Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning 9
Sætning 2.2 (Forventningsværdier) Når man skal finde forventningsværdier er det praktisk at
have de to identiteter
ˆx =
√
) (â+ + â − ,
2mω
√
mω )
ˆp = i
(â+ − â − .
2
Herfra kan man så anvende at â + ψ n = √ n + 1ψ n+1 , at â − ψ n = √ nψ n−1 samt at
bølgefunktionerne er ortonormale.
◭
2.4 Den fri partikel
Den fri partikel er kendetegnet ved at potentialet er nul over alt hvor den kan være. Løsningerne
til den tids-uafhængige Schrödingerligning er her et kontinuert spektrum af bølgefunktioner givet
ved
(
Ψ k (x,t) = Ae i kx− k2
2m
), t 2mE
k ≡ ±√
.
Konstanten k kan være både positiv og negativ, med følgende relation
{
k > 0, ⇒ bølge der bevæger sig mod højre
k < 0, ⇒ bølge der bevæger sig mod venstre.
Disse løsninger er ikke normaliserbare, hvorfor der ikke findes sådan noget som en fri partikel. Men
løsningerne kan bruges til noget andet end lige at beskrive denne fri partikel. Man kan lave en
lineær kombination af løsningerne til at få en bølgefunktion der er normaliserbar. Man kan altså
få en normaliserbar bølgefunktion ved
Ψ(x,t) = √ 1 ∫ +∞
2π
−∞
( )
φ(k)e i kx− k2
2m t dk.
Her spiller φ(k)/ √ 2π rollen som konstanten der ganges på for hvert k som vi før havde en konstant
c n . Vi kan altså igen opskrive en kendt bølgefunktion til tiden nul ved dette og derefter få
tidsudviklingen af den, nu med
Ψ(x,0) = √ 1 ∫ +∞
φ(k)e ikx dk, φ(k) = 1 ∫ +∞
√ Ψ(x,0)e −ikx dx.
2π 2π
−∞
Dette kaldes for en bølgepakke.
−∞
2.5 Delta-funktions potentialet
Definition 2.3 (Bundne tilstande og spredningstilstande) En bunden tilstand er en tilstand
hvor potentialet er højere end systemets energi, hvorfor systemet vil holde sig der hvor
der er en “grav” i potentialet. Her vil systemet så oscillere frem eller tilbage (eller stå stille) –
men det vil ikke kunne forlade “graven”. En spredningstilstand er en tilstand hvor systemets
energi er højere end potentialet, og hvor systemet derfor kan bevæge sig frit over det hele.