Formelsamling til Fysik 5 - Bozack @ KU

2 Den tids-uafhængige Schrödingerligning 7
Uden for brønden vil ψ(x) = 0 over alt, men inden for brønden er bølgefunktionen givet ved
ψ n (x) =
√
2
a sin ( nπ
a x )
,
med tilhørende egenenergier
E n = 2 k 2 n
2m = 2 n 2 π 2
2ma 2 , k n = nπ a .
Disse løsninger har nogle vigtige egenskaber, som jeg vil opliste her:
⊲ De er skiftevis lige og ulige med hensyn til centrum af brønden.
⊲ Jo højere energi, des flere “noder” har bølgefunktionen. En node er en krydsning af x-aksen.
For hver n man går op kommer der én node mere. ψ 1 har ingen noder, ψ 2 har én node, osv.
⊲ Bølgefunktionerne er indbyrdes orthogonale. Der gælder altså at
∫
ψ ∗ m(x)ψ n (x)dx = δ mn ,
hvor δ mn er Kronecker-deltaet, der er 1 når m = n og ellers er nul.
⊲ Sættet af bølgefunktioner er komplet, hvilket betyder at alle andre funktioner inden for
intervallet hvor de er defineret (0 ≤ x ≤ a) kan beskrives som en lineær kombination af dem.
Man kan altså, hvis man kender bølgefunktionen til tiden nul, opskrive
Ψ(x,0) =
√ ∞∑
2
c n ψ n (x), hvor c n =
a
n=1
hvorved man kan få den tidsafhængige bølgefunktion til at være
√
2
∞∑ ( nπ
)
Ψ(x,t) = c n sin
a a x e −in2 π 2 t/2ma 2 .
n=1
∫ a
0
( nπ
)
sin
a x Ψ(x,0)dx,
Det sidste punkt er vigtigt at bemærke, da konstanten c n fortæller noget om systemet, nemlig
hvor meget af bølgefunktionen nummer n der er “indeholdt” i det system man ser på. Værdien
|c n | 2 fortæller hvad sandsynligheden er for at måle energien E n hvis man måler på systemet, og
der gælder at ∑ c n = 1. Mere vigtigt gælder der at
∞∑
〈H〉 = |c n | 2 E n .
n=1
2.3 Den harmoniske oscillator
Det harmoniske potentiale er karakteriseret ved
V (x) = 1 2 mω2 x 2 ,