afbildningen τ x : R d → R d 

givet ved: 

τ x (y) = x+y, (y ∈ R d ), 

130

hvor x er en fast vektor fra R d . Da λ d ◦ τx 

−1 = λ d (jvf. Eksempel 5.1.3), følger det umiddelbart 

fra Sætning 5.1.4, at der for enhver funktion f : R d → R fra L(λ d ) gælder formlen: 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

f(y+x)λ d(dy) = f ◦ τ x(y)λ d (dy) = f(y)(λ 

R d R d R d d ◦ τx −1 )(dy) = f(y)λ d(dy). 

R d 

I tilfældet d = 1 bemærker vi specielt, at hvis a,b ∈ R, og a < b, så gælder der for f i L(λ), at 

∫ b 

a 

∫ 

f(x+y)λ(dy) = 

= 

R 

∫ 

R 

∫ 

f(x+y)1 [a,b] (y)λ(dy) = 

f(y)1 [a+x,b+x] (y)λ(dy) = 

f(x+y)1 [a+x,b+x] (x+y)λ(dy) 

R 

∫ b+x 

a+x 

f(y)λ(dy), 

i overensstemmelse med velkendte substitutioner for Riemann-integraler. 

⋄ 

5.2 Mål med tæthed 

Lad (X,E, µ) være et målrum. For enhver funktion g i M(E) + skal vi nu konstruere et nyt mål 

ν på (X,E). 

5.2.1 Lemma. Lad situationen være som beskrevet ovenfor. Da defineres ved formlen 

∫ ∫ 

ν(A) = gdµ = g1 A dµ, (A ∈ E), 

et mål ν på (X,E). 

A 

X 

Bevis. Idet g · 1 /0 = 0, følger det umiddelbart, at ν(/0) = ∫ X g1 /0 dµ = 0. For en følge (A n ) af 

disjunkte mængder fra E bemærker vi dernæst, at 1 ∪n∈N A n 

= ∑ ∞ n=1 1 A n 

, og det følger derfor ved 

anvendelse af Sætning 2.2.9, at 

ν ( ⋃ 

n∈N 

A n 

) 

= 

∫ 

X 

∫ ( ∞ 

g1 ∪n∈N A n 

dµ = 

X ∑ g1 An 

)dµ = 

n=1 

∞ ∫ 

∑ g1 An dµ = 

n=1 X 

∞ 

∑ ν(A n ), 

n=1 


 

5.2.2 Definition. I situationen betragtet i ovenstående lemma siges målet ν at have tæthed g 

med hensyn til µ, og g kaldes for den Radon-Nikodym afledede eller blot tætheden for ν med 

hensyn til µ. Man benytter også notationen: 

g = dν , og ν = g · µ. 

dµ 

131

5.2.3 Eksempler. (A) Normalfordelingen. For ξ i R og σ 2 i (0,∞) er normalfordelingen med 

parametre (ξ,σ 2 ) målet N(ξ,σ 2 ) på (R,B(R)) med tæthed 

g ξ,σ 2(x) = (2πσ 2 ) −1/2 e −(x−ξ)2 /(2σ 2) , (x ∈ R) 

med hensyn til Lebesgue-målet λ på (R,B(R)). Med andre ord gælder der, at 

N(ξ,σ 2 )(B) = 

∫ 

1 

√ e −(x−ξ)2 /(2σ 2) λ(dx), 

2πσ 2 B 

for enhver Borel-mængde B i R. Det vises i Opgave 5.4.3, at N(ξ,σ 2 ) er et sandsynlighedsmål, 

altså at ∫ R e−(x−ξ)2 /(2σ 2) λ(dx) = √ 2πσ 2 . 

(B) Eksponentialfordelingen. For ethvert positivt tal r er eksponentialfordelingen med parameter 

r målet Eksp r på (R,B(R)) med tæthed g r (x) = re −rx 1 [0,∞) (x) med hensyn til 

Lebesgue-målet λ på (R,B(R)). For enhver Borel-mængde B i R gælder der altså, at 

∫ 

Eksp r (B) = r e −rx λ(dx), 

[0,∞)∩B 

og vi bemærker specielt, at Eksp r er koncentreret på [0,∞), i den forstand at Eksp r (B) = 0 

for enhver Borel-mængde B, således at B ⊆ (−∞,0). Det er ikke svært at vise, at Eksp r er 

et sandsynlighedsmål (overvej!). 

(C) Poisson-fordelingen. For ethvert positivt tal r er Poisson-fordelingen Poiss r med parameter 

r målet på (N 0 ,P(N 0 )) med tæthed g r (n) = e−r rn 

n! 

med hensyn til tællemålet τ på 

(N 0 ,P(N 0 )). For enhver delmængde B af N 0 gælder der altså, at 

Poiss r (B) = e −r ∫ 

B 

r n 

n! τ(dn) = r e−r ∑ 

n 

n∈B 

n! 

(jvf. Eksempel 2.2.13). Det følger umiddelbart af potensrækkeudviklingen for eksponentialfunktionen, 

at Poiss r er et sandsynlighedsmål. ⋄ 

Det næste resultat viser, hvordan man integrerer med hensyn til et mål ν, der har tæthed med 

hensyn til et mål µ. 

5.2.4 Sætning. Lad (X,E, µ) være et målrum, lad g være en funktion fra M(E) + , og lad ν være 

målet på (X,E) med tæthed g med hensyn til µ. Da gælder der, at 

L(ν) = { f ∈ M(E) | f · g ∈ L(µ)}, og L 1 (ν) = { f ∈ M(E) | f · g ∈ L 1 (µ)}, (5.3) 

ligesom 

∫ 

X 

∫ 

f dν = 

X 

f · gdµ for alle f i L(ν). (5.4) 

132

Bevis. Vi benytter samme metode som i beviset for Sætning 5.1.4, og vi starter således med at 

vise, at afbildningen 

∫ 

E g ( f) = f · gdµ, ( f ∈ M(E) + ), 

X 

opfylder betingelserne (i1)-(i3) fra Hovedsætning 2.2.11, der karakteriserer ν-integralet: 

(i1) For enhver mængde A fra E har vi, at 

∫ 

E g (1 A ) = 1 A · gdµ = ν(A). 

X 

(i2) For f,h i M(E) + finder vi, at 

∫ 

∫ 

E g ( f + h) = ( f + h) · gdµ = 

X 

X 

∫ 

f · gdµ + h · gdµ = E g ( f)+E g (h). 

X 

(i3) Antag, at ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra M(E) + , og sæt f = lim n→∞ f n . Da 

g ≥ 0, er ( f n ·g) igen en voksende følge af funktioner fra M(E) + , og f ·g = lim n→∞ f n ·g. 

Ved anvendelse af Hovedsætning 2.2.4 for µ-integralet finder vi dermed, at 

∫ 

E g ( f) = f · gdµ = lim f n · gdµ = lim E g ( f n ). 

X 

n→∞ 

∫X 

n→∞ 

Ifølge Hovedsætning 2.2.11 har vi dermed eftervist (5.4) for alle funktioner f fra M(E) + . For 

en generel funktion f fra M(E) bemærkes dernæst, at eftersom g ≥ 0, har vi 

Det følger derfor, at 

f ∈ L(ν) ⇐⇒ 

⇐⇒ 

⇐⇒ 

( f · g) + = f + · g, og ( f · g) − = f − · g. 

(∫ 

X 

(∫ 

X 

(∫ 

X 

) (∫ 

f + dν ∧ 

) 

f + · gdµ ∧ 

X 

(∫ 

) 

( f · g) + dµ ∧ 

) 

f − dν < ∞ 

X 

(∫ 

) 

f − · gdµ < ∞ 

X 

) 

( f · g) − dµ < ∞ ⇐⇒ f · g ∈ L(µ). 

For en funktion f fra M(E) finder vi tilsvarende (erstat “∧” med “∨”), at 

f ∈ L 1 (ν) ⇐⇒ f · g ∈ L 1 (µ), 

og dermed har vi eftervist (5.3). For en funktion f fra L(ν) finder vi endelig, at 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

f dν = f + dν − f − dν = f + · gdµ − f − · gdµ 

X 

= 

X 

∫ 

hvilket etablerer (5.4) generelt. 

X 

X 

∫ 

( f · g) + dµ − 

 

X 

X 

∫ 

( f · g) − dµ = 

133 

X 

X 

f · gdµ,

5.2.5 Eksempel. Lad µ være et endeligt mål på (R,B(R)), og betragt som i Eksempel 3.2.4 

funktionen F µ : R → R givet ved 

F µ (x) = µ((−∞,x]), 

(x ∈ R). 

Antag yderligere, at F µ er kontinuert differentiabel med afledet F ′ µ . Da F µ er voksende, følger 

det, at F ′ µ ∈ M(B(R)) + . Vi kan derfor betragte målet F ′ µ · λ med tæthed F ′ µ mht. λ. Ved 

anvendelse af Hovedsætning 2.2.4 og Sætning 2.7.3 finder vi så for ethvert x i R, at 

∫ x 

∫ x 

(F µ ′ · λ)((−∞,x]) = F µ(t)λ(dt) ′ = lim F ′ ( 

−∞ 

n→∞ 

µ(t)λ(dt) = lim Fµ (x) − F µ (−n) ) = F µ (x), 

−n 

n→∞ 

(5.5) 

hvor vi til sidst benytter, at 

F µ (−n) = µ((−∞,−n]) −→ 

n→∞ 

µ(/0) = 0, 

ved anvendelse af Sætning 1.3.4(vi). Ifølge Eksempel 3.2.4 medfører (5.5), at µ = F µ ′ · λ. Når 

F µ er kontinuert differentiabel, har µ således tæthed mht. Lebesgue-målet, nemlig den afledede 

F µ. ′ For en vilkårlig funktion h fra L(µ) følger det endvidere ved anvendelse af Sætning 5.2.4, 

at 

∫ 

∫ 

∫ 

h(x) µ(dx) = h(x)(F µ ′ · λ)(dx) = h(x)F µ(x)λ(dx). 

′ 

R 

R 

Man kan mere generelt vise, at hvis F µ er kontinuert i alle punkter og differentiabel på nær 

i tælleligt mange punkter, da har µ en tæthed mht. Lebesgue-målet, nemlig funktionen F µ1 ′ D , 

hvor D betegner mængden af punkter, i hvilke F µ er differentiabel. ⋄ 

R 

5.3 Absolut kontinuitet og entydighed af tæthed 

Lad (X,E) være et måleligt rum, og lad µ,ν være mål herpå. Vi skal i dette afsnit diskutere 

nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at ν har en tæthed med hensyn til µ (jvf. Definition 

5.2). Vi skal endvidere undersøge spørgsmålet om entydighed af tætheden. 

5.3.1 Lemma. Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad ν være endnu et mål på (X,E), således at 

ν(X) < ∞. Da er følgende to betingelser ækvivalente: 

(i) ∀A ∈ E: µ(A) = 0 =⇒ ν(A) = 0. 

(ii) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀A ∈ E: µ(A) ≤ δ =⇒ ν(A) ≤ ε. 

Bevis. (ii) ⇒ (i): Antag, at (ii) er opfyldt, og lad A være en mængde fra E, således at µ(A) = 0. 

Det følger da fra betingelse (ii), at der for ethvert positivt ε gælder, at ν(A) ≤ ε, og dermed kan 

vi slutte, at ν(A) = 0. 

(i) ⇒ (ii): Vi viser, at ¬ (ii) ⇒ ¬ (i). Antag således, at ¬ (ii) er opfyldt, altså at 

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃A ∈ E: µ(A) ≤ δ og ν(A) > ε. 

134

Vi kan da vælge et positivt ε, således at der for ethvert n i N findes en mængde A n fra E med 

egenskaberne: 

µ(A n ) ≤ 2 −n , og ν(A n ) > ε. 

Vi indfører så mængden A = ⋂ ⋃ 

n∈N k≥n A k ∈ E, og vi bemærker for ethvert n i N, at 

( ⋃ 

) 

µ(A) ≤ µ A k ≤ 

k≥n 

∞ 

∑ µ(A k ) ≤ 

k=n 

∞ 

∑ 2 −k = 2 1−n . 

k=n 

Vi kan dermed slutte, at µ(A) ≤ lim n→∞ 2 1−n = 0, altså at µ(A) = 0. Bemærk dernæst, at 

⋃ 

k≥n A n ↓ A for n → ∞, og da ν er et endeligt mål, giver Sætning 1.3.4(vi) derfor, at 

ν(A) = lim n→∞ 

ν 

( ⋃ 

k≥n 

) 

A k ≥ limsupν(A n ) ≥ ε. 

n→∞ 

I alt har vi altså vist, at µ(A) = 0, og at ν(A) ≥ ε, og dermed er ¬ (i) opfyldt. 

5.3.2 Bemærkning. Lad µ og ν være to mål på et måleligt rum (X,E). Betingelse (i) i Lemma 

5.3.1 er specielt opfyldt, hvis ν har en tæthed g fra M(E) + med hensyn til µ. For en mængde 

A i E, således at µ(A) = 0, har vi nemlig i denne situation, at g1 A = 0 µ-n.o., og dermed ifølge 

Sætning 2.3.6(i) at 

∫ 

ν(A) = g1 A dµ = 0. 

X 

Bemærk, at g ∈ L 1 (µ) + , hvis og kun hvis ν er et endeligt mål, og i dette tilfælde bliver betingelse 

(ii) så også opfyldt ifølge Lemma 5.3.1. Når ν er et endeligt mål, er betingelserne (i) og 

(ii) i Lemma 5.3.1 således nødvendige for eksistensen af en tæthed for ν med hensyn til µ. 

I et senere kursus bevises den såkaldte Radon-Nikodyms Sætning, som udtrykker, at hvis µ og ν 

er mål på (X,E), således at ν er endeligt, og µ er σ-endeligt, da er betingelse (i) (og dermed også 

betingelse (ii)) i Lemma 5.3.1 ækvivalent med eksistensen af en tæthed g fra L 1 (µ) + for ν med 

hensyn til µ. Hvis betingelse (i) i Lemma 5.3.1 er opfyldt, siger man, at ν er absolut kontinuert 

med hensyn til µ, og man skriver ν ≪ µ. Sprogbrugen retfærdiggøres bl.a. af ækvivalensen 

mellem betingelserne (i) og (ii) i Lemma 5.3.1. Ifølge Radon-Nikodyms Sætning er absolut 

kontinuitet altså ækvivalent med eksistensen af en tæthed for ν mht. µ (når ν og µ er hhv. 

endelige og σ-endelige). □ 

Vi vender os derefter imod spørgsmålet om entydighed for tætheder. Vi bemærker indledningsvist, 

at der højst kan blive tale om entydighed op til µ-nulmængder. For hvis g,h er to funktioner 

fra M(E) + , således at g = h µ-n.o., så følger det umiddelbart fra Sætning 2.3.6(iv), at 

målene g · µ og h · µ er identiske. Hvis g ≤ h µ-n.o., så gælder der ifølge Sætning 2.4.5(iii), 

at ∫ A gdµ ≤ ∫ A hdµ for alle A i E. Vi starter med -under passende forudsætninger- at vise en 

omvendt til dette resultat. 

 

5.3.3 Sætning. Lad (X,E, µ) være et målrum, og lad g og h være funktioner fra L(µ), således 

at 

∫ ∫ 

gdµ ≤ hdµ for alle A i E. (5.6) 

A 

A 

135

(i) Hvis yderligere g,h ∈ L 1 (µ), da gælder der, at g ≤ h µ-n.o. 

(ii) Hvis yderligere µ er σ-endeligt, da gælder der, at g ≤ h µ-n.o. 

Bevis. (i) Antag, at g,h ∈ L 1 (µ), og betragt funktionen (g − h)1 {g>h} , som er et element i 

L 1 (µ) + (overvej!). Vi finder så, at 

∫ 

∫ ∫ 

0 ≤ (g − h)1 {g>h} dµ = gdµ − hdµ ≤ 0, 

X 

{g>h} {g>h} 

således at ∫ X (g − h)1 {g>h} dµ = 0. Ved anvendelse af Sætning 2.3.6(i) følger det derfor, at 


(g − h)1 {g>h} = 0 µ-n.o. dvs. µ({g > h}) = 0, 

(ii) Antag først, at µ er et endeligt mål. Da Q er tæt i R, bemærker vi så, at 

{g > h} = ⋃ {g ≥ r > q ≥ h}, 

q,r∈Q 

q q ≥ h}) = 0 for alle q,r i Q, således 

at q < r. For sådanne q,r medfører (5.6) via Sætning 2.4.5(iii), at 

∫ 

∫ 

rµ({g ≥ r > q ≥ h}) = r1 {g≥r>q≥h} dµ ≤ g1 {g≥r>q≥h} dµ 

≤ 

X 

∫ 

h1 {g≥r>q≥h} dµ ≤ qµ({g ≥ r > q ≥ h}). 

Da q < r, og µ({g ≥ r > q ≥ h}) ∈ [0,∞), er dette kun muligt, hvis µ({g ≥ r > q ≥ h}) = 0, 


Hvis µ kun er σ-endeligt, kan vi vælge en voksende følge (A n ) af mængder fra E, således at 

⋃ 

A n = X, og µ(A n ) < ∞ for alle n. 

n∈N 

For hvert n i N kan vi da betragte det endelige mål µ k A n 


og det følger fra Sætning 1.3.4(v), at 

µ k A n 

(B) = µ(B ∩ A n ), (B ∈ E), 

µ({g > h}) = lim n→∞ 

µ({g > h} ∩ A n ) = lim n→∞ 

µ k A n 

({g > h}). (5.7) 

Idet vi bemærker, at µ 

A k n 

har tæthed 1 An med hensyn til µ (overvej!), følger det ved anvendelse 

af Sætning 5.2.4 og (5.6), at der for alle A i E gælder, at 

∫ ∫ ∫ 

∫ 

gdµ A k n 

= g1 A dµ A k n 

= g1 A 1 An dµ = g1 A∩An dµ 

A 

= 

X 

∫ 

X 

∫ 

gdµ ≤ hdµ = ··· = 

A∩A n A∩A n 

136 

X 

∫ 

A 

hdµ k A n 

,

hvor prikkerne udtrykker, at de samme regninger kan udføres (i modsat rækkefølge) med h 

i stedet for g. Da µ 

A k n 

er et endeligt mål, kan vi derfor udfra første del af beviset slutte, at 

µ 

A k n 

({g > h}) = 0 for alle n, og sammenholdes dette med (5.7), fremgår det, at µ({g > h}) = 0, 

som ønsket. 

5.3.4 Korollar. Lad µ og ν være mål på det målelige rum (X,E), og antag, at ν har en tæthed 

med hensyn til µ. Antag yderligere, at (mindst) en af følgende to betingelser er opfyldt: 

(i) ν er et endeligt mål. 

(ii) µ er et σ-endeligt mål. 

Da er tætheden dν/dµ entydigt bestemt µ-n.o., dvs. hvis g og h er funktioner fra M(E) + , som 

begge er tætheder for ν mht. µ, da er g = h µ-n.o. 

Bevis. Lad g og h være funktioner fra M(E) + , som begge er tætheder for ν med hensyn til µ. 

Der gælder altså, at ∫ 

∫ 

gdµ = ν(A) = hdµ for alle A i E. 

A 

Hvis nu µ yderligere antages σ-endeligt, da følger det umiddelbart fra Sætning 5.3.3(ii), at 

og dermed at g = h µ-n.o. 

A 

g ≤ h µ-n.o., men også at h ≤ g µ-n.o., 

Antag så i stedet, at ν er et endeligt mål. Da gælder der, at 

∫ ∫ 

∞ > ν(X) = gdµ = hdµ, 

og dette medfører specielt, at 

X 

µ(N) = 0, hvor N = {g = ∞} ∪ {h = ∞}, 

(jvf. Sætning 2.3.6(iii)). Funktionerne g1 N c og h1 N c er nu elementer i L 1 (µ) + , og der gælder 

også (jvf. Sætning 2.3.6(iv)), at 

∫ 

∫ 

g1 N c dµ = ν(A) = h1 N c dµ for alle A i E. 

A 

Ved hjælp af Sætning 5.3.3(i) kan vi derfor som ovenfor slutte, at 


 

A 

g = g1 N c = h1 N c = h, 

X 

µ-n.o., 

5.3.5 Korollar. Lad (X,E, µ) være et målrum, og antag, at g og h er funktioner fra L 1 (µ), som 

opfylder, at 

∫ ∫ 

gdµ = hdµ for alle A i C, (5.8) 

A 

A 

hvor C er et ∩-stabilt frembringersystem for E, således at X ∈ C. Da gælder der, at h = g µ-n.o. 

137

Bevis. Hvis vi først antager, at g,h ≥ 0, så kan vi betragte målene ν og η med tætheder hhv. g 

og h med hensyn til µ. Da udtrykker (5.8), at 

ν(A) = η(A) for alle A i C. 

Da X ∈ C og g,h ∈ L 1 (µ), har vi endvidere, at ν(X) = η(X) < ∞. Ved anvendelse af Sætning 

3.2.1 kan vi derfor slutte, at ν = η, og benyttes derefter tilfælde (i) i Korollar 5.3.4, følger 

det, at g = h µ-n.o. 

For generelle g,h i L 1 (µ) opfyldende (5.8) har vi, at 

∫ 

A 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

g + dµ − g − dµ = gdµ = hdµ = h + dµ − h − dµ, 

A 

A A A 

A 

og dermed (bemærk, at alle integraler er endelige) at 

∫ 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

(g + + h − )dµ = g + dµ + h − dµ = g − dµ + h + dµ = (g − + h + )dµ 

A 

A 

A 

A 

A 

A 

for alle mængder A fra C. Idet g + + h − og g − + h + er funktioner fra L 1 (µ) + , kan vi nu udfra 

første del af beviset slutte, at 

g + + h − = g − + h + 

µ-n.o., 

og dermed (husk, at alle funktionsværdier er endelige) at 

g = g + − g − = h + − h − = h, 

µ-n.o., 


 


5.4.1 Opgave. Betragt Lebesgue-målet λ på (R,B(R)), og lad λ[0,1] k betegne koncentrationen 

af λ til [0,1] (jvf. Eksempel 1.3.3(D)). Betragt endvidere funktionen ϕ : R → R givet ved 

ϕ(x) = x 2 , 

(x ∈ R). 

Vis da, at transformationen λ[0,1] k ◦ ϕ−1 af λ[0,1] k ved ϕ er målet med tæthed 

med hensyn til λ. 

g(x) = 1 

2 √ x 1 (0,1](x), (x ∈ R) 

5.4.2 Opgave. Betragt funktionen ϕ : R 2 → R givet ved: 

ϕ(x 1 ,x 2 ) = exp(|x 1 | ∨ |x 2 |), ((x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 ). 

Vi skal i denne opgave studere billedmålet λ 2 ◦ϕ −1 , hvor λ 2 er Lebesguemålet på (R 2 ,B(R 2 )). 

138

(a) Vis, at der for ethvert t i R gælder, at 

{ 

ϕ −1 /0, hvis t < 1 

((−∞,t]) = 

[−ln(t),ln(t)] ×[−ln(t),ln(t)], hvis t ≥ 1. 

(b) Vis, at der for ethvert t i R gælder, at 

(c) Vis, at billedmålet λ 2 ◦ ϕ −1 har tæthed 

∫ t 

λ 2 ◦ ϕ −1 ((−∞,t]) = 8 1 [1,∞) (s) ln(s) λ(ds). 

−∞ s 

s ↦→ 8ln(s) 1 

s [1,∞) (s), (s ∈ R), 

med hensyn til Lebesguemålet λ på R, idet udtrykket naturligvis opfattes som 0, hvis 

s /∈ [1,∞). 

(d) Vis, at der for enhver funktion h i M(B(R)) + gælder formlen: 

∫ 

R 2 h( e |x 1|∨|x 2 | ) λ 2 (dx 1 ,dx 2 ) = 8 

(e) Vis, at ∫ R 2 e−|x 1|∨|x 2 | λ 2 (dx 1 ,dx 2 ) = 8. 

5.4.3 Opgave. Betragt afbildningen η : R 2 → R givet ved 

∫ ∞ 

1 

h(s) ln(s) λ(ds). 

s 

η((x,y)) = ‖(x,y)‖ = √ x 2 + y 2 , ((x,y) ∈ R 2 ). 

(a) Vis, at billedmålet λ 2 ◦ η −1 er målet på (R,B(R)) med tæthed 

f(r) = 2πr1 (0,∞) (r), 

(r ∈ R), 

med hensyn til Lebesgue-målet λ. 

(b) Vis, at 

∫ 

R 2 e−x2 −y 2 λ 2 (dx,dy) = π. 

(c) Vis ved hjælp af Tonelli’s Sætning, at 

∫ 

e −x2 λ(dx) = √ π. 

(d) Vis, at der for alle ξ i R og alle σ i (0,∞) gælder identiteten: 

∫ 

R 

R 

e −(x−ξ)2 /(2σ 2) λ(dx) = √ 2πσ 2 . 

139

(e) Vis, at 

∫ ∞ 

0 

x −1/2 e −x λ(dx) = √ π. 

5.4.4 Opgave. (a) Vis, at for ethvert fast t i R er funktionen 

f t (x) := cos(tx)e −x2 , (x ∈ R) 

et element i L 1 (λ), hvor λ som sædvanlig betegner Lebesgue målet på R. 

Vi definerer nu funktionen F : R → R ved ligningen: 

∫ 

F(t) = cos(tx)e −x2 λ(dx), 

R 

(t ∈ R). 

(b) Vis, at F er kontinuert på R. [Vink: Benyt Opgave 2.8.16]. 

(c) Vis, at F er differentiabel på R med afledet 

∫ 

F ′ (t) = − xsin(tx)e −x2 λ(dx). 

R 

[Vink: Benyt Opgave 2.8.20]. 

(d) Vis for ethvert n i N og ethvert t i R, at 

∫ n 

[ n 

∫ n 

− xsin(tx)e −x2 λ(dx) = 12 

e sin(tx)] −x2 − 1 

−n 

−n 

2 

e −x2 t cos(tx)λ(dx), 

−n 

og konkludér, at 

F ′ (t) = − 1 2 tF(t), 

(t ∈ R). 

(e) Vis, at der for ethvert t i R gælder, at 

∫ 

cos(tx)e −x2 λ(dx) = √ πe −t2 /4 . 

R 

[Vink: Det kan uden yderligere argumentation benyttes, at der kun findes én løsning til 

differentialligningen: y ′ (t)+ 1 2 ty(t) = 0, som opfylder sidebetingelsen: y(0) = √ π. Benyt 

endelig Opgave 5.4.3]. 

5.4.5 Opgave. Betragt målrummet (R,B(R),λ), og lad f være en funktion fra L 1 (λ) + , som 

endvidere er kontinuert. Betragt da målet µ på (R,B(R)) med tæthed f med hensyn til λ. 

Redegør i denne situation for, at formlen udledt i spørgsmål (e) i Opgave 4.5.11 svarer til den 

velkendte formel for partiel integration, når den indgående funktion g antages kontinuert. 

140

A 

Appendices 

A.1 Elementær mængdelære 

I dette appendix betragtes en ikke-tom (grund-) mængde X; f.eks. X = {0,1,2,3,4}, X = N 

eller X = R). Elementerne i X betegnes typisk med x, y og z. 

A.1.1 De grundlæggende mængdeoperationer. En delmængde af X er en (specificeret) samling 

af elementer i X. Specielt nævnes den tomme mængde /0, som ikke indeholder nogle elementer. 

For delmængder A og B af X indføres de grundlæggende mængdeoperationer ∪, ∩, \ 

og c som følger: 

A ∪ B = delmængden af X bestående af alle elementer, der ligger i (A.1) 

A ∩ B 

mindst én af mængderne A eller B. 

= delmængden af X bestående af alle elementer, der ligger i både A og B. (A.2) 

A \ B = delmængden af X bestående af alle elementer i A, der ikke ligger i B. (A.3) 

A c = delmængden af X bestående af alle elementer i X, der ikke ligger i A. (A.4) 

A.1.2 Regneregler for mængdeoperationerne. Det følger umiddelbart fra definitionerne, at 

der gælder (bl.a.) følgende regneregler for delmængder A og B af X: 

/0 c = X, og X c = /0 (A.5) 

A c = X \ A (A.6) 

(A c ) c = A (A.7) 

A \ B = A ∩ B c = A \(A ∩ B) (A.8) 

(A ∪ B) c = A c ∩ B c (A.9) 

(A ∩ B) c = A c ∪ B c . (A.10) 

A.1.3 Mængdeinklusion. For delmængder A og B af X indfører vi relationerne ⊆ og ⊇ ved 

definitionerne: 

A ⊆ B ⇐⇒ alle elementer i A er også elementer i B 

A ⊇ B ⇐⇒ B ⊆ A. 

Vi skriver endvidere, A B (eller ækvivalent B A), hvis A ⊆ B, uden at A = B, dvs. hvis alle 

elementer i A også er elementer i B, men der er elementer i B, som ikke ligger A. 

141

Det følger umiddelbart, at der gælder følgende udsagn for delmængder A, B og C af X: 

/0 ⊆ A ⊆ X (A.11) 

A,B ⊆ A ∪ B, og A ∩ B ⊆ A,B (A.12) 

A \ B ⊆ A, og A \ B ⊆ B c (A.13) 

A,B ⊆ C =⇒ A ∪ B ⊆ C 

C ⊆ A,B =⇒ C ⊆ A ∩ B 

A ⊆ B =⇒ B c ⊆ A c 

A ⊆ B =⇒ B = A ∪(B \ A). 

(A.14) 

(A.15) 

(A.16) 

(A.17) 

A.1.4 Disjunkte mængder. To delmængder A og B af X kaldes disjunkte, hvis A∩B = /0. Mere 

generelt siges delmængder A 1 ,A 2 ,...,A n af X at være være disjunkte (eller mere præcist parvis 

disjunkte), hvis A i ∩ A j = /0 for alle i, j fra {1,2,...,n}, således at i ≠ j. 

A.1.5 Systemer af delmængder. Med P(X) betegnes potensmængden for X, dvs. systemet af 

alle delmængder af X. Bemærk, at P(X) selv er en mængde, hvis elementer er delmængderne 

af X. Dermed kan vi også tale om delmængder af P(X), dvs. en (specificeret) samling af delmængder 

af X. En delmængde af P(X) vil vi normalt omtale som et system eller en familie af 

delmængder af X (for at undgå det forvirrende udtryk “mængde af mængder”). I forlængelse 

heraf er det ofte bekvemt at angive en delmængde af P(X) som en indiceret familie (A i ) i∈I , hvor 

I er en (ikke-tom) indexmængde (f.eks. I = {1,2,3} eller I = N), og for hvert index i fra I er A i 

en delmængde af X. 

A.1.6 Generaliserede mængdeoperationer. Lad i det følgende I være en (ikke-tom) indexmængde, 

og lad (A i ) i∈I og (B i ) i∈I være tilsvarende systemer af delmængder af X. Vi definerer 

da i generalisering af (A.1) og (A.2): 

⋃ 

i∈I A i = delmængden af X bestående af de elementer, der ligger i A i (A.18) 

for mindst ét i fra I 

⋂ 

i∈I A i = delmængden af X bestående af de elementer, der ligger i A i (A.19) 

for alle i fra I. 

I generalisering af A.1.2 har vi da (bl.a.) følgende regneregler: 

( ⋃ 

i∈I A i 

) c 

= 

⋂ 

( ⋂ 

i∈I A i 

) 

∩ 

( ⋂ 

) c 

i∈I A c i , og i∈I A i = 

⋃i∈I A c i . (A.20) 

( ⋂ 

) 

i∈I B i = ⋂ i∈I(A i ∩ B i ). (A.21) 

( ⋃ 

i∈I A i 

) 

∩C = ⋃ i∈I(A i ∩C) for enhver delmængde C af X. 

(A.22) 

Her kan (A.22) f.eks. bevises på følgende måde: For at vise inklusionen ⊆ antages, at x ∈ 

( ⋃ i∈I A i ) ∩C. Så gælder der, at x ∈ C, og at x ∈ A i0 for (mindst) et i 0 fra I. Men så gælder der 

også, at x ∈ A i0 ∩C ⊆ ⋃ i∈I(A i ∩C). For at vise inklusionen ⊇ bemærker vi, at der for hvert j fra 

I gælder, at A j ∩B ⊆ ( ⋃ i∈I A i )∩C, og dermed gælder der også, at ⋃ j∈I(A j ∩C) ⊆ ( ⋃ i∈I A i )∩C, 

som er den ønskede inklusion. Udsagnene (A.20) og (A.21) vises tilsvarende. 

142

A.1.7 Eksempel. Betragt grundmængden X = {0,1,2,3}. Vi har da 

{ 

P(X) = /0,{0},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3}, 

} 

{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3} . 

Bemærk specielt, at da der er 4 elementer i X, er der 2 4 = 16 elementer i P(X), svarende til 

at enhver delmængde af X udvælges ved at foretage et valg med to muligheder (“med” eller 

“ikke-med”) for hver af de 4 elementer i X. Lad os nu betragte nogle systemer af delmængder 

af X: 

{ 

} 

A = {1},{2},{1,2,3} 

{ 

} 

B = /0,{2,3},{0,1,2},{1,2,3} 

C = alle delmængder af X med et lige antal elementer 

{ 

} 

= /0,{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3},{0,1,2,3} 

D = alle delmængder af X med 3 eller flere elementer 

{ 

} 

= {0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},{0,1,2,3} . 

Vi kan da på naturlig måde benytte mængdeoperationerne ∪, ∩, \ og c til at danne nye systemer 

af delmængder af X, f.eks. 

{ 

} 

A ∪B = /0,{1},{2},{2,3},{0,1,2},{1,2,3} 

{ } 

A ∩B = {1,2,3} 

{ 

} 

B \C = {0,1,2},{1,2,3} 

D c 

= alle delmængder af X med højst 2 elementer 

{ 

} 

= /0,{0},{1},{2},{3},{0,1},{0,2},{0,3},{1,2},{1,3},{2,3} . 

Bemærk, at følgende udsagn er meningsfulde (og sande): 

X ∈ P(X) 

A ⊆ P(X) 

/0 ∈ B, {1} ∈ A, {1,2,3} ∈ A 

{ } 

/0,{1,2,3} ⊆ B 

A ⊆ C c . 

Derimod giver følgende udsagn ingen mening (overvej hvorfor!): 

X ⊆ P(X) 

A ∈ P(X) 

{1} ⊆ A 

{ } 

/0,{1,2,3} ∈ B 

A ∈ C c . 

143 

⋄

A.1.8 Familier af disjunkte mængder. Lad I være en (ikke-tom) indexmængde, og lad (A i ) i∈I 

være et tilsvarende system af delmængder af X. Vi siger da, at mængderne A i , i ∈ I, er disjunkte 

(eller mere præcist parvis disjunkte), hvis A i ∩ A j = /0 for alle i, j fra I, således at i ≠ j. 

A.1.9 Familier af systemer af delmængder (mængder af mængder af mængder!). Selvom det 

muligvis lyder afskrækkende, kan det være naturligt at betragte (indicerede) familier (A i ) i∈I , 

hvor hvert A i er et system af delmængder af X. Hvis vi f.eks. lader grundmængden X være 

mængden R af reelle tal, kan vi betragte følgende systemer af delmængder af R: 

A 1 = {(a,b) | a,b ∈ R, a < b} 

A 2 = {[a,b] | a,b ∈ R, a < b} 

A 3 = {(−∞,a] | a ∈ R} 

A 4 

= {G ⊆ R | G er åben} 

A 5 = {{a} | a ∈ R} 

A 6 

= {M ⊆ R | M er tællelig} 

B n = {M ⊆ R | M har mindst n elementer}, n ∈ N. 

Vi kan da f.eks. betragte følgende familier af systemer af delmængder af R: 

(A i ) i∈{1,2,3,4} , (A i ) i∈{5,6} , (B n ) n∈N . 

I Kapitel 1 vises det, at systemerne i (A i ) i∈{1,2,3,4} alle frembringer den samme σ-algebra, og 

det samme er tilfældet for systemerne i (A i ) i∈{5,6} . Endvidere kan vi eksempelvis bemærke, at 

⋂ 

B n 

n∈N 

= systemet af delmængder af R, der ligger i B n for alle n i N 

= systemet af delmængder af R med uendeligt mange elementer. 

A.1.10 Originalmængder a.k.a. urbilleder. I det følgende skal vi udover X betragte endnu en 

(grund-)mængde Y samt en afbildning f : X → Y . For enhver delmængde H af Y definerer vi da 

originalmængden (også kaldet urbilledet) f −1 (H) af H ved f som mængden 

f −1 (H) = {x ∈ X | f(x) ∈ H} ⊆ X. 

Lad os med det samme understrege, at notationen ikke umiddelbart har noget at gøre med den 

inverse afbildning f −1 , som jo kun giver mening, hvis f er i hvert fald injektiv, hvad vi ikke har 

forudsat 14 . Det er nyttigt at indse, at originalmængde-dannelse opfører sig præcis, som man 

kunne ønske det, i forhold til mængdeoperationerne. Hvis H og K er delmængder af Y , gælder 

der således: 

H ⊆ K =⇒ f −1 (H) ⊆ f −1 (K), og 

H ∩ K = /0 =⇒ f −1 (H) ∩ f −1 (K) = /0. (A.23) 

f −1 (H c ) = f −1 (H) c , og f −1 (K \ H) = f −1 (K) \ f −1 (H). (A.24) 

f −1 (H ∪ K) = f −1 (H) ∪ f −1 (K), og f −1 (H ∩ K) = f −1 (H) ∩ f −1 (K). (A.25) 

14 Hvis f : X → Y er en bijektiv afbildning er det dog korrekt at opfatte f −1 (H) som billedmængden af H ved 

afbildningen f −1 . 

144

Hvis (H i ) i∈I er en familie af delmængder af Y , gælder der yderligere, at 

f −1( ⋃ 

) 

A i = ⋃ f −1 (A i ), og f −1( ⋂ 

) 

A i = ⋂ f −1 (A i ). 

i∈I 

i∈I 

i∈I 

i∈I 

(A.26) 

Lad os som et eksempel bevise første identitet i (A.26): Antag, at x ∈ f −1 ( ⋃ i∈I A i ), altså at 

f(x) ∈ ⋃ i∈I A i . Så findes mindst ét i 0 fra I, således at f(x) ∈ A i0 , og dermed gælder der også, 

at x ∈ f −1 (A i0 ) ⊆ ⋃ i∈I f −1 (A i ). Dermed har vi vist inklusionen ⊆. For at bevise den modsatte 

inklusion er det nok at bemærke, at der for hvert j fra I gælder, at f −1 (A j ) ⊆ f −1 ( ⋃ i∈I A i ) (jvf. 

første implikation i (A.23)). 

A.1.11 Billedmængder. Som i A.1.10 betragter vi en afbildning f : X → Y . For en ikke-tom 

delmængde A af X definerer vi da billedmængden (eller bare billedet) f(A) af A ved f som 

mængden: 

f(A) = { f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A: y = f(x)} ⊆ Y. 

Mængden f(X) omtales specielt som billedmængden (eller værdimængden) af afbildningen f . 

Billedmængde-dannelse opfører sig ikke lige så pænt som originalmængde-dannelse i forhold 

til mængdeoperationerne. Dog gælder der følgende regler for (ikke-tomme) delmængder A og 

B af X: 

A ⊆ B =⇒ f(A) ⊆ f(B) 

f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) 

f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B), 

(A.27) 

(A.28) 

(A.29) 

idet vi specielt understreger, at der normalt ikke gælder lighedstegn i den sidstnævnte inklusion 

(overvej!). Hvis (A i ) i∈I er en familie af delmængder af X, gælder der tilsvarende, at 

( ⋃ 

) 

f A i = ⋃ ( ⋂ 

) 

f(A i ), og f A i ⊆ ⋂ f(A i ). 

(A.30) 

i∈I 

A.2 Tællelige mængder 

i∈I 

i∈I 

i∈I 

A.2.1 Definition. Lad X og Y være ikke-tomme mængder, og lad f : X →Y være en afbildning. 

Vi siger da, at 

(a) f er injektiv, hvis der for alle x,x ′ i X gælder implikationen: 

x ≠ x ′ =⇒ f(x) ≠ f(x ′ ), eller ækvivalent f(x) = f(x ′ ) =⇒ x = x ′ . 

(b) f er surjektiv, hvis 

∀y ∈ Y ∃x ∈ X : y = f(x). 

(c) f er bijektiv, hvis f er både injektiv og surjektiv. 

145

A.2.2 Bemærkninger. (1) Lad X og Y være ikke-tomme mængder, og lad f : X → Y være 

en afbildning. Da er f bijektiv, hvis og kun hvis den har en invers afbildning, dvs. en 

afbildning g: Y → X, der opfylder, at 

g( f(x)) = x for alle x i X, og f(g(y)) = y for alle y i Y . 

Hvis f har en invers, er den entydigt bestemt, og den betegnes med f −1 . Den inverse 

afbildning bliver igen en bijektion. 

(2) Lad X,Y og Z være ikke-tomme mængder, og betragt afbildninger f : X → Y og g: Y → 

Z. Hvis f og g begge er injektive (hhv. surjektive eller bijektive), da er den sammensatte 

afbildning g ◦ f igen injektiv (hhv. surjektiv eller bijektiv). □ 

A.2.3 Definition. Lad X være en mængde. Vi siger da, at 

(a) X er endelig, hvis X = /0, eller hvis der findes et N i N og en bijektiv afbildning 

f : {1,2,...,N} → X. 

(b) X er numerabel, hvis der findes en bijektiv afbildning f : N → X. 

(c) X er tællelig, hvis X er enten endelig eller numerabel. 

(d) X er overtællelig, hvis X ikke er tællelig. 

A.2.4 Bemærkninger. Lad X og Y være ikke-tomme mængder. 

(1) X er endelig, hvis og kun hvis den kan skrives på formen: X = {a n | n ∈ {1,2,...,N}} for 

et passende N i N, og hvor a n ≠ a m , når n ≠ m. 

(2) X er numerabel, hvis og kun hvis den kan skrives på formen: X = {a n | n ∈ N}, hvor 

a n ≠ a m , når n ≠ m. 

(3) Hvis der findes en bijektion f : X → Y , så er X tællelig (hhv. endelig eller numerabel), 

hvis og kun hvis Y er tællelig (hhv. endelig eller numerabel). Dette følger ved anvendelse 

af Bemærkning A.2.2(2). □ 

A.2.5 Eksempler. 

(A) Enhver delmængde af X af N er tællelig. Vi kan nemlig definere: 

a 1 = min(X), a 2 = min(X \{a 1 }), a 3 = min(X \{a 1 ,a 2 }), a 4 = min(X \{a 1 ,a 2 ,a 3 }),.... 

Vi kan fortsætte så længe X \{a 1 ,...,a N } ≠ /0. Og hvis det indtræffer, at X \{a 1 ,...,a N } = 

/0 for et N i N, så har vi, at X = {a 1 ,...,a N }, og X er endelig (jvf. Bemærkning A.2.4(1)). 

I modsat fald får vi skrevet X på formen: X = {a n | n ∈ N}, og X bliver numerabel (jvf. 

Bemærkning A.2.4(2)). At vi i sidstnævnte tilfælde får alle elementer i X med ved proceduren 

skyldes, at der for hvert x i X kun er endeligt mange elementer fra X, som er mindre 

end x (overvej!). 

(B) Mængden Z af alle hele tal er numerabel. Vi kan nemlig definere en bijektiv afbildning 

f : N → Z ved: 

f(1) = 0, og f(2n) = n, og f(2n+1) = −n, for alle n i N. ⋄ 

146

A.2.6 Sætning. Lad X være en ikke-tom mængde. Da er følgende betingelser ensbetydende: 

(i) X er tællelig. 

(ii) Der findes en injektiv afbildning f : X → N. 

(iii) Der findes en surjektiv afbildning g: N → X. 

Bevis. (i) ⇒ (ii): Antag, at X er tællelig. Hvis X er numerabel, findes en bijektion f : N → X, 

og den inverse afbildning f −1 : X → N er da specielt injektiv. Hvis X er endelig findes et N i 

N og en bijektiv afbildning f : {1,2,...,N} → X. Hvis vi opfatter f −1 som en afbildning med 

værdier i N, opnår vi en injektiv afbildning f −1 : X → N. 

(ii) ⇒ (i): Antag, at der findes en injektiv afbildning f : X → N, og betragt billedmængden 

f(X)= { f(x) | x ∈ X} ⊆ N. Vi kan da betragte f som en bijektiv afbildning fra X til f(X). Ifølge 

Eksempel A.2.5(A) er f(X) tællelig. Dermed bliver også X tællelig (jvf. Bemærkning A.2.4(3)). 

(ii) ⇒ (iii): Antag, at der findes en injektiv afbildning f : X → N, og betragt billedmængden 

f(X). Idet vi opfatter f som en bijektion mellem X og f(X), kan vi betragte den inverse afbildning: 

f −1 : f(X) → X. Udvælg nu et vilkårligt element x 0 fra X. Vi kan da definere en 

afbildning g: N → X ved 

{ 

f −1 (n), hvis n ∈ f(X) 

g(n) = 

x 0 , hvis n ∈ N \ f(X). 

Da f −1 er surjektiv, bliver g det også. 

(iii) ⇒ (ii): Antag, at der findes en surjektiv afbildning g: N → X. Vi definerer nu en afbildning 

f : X → N ved formlen: 

f(x) = min ( g −1 ({x}) ) , 

(x ∈ X), 

hvor g −1 ({x}) betegner originalmængden af {x} ved g. Denne afbildning er injektiv, for hvis 

x,x ′ er forskellige elementer fra X, så er originalmængderne g −1 ({x}) og g −1 ({x ′ }) disjunkte. 

Dermed er sætningen bevist. 

A.2.7 Bemærkning. Det følger umiddelbart fra Sætning A.2.6, at enhver delmængde af en 

tællelig mængde igen er tællelig. Antages nemlig, at X er en tællelig mængde, kan vi ifølge 

Sætning A.2.6(ii) vælge en injektiv afbildning f : X → N. For enhver ikke-tom delmængde A 

af X kan vi endvidere betragte inklusions-afbildningen: 

ι : A ∋ x ↦→ x ∈ X, 

som oplagt er injektiv. Ifølge Bemærkning A.2.2(2) er den sammensatte afbildning f ◦ι : A → N 

igen injektiv, og dette viser, at A er tællelig. □ 

147

A.2.8 Sætning. Lad X og Y være ikke-tomme mængder. 

(i) Mængden N 2 = N ×N er numerabel. 

(ii) Hvis X og Y begge er tællelige mængder, da er X ×Y ligeledes tællelig. 

(iii) Hvis (A n ) n∈N er en følge af delmængder af X, som alle er tællelige, da er ⋃ n∈N A n ligeledes 

tællelig. 

(iv) Mængden Q af rationale tal er numerabel. 

(v) For ethvert d i N er Q d en tællelig mængde. 

Bevis. (i) Ifølge Bemærkning A.2.4(2) skal vi opskrive N ×N på formen {a n | n ∈ N}, således 

at a n ≠ a m , når n ≠ m. Dette kan f.eks. gøres som følger: 

a 1 = (1,1), a 2 = (1,2), a 3 = (2,1), a 4 = (1,3), a 5 = (2,2), a 6 = (3,1), 

a 7 = (1,4), a 8 = (2,3), a 9 = (3,2), a 10 = (4,1), .... 

8 

7 

* 

6 

* 

* 

5 

* 

* 

* 

4 

* 

* 

* 

* 

3 

* 

* 

* 

* 

* 

2 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

1 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

1 2 3 4 5 6 7 8 

Figur 8: Illustration af nummereringen af N ×N fra beviset for Sætning A.2.8. 

(ii) Antag, at X og Y er tællelige. Så findes ifølge Sætning A.2.6(iii) surjektive afbildninger 

f 1 : N → X og f 2 : N → Y . Vi kan derefter definere en surjektiv afbildning f : N ×N → X ×Y 

ved: 

f(n,m) = ( f 1 (n), f 2 (m)), (n,m ∈ N). 

Ifølge (i) findes en bijektiv afbildning h: N → N ×N. Dermed bliver den sammensatte afbildning 

f ◦ h: N → X ×Y surjektiv, hvilket viser, at X ×Y er tællelig. 

(iii) Som i beviset for (ii) er det nok at anføre en surjektiv afbildning f : N×N → ⋃ n∈N A n . For 

hvert n i N kan vi vælge en surjektiv afbildning f n : N → A n , og vi definerer derefter f : N×N → 

⋃ 

n∈N A n ved: 

f(n,m) = f n (m), (n,m ∈ N). 

148

Det følger umiddelbart, at f er surjektiv. 

(iv) Da Q ikke er endelig, er det nok at vise, at Q er tællelig, og som i beviset for (ii) er 

det hertil nok at anføre en surjektiv afbildning f : N × N → Q. Da Z er numerabel (jvf. Eksempel 

A.2.5(B)), kan vi vælge os en bijektiv afbildning h: N → Z, og vi definerer derefter 

f : N ×N → Q ved: 

f(n,m) = h(n) 

m , 

(n,m ∈ N). 

Idet Q = { p q 

| p ∈ Z, q ∈ N}, følger det umiddelbart, at f er surjektiv. 

(v) Dette følger umiddelbart ved at kombinere (ii) og (iv) i et induktions-argument (overvej 

dette!). 

A.2.9 Sætning. Mængden R af reelle tal er overtællelig. 

Bevis. Vi bemærker først, at for enhver følge (a n ) n∈N af tal fra mængden {0,1,...,9} er rækken 

∑ ∞ n=1 a n10 −n (absolut) konvergent, eftersom 

∞ 

∑ a n 10 −n ≤ 

n=1 

∞ 

∑ 9 · 10 −n = 9 

n=1 

10 

Vi kan derfor betragte følgende delmængde af R: 

D = 

∞ 

∑ 10 −n = 9 

n=0 

10 · 

1 

1 − 1 

10 

= 1 < ∞. 

{ ∞ ∣ } 

∑ a n 10 −n ∣ ∀n ∈ N: an ∈ {0,1,...,9} ⊆ [0,1], 

n=1 

idet vi er specielt interesserede i delmængden: 

D 0 = 

{ ∞ ∣ } 

∑ a n 10 −n ∣ ∀n ∈ N: an ∈ {0,1,...,9} og ∀n ∈ N ∃m ≥ n: a m ≠ 9 . 

n=1 

Mængden D 0 har nemlig egenskaben, at hvis ∑ ∞ n=1 a n10 −n og ∑ ∞ n=1 b n10 −n er to elementer fra 

D 0 , så gælder bi-implikationen: 

∞ 

∑ a n 10 −n ∞ 

= ∑ b n 10 −n ⇐⇒ a n = b n for alle n i N. 

n=1 

n=1 

(A.31) 

149

Her er implikationen “⇐” oplagt, og for at vise “⇒” antager vi, at {n ∈ N | a n ≠ b n } ≠ /0, og vi 

lader så n 0 betegne denne mængdes minimum. Vi kan antage, at a n0 og det følger da, at 

∞ 

∑ 

n=1 

b n 10 −n − 

∞ 

∑ 

∞ 

∑ 

n=1 

a n 10 −n 

∞ 

∑ 

= b n 10 −n − a n 10 −n = b n0 10 −n − a n0 10 −n + 

n=n 0 n=n 0 

≥ (b n0 − a n0 )10 −n 0 

− 

∞ 

∑ 

n=n 0 +1 

∞ 

∑ 

n=n 0 +1 

a n 10 −n > (b n0 − a n0 )10 −n 0 

− 

b n 10 −n − 

∞ 

∑ 

n=n 0 +1 

9 · 10 −n 

∞ 

∑ 

n=n 0 +1 

= (b n0 − a n0 )10 −n 0 

− 9 ∞ 

10 n 0+1 ∑ 10 −n = (b n0 − a n0 )10 −n 0 

− 9 1 

n=0 

10 n 0+1 

1 − 

10 

1 

= (b n0 − a n0 )10 −n 0 

− 10 −n 0 

≥ 0, 

hvor den skarpe ulighed netop skyldes definitionen af D 0 . 

a n 10 −n 

Lad os nu antage, at R ér tællelig. Da er mængden D 0 også tællelig (jvf. Bemærkning A.2.7), 

og der findes ifølge Sætning A.2.6(iii) en surjektiv afbildning g: N → D 0 . For hvert k i N kan 

vi (på entydig vis) skrive 

∞ 

g(k) = ∑ a (k) 

n 10 −n , 

n=1 

hvor følgen (a (k) 

n ) n∈N opfylder betingelserne i Definitionen af D 0 . Vi betragter derefter tallet 

hvor 

α n = 

{ 

ξ = 

a (n) 

n 

∞ 

∑ α n 10 −n , 

n=1 

− 1, hvis a (n) 

n ≥ 1 

1, hvis a (n) 

n = 0. 

Da α n ≠ 9 for alle n, ser vi, at ξ ∈ D 0 , og derfor findes k i N, således at g(k) = ξ , dvs. 

∞ 

∑ α n 10 −n ∞ 

= ∑ a (k) 

n 10 −n . 

n=1 

n=1 

(A.32) 

Ifølge (A.31) medfører dette specielt, at α k = a (k) 

k 

, men dette strider imod (A.32). Vi har således 

opnået den søgte modstrid. 

A.2.10 Bemærkning. Lad a,b være reelle tal, således at a < b. Da er f.eks. afbildningen 

f(x) = tan ( π 

b−a (x − a) − π 2) 

, (x ∈ (a,b)) 

en bijektion af (a,b) på R. Ifølge Sætning A.2.9 er (a,b) derfor overtællelig, og pga. Bemærkning 

A.2.7 er (a,b], [a,b) og [a,b] derfor også overtællelige. □ 

150

A.2.11 Kardinalitet af mængder. Kardinaliteten card(A) af en mængde A er løst sagt lig med 

antallet af elementer i A. Dette er en præcis definition, hvis A kun har endeligt mange elementer, 

men hvis A har uendeligt mange elementer, opstår der problemer, som følge af at der er forskellige 

“grader af uendelighed”. F.eks. kan vi betragte delmængderne N og [0,1] af R, der begge 

har uendeligt mange elementer, men ifølge Bemærkning A.2.10 er [0,1] overtællelig, hvilket 

er et udtryk for, at der er flere elementer i [0,1] end i N. Vi siger, at [0,1] har (strengt) større 

kardinalitet end N. Formelt siges to mængder A og B at have samme kardinalitet, hvis der findes 

en bijektiv afbildning ϕ : A → B. I så fald skrives A ≈ B. Endvidere siges B at have større 

kardinalitet end A, hvis der findes en injektiv afbildning f : A → B, og terminologien “strengt 

større” benyttes, hvis der ikke samtidig gælder, at A ≈ B. 

Det er ikke svært at indse, at ≈ er en ækvivalensrelation på det system af mængder, man måtte 

betragte 15 , og selve kardinaliteten card(A) kan man derefter formelt indføre som A’s ækvivalensklasse 

med hensyn til ≈. Der gælder altså, at 

card(A) = card(B) ⇐⇒ A ≈ B. 

Hvis B har større eller strengt større kardinalitet end A, benyttes notationen: 

card(A) ≤ card(B) hhv. 

card(A) < card(B). 

Med denne notation udtrykker Bernsteins Sætning, at der gælder følgende implikation: 

card(A) ≤ card(B) og card(B) ≤ card(A) =⇒ card(A) = card(B), 

hvilket naturligvis er trivielt for endelige mængder. 

Den såkaldte Kontinuum-hypotese 16 udtrykker, at der ikke findes en mængde A, således at 

card(N) < card(A) < card(R). 

Denne hypotese er uafhængig af det sædvanlige ZFC-aksiomssystem for mængdelæren, og den 

kan således hverken bevises eller modbevises inden for dette aksiomssystem! 

A.2.12 Øvelse. Eftervis, at der gælder følgende udsagn: 

card({1,2,...,n}) = card({1,2,...,m}) ⇐⇒ n = m, 

card(N) = card(Z) = card(Q), 

card((a,b)) = card([a,b]) = card(R) for alle a,b i R, således at a < b, 

card(Q ×Q) < card(R). 

A.3 Den udvidede reelle tallinie R 

Vi udvider den reelle tallinie R med to elementer ∞ og −∞, således at 

−∞ < x < ∞ for alle x i R. 

Vi sætter så: 

R = R ∪ {∞} ∪ {−∞} = [−∞,∞]. 

15 Man kan ikke betragte systemet af “alle mulige mængder”, da dette leder til det berømte paradoks af B. Russell. 

16 Kardinalitetsbegrebet blev indført af G. Cantor, der ligeledes formulerede kontinuum-hypotesen. 

151

A.3.1 Addition i R. Additionen + i R udvider den sædvanlige addition i R efter følgende konventioner: 

• ∀a ∈ R: a+∞ = ∞+a = ∞, 

• ∀a ∈ R: a+(−∞) = −∞+a = −∞, 

• ∞+∞ = ∞, 

• −∞+(−∞) = −∞. 

Vi fremhæver, at ∞+(−∞) ikke tilægges nogen mening. 

Der gælder nu følgende regneregler for a,b,c i R: 

• a+b = c ⇐⇒ a = c − b, hvis b ∈ R, 

• a+b ≤ a+c ⇐⇒ b ≤ c, hvis a ∈ R. 

A.3.2 Multiplikation i R. Multiplikationen i R udvider den sædvanlige multiplikation i R efter 

følgende konventioner: 

• 0 ·(±∞) = (±∞) · 0 = 0, 

• ∀c ∈ (0,∞]: c ·(±∞) = (±∞) · c = ±∞, 

• ∀c ∈ [−∞,0): c ·(±∞) = (±∞) · c = ∓∞. 

Multiplikationen i R bliver da kommutativ og associativ, dvs. for a,b,c i R gælder der, at 

a · b = b · a, og (a · b) · c = a ·(b · c). 

Som det er kutyme, vil vi ofte udelade symbolet “·” og altså blot skrive ab i stedet for a · b for 

vilkårlige a,b i R. 

A.3.3 Grænseovergang i R. Lad (x n ) være en følge af elementer i R, og lad x være et element 

i R. Hvis x ∈ R, benytter vi den sædvanlige definition af, at x n → x for n → ∞: 

lim 

n→∞ x n = x ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : |x n − x| ≤ ε, 

idet vi anvender den naturlige konvention: | ± ∞| = ∞. Vi bemærker specielt, at hvis x n → 

x ∈ R for n → ∞, så gælder der nødvendigvis, at x n ∈ R for alle tilstrækkeligt store n. Hvis 

x ∈ {−∞,∞}, benytter vi følgende definitioner: 


lim x n = ∞ ⇐⇒ ∀R > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : x n ≥ R, 

n→∞ 

lim x n = −∞ ⇐⇒ ∀R > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : x n ≤ −R. 

n→∞ 

Lad os som et afsluttende eksempel betragte to følger (x n ) og (y n ) af elementer i R, der begge 

har grænseværdier i R. Hvis det yderligere forudsættes, at der ikke gælder, at lim n→∞ x n ∈ 

{−∞,∞}, samtidig med at lim n→∞ y n = 0 (eller omvendt), da følger det med konventionerne i 

A.3.2, at 

( ) ( ) 

lim (x n · y n ) = lim x n · lim y n . 

n→∞ n→∞ n→∞ 

152

A.4 Infimum, supremum, limes inferior og limes superior 

I dette appendix repeteres de væsentligste egenskaber ved supremum, infimum, limes superior 

og limes inferior. Resultaterne forventes i vid udstrækning at være kendte fra tidligere kurser. 

Supremum og infimum 

Hvis en delmængde A af R har et største element, betegnes dette med max(A), mens et eventuelt 

mindste element i A betegnes med min(A). Det er dog langtfra alle delmængder af R, der har et 

største- og/eller mindste element (betragt f.eks. mængderne N og (0,1]). Imidlertid har enhver 

(ikke-tom) delmængde af R et supremum og et infimum, som vi skal indføre nedenfor. Disse 

størrelser kan med rette opfattes som generaliseringer af maximums- og minimums-begreberne. 

A.4.1 Notation & Terminologi. Lad A være en (ikke-tom) delmængde af R. Et tal v i R siges 

da at være et overtal for A, hvis 

x ≤ v for alle x i A. 

Mængden af overtal for A betegnes med O(A). 

Et tal w i R siges tilsvarende at være et undertal for A, hvis 

x ≥ w for alle x i A. 

Mængden af undertal for A betegnes med U(A). 

En helt fundamental egenskab ved de reelle tal er, at de besidder supremums-egenskaben: 

A.4.2 Supremumsegenskaben. For enhver ikke-tom delmængde A af R gælder der, at mængden 

O(A) har et mindste element, dvs. A har et mindste overtal i R. Dette tal kaldes for 

supremum af A, og det betegnes med sup(A); altså: 

sup(A) = min(O(A)). 

For beviset for A.4.2 henvises til et passende kursus i algebra! Ved at benytte A.4.2 på mængden 

−A = {−x | x ∈ A}, følger det, at enhver ikke-tom delmængde A af R ligeledes har et største 

undertal i R. Dette tal kaldes for infimum af A, og det betegnes med inf(A). Der gælder altså, at 

inf(A) = max(U(A)) = −sup(−A). 

A.4.3 Bemærkninger. (1) Pr. konvention sætter man ofte sup(/0) = −∞ og inf(/0) = ∞, men 

i nogle sammenhænge kan man komme ud for andre konventioner. Man bør derfor som 

hovedregel anføre, hvad man forstår ved inf(/0) og sup(/0), hvis man har brug for at betragte 

disse størrelser. Med mindre andet er eksplicit anført vil vi i disse noter benytte 

ovenstående konventioner. 

153

(2) Det følger umiddelbart, at operationerne sup og inf kan udvides til alle delmængder af R, 

idet man for enhver delmængde A af R f.eks. sætter 

{ 

∞, hvis ∞ ∈ A 

sup(A) = 

sup(A ∩R), hvis ∞ /∈ A. 

Dette er i overenstemmelse med identiteten: sup(A) = min(O(A)), når vi benytter den 

oplagte generalisering af O(A) til delmængder A af R. 

(3) En (ikke-tom) delmængde A af R har som nævnt ikke generelt et største element men altså 

altid et supremum. F.eks. har mængden [0,1) ikke et største element, men sup([0,1)) = 1. 

Hvis mængden A faktisk har et største element max(A), så gælder der altid, at max(A) = 

sup(A). I denne situation er det nemlig oplagt, at max(A) er det mindste overtal for A. 

Tilsvarende gælder der naturligvis, at min(A) = inf(A), hvis min(A) skulle eksistere. Bemærk 

iøvrigt at max(A) eksisterer, hvis og kun hvis sup(A) ∈ A. 

(4) Hvis A = {x n | n ∈ N} for en passende følge (x n ) af elementer i R, da skriver man ofte 

sup n∈N x n i stedet for sup({x n | n ∈ N}). Tilsvarende notation benyttes i forbindelse med 

infimum. 

(5) Hvis (x n ) og (y n ) er to følger af elementer i R, således at x n ≤ y n for alle n, så gælder 

der også, at sup n∈N x n ≤ sup n∈N y n , og at inf n∈N x n ≤ inf n∈N y n . Det fremgår nemlig 

umiddelbart, at sup n∈N y n er et overtal for {x n | n ∈ N}, mens inf n∈N x n er et undertal for 

{y n | n ∈ N}. □ 

A.4.4 Eksempler. (A) Idet vi betragter mængden N af naturlige tal som en delmængde af R, 

har vi, at sup(N) = ∞, og at inf(N) = min(N) = 1. 

(B) Betragt mængden A = [0,1] \ Q, hvor Q betegner mængden af rationale tal. Da R \ Q er 

tæt i R, følger det, at inf(A) = 0, og at sup(A) = 1, mens hverken min(A) eller max(A) 

eksisterer. 

(C) Betragt mængden A = { 

n 1 | n ∈ N}. Så gælder der, at inf(A) = 0, og at sup(A) = max(A) = 

1. ⋄ 

Vi noterer som det næste en række nyttige egenskaber ved sup og inf i følgende lemma, hvor vi 

for en ikke-tom delmængde A af R og et element x i R benytter notationen: 

x+A = {x+a | a ∈ A} 

xA = {xa | a ∈ A}. 

A.4.5 Lemma. Lad A og B være ikke-tomme delmængder af R, og lad x være et element i R. 

Da gælder der følgende udsagn: 

(i) sup(−A) = −inf(A), og inf(−A) = −sup(A). 

(ii) sup(x+A) = x+sup(A), og inf(x+A) = x+inf(A). 

154

(iii) Hvis x ≥ 0, gælder der, at sup(xA) = xsup(A) og inf(xA) = xinf(A). 

(iv) Hvis A ⊆ B, gælder der, at sup(A) ≤ sup(B), og at inf(A) ≥ inf(B). 

(v) For ethvert tal v i R gælder der bi-implikationerne: 

v ≥ sup(A) ⇐⇒ v ∈ O(A) ⇐⇒ a ≤ v for alle a i A, 

(A.33) 


v ≤ sup(A) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃a ∈ A: a > v − ε. 

(A.34) 

Har man vist, at v opfylder begge højresiderne af (A.33) og (A.34), kan man således 

slutte, at v = sup(A). 

(vi) For ethvert tal v i R gælder der bi-implikationerne: 

v ≤ inf(A) ⇐⇒ v ∈ U(A) ⇐⇒ v ≤ a for alle a i A, 

(A.35) 


v ≥ inf(A) ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃a ∈ A: a < v+ε. 

(A.36) 

Har man vist, at v opfylder begge højresiderne af (A.35) og (A.36), kan man således 

slutte, at v = inf(A). 

(vii) Der findes følger (x n ) og (y n ) af elementer fra A, således at 

x n ↑ sup(A) for n → ∞ 


y n ↓ inf(A) for n → ∞. 

Bevis. Udsagnene forventes alle at være mere eller mindre velkendte fra foregående kurser. Vi 

nøjes derfor med kort at bevise (v) og (vii): 

(v) Bi-implikationerne (A.33) følger umiddelbart af identiteten: sup(A) = min(O(A)) samt af 

definitionen af O(A). For at vise “⇒” i (A.34) antager vi, at v ≤ sup(A), og at ε > 0. Det følger 

da, at v−ε < sup(A) = min(O(A)), og derfor er v−ε ikke et overtal for A, hvilket netop betyder, 

at der findes a i A, således at v − ε < a. For at vise “⇐” i (A.34) antager vi, at højresiden af 

(A.34) er opfyldt. Da sup(A) specielt er et overtal for A, kan vi dermed slutte, at der for alle 

positive ε gælder, at v − ε < sup(A). Ved at lade ε → 0, følger det derfor, at v ≤ sup(A). 

(vii) Vi påviser kun eksistensen af følgen (x n ), idet eksistensen af (y n ) bevises analogt, eller ved 

at benytte at inf(A)=−sup(−A). Hvis sup(A)=∞, kan vi for hvert n i N vælge et element x ′ n fra 

A, således at x ′ n > n (ellers ville n være et overtal for A). Definér derefter, x n := max{x ′ 1 ,...,x′ n} 

for alle n i N. Så er (x n ) en voksende følge af elementer fra A, og der gælder oplagt, at x n → 

∞ = sup(A) for n → ∞. Vi kan derfor antage, at sup(A) ∈ R. For hvert n i N er sup(A) − 1 n så 

ikke et overtal for A, og vi kan derfor vælge et x ′ n fra A, således at sup(A) − 1 n < x′ n ≤ sup(A). 

Defineres derefter som før, x n := max{x ′ 1 ,...,x′ n } for alle n i N, så er (x n) en voksende følge af 

elementer fra A, og der gælder stadig, at sup(A) − 1 n < x n ≤ sup(A) for alle n. Dermed følger 

155

det umiddelbart, at x n ↑ sup(A) for n → ∞. 

 

A.4.6 Sætning. 

(i) For enhver voksende følge (x n ) i R gælder der, at 

x n ↑ supx n for n → ∞. 

n∈N 

(ii) For enhver aftagende følge (y n ) i R gælder der, at 

y n ↓ inf 

n∈N y n for n → ∞. 

Bevis. Vi viser kun udsagnet (i), idet (ii) bevises analogt eller ved at benytte (i) på den voksende 

følge (−y n ). Vi sætter endvidere s = sup n∈N x n , og vi bemærker, at (i) er trivielt opfyldt, hvis 

s = −∞ (overvej!). 

Antag så, at s = ∞. For at vise at x n → ∞ for n → ∞, skal vi eftervise følgende betingelse: 

∀R > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : x n ≥ R. 

(A.37) 

Lad derfor et positivt tal R være givet. Vi kan da vælge et N i N, således at x N > R (ellers ville 

R være et overtal for {x n | n ∈ N}). Hvis n ≥ N, gælder der nu, at x n ≥ x N > R, og dermed er 

(A.37) eftervist. 

Antag derpå, at s ∈ R, og lad et positivt tal ε være givet. Da er s − ε ikke et overtal for {x n | n ∈ 

N}, og derfor findes et N i N, således at x N > s − ε. Hvis n ≥ N, gælder der nu, at 

s ≥ x n ≥ x N > s − ε, og dermed |x n − s| < ε, 

og da ε var vilkårligt, viser dette, at x n → s for n → ∞. 

 

Limes inferior og limes superior 

Lad (x n ) være en følge af elementer fra R. Vi indfører nu to nye følger (v k ) og (w k ) af elementer 

fra R ved definitionerne: 

v k := supx n , og w k := inf x n for alle k i N. (A.38) 

n≥k 

n≥k 

Det følger umiddelbart fra (iv) i Lemma A.4.5, at følgen (v k ) er aftagende (i k), mens følgen 

(w k ) er voksende. Ifølge Sætning A.4.6 har disse følger derfor begge en grænseværdi i R, nemlig 

hhv. inf k∈N v k og sup k∈N w k . Dermed har vi retfærdiggjort følgende definition: 

A.4.7 Definition. Lad (x n ) være en vilkårlig følge af elementer fra R, og betragt følgerne 

(v k ) og (w k ) indført i (A.38). Vi definerer da limes superior limsup n→∞ x n og limes inferior 

156

liminf n→∞ x n for (x n ) ved ligningerne: 


limsupx n = lim v k = inf v k, 

n→∞ k→∞ k∈N 

liminf x n = lim w k = supw k . 

n→∞ k→∞ 

k∈N 

A.4.8 Bemærkninger. 

det, at 


(1) Hvis man sammenholder (A.38) med Definition A.4.7, så følger 

limsupx n = lim 

n→∞ 

k→∞ 

( 

liminf 

n→∞ x n = lim 

k→∞ 

( 

hvilket specielt forklarer terminologien. 

sup 

n≥k 

inf 

n≥k x n 

) ( 

x n = inf 

k∈N 

) 

sup 

n≥k 

x n 

), 

( ) 

= sup inf x n , 

k∈N n≥k 

(2) Det følger umiddelbart fra Definition A.4.7, at hverken limsup n→∞ x n eller liminf n→∞ x n 

afhænger af de første endeligt mange elementer i (x n ). Mere præcist gælder der for ethvert 

N i N, at 

limsup 

n→∞ 

x n = limsupx N+n , og liminf x n = liminf x N+n. 

n→∞ 

n→∞ n→∞ 

□ 

Vi skal herefter notere en række nyttige egenskaber ved limsup og liminf. 

A.4.9 Lemma. Lad (x n ) og (y n ) være to følger af elementer fra R, og lad a være et reelt tal. 

Der gælder da følgende udsagn: 

(i) liminf n→∞ x n ≤ limsup n→∞ x n 

(ii) limsup n→∞ (a+x n ) = a+limsup n→∞ x n , og liminf n→∞ (a+x n ) = a+liminf n→∞ x n . 

(iii) Hvis a ≥ 0, gælder der, at 

limsup 

n→∞ 

(ax n ) = alimsup 

n→∞ 

x n , og liminf 

n→∞ (ax n) = aliminf 

n→∞ x n. 

(iv) limsup n→∞ (−x n ) = −liminf n→∞ x n , og liminf n→∞ (−x n ) = −limsup n→∞ x n . 

(v) Hvis x n ≤ y n for alle n i N, så gælder der også, at 

limsup 

n→∞ 

x n ≤ limsupy n , og liminf x n ≤ liminf y n. 

n→∞ 

n→∞ n→∞ 

(vi) limsup n→∞ (x n + y n ) ≤ limsup n→∞ x n + limsup n→∞ y n , og liminf n→∞ (x n + y n ) ≥ 

liminf n→∞ x n + liminf n→∞ y n . 

157

(vii) Hvis lim n→∞ y n eksisterer i R, så gælder der, at 

limsup 

n→∞ 

(x n + y n ) = limsup 

n→∞ 

x n + lim n→∞ 

y n , og liminf 

n→∞ (x n + y n ) = liminf 

n→∞ x n + lim n→∞ 

y n . 

Bevis. Det forventes igen, at udsagnene er mere eller mindre velkendte fra tidligere kurser, og 

vi nøjes derfor med kort at bevise (vi) og (vii). 

(vi) For ethvert k i N gælder der, at 

sup 

n≥k 

(x n + y n ) ≤ sup 

n≥k 

x n + supy n , 

n≥k 

idet højresiden er et overtal for mængden {x n +y n | n ∈ N}. Tages nu grænseværdi for k → ∞ på 

begge sider af uligheden ovenfor (bemærk, at disse grænseværdier eksisterer!), så følger det, at 

( ) ( ( 

limsup(x n +y n ) = lim sup(x n +y n ) ≤ lim supx n 

)+ lim supy n 

)=limsupx n +limsupy n , 

n→∞ 

k→∞ k→∞ k→∞ n→∞ n→∞ 

n≥k 

n≥k 

hvilket viser den første ulighed i (vi). Den anden ulighed vises tilsvarende eller ved at benytte 

den netop viste sammen med udsagn (iv). 

(vii) Antag, at y n → y ∞ ∈ R for n → ∞. For ethvert positivt ε kan vi da vælge et K i N, således 

at y ∞ + ε ≥ y n ≥ y ∞ − ε, når n ≥ K. Dermed følger det også, at 

x n + y ∞ + ε ≥ x n + y n ≥ x n + y ∞ − ε, når n ≥ K. (A.39) 

Ved anvendelse af den første ulighed i (A.39), Bemærkning A.4.3(5) samt Lemma A.4.5(ii) kan 

vi nu slutte, at 

sup 

n≥k 

(x n + y n ) ≤ sup(x n + y ∞ + ε) = y ∞ + ε + supx n , når k ≥ K. (A.40) 

n≥k 

Lader vi så k → ∞ i (A.40), da fremgår det, at 

( ) 

limsup(x n + y n ) = lim sup(x n + y n ) ≤ y ∞ + ε + lim 

n→∞ 

k→∞ 

n≥k 

k→∞ 

( 

Da dette gælder for et vilkårligt positivt ε, kan vi dermed også slutte, at 

n≥k 

n≥k 

sup 

n≥k 

limsup(x n + y n ) ≤ y ∞ + limsupx n . 

n→∞ 

n→∞ 

Tilsvarende følger det ved anvendelse af den sidste ulighed i (A.39), at også 

limsup(x n + y n ) ≥ y ∞ + limsupx n , 

n→∞ 

n→∞ 

) 

x n = y ∞ + ε + limsupx n . 

n→∞ 

og dermed er første identitet i (vii) bevist. Den anden identitet i (vii) følger tilsvarende eller ved 

at benytte udsagn (iv). 

Hvor en følge (x n ) af elementer i R kun sjældent har en grænseværdi, så eksisterer limsup n→∞ x n 

og liminf n→∞ x n altså altid. Et af de vigtigste resultater om limsup og liminf udtrykker, at 

lim n→∞ x n eksisterer, hvis og kun hvis limsup n→∞ x n og liminf n→∞ x n er sammenfaldende. 

158

A.4.10 Sætning. En følge (x n ) af elementer i R har en grænseværdi i R, hvis og kun hvis 

limsup n→∞ x n ≤ liminf n→∞ x n . I bekræftende fald gælder der, at 

lim x n = limsupx n = liminf x n. 

n→∞ n→∞ 

n→∞ 

Bevis. Vi betragter først tilfældet, hvor x n → ∞ for n → ∞, svarende til at limsup n→∞ x n = 

liminf n→∞ x n = ∞. Vi finder nemlig, at 

lim x n = ∞ ⇐⇒ ∀R > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : x n ≥ R 

n→∞ 

⇐⇒ ∀R > 0 ∃N ∈ N ∀k ≥ N : inf x n ≥ R 

n≥k 

) 

⇐⇒ lim inf = ∞ 

k→∞ 

( 

n≥k x n 

⇐⇒ liminf 

n→∞ x n = ∞ 

⇐⇒ liminf x n = limsupx n = ∞, 

n→∞ 

hvor vi til sidst benytter Lemma A.4.9(i). Tilfældet, hvor x n → −∞ for n → ∞, håndteres tilsvarende 

eller ved at benytte det netop etablerede på følgen (−x n ). 

Antag derpå, at lim n→∞ x n = x ∈ R, og lad et positivt ε være givet. Vi kan da vælge N i N, 

således at 

x − ε ≤ x n ≤ x+ε, når n ≥ N, 

og for dette N gælder der dermed også, at 

n→∞ 

x − ε ≤ inf x n ≤ supx n ≤ x+ε, når k ≥ N. 

n≥k 

Tager vi nu grænseværdi for k → ∞, så følger det, at 

) 

x − ε ≤ lim inf = liminf x n ≤ limsupx n = lim 

n→∞ 

k→∞ 

( 

n≥k x n 

n≥k 

n→∞ 

k→∞ 

( 

Specielt viser dette, at limsup n→∞ x n ,liminf n→∞ x n ∈ R, og at 

∣ 

∣liminf x ∣ 

n − x∣ ≤ ε, og ∣limsupx n − x∣ ≤ ε. 

n→∞ n→∞ 

Da ε var vilkårlig, kan vi dermed slutte, at 


liminf x n = x = limsupx n , 

n→∞ 

159 

n→∞ 

) 

supx n ≤ x+ε. 

n≥k

Antag endelig, at liminf n→∞ x n = limsup n→∞ x n = x ∈ R, og lad igen et positivt ε være givet. 

Idet vi husker på, at 

inf x n ↑ liminf 

n≥k 

kan vi så vælge et K i N, således at 

n→∞ x n for k → ∞, og sup 

n≥k 

x n ↓ limsupx n for k → ∞, 

n→∞ 

x − ε ≤ inf x n ≤ supx n ≤ x+ε, når k ≥ K. 

n≥k 

n≥k 

Benyttes dette specielt i tilfældet, hvor k = K, fremgår det, at 

x − ε ≤ x n ≤ x+ε, når n ≥ K. 

Da ε var vilkårlig, viser dette, at x n → x for n → ∞, som ønsket. 

 

A.4.11 Korollar. Lad (x n ) være en følge af tal fra [0,∞]. Så gælder der, at 

x n → 0 for n → ∞ ⇐⇒ limsupx n = 0. 

n→∞ 

Bevis. Implikationen “⇒” er en umiddelbar konsekvens af Sætning A.4.10, og implikationen 

“⇐” følger ligeledes fra denne sætning, når man har observeret, at liminf n→∞ x n ≥ 0, eftersom 

x n ≥ 0 for alle n. 

A.5 Generelle partitions σ-algebraer og kardinalitet af σ-algebraer 

I dette appendix betragtes en ikke-tom mængde X. Lad endvidere D være et system af delmængder 

af X. Generelt kan man ikke konstruere mængderne i σ-algebraen σ(D) frembragt 

af D udfra mængderne i frembringersystemet D. Vi skal i dette appendix bl.a. studere nogle 

situationer, hvor dette faktisk ér muligt. Vi skal desuden klarlægge hvilke muligheder, der er, 

for antallet af elementer i en σ-algebra. Vi starter med –i generalisering af Eksempel 1.1.4– at 

betragte generelle partitions σ-algebraer. 

A.5.1 Definition. En partition af X er en familie (B i ) i∈I af delmængder af X, som opfylder, at 

B i ∩ B j = /0 når i ≠ j, og 

⋃ 

B i = X. 

(A.41) 

i∈I 

Vi understreger, at indexmængden I i definitionen ovenfor kan være vilkårlig! For en generel 

familie (A i ) i∈I af delmængder af X skal vi i det følgende betragte systemerne { ⋃ i∈M A i | M ⊆ I} 

og { ⋂ i∈M A i | M ⊆ I}, idet vi benytter konventionerne: 

⋃ 

⋂ 

A i = /0, og A i = X. 

(A.42) 

i∈/0 

160 

i∈/0

A.5.2 Lemma. Lad (B i ) i∈I være en partition af X, således at B i ≠ /0 for alle i, og sæt endvidere 

H = σ ( {B i | i ∈ I} ) . 

(i) Hvis I er tællelig, så gælder der, at 

H = { ⋃ ∣ } 

B i M ⊆ I . 

i∈M 

(A.43) 

(ii) Hvis I er en endelig mængde med N elementer, så består σ-algebraen H af 2 N forskellige 

mængder. 

(iii) Hvis I ≃ N, så er kardinaliteten card(H) af H (jvf. Appendix A.1) den samme som kardinaliteten 

card(R) af de reelle tal. Specielt er H overtællelig. 

(iv) Hvis I er en overtællelig mængde, så er H naturligvis ligeledes overtællelig, og der gælder, 

at 

H = { ⋃ ∣ } 

B i M ⊆ I, og enten M eller I \ M er tællelig . (A.44) 

i∈M 

Bevis. (i) Antag, at I er tællelig, og lad H ′ betegne systemet på højresiden af (A.43). Inklusionen 

H ′ ⊆ H følger da umiddelbart af, at I er tællelig, mens den modsatte inklusion følger af, at 

B i ∈ H ′ for alle i, hvis vi yderligere viser, at H ′ er en σ-algebra: 

(σ1) Hele X fås i tilfældet M = I: X = ⋃ i∈I B i ∈ H ′ . 

(σ2) For enhver delmængde M af I har vi, at 

( ⋃ ) c ⋃ 

B i = 

i∈M 

i∈I\M 

ved anvendelse af begge betingelserne i (A.41). 

B i ∈ H ′ , 

(σ3) Lad (M n ) n∈N være en følge af (ikke-tomme) delmængder af I, og sæt M = ⋃ n∈N M n . Da 


⋃ ( ⋃ ) ⋃ 

B i = B i ∈ H ′ . 

i∈M n 


n∈N 

(ii) og (iii). Bemærk, at hvis M og M ′ er forskellige delmængder af I, så gælder der, at ⋃ i∈M B i ≠ 

⋃ 

i∈M ′ B i, eftersom B i ’erne er ikke-tomme og disjunkte. Det følger derfor fra (i), at card(H) = 

card(P(I)), og her er card(P(I)) = 2 N , hvis card(I) = N ∈ N, mens card(P(I)) = card(R), hvis 

card(I) = card(N). 

(iv) Lad H ′ betegne systemet på højresiden af (A.44). Ved at gå frem som i beviset for (i) 

ovenfor er det ikke svært at vise, at H ′ udgør en σ-algebra i X. Udover overvejelserne i beviset 

for (i) får man hertil brug for, at systemet af delmængder M af I, for hvilke M eller I \ M er 

tællelig, udgør en σ-algebra i I (jvf. Eksempel 1.1.4). Vi overlader detaljerne til læseren! Idet 

B i ∈ H ′ for alle i, følger det derefter umiddelbart, at H ⊆ H ′ . Den modsatte inklusion følger af, 

161 

i∈M

at ⋃ i∈M B i ∈ H, hvis M er tællelig, mens ( ⋃ 

i∈M B i 

) c = 

⋃i∈I\M B i ∈ H, hvis I \ M er tællelig. 

 

Lemma A.5.2 giver en konstruktiv beskrivelse af mængderne i σ-algebraen frembragt af en 

partition af X. For et generelt system (A l ) l∈L af delmængder af X bliver situationen mere 

kompliceret, og, som vi nu skal se, så kan man kun i visse situationer beskrive elementerne 

i σ({A l | l ∈ L}) konstruktivt. Startpunktet er at indføre en passende partition af X udfra de 

givne mængder (A l ) l∈L . 

A.5.3 Lemma. Lad L være en tællelig mængde, og lad (A l ) l∈L være en vilkårlig familie af 

delmængder af X. For enhver delmængde J af L definerer vi (jvf. (A.42)): 

( ⋂ 

) ( ⋃ 

) ( ⋂ 

) ( ⋂ 

) 

B J = A l \ A l = A l ∩ . (A.45) 

l∈J 

l∈L\J 

l∈J 

A c l 

l∈L\J 

Da udgør familien (B J ) J∈P(L) en partition af X, og for hvert l i L gælder der, at 

A l = ⋃ 

J∈P(L) 

l∈J 

B J . 

(A.46) 

Bevis. For at vise at (B J ) J∈P(L) udgør en partition af X, antages først, at J og J ′ er to forskellige 

delmængder af L. Vi kan så yderligere antage, at der findes et element l i L, således at l ∈ J og 

l /∈ J ′ . Da følger det fra (A.45), at B J ⊆ A l og B J ′ ⊆ A c l , hvilket specielt viser, at B J ∩ B J ′ = /0. 

For dernæst at vise, at ⋃ J∈P(L) B J = X, betragter vi et vilkårligt x i X, og sætter 

J(x) = {l ∈ L | x ∈ A l } ⊆ L. 

Det følger da umiddelbart fra (A.45), at x ∈ B J(x) ⊆ ⋃ J∈P(L) B J , som ønsket. Vi mangler at vise 

identiteten (A.46): For l i L finder vi, at 

( ⋃ 

) 

A l = A l ∩ B J = ⋃ (A l ∩ B J ) = ⋃ B J , 

J∈P(L) 

J∈P(L) 

J∈P(L) 

l∈J 

hvor vi til sidst benytter, at A l ∩ B J = /0, hvis l /∈ J, mens A l ∩ B J = B J , hvis l ∈ J (jvf. (A.45)). 

Dermed er lemmaet vist. 

A.5.4 Sætning. Lad L være en tællelig mængde, lad (A l ) l∈L være en familie af delmængder af 

X, og sæt 

E = σ ( {A l | l ∈ L} ) . 

Betragt endvidere mængderne B J , J ∈ P(L), givet ved (A.45), og sæt 

P 0 (L) = {J ∈ P(L) | B J ≠ /0}, og H = σ ( {B J | J ∈ P 0 (L)} ) . 

162

(i) Hvis P 0 (L) er en tællelig mængde, så gælder der, at 


card(E) = 

E = H = { ⋃ 

J∈M 

B J 

∣ ∣ M ⊆ P 0 (L) } , 

{ 

2 N , hvis card(P 0 (L)) = N ∈ N 

card(R), hvis P 0 (L) ≃ N. 

(ii) Hvis P 0 (L) er overtællelig, da gælder der, at 

H = { ⋃ 

J∈M 

B J 

∣ ∣ M ⊆ P 0 (L), og enten M eller P 0 (L) \ M er tællelig } ⊆ E. 

(A.47) 

Specielt er E ligeledes overtællelig. 

Bevis. (i) Antag, at P 0 (L) er tællelig. Det er nok at vise, at E = H, idet de resterende påstande 

alle fremgår af beskrivelsen af H, der opnås ved at benytte (i)-(iii) i Lemma A.5.2 på partitionen 

(B J ) J∈P0 (L) af X (jvf. Lemma A.5.3). Da L er tællelig, følger det umiddelbart fra (A.45), at 

B J ∈ E for alle delmængder J af L, og dermed at H ⊆ E. Omvendt viser (A.46), at A l ∈ H for 

alle l i L, da P 0 (J) er tællelig, og dette medfører, at E ⊆ H. 

(ii) Antag, at P 0 (L) er overtællelig. Den første identitet i (A.47) fås ved at benytte Lemma 

A.5.2(iv) på partitionen (B J ) J∈P0 (L) af X. Specielt fremgår det, at H er overtællelig. Vi 

mangler således blot at etablere inklusionen H ⊆ E, og som i beviset for (i) følger dette af 

formel (A.45), idet L er tællelig. 

A.5.5 Korollar. Lad X være en vilkårlig ikke-tom mængde, og lad E være en σ-algebra i X. Da 

indeholder E enten endeligt mange eller overtælleligt mange mængder. Hvis E består af endeligt 

mange mængder, da er antallet af disse lig med 2 N for er passende N i N. 

Bevis. Hvis E ikke er tælleligt frembragt (jvf. Definition 1.1.8(b)), da indeholder E oplagt overtælleligt 

mange mængder. Vi kan derfor antage, at E er frembragt af et system (A l ) l∈L af delmængder 

af X, hvor indexmængden L er tællelig. Påstandene i korollaret følger da umiddelbart 

ved anvendelse af Sætning A.5.4. 

Det næste eksempel viser specielt, at inklusionen i Sætning A.5.4(ii) meget vel kan være ægte. 

Dermed kan man altså i denne situation ikke generelt beskrive alle elementerne i E konstruktivt 

udfra mængderne i frembringersystemet (A l ) l∈L (i hvert fald ikke via den ovenfor benyttede 

metode). 

A.5.6 Eksempel. Vi erindrer fra Eksempel 1.2.4, at Borel-algebraen B(R) er frembragt af systemet 

(A q ) q∈Q , hvor A q =(−∞,q] for alle q. For en vilkårlig delmængde J af Q bliver mængden 

163

B J indført i (A.45) i dette tilfælde givet ved 

( ⋂ 

) ( ⋃ 

) 

B J = (−∞,q] \ (−∞,q] 

= 

q∈J 

q∈Q\J 

{ 

(−∞,inf(J)] \(−∞,sup(Q \ J)], 

hvis sup(Q \ J) ∈ Q \ J 

(−∞,inf(J)] \(−∞,sup(Q \ J)), hvis sup(Q \ J) /∈ Q \ J. 

(A.48) 

Bemærk her, at sup(Q \ J) ≥ inf(J), idet Q er tæt i R. På den anden side viser (A.48), at B J = /0 

med mindre sup(Q \ J) ≤ inf(J). Sammenholdes disse overvejelser igen med (A.48) fremgår 

det, at B J = /0 med mindre sup(Q \ J) = inf(J) og sup(Q \ J) /∈ Q \ J, dvs. med mindre J er på 

formen 

J = {q ∈ Q | q ≥ x} 

for et x i R. I dette tilfælde fremgår det endvidere fra (A.48), at B J = {x}. Mængden P 0 (Q) 

fra Sætning A.5.4 er således overtællelig. Vi konkluderer yderligere, at σ-algebraen H fra Sætning 

A.5.4 er givet ved: 

H = σ ( {{x} | x ∈ R} ) = {B ⊆ R | B eller R \ B er tællelig}, 

hvor det sidste lighedstegn følger af (A.47), men det blev også etableret i Eksempel 1.1.12. 

Specielt bemærker vi, at 

H B(R) = σ ( {(−∞,q] | q ∈ Q} ) , 

således at inklusionen i Sætning A.5.4(ii) er ægte. 

⋄ 

A.6 Borel-målelighed i generelle metriske rum 

I dette appendix skal vi kort behandle en del af resultaterne fra Kapitel 1 for generelle metriske 

rum. 

Borel algebraen i et generelt metrisk rum 

A.6.1 Definition. Et metrisk rum er et par (S,ρ), hvor S er en ikke-tom mængde, og ρ er en 

metrik på S, dvs. en afbildning ρ : S × S → [0,∞), som opfylder følgende betingelser for alle 

x,y,z i S: 

(i) ρ(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y, 

(ii) ρ(x,y) = ρ(y,x), 

(iii) ρ(x,z) ≤ ρ(x,y)+ρ(y,z). 

164

A.6.2 Eksempel. Som nævnt i Afsnit 1.2 kan vi udstyre R d som et metrisk rum vha. metrikkerne 

ρ 2 og ρ ∞ givet ved: 

( d 

ρ 2 ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = ∑ (x i − y i ) 2) 1/2 

, 

i=1 


for (x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d ) i R d . 

ρ ∞ ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = max 

i=1,2,...,d |x i − y i | 

⋄ 

I det følgende skal vi betragte et generelt metrisk rum (S,ρ). Vi skal endvidere for x i S og r i 

(0,∞) benytte notationen: 

for ρ-kuglen med centrum x og radius r. 

b(x,r) = b ρ (x,r) = {y ∈ S | ρ(x,y) < r} 

A.6.3 Definition. En delmængde G af S kaldes åben, hvis 

∀x ∈ G ∃r > 0: b(x,r) ⊆ G. 

Systemet af åbne delmængder af S betegnes med G. En delmængde F af S kaldes lukket, hvis 

F c er åben. 

Flere af beviserne i Kapitel 1 bygger på, at R indeholder en tællelig tæt mængde, nemlig mængden 

Q af alle rationale tal. Metriske rum med denne egenskab kaldes separable. 

A.6.4 Definition. Et metrisk rum (S,ρ) kaldes separabelt, hvis der findes en tællelig delmængde 

T af S, som er tæt i S, i den forstand at 

∀x ∈ S ∀ε > 0 ∃t ∈ T : ρ(x,t) ≤ ε. 

For separable metriske rum gælder følgende analog til Lemma 1.2.3: 

A.6.5 Lemma. Betragt et separabelt metrisk rum (S,ρ), og lad T være en tællelig tæt delmængde 

af S. Lad videre G være en åben ikke-tom delmængde af S, og skriv 

T ∩ G = {x n | n ∈ I}, hvor I ⊆ N. 

Da findes en familie (r n ) n∈I af positive, rationale tal, således at 

G = ⋃ b(x n ,r n ). 

n∈I 

165

Bevis. Præcis som beviset for Lemma 1.2.3. 

 

A.6.6 Definition. Borel-algebraen i S er σ-algebraen B(S) i S frembragt af systemet G af åbne 

mængder, dvs. 

B(S) = σ(G). 

For separable metriske rum gælder følgende generalisering af Sætning 1.2.2: 

A.6.7 Sætning. Lad (S,ρ) være et separabelt metrisk rum, og lad T være en tællelig tæt delmængde 

af S. Da gælder der, at 

B(S) = σ ( {b(x,r) | x ∈ S, r > 0} ) = σ ( {b(x,r) | x ∈ T, r ∈ (0,∞) ∩Q} ) . 

Specielt fremgår det, at B(S) er tælleligt frembragt. 

Bevis. Idet b(x,r) ∈ G for alle x i S og r > 0, følger det umiddelbart, at 

σ ( {b(x,r) | x ∈ S, r < 0} ) ⊆ B(S). 

Omvendt viser Lemma A.6.5, at 

G ⊆ σ ( {b(x,r) | x ∈ T, r ∈ (0,∞)∩Q} ) , og dermed B(S) ⊆ σ ( {b(x,r) | x ∈ T, r ∈ (0,∞)∩Q} ) , 

og heraf følger sætningen umiddelbart. 

 

Kontinuitet vs. Borel-målelighed 

I det følgende betragtes to metriske rum (S 1 ,ρ 1 ) og (S 2 ,ρ 2 ). Vi skal ligeledes betragte S 1 og S 2 

som målelige rum ved at udstyre dem med Borel-algebraerne hhv. B(S 1 ) og B(S 2 ). 

A.6.8 Definition. En afbildning f : S 1 → S 2 siges at være kontinuert i et punkt x fra S 1 , hvis 

den opfylder, at 

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ′ ∈ S 1 : ρ 1 (x,x ′ ) < δ =⇒ ρ 2 ( f(x), f(x ′ )) < ε. 

(A.49) 

Afbildningen f siges at være kontinuert, hvis den er kontinuert i ethvert punkt x af S 1 . 

Vi bemærker, at betingelsen (A.49) kan udtrykkes i termer af originalmængder som følger: 

∀ε > 0 ∃δ > 0: b ρ1 (x,δ) ⊆ f −1 (b ρ2 ( f(x),ε)). 

(A.50) 

166

A.6.9 Sætning. En afbildning f : S 1 → S 2 er kontinuert, hvis og kun hvis der for enhver delmængde 

G af S 2 gælder, at 

G åben i S 2 =⇒ f −1 (G) åben i S 1 . 

Bevis. Ganske som beviset for Lemma 1.4.7. 

 

A.6.10 Sætning. Enhver kontinuert funktion f : S 1 → S 2 er B(S 1 )-B(S 2 )-målelig. 

Bevis. Antag, at f : S 1 → S 2 er kontinuert. Da systemet af åbne mængder i S 2 frembringer 

B(S 2 ), er det ifølge Sætning 1.4.6(iv) nok at vise, at 

f −1 (G) ∈ B(S 1 ) for alle åbne mængder G i S 2 . 

Men hvis G er en åben delmængde af S 2 , så er f −1 (G) en åben delmængde af S 1 ifølge Sætning 

A.6.9, og specielt er f −1 (G) således en Borel-mængde. 

Som det sikkert er bekendt fra tidligere kurser, så er det nyttigt at kunne udtrykke kontinuitet i 

termer af konvergente punktfølger. En følge (x n ) af punkter fra S 1 siges at konvergere mod et 

punkt x fra S 1 , hvis ρ 1 (x n ,x) → 0 for n → ∞. I bekræftende fald skrives: x n → x for n → ∞. 

A.6.11 Lemma. En afbildning f : S 1 → S 2 er kontinuert i et punkt x fra S 1 , hvis og kun hvis 

der for enhver følge (x n ) af punkter i S 1 gælder implikationen: 

x n → x for n → ∞ =⇒ f(x n ) → f(x) for n → ∞. (A.51) 

Bevis. Antag først, at f : S 1 → S 2 er kontinuert i punktet x fra S 1 , og lad (x n ) være en følge af 

punkter i S 1 , således at x n → x for n → ∞. Lad endvidere et positivt ε være givet. I henhold 

til (A.50) kan vi da vælge et positivt δ, således at f(x ′ ) ∈ b ρ2 ( f(x),ε) for alle x ′ i b ρ1 (x,δ). 

Vi kan derefter vælge et N i N, således at x n ∈ b ρ1 (x,δ), når n ≥ N. Hvis n ≥ N, gælder der 

således, at f(x n ) ∈ b ρ2 ( f(x),ε), dvs. at ρ 2 ( f(x n ), f(x)) < ε. Da ε var vilkårligt, viser dette, at 

f(x n ) → f(x) for n → ∞, som ønsket. 

Den modsatte implikation vises ved kontraposition: Antag, at f ikke er kontinuert i x, altså (jvf. 

(A.49)) at 

∃ε > 0 ∀δ > 0 ∃x ′ ∈ S 1 : ρ 1 (x,x ′ ) < δ, og ρ 2 ( f(x), f(x ′ )) ≥ ε. 

For hvert n i N kan vi benytte denne betingelse med δ = 

n 1 , og vi kan dermed for et passende 

positivt ε udvælge en følge (x n ) af punkter fra S 1 , således at der for hvert n i N gælder, at 

ρ 1 (x n ,x) < 1 n , og ρ 2( f(x n ), f(x)) ≥ ε. 

Så gælder der oplagt, at x n → x for n → ∞, men det er også klart, at f(x n ) ikke konvergerer mod 

f(x). Derfor er betingelsen (A.51) ikke opfyldt. 

167

Produktmetrikker og Borel-algebra i produktrum 

Hvis (S,ρ) er et metrisk rum, og d ∈ N, kan vi udstyre produktrummet S d med forskellige 

metrikker dannet ud fra ρ: 

ρ 1 ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = 

d 

∑ 

i=1 

ρ(x i ,y i ) 

( 

ρ 2 d 

((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = ∑ i ,y i ) 

i=1ρ(x 2) 1/2 

ρ ∞ ((x 1 ,...,x d ),(y 1 ,...,y d )) = max 

i=1,...,d ρ(x i,y i ), 

for x = (x 1 ,...,x d ) og y = (y 1 ,...,y d ) fra S d . Det er ikke svært at se, at ρ 1 ,ρ 2 og ρ ∞ faktisk ér 

metrikker på S d , og de er alle eksempler på såkaldte produktmetrikker. 

A.6.12 Definition. Lad (S,ρ) være et metrisk rum, og betragt produktrummet S d . En metrik η 

på S d kaldes da for en produktmetrik, hvis der for enhver følge (x (n) ) n∈N = ((x (n) 

1 ,...,x(n) d 

)) n∈N 

af punkter fra S d og ethvert punkt x = (x 1 ,...,x d ) fra S d gælder, at 

η(x (n) ,x) −→ 0 ⇐⇒ ∀i ∈ {1,2,...,d}: ρ(x (n) 

n→∞ i 

,x i ) −→ 0. 

n→∞ 

(A.52) 

Hvis η og η ′ er to produktmetrikker på S d , så følger det umiddelbart fra (A.52), at der for 

enhver følge (x (n) ) af punkter i S d og ethvert punkt x i S d gælder, at 

x (n) → x for n → ∞ i (S d ,η) ⇐⇒ x (n) → x for n → ∞ i (S d ,η ′ ). 

Ved at kombinere dette med Lemma A.6.11, fremgår det specielt, at identitets-afbildningen, x ↦→ 

x, er kontinuert fra (S d ,η) til (S d ,η ′ ) og omvendt. Sammenholdt med Sætning A.6.9 udtrykker 

dette præcis, at en delmængde G af S d er åben mht. η, hvis og kun hvis den er åben mht. 

η ′ . Lader vi G(η) og G(η ′ ) betegne systemerne af åbne mængder i S d mht. hhv. η og η ′ , 

har vi altså, at G(η) = G(η ′ ), og dette udtrykkes ved at sige, at η og η ′ er ækvivalente. Alle 

produktmetrikker på S d er således ækvivalente, og dette retfærdiggør følgende definition: 

A.6.13 Definition. Lad (S,ρ) være et metrisk rum, og betragt produktrummet S d . Borelalgebraen 

B(S d ) i S d defineres da ved ligningen: 

B(S d ) = σ ( G(η)), 

hvor η er en produktmetrik på S d (f.eks. ρ 1 ,ρ 2 eller ρ ∞ ), og G(η) betegner systemet af åbne 

delmængder af S d med hensyn til η. 

168

Vi kan alternativt udstyre S d med produkt-σ-algebraen B(S) ⊗n introduceret i Afsnit 4.2. Det er 

så naturligt at spørge til forholdet mellem B(S d ) og B(S) ⊗d . Nedenstående resultat generaliserer 

Korollar 4.2.6(i). 

A.6.14 Sætning. Lad (S,ρ) være et metrisk rum, og betragt produktrummet S d og herpå de to 

σ-algebraer B(S d ) og B(S) ⊗d . Da gælder der, at 

(i) B(S) ⊗d ⊆ B(S d ). 

(ii) B(S) ⊗d = B(S d ), hvis (S,ρ) er et separabelt metrisk rum. 

Bevis. (i) Hvis G 1 ,...,G d er åbne delmængder af S med hensyn til ρ, så ses det let, at mængden 

G 1 ×···×G d er åben i S d med hensyn til f.eks. ρ ∞ . Da B(S) er frembragt af de åbne delmængder 

af S, følger det nu ved anvendelse af Sætning 4.2.4, at 

B(S) ⊗d = σ ( {G 1 × ··· × G d | G 1 ,...,G d åbne i S} ) ⊆ σ(G(ρ ∞ )) = B(S d ). 

(ii) Antag, at (S,ρ) er separabelt. Så er (S d ,ρ ∞ ) ligeledes separabelt (overvej!), og ifølge Sætning 

A.6.7 gælder der således, at 

Bemærk her for x = (x 1 ,...,x d ) i S d , at 

og derfor følger det umiddelbart, at 

B(S d ) = σ ( {b ρ ∞(x,r) | x ∈ S d , r > 0} ) . 

b ρ ∞(x,r) = b ρ (x 1 ,r) × ···×b ρ (x d ,r), 

B(S d ) = σ ( {b ρ ∞(x,r) | x ∈ S d , r > 0} ) ⊆ σ ( {A 1 × ··· × A d | A 1 ,...,A d ∈ B(S)} ) = B(S) ⊗d , 

som sammen med (i) giver det ønskede. 

 

A.7 Translationsinvariante mål i R d 

For enhver vektor a i R d betragter vi afbildningen τ a : R d → R d givet ved 

τ a (x) = x+a, (x ∈ R d ). (A.53) 

Denne afbildning betegnes som “translation med a”. Det ses umiddelbart, at τ a er kontinuert 

med kontinuert invers 

τ −1 

a = τ −a . 

A.7.1 Definition. Et mål µ på (R d ,B(R d )) siges at være translationsinvariant, hvis der for alle 

a i R d gælder, at 

µ ◦ τ −1 

a = µ, 

hvor µ ◦ τ −1 

a som bekendt betegner transformationen af µ under τ a . 

169

A.7.2 Bemærkninger. (1) Vi har set i Eksempel 5.1.3, at Lebesgue-målet λ d er translationsinvariant 

for alle d i N. 

(2) Lad µ være et mål på (R d ,B(R d )) og a et element i R d . For enhver mængde B fra B(R d ) 

har vi da, at 

µ ◦ τa 

−1 (B) = µ(τa 

−1 (B)) = µ(τ −a (B)) = µ(B − a), 

hvor 

B − a = {x − a | x ∈ B}. 

At µ er translationsinvariant kommer således ud på, at 

µ(B+a) = µ(B) for alle a i R d og B i B(R d ). 

(3) Lad µ være et translationsinvariant mål på (R d ,B(R d )). For enhver funktion f fra M(B(R d )) + 

og ethvert a fra R d gælder der da ifølge Sætning 5.1.4, at 

∫ 

∫R f(x+a) µ(dx) = f ◦ τ a(x) µ(dx) 

d R d 

∫ 

∫ 

= f(x)[µ ◦ τ−1 a ](dx) = d 

For en målelig funktion f : R d → R og a i R d har vi dermed, at 

R 

f ◦ τ a ∈ L(µ) ⇐⇒ f ∈ L(µ), 

(A.54) 

f(x) µ(dx). 

Rd og Sætning 5.1.4 giver videre, at (A.54) også gælder for generelle f fra L(µ). 

□ 

A.7.3 Lemma. Lad µ og ν være to σ-endelige mål på (R d ,B(R d )), og antag, at µ og ν begge 

er translationsinvariante. For vilkårlige f,g fra M(B(R d )) + gælder der da, at 

∫R d f(x) µ(dx) ∫R d g(y)ν(dy) = ∫R d g(−x) µ(dx) ∫ 

R d f(y)ν(dy). 

Bevis. Ved anvendelse af resultaterne fra Afsnit 4.1 ses det let, at funktionen 

(x,y) ↦→ g(y) f(x+y): R d ×R d → [0,∞], 

er B(R 2d )-målelig (overvej!). Ved anvendelse af Tonellis Sætning og Bemærkning A.7.2(3) 

finder vi derpå, at 

∫R 2d g(y) f(x+y)(µ ⊗ ν)(dx,dy) = ∫R d g(y) (∫R d f(x+y) µ(dx) ) 

ν(dy) 

= 

∫R d g(y) (∫R d f(x) µ(dx) ) 

ν(dy) 

∫ 

= 

∫R f(x) µ(dx) g(y)ν(dy). 

d R d 

170 

(A.55)

Hvis vi stedet integrerer i den modsatte rækkefølge, så giver Tonellis Sætning og Bemærkning 

A.7.2(3), at 

∫R 2d g(y) f(x+y)(µ ⊗ ν)(dx,dy) = ∫R d (∫R d g(y) f(x+y)ν(dy) ) 

µ(dx) 

= 

= 

= 

= 

∫R d (∫R d g((x+y) − x) f(x+y)ν(dy) ) 

µ(dx) 

∫R d (∫R d g((y − x) f(y)ν(dy) ) 

µ(dx) 

∫R d f(y) (∫R d g(y − x) µ(dx) ) 

ν(dy) 

∫R d f(y) (∫R d g(−x) µ(dx) ) 

ν(dy) 

∫ 

= 

∫R g(−x) µ(dx) f(y)ν(dy), 

d R d 

og sammenholdes med (A.55), fremgår den ønskede formel. 

 

A.7.4 Sætning. Lad µ være et σ-endeligt mål på (R d ,B(R d )), og antag, at µ er translationsinvariant. 

Så findes en konstant c i [0,∞), således at µ = cλ d . 

Bevis. Lad B være en vilkårlig Borel-mængde i R d . Vi benytter Lemma A.7.3 i tilfældet ν = λ d , 

g = 1 [− 

1 

2 , 2 1 og f = 1 ]d B . Det følger så, at 

∫ ∫ 

∫ 

∫ 

1 B(x) µ(dx) 1 

R d R d [− 2 1, 1 (y)λ 

2 ]d d (dy) = 1 R d [− 1 2 , 2 1 (−x) µ(dx) 1 B(y)λ ]d d (dy) 

R d 

∫ 

∫ 

= 1 R d [− 2 1, 2 1 (x) µ(dx) 1 B(y)λ ]d d (dy), 

R d 


Hvis vi sætter 

µ(B) = µ(B)λ d 

( 

[− 

1 

2 

, 1 2 ]d) = µ ( [− 1 2 , 1 2 ]d) λ d (B). 

c = µ ( [− 1 2 , 1 2 ]d) , 

har vi altså vist, at µ = cλ d . Da µ er σ-endeligt, medfører dette specielt, at c < ∞, idet målet 

∞ · λ d ikke er σ-endeligt (overvej!). 

Det næste resultat viser specielt, at det ikke er muligt at definere et naturligt længdebegreb på 

hele potensmængden P(R). 

A.7.5 Sætning. (Vitalis Sætning.) Der findes ikke noget translationsinvariant mål µ på 

(R,P(R)), som opfylder, at 

0 < µ([0,1]) < ∞. 

171

Bevis. Vi indfører en relation ∼ blandt tallene i [0,1] ved: 

x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q, (x,y ∈ [0,1]). 

Det er let at se, at ∼ er en ækvivalensrelation på [0,1]. For hvert x i [0,1] lader vi [x] betegne 

∼-ækvivalensklassen for x, altså 

[x] = {y ∈ [0,1] | y − x ∈ Q} = {y ∈ R | y − x ∈ Q} ∩[0,1] = (x+Q) ∩[0,1]. 

Vi benytter nu udvalgsaksiomet til at udvælge en repræsentant for hver ∼-ækvivalensklasse: 

Ifølge udvalgsaksiomet findes der en afbildning u: P(R) \ {/0} → R, der opfylder, at 

Vi betragter så mængden 

u(M) ∈ M for alle mængder M fra P(R) \ {/0}. 

A := {u([x]) | x ∈ [0,1]} ⊆ [0,1], 

som præcis indeholder ét element fra hver ∼-ækvivalensklasse. Vi bemærker, at A har følgende 

egenskaber: 

(a) ⋃ q∈Q∩[0,1](A+q) ⊆ [0,2]. 

(b) [0,1] ⊆ ⋃ q∈Q(A+q). 

(c) Mængderne A+q, q ∈ Q, er parvis disjunkte. 

For hvert q i [0,1] gælder der nemlig, at 

A+q ⊆ [0,1]+q ⊆ [0,2], 

hvilket viser (a). For at vise (b) betragter vi et vilkårligt tal t fra [0,1], og sætter så x = u([t]) ∈ A. 

Så gælder der, at t − x = q 0 for et passende q 0 i Q, og det følger dermed, at 

t = x+q 0 ∈ A+q 0 ⊆ ⋃ (A+q). 

q∈Q 

Med hensyn til (c) betragter vi to elementer q,q ′ fra Q, således at 

(A+q) ∩(A+q ′ ) ≠ /0. 

Vi kan så vælge x,x ′ fra A, således at x+q = x ′ + q ′ , og dermed følger det, at 

x − x ′ = q ′ − q ∈ Q, dvs. x ∼ x ′ . 

Men da x,x ′ ∈ A, og A præcis indeholder ét element fra hver ∼-ækvivalensklasse, kan vi heraf 

slutte, at x = x ′ , og dermed at q = q ′ , som ønsket. 

Antag nu, at der findes et translationsinvariant mål µ på (R,P(R)), der opfylder, at α := 

µ([0,1]) ∈ (0,∞). Vi bemærker så, at 

µ([0,2]) ≤ µ([0,1])+µ([1,2]) = µ([0,1])+µ([0,1]+1) = 2α. 

172

Sammenholdes dette med (a) og (c), følger det, at 

( 

⋃ 

) 

2α ≥ µ([0,2]) ≥ µ (A+q) 

q∈Q∩[0,1] 

= ∑ µ(A+q) = 

q∈Q∩[0,1] 

og da α < ∞, medfører dette, at µ(A) = 0. Men så viser (b) og (c), at 

( ⋃ 

) 

α = µ([0,1]) ≤ µ (A+q) 

q∈Q 

∑ µ(A) = ∞ · µ(A), 

q∈Q∩[0,1] 

= ∑ µ(A+q) = ∑ µ(A) = 0, 

q∈Q 

q∈Q 

hvilket er en modstrid. Dermed er sætningen vist. 

 

A.7.6 Korollar. Der findes delmængder af R, som ikke er Borel-mængder. 

Bevis. Vi ved, at Lebesgue-målet λ er et translationsinvariant mål på (R,B(R)), som opfylder 

at λ([0,1]) = 1 ∈ (0,∞). Ifølge Vitalis Sætning må der derfor nødvendigvis gælde, at B(R) 

P(R). 

A.7.7 Bemærkninger. (1) Det følger faktisk fra beviset for Sætning A.7.5, at mængden A 

konstrueret i dette bevis (vha. udvalgsaksiomet) ikke kan være en Borel-mængde. For 

hvis A var en Borel-mængde, så kunne den sidste del af beviset gennemføres indenfor 

B(R) og med µ = λ. 

(2) Som konsekvens af Sætning A.7.5 kan vi også notere, at der f.eks. ikke findes et naturligt 

arealbegreb på hele P(R 2 ). For hvis ν bare er et translationsinvariant mål på (R 2 ,P(R 2 )), 

som opfylder, at ν([0,1] ×[0,1]) ∈ (0,∞), da vil formlen 17 

µ(B) = ν ( p −1 

1 (B) ∩(R ×[0,1])) , (B ∈ P(R)), 

definere et translationsinvariant mål på (R,P(R)), som opfylder, at 

µ([0,1]) = ν([0,1] ×[0,1]) ∈ (0,∞). □ 

A.8 Affine, bijektive transformationer af Lebesgue-målet 

En affin transformation af R d er en afbildning ψ : R d → R d på formen 

ψ(x) = Ax+b, (x ∈ R d ), (A.56) 

hvor A er en d × d matrix (med reelle koefficienter), og b ∈ R d . Bemærk, at ψ er kontinuert og 

dermed specielt Borel-målelig. Bemærk endvidere, at ψ er bijektiv, netop når A er invertibel. 

I dette tilfælde bliver den inverse afbildning ψ −1 : R d → R d igen en affin transformation givet 

ved 

ψ −1 (x) = A −1 x − A −1 b, (x ∈ R d ). 

17 Her betegner p 1 som i Afsnit 4.1 projektionen p 1 : (x,y) ↦→ x: R 2 → R. 

173

Specielt er ψ −1 igen Borel-målelig. 

Vi skal i dette appendix studere transformationer af Lebesgue-målet λ d med bijektive affine 

afbildninger. Vi starter dog med det tilsvarende spørgsmål for lineære transformationer. 

A.8.1 Sætning. Lad ϕ : R d → R d være en bijektiv lineær afbildning, dvs. 

for en passende invertibel d × d matrix A. 

ϕ(x) = Ax, (x ∈ R d ), 

(i) Der findes en konstant c ϕ i (0,∞), således at λ d ◦ ϕ −1 = c ϕ λ d . 

(ii) Hvis A er en ortogonal matrix, gælder der, at c ϕ = 1. Dermed er λ d altså invariant under 

ortogonale transformationer. 

I forbindelse med (ii) i Sætning A.8.1 minder vi om, at en d × d-matrix A (med reelle koefficienter) 

kaldes ortogonal, hvis A t A = 1 d = AA t , hvor 1 d betegner d × d enheds-matricen. Vi 

minder også om, at det sædvanlige indre produkt 〈·,·〉 på R d er givet ved 

〈x,y〉 = x 1 y 1 + ···+x d y d , (x = (x 1 ,...,x d ), y = (y 1 ,...,y d ) ∈ R d ), 

at den tilhørende norm på R d er givet ved 

‖x‖ 2 = √ √ 

〈x,x〉 = x 2 1 + ···+x2 d , (x = (x 1,...,x d ) ∈ R d ), 

og at der for enhver d × d matrix A og alle x,y i R d gælder identiteten: 

〈A t x,y〉 = 〈x,Ay〉. 

Bevis for Sætning A.8.1. (i) Bemærk først, at muligheden, c ϕ = 0, er udelukket, eftersom 

λ d (ϕ −1 (R d )) = λ d (R d ) = ∞. Ifølge Sætning A.7.4 er det derfor nok at vise følgende to udsagn: 

(a) λ d ◦ ϕ −1 er σ-endeligt. 

(b) λ d ◦ ϕ −1 er translationsinvariant. 

Ad (a) Vi kan vælge en følge (K n ) af mængder fra B(R d ), således at ⋃ n∈N K n = R d , og så 

λ d (K n ) < ∞ for alle n. Bemærk så, at billedmængderne ϕ(K n ) igen er Borel-mængder, 

idet ϕ(K n ) = (ϕ −1 ) −1 (K n ) for alle n, hvor ϕ −1 er Borel-målelig. Vi noterer endvidere, at 

⋃ 

n∈N 

ϕ(K n ) = ϕ(R d ) = R d , 

idet ϕ er bijektiv. For hvert n i N bemærker vi endelig, at 

λ d ◦ ϕ −1( ϕ(K n ) ) = λ d (K n ) < ∞, 

og ialt følger det således, at λ d ◦ ϕ −1 er σ-endeligt. 

174

Ad (b) Bemærk først, at ϕ −1 igen er en lineær transformation (svarende til matricen A −1 ). For a 

i R d og B i B(R d ) finder vi så, at 

λ d ◦ ϕ −1 (B+a) = λ d (ϕ −1 (B)+ϕ −1 (a) ) = λ d 

( 

ϕ −1 (B) ) = λ d ◦ ϕ −1 (B), 

hvor vi i andet lighedstegn har benyttet, at λ d er translationsinvariant. 


(ii) Antag, at A er en ortogonal matrix, og bemærk så, at der for ethvert x i R d gælder, at 

Dette medfører specielt, at 

‖ϕ(x)‖ 2 2 = ‖Ax‖2 2 = 〈Ax,Ax〉 = 〈At Ax,x〉 = 〈x,x〉 = ‖x‖ 2 2 . 

ϕ −1 (b 2 (0,1)) = b 2 (0,1), 

(A.57) 

hvor b 2 (0,1) som i Kapitel 1 betegner enhedskuglen i R d : b 2 (0,1) = {x ∈ R d | ‖x‖ 2 < 1}. Ved 

anvendelse af (A.57) følger det nu, at 

c ϕ λ d 

( 

b2 (0,1) ) = λ d ◦ ϕ −1 (b 2 (0,1)) = λ d 

( 

b2 (0,1) ) , 

og da λ d (b 2 (0,1)) ∈ (0,∞), kan vi heraf slutte, at c ϕ = 1, som ønsket. 

 

A.8.2 Korollar. Lad ψ være en bijektiv affin transformation af R d givet ved (A.56) for en d ×d 

matrix A og en vektor b i R d . Da findes en konstant c ψ i (0,∞), således at λ d ◦ ψ −1 = c ψ λ d , og 

hvis A er ortogonal, gælder der, at c ψ = 1. 

Bevis. Lad ϕ være den lineære transformation af R d givet ved: 

ϕ(x) = Ax, (x ∈ R d ), 

og bemærk, at ψ = τ b ◦ ϕ (jvf. (A.53)). For enhver Borel-mængde B i R d finder vi så ved 

anvendelse af Sætning A.8.1(i), at 

λ d ◦ ψ −1 (B) = λ d ◦ ϕ −1( τ −1 

b 

(B)) ( 

= c ϕ λ d τ 

−1 

(B)) = c ϕ λ d (B), 

hvor vi til sidst benytter translationsinvariansen af λ d . Dermed følger første påstand i korollaret 

med c ψ = c ϕ , og den anden påstand følger derefter af, at c ϕ = 1, hvis A er ortogonal (jvf. 

Sætning A.8.1(ii)). 

A.8.3 Bemærkninger. (1) Lad υ være en vinkel i (−π,π]. Rotationen i R 2 med vinklen υ 

er den lineære transformation R υ : R 2 → R 2 givet ved: 

( )( ) 

cos(υ) −sin(υ) x1 

R υ (x) = 

, (x = (x 

sin(υ) cos(υ) x 1 ,x 2 ) ∈ R 2 ). 

2 

Idet matricen for R υ specielt er en ortogonal matrix, fortæller Sætning A.8.1(ii) i særdeleshed, 

at Lebesgue-målet λ 2 er invariant under rotationer i R 2 . 

175 

b

(2) Lad A være en invertibel d ×d matrix, lad b være en vektor i R d , og betragt den tilsvarende 

affine afbildning ψ : R d → R d , givet ved (A.56). Man kan da generelt vise (se f.eks. 

Sætning 5.18 i [BM]), at konstanten c ψ fra Korollar A.8.2 er givet ved c ψ = 1/|det(A)|. 

For en vilkårlig funktion f : R d → R fra L(λ d ) følger det således ved anvendelse af Sætning 

5.1.4, at 

∫ 

eller ækvivalent, at 

∫ 

∫ 

f(ψ(x))λ d(dx) = f(y)λ 

R d R d d ◦ ψ −1 (dy) = 

∫ 

∫ 

f(ψ(x))|det(A)|λ d(dx) = f(y)λ d(dy). 

R d R d 

R d f(y) 1 

|det(A)| λ d(dy), 

(A.58) 

Formlen (A.58) er et specialtilfælde af den vigtige Integral-transformations-formel for 

Lebesgue-mål, som vi skal studere nærmere i de efterfølgende kurser. 

(3) En afbildning ψ : R d → R d kaldes en isometri, hvis 

‖ψ(x) − ψ(y)‖ 2 = ‖x − y‖ 2 , (x,y ∈ R d ). 

Man kan vise (se f.eks. [Be, Sætning 3.11]), at enhver isometri ψ : R d → R d kan fremstilles 

(entydigt) på formen: 

ψ(x) = Ax+b, (x ∈ R d ), (A.59) 

hvor A er en ortogonal d × d matrix og b ∈ R d . Dermed viser Korollar A.8.2 specielt, at 

λ d er invariant under enhver isometri af R d . □ 

176

Indeks 

∩-stabilt, 95 

\-stabilt, 94 

↑-stabilt, 94 

absolut kontinuitet af mål, 135 

affin transformation af R d , 173 

afstandsbegreb, 14 

algebra (af mængder), 9 

Bernsteins Sætning, 151 

bijektiv afbildning, 145 

billedmængde, 145 

billedmål, 129 

Booles ulighed, 22 

Borel, E., 8 

Borel-algebra 

frembragt af intervaller, 15, 18 

i R d , 15 

i R, 31 

i delrum, 39 

vs. nedarvet σ-algebra, 40 

i et generelt metrisk rum, 166 

vs. produkt-σ-algebra, 105, 108, 169 

Borel-mængde, 15 

Cantor, G., 151 

Caratheodory, C., 8 

δ-system 

definition af, 94 

fællesmængde af familie af, 95 

Den lille transformationssætning, 129 

Dirac-mål, 20 

Dirichlets funktion, 87 

disjunkte mængder, 142 

familie af, 144 

Domineret konvergens, 79 

Dynkin, J., 8 

Dynkins lemma, 96 

eksponentialfordelingen, 132 

endelig mængde, 146 

entydighedssætning 

for endelige mål, 97 

for integraler, 66 

for σ-endelige mål, 98 

for tæthed af mål, 137 

Fatou, P., 8 

Fatous lemma, 65 

generaliseret, 77 

fordelingsfunktion, 99 

frembragt σ-algebra, 12 

frembringersystem for σ-algebra, 12 

Fubini, G., 8 

Fubinis sætning, 121 

ikke-målelig mængde, 173 

indikator-funktion, 25 

indlejringsafbildning, 103, 106 

indskudsreglen, 82 

injektiv afbildning, 145 

integrabilitet, 80 

integral-transformations-formel, 176 

integralet som areal under graf, 116 

integration 

af funktioner med værdier i R, 71 

af positive målelige funktioner, 60 

af positive simple funktioner, 59 

af reelle funktioner, 71 

med hensyn til billedmål, 129 

med hensyn til Dirac-mål, 67 

med hensyn til mål med tæthed, 132 

med hensyn til produktmål 

Fubinis sætning, 121 

Tonellis sætning, 118 

med hensyn til tællemål, 67 

over delmængde, 80 

isometri af R d , 176 

kardinalitet, 151 

Kolmogorov, A.N., 8 

koncentration af mål, 20 

kontinuert afbildning 

fra R d til R m , 27 

i termer af åbne mængder, 28 

mellem metriske rum, 166 

177

på delrum, 40 

kontinuum hypotesen, 151 

koordinatafbildning 

målelighed af, 28, 103, 107 

koordinatprojektion, 28, 102, 106 

L(µ), 71 

L 1 (µ), 71 

Lebesgue’s sætning om monoton konv., 61 

Lebesgue, H., 8, 57 

Lebesgue-mål 

affin transformation af, 175 


entydighed af, 99 

invarians under isometri, 176 

invarians under ortogonal transf., 174 

rotationsinvarians af, 175 

translationsinvarians af, 129 

Lebesgues sætning om domineret konv., 79 

limsup og liminf 


egenskaber for, 157 

og konvergens af talfølger, 159, 160 

metrik, 14, 164 

metrisk rum, 164 

Monoton konvergens, 61 

generaliseret, 76 

mængde-inklusion, 141 

mængdeoperationer 


generaliserede, 142 

regneregler for, 141, 142 

mål 

σ-endeligt, 23 


endeligt, 23 

sum-endeligt, 23 

transformation af, 129 

målelig afbildning, 25 

målelige funktioner 

med værdier i R, 33 

med værdier i R, 29 

regning med, 30 

målelighed 

af koordinatprojektioner, 28 

af kontinuerte funktioner, 28 

af monotone funktioner, 30 

af positiv- og negativ-del, 36 

af supremum og infimum, 34 

ved grænseovergang, 34, 37 

ved restriktion, 38 

måleligt rum, 19 

nedarvet σ-algebra på delmængde, 37 

normalfordelingen, 132 

nulmængde, 68 

numerabel mængde, 146 

næsten alle, 69 

næsten overalt, 69 

ombytning af integrationsorden, 118, 122 

originalmængde, 144 

ortogonal matrix, 174 

overtællelig mængde, 146 

overtal, 153 

partition 


σ-algebra genereret af, 161, 162 

Poisson-fordelingen, 132 

positiv- og negativ-del, 36 

produkt-σ-algebra 

af to σ-algebraer, 102 

af tre eller flere σ-algebraer, 106 

produktmål 

af Lebesgue-mål, 115 


eksistens og entydighed af, 113 

produktmetrik 


ækvivalens af, 168 

punktvis konvergens, 45 

Radon-Nikodym afledet, 131 

Radon-Nikodyms sætning, 135 

Riemann-integrabel, 84 

Riemann-integral, 84 

udregning ved stamfunktion, 84 

vs. Lebesgue-integral, 85 

Riemann-oversum og undersum, 84 

rotation, 175 

178

Russel, B., 151 

sandsynlighedsmål, 23 

separabelt metrisk rum, 165 

σ-algebra 

antal af elementer i, 163 


frembragt af mængdesystem, 12 

fællesmængde af familie af, 11 

tælleligt frembragt, 12 

simple funktioner 

approksimation med, 42 


regning med, 42 

standard repræsentation af, 42 

snitmængde, 104 

standard-beviset, 41 

standard-udvidelse af en funktion, 80 

supremum og infimum 


egenskaber for, 154 

og konvergens af monotone talfølger, 156 

surjektiv afbildning, 145 

system af mængder, 142 

familie af, 144 

grænseovergang i, 152 

multiplikation i, 152 

undertal, 153 

urbillede, 144 

Vitalis Sætning, 171 

værdimængde, 145 

åben mængde 

i R d , 15 

i delrum, 39 

i generelt metrisk rum, 165 

Tonelli, L., 8 

Tonellis sætning, 118 

transformation af mål, 129 

translation, 129, 130, 169 

translationsinvariante mål 


karakterisering af, 171 

trekantsuligheden, 15 

Tuborg-resultatet, 38 

for kontinuerte funktioner, 41 

tællelig mængde, 146 

tælleligt frembragt σ-algebra, 12 

tællemål, 20 

tæthed af mål 


entydighed af, 137 

udvidede reelle tallinie 

addition i, 152 


179

Litteratur 

[Be] 

[BM] 

[Gr] 

[Sc] 

CHRISTIAN BERG, Metriske rum, Matematisk Afdeling, Københavns Universitet 

(1997). 

CHRISTIAN BERG OG TAGE GUTMANN MADSEN, Mål- og integralteori, Matematisk 

Afdeling, Københavns Universitet (2001). 

SVEND ERIK GRAVERSEN, Forelæsningsnoter til Målteori, Institut for Matematiske 

Fag, Århus Universitet (2007). 

RENÉ SCHILLING, Measures, Integrals and Martingales, Cambridge University 

Press (2007). 

[Ru] WALTER RUDIN, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill (1987). 

180

et fra Århus - Institut for Matematik og Datalogi

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?