samling af tidligere eksamensopgaver fra MM505 - Institut for ...

Institut for Matematik og Datalogi
Syddansk Universitet
Tidligere Eksamensopgaver
MM505 Lineær Algebra
Indhold
Typisk forside . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Juni 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Oktober 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Juni 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Oktober 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Januar 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Juni 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Andrew Swann
Revision: 1.6, 27. juli 2009.

Typisk forside
SYDDANSK UNIVERSITET
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI
Skriftlig eksamen
Lineær Algebra - MM505
Fredag d. 19. juni 2009 kl. 9.00–13.00
Opgavesættet består af 5 opgaver med 20 delspørgsmål som tilsammen
tæller 100 points. Hver delopgave tæller 5 point. Beståelse kræver opnåelse af
mindst 50 points.
Eksamen varer 4 timer hvor alle sædvanlige hjælpemidler, bøger, noter samt
lommeregner er tilladte.
Der lægges vægt på, at de benyttede metoder og sætninger fremgår af besvarelsen,
og at svarene begrundes.
Bemærk, at senere delspørgsmål i en opgave ofte kan besvares
uden at alle tidligere spørgsmål er besvaret. Det er således tilladt
at bruge resultater fra tidligere delspørgsmål selvom disse ikke er
besvaret.

Juni 2007 3
Juni 2007
Opgave 1
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at finde
determinanter ikke anvendes. Det samme gælder for et eventuelt program til at
løse ligningssystemer.
Lad
⎛
−1 3
⎞
2
A = ⎝ 1 0 1⎠
3 3 a
og betragt det lineære ligningssystem
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−8
x 1
Ax = ⎝ 2 ⎠ , x = ⎝x 2
⎠ ∈ R 3 (1)
b
x 3
hvor a, b ∈ R.
(a) Beregn determinanten af A.
(b) For hvilke værdier af a, b har ligningssystemet (1) præcis én løsning.
(c) For hvilke værdier af a, b har ligningssystemet (1) ingen løsning.
(d) For hvilke værdier af a, b har ligningssystemet (1) uendeligt mange løsninger.
Bestem i dette tilfælde den fuldstændige løsning.
(e) Bestem rangen af A og dimensionen af nulrummet for A, N(A). (Bemærk
at svaret i begge tilfælde afhænger af a).
Opgave 2
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at invertere
matricer ikke anvendes.
Lad P 3 være vektorrummet af alle reelle polynomier af grad højst 2.
Betragt afbildningen
L: P 3 → P 3
givet ved
L(p(x)) = xp ′′ (x) + p(x), p ∈ P 3 .
(a) Vis at L er en lineær transformation.
Betragt den ordnede basis E = [1, x, x 2 ] for P 3 .

4
(b) Bestem repræsentationsmatricen A for L mht. E.
(c) Find dimensionen af billedrummet, L(P 3 ) og dimensionen af kernen for
L, ker(L).
Lad F = [x + 1, x − 1, x 2 ] være en anden ordnet basis for P 3 .
(d) Find overgangsmatricen S, som repræsenterer basisskiftet fra F til E.
(e) Bestem repræsentationsmatricen B for L mht. F .
Opgave 3
Lad
være to vektorer i R 3 .
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
−1
v = ⎝−1⎠ og w = ⎝ 0 ⎠
0
1
(a) Vis at v og w er lineært uafhængige i R 3 .
Lad V være underrummet udspændt af v og w, dvs. V = Span(v, w).
(a) Find en ortonormalbasis for V mht. det sædvanlige indre produkt i R 3 :
hvor
〈x, y〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ,
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x 1
y 1
x = ⎝x 2
⎠ og y = ⎝y 2
⎠ .
x 3 y 3
(b) Bestem den ortogonale projektion af u på V , hvor
⎛ ⎞
−1
u = ⎝−1⎠ .
1
(c) Lad x ∈ R 3 . Vis at {v, w, x} er en basis for R 3 , hvis og kun hvis x /∈ V .
Opgave 4
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at
bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes.
Betragt matricen A givet ved:
⎛
1 0
⎞
−1
A = ⎝ 0 1 2 ⎠
−1 2 5

Juni 2007 5
(a) Gør rede for (uden at bestemme egenværdierne for A), at A kan diagonaliseres.
(b) Find alle egenværdier for A samt de tilhørende egenrum.
(c) Bestem en ortogonal matrix U, så U T AU = D, hvor D er en diagonal
matrix.
(d) Lad B og C være to n × n matricer, så BC = 0 n×n .
Vis at λ = 0 er en egenværdi for CB.

6
Oktober 2007
Opgave 1
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at løse ligningssystemer
ikke anvendes.
Lad
⎛ ⎞
A =
1 3 1
⎜ 2 6 2
⎟
⎝ 2 5 1⎠ ,
−1 0 2
lad b ∈ R og betragt det lineære ligningssystem
⎛ ⎞
1 ⎛ ⎞
Ax = ⎜2
x 1
⎟
⎝3⎠ , x = ⎝x 2
⎠ ∈ R 3 . (1)
x
b
3
(a) For hvilke værdier af b er det lineære ligningssystem (1) konsistent.
Bestem i dette tilfælde samtlige løsninger til (1).
(b) Bestem en basis for A’s rækkerum og bestem dimensionen af nulrummet
N(A) for A.
(c) Find nulrummet for A T , dvs. find de x ∈ R 4 , som løser ligningen
A T x = 0.
(d) Benyt svaret på spørgsmål c) til at afgøre om det lineære ligningssystem
⎛ ⎞
−2
Ax = ⎜ 1
⎟
⎝ 0 ⎠
0
er konsistent.
Opgave 2
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at invertere
matricer ikke anvendes.
Betragt afbildningen T : R 3 → R 2 givet ved
⎛ ⎞
x 1
( )
T ⎝x 2
⎠ 3x1 + x
= 2
.
x
x 1 − 2x 2
3

Oktober 2007 7
(a) Vis at T er en lineær transformation.
Udstyr R 3 med standardbasen E og R 2 med standardbasen F , dvs.
⎡⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
1 0 0
E = ⎣⎝0⎠ , ⎝1⎠ , ⎝0⎠⎦ og F =
0 0 1
[( ( 1 0
, .
0)
1)]
(b) Bestem repræsentationsmatricen A for T mht. E og F .
[( (
Betragt nu ˜F 2 1
= , .
1)
1)]
(c) Gør rede for at ˜F også er en basis for R 2 og bestem overgangsmatricen
S, som repræsenterer basisskiftet fra F til ˜F .
(d) Bestem repræsentationsmatricen C for T når R 3 udstyres med den ordnede
basis E og R 2 udstyres med den ordnede basis ˜F . Dvs. find en 2 × 3
matrix C, så
[T (x)] eF = C [x] E
, x ∈ R 3 .
Opgave 3
Lad P 4 være vektorrummet bestående af polynomier af grad mindre end
fire, dvs.
P 4 = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 | a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R}.
(a) Vis at
er et underrum i P 4 .
(b) Vis at {x, x 3 } udgør en basis for S.
Udstyr P 4 med det indre produkt
S = {p ∈ P 4 | p(0) = 0 og p ′′ (0) = 0}
〈p, q〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2).
(c) Find en ortonormal basis for S mht. det givne indre produkt.
(d) Bestem den ortogonale projektion af q(x) = x + 1 på S.
(e) Lad p 1 og p 2 være to lineært uafhængige polynomier i P 4 . Vis at {p 1 , p 2 }
er en basis for S ⊥ hvis og kun hvis
〈p i , x〉 = 0 og 〈p i , x 3 〉 = 0, i = 1, 2.

8
Opgave 4
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at
bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes.
Betragt matricen A givet ved:
⎛
3 0
⎞
7
A = ⎝0 5 0⎠
7 0 3
(a) Vis, at A har egenværdierne 5, 10 og -4.
(b) Bestem for hver af A’s egenværdier det tilhørende egenrum.
(c) Gør rede for at R 3 har en ortonormal basis bestående af egenvektorer
for A, og bestem en ortogonal matrix U samt en diagonalmatrix D, så
U T AU = D.
(d) Lad B og C være to n × n matricer. Antag at der findes en basis
{x 1 , . . . , x n } for R n bestående af egenvektorer for både B og C (ikke
nødvendigvis med samme egenværdier). Vis at BC = CB.
(Vink: Benyt at D 1 D 2 = D 2 D 1 , hvis D 1 og D 2 er to n × n diagonalmatricer.)

Juni 2008 9
Juni 2008
Opgave 1
Lad
⎛
1 −1
⎞
0
A = ⎝3 1 4⎠
1 2 a
og betragt det lineære ligningssystem
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
x 1
Ax = ⎝3⎠ , hvor x = ⎝x 2
⎠ .
b
x 3
(a) Angiv for hvilke reelle tal a, b systemet ikke har nogen løsning.
(b) Angiv for hvilke reelle tal a, b systemet har en entydigt bestemt løsning.
Bemærk at det ikke er nødvendigt at finde denne løsning.
(c) Angiv for hvilke reelle tal a, b systemet har uendeligt mange løsninger,
og find disse løsninger.
(d) Antag at a er valgt så at det A = 0. Bestem rangen af A og find en basis
for nulrummet til A i dette tilfælde.
Opgave 2
Lad
være to vektorer i R 4 .
v 1 =
⎛
⎜
⎝
1
1
0
−1
⎞
⎟
⎠ , v 2 =
⎛
⎜
⎝
0
2
0
−1
⎞
⎟
⎠
(a) Vis at v 1 og v 2 er lineært uafhængige i R 4 .
(b) Lad V være underrummet udspændt af v 1 og v 2 . Find en ortonormalbasis
for V med hensyn til det sædvanlige skalarprodukt i R 4 .
(c) Find den ortogonale projektion af
⎛ ⎞
1
v = ⎜−1
⎟
⎝ 1 ⎠
−1
på V .

10
(d) Lad
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
0
w 1 = ⎜1
⎟
⎝0⎠ , w 2 = ⎜0
⎟
⎝1⎠ .
2
0
Vis at w 1 , w 2 er en basis for V ⊥ .
Opgave 3
Lad P 3 = {a + bx + cx 2 | a, b, c ∈ R} være vektorrummet af alle polynomier
af grad højst 2, og lad T : P 3 → P 3 være givet ved
(a) Vis at T er en lineær afbildning.
T (p(x)) = xp ′ (x) + 3p(1).
(b) Find matricen der repræsenterer T med hensyn til den ordnede basis
E = [1, x, x 2 ] for P 3 .
(c) Lad F = [1+x, x, x+x 2 ] være en anden ordnet basis for P 3 . Find matricen
der beskriver basisskift fra F til E. Bemærk at det ikke skal vises at F
er en basis for P 3 .
(d) Find matricen der repræsenterer T i basen F .
Opgave 4
Lad
⎛
1 −1
⎞
0
A = ⎝−1 2 1⎠ .
0 1 1
(a) Find alle egenværdier til A.
(b) Find det tilhørende egenrum for hver egenværdi til A.
(c) Find en ortogonalmatrix X og en diagonalmatrix D således at D =
X T AX.
(d) Antag at B er en symmetrisk reel n × n-matrix, der kun har én egenværdi
λ. Vis at B = λ · I, hvor I er identitetsmatricen med n søjler og n rækker.

Oktober 2008 11
Oktober 2008
Opgave 1
Betragt det lineære ligningssystem
hvor B og C er givne reelle tal.
y + 2z = 1
x + 4y + 3z = C
x + y + Bz = B
(a) Opstil den udvidede matriks for systemet og reducer den til trappeform.
De enkelte rækkeoperationer bedes angivet.
(b) For hvilke værdier af talparret (B, C) er systemet inkonsistent?
(c) For hvilke værdier af talparret (B, C) har systemet præcis 1 løsning?
(d) Bestem den fuldstændige løsning til systemet for alle værdier af talparret
(B, C).
Opgave 2
⎛
2 1
⎞
1
Lad B være matricen B = ⎝1 2 1⎠ .
1 1 2
(a) Vis, at egenværdierne for B er 1 og 4.
(b) Bestem en basis for hvert af egenrummene.
(c) Løs begyndelsesværdiproblemet
x ′ (t) = 2x(t) + y(t) + z(t),
y ′ (t) = x(t) + 2y(t) + z(t),
z ′ (t) = x(t) + y(t) + 2z(t),
x(0) = 1,
y(0) = 2,
z(0) = 3.
(d) Bestem en ortogonal matriks Q og en diagonal matriks D med Q T BQ =
D.

12
Opgave 3
I denne opgave betragtes vektorrummet P 3 af polynomier af grad højst 2.
Det udstyres med et indre produkt defineret ved formlen
〈p(x), q(x)〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1), p(x), q(x) ∈ P 3 .
(a) Bestem de to indre produkter
og de to normer
〈1, x〉, 〈1, x 2 〉,
‖1‖,
Lad S = {p(x) ∈ P 3 | p(−1) = p(1) = 0}.
‖x‖.
(a) Gør rede for, at S er et underrum af P 3 , og at 1 − x 2 er en ortonormal
basis for S.
(b) Bestem en ortonormal basis for det ortogonale komplement S ⊥ .
(c) Bestem den ortogonale projektion af polynomiet 1 + 2x på hvert af
underrummene S og S ⊥ .
Opgave 4
Lad B være en 3 × 3 matriks, som opfylder matriksligningen
B 2 − 4B + 4I 3 = 0,
hvor I 3 og 0 er henholdsvis enhedsmatricen og nulmatricen i R 3×3 . Lad β være
en egenværdi for B.
(a) Gør rede for, at β opfylder ligningen
og bestem herfra værdien af β.
β 2 − 4β + 4 = 0,
Lad nu b 1 ∈ R 3 være en vektor som ikke tilhører egenrummet E(β), og sæt
b 2 = Bb 1 − βb 1 .
(a) Vis, at b 2 er en egenvektor for B med egenværdi β.
Antag yderligere, at dim(E(β)) = 2 og lad b 3 være valgt så b 2 , b 3 er en basis
for E(β).
(a) Vis, at F = [b 1 , b 2 , b 3 ] er en basis for R 3 .
(b) Bestem matricen for den lineære afbildning L B : R 3 → R 3 med hensyn
til basen F , altså den matriks, som i forelæsningerne er betegnet [L B ] F F .

Januar 2009 13
Januar 2009
Opgave 1 (25 point)
I denne opgave må din lommeregners/computers eventuelle program til direkte at
bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes. Det samme gælder
for et eventuelt program til at løse differentialligningssystemer.
Betragt matricen
( ) 7 3
B = .
3 7
(a) Bestem en ortogonal matriks Q og en diagonalmatriks D, som opfylder
(b) Løs begyndelsesværdiproblemet
Q T BQ = D.
x ′ (t) = 7x(t) + 3y(t),
y ′ (t) = 3x(t) + 7y(t),
x(0) = 4,
y(0) = 12.
Opgave 2 (25 point)
Det anses for velkendt (og skal altså ikke vises), at de fire matricer
( ) ( ) ( ) ( )
1 0
0 1
0 0
0 0
A 1 = , A
0 0 2 = , A
0 0 3 = , A
1 0 4 = ,
0 1
udgør en basis for vektorrummet W = M 2×2 (R) af reelle 2 × 2 matricer.
Lad
{( )
}
x y
V =
x, y, z ∈ R ⊂ W,
0 z
( ) a b
og lad A = være en fast valgt matriks fra V .
0 c
(a) Vis, at V er et underrum af W og angiv en (ordnet) basis for V .
(b) Vis, at forskriften
G(X) = AX, X ∈ V,
definerer en lineær afbildning G: V → V , og bestem matricen for G med
hensyn til den basis for V , som du har angivet i (a).

14
Opgave 3 (25 point)
I denne opgave må din lommeregners/computers eventuelle program til
løsning af lineære ligningssystemer ikke anvendes. Det samme gælder for et
eventuelt program til at udføre rækkeoperationer på en matriks.
Betragt det lineære ligningssystem
hvor A og B er konstanter.
x + 2y = 0,
2x + 5y + z = B,
2x + 6y + Az = B + 1,
(a) Angiv den udvidede matriks for systemet, og brug rækkeoperationer til
at skaffe nuller under diagonalen i matricen. Rækkeoperationerne bør
fremgå af besvarelsen.
(b) For hvilke værdier af talparret (A, B) har systemet
(i) ingen løsning?
(ii) præcis én løsning?
(iii) uendelig mange løsninger?
(c) Bestem samtlige løsninger til systemet (for alle værdiier af (A, B))
Opgave 4 (25 point)
I denne opgave betragtes vektorrummet C[−1, 2] af kontinuerte funktioner
f : [−1, 2] → R, udstyret med det sædvanlige indre produkt
〈f, g〉 =
∫ 2
−1
f(t)g(t)dt.
Med V betegner vi underrummet udspændt af de tre funktioner 1, t og t 2 .
(a) Bestem en ortonormal basis for V .
(b) Bestem projektionen af funktionen t 3 på underrummet V .

Juni 2009 15
Juni 2009
Opgave 1
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til at løse ligningssystemer
ikke benyttes.
Lad
⎛
Q =
⎜
⎝
⎞
√1
√3
√3
10 14 35
2
0 √ √−5
⎟
14 35 ⎠
√3
√−1
√−1
10 14 35
(a) Gør rede for at Q er en ortogonal matrix.
(b) Løs det lineære ligningssystem
hvor b = (1, 0, 0) T .
Q · x = b,
Opgave 2
Lad
⎛
⎞
1 0 −1 0
A = ⎜ 1 2 1 0
⎟
⎝ 1 1 0 1⎠
2 1 −1 2
(a) Vis at A er rækkeækvivalent til
⎛
1 0 −1
⎞
0
U = ⎜ 0 1 1 0
⎟
⎝ 0 0 0 1⎠
0 0 0 0
(b) Bestem baser for A’s nulrum, N(A), rækkerum samt søjlerum.
(c) Angiv dimensionen af A’s nulrum, rækkerum og søjlerum.
(d) For hvilke a ∈ R har ligningssystemet
⎛ ⎞
1
A · x = ⎜1
⎟
⎝1⎠
a
løsninger?

16
(e) Bestem disse løsninger.
Opgave 3
Lad V være vektorrummet af alle reelle, uendeligt mange gange differentiable
funktioner og lad S være rummet udspændt af funktionerne f 1 , f 2 , f 3 givet ved:
f 1 (t) = e t , f 2 (t) = e −t , f 3 (t) = te t for t ∈ R
(a) Det oplyses at f 1 , f 2 og f 3 er lineært uafhængige i V. Redegør for at
F = [f 1 , f 2 , f 3 ] således udgør en ordnet basis for S.
Lad L: S → V være givet ved
(b) Vis at L er lineær.
(c) Vis at L(S) ⊂ S.
L(f) = f ′′ − f, for f ∈ S.
(d) Find matricen B hørende til L med hensyn til den ordnede basis F .
(e) Bestem egenværdierne for matricen B.
(f) Lad C være matricen som repræsenterer den lineære transformation med
hensyn til en anden basis E for S. Hvilke egenværdier har matricen C?
(Der ønskes naturligvis en begrundelse for dit svar.)
Opgave 4
I denne opgave betragtes R 4 med det sædvanlige indre produkt. (Det vil
sige at for x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T og y = (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) T er 〈x, y〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 +
x 3 y 3 + x 4 y 4 .)
Lad
⎛ ⎞
⎞
1
x = ⎜1
⎟
⎝1⎠ ,
1
⎛
−1
y = ⎜ 1
⎝ 1
1
og lad S være underrummet udspændt af x og y, d.v.s., S = span(x, y).
(a) Find en ortonormal basis {u 1 , u 2 } for S.
⎟
⎠
Lad
⎛ ⎞
⎛
0
v 1 = √ 1
⎜−4
⎟
24
⎝ 2 ⎠ , v 2 = √ 1
⎜
2
⎝
2
0
0
−1
1
⎞
⎟
⎠

Juni 2009 17
(b) Vis at {v 1 , v 2 } udgør en ortonormal basis for S ⊥ .
(c) Gør rede for at T = {u 1 , u 2 , v 1 , v 2 } udgør en ortonormal basis for R 4 .
(d) Fremstil e 1 = (1, 0, 0, 0) T som linearkombination af vektorerne i T .
Opgave 5
I denne opgave må din lommeregners eventuelle program til direkte at
bestemme egenværdier og/eller egenvektorer ikke anvendes.
Betragt matricen M givet ved:
⎛
1 0
⎞
1
M = ⎝0 0 0⎠
1 0 1
(a) Bestem alle egenværdier med tilhørende egenvektorer for M.
(b) Gør rede for at R 3 har en ortonormal basis bestående af egenvektorer for
M.
(c) Bestem en ortogonal matrix Q, så Q T MQ = D hvor D er en diagonal
matrix.