Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

8 2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning
hvor ω er frekvensen, der ud fra fjederkonstanten k er givet ved ω = √ k/m. Vi definerer først
hæve- og sænkeoperatoren givet ved
a ± ≡
1
√
2mω
(∓iˆp + mωˆx) .
Der gælder for disse operatorer at de er hinandens komplekst konjugerede (a † − = a + og a † + = a − )
og at deres kommutator er 1 ([a − ,a + ] = 1 så a − a + = 1 + a + a − ).
Definition 2.1 (Kommutatorer) En kommutator viser hvor meget to operatorer fejler i at
kommutere. Kommutatoren er defineret for to generelle operatorer  og ˆB ved
[Â, ˆB] = Â ˆB − ˆBÂ.
Når man arbejder med kommutatorer er det smart at indsætte en arbitrær funktion og operere
på den, for så til sidst at fjerne den igen. Den vigtigste kommutator i kvantemekanikken er den
mellem position og impuls, der er givet ved
[ˆx, ˆp] = i,
og også kaldes for den kanoniske kommutatorrelation.
◭
Vi kan med hæve- og sænkeoperatorerne skrive Hamiltonoperatoren som
(
Ĥ = ω a ± a ∓ ± 1 )
.
2
Dette betyder, at hvis ψ er en løsning til den tids-uafhængige Schrödingerligning med energi E,
så er a + ψ en løsning med tilhørende energi E + ω og a − ψ er en løsning med energi E − ω.
Man kommer dog til et punkt hvor man ikke kan “sænke” energien mere, og dette punkts
bølgefunktion kalder vi for ψ 0 . Der gælder altså at a − ψ 0 = 0, og det kan vises at
ψ 0 (x) =
( mω
) 1/4
e
− mω
2 x2 ,
π
E 0 = 1 2 ω.
De videre løsninger findes til at være
ψ n (x) = √ 1
(
(a + ) n ψ 0 (x), E n = n + 1 )
ω.
n! 2
Disse løsninger, er lige som ved det uendelige brøndpotentiale, orthogonale, så der gælder at
∫
ψ ∗ m(x)ψ n (x)dx = δ mn .
Derfor kan vi igen bruge fremgangsmåden fra det uendelige brøndpotentiale for at finde en specifik
løsning når vi kender bølgefunktionen til tiden nul, og igen har vi at |c n | 2 er sandsynligheden for
at måle den tilhørende energi E n .
Eksempel 2.5 på side 61 i bogen viser hvordan man finder forventningsværdier på en nem måde
ved at bruge hæve- og sænkeoperatorerne i stedet for at skrive alt ud.